ĐẠ hÀm, vi phÂn - toanc1.files.wordpress.com · 1 ĐẠo hÀm, vi phÂn Ứng dụng của...

1

ĐAO HAM, VI PHÂN

Ứng dung cua đao ham

Lecture 5

Nguyen Van Thuy

Review-Đao ham

Đinh nghia. Đao ham cua ham số 𝑓 tai 𝑎

Phương trinh tiếp tuyến tai điểm

𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))

𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

0

( ) ( )'( ) lim

h

f a h f af a

h

11/21/2010 4-2 Toan C1-Nguyen Van Thuy

Review-Vi phân của ham số

Tai x=a

𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥

Tai x

𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3

Review-Quy tăc L’Hospital

Đinh ly. Nếu 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) co dang

0

0,∞

∞ khi 𝑥𝑎 va

tồn tai lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐴 thi

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝐴

Chú ý: 𝐴 có thể hữu han hoặc vô han

11/21/2010 4-4 Toan C1-Nguyen Van Thuy

Ưng dung khao sat ham số

Tim tiêm cân

Tim khoang tăng, giam

Tim cưc tri

Tinh lồi lom, điểm uốn

Viết phương trinh tiếp tuyến va phap

tuyến

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-5

Ưng dung khao sat ham số

Câu 206. Cho hàm số 𝑦 =ln 𝑥+1 +𝑥2

𝑥−𝑥2. Đồ

thị hàm số này

a) Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0

b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥

c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1

d) Không có tiệm cận

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-6

2

Ưng dung khao sat ham số

Câu 178. Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥.

Khẳng định nào sau đây đúng

a) 𝑦 tăng trên ℝ

b) 𝑦 giam trên ℝ

c) 𝑦 tăng trên (1, +∞), giam trên 0,1

d) 𝑦 tăng trên (0, +∞)

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-7

Ưng dung khao sat ham số

Câu 183. Cho hàm số 𝑦 = 2ln (1 + 4𝑥2) −

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng

a) y đat cực đai tai 𝑥 =1

8

b) y đat cực tiểu tai 𝑥 =1

8

c) y đat cực đai tai 𝑥 =1

16

d) y đat cực tiểu tai 𝑥 =1

16

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8

Đa thức Maclaurin

Bai toan. Tim đa thưc 𝑃(𝑥) bâc ≤ 𝑛 sao

cho

𝑓’(0) = 𝑃’(0)

𝑓’’(0) = 𝑃’’(0)

…

𝑓 𝑛 (0) = 𝑃 𝑛 (0)

Đa thức Maclaurin cấp n của hàm 𝑓

𝑃 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′(0)

1!𝑥 +𝑓′′(0)

2!𝑥2 +⋯+

𝑓 𝑛 (0)

𝑛!𝑥𝑛

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9

Đa thức Maclaurin

Ví du. Tim đa thưc Maclaurin cua ham

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đên 𝑥, 𝑥2, 𝑥3

Kêt qua

𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥

𝑕 𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!

𝑝 𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!−𝑥3

3!

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10

Đa thức Maclaurin

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-11

Đa thức Maclaurin

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-12

Xung quanh

tiếp điểm

3

Khai triển Maclaurin

Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥)

𝑃 𝑥 = 𝑓 0 +𝑓′(0)

1!𝑥 +𝑓′′(0)

2!𝑥2 +⋯+

𝑓 𝑛 0

𝑛!𝑥𝑛

+ 𝑂(𝑥𝑛)

𝑂 𝑥𝑛 : vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥𝑛

Với 𝑥 rất gần 0 thì

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 +𝑓′(0)

1!𝑥 +𝑓′′(0)

2!𝑥2 +⋯+

𝑓 𝑛 0

𝑛!𝑥𝑛

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-13

Cac khai triển Maclaurin cơ ban

𝑒𝑥 = 1 +𝑥

1!+𝑥2

2!+ 𝑂(𝑥2)

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+ 𝑂 𝑥4

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 −𝑥2

2!+𝑥4

4!+ 𝑂 𝑥5

𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 +𝑥3

3+ 𝑂 𝑥4

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3+ 𝑂(𝑥4)

ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −𝑥2

2+

𝑥3

3−𝑥4

4+ 𝑂(𝑥4)

1

1+𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑥2 +

𝑂(𝑥2)

1

1−𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +

𝑂(𝑥2)

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14

Khai triển Maclaurin

Câu 238. Viết khai triển Maclaurin của

hàm 𝑦 = 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hang 𝑥3

a) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2+ 𝑂 𝑥3

b) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2+𝑥3

6+ 𝑂 𝑥3

c) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2−𝑥3

6+ 𝑂 𝑥3

d) 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝑂 𝑥3

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15

Khai triển Maclaurin

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16

Maple

taylor(exp(sin(x)),x=0,3)

GeoGebra

KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3)

Khai triển Maclaurin

Câu 249. Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒𝑥 − 1 − 𝑥 −𝑥2

2

tương đương với

𝑎) −𝑥3

3 𝑏) 𝑥3

3 𝑐) −

𝑥3

6 𝑑) 𝑥3

6

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-17

Đa thức Taylor

Bai toan. Tim đa thưc 𝑃(𝑥) bâc ≤ 𝑛 sao cho

𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎)

…

𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎)

Đa thức Taylor cấp n của 𝑓(𝑥) tai 𝑥 = 𝑎

𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑎 +𝑓′ 𝑎

1!(𝑥 − 𝑎) + ⋯+

𝑓 𝑛 (𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-18

4

Khai triển Taylor

Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tai 𝑥 = 𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘 𝑎

𝑘!

𝑛

0

(𝑥 − 𝑎)𝑘+𝑅𝑛(𝑥)

Phần dư

𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎𝑛

𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 =𝑓 𝑛+1 𝑐

𝑛+1 !(𝑥 − 𝑎)𝑛+1

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-19

Ap dung khai triển cơ ban

Vi du. Viết khai triển Maclaurin cua ham

số sau đến cấp 3

𝑓 𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥

1 − 𝑥

Vi du. Viết đa thưc sau dươi dang đa

thưc theo 𝑥 − 1

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2 + 7

Bai tâp: 238 257

11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20