ecuación cubica
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Ecuación Cubica
La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es
aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma ax3 +
bx2 + cx +d igual a cero.
Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0
se obtiene unaecuación cuadrática o de grado dos)
Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia
pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del
profesor Scipione del Ferro quien nunca publicó nada al respecto.
La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de
engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso
libro "Ars Magna".
Método de solución de la ecuación cúbica
Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
Reescribiendo la ecuación se tiene forma canónica
Donde y por último
A continuación se hace la sustitución para eliminar el término x2 de
la ecuación
Que simplificando equivale a que también
puede escribirse como
(Ecuación cúbica reducida)
Donde y
Ahora sea en la ecuación reducida
La última ecuación se hace cero si
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Cuyas soluciones son
Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene
Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que
Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la
ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones (lo cual se garantiza
gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.
Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación
cúbica reducida por
Z - Z1
Siendo
La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0
Dividiendo se tiene
Por tanto se tiene . Solo nos interesa
el Segundo factor
ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.
es una ecuación de segundo grado con
soluciones
En conclusión las tres soluciones son
Nuevamente recordando que x = z – j/3
La raíz cuadrada que contiene a nos ayuda a determinar cuántas
soluciones reales o complejas posee la ecuación
Si entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas
Si las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.
Si Las tres raíces son reales.
Ejemplos
Primer ejemplo: 2x3+5x2+4x+1 = 0
Se procede por identificar los términos a=2, b=5, c=4 y d=1
Luego se calculan j, k y l que son los que nos permiten encontrar p y q
j = b/a = 5/2, j = 2.5
k = c/a = 4/2, k = 2
l = d/a = 1/2, l = 0.5
,luego ; p = -1/12
, luego ; q = -1/108
Se procede con el cálculo de Z1,Z2 y Z3
Como x = z – j/3 tenemos que sustituir cada una de las zetas encontradas para
encontrar las raíces de la ecuación
x1 = z1 – j/3; x1 = 1/3 – 2.5/3, x1 = - 1/2
x2 = z2 – j/3; x2 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1
x3 = z3– j/3; x3 = - 1/6 – 2.5/3, x1 = - 1
Tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones reales donde dos de ellas son
iguales. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en
particular
Segundo ejemplo: x3 + 2x2 + x + 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c=1 y d=2
Luego se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = 1/1, k =1
l = d/a = 2/1, l = 2
,luego ; p = -1/3
, luego ; q = 52/27
Se procede con el cálculo de Z1, Z2 y Z3
x = z – j/3 Se debe sustituir cada una de las zetas encontradas para encontrar las
raíces de la ecuación
x1 = z1 – j/3; x1 = -4/3 – 2/3, x1 = - 2
x2 = z2 – j/3; x2 = 2/3 + i – 2/3, x1 = i
x3 = z3– j/3; x3 =2/3 – i – 2/3, x1 = - i
Esta es una ecuación cúbica con una sola solución real dos imaginarias y dos
complejas conjugadas. Lo cual se sabía antes ya que para esta ecuación en
particular
Tercer ejemplo: x3 + 2x2 - x - 2 = 0
Se procede por identificar los términos a=1, b=2, c= -1 y d= -2
A continuación se calculan j, k y l para encontrar p y q
j = b/a = 2/1, j = 2
k = c/a = - 1/1, k = - 1
l = d/a = - 2/1, l = - 2
,luego ; p = -7/3
, luego ; q = -20/27
Como (ya que obtuvimos -1/3) Las tres raíces son reales. El
problema para continuar resolviendo este ejemplo es que debemos calcular las
raíces cúbicas de dos cantidades complejas. Es por eso que debemos encontrar
una fórmula alternativa para este caso.
Caso Irreducible de la Ecuación Cúbica
Si se reescribe como
Por la fórmula de Moivre se sabe que
Sumando ambas igualdades se obtiene
Pero (r es el argumento del número complejo que
equivale a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y la parte
imaginaria)
Por tanto
Se deduce
Para encontrar el ángulo se procede con la
igualdad
Continuando con el ejemplo 3
Encontremos primero el ángulo
Luego los valores de las zetas
x1 = z1 – j/3; x1 = 5/3 – 2/3, x1 = 1
x2 = z2 – j/3; x2 = -4/3 – 2/3, x1 = -2
x3 = z3 – j/3; x3 = -1/3 – 2/3, x1 = -1
Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación de tercer grado
Estas propiedades pueden ser comprobadas por el lector para los tres ejemplos
que se desarrollaron.
El caso general[editar]
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible
resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o
ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números
complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars
Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano Gerolamo
Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de
Cardano.
Fórmula general[editar]
Artículo principal: Método de Cardano
Dada la ecuación cúbica
Se calculan las siguientes cantidades:
En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:
(*)
Al ser el discriminante se tiene:
i) una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si D > 0.
ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0.
iii) todas las raíces son reales y distintas si D < 0.
En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben
las soluciones (*) mediante fórmulas trigonométricas:
donde:5
Ejemplos[editar]
Ejemplo 1[editar]
Sea la ecuación cúbica , Se procederá
a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.
(al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:
, y desarrollando, se obtiene la
ecuación en forma reducida .
x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son
las raíces de X² + X - 1 = 0.
Se despeja U, V y t.
y , luego
y .
Por lo tanto
Ejemplo 2[editar]
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael
Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver
ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya
expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).
La ecuación dada es x³ - 15x - 4 = 0.
Estudiando la función x → x³ - 15x - 4 o calculando el
discriminante Δ = 13068 > 0, se puede comprobar que esta
ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser
más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.
Puesto que está en forma reducida se
sustituye x = u + v, U = u³, V = v³.
U + V = 4 y UV = 125.
U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación de
segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo
tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite
encontrar las raíces, todas reales, pasando
obligatoriamente por los números complejos.
Esta constatación fue un argumento a favor de los
complejos: son herramientas imprescindibles para
resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones
reales.
Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces
cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los
reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el
argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y
se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que
emplea las partes real e imaginaria:
Escríbase u = a + bi. Entonces u³ = 2 - 11i equivale al
sistema:
a³ - 3ab² = 2 (parte real)
3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria)
a² + b² = 5 (módulo)
Se obtiene a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es
su conjugado: v = 2 + i.
En conclusión, x0 = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que
se verifica de inmediato.
Las otras raíces son:
x1 = ω(2 - i) + ω(2 + i) = - 2 + √3
y
x2 = ω²(2 - i) + ω²(2 + i) = - 2 - √3,
donde ω es igual a -1/2 + √3/2i y ω es igual a
-1/2 - √3/2i.
Cuando Δ es negativo, U y V son
conjugados, y por lo tanto también lo
son u y v (con tal de bien escoger la raíz
cúbica, recordando que uv = -p/3); así
estamos seguros de obtener un x real, y de
hecho también x1 y x2.
Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene
otra equivalente incompleta o completa
condicionada (familia de cúbicas), que se
puede observar mediante el cambio de
variable x=z+k. Con esto podemos encontrar
otrafórmula general para las ecuaciones
cúbicas, diferente a las fórmulas
de Cardano o Tartaglia.
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