distribucion muestral y estimación
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Distribución muestral
Conceptos y Aplicaciones
13/07/2010 H. Medina Disla
13/07/2010 H. Medina Disla
Distribución Muestral
El muestreo y importancia
Tipo de Muestreo
Distribución en el muestreo
¿Qué es?
Importancia de la distribución muestral
13/07/2010 H. Medina Disla
Distribución Muestral del promedio, ()
Importancia del promedio
Características
1. (Xi – ) = 0
2. (Xi – )2 = mínimo
3. Es la única medida central que se puede inferir
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: población hipotéticas
A, B, C y D2, 5, 2, 3μx = Xi/Nμx = (2+5+2+3)/4
μx = 3
Muestra i
AB (2+5)/2 = 3.5
AC (2+2)/2 = 2.0
AD (2+3)/2 = 2.5
BC (5+2)/2 = 3.5
BD (5+3)/2 = 4.0
CD (2+3)/2 = 2.5
= 3
13/07/2010 H. Medina Disla
Variaciones de las muestras
μx = 3
Muestra i
AB (2+5)/2 = 3.5 AC (2+2)/2 = 2.0 AD (2+3)/2 = 2.5 BC (5+2)/2 = 3.5 BD (5+3)/2 = 4.0 CD (2+3)/2 = 2.5
Error estándar del estimador
Error estándar del promedio
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo
En una muestra de 150 empleados seobtuvo un salario promedio de 10.0 y unadesviación estándar de 2.25.
A) Hallar el error estándar del salariopromedio
B) Explicar que significa el error estándar
13/07/2010H. Medina Disla
Distribución muestral de la Proporción
La Proporción
px = Casos favorables/ Casos posibles
Error estándar de la proporción
13/07/2010 H. Medina Disla
Forma de una variable con
distribución simétrica
EstimaciónConceptos y
Aplicaciones
13/07/2010 H. Medina Disla
Estimación¿Qué es?
Estimador Vs. Parámetro
Estimador Puntual
Estimador por intervalo
13/07/2010 H. Medina Disla
Parámetros y Estadígrafos
Parámetro Significado Estadígrafo
μxMedia Poblaciónal
σ2 Varianza Poblaciónal S2
σDesviacin Estándar
Poblaciónal S
PProporción de éxitos
En la Población p
N Población n
13/07/2010 H. Medina Disla
EstimaciónCaracterísticas de los Estimadores
Insesgado
Eficiente
Consistente
Inferencia sobrela media
aritmética o promedio
13/07/2010 H. Medina Disla
Estimación Puntual16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
Salario de nueve empleados
= 9.1 $
13/07/2010 H. Medina Disla
Estimación Puntual: Varianza
Estimación por Intervalo
13/07/2010 H. Medina Disla
Intervalo de Confianza Nivel de Confianza
Nivel de Significación
Elementos a tener en consideración
1. Origen de la Varianza
2. Tamaño de la Muestra
Grande; n ≥ 30
Pequeña; n < 30
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: Población Hipotética de empleados
Muestra i
AB (2+5)/2 = 3.5
AC (2+2)/2 = 2.0
AD (2+3)/2 = 2.5
BC (5+2)/2 = 3.5
BD (5+3)/2 = 4.0
CD (2+3)/2 = 2.5
P(2.0 μx 4.0) =100.0%
13/07/2010 H. Medina Disla
Comportamiento de una variable normal
13/07/2010 H. Medina Disla
Varianza poblacional
P( Z(α/2) × ) = 1 - α
Z(α/2) : valor de Z para un nivel de confianza dado
: Error estándar del promedio, = x /n
x : Desviación estándar de la variablen: Tamaño de la muestra
α : Nivel de significación
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: El proceso de llenado de una funda decemento tiene una varianza de 0.85 Kg2. En unamuestra de 20 fundas se encontró que el pesopromedio era de 41.75 Kg. Con un nivel de confianzade 99.0%, estimar el intervalo del peso promedio delllenado de las fundas de cemento
= 41.75, n = 20, x= 0.923, α = 0.01
13/07/2010 H. Medina Disla
P[ Z(α/2) × ] = 1 – α
P[41.75 Z0.005 × 0.206] = 0.99P[41.75 2.58 × 0.206] = 0.99P[41.75 0.532] = 0.9941.75 - 0.532] = 41.21041.75 + 0.532] = 42.277[41.21 μx 42.28] = 99.0%
= 41.75, n = 20, = 0.206, α/2 = 0.005
13/07/2010 H. Medina Disla
Varianza muestral: Calculada en
muestra grande, n > 30
( Z(α/2)× S) = 1 - α
Z(α/2) : Valor de Z para un nivel de confianza dado
S : Error estándar del promedio, S = Sx/n
Sx :Desviación estándarn: Tamaño de la muestraα : Nivel de significación
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: La Empresa Re-Phelon se dedica al ensamblaje dedispositivos electrónicos. Para establecer las especificacionesque deben tener los arbor, a fin de que por lo menos el 97.5%de ellos cumplan con dichas especificaciones, se ha tomado unamuestra de 42 abor y ha encontrado que la medida promedio esde 3.0 cm y una varianza de 0.25 cm2
= 3.0, n = 42, S2x = 0.25, α = 0.025
13/07/2010 H. Medina Disla
= 3.0, n = 42, S = 0.08, α/2 = 0.0125
P[ Z(α/2) × S] = 1 – α
P[3.0 Z0.0125 × 0.08] = 0.975P[3.0 2.24 × 0.08] = 0.975P[3.0 0.17] = 0.9753.0 - 0.173 = 2.833.0 + 0.173 = 3.17
[2.83 μx 3.17] = 97.5%
13/07/2010 H. Medina Disla
Varianza muestral: Calculada en muestra
pequeña, n < 30
( t(n-1, α/2) × S) = 1 - α
t(n-1, α/2): valor de t para un nivel de confianza dado
S : Error estándar del promedio, S =Sx/n
Sx: Desviación estándar de la muestran: Tamaño de la muestraα : Nivel de significación
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: Un inversionista quiere saber, con unnivel de confianza de 95.0% cual es el rango enel que varía el precio de un grupo de accionesen las cuales piensa invertir. En una muestrade 12 acciones ha encontrado que el preciopromedio es de 18.5$ con una desviaciónestándar de 2.36$
= 18.5, n =12, sx =2.36, α = 0.05
13/07/2010 H. Medina Disla
= 18.5, n = 12, s = 0.68, α/2 = 0.025
P[ t(n-1, α/2) × S] = 1 – α
P(18.5 t(11, 0.025) × 0.68) = 0.95P[18.5 2.2010 × 0.68] = 0.95P[18.5 1.50] = 0.9518.5 – 1.50 = 17.018.5 + 1.50 = 20.0[17.0 μx 20.0] = 95.0%
13/07/2010 H. Medina Disla
Intervalo de confianza para el Total
• Total estimado, T = N ×
• Desviación Total, ST = N × S
El intervalo de Confianza
P[T t(n-1, α/2) × sT] = 1 – α, donde;
T : Total Estimado
sT: Desviación estándar Total
n : Tamaño de la muestra
α : Nivel de significación
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: En una muestra de 25 clientes de una tarjeta decrédito se encontró que el número de transaccionespromedio mensual es de 12, con una desviación estándarde 2.5. Estimar el intervalo, con un nivel de confianza de90.0%, del total de transacciones con tarjetas si el bancotiene un total de 20,000 clientes con tarjeta.
= 12, n = 25, sx = 2.5, N= 20,000 α = 0.10
Luego,
T = 20,000 × 12 = 240,000
ST= 20,000 × 2.5 = 50,000
13/07/2010 H. Medina Disla
T = 240,000 , ST= 50,000, α = 0.10
•P[T t(n-1, α) × sT] = 1 – α
• P[240,000 t(24, 0.10) × sT] = 0.90,
• P[240,000 1.7109 × 50000] = 0.90,
• P[240,000 85,545] = 0.90,
240,000 – 85,545 = 154,455
240,000 + 85,545 = 325,545
[154,455 T 325,545] = 90.0%
Inferencia sobre la Proporción o porcentaje
13/07/2010H. Medina Disla
Estimación PuntualLa Proporción
px = Casos favorables/ Casos posibles
Ejemplo: Salario de nueve empleados
16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
13/07/2010 H. Medina Disla
Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
• Calcular la proporción de empleados con salario menor a RD$6.0.
• Calcular el error estándar de esta proporción
px = # de empleados con salario menor a RD$6.0
Total de empleados en la muestra
Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
13/07/2010 H. Medina Disla
px = # de empleados con salario menor a RD$6.0
Total de empleados en la muestra
Px =3/9 Px =1/3 Px =0.33
Error estándar de la proporción
Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
13/07/2010 H. Medina Disla
Px =0.33 Error estándar de la proporción
Salario: 16.2, 14.0, 8.5, 10.0, 12.1, 5.0, 7.5, 5.0, 3.0
13/07/2010 H. Medina Disla
Px =0.33 Error estándar de la proporción
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo
En una muestra de 200 clientes 93 dijeronque están muy satisfechos con el serviciorecibido
A) Estimar la proporción o porcentaje declientes muy satisfechos
B) Hallar el error estándar de la proporciónde clientes muy satisfechos
C) Explicar que significa el error estándar
Estimacion por intervalo de la
Proporción o porcentaje
13/07/2010 H. Medina Disla
Intervalo de confianza para la Proporción
P[px Z(α/2)×Sp]=1 - αpx : Proporción obtenida en la muestraZ : Valor de la distribución normal para el nivel de
confianza dadon : Tamaño de la muestraα : Nivel de significación
13/07/2010 H. Medina Disla
Ejemplo: Se desea estimar, con un nivel deconfianza de un 95.0%, el porcentaje declientes que están muy satisfechos con elservicio recibido. De una muestra de 200usuarios, 93 dijeron estar muy satisfecho con elservicio recibido. Estimar el intervalo deconfianza para dicha proporción
Casos Favorables 93, n = 200, px= 93/200 = 0.465
13/07/2010 H. Medina Disla
px= 93/200 = 0.465
P[px Z(α/2) ×Sp]=1 – α
P[0.465 Z0.025×0.0353 ]= 0.95
P[0.465 1.96 ×0.0353]= 0.95
P[0.465 0.0691]= 0.95
0.465 - 0.0691 = 0.396
0.465 + 0.0691 = 0.534
[0.396 px 0.534] = 95.0%
Intervalo de confianza
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