departamento de física - condensadores y dieléctricos...3.- condensador esférico: se compone de...
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Concepto de Capacidad.
Tipos de Condensadores.
Asociación de Condensadores.
Energía de un Condensador.
Condensador plano-paralelo con Dieléctrico.
Comportamiento microscópico de un Dieléctrico.
BIBLIOGRAFÍA- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 25. Addison-Wesley Iberoamericana.
- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 23. McGraw-Hill.
- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 30. CECSA.
- Roller; Blum. "Física". Cap. 29. Reverté.
- Serway. "Física". Cap. 26. McGraw-Hill.
- Tipler. "Física". Cap. 21. Reverté.
Condensadores y Dieléctricos
Concepto de Capacidad
Utilidad: Almacenamiento de carga y energía en loscircuitos. La propiedad que caracteriza estealmacenamiento es la Capacidad Eléctrica.
Construcción de un Condensador: Dos conductores aislados(placas) de forma arbitraria, con cargas +q y –q.
Un Condensador secaracteriza por la cargade cualquiera de losconductores y por ladiferencia de Potencialque existe entre ellos.a b
+q -q
Cómo se Carga un Condensador: Conectando las dos placasa los terminales de unabatería
De esta forma, los portadores de carga se mueven de una placa a otrahasta que se alcanza el equilibrio Electrostático. Así, la diferencia dePotencial entre las placas es la misma que entre los terminales de labatería.
La relación ente la Carga y el Potencial es unacaracterística propia de cada Condensador, por lo que sedefine la Capacidad del Condensador como
VqC = Unidades en el S.I.: Faradio (F)
Tipos de Condensadores
1.- Condensador de placas plano-paralelas
Vamos a calcular la capacidad para tres tipos de Condensadores. En cada caso debemos encontrar la diferencia de Potencial, V, entre las placas de dicho Condensador.
Suponiendo cada placa como un planoinfinito, el Campo Eléctrico creado por cadaplaca es σ/2εo, luego el Campo total entrelas placas es
C t e
A
q
E
oo=
ε=
εσ=
La capacidad será A d qq
VqC
oε==
/
y A d qd EV
oε==
dA C oε=
Líneas de Campo Eléctrico entre las placas de un Condensador
2.- Condensador Cilíndrico: Se compone de un alambre deradio a y una corteza cilíndricade radio b concéntrica con elalambre.
∫ ⋅−=b
ardEV
Siendo E el Campo Eléctrico enla zona entre los dosconductores. Podemos calcularesta Campo Eléctrico aplicandoel Teorema de Gauss.
o
qsdEε
=⋅∫ int
o
qrL Eε
=π int2rL
q Eoπε
=2
∫∫ =⋅−=b
a
b
adr ErdEV
ab
Lq
rdr
Lq V
o
b
ao
ln22 πε
=πε
= ∫)/ln(
2abL
VqC oπε==
Cuanto mayor es la longitud delcilindro más carga es capaz deacumular
+ + ++
++
++
++
+ + + +
++
++
++
+
++
--
- -- --
-
--
-
-
E
a
b
3.- Condensador Esférico: Se compone de una esferaconductora interior de radio R1 yuna corteza esférica concéntricade radio R2.
Si suponemos que la esfera interior tiene carganegativa y la corteza está cargada positivamente,el Campo Eléctrico entre ambas, a una distancia r,será el de una Carga Puntual colocada en elcentro.
∫∫∫ −===⋅−=
2
1
2
1
2
1 21
122
R
R
R
R
R
R RRRRkqdr
rqkdr ErdEV
12
21
12
21 4)( RR
RRRRk
RRC o −πε=
−=
∞→2R Si Se define la Capacidad deun Condensador esféricoaislado como
RC oπε= 4
-q
+q
R1R2
Asociación de Condensadores
Condensadores en serie Regla general: La Diferencia dePotencial entre los extremos de uncierto número de dispositivosconectados en serie es la suma delas Diferencias de Potencial entrelos extremos de cada dispositivoindividual.
En este caso V=Vb-Va=V1+V2 y lacarga permanece constante, luego
22
11 C
qVy CqV == 21 VVV +=
)11(21 CC
qV +=VqCeq =
21
111CCCeq
+= ∑=i ieq CC
11
V
-q +q-q +qa b
V
V1
V2
Condensadores en ParaleloV
-q1 +q1
-q2 +q2
ba
V
V
Regla general: La Diferencia dePotencial entre los extremos de uncierto número de dispositivosconectados en paralelo es la mismapara todos ellos.
En este caso q = q1+q2 y es laDiferencia de Potencial la quepermanece constante, luego
VCqy V Cq 2211 == 21 qqq +=
)( 21 CCVq += 21 CCC +=
∑=i
ieq CC
Energía de un Condensador
Cuando se carga un Condensador con una batería, éstarealiza un trabajo al transportar los portadores de carga deuna placa a otra. Esto supone un aumento de EnergíaPotencial en los portadores que coincide con la EnergíaEléctrica almacenada en el Condensador. Se puedecomparar este efecto con la Energía almacenada en unmuelle comprimido. Esta Energía almacenada se recuperacuando se descarga el Condensador.
Si en un tiempo t se transfiere una carga q’(t) de una placa a otra, la ddp en este instante de tiempo será
CtqtV )(')( =
La transferencia de una carga extra dq’, requiere un trabajo extra que vendrá dado por
''')( dqCqdqtVdW ==
El proceso termina cuando toda la carga ha sido transferida y el sistema queda en equilibrio. El trabajo desarrollado en este proceso será
∫ ∫==q
dqCqdWW
0''
Este trabajo coincide con la Energía Eléctrica almacenada en el Condensador, luego
CqU
2
21
=
También se puede escribir como 2
21 CVU = qVU
21=o
Densidad de Energía: Se define como la cantidad deEnergía por unidad de volumen.
Para un Condensador de placas planoparalelas
d EVy dA C o =ε=
)(21
21
21 2222 AdEdE
dACVU o
o εε===
Volumen ocupado por el campo Eléctrico
2
21 Eoe εη =
Si en un punto del espacio (envacío) existe un Campo Eléctrico,puede pensarse que también hayalmacenada una cantidad deEnergía por unidad de volumenigual a esta expresión
Condensador Plano-paralelo con Dieléctrico
En 1837 Faraday investigó por primera vez el efecto dellenar el espacio entre las placas de un Condensador con unDieléctrico (material no Conductor), descubriendo que enestos casos la Capacidad aumenta.
Si el Dieléctrico ocupa todo el espacio entre las placas, laCapacidad aumenta en un factor κ, a la que llamamosConstante Dieléctrica.
Introducción de un Dieléctrico entre las placas de un Condensador
I
Dado un Condensador plano-paralelo de capacidad Co, seconecta a una pila con una diferencia de potencial Vo, deforma que la carga final que adquiere es qo = CoVo.
Si se desconecta el Condensador de la pila y se introduce undieléctrico que ocupe todo el espacio entre las placas, laDiferencia de Potencial disminuye en una cantidad κ, mientrasque la carga permanece constante, luego
ooo C
Vq
VqC κ=κ==
II Si se introduce un Dieléctrico con la pila conectada, ésta debesuministrar una carga adicional para mantener el Potencialconstante. La Carga total aumenta entonces en una cantidad κ,luego
oo
o
o
C Vq
VqC κ=κ==
Para un Condensador de placas plano-paralelas se puede escribir
dA
dA C o ε=κε=
Este resultado se puede generalizar para cualquier tipo de Condensador escribiendo
L C oεκ=
L es una constanteque depende de lageometría
Planoparalelo
Cilíndrico
dAL =
)/ln(2
ablL π=
Comportamiento Microscópico de un Dieléctrico
Las Cargas Ligadas o Cargas de Polarización son lasresponsables de la disminución del Campo Eléctrico entrelas placas de un Condensador cuando se introduce unDieléctrico. Dichas Cargas se encuentran en la superficiedel Dieléctrico.
Modelo Atómico simpleUna carga puntual +Ze rodeada poruna distribución esférica de carganegativa –Ze formada por electrones
-Ze
+Ze
0=oE
0=P
Si sometemos el átomo en un campo externo, éste ejerceuna fuerza en un sentido sobre el núcleo y en sentidoopuesto sobre los electrones. Así, la posición del núcleo ydel centro de distribución de las cargas negativas quedadesplazado.
+Ze
→oE
→P
Centro de distribución de cargas negativas En este caso el átomo adquiere
un momento dipolar inducido yentonces se dice que estápolarizado.
Moléculas PolaresAquellas que tienen un momentodipolar permanente (por ejemplo elagua).
Si colocamos un dieléctrico entre las placas de un Condensador plano-paralelo, se polariza a medida que se introduce en el seno delCondensador Aparece una densidad superficial de Carga en lascaras adyacentes a las placas del Condensador
0=oE
-
--
--
-
--
-
---
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
-
+
oE
+++++++
--------
--------
+++++++
-
-
-
+
+
++
+
+
+
+
+-
-
-
-
--
-
-
-+ +
+
σp
oE
--------
--------
+++++++
+++++++
σ
pE
El Campo Eléctrico total es, en este caso )i(EiEE po
−+=
En módulo, el Campo total disminuye
po EEE −=Simulación
+-
+-+-+-
+q -q
E0
Dieléctricos
E’
-q’ +q’
E
'0 EEE −=
00
)'(.εε
qqqsdE enc −==∫∫
00
')'(εσσ
εσσ −
=⇒−
= ESSE
PDSi
== 'σσ PED
+= 0ε
EPEP
χε 0=⇒∝ ( ) EED
εεχ =+= 01
D: Desplazamiento P: Polarización
χ : susceptibilidad, ε : permitividad en medio
rεεεχ =Κ==+
0
)1( constante dieléctrica
EDEP
ε
χε
=
= 0
( ) ( ) EKEEEEPE χεεεεσεσ
000000
1'''' =−=−===⇒=
qqqqSSPSE =+⇒−=== )11('''0
00 χχ
σεχε
ε
)11(')1('K
qqqq −=⇒=+ χχqqK
qK=⇒∞=∞=
=⇒==')(0')0(1
χχ
Ley de Gauss en dieléctricos∫∫ −= '.0 qqSdE
ε
∫∫
−−= )11(1.0 K
qSdD
εε ∫∫ = qSdD
.
∫∫
−−= )11(1.
00 K
qSdP
χεε ∫∫ = '. qSdP
Kq
Kqq χ
=−= )11(' ∫∫ = '. qSdP
0CKC =
E
P
D D D
E0E0
+q -q
odieléctricconEDodieléctricsinED
εε
== 00
KVV
KEE
EE 00001 =⇒=⇒=
εε
KV
qVqC
0
==
La introducción de un dieléctrico en un condensador multiplica la capacidad por K
dS
dSKC εε == 0
Valores
Material K CampoRuptura
V/mAire 3 106
Pilicarbonato 2,8 3 107
Poliéster 3,3 6 107
Vidrio pirex 4,7 1 107
Al introducir dieléctrico V cte en bornes de C
Hasta ahora C aislado (q cte); que pasa si conectado a V?
C
ε
KCCC 00 =→
Cargas de polarización en dieléctrico tienden a reducir el campo pero como este está fijado por ε, la batería termi-na reforzando las cargas en C
KCCKqq 00 =⇒→
Capacitor aislado Capacitor conectado a V2
000 21 VCEP =
KVVVKCCC 0
000 =→=→
KE
KVKCVCE P
P0
2
2
00
2
21
21
===
Introduciendo un dieléctrico
000 VVKCCC ==→
0
2
002
21
21
PP EKVKCVCE ===
Introduciendo un dieléctrico
ε2ε1
E1E2
Condiciones de borde en límite entre dieléctricos
h∫ = 0. ldE
∫∫ =−⇒→ 0..0 21 ldEldEh
21 tt EE =
siempre
∫∫ == 0.0ε
qSdE si q =0 en
superficie ε2
ε1
E2
E1
h
∫∫∫∫ =−⇒→ 0..0 11 SdESdEh
21 NN EE =
Si no hay cargas libres en superficie
Ejemplos DDD nn == 21
2022
1011 K
DDEK
DDEεεεε
====
+=+=+=
2
2
1
1
0221121 K
dKdDdEdEVVV
ε
K2K1
d2d1
K1
K2
+=+=
2
2
1
1
020
2
10
1 11Kd
Kd
SSKd
SKd
C εεε
2 condensadores en serie
SKd
KdD
qV
C σε
+
== 2
2
1
1
01
EEE nn == 21 EKDEKD 202101 εε ==σ1
σ2
dEV =
2 condensadores en paralelo
≠≠∆=
Cq
V
0=→∞= Vr
Esfera cargada con q en volumen
Cáscara dieléctrica
aire Cáscara conductoraε
r2 r1r3r4
20
21 4;
rqErrrεπ
=<<
−+
−+=
23240
11111114 rrrrrqV
εεπ
4043 4
;0;4
4 rqdrEdrEVErrr
r r
r επ∫ ∫∞
=−−==<<
−+==<<
3402
032
1114
;4
;rrr
qVr
qErrrεπεπ
( )22
102132400
1 61111111
4;
3; rr
rrrrrqVrErr −+
−+
−+==<
ερ
εεπερ
∫∞
=−==>r
rqdrEV
rqErr
02
04 44 επεπ
A t=0 q en exte-rior de cáscara
Con V esfera interior se carga en sup.
Esfera conductora descargada
Cáscara dieléctrica
Cáscara conductora inicialmente con qε
En interior de cáscara aparece -q1 y en exterior q+q1
r2 r1r3
V
101110
4)(4 11
rVqrrVr
qV ri
r επεπ
=⇒<==
20
132
1211 4
)(,0)(,4
)(,0)(r
qqrrEcascEr
qrrrErrEεπεπ+
=>==<<=<
−+=⇒−=−<< ∫
1
12
121
1144
;1
11 rr
qVVr
drqVVrrr rr
r
rrr επεπ
232 rVcteVrrr ==⇒<<
−
++
−+=>
30
1
12
13
114
1141 rr
qqrr
qVVrr r επεπ
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