distribuciones de probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

MALENY ROCIO TRIANA ORTEGA

PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA MANUFACTURA 2º E

CONTENIDO

º DISTRIBUCIÓN BERNOULLI

º DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

(FORMULA) (FORMULA)

EJEMPLOS EJEMPLOS

º DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

(FORMULA)

EJEMPLOS

º DISTRIBUCIÓN POISSON

(FORMULA)

EJEMPLOS

¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?Es un método variable que se utiliza para medir una aproximación de un

suceso.

DISTRIBUCIÓN BERNOULLIUN ENSAYO DE BERNOULLI SE TOMA COMO UNA

VARIABLE ALEATORIA (X),

BERNOULLI SE DIVIDE EN DOS FORMAS ; ÉXITO Y FRACASO; EL ESPACIO DE ÉXITO SE TOMA COMO VALOR 1 PARA IDENTIFICARLO Y EL ESPACIO DE

FRACASO LO DEFINIMOS COMO 0 PARA DISTINGUIR LAS FORMAS DE DISTRIBUCIÓN.

P(0)=P (X=0)=1-P

P(1)=P (X=1) P

EJERCICIOSCUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ENCESTAR DE UN SOLO

TIRO

SUBJETIVA

22% ÉXITO 1 FRACASO 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1º Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea

X 1 si la moneda cae en “cara” y X 0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X?

Puesto que X 1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito,

P(X = 1), es igual a 0.5.

Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X =1 si el dado

cae seis y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

La probabilidad de éxito es p P (X =1) 1/6.

Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso está defectuoso.

Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X =1 si el componente está defectuoso y

X =0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

La probabilidad de éxito es p P(X = 1) 0.1

GRÁFICA

0

0,5

1

1,5

2

0% 400% 600%FRECUENCIA ABSOLUTA

GRAFICA BARRAS

0%

400%

600%

º1

GRAFICO SEGUNDO EJERCICIO

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Si se realiza un total de n ensayos de Bernoulli y si

Los ensayos son independientes

Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p

X es el número de éxitos en los n ensayos

entonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p, que se denota como

X ~ Bin (n, p).

FORMULA

P(X=K)= n CkP^K(1-P)^N-K

EJERCICIOSDetermine la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X si X Bin(10, 0.4).Determine P (X=5).

EJEMPLOS

EPITACIO HACE 5 INTENTOS POR ENCESTAR

INTENTOS

P(0),P(1),P(2),P(3).

APLICACIÓN;

P (X=0)= 5!__ (0.22)^0 (0.78)^5-0

0!(5-0)!

(P=0)= 0.2887 O 28.87%

P (X=1)= 5!__ (0.22)^1 (0.78)^5-1

1!(5-1)!

(P=1)= 0.40711 O 40.71%

P (X=2)= 5!__ (0.22)^2(0.78)^5-2

2!(5-2)!

(P=2)=0.2296 O 22.96 %

P (X=3) 5!__ (0.22)^3 (0.78)^5-3 3!(5-3)!

(P=3)=0.0644 O 6.44%

P (X=4)= 5!__ (0.22)^4 (0.78)^5-4 4!(5-4)!

(P=4)= 0.009135

P (X=5)= 5!__ (0.22)^5 (0.78)^5-5 5!(5-5)!

(P=5)=0.0004019833

GRÁFICA

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4 5

GRAFICO APLICACIÓN

012345

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Un comisionado de seguridad en una gran ciudad quiere estimar la proporción de edificios enla ciudad que viola los códigos de incendios. Se elige una muestra aleatoria de 40 edificiospara inspeccionarlos, y se descubre que cuatro no cumplen el código de incendios. Estime laproporción de edificios en la ciudad que violan éste y encuentre la incertidumbre en la estimación.SoluciónSea p la proporción de edificios en la ciudad que no cumple el código de incendios. El tamañomuestral (número de ensayos) es n 40. El número de edificios con violaciones (éxitos)es X 4. Se estima p con la proporción muestral ˆ p.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

40

GRAFICA

GRAFICA

GRAFICO APLICACIÓN

EJERCICIO DE APLICACIÓN

EJERCICIO

DE UN LOTE DE 5000 PIEZAS CUYA TAZA DE DEFECTOS ES DEL 11% SE TOMA UNA MUESTRA DE 100 PIEZAS DETERMINA LA PROBABILIDAD DE QUE

0,5,10 PIEZAS RESULTEN DEFECTUOSAS

SOLUCIÓNP (X-0)=100!/0!(100-0)! (0.11)^0 (1-0.11)^100-0 =0.000008689

P (X-5)=100!/5!(100-5)! (0.11)^5 (1-0.11)^100-5 =0.018868485

P (X-10)=100!/10!(100-10)! (0.11)^10 (1-0.11)^100-10 =0.125121597

• P (X=x)=n!/X!(n-x)! P ^x(1-P) n-x

GRÁFICA

SOLUCIÓN GRAFICO 1

0%2%4%6%8%

10%12%14%

0 5 10

PIEZAS DEFECTUOSAS

PR

OB

AB

ILID

AD

0

5

10

DISTRIBUCIÓN POISSON

La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera deconsiderarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p espequeña.

FORMULA

P= (X-x)=λ^x/X! e^λ

EJERCICICIOS DE POISSONEN UNA CENTRAL RECIBE EN PROMEDIO 4 LLAMADAS POR HORA ,

CALCULAR LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES :

A) QUE EN UNA HORA SE RECIBA UNA LLAMADA

B) QUE EN UNA HORA SE RECIBAN DOS LLAMADAS

C) QUE EN UNA HORA SE RECIBAN 3, 4,5,6,7,8,9,10 LLAMADAS

D) QUE EN UNA HORA SE RECIABA AL MENOS UNA LLAMADA

E) QUE EN UNA HORA SE RECIBAN CUANDO MUCHO 4 LLAMADAS

SOLUCIÓNP (X=0)=4/0! e ^-4= 0.0183156389

P (X=1)=4/1! e ^-4= ´0.07326

P (X=2)=4/2! e ^-4=0.1465251112

P (X=3)=4/3! e ^-4=0.1953668148

P (X=4)=4/4! e ^-4=0.1953668148

P (X=5)=4/5! e ^-4=0.1562934519

P (X=6)=4/6! e ^-4=0.1041956346

P (X=7)=4/7! e ^-4=0.0595403626

P (X=8)=4/8! e ^-4=0.0297701813

P (X=9)=4/9! e ^-4=0.0132311917

P (X=10)=4/10! e ^-4=0.0052924767

GRAFICA

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LLAMADAS

POISSON 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

SOLUCIÓN

AL MENOS UNA LLAMADA

1-P(0)=P (X≤1) =0.981684361

CUANDO MUCHO CUATRO LLAMADAS

P (X≤4)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) =0.628834379

GRÁFICA 1 Y 4 LLAMADAS

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LLAMADAS

VA

LO

RE

S D

E

PR

OB

AB

ILID

AD

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución exponencial es una distribución continua,

Se utiliza para modelar el tiempo de vida de un componente.

Hay una relación cercana entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson.

FORMULA

EJERCICIOS

La distribución exponencial y el proceso de PoissonSe mencionó que algunas veces se utiliza la distribución exponencial para modelar el tiempode espera de un evento. Resulta que la distribución exponencial es el modelo correcto para lostiempos de espera siempre y cuando los eventos sigan un proceso de Poisson. Recuerde de lasección 4.3 que los eventos que siguen un proceso Poisson con un parámetro de razón λ cuandolos números de eventos en intervalos disjuntos son independientes, y el número X de eventosque ocurre en un intervalo con una longitud t tiene una distribución de Poisson con mediaP (X ≤ 1) = 1 − e−2(1) = 0.865ResumenSi X Exp (λ), la función de distribución acumulativa de X esF (x) = P (X ≤ x) = (4.32)1 − e−λx x > 00 x ≤ 0 Si X Exp (λ), entonces X =1λ2 μX =1λ λt, es decir, cuando X Poisson(λt)