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Dinamica del puntoLavoro, Energia, Momenti
Dott.ssa Elisabetta Bissaldi
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 2
• Fino ad ora si è studiato il moto dei corpi (puntiformi) attraverso le leggi di
Newton e quindi delle forze
Equazioni del moto: spostamento e velocità in funzione del TEMPO.
MA: Approccio che può diventare complicato, poiché in molti casi si verifica
che la forza agente è anch’essa variabile nel tempo
Approccio alternativo: metodo più semplice e più potente introducendo i concetti di
ENERGIA e LAVORO
In pratica si determina la dipendenza dallo SPAZIO invece che dal tempo
• ENERGIA: Quantità di massima importanza in fisica
Energia cinetica velocità
Energia potenziale posizione
Energia termica temperatura
Energia e Lavoro
Energia = Capacità di compiere un lavoro
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• Concetti introduttivi
L’energia di un corpo può variare solo se avviene un
TRASFERIMENTO DI ENERGIA dall’ambiente circostante al
corpo stesso
o Un trasferimento può avvenire per esempio tramite
• Forze (scambio di LAVORO MECCANICO)
• Calore (scambio di ENERGIA TERMICA)
In un SISTEMA ISOLATO, in cui NON AVVENGONO scambi
con l’ambiente esterno, l’energia SI CONSERVA, ovvero
RIMANE INVARIATA
Energia e Lavoro
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LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE
• Il lavoro 𝑾 svolto da una forza 𝑭 costante su di un corpo che compie uno
spostamento 𝚫𝒔 con la stessa direzione e verso della forza è definito dal
prodotto scalare:
𝑾 = 𝑭 ∙ 𝚫𝒔 = 𝑭 𝚫𝐬
Il lavoro è una QUANTITÀ SCALARE
Lavoro di una forza
𝑭 𝑭
𝚫𝒔
UNITÀ DI MISURA
𝑱 = 𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆
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LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE
• Il lavoro 𝑾 svolto da una forza 𝑭 costante su di un corpo che compie uno
spostamento 𝚫𝒔 con una direzione che forma un angolo 𝜽 rispetto alla forza è
definito dal prodotto scalare:
𝑾 = 𝑭 ∙ 𝚫𝒔 = 𝑭 𝚫𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝚫𝐬 = 𝐅𝐬 𝚫𝐬
𝐅𝐬 = 𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽: Componente della forza nella direzione dello spostamento
Solo la componente della forza nella direzione dello spostamento compie lavoro!
Si osserva che se una forza è PERPENDICOLARE allo spostamento
il LAVORO RISULTA NULLO (𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° = 𝟎).
Lavoro di una forza
𝑭 𝑭
𝚫𝒔
𝜽𝑭𝒔
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• Nell’esempio in figura,
solo la forza 𝑭compie lavoro
La forza peso 𝒎𝒈 e
la reazione
vincolare 𝒏NON COMPIONO
LAVORO
Lavoro di una forza
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LAVORO DI UNA FORZA VARIABILE
• Nel caso in cui una forza 𝑭 vari in funzione dello spazio e che quindi la
traiettoria sia curvilinea, avremo che in ciascun intervallo infinitesimo di
traiettoria 𝒅𝒔, il lavoro infinitesimo risulterà pari a:
𝒅𝑾 = 𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = 𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 𝒄𝒐𝒔𝜽
La forza 𝑭 è assunta costante nell’intervallo infinitesimo di traiettoria 𝒅𝒔
Lavoro di una forza
𝜽𝜽
𝜽 𝑩𝑨
𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒅𝒔𝑭
𝑭𝑭
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• Il LAVORO COMPLESSIVO di una forza dal punto A al punto B è dato
dall’integrale di linea della forza lungo la traiettoria
𝑾 = න
𝑨
𝑩
𝒅𝑾 = න
𝑨
𝑩
𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = න
𝑨
𝑩
𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝒔 = න
𝑨
𝑩
𝑭𝑺 𝒅𝒔
«INTEGRALE DI LINEA» della forza
In generale, il lavoro dipende non solo dalla posizione iniziale e finale,
ma da tutta la traiettoria!
• Nel caso in cui su un corpo agiscano 𝑵 forze 𝑭𝒊 di risultante 𝑹 = σ𝒊𝑵𝑭𝒊
Lavoro complessivo = SOMMA DEI LAVORI delle singole forze
𝑾 = න𝑨
𝑩
𝑹 ⋅ 𝒅𝒔 =
𝒊
𝑵
න𝑨
𝑩
𝑭𝒊 ⋅ 𝒅𝒔 =
𝒊
𝑵
න𝑨
𝑩
𝒅𝑾𝒊 =
𝒊
𝑵
𝑾𝒊
Lavoro di una forza
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• Dalla definizione di lavoro si deduce che il lavoro ha un segno
Se 𝟎 < 𝜽 < 𝝅/𝟐 lavoro positivo, detto «LAVORO MOTORE»
(favorevole al moto)
Se 𝝅/𝟐 < 𝜽 < 𝝅 lavoro negativo, detto «LAVORO RESISTENTE»
(opposto al moto)
Se 𝜽 = 𝝅/𝟐 lavoro nullo (forza e spostamento sono perpendicolari)
𝑾 massimo quando forza e spostamento hanno stessa direzione e verso
Lavoro di una forza
𝑭
𝒔
𝑭
𝒔𝜽
𝜽𝑾 > 𝟎 𝑾 < 𝟎
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• In coordinate cartesiane, possiamo scomporre lungo gli assi:
𝑭 = 𝑭𝒙ෝ𝒖𝒙 + 𝑭𝒚ෝ𝒖𝒚 + 𝑭𝒛ෝ𝒖𝒛
𝒅𝒔 = 𝒅𝒙 ෝ𝒖𝒙 + 𝒅𝒚 ෝ𝒖𝒚 + 𝒅𝒛 ෝ𝒖𝒛
Il lavoro infinitesimo sarà quindi: 𝒅𝑾 = 𝑭𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒚 𝒅𝒚 + 𝑭𝒛 𝒅𝒛
o Da cui
𝑾 = න
𝑨
𝑩
𝒅𝑾 = න
𝒙𝑨
𝒙𝑩
𝑭𝒙 𝒅𝒙 + න
𝒚𝑨
𝒚𝑩
𝑭𝒚 𝒅𝒚 + න
𝒛𝑨
𝒛𝑩
𝑭𝒛 𝒅𝒛
Il lavoro è ADDITIVO, ovvero il lavoro è pari alla somma dei lavori
delle singole forze agenti.
Lavoro di una forza
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• In generale: il lavoro DIPENDE DALLA TRAIETTORIA seguita dal punto
Matematicamente è dato dall’integrale di linea, ovvero dal limite della
somma di tanti contributi 𝒅𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒅𝒔 infinitesimi, calcolati lungo la
traiettoria. Caso unidimensionale:
𝑾 = න
𝒙𝑨
𝒙𝑩
𝑭 𝒙 𝒅𝒙
Lavoro di una forza
𝒙𝑨 𝒙𝑩𝚫𝐱
𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝚫𝐖 = 𝐅𝐱𝚫𝐱𝑭𝒙
𝒙
𝑭𝒙
𝒙𝑨 𝒙𝑩𝒙
𝑳𝒂𝒗𝒐𝒓𝒐
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• Corrisponde al LAVORO DI UNA FORZA PER UNITÀ DI TEMPO
POTENZA ISTANTANEA
𝑷 =𝒅𝑾
𝒅𝒕
o Nel caso in cui la forza 𝑭 sia costante:
𝑷 =𝒅𝑾
𝒅𝒕= 𝑭 ⋅
𝒅𝒔
𝒅𝒕= 𝑭 ⋅ 𝒗 = 𝑭𝑺 𝒗
Caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro
POTENZA MEDIA
𝑷𝒎 = ഥ𝑷 =𝑾
𝚫𝒕
Lavoro totale diviso tempo durante cui il lavoro è svolto
A parità di lavoro, la potenza è maggiore se è svolto in un tempo inferiore
Potenza
UNITÀ DI MISURA
𝑾 = 𝑾𝒂𝒕𝒕𝟏𝑾 = 𝟏𝑱/𝟏𝒔
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• Utilizzando la definizione di lavoro e la seconda legge di Newton si ottiene:
𝒅𝑾 = 𝑭𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝒔 = 𝑭𝑻𝒅𝒔 = 𝒎𝒂𝑻𝒅𝒔 = 𝒎𝒅𝒗
𝒅𝒕𝒅𝒔 = 𝒎
𝒅𝒔
𝒅𝒕𝒅𝒗 = 𝒎𝒗𝒅𝒗
Relazione esplicita tra lavoro e variazione della velocità
• In forma integrale per un PERCORSO FINITO:
𝑾 = න𝑨
𝑩
𝒅𝑾 = න𝒗𝑨
𝒗𝑩
𝒎𝒗𝒅𝒗 =𝟏
𝟐𝒎 𝒗𝑩
𝟐 − 𝒗𝑨𝟐 = 𝑬𝑲,𝑩 − 𝑬𝑲,𝑨 = 𝚫𝐄𝐊
• DEFINIZIONE DI ENERGIA CINETICA di un corpo di massa 𝒎 e velocità 𝒗:
𝑬𝑲 =𝟏
𝟐𝒎𝒗𝟐
Forma di energia connessa allo stato di moto di un corpo
Energia Cinetica
UNITÀ DI MISURA
𝑱
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• Se su un corpo di massa 𝒎 agisce una forza 𝑭, il lavoro 𝑾 compiuto da tale
forza tra il punto 𝑨 e il punto 𝑩, definito come 𝑾𝑨𝑩 = 𝑨𝑩𝑭 ∙ 𝒅𝒔, è responsabile
della variazione di energia cinetica:
𝑬𝑲,𝑩 − 𝑬𝑲,𝑨 = 𝑾𝑨𝑩
Il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia
cinetica.
o Definizione generale di energia come capacità di un corpo a
compiere lavoro
• Energia cinetica vista come
Lavoro necessario per portare alla velocità 𝒗 un corpo inizialmente fermo
Lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa 𝒎 in moto con
velocità 𝒗
Teorema dell’Energia Cinetica
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Un lavoro motore 𝑾 > 𝟎 causa un
aumento dell’energia cinetica del corpo
Un lavoro resistente 𝑾 < 𝟎 causa una
diminuzione dell’energia cinetica del corpo
• Il teorema si può applicare in qualunque situazione (anche quando la forza 𝑭è variabile)
• Ricordando la definizione di quantità di moto 𝒑 = 𝒎𝒗 è possibile riscrivere
l’energia cinetica come:
𝑬𝑲 =𝒑𝟐
𝟐𝒎
Analogamente
𝒑 = 𝟐𝒎𝑬𝑲
Teorema dell’Energia Cinetica
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RIEPILOGO
• Lavoro: manifestazione dell’azione di una forza, dunque dell’INTERAZIONE
con l’ambiente circostante
Si parla sempre di LAVORO SCAMBIATO in un sistema
o NON SI DICE che un sistema «possiede» lavoro
Si parla sempre di ENERGIA POSSEDUTA da un sistema
o L’energia viene modificata dall’interazione con l’ambiente esterno
o VARIAZIONE DI ENERGIA = Effetto misurabile dell’interazione
Energia e lavoro
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• Si consideri un corpo soggetto alla forza peso 𝑷 che ha una traiettoria
qualunque da 𝑨 a 𝑩.
• Il lavoro svolto dalla forza peso è dato da:
𝑾 = න
𝑨
𝑩
𝑷 ∙ 𝒅𝒔 = න
𝑨
𝑩
−𝒎𝒈 ෝ𝒖𝒚 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒎𝒈 න
𝒚𝑨
𝒚𝑩
𝒅𝒚
= −𝒎𝒈 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨= − 𝑬𝑷,𝑩 − 𝑬𝑷,𝑨
𝑬𝑷 𝒚 = 𝒎𝒈𝒚 è L’ENERGIA POTENZIALE della forza peso
Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (NON dalla
traiettoria da 𝑨 a 𝑩)
Lavoro della Forza Peso
Ԧ𝑟𝐴𝐵Ԧ𝑟𝐴
Ԧ𝑟𝐵
𝑨
𝑩
𝑦
𝑷𝑩
𝑷𝑨
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• Dalla relazione precedente abbiamo:
𝑾 = −𝜟𝑬𝑷
Il lavoro è pari all’opposto della variazione di energia potenziale.
• L’energia potenziale 𝑬𝑷 dipende unicamente dalla posizione lungo l’asse
verticale, quindi dalla coordinata 𝒚 del punto
(con asse verticale e positivo verso l’alto)
Si assume 𝑬𝑷 = 𝟎 per 𝒚 = 𝟎!
• Se il corpo scende di quota (spostamento «naturale»), 𝑷 compie lavoro motore:
𝑾 > 𝟎 𝑬𝑷 diminuisce 𝚫𝑬𝑷 < 𝟎
• Se il corpo sale di quota, 𝑷 compie lavoro resistente:
𝑾 < 𝟎 𝑬𝑷 aumenta 𝚫𝑬𝑷 > 𝟎
Lavoro della Forza Peso
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• Si consideri un corpo di massa 𝒎 posto alla base di un piano inclinato di un
angolo 𝜽, che abbia una velocità iniziale 𝒗𝟎.
1. Che altezza raggiunge il corpo?
Esercizio 4.1
𝒗
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• Si consideri una forza elastica espressa nella forma 𝑭𝒌 = −𝒌 𝒙 ෝ𝒖𝒙 parallela
all’asse 𝒙 e con 𝒙𝟎 = 𝟎.
Spostamento lungo 𝒙: 𝒅𝒔 = 𝒅𝒙ෝ𝒖𝒙
• Lavoro della forza elastica
𝑾 = න𝑨
𝑩
𝑭𝒌 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝒌න𝑨
𝑩
𝒙ෝ𝒖𝒙 ⋅ ෝ𝒖𝒙𝒅𝒙 = −𝒌න𝑨
𝑩
𝒙𝒅𝒙 = −𝟏
𝟐𝒌 𝒙𝑩
𝟐 − 𝒙𝑨𝟐 = −𝜟𝑬𝑷
𝑬𝑷(𝒙) =𝟏
𝟐𝒌𝒙𝟐: ENERGIA POTENZIALE ELASTICA
Se il corpo si avvicina al centro (posizione «naturale»)
𝑾 > 𝟎 (lavoro motore) 𝑬𝑷 diminuisce Δ𝑬𝑷 < 𝟎
Se il corpo si allontana dal centro
𝑾 < 𝟎 (lavoro resistente) 𝑬𝑷 aumenta Δ𝑬𝑷 > 𝟎
Questo avendo assunto che per una deformazione nulla
l’energia potenziale è nulla.
Lavoro della Forza Elastica
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• Si consideri un corpo collegato a una molla ferma nell’origine di un sistema di
riferimento. Ad esso viene applicata una forza costante 𝑭𝑪 = 𝑭𝑪 ෝ𝒖𝒙. Il corpo si
porta quindi alla posizione 𝒙 > 𝟎.
Si calcolino:
1. L’andamento della velocità in funzione della posizione;
2. L’estensione massima della molla, ovvero la posizione in cui il punto si
ferma.
Esercizio 4.2
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• Si ricava il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico, ricordando che il
versore ෝ𝒖𝒗 è parallelo e concorde allo spostamento 𝒅𝒔:
𝑾 = න𝑨
𝑩
𝑭𝒂𝒕𝒕 ⋅ 𝒅𝒔 = න𝑨
𝑩
−𝝁𝒅 𝑵 ෝ𝒖𝒗 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝝁𝒅𝑵න𝑨
𝑩
𝒅𝒔
L’integrale indica la lunghezza del percorso, ovvero la traiettoria effettiva
del punto materiale
Il lavoro DIPENDE DAL PERCORSO
o Non è possibile esprimere il lavoro come differenza dei valori di una
funzione delle coordinate nei punti 𝑨 e 𝑩
Il lavoro della forza di attrito è SEMPRE NEGATIVO (LAVORO RESISTENTE)
La forza di attrito è detta FORZA DISSIPATIVA
Lavoro di una forza di attrito
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• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che passa nell’origine di un asse 𝒙orizzontale con velocità 𝒗𝟎, concorde con l’asse. Lungo lo spostamento agisce una
forza di attrito dinamico (con 𝝁𝒅).
Si calcoli:
1. Dopo quanto tempo il punto si ferma;
2. In quale posizione si ferma.
Esercizio 4.3
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 24
• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta?
a) Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di 𝑭 e 𝒅𝒔;
b) Il lavoro è dato da 𝑭𝒔, con 𝑭 forza e 𝒔 spostamento;
c) Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica;
d) Il lavoro non è mai negativo.
Quesiti di riepilogo (1)
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• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta?
a) Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di 𝑭 e 𝒅𝒔;
b) Il lavoro è dato da 𝑭𝒔, con 𝑭 forza e 𝒔 spostamento;
c) Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica;
d) Il lavoro non è mai negativo.
Quesiti di riepilogo (1)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 26
• Una slitta viene trascinata da una corda per 𝟏𝟎𝒎.
La trazione sulla corda è di 𝟔𝟎 𝑵 e l’angolo tra la corda ed il terreno è di 𝟔𝟎°.
1. Calcolare il lavoro della forza di trazione.
Esercizio 4.4
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• Si considerino 3 forze 𝑭𝟏 = 𝟓 𝑵, 𝑭𝟐 = 𝟗 𝑵, ed 𝑭𝟑 = 𝟕. 𝟖 𝑵, applicate ad una
cassa di massa 𝒎 = 𝟑 𝒌𝒈 come mostrato in figura. La cassa viene spostata di
𝟑𝒎 verso sinistra.
Si calcolino:
1. Il lavoro totale fatto dalle 3 forze sulla cassa;
2. La variazione di energia cinetica della cassa;
3. La velocità finale, assumendo che la cassa parta da ferma.
Esercizio 4.5
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• Si consideri una cassa posta ad una quota 𝒉 su un piano inclinato con 𝜽 = 𝟑𝟎°. La cassa parte da ferma e scivola per 𝟏𝒎 fino alla base del piano inclinato.
Si calcolino:
1. La velocità finale della cassa, in assenza di attrito;
2. La velocità finale della cassa, in presenza di attrito dinamico con
coefficiente 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐.
Esercizio 4.6
𝒉
𝜽
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• Una cassa di massa 𝒎 = 𝟏𝟓 𝒌𝒈 è trascinata in salita su di un piano inclinato per
𝒅 = 𝟓. 𝟕 𝒎 a velocità costante, fino ad una quota 𝒉 = 𝟐. 𝟓 𝒎.
Si calcolino:
1. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo in assenza di
attrito;
2. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo, in presenza di
attrito dinamico con coefficiente 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏.
Esercizio 4.7
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 30
• Un blocco di massa 𝒎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒈 scivola, con velocità costante 𝒗 = 𝟎. 𝟓 𝒎/𝒔 su
un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla
di costante elastica 𝒌 = 𝟕𝟓𝟎 𝑵/𝒎.
1. Di quanto viene compressa la molla?
Esercizio 4.8
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 31
• Un elicottero recupera un uomo di massa 𝒎 = 𝟕𝟐 𝒌𝒈, sollevandolo di 𝟏𝟓𝒎, con
una accelerazione pari a 𝟎. 𝟏 𝒈.
Si calcolino:
1. Il lavoro fatto sull’uomo:
a) dall’elicottero;
b) dalla forza peso;
2. La velocità e l’energia cinetica dell’uomo un attimo prima di entrare
nell’elicottero.
Esercizio 4.9
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 32
• Si consideri un blocco di massa 𝑴 = 𝟔 𝒌𝒈 che viene tirato sul pavimento,
partendo da fermo, da una forza 𝑭 = 𝟏𝟐 𝑵 orientata lungo lo stesso asse dello
spostamento.
Si calcoli:
1. La velocità del blocco dopo che ha percorso un tratto di 𝒔 = 𝟑𝒎
a) Nel caso il pavimento sia liscio;
b) Nel caso il pavimento sia scabro, con 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏𝟓.
Esercizio 4.10
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 33
• Un blocco di massa 𝑴 = 𝟐𝟓𝟎 𝒌𝒈 è lasciato cadere su una molla verticale avente
costante elastica 𝒌 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝑵/𝒄𝒎. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si
comprime di 𝟏𝟐 𝒄𝒎 prima di fermarsi.
Si calcolino:
1. Il lavoro che viene svolto durante la compressione:
a) Dalla molla
b) Dalla forza di gravità
Esercizio 4.11
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 34
• La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di
𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 e deve salire di 𝟓𝟒𝒎 in 𝟑𝒎𝒊𝒏. Il contrappeso ha una massa di
𝟗𝟓𝟎 𝒌𝒈. Si supponga che il movimento avviene a velocità costante.
Si calcoli:
1. La potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina.
Esercizio 4.12
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 35
• In generale il lavoro dipende dal percorso effettuato (come nel caso del lavoro
compiuto da una forza di attrito radente)
• Si considerino una forza 𝑭 e due traiettorie 𝒍𝟏 e 𝒍𝟐 che vanno dal punto 𝑨 al
punto 𝑩
Se il lavoro della forza non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti
iniziale e finale:
𝑾𝑨𝑩 = න𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔𝒍𝟏= න
𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔𝒍𝟐= න
𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔
La forza 𝑭 si definisce CONSERVATIVA
o Per calcolare il lavoro di una forza conservativa
si può usare un percorso 𝒍 qualunque
o Il lavoro è esprimibile come differenza dei
valori che la funzione delle coordinate assume
in 𝑨 e in 𝑩
Forze conservative
A
B𝑙1
𝑙2
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 36
• Il lavoro di una forza conservativa dipende unicamente dal punto iniziale e
finale della traiettoria
Invertendo il senso di percorrenza della traiettoria,
il lavoro CAMBIA DI SEGNO
𝑾𝑨𝑩 = න𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = −න𝑩
𝑨
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝑾𝑩𝑨
Quindi per un CIRCUITO CHIUSO il lavoro è nullo:
ර𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = න𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 + න𝑩
𝑨
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = 𝟎
• DA UNA FORZA CONSERVATIVA SU UN PERCORSO CHIUSO NON SI PUÒ
RICAVARE LAVORO
Forze conservative
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 37
• Poiché il lavoro dipende unicamente dalla posizione iniziale e finale si può
definire per ciascuna forza conservativa una funzione scalare dipendente dalla
posizione, L’ENERGIA POTENZIALE, tale che:
𝑾𝑨𝑩 = න𝑨
𝑩
𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = − 𝑬𝑷 𝑩 − 𝑬𝑷 𝑨 = −𝚫𝑬𝑷
Non esiste una unica formula per 𝑬𝑷
Dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce.
Forze conservative
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• Energie potenziali relative al lavoro di alcune forze analizzate:
Energia potenziale della Forza peso:
𝑬𝒑 𝒚 = 𝒎𝒈 𝒚
Energia potenziale della Forza Elastica
𝑬𝒑(𝒙) = 𝟏/𝟐 𝒌 𝒙𝟐
o Sono definite a meno di una costante additiva che dipende dal sistema
di riferimento
o Utilizzando normalmente solo Δ𝑬𝒑 la componente aggiuntiva si
semplifica
• Portando un corpo da 𝑨 a 𝑩, la forza applicata svolge un lavoro che viene
immagazzinato nel sistema come 𝚫𝐄𝐩
Energia che può essere ritrasformata in lavoro della forza conservativa
riportando il corpo da 𝑩 ad 𝑨
Forze conservative
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• Se il lavoro della forza dipende dalla traiettoria, si parla di FORZE NON
CONSERVATIVE
Per queste forze:
o NON VALE la proprietà di INVARIANZA del lavoro rispetto al percorso
o NON È POSSIBILE esprimere il lavoro tramite le differenze dei valori di
una funzione delle coordinate
NON SI PUÒ introdurre l’energia potenziale
Resta comunque valido il Teorema dell’Energia Cinetica!
Forze di attrito
o Classe particolare delle forze non conservative
o Dette anche FORZE DISSIPATIVE
Forze non conservative
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 40
• Si consideri un sistema nel quale agiscono solo FORZE CONSERVATIVE
1. Dal teorema dell’energia cinetica
𝑾 = 𝚫𝑬𝑲 = 𝑬𝑲 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨
2. Dalla definizione di energia potenziale
𝑾 = −𝚫𝑬𝑷 = 𝑬𝑷 𝑨 − 𝑬𝑷 𝑩
• Uguagliando le precedenti equazioni, si ricava la DEFINIZIONE DI ENERGIA
MECCANICA 𝑬𝑴 di un sistema:
𝑬𝑴 = 𝑬𝒑 + 𝑬𝒌
La somma di energia CINETICA e POTENZIALE di un corpo su cui agiscono
solo forze conservative è COSTANTE durante il moto
𝑬𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
o Potranno cambiare separatamente 𝑬𝑷 e 𝑬𝑲, ma somma rimane costante
Durante il moto avviene una TRASFORMAZIONE da una forma di energia all’altra
Conservazione Energia Meccanica
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Bilancio energetico in presenza di forze non conservative 𝑭𝒏𝒄
• Si applica il teorema dell’energia cinetica, in generale sempre valido
𝑾𝒄 +𝑾𝒏𝒄 = 𝑬𝒌 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨 = 𝜟𝑬𝒌
Per le forze conservative, il lavoro vale:
𝑾𝒄 = −𝚫𝑬𝑷 = 𝑬𝑷 𝑨 − 𝑬𝑷 𝑩
Da cui:
𝑾𝒏𝒄 = 𝑬𝒌 𝑩 + 𝑬𝑷 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨 + 𝑬𝑷 𝑨 = 𝑬𝑴 𝑩 − 𝑬𝑴 𝑨 = 𝜟𝑬𝑴
o In presenza di forze non conservative, L’ENERGIA MECCANICA
NON SI CONSERVA
o La VARIAZIONE DI ENERGIA MECCANICA risulta uguale
al LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE 𝑾𝒏𝒄 = 𝚫𝑬𝑴
Lavoro delle Forze Dissipative
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 42
• Si studi il moto del corpo mostrato in figura nelle 5 situazioni illustrate, utilizzando
il concetto di energia meccanica. In particolare si ricavino le espressioni per le
velocità nelle situazioni 4 e 5.
1. Il corpo si trova in quiete (𝒗 = 𝟎) su un piano orizzontale;
2. Al corpo è applicata una forza 𝑭 verso l’alto, di modulo maggiore della
forza peso;
3. La forza 𝑭 smette di agire; il corpo cade da un’altezza 𝒉;
4. Il corpo si trova ad una quota 𝒉/𝟐;
5. Il corpo giunge nuovamente a terra.
Esercizio 4.13
Ԧ𝐹
𝑦
𝑃
𝑁
1 2 3 4 5
ℎ
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 43
• Si valuti l’energia meccanica per un punto materiale che si muova sotto l’influsso
di una forza elastica di moto armonico secondo la legge oraria
𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝒕 + 𝝓𝟎 .
Esercizio 4.14
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 44
• Si consideri un punto materiale posizionato ad un’altezza 𝒉 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎 che scivola
lungo un piano inclinato di un angolo 𝜽 = 𝟐𝟎°, scabro (𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏𝟓), partendo
da fermo.
1. Si calcoli la velocità con cui arriva alla base del piano inclinato,
attraverso lo studio del bilancio energetico.
Esercizio 4.15
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 45
• Dal momento che per le forze conservative si ha
𝚫E𝒑 𝒙 = −𝑾 = −𝑭𝒙𝚫𝐱
Si può dunque scrivere 𝐅𝐱 = −𝚫𝐄𝐏
𝚫𝐱
Passando agli infinitesimi:
𝐅𝐱 = −𝐝𝐄𝐏𝐝𝐱
La forza lungo la direzione 𝒙 è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a 𝒙, cambiata di segno.
• In termini vettoriali:
𝑭 =𝝏𝑬𝑷𝒅𝒙
ෝ𝒖𝒙 +𝝏𝑬𝑷𝒅𝒚
ෝ𝒖𝒚 +𝝏𝑬𝑷𝒅𝒛
ෝ𝒖𝒛
Operazione gradiente della funzione scalare 𝑬𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛
Ricerca analitica di una forza
𝐭𝐠 𝜶 = −𝒅𝑬𝑷𝒅𝒙𝑬𝑷 𝒙
𝑬𝑷
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• Si consideri un pendolo semplice formato da un filo di lunghezza 𝑳 = 𝟏𝒎 e da
un punto materiale di massa 𝒎. Il punto materiale viene lasciato libero di
muoversi, partendo da fermo da una quota 𝒉𝟏, corrispondente ad un angolo
𝜽𝟏 = 𝟏𝟓° rispetto alla posizione verticale di equilibrio.
1. Esprimere la velocità in funzione della posizione angolare.
a) Quanto vale e in quale punto è massima la velocità?
b) Quanto vale la velocità del punto materiale nella posizione 𝜽𝟐 = 𝟏𝟎°?
Esercizio 4.16
𝟐𝟏
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• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che si muove su un piano orizzontale
liscio privo di attrito con velocità 𝒗𝟎. Quando passa nella posizione 𝑨 esso inizia
a salire lungo una guida circolare liscia di raggio 𝑹, che giace in un piano
verticale. Si calcolino:
1. La velocità del punto e la reazione della guida in 𝑩;
2. La velocità del punto e la reazione della guida in 𝑪;
3. Il valore minimo di 𝒗𝟎 affinché il punto materiale arrivi in 𝑪 mantenendo il
contatto con la guida.
Esercizio 4.17
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 48
Si consideri un generico vettore 𝒗, applicato in un punto 𝑷
DEFINIZIONE DI MOMENTO di 𝒗 rispetto ad un altro punto 𝑶 (detto polo)
𝑴𝑶 = 𝑶𝑷 × 𝒗 = 𝒓 × 𝒗
Risulta ORTOGONALE al piano definito dai vettori 𝒓 e 𝒗
Modulo: 𝑴𝑶 = 𝑶𝑷 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒉 𝒗
o 𝒉 = 𝑶𝑷 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑶𝑯 = BRACCIO DEL VETTORE 𝒗 rispetto ad 𝑶
o La retta contenente 𝒗 è detta RETTA DI APPLICAZIONE di 𝒗
Momento di un vettore
𝑴𝑶
𝒓 𝒗𝑶
𝑷𝜽𝒉
𝑯
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• Al variare della distanza della retta di applicazione del vettore 𝑭𝟏 dal polo, o
al variare del modulo del vettore 𝑭𝟏 stesso, il vettore 𝑴𝟏 varia solo in modulo,
ma rimane sempre centrato nel polo scelto.
Comunque si muova il vettore 𝒗 lungo 𝑯𝑷 il vettore 𝑴𝑶 non cambia,
poiché 𝑶𝑯 rimane lo stesso
Momento di un vettore
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 50
• 𝑴𝑶 cambia se si cambia il polo stesso
Si introduce un nuovo polo 𝑶′
𝑴𝑶′ = 𝑶′𝑷 × 𝒗 = 𝑶′𝑶 + 𝑶𝑷 × 𝒗 = 𝑶′𝑶 × 𝒗 +𝑴𝑶
Momento di un vettore
Ԧ𝑟 Ԧ𝑣𝑀
O
O’𝑀′ 𝑟′𝑂′𝑂
P
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DEFINIZIONE DI MOMENTO ANGOLARE
𝑳 = 𝒓 ×𝒎𝒗 = 𝒓 × 𝒑
𝒎: massa del punto materiale
𝒓: raggio tra il punto materiale e il polo 𝑶 considerato
𝒗: velocità del punto materiale
o Poiché risulta che 𝒓 = 𝒓 𝒕 e 𝒗 = 𝒗 𝒕 , anche 𝑳 = 𝑳 𝒕
o Detto anche «momento della quantità di moto»
• Se si cambia polo (da 𝑶 a 𝑶′):
𝑳𝑶′ = 𝒓′ × 𝒑
= 𝒓 + 𝑶′𝑶 × 𝒑
= 𝑳𝑶 + 𝑶′𝑶 × 𝒑
Momento angolare
UNITÀ DI MISURA
𝟏 𝑵𝒎𝒔
𝒓 𝒗𝑳
O
O’𝐿′ 𝑟′
𝑂′𝑂
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DEFINIZIONE DI MOMENTO di una forza
𝑴 = 𝒓 × 𝑭
𝒓: raggio tra il punto di applicazione della forza
e il polo 𝑶 considerato
𝑭: Forza applicata in un punto
• Nel caso vi siano più forze applicate nello stesso punto, il momento complessivo
risulta pari al momento della risultante delle forze 𝑹
𝑴 =𝒊𝒓 × 𝑭𝒊 = 𝒓 ×
𝒊𝑭𝒊 = 𝒓 × 𝑹
• Se si cambia polo (da 𝑶 a 𝑶′):
𝑴𝑶′ = 𝒓′ × 𝑭
= 𝒓 + 𝑶′𝑶 × 𝑭
= 𝑴𝑶 + 𝑶′𝑶 × 𝑭
Momento di una forza
𝒓 𝑭𝑀
O
O’𝑀′ 𝑟′𝑂′𝑂
UNITÀ DI MISURA
𝟏 𝑵𝒎
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 53
• Il momento di una forza dipende dall’origine del sistema di riferimento e dal
punto ove la forza è applicata
Si vedrà in seguito che la scelta dell’origine risulta molto importante negli studi
di corpi rigidi
o 𝝓: Angolo tra la forza 𝑭 e il vettore 𝒓, ovvero tra l’origine e il punto di
applicazione della forza
o 𝒅 = 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝓Braccio del momento o della leva
Solo la componente della forza
ORTOGONALE a 𝒓 produce
momento
o La componente della forza
lungo 𝒓 non produce momento
Momento di una forza
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 54
• Si valuti la variazione del momento angolare rispetto al tempo
𝒅𝑳
𝒅𝒕=𝒅(𝒓 ×𝒎𝒗)
𝒅𝒕=𝒅𝒓
𝒅𝒕×𝒎𝒗 + 𝒓 ×𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui avviene il moto, allora 𝒅𝒓
𝒅𝒕= 𝒗 e il primo prodotto vettoriale si annulla!
TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE
𝒅𝑳
𝒅𝒕= 𝒓 ×𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕= 𝒓 ×𝒎𝒂 = 𝒓 × 𝑭 = 𝑴𝑶
La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al
momento della forza
o SOLO SE entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un
sistema di riferimento inerziale
Se il momento delle forze è nullo, o se 𝑭 || 𝒓,
il momento angolare risulta costante 𝑳 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Teorema del Momento Angolare
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 55
TEOREMA DEL MOMENTO DELL’IMPULSO
𝒅𝑳 = 𝑴𝒅𝒕
𝚫𝑳 = න𝟎
𝒕
𝑴𝒅𝒕 = න𝟎
𝒕
𝒓 × 𝑭 𝒅𝒕 = 𝒓 × න𝟎
𝒕
𝑭 𝒅𝒕 = 𝒓 × Ԧ𝑱
o Ԧ𝑱: Impulso della forza
La variazione del momento angolare è uguale al MOMENTO DELL’IMPULSO
applicato al punto
Valido quando la forza è applicata per tempi brevi
• Tutti i teoremi visti in quest’ultima parte risulteranno fondamentali per la
dinamica dei SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Teorema del Momento Angolare
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 56
• Una massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 scivola su una superficie orizzontale liscia con 𝒗𝟏 = 𝟒𝒎/se va a finire contro una molla, comprimendola fino a fermarsi completamente.
Dal punto in cui comincia a comprimere la molla in poi vi è un attrito di modulo
𝟏𝟓 𝑵, e la costante elastica della molla è 𝒌 = 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎.
1. Di quanto si è compressa la molla?
Esercizio 4.18
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 57
• Un blocco di massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 è poggiato contro una molla posta alla base di
un piano inclinato con una pendenza di 𝟑𝟎° e privo di attrito. La molla, avente
costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟗. 𝟔 𝑵/𝒄𝒎 è dapprima compressa di 𝟐𝟎 𝒄𝒎, quindi
lasciata libera.
1. Quanto si allontana il blocco sul piano inclinato?
Esercizio 4.19
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 58
• Un blocco di massa 𝟓 𝒌𝒈 viene fatto salire lungo un piano inclinato con velocità
iniziale 𝟖𝒎/𝒔. Il blocco si ferma dopo 𝟑𝒎 lungo il piano, che è inclinato di 𝟑𝟎°.Si calcolino:
1. La variazione di energia cinetica;
2. L’energia potenziale;
3. Il lavoro della forza di attrito;
4. Il coefficiente 𝝁𝒅.
Esercizio 4.20
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 59
• Una molla posta alla base di un piano inclinato può essere compressa di 𝟐 𝒄𝒎 se
viene applicata una forza di 𝟐𝟕𝟎 𝑵. Un blocco di massa 𝟏𝟐 𝒌𝒈, inizialmente
fermo in cima al piano inclinato, che risulta privo di attrito ed inclinato di 𝟑𝟎°sull’orizzonte, viene lasciato cadere. Il blocco si arresta dopo aver compresso la
molla di 𝟓. 𝟓 𝒄𝒎.
Si calcolino:
1. Lo spostamento totale del blocco lungo il piano inclinato;
2. La velocità finale del blocco quando tocca la molla.
Esercizio 4.21
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 60
• Una pallottola da 𝟑𝟎 𝒈, con velocità iniziale di 𝟓𝟎𝟎𝒎/𝒔, penetra per 𝟏𝟐 𝒄𝒎 in
una parete in muratura prima di fermarsi.
Si calcolino:
1. La variazione in energia meccanica della pallottola;
2. Il valore della forza esercitata dalla parete, assumendola costante.
Esercizio 4.22
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 61
• Un pacco di massa 𝟒 𝒌𝒈 sale lungo un piano inclinato di 𝟑𝟎° con energia cinetica
iniziale di 𝟏𝟐𝟖 𝑱. Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e piano inclinato
vale 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑.
Quanto vale lo spostamento complessivo del pacco lungo il piano inclinato?
Esercizio 4.23
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 62
• Una bambina che pesa 𝟐𝟔𝟕 𝑵 scende per uno scivolo lungo 𝟔. 𝟏 𝒎 che forma un
angolo di 𝟐𝟎° con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico vale
𝟎. 𝟏. Si calcolino:
1. L’energia dissipata in energia termica dalla forza di attrito;
2. La velocità all’arrivo, sapendo che la bambina parte dall’alto con una
velocità pari a 𝟎. 𝟒𝟓𝟕 𝒎/𝒔.
Esercizio 4.24
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 63
• Un punto materiale di massa m = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 è attaccato all’estremo di una molla di
costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎 𝑵/𝒎 e lunghezza a riposo 𝒍𝟎 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎. L’altro
estremo della molla è fissato al punto 𝑶. Il sistema si trova su un piano
orizzontale e ruota con velocità angolare costante 𝝎 = 𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔 attorno ad 𝑶.
Si calcoli:
1. Il raggio della circonferenza descritta dal punto materiale
a) Si discuta il caso in cui 𝒍𝟎 → 𝟎.
Esercizio 4.25
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 64
• Un punto materiale di massa 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒈 è sospeso tramite un filo verticale ed è
collegato al suolo da una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟕𝟎 𝑵/𝒎, che si trova in
condizioni di riposo. Si taglia il filo.
Si calcolino:
1. La massima distanza percorsa dal punto;
2. La posizione in cui si raggiunge la massima velocità;
3. La massima velocità raggiunta;
4. Prima di tagliare il filo, il periodo di oscillazione nel caso in cui il punto
venga spostato dalla posizione di equilibrio.
Esercizio 4.26
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 65
• Un oscillatore armonico semplice è formato da un blocco di massa 𝒎 = 𝟐 𝒌𝒈attaccato da una molla avente 𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵/𝒎. Al tempo 𝒕𝟏 = 𝟏 𝒔, la posizione
e la velocità del blocco sono rispettivamente 𝒙(𝒕𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟗 𝒎 e
𝒗(𝒕𝟏) = 𝟑. 𝟒𝟏𝟓 𝒎𝒔.
La legge oraria dell’oscillatore si esprime come:
𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝝓𝟎
• Si calcolino:
1. L’ampiezza delle oscillazioni;
2. Il valore di posizione e velocità al tempo 𝒕 = 𝟎.
Esercizio 4.27
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 66
• Un blocco di peso 𝟏𝟒 𝑵, che può scivolare senza attrito su una rampa inclinata di
𝟒𝟎°, è sostenuto da una molla fissata alla cima della rampa, di lunghezza a
riposo 𝒍𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟓 𝒎 e costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎 𝑵/𝒎.
Si calcolino:
1. La distanza dalla cima alla quale il blocco si assesta in equilibrio;
2. Il periodo di oscillazione nel momento in cui il blocco venga spostato dalla
posizione di equilibrio.
Esercizio 4.28
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 67
• Un blocco è appoggiato sulla superficie orizzontale di una tavola vibrante che si
muove orizzontalmente di moto armonico semplice con frequenza di 𝟐 𝑯𝒛.
Il coefficiente di attrito statico tra blocco e piano d’appoggio è 𝟎. 𝟓.
1. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice ammissibile per
evitare lo slittamento del blocco?
Esercizio 4.29
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