dario d’amore – corso di elettrotecnica (aa...
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Si dice campo scalare uno scalare funzione del punto, per es. la temperatura in una stanza, la densità della materia in una regione dello spazio …
Un campo vettoriale è un vettore funzione del punto, per es. la velocità dell’acqua in una regione di mare rispetto a un punto fisso sul fondo, il valore della forza agente su di una particella di ferro nei pressi di una calamita fissa …
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Come per tutti i vettori, il vettore che rappresenta un campo vettoriale in un punto può essere scomposto nelle sue componenti rispetto ad un sistema di coordinate.
In funzione del tipo di problema affrontato sarà conveniente usare coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.
Esistono operatori che permettono di ottenere campi vettoriali da campi scalari e vice versa.
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Rappresentazione di un campo scalare, per es. quota in ogni punto di una regione montagnosa:
Lafunzione:
descrivelaquotainognipuntodellaregione.Inquestafiguraidiversicolorisonoproporzionalialvaloredellaquota.
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h = h(x, y)
campo vettoriale, per es. il vettore che indica la pendenza in ogni punto di una regione montagnosa
DalDalcamposcalare“quota”:
conl’operatoregradienteottengoilcampovettoriale“pendenza”:
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h = h(x, y)
P =!h(x, y)
!xi +
!h(x, y)!y
j
Ifenomenielettricitrovanooriginenellastrutturadellamateria‐neutralità
NelSIlacaricaelettricasimisuraincoulomb[C]
Lacaricaelettricaèquantizzata:multiplodellacaricaelementarediunelettrone:
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!e = 1, 60206" 10!19 C
11
CampoElettrostaticocreatodaunacaricaisolataq0postainP
CampoElettrostaticocreatodaunacoppiadicariche(sovrapposizione)
F =1
4!"0
q1q0
r2u
F = F1 + F2 =1
4!"0
q1q0
r21
u1 +1
4!"0
q2q0
r22
u2
E =Fq0
!NC
"
E =Fq0
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Lineediforzadelcampoelettrostaticocreatodaunacaricaisolataa) Caricapositivab) Caricanegativa
Tangenteeconcordeinognipuntoconilcampoelettrostaticoinquelpunto
Nonsiincrocianomai(ilcampoèdefinitounivocamente)
Hannooriginenellecarichepositiveeterminanonellecarichenegative
LineediforzadelcampoelettrostaticocreatodaunacoppiadicarichediugualvaloreQA)disegnooppostoB)disegnouguale
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Selaforzacheagiscesuunacaricaèdinaturadiversadaquellaelettrostatica(adesempioèdovutaaprocessichimicioadazionimeccaniche)possiamocomunquedefinireuncampoElettromotore
UnaforzachecausaunospostamentodellacaricadiΔscompieunlavoroΔW
!W = F · !s = q0Es!s
E =Fq0! F = q0E
IllavorocompiutolungounalineaorientataC1siottienesommandoisingolicontributiΔWi
Operandounpassaggioallimitelasommatoriadiventaunintegraledilinea(b)
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IllavorocompiutodalleforzedelcampoelettromotoreperspostareunacaricaunitarialungolalineaC1orientatadaAaBsichiamaTensioneelettricatraAeBlungoC1:
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LatensionehaorientamentooppostoaquellodellalineaC1
Latensionesimisurainvolt[V],ilcampoelettricosimisurain[V/m]piuttostochein[N/C]
V (A! B lungo C1) = VC1 =!
C1
E · ds VC1
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W =!
F · ds ="
C1
F · ds +"
!C2F · ds =
"
C1
F · ds!"
C2F · ds = W1 !W2
W =!
CF · ds = q0
!
CE · ds = q0 fem
fem =!
CE · ds
Quandoillavorocompiutodalleforzedelcampoinunpercorsochiusoènullo,allorailcampodiforzedidiceConservativo
Ilcampoelettrostaticoèuncampoconservativo.
Illavorocompiutodalleforzedelcamposuunacaricadipendesoltantodaipuntiestremidelpercorsoenondallaparticolarelinea
Anchelatensionedipendesoltantodaipuntiestremienondallaparticolarelinea
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fem =!
CE · ds = 0
Inuncampoelettrostaticolatensionediventaindipendentedallalineaconsiderata
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W1 =!
C1
F · ds =!
C2F · ds = W2
! VC2 = VC2 = VAB
VAB
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Flussoattraversounelementodisuperficie
Flussoattraversounasuperficie
Flussoattraversounasuperficiechiusa
d!(E) = E · usd! = Ecos"d! = Esd!
!(E) =!
!E · usd!
!(E) =!
!E · usd!
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LeggediGaussnelcasodicarichediscrete
LeggediGaussnelcasodiunadistribuzionedicarica
!(E) =!
!E · usd! =
qtot
"0
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NelcasoparticolarediunacaricapuntiformepossiamoverificarelaLeggediGauss
!(E) =!
!E · usd! =
q
4"#0r2
!ur · usd! =
q
4"#0r2
!d! =
q0
#0
PossiamoapplicarelaleggediGausspercalcolareilcampoelettricoprodottodaunpianoindefinitouniformementecarico(σ:densitàdicaricasuperficiale[C/m2])
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!(E) = E! + E! =2 E! =q
"0=
#!"0
! E =!
2"0
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Ilcampoelettricoall’internodiunconduttoreinequilibrioelettrostaticoènullo
Latensionetraduepuntiqualsiasidiunconduttoreèsemprenulla
VC1 =!
C1
E · ds = 0
VC2 =!
C2
E · ds = 0
Ilcampoelettrostaticocreatodaunconduttorecaricohalelineediforzasempreperpendicolariallasuperficie
IlcampoelettrostaticocreatodaunconduttorecaricosipuòcalcolareconlaleggediGauss
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d!(E) = E · und! = Ed!
!(E) = E! =q
"0=
#!"0
! E =!
"0un
Campoelettricocreatodaunconduttoresfericocaricocondensitàdicaricasuperficialeσ:
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! E =!
"0un =
q
4#"0R2un
Ilcampocreatodallabacheliteagiscesullecaricheliberepresentinelconduttore,spostandole.
Questesidisporrannoinmododarenderenulloilcampoall’interno.
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!!! !!!
!!!
Ilcampoelettrostaticocreatodaunacoppiadilastrepianeindefinitecarichecondensitàdicaricasuperficiale±σènullonellospaziononcompresotraleduelastre
Nellospaziotralelastreilcampohavaloredoppiodiquellocalcolatoperunasingolalastra
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E =!
"0
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Datidueconduttoriconcaricarispettivamente+qe–q,sidicecapacitàilrapportotralacaricadepositatasulconduttoreelatensioneVchesistabiliscetradiessi.Ilversodellatensioneèdaintendersicomeinfigura.
C =q
V
LacapacitànelSIsimisurainFarad(F)1Farad=1Coulomb/1Volt
LearmaturedistanohedhannosuperficieΣ. Lacaricapresentesullearmatureè±q. Ilcampoelettrostaticotralearmaturevale
LatensioneVtralearmaturevale
Lacapacitàdelcondensatoreè:
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E =!
"0=
q
!"0
C =q
V=
!0!h
V =! h
0E · ds = Eh =
qh
!!0
V
x
Illavorocompiutodaun“agenteesterno”(ades.unapiladivolta)persottrarrelacaricadq’daun’armaturaedepositarlasull’altraè
Quandolacaricatotalespostatavaleq,illavorocomplessivoè
Questaquantitàdipendesolodallostatofinaleenondalparticolareprocessodicarica
Questafunzionesichiamaenergiadelcampoelettrostatico
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dW = V !dq! =q!
Cdq!
W =! q
0
q!
Cdq! =
q2
2C=
CV 2
2= E
Duecarichepuntiformi+qe–qposteadistanzaaformanoundipoloelettrico
Sidefiniscemomentodeldipoloelettricoilvettore
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p = qaConporientatodallacaricanegativaaquellapositiva
IldipolodimomentopèpostoinunaregionesucuiagisceuncampoelettricoesternoE
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F1 = !qEF2 = +qE
Nasceunmomentomeccanicochetendeafarruotarel’assedeldipolo
|M| = |p!E| = pEsin(!)
IlmomentodidipolofaruotareildipoloinmododaaverepedEparalleli
M = r2 ! F2 + r1 ! F1 = (r2 " r1)! F2 = qa!E = p!E
Inseriamounalastraconduttricedispessorestraduelastreparalleledistantihcondensitàdicaricaσo
Perinduzionecompleta,lalastrarendenulloilcampoalsuointernomentrenonalteraquelloesterno
Se
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s! h V ! 0V = E0(h! s) < E0h = V0
V V
Inseriamounalastradimaterialeisolantedispessorestraduelastreparalleledistantihcondensitàdicaricaσo
Latensionediminuiscealcresceredismanontendeazero
Se
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s! h V ! Vk ! =V0
Vk> 1 Costantedielettrica
relativa
V Vk
Ladiminuzionedelcampoelettricosigiustificaconlacomparsasullefacceestremedeldielettricodiunacaricadipolarizzazionedidensità±σp
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Ek =!0
"0! !p
"0
Lacapacitàdiuncondensatorepianoconundielettricotralearmaturecambia
Quantoricavatoperilcalcolodellacapacitàcontinuaavalereutilizzandolapermettivitàdielettricaassoluta
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C! =q0
Vk=
!q0
V0= !C0
! = "!0
C =q
V= !
!d
[F ]
Alivelloatomico,l’effettodelcampoelettricoproduceunmicro‐spostamentodeglielettronirispettoalnucleodell’atomo
Questocausaunmomentodidipoloelettricopasuognisingoloatomo.
Dettonilnumerodiatomiperunitàdivolumesipuòdefinireilvettorepolarizzazione
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P = n < p > <p>èilmomentodidipoloatomicomedio
DatocheognimomentodibipolopèparalleloadE,anchePèparalleloadE
IlvettorepolarizzazionesimisurainC/m2
Consideriamoildielettricouniformementepolarizzatotralearmaturediuncondensatorepiano
Ilmomentodidipolorelativoadunvolumettoinfinitesimoè:
Possiamosostituireilprismaconundipoloelettrico
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dp = Pd!0dh = (dq)dh
±dq = ±Pd!0
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Sullefacceinternelecarichesicompensano Sullefacceestremelecarichenonsipossonocompensareacausadelladiscontinuitàdelmezzo
Estendendolasomma(integrale)atuttiiprimsettichecompongoilvolumedeldielettricosiricavacheilmomentodidipolorisultanteè
p = qph = (!p!)h = P!h ±!p = ±P
LadensitàsuperficialedellecarichedipolarizzazioneèugualeallacomponentediPlungolanormaleallasuperficie
Perlamaggiorpartedeidielettricirisulta(dielettricilneari):
P = !0("! 1)E
LapresenzadellecarichedipolarizzazionelaleggediGausssiscrivecosì(carichelibereedipolarizzazione):
Lacaricadipolarizzazionecontenutanellascatolaabasecilindricainazzurroènegativaevale:
!(E) =!
E · und" =q + qp
!0
Infatti,Pènulloall’internodelconduttore,edèparalleloadEtralearmature
SostituendonellaleggediGausssiottiene:
!(E) =!
E · und" =1!0
"q !
!P · und"
#
!P · und! = P! = !p! = !qp
qp = !!p! = !P!
Perlascatolapossiamoscrivereallora:
!(!0E + P) · und! = q
Sidefiniscevettoreinduzionedielettricalaquantità:
DacuisiricavalaleggediGaussperl’induzionedielettrica:
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D = !0E + P
!(D) =!
D · und" = q
Ilflussodell’induzionedielettricaattraversounasuperficiechiusaèugualeallasommadellecaricheliberecontenuteall’internodellasuperficie
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