dimensi metrik graf pohon bentuk tertentu - digilib.its.ac.id filependahuluandasar teori metodologi...
Post on 20-Jun-2019
296 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu
Angga Budi Permana1207100008
Dosen Pembimbing :Dr. Darmaji, S.Si, M.T.
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Ujian Tugas Akhir - Ruang Sidang, 18 Juli 2012
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Latar Belakang
Latar Belakang
Latar Belakang1 Graf dinotasikan G(V ,E) dengan V himpunan simpul dan
E himpunan sisi yang menghubungkan tiap simpul.2 Dimensi Metrik diperkenalkan oleh Harray dan Melter
1976.3 Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Johanes pada tahun
2009 tentang dimensi metrik dari pengembangan grafkincir dengan pola K1 + mKn.
4 Pada Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa dimensimetrik pada subkelas pohon tertentu.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Rumusan Masalah
Rumusan
RumusanBagaimana bentuk umum dimensi metrik graf subkelas pohon.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Batasan Masalah
Batasan Masalah
Batasan Masalah1 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf ulat teratur
Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2.2 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf kembang api
teratur Fm,n dengan m = 1,n ≥ 2 dan m,n ≥ 23 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf pohon pisang
teratur Bm,n dengan m = 1,n ≥ 3 dan m ≥ 2,n ≥ 3
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Tujuan dan Manfaat
Tujuan
TujuanTujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mencari dimensimetrik graf pada Subkelas pohon.
ManfaatManfaat dari penelitian ini adalah diharapkan dapatmemberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graf,khususnya dimensi metrik pada Subkelas pohon.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Tinjauan Pustaka
Graf BintangGraf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yangterhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul cadalah n, sedangkan derajat simpul anting adalah 1. Grafbintang dinotasikan dengan K1,n [9].
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Ulat (Caterpillar Graph)
DefinisiGraf ulat didapatkan dengan menghubungkan simpul pusat cdari graf bintang secara berurutan. Lintasan yangmenghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintangtersebut disebut simpul backbone dari graf ulat. Jika banyaknyasimpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf ulatteratur. Dinotasikan dengan Cm,n dengan m adalah jumlahsimpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting [9].
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Kembang Api (Firecracker Graph)
DefinisiGraf kembang api dapat diperoleh dengan menambahkansebuah sisi dan sebuah simpul pada setiap simpul backboneyang akan menghubungkan antara simpul backbone dengansimpul daun dari sebuah graf ulat. Dinotasikan dengan Fm,ndengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlahanting. [9].
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Pohon Pisang (Banana Tree)
DefinisiGraf pohon pisang Bm,n adalah sebuah graf yang diperolehdengan menghubungkan satu simpul daun dai setiap m buahsalinan graf bintang K1,n ke sebuah simpul baru yang disebutsimpul akar r [8].
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Jarak (Distance)
DefinisiJarak (distance) antara simpul u dan v pada graf G,dinotasikan dengan d(u, v) adalah panjang lintasan terpendekantara u dan v pada graf G. Jika tidak ada lintasan antara udan v maka d(u, v) =∞ [2].
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
DefinisiDimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunanpembeda (resolving set) pada G. Untuk simpul u dan v dalamgraf terhubung G, jarak d(u, v) adalah panjang dari lintasanterpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurutW = (w1,w2, ...,wk ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung Gdan simpul r pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple),r(v |W ) = (d(v ,w1),d(v ,w2), .....,d(v ,wk )) menunjukkanrepresentasi dari v pada W . Himpunan W dinamakanhimpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul Gmempunyai representasi berbeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik(Cont.)
DefinisiHimpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebuthimpunan pembeda minimum, dan kardinalitas tersebutmenyatakan dimensi metrik dari G dan dinotasikan dengandim(G). Himpunan pembeda pada suatu graf tidaklah tunggal.Suatu graf dapat memiliki beberapa himpunan pembeda yangukuran dan anggota himpunannya berbeda. Setiap grafterhubung sederhana pasti memiliki suatu himpunan pembeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Metrik
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Observasi
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Observasi Dugaan Awal
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Observasi Dugaan Awal Konstruksi
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas Bawah
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Dimensi Metrik
Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas BawahEvaluasi
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Konstruksi
Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dann ≥ 2Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Cm,n denganmenggunakan Lemma 4.2, untuk lebih jelasnya dapat dilihatpada gambar berikut:
Lemma 4.2Untuk setiap graf ulat teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2,sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiap simpul backboneke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Ulat Teratur Cm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpul anggota himpunan pembeda Cm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Representasi terhadap W
r(a1n|W ) = (2,2,2, ...,3,3,3, ...,4,4,4, ..., ..., ..., ...),r(a2n|W ) = (3,3,3, ...,2,2,2, ...,3,3,3, ..., ..., ..., ...),r(a3n|W ) = (4,4,4, ...,3,3,3, ...,2,2,2, ..., ..., ..., ...),
...r(amn|W ) = (..., ..., ..., ...., ..., ..., ..., 3,3,3, ...,2,2,2),r(c1|W ) = (1, 1,1, ...,2,2,2, ...,3,3,3, ..., ..., ..., ...),r(c2|W ) = (2, 2,2, ...,1,1,1, ...,2,2,2, ..., ..., ..., ...),r(c3|W ) = (3, 3,3, ...,2,2,2, ...,1,1,1, ..., ..., ..., ...),
...r(cm|W ) = (...., ...., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...,1,1,1).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n
Teorema 4.1Jika Cm,n graf ulat teratur dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 makadim(Cm,n) = m(n − 1).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
BuktiMisalkan graf ulat teratur Cm,n dengan simpul backbonesebanyak m dengan anggota himpunan c1, c2, c3, ..., cm dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n,a21,a22, ...,a2n, ...,amn, dengan menggunakanLemma 4.2 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1,a21,a22, ...,a2n−1, ...,amn−1} yang pastimemiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.2dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiapsimpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul antingsebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambilsebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknyaanggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1),dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunya
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bukti(Cont..)pada konstruksi Subbab 4.1 dengan m(n − 1) sebagai aggotahimpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadaphimpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbedasehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atassama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulatteratur adalah dim(Cm,n) = m(n − 1). �
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Konstruksi
Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n denganm = 1 dan n ≥ 2Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur F1,n denganmenggunakan Lemma 4.3.
Lemma 4.3Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n dengan m = 1 dann ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting n simpul merupakanhimpunan pembeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Kembang Api Teratur Fm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Representasi terhadap W
r(c1|W ) = (1, 1,1, ...),r(x1|W ) = (2, 2,2, ...),
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,ndengan m = 1 dan n ≥ 2
Teorema 4.2Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m = 1 dan n ≥ 2maka dim(Fm,n) = n.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
BuktiMisalkan graf kembang api teratur Fm,n dengan simpulbackbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan x1 dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n dengan menggunakan Lemma 4.3 diperolehanggota himpunan pembeda W = {a11,a12, ...,a1n} yang pastimemiliki representasi berbeda terhadap W , pada Lemma 4.3dijelaskan bahwa sedikitnya n simpul anting merupakananggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawahadalah n, selanjunya pada konstruksi Subbab 4.2 dengan nsebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiapsimpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasiyang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah n, olehkarena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensimetrik graf ulat teratur adalah dim(F1,n) = n dengan m = 1 dann ≥ 2. �
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Konstruksi
Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n
Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Fm,n denganmenggunakan Lemma 4.4.
Lemma 4.4Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n untuk m ≥ 2 dann ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting (n − 1) simpulbackbone ke-m merupakan himpunan pembeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Kembang Api Teratur Fm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Representasi terhadap W
r(a1n|W ) = (2,2,2,2, ...,5,5,5,5, ...,6,6,6,6, ...),r(a2n|W ) = (5,5,5,5, ...,2,2,2,2, ...,5,5,5,5, ...),
...r(amn|W ) = (..., ...,6,6,6,6,5,5,5,5,2,2,2,2, ...),r(c1|W ) = (1,1,1,1, ...,4,4,4,4, ...,5,5,5,5, ...),r(c2|W ) = (4,4,4,4, ...,1,1,1,1, ...,4,4,4,4, ...),
...r(cm|W ) = (....,5,5,5,5, ...,4,4,4,4, ....,1,1,1,1),r(x1|W ) = (2, 2,2,2, ....,3,3,3,3, ...,4,4,4,4, ....),r(x2|W ) = (3, 3,3,3, ....,2,2,2,2, ...,3,3,3,3, ....),
...r(xm|W ) = (....,4,4,4,4, ....,3,3,3,3, ...,2,2,2,2).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n
Teorema 4.3Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m,n ≥ 2 makadim(Fm,n) = m(n − 1).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
BuktiMisalkan graf ulat teratur Fm,n dengan simpul backbonesebanyak m dengan anggota himpunan x1, x2, x3, ..., xm dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n,a21,a22, ...,a2n, ...,amn, dengan menggunakanLemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1,a21,a22, ...,a2n−1, ...,amn−1} yang pastimemiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.4dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiapsimpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul antingsebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambilsebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknyaanggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1),
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bukti (Cont..)dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunyapada konstruksi Subbab 4.3 dengan m(n − 1) sebagai aggotahimpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadaphimpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbedasehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atassama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf kembangapi teratur adalah dim(Fm,n) = m(n − 1). �
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Konstruksi
Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n denganm = 1 dan n ≥ 3Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,nm = 1 dan n ≥ 3 dengan menggunakan Lemma 4.5.
Lemma 4.5Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m = 1 dann ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 1) simpul anting merupakanhimpunan pembeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Representasi terhadap W
r(c1|W ) = (1, 1,1,1, ...,1),r(x1|W ) = (2, 2,2,2, ...,2),r(r |W ) = (3,3,3,3, ...,3),
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,nm = 1 dan n ≥ 3
Teorema 4.4Jika B1,n graf pohon pisang teratur dengan m = 1 dan n ≥ 3maka dim(Bm,n) = (n − 1)
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur teratur B1,n dengan simpulbackbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan simpulbackbone x1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunan {a11,a12, ...,a1n−1, x1} dengan menggunakanLemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1} yang pasti memiliki representasiberbeda terhadap W , pada Lemma 4.5 dijelaskan bahwasedikitnya (n − 1) simpul anting merupakan anggota himpunanpembeda, dengan demikian batas bawah adalah (n − 1),selanjunya pada konstruksi Subbab 4.4 dengan (n− 1) sebagaiaggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpulterhadap himpunan pembeda W memiliki representasi yangberbeda sehingga diperoleh batas atas adalah (n − 1), olehkarena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensimetrik graf pohon pisang teratur adalah dim(B1,n) = (n − 1)dengan m = 1 dan n ≥ 3 �.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Konstruksi
Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n
Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,ndengan menggunakan Lemma 4.6.
Lemma 4.6Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m ≥ 2 dann ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 2) simpul anting merupakanhimpunan pembeda.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Representasi terhadap W
r(a1n−1|W ) = (2, 2,2, ...,6,6,6, ...,6,6,6, ...,6,6,6),r(a2n−1|W ) = (6, 6,6, ...,2,2,2, ...,6,6,6, ...,6,6,6),
...r(amn−1|W ) = (6,6,6, ...,6,6,6, ...,6,6,6, ...,2,2,2),
r(c1|W ) = (1, 1,1, ...,5,5,5, ...,5,5,5, ...,5,5,5),r(c2|W ) = (5, 5,5, ...,2,2,2, ...,5,5,5, ...,5,5,5),
...r(cm|W ) = (5,5,5, ...,5,5,5, ...,5,5,5, ...,2,2,2),r(x1|W ) = (2, 2,2, ...,4,4,4, ...,4,4,4, ...,4,4,4),r(x2|W ) = (4, 4,4, ...,2,2,2, ...,4,4,4, ...,4,4,4),
...r(xm|W ) = (4,4,4, ...,4,4,4, ...,4,4,4, ...,2,2,2).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n
Teorema 4.5Jika Bm,n graf pohon pisang teratur dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3maka dim(Bm,n) = m(n − 2)
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bukti
BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpulbackbone sebanyak m dengan anggota himpunanx1, x2, x3, ..., xm, dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunana11,a12, ...,a1n−1, x1,a21,a22, ...,a2n−1, x2, ...,amn−1, xm. PadaLemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n− 2) untuksetiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalahm(n− 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohos pisangteratur Bmn adalah m(n − 2). Pada Subbab 4.5 telah dilakukankontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakanLemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−2,a21,a22, ...,a2n−2, ...,amn−2} �.
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bukti
BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpulbackbone sebanyak m dengan anggota himpunanx1, x2, x3, ..., xm, dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunana11,a12, ...,a1n−1, x1,a21,a22, ...,a2n−1, x2, ...,amn−1, xm. PadaLemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n − 2)untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggotahimpunan pembeda artinya banyak anggota himpunanpembeda adalah m(n − 2), dengan demikian batas bawah darigraf pohon pisang teratur Bm,n adalah m(n − 2).
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Bukti (Cont..)
Bukti (Cont..)Pada Subbab 4.3.11 telah dilakukan kontruksi untuk mencaribatas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperolehanggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−2,a21,a22, ...,a2n−2, ...,amn−2} dimanasetiap simpul yang bukan anggota himpunan pembeda memilikirepresentasi yang berbeda terhadap himpunan pembeda W .Dengan demikian batas atas yang diperoleh untuk graf pohonpisang Bm,n adalah m(n − 2), Oleh karena batas atas danbatas bawah pada graf pohon pisang Bm,n adalah m(n − 2)maka dimensi metrik dari graf pohon pisang teraturdim(Bm,n) = m(n − 2). �
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpulan
Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan
Simpulan
Simpulan1 Dimensi metrik graf ulat teratur Cm,n adalah m(n − 1)
dengan m ≥ 1 dan n ≥ 22 Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah n
dengan m = 1 dan n ≥ 23 Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah
m(n − 1) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 24 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah
(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 35 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah
m(n − 2) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3
top related