determinan - official site of dina...
Post on 01-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Determinan
Determinan
Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran
(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut determinan matriks tersebut dan ditulis
dengan det(A) atau |A|.
Untuk menghitung determinan ordo n terlebih
dahulu diberikan cara menghitung determinan
ordo 2
Menghitung determinan
3 1
4 2
1 2
2 4
2 1 3
3 1 2
Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10
Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0
Det(C) = tidak didefinisikan
A =
B =
C =
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
Aturan Sarrus A1 = Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
A2 = Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+ -
+ + + - - -
Aturan Sarrus (lanjt)
M = K =
Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?
3 1
4 2
3 2 2
1 2 3
4 4 5
3 2
1 2
4 4
- - - + + +
Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10
Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0
Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu
definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR
Definisi determinan matriks dengan kofaktor
n
ij ij
i=1
a Cn
ij ij
j=1
a C
Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah :
A=
Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.
Cij=(-1)i+jMij
Det(A) = =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
an1 an2……anj……. ann
Contoh: Minor dan kofaktor
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A = M13 = det
Cij = (-1)i+jMij
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
A = M13 = det
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:
3 0 0
1 2 0
4 4 5
M11=
C22=
M13=
C23=
C32=
M12=
C31=
C21= + - +
- + -
+ - +
C33=
Det 2 0 4 5
= 10
Det 1 0 4 5
= 5
Det 1 2 4 4
= -4
0
15
-12
0
0
6
?
?
?
?
?
?
C11= (-1)1+1 10 = 10
C12= (-1)1+2 5 = -5
C13= (-1)1+3 -4 = -4
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
A =
(1 1) (1 2) 1 3
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )a a a a a a a a a a a a a a a Det(A) =
Det(A) =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
Det(A) =
C11 C12 C13
Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
A =
Det(A) =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 11 12 12 13 13a C a C a C
=
=
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
11 11 21 21 31 31a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
21 21 22 22 23 23a C a C a C
=
=
=
ekspansi baris pertama
ekspansi baris kedua
ekspansi baris ketiga
ekspansi kolom pertama
?
?
Contoh: 3 0 0
1 2 0
4 4 5
C11= 10
C22= 15
C13= -4 C23= -12
C32= 0 C12= -5
C31= 0
C33= 6
C21= 0
Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:
Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30
Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:
Det(A) = 5x6 = 30
ada 9 (= 3x3) kofaktor
Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
11 11 12 12 13 13 14 14a C +a C +a C +a C
1
n
ij ij
j
a C
31 31 32 32 33 33 34 34a C +a C +a C +a C
11 12 13
21 22 23
41 42 43
a a a
a a a
a a a
A= M34= det C34=(-1)3+4M34
Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4
Det(A) = ekspansi baris pertama
ekspansi ……… =
Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
8 baris ke tiga
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
matriks 4x4 berikut:
Ekspansi baris 1:
11418.130.170.156.1)( ADet
4113
3124
2311
1111
A
1414131312121111 ....)( CaCaCaCaADet
413
312
231
11
C
2100
770
231
210
77 56)7014(
413
314
231
12
C
1080
5110
231
108
511
70)40110(
433
324
211
13
C
1060
560
211
106
56
303060
133
124
311
14
C
860
1160
311
86
116
18)6648(
SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1
det(At) = det(A) Contoh :
det(A) = 7 det(At) = 7
Sifat 2
Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka
det(B) = - det(A)
34
25A
32
45tA
Contoh
Diberikan matriks
maka det(A) = 6.
Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.
213
312
321
A
213
321
312
B
Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka
det(B) = k.det(A)
Contoh:
Diberikan matriks dgn det(A) = 6
Jika det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12
011
312
321
A
011
624
321
B
Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka
det(B) = det(A)
Contoh :
Diberikan matriks , det(A) = 12.
Jika , maka det(B) = det(A) = 12
011
624
321
A
310
624
321
B
Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.
Contoh
Matriks determinannya = nol.
Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.
111
320
111
A
Sifat 7
Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka
det(A) = a11.a22. … .ann
Contoh :
Diberikan matriks maka
det(A) = 1.(-2).2 = -4
200
120
321
A
Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka
det(A-1) = )det(
1
A
Determinan matriks sederhana
a11 a12…a1j …a1n
0 a22 …a2j…a2n
: : : :
0 0 …aij….ain
: : :
0 0… 0 .... ann
a11 0 …0 … 0
0 a22 …0 … 0
: : :
0 0 …aij… 0
: : :
0 0… 0 .... ann
Matriks diagonal
Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.
A= Det(A) = a11a22a33…ann
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir
(yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.
Det(B) = a11a22a33…ann
B=
Matriks segitiga
Determinan matriks dengan baris/kolom nol
Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?
Matriks dengan baris / kolom nol
A= Det(A) = 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.
Det(B) =0 B=
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
0 0…… 0……. 0
a11 0…….a1j ……a1n
a21 0……a2j…….a2n
: : : :
ai1 0……aij…….. ain
: : : :
an1 0……anj……. ann
Contoh :
Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:
12 27 56 11
13 1 23 90
11 35 11 41
0 0 0 0
B
14 98 0 42
15 11 0 54
70 42 0 31
82 74 0 66
K
41 10 14
41 10 14
0 9 1
M
19 0 0
0 0 0
0 0 18
D
Det(D) =0
Det(B) =0
Det(K) =0
Det(M) =0
Determinan dan operasi baris elementer
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
1 3A'
2 4
3 3 6
B' 2 0 1
1 4 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R1 R2
Det(A’) = 2
Det(B’) = -45
R1 R3
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
det(X’) = -det(X) X X’ dengan tukar baris
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1 3A'
20 40
1 4 2
B' 2 0 1
1 1 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
R3 1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks
semula.
det(X’) = kdet(X) X X’ dengan mengalikan baris dengan k
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan
1 3A'
4 10
1 4 2
B' 3 1 3
3 3 6
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 R2 + 2R1
Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B)
R2 R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali
elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
det(X’) = det(X) X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan
Kesimpulan:
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks
semula.
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil
kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE)
Det(I) = 1
A mempunyai inverse
A I
Det(A) r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
1 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)
Bentuk ebt A
A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer
Det(A’) = 0
A TIDAK mempunyai inverse
A
Det(A) r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
0 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = 0
0 0 … 0
A TIDAK mempunyai inverse
Bentuk ebt A Mempunyai baris
nol
Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer
B2 =
R2 ¼ * R2
R1 R2
B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan 2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼
Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ )
= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
0 4 0
0 0 1
1 0 0
R2 R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
0 4 0
1 0 0
0 0 1
I
Aplikasi determinan: Aturan Cramer
Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan
Linier
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2 :
an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = bn
x = b =
matriks koefisien
SPL
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
:
an1 an2 an3 … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
Ax = b
Aturan Cramer
x = b =
a11 a12 … a1j … a1n
a21 a22 … a2j … a2n
:
an1 an2 … anj … ann
x1
x2
:
xn
b1
b2
:
bn
A =
b1 a12 … a1j … a1n
b2 a22 … a2j … a2n
:
bn an2 … anj … ann
A1 =
a11 a12 … b1 … a1n
a21 a22 … b2 … a2n
:
an1 an2 … bn … ann
Det(Aj) =
Penyelesaian SPL:
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
Contoh:
SPL
SPL dalam persamaan matriks 1 1 2 2 -1 -1 1 -1 2
x
y
z
1
1
-3
=
A1= A2= 1 1 2 1 -1 -1
-3 -1 2
1 1 2 2 1 -1 1 -3 2
A3=
1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3
A
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1
y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2
z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
Det(A1) = -10 Det(A2) = -20 Det(A3) = 10
Det(A) = 10
32
12
12
zyx
zyx
zyx
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.
xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n
SPL: Ax = b
Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini
top related