designmat den komplekse eksponentialfunktion og polynomier ... · faktorisering af polynomier i...
Post on 06-Jan-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
DesignMatDen komplekse eksponentialfunktion og
polynomier
Preben Alsholm
Uge 8 Forår 2010
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
DefinitionenI Den velkendte eksponentialfunktion
x → ex
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = ex
for alle x ∈ R.
I Denne funktion har den fundamentale egenskab
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.I Vi definerer nu
exp (x + iy) = exp x · (cos y + i sin y)eller anderledes skrevet
ex+iy = ex · (cos y + i sin y)gældende for alle x , y ∈ R.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
DefinitionenI Den velkendte eksponentialfunktion
x → ex
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = ex
for alle x ∈ R.I Denne funktion har den fundamentale egenskab
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.
I Vi definerer nu
exp (x + iy) = exp x · (cos y + i sin y)eller anderledes skrevet
ex+iy = ex · (cos y + i sin y)gældende for alle x , y ∈ R.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
DefinitionenI Den velkendte eksponentialfunktion
x → ex
vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså
exp (x) = ex
for alle x ∈ R.I Denne funktion har den fundamentale egenskab
exp (x + y) = exp (x) exp (y)
eller anderledes skrevet ex+y = ex ey for alle x , y ∈ R.I Vi definerer nu
exp (x + iy) = exp x · (cos y + i sin y)eller anderledes skrevet
ex+iy = ex · (cos y + i sin y)gældende for alle x , y ∈ R.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Egenskaber for expI Når x , y ∈ R har ex+iy modulus ex og argument y :∣∣ex+iy ∣∣ = ex arg
(ex+iy
)= y
I For alle z1, z2 ∈ C gælder
exp (z1 + z2) = exp z1 · exp z2 altså ez1+z2 = ez1ez2
I Bevis: Sæt z1 = x1 + iy1 og z2 = x2 + iy2, så har vi:
|ez1 · ez2 | = |ez1 | · |ez2 | =∣∣ex1+iy1 ∣∣ · ∣∣ex2+iy2 ∣∣ = ex1 · ex2
= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣
arg (ez1 · ez2) = arg (ez1) + arg (ez2)
= arg(ex1+iy1
)+ arg
(ex2+iy2
)= y1 + y2
= arg(ex1+x2+i (y1+y2)
)= arg
(ez1+z2
)Tallene ez1+z2 og ez1ez2 har altså samme modulus ogsamme argument. De er derfor ens.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Egenskaber for expI Når x , y ∈ R har ex+iy modulus ex og argument y :∣∣ex+iy ∣∣ = ex arg
(ex+iy
)= y
I For alle z1, z2 ∈ C gælder
exp (z1 + z2) = exp z1 · exp z2 altså ez1+z2 = ez1ez2
I Bevis: Sæt z1 = x1 + iy1 og z2 = x2 + iy2, så har vi:
|ez1 · ez2 | = |ez1 | · |ez2 | =∣∣ex1+iy1 ∣∣ · ∣∣ex2+iy2 ∣∣ = ex1 · ex2
= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣
arg (ez1 · ez2) = arg (ez1) + arg (ez2)
= arg(ex1+iy1
)+ arg
(ex2+iy2
)= y1 + y2
= arg(ex1+x2+i (y1+y2)
)= arg
(ez1+z2
)Tallene ez1+z2 og ez1ez2 har altså samme modulus ogsamme argument. De er derfor ens.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Egenskaber for expI Når x , y ∈ R har ex+iy modulus ex og argument y :∣∣ex+iy ∣∣ = ex arg
(ex+iy
)= y
I For alle z1, z2 ∈ C gælder
exp (z1 + z2) = exp z1 · exp z2 altså ez1+z2 = ez1ez2
I Bevis: Sæt z1 = x1 + iy1 og z2 = x2 + iy2, så har vi:
|ez1 · ez2 | = |ez1 | · |ez2 | =∣∣ex1+iy1 ∣∣ · ∣∣ex2+iy2 ∣∣ = ex1 · ex2
= ex1+x2 =∣∣∣ex1+x2+i (y1+y2)∣∣∣ = ∣∣ez1+z2 ∣∣
arg (ez1 · ez2) = arg (ez1) + arg (ez2)
= arg(ex1+iy1
)+ arg
(ex2+iy2
)= y1 + y2
= arg(ex1+x2+i (y1+y2)
)= arg
(ez1+z2
)Tallene ez1+z2 og ez1ez2 har altså samme modulus ogsamme argument. De er derfor ens.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polær formI Den polære form for tallet a med modulus r ogargument v blev sidste gang skrevet
a = rv = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
I Eksempel. Vi finder den polære form for tallet
−√3− i . Modulus er
√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et
argument er − 5π6 . Tegn! Så
−√3− i = 2 exp
(−i 5π
6
)= 2e−i
5π6
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polær formI Den polære form for tallet a med modulus r ogargument v blev sidste gang skrevet
a = rv = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
I Eksempel. Vi finder den polære form for tallet
−√3− i . Modulus er
√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et
argument er − 5π6 . Tegn! Så
−√3− i = 2 exp
(−i 5π
6
)= 2e−i
5π6
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polær formI Den polære form for tallet a med modulus r ogargument v blev sidste gang skrevet
a = rv = r (cos v + i sin v)
Den vil i fremtiden blive skrevet således:
a = r exp (iv) = re iv
I Eksempel. Vi finder den polære form for tallet
−√3− i . Modulus er
√(−√3)2+ (−1)2 = 2 og et
argument er − 5π6 . Tegn! Så
−√3− i = 2 exp
(−i 5π
6
)= 2e−i
5π6
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
I Bevis:(cos x + i sin x)n =
(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3
)= Re
(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x
(1− cos2 x
)= 4 cos3 x − 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3
(1− sin2 x
)sin x − sin3 x
= −4 sin3 x + 3 sin xI Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
I Bevis:(cos x + i sin x)n =
(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3
)= Re
(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x
(1− cos2 x
)= 4 cos3 x − 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3
(1− sin2 x
)sin x − sin3 x
= −4 sin3 x + 3 sin xI Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
I Bevis:(cos x + i sin x)n =
(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3
)= Re
(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x
(1− cos2 x
)= 4 cos3 x − 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3
(1− sin2 x
)sin x − sin3 x
= −4 sin3 x + 3 sin xI Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
I Bevis:(cos x + i sin x)n =
(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3
)= Re
(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x
(1− cos2 x
)= 4 cos3 x − 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3
(1− sin2 x
)sin x − sin3 x
= −4 sin3 x + 3 sin x
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Moivres formelI For n ∈N og x ∈ R gælder
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
I Bevis:(cos x + i sin x)n =
(e ix)n= e inx = cos nx + i sin nx
I Eksempel.
cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re((cos x + i sin x)3
)= Re
(cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x
)= cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x
(1− cos2 x
)= 4 cos3 x − 3 cos x
I Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen
sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x= 3
(1− sin2 x
)sin x − sin3 x
= −4 sin3 x + 3 sin xI Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da
ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez
I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .
I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer
ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π
hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.
I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da
|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):
ln a = ln(√
3− i)= ln 2− i π
6+ p2πi
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da
ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez
I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .
I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer
ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π
hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.
I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da
|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):
ln a = ln(√
3− i)= ln 2− i π
6+ p2πi
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da
ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez
I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .
I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer
ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π
hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.
I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da
|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):
ln a = ln(√
3− i)= ln 2− i π
6+ p2πi
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da
ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez
I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .
I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer
ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π
hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.
I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da
|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):
ln a = ln(√
3− i)= ln 2− i π
6+ p2πi
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den komplekse logaritmefunktionI exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da
ez+ip2π = ez · e ip2π = ez (cos (p2π) + i sin (p2π)) = ez
I Hvis z ,w ∈ C opfylder expw = z , så kaldes w enlogaritme til z . Vi skriver w = ln z .
I Lad z ∈ C med z 6= 0. Så har z følgende logaritmer
ln z = ln (|z |)+ i (arg z + p2π) = ln (|z |)+ i arg z+ ip2π
hvor p ∈ Z, og arg z er et argument for z , og hvorln (|z |) er den reelle velkendte logaritme af det positivetal |z |.
I Vi finder samtlige logaritmer til tallet a =√3− i . Da
|a| = 2 og arg a = −π6 fås (med p ∈ Z):
ln a = ln(√
3− i)= ln 2− i π
6+ p2πi
I Maple.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen
zn = a (1)
I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved
z = n√re i(
vn+p
2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1
I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(
ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.
I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip
2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen
zn = a (1)
I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.
I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved
z = n√re i(
vn+p
2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1
I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(
ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.
I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip
2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen
zn = a (1)
I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved
z = n√re i(
vn+p
2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1
I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(
ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.
I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip
2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen
zn = a (1)
I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved
z = n√re i(
vn+p
2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1
I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(
ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.
I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip
2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Den binome ligning II Lad n ∈N og a ∈ C. En binom ligning har formen
zn = a (1)
I Løsningerne til (1) kaldes komplekse n’te rødder af a.I Rødderne i (1), hvor a = re iv , r ≥ 0, v ∈ R, er givetved
z = n√re i(
vn+p
2πn ), p = 0, 1, 2, . . . , n− 1
I Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ ≥ 0 og θ ∈ R. Vedindsættelse i (1) fås(
ρe iθ)n= re iv og hermed ρne inθ = re iv
De to sider af denne ligning er polære former af sammetal, så ρn = r og nθ = v + p2π, hvor p ∈ Z. Heraffølger formlen.
I Korollar. Er z0 en rod i ligningen zn = a, så er samtligerødder givet ved z = z0e ip
2πn , p = 0, 1, 2, . . . , n− 1.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning II Vi løser
az2 + bz + c = 0
hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.
I Vi har:
az2 + bz + c = a
((z +
b2a
)2− b
2 − 4ac4a2
)I Andengradsligningen kan altså omskrives til(
z +b2a
)2=b2 − 4ac4a2
I Sæt w = z + b2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning II Vi løser
az2 + bz + c = 0
hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.I Vi har:
az2 + bz + c = a
((z +
b2a
)2− b
2 − 4ac4a2
)
I Andengradsligningen kan altså omskrives til(z +
b2a
)2=b2 − 4ac4a2
I Sæt w = z + b2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning II Vi løser
az2 + bz + c = 0
hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.I Vi har:
az2 + bz + c = a
((z +
b2a
)2− b
2 − 4ac4a2
)I Andengradsligningen kan altså omskrives til(
z +b2a
)2=b2 − 4ac4a2
I Sæt w = z + b2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning II Vi løser
az2 + bz + c = 0
hvor a, b, c ∈ C, og a 6= 0.I Vi har:
az2 + bz + c = a
((z +
b2a
)2− b
2 − 4ac4a2
)I Andengradsligningen kan altså omskrives til(
z +b2a
)2=b2 − 4ac4a2
I Sæt w = z + b2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning III Sæt w = z + b
2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
I Denne har 2 (komplekse) rødder, som vi skriver som
±√b2 − 4ac4a2
I Så rødderne i andengradsligningen az2 + bz + c = 0 er
z = − b2a±√b2 − 4ac4a2
=−b±
√b2 − 4ac2a
I Eksempel. Løs ligningen z2 + z + 1 = 0. Vi finder
z =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2=−1± i
√3
2=
{−12 + i
√32
−12 − i
√32
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning III Sæt w = z + b
2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
I Denne har 2 (komplekse) rødder, som vi skriver som
±√b2 − 4ac4a2
I Så rødderne i andengradsligningen az2 + bz + c = 0 er
z = − b2a±√b2 − 4ac4a2
=−b±
√b2 − 4ac2a
I Eksempel. Løs ligningen z2 + z + 1 = 0. Vi finder
z =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2=−1± i
√3
2=
{−12 + i
√32
−12 − i
√32
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning III Sæt w = z + b
2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
I Denne har 2 (komplekse) rødder, som vi skriver som
±√b2 − 4ac4a2
I Så rødderne i andengradsligningen az2 + bz + c = 0 er
z = − b2a±√b2 − 4ac4a2
=−b±
√b2 − 4ac2a
I Eksempel. Løs ligningen z2 + z + 1 = 0. Vi finder
z =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2=−1± i
√3
2=
{−12 + i
√32
−12 − i
√32
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning III Sæt w = z + b
2a , så har vi den binome ligning
w2 =b2 − 4ac4a2
I Denne har 2 (komplekse) rødder, som vi skriver som
±√b2 − 4ac4a2
I Så rødderne i andengradsligningen az2 + bz + c = 0 er
z = − b2a±√b2 − 4ac4a2
=−b±
√b2 − 4ac2a
I Eksempel. Løs ligningen z2 + z + 1 = 0. Vi finder
z =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2=−1± i
√3
2=
{−12 + i
√32
−12 − i
√32
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning IIII Eksempel. Løs ligningen z2 − 2z + (1+ i) = 0. Vifinder
z =2±
√4− 4 (1+ i)2
=2±√−4i2
I Vi skal så løse den binome ligningw2 = −4i = 4 exp
(−i π
2
). Vi finder
w = ±2 exp(−i π4
)= ±2
(√22−√22i
)= ±
(√2− i√2)
I Løsningerne til andengradsligningen er dermed
z =2±
(√2− i√2)
2= 1± 1√
2(1− i) =
{1+ 1√
2− i√
21− 1√
2+ i√
2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning IIII Eksempel. Løs ligningen z2 − 2z + (1+ i) = 0. Vifinder
z =2±
√4− 4 (1+ i)2
=2±√−4i2
I Vi skal så løse den binome ligningw2 = −4i = 4 exp
(−i π
2
). Vi finder
w = ±2 exp(−i π4
)= ±2
(√22−√22i
)= ±
(√2− i√2)
I Løsningerne til andengradsligningen er dermed
z =2±
(√2− i√2)
2= 1± 1√
2(1− i) =
{1+ 1√
2− i√
21− 1√
2+ i√
2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Andengradsligning IIII Eksempel. Løs ligningen z2 − 2z + (1+ i) = 0. Vifinder
z =2±
√4− 4 (1+ i)2
=2±√−4i2
I Vi skal så løse den binome ligningw2 = −4i = 4 exp
(−i π
2
). Vi finder
w = ±2 exp(−i π4
)= ±2
(√22−√22i
)= ±
(√2− i√2)
I Løsningerne til andengradsligningen er dermed
z =2±
(√2− i√2)
2= 1± 1√
2(1− i) =
{1+ 1√
2− i√
21− 1√
2+ i√
2
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polynomier generelt
I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen
anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0
I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.
I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.
I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.
I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polynomier generelt
I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen
anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0
I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.
I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.
I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.
I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polynomier generelt
I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen
anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0
I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.
I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.
I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.
I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polynomier generelt
I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen
anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0
I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.
I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.
I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.
I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Polynomier generelt
I Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen
anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0
I Algebraens Fundamentalsætning. Ethvertpolynomium af grad ≥ 1 har mindst én rod indenfor dekomplekse tal.
I Generelle løsningsformler findes for n ≤ 4, men det kanbevises, at der ikke kan konstrueres generelleløsningsformler for n ≥ 5.
I Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad menmed kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbartgiver den polære form for løsningerne.
I Se Maple om 3. og 4. gradsligninger.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier I
I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).
I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.
I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:
p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier I
I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).
I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.
I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.
I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:
p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier I
I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).
I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.
I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:
p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier I
I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).
I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.
I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:
p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier I
I En rod z1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvisp (z) = (z − z1)k q (z), hvor q (z) er et polynomium,og hvor z1 ikke er rod i q (z).
I Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel.I Eksempel.5z4 − 50z3 + 120z2 + 160z − 640 = 5 (z − 4)3 (z + 2).Så 4 er rod af multiplicitet 3, og −2 er rod afmultiplicitet 1. −2 er altså en simpel rod.
I Polynomiet p (z) = anzn + an−1zn−1 + . . .+ a1z + a0,hvor n ≥ 1 (og an 6= 0) kan skrives som et produkt afan og n førstegradsfaktorer:
p (z) = an (z − z1) (z − z2) . . . (z − zn)
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har altså n rødder,hvis disse regnes med multiplicitet.
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.
I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))
I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)
I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Faktorisering af polynomier III Hvis et polynomium har reelle koeffi cienter og z1 ∈ C errod, så er også z1 rod.
I Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 og med reellekoeffi cienter kan skrives som et produkt af reelle første-og andengradsfaktorer.
I Eksempel. Hvis 2+ 3i er rod, så er 2− 3i også.I Så begge faktorerne (z − (2+ 3i)) og (z − (2− 3i))forekommer i en faktorisering af polynomiet.
I Vi betragter produktet af disse to faktorer:
(z − (2+ 3i)) (z − (2− 3i))I Sætter andre parenteser:
= ((z − 2)− 3i) ((z − 2) + 3i)I (a− b) (a+ b) = a2 − b2 bruges:
= (z − 2)2 + 32 = z2 − 4z + 13
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler I
I Ifølge definitionen af den komplekseeksponentialfunktion har vi
e iv = cos v + i sin v
e−iv = cos v − i sin v
I Ved addition af disse formler og efter division med 2 fås
cos v =12
(e iv + e−iv
)I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i
sin v =12i
(e iv − e−iv
)
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler I
I Ifølge definitionen af den komplekseeksponentialfunktion har vi
e iv = cos v + i sin v
e−iv = cos v − i sin v
I Ved addition af disse formler og efter division med 2 fås
cos v =12
(e iv + e−iv
)
I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i
sin v =12i
(e iv − e−iv
)
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler I
I Ifølge definitionen af den komplekseeksponentialfunktion har vi
e iv = cos v + i sin v
e−iv = cos v − i sin v
I Ved addition af disse formler og efter division med 2 fås
cos v =12
(e iv + e−iv
)I Tilsvarende fås ved subtraktion og division med 2i
sin v =12i
(e iv − e−iv
)
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)
I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4
I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)
I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III Vi ønsker sin4 x udtrykt vedsin x , sin 2x , . . . , cos x , cos 2x , . . ..
I Vi udnytter den ene af Eulers formler
sin x =12i
(e ix − e−ix
)I og vi finder dermed
sin4 x =(12i
(e ix − e−ix
))4=
1
(2i)4(e ix − e−ix
)4I Binomialformlen(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 benyttes:
=116
(e4ix − 4e2ix + 6− 4e−2ix + e−4ix
)I
=116
(e4ix + e−4ix − 4
(e2ix + e−2ix
)+ 6)
I
=18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III
I Såsin4 x =
18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
I Ved hjælp af denne formel beregnes integralet∫ π
0sin4 xdx
I som følger∫ π
0sin4 xdx =
∫ π
0
(18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
)dx
=
[132sin 4x − 1
4sin 2x +
38x]π
0=3π
8
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III
I Såsin4 x =
18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
I Ved hjælp af denne formel beregnes integralet∫ π
0sin4 xdx
I som følger∫ π
0sin4 xdx =
∫ π
0
(18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
)dx
=
[132sin 4x − 1
4sin 2x +
38x]π
0=3π
8
Eksponentialfunktion,Polynomier
Preben Alsholm
Den komplekse ek-sponentialfunktionDefinitionenEgenskaber for expPolær formMoivres formelDen komplekselogaritmefunktionDen binome ligning
Rødder ipolynomierAndengradsligningen IAndengradsligningenIIAndengradsligningenIIIPolynomier genereltFaktorisering afpolynomier IFaktorisering afpolynomier II
Eulers formlerEulers formler IIEulers formler III
Eulers formler III
I Såsin4 x =
18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
I Ved hjælp af denne formel beregnes integralet∫ π
0sin4 xdx
I som følger∫ π
0sin4 xdx =
∫ π
0
(18cos 4x − 1
2cos 2x +
38
)dx
=
[132sin 4x − 1
4sin 2x +
38x]π
0=3π
8
top related