ediţia a ix a, târgoviște, 15 martie 2008 clasa a...
Post on 04-Nov-2019
16 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a V-a
Subiectul 1. Determinaţi cifrele 𝑎, 𝑏, 𝑐 astfel încât
𝑎𝑏𝑐2 + 3 ∙ 𝑎𝑏𝑐 = 4𝑎𝑏𝑐 + 1234.
Gazeta Matematică
Subiectul 2. Demonstraţi că dublul sumei numerelor naturale care împărţite la 2007 dau câtul și
restul egale se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive.
RMT
Subiectul 3. Fie 𝑛 ∈ ℕ∗ și mulţimile
𝐴 = 1
2,2
3,3
4, … ,
2007
2008 , 𝐵 =
2
1,3
2,4
3, … ,
𝑛 + 1
𝑛 .
a) Arătaţi că 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
b) Pentru 𝑛 = 2007, calculaţi produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵.
c) Pentru 𝑛 = 2008, calculaţi suma elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵.
d) Determinaţi 𝑛 ∈ ℕ∗ astfel încât produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵 să aparţină mulţimii 𝐴.
Călin Burdușel
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VI-a
Subiectul 1. Demonstraţi că fracţia
20072007 ∙ 20082008 + 2007
20072008 ∙ 20082007 + 2006 este ireductibilă.
RMT
Subiectul 2. Mulţimea 𝑀 = {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎14} este format din 14 numere distincte. Arătaţi că există o
submulţime a sa cu proprietatea că suma elementelor sale este multiplu de 13.
Călin Burdușel
Subiectul 3. Pe latura (𝐴𝐵) a triunghiului isoscel 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, 𝑚 𝐴 = 200) se ia un punct 𝐷
astfel ca 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. În exteriorul triunghiului 𝐴𝐵𝐶 se construiește triunghiul echilateral 𝐴𝐷𝐸. Să se
arate că (𝐶𝐷 este bisectoarea unghiului 𝐴𝐶𝐸 .
RMT
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VII-a
Subiectul 1. Fie mulţimile
𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ 3𝑛 + 7 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑢 11} , 𝐵 = 𝑛 ∈ ℕ 7𝑛 + 3 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑢 11}.
a) Demonstraţi că 𝑛 ∈ 𝐴 dacă și numai dacă 𝑛 + 6 se divide cu 11.
b) Demonstraţi că 𝑛 ∈ 𝐵 dacă și numai dacă 𝑛 + 2 se divide cu 11.
c) Demonstraţi că 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Călin Burdușel
Subiectul 2. Calculaţi suma
𝑆𝑛 = 𝑎
3 +
𝑎2
3 + ⋯ +
𝑎𝑛
3 ,
unde 𝑎 este un număr natural nedivizibil cu 3, iar 𝑛 ∈ ℕ∗.
(prin [𝑥] am notat partea întreagă a lui 𝑥)
Călin Burdușel
Subiectul 3. Fie triunghiul oarecare 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 < 𝐴𝐶), iar 𝐴𝐿, 𝐴𝑀 bisectoarea, espective mediana
din 𝐴 (𝐿, 𝑀 ∈ 𝐵𝐶 ). Paralelele din 𝑀 și 𝐿 la 𝐴𝐶, espective 𝐴𝐵, intersectează 𝐴𝐿 în 𝐷 și 𝐴𝑀 în 𝐸.
Demonstraţi că:
a) 𝐴𝐷 ⊥ 𝐷𝐸.
b) 𝐷𝐸 intersectează 𝐴𝐶 în 𝐹. Calculaţi 𝐴𝐹 în funcţie de laturile triunghiului.
c) Deduceţi că punctele 𝐵, 𝐷, 𝐸 sunt coliniare.
Călin Burdușel
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VIII-a
Subiectul 1. a) Fie triunghiul 𝐴𝐵𝐶 de laturi 𝑎, 𝑏, 𝑐. Demonstraţi că
(𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐)2
𝑎2 + 2𝑏2 + 3𝑐2= 6
dacă și numai dacă triunghiul este echilateral.
b) Fie poligonul de laturi 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 . Demonstraţi că
(𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛)2
𝑎12 + 2𝑎2
2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛2 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
dacă și numai dacă poligonul are toate laturile egale.
Călin Burdușel
Subiectul 2. Dacă 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ sunt astfel încât
𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑 ≥ 10(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2),
arătaţi că 𝑎2 + 𝑑2 = 𝑏2 + 𝑐2 .
Călin Burdușel
Subiectul 3. Se dă tetraedrul (𝐴𝐵𝐶𝐷) în care 𝑚 𝐴𝐵𝐷 = 𝑚 𝐷𝐵𝐶 = 300 , 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2 3 cm și
triunghiul 𝐴𝐷𝐶 este echilateral cu 𝐷𝐶 = 6 cm.
a) Demonstraţi că 𝐴𝐵𝐷 ⊥ (𝐵𝐷𝐶).
b) În cazul în care 𝑚 𝐴𝐷𝐵 < 900 , calculaţi 𝑑(𝐵, 𝐴𝐷𝐶 ).
RMT
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a IX-a
Subiectul 1. Demonstraţi că pentru orice numere reale nenule 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑥, 𝑦 are loc inegalitatea
(𝑎 + 𝑏 sin 𝑥)2 + (𝑐 + 𝑑 sin𝑦)2 + (𝑎 + 𝑏 cos 𝑥)2 + (𝑐 + 𝑑 cos 𝑦)2
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2≤ 3.
Dinu Teodorescu
Subiectul 2. Fie 𝑓: ℝ → ℝ astfel încât 𝑓 𝑥 + 2𝑓 1
𝑥 = 𝑥2 +
2
𝑥2 + 3, oricare ar fi 𝑥 ∈ ℝ∗. Calculaţi
𝑆 = 1
𝑓 𝑘 − 2
2007
𝑘=2
.
Gazeta Matematică
Subiectul 3. Să se aşeze numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 în tabelul de mai jos, astfel încât
fiecare număr să apară o singură dată, iar sumele numerelor pe fiecare din cele trei linii şi cele patru
coloane să fie cele scrise pe prima linie, respectiv prima coloană. Justificare!
∑ 21 10 18 29
24
15
39
C.d.p. Adrian Atanasiu
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a X-a
Subiectul 1. Rezolvaţi în numere reale ecuaţia 25[𝑥] + 5𝑥 = 6 ∙ 5[𝑥].
Gazeta Matematică
Subiectul 2. a) Demonstraţi că funcţia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, definită prin formula
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑥
este strict crescătoare pe intervalul 𝑎,𝑎+𝑏
2 și strict descrescătoare pe intervalul
𝑎+𝑏
2, 𝑏
b) Rezolvaţi în numere reale ecuaţia 𝑥 + 24 + 10 − 𝑥 = 𝑥2 + 14𝑥 − 7.
Cristinel Mortici
Subiectul 3. Fie 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 ∈ ℂ de același modul 𝑟 > 0. Demonstraţi că numărul complex
𝑤 = 𝑧𝑗
𝑧𝑘
3
𝑘=1
3
𝑗=1
are partea reală nulă dacă și numai dacă 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral.
* * *
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a XI-a
Subiectul 1. Fie 𝑥𝑛 𝑛≥1 un șir de numere reale strict pozitive astfel încât șirul 𝑦𝑛 = 𝑛 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛
este mărginit. Demonstraţi că lim𝑛→∞ 𝑥𝑛( 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) = 0 și calculaţi lim𝑛→∞ 1 +𝑥𝑛
𝑛
2𝑛+1
𝑥𝑛 .
Dinu Teodorescu
Subiectul 2. Fie 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℤ) astfel încât 𝐴 + 𝐴𝑡 = 0𝑛 . Demonstraţi că determinantul matricei 𝐼𝑛 − 𝐴2
este pătrat perfect, iar determinantul matricei 𝐼𝑛 + 𝐴2 este suma a două pătrate perfecte.
Cristinel Mortici
Subiectul 3. Fie 𝑎 < 𝑏 și 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ o funcţie Rolle cu proprietăţile:
a) 𝑎𝑓 𝑏 = 𝑏𝑓(𝑎)
b) 𝑓(𝑥) ≠ 0, oricare ar fi 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Demonstraţi că există 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) astfel încât 𝑓 𝑐 = 𝑐𝑓 ′(𝑐).
Gazeta Matematică
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a XII-a
Subiectul 1. a) Fie 𝐺 un grup finit și 𝐴 o submulţime a lui 𝐺 astfel încât 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 >1
2∙ 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐺.
Demonstraţi că pentru orice 𝑔 ∈ 𝐺, există 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐴 astfel încât 𝑔 = 𝑎1𝑎2.
b) Fie 𝐾 un corp finit. Demonstraţi că pentru orice 𝑥 ∈ 𝐾, există 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾 astfel încât 𝑥 = 𝑢2 + 𝑣2.
* * *
Subiectul 2
Fie 𝑎 > 1. Calculaţi integrala
𝐼 𝑎 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑥𝑑𝑥.
𝑎
1/𝑎
Gazeta Matematică
Subiectul 3. Se onsider o funcţie derivabilă 𝑓: [0,1] → ℝ cu 𝑓 0 = 0 și având proprietatea că
0 ≤ 𝑓 ′(𝑡) ≤ 1, oricare ar fi 𝑡 ∈ 0,1 . Demonstraţi că
𝑓 𝑡 𝑑𝑡1
0
2
≥ 𝑓3 𝑡 𝑑𝑡1
0
.
* * *
Notă:
Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10.
Timp de lucru: 2 ore și jumătate
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a V-a – Barem de corectare
1. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct
Numerele sunt 𝑛 = 2007𝑟 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 2006.........................................................................3 puncte
𝑛 = 2008𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 2006...........................................................................................................1 punct
Suma lor este 𝑆 = 2008 ∙ 0 + 2008 ∙ 1 + ⋯ + 2008 ∙ 2006....................................................2 puncte
𝑆 = 2008 ∙2007 ∙2006
2...................................................................................................................2 puncte
2𝑆 = 2006 ∙ 2007 ∙ 2008............................................................................................................1 punct
2. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct
𝑎𝑏𝑐2 = 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 2..............................................................................................1 punct
𝑎𝑏𝑐 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 ...............................................................................................................1 punct
Membrul stâng este 1300𝑎 + 130𝑏 + 13𝑐 + 2........................................................................2 puncte
Membrul drept este 5234 + 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐............................................................................1 punct
Egalitatea devine 1200𝑎 + 120𝑏 + 12𝑐 = 5232......................................................................2 puncte
sau 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 436, adică 𝑎𝑏𝑐 = 436...........................................................................1 punct
Rezultă 𝑎 = 4, 𝑏 = 3, 𝑐 = 6.........................................................................................................1 punct
3. Oficiu........................................................................................................................................1 punct
a) Motivarea cerinţei....................................................................................................................1 punct
b) Produsul elementelor din 𝐴 este 1/2008................................................................................1 punct
Produsul elementelor din 𝐵 este 𝑛 + 1, iar pentru 𝑛 = 2007, este 2008..................................1 punct
Produsul căutat este 1.................................................................................................................1 punct
c) Pentru 𝑛 = 2008, 𝐵 = 2
1,
3
2, … ,
2009
2008 , iar suma este 2 ∙ 2007 + 2 = 4016.........................2 puncte
d) Produsul elementelor din 𝐴 ∪ 𝐵 este 𝑛+1
2008...............................................................................1 punct
Trebuie determinat 𝑛 ∈ ℕ∗ cu 𝑛+1
2008=
𝑘
𝑘+1, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2007, 𝑛 = 2008 −
2008
𝑘+1,
2008 = 23 ∙251. Luăm 𝑘 + 1 ∈ {2, 4, 8, 251, 2 ∙ 251, 4 ∙ 251, 8 ∙ 251}......................................1 punct
și determinăm 𝑛 ∈ {1004, 15061, 1757, 2000, 2004, 2006, 2007}...........................................1 punct
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VI-a
1. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct
Fie d un divizor comun numărătorului și numitorului,
𝑑|20072008 ∙ 20082008 + 20072 și 𝑑|20072008 ∙ 20082008 + 2006 ∙ 2008............................3 puncte
𝑑|20072 − 2006 ∙ 2008............................................................................................................3 puncte
d divide 1....................................................................................................................................3 puncte
2. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct
𝑆𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 14..........................................................................................1 punct
Există 𝑞𝑘 , 𝑟𝑘 ∈ ℕ astfel încât 𝑆𝑘 = 13𝑞𝑘 + 𝑟𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 14, 0 ≤ 𝑟𝑘 ≤ 12.................................2 puncte
Avem 14 resturi în mulţimea {0,1,2, … ,12}, deci conform principiului cutiei,
două resturi vor fie gale, adică există 𝑟𝑖 = 𝑟𝑗 .............................................................................3 puncte
𝑆𝑗 − 𝑆𝑖 = 𝑎𝑖+1 + 𝑎𝑖+2 + ⋯ + 𝑎𝑗 ..................................................................................................1 punct
𝑆𝑗 − 𝑆𝑖 = 13 𝑞𝑗 − 𝑞𝑖 , adică 13|𝑆𝑗 − 𝑆𝑖......................................................................................1 punct
Alegem submulţimea 𝑁 = {𝑎𝑖+1 , 𝑎𝑖+2 , … , 𝑎𝑗 }.............................................................................1 punct
3. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct
∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐶𝐴𝐸 (𝐿𝑈𝐿)................................................................................................................3 puncte
Rezultă că 𝐷𝐶𝐸 ≡ 𝐷𝐶𝐴 ..............................................................................................................3 puncte
Finalizare.....................................................................................................................................3 puncte
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu” Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VII-a 1. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct
a) Necesitate............................................................................................................................1,5 puncte
Suficienţă.................................................................................................................................1,5 puncte
b) Necesitate............................................................................................................................1,5 puncte
Suficienţă.................................................................................................................................1,5 puncte
c) Dacă 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, atunci există 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ∈ 𝐴 și 𝑛 ∈ 𝐵..............................................................1 punct
Există 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ astfel încât 𝑛 + 6 = 11𝑘 și 𝑛 + 2 = 11𝑙..............................................................1 punct
11 𝑘 − 𝑙 = 4, fals, deci 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅............................................................................................1 punct
2. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct
Fie 𝑠 = 𝑎
3 +
𝑎2
3 + ⋯ +
𝑎𝑛
3
Cazul I. 𝑎 = 3𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℕ, deci 𝑎𝑛 = 𝑀3 + 1
𝑠 =1
3+
1
3+ ⋯ +
1
3=
𝑛
3.................................................................................................................1 punct
𝑆𝑛 =𝑎
3+
𝑎2
3+ ⋯ +
𝑎𝑛
3− 𝑠 =
𝑎𝑛 +1−𝑎
3(𝑎−1)−
𝑛
3.....................................................................................1 punct
Cazul II. 𝑎 = 3𝑝 + 2, 𝑝 ∈ ℕ, deci 𝑎𝑛 = 𝑀3 + 1, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑀3 + 2, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
.......................................1 punct
Fie 𝑠𝑛 = 𝑎
3 +
𝑎2
3 + ⋯ +
𝑎𝑛
3
𝑠2𝑛 = 𝑎
3 +
𝑎2
3 + ⋯ +
𝑎2𝑛
3 =
2
3+
1
3+
2
3+
1
3+ ⋯ +
2
3+
1
3= 𝑛.............................................2 puncte
𝑆2𝑛 =𝑎
3+
𝑎2
3+ ⋯ +
𝑎2𝑛
3− 𝑠2𝑛 =
𝑎2𝑛+1−𝑎
3(𝑎−1)− 𝑛.............................................................................1 punct
𝑠2𝑛+1 = 𝑎
3 +
𝑎2
3 + ⋯ +
𝑎2𝑛+1
3 =
2
3+
1
3+
2
3+
1
3+ ⋯ +
2
3+
1
3+
2
3=
3𝑛+2
3..........................2 puncte
𝑆2𝑛+1 =𝑎
3+
𝑎2
3+ ⋯ +
𝑎2𝑛+1
3− 𝑠2𝑛+1 =
𝑎2𝑛+2−𝑎
3(𝑎−1)−
3𝑛+2
3.............................................................1 punct
3. Din oficiu..................................................................................................................................1 punct
a) Fie 𝑂 = 𝑀𝐷 ∩ 𝐸𝐿, 𝑀𝑂 linie mijlocie în ∆𝐶𝐵𝐴, deci median în ∆𝑀𝐸𝐿.................................1 punct
∆𝐷𝑂𝐿 este isoscel........................................................................................................................1 punct
Rezultă 𝐷𝑂 = 𝑂𝐿 = 𝑂𝐸, adică ∆𝐸𝐷𝐿 este dreptunghic.............................................................1 punct
b) ∆𝐸𝐷𝐿~∆𝐴𝐷𝐹, deci 𝐸𝐿
𝐴𝐹=
𝐷𝐿
𝐷𝐴....................................................................................................1 punct
Avem 𝐸𝐿
𝐴𝐵=
𝑀𝐿
𝑀𝐵 și
𝐷𝐿
𝐷𝐴=
𝑀𝐿
𝑀𝐶...........................................................................................................1 punct
Teorema bisectoarei: 𝐵𝐿
𝐿𝐶=
𝐴𝐵
𝐴𝐶, deci 𝐵𝐿 =
𝐵𝐶∙𝐴𝐵
𝐴𝐶+𝐴𝐵, 𝑀𝐿
𝑀𝐵=
𝐴𝐶−𝐴𝐵
𝐴𝐶+𝐴𝐵................................................1 punct
𝐸𝐿 =𝐴𝐵(𝐴𝐶−𝐴𝐵)
𝐴𝐶+𝐴𝐵, deci
𝑀𝐿
𝑀𝐶=
𝐴𝐶−𝐴𝐵
𝐴𝐶+𝐴𝐵, AF=AB..................................................................................1 punct
c) 𝐷𝐹 ∩ 𝐴𝐵 = {𝐵′ }, ∆𝐴𝐵′𝐹 isoscel, deci 𝐴𝐵′ = 𝐴𝐹..................................................................1 punct
Rezultă că 𝐵′ ≡ 𝐵, deci B, D, E coliniare....................................................................................1 punct
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a VIII-a
1. Din oficiu...................................................................................................................................1 punct
a) 2(𝑎 − 𝑏)2 + 6(𝑏 − 𝑐)2 + 3(𝑎 − 𝑐)2 = 0..............................................................................3 puncte
Finalizare.......................................................................................................................................1 punct
b) 𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛≤ 𝑥1
2+𝑥22+⋯+𝑥𝑛
2
𝑛..................................................................................................1 puncte
𝑎1+2𝑎2+⋯+𝑛𝑎𝑛𝑛 (𝑛+1)
2
=𝑎1+ 𝑎2+𝑎2 +⋯+(𝑎𝑛 +⋯+𝑎𝑛 )
𝑛 (𝑛+1)
2
≤ 𝑎1
2+2𝑎22+⋯+𝑛𝑎𝑛
2
𝑛 (𝑛+1)
2
................................................2 puncte
(𝑎1+2𝑎2+⋯+𝑛𝑎𝑛 )2
𝑎12+2𝑎2
2+⋯+𝑛𝑎𝑛2 ≤
𝑛(𝑛+1)
2................................................................................................................1 punct
Egalitatea are loc pentru 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 ..............................................................................1 punct
Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
10 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 ≤ (𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑)2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 (1 + 2 + 3 + 4)......4 pct
𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 + 2𝑑 = 10 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 ....................................................................1 punct
Egalitate pentru 𝑎
1=
𝑏
2=
𝑐
3=
𝑑
2= 𝑘.......................................................................................2 puncte
𝑎2 = 𝑘2 , 𝑏2 = 2𝑘2, 𝑐2 = 3𝑘2 , 𝑑2 = 4𝑘2 și 𝑎2 + 𝑑2 = 𝑏2 + 𝑐2................................................2 puncte
Subiectul 3. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
a) Fie 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐷 (𝐸 ∈ 𝐵𝐷 ), ∆𝐴𝐸𝐵 ≡ ∆𝐵𝐸𝐶 𝐿𝑈𝐿 , deci 𝐴𝐸 = 𝐶𝐸 = 3 și 𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐸...........2 puncte
𝐴𝐸 ⊥ 𝐶𝐸 și rezultă concluzia......................................................................................................2 puncte
b) 𝑉 𝐴𝐵𝐶𝐷 =𝑆𝐵𝐶𝐷 ∙𝑑(𝐴, 𝐵𝐶𝐷 )
3, 𝑑 𝐴, 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐸....................................................................1 punct
𝐵𝐸 = 3, 𝐷𝐸 = 3, 𝐵𝐷 = 3 + 3................................................................................................1 punct
𝑆𝐵𝐶𝐷 =3(1+ 3)
2, 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =
3+ 3
2.....................................................................................................1 punct
𝑑 𝐵, 𝐴𝐶𝐷 = 1 + 3..............................................................................................................2 puncte
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a IX-a – Barem de corectare
Subiectul 1. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
(𝑎 + 𝑏 sin 𝑥)2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2 (1 + sin2 𝑥), etc.............................................................................4 puncte
Finalizare.....................................................................................................................................5 puncte
Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
Înlocuiește 𝑥 cu 1/𝑥...................................................................................................................2 puncte
Determină 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1..........................................................................................................4 puncte
Calculează corect 𝑆.....................................................................................................................3 puncte
Fie 𝑓: ℝ → ℝ astfel încât 𝑓 𝑥 + 2𝑓 1
𝑥 = 𝑥2 +
2
𝑥2 + 3, oricare ar fi 𝑥 ∈ ℝ∗. Calculaţi
𝑆 = 1
𝑓 𝑘 − 2
2007
𝑘=2
.
Subiectul 3. Din oficiu...............................................................................................................1 punct
Pentru grila completă.................................................................................................................7 puncte
Justificare.............................................................................................................................2 puncte
NOTA: În cazul nerezolvării grilei, pentru fiecare număr bine așezat se vor acorda 0,5 puncte.
(Dacă în lucrare sunt mai multe grille, se va lua în considerare cea mai bună).
21 10 18 29
24 7 3 5 9
15 4 1 2 8
39 10 6 11 12
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a X-a
Subiectul 1. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
25[𝑥] < 6 ∙ 5[𝑥]...........................................................................................................................2 puncte
5[𝑥] < 6......................................................................................................................................2 puncte
[𝑥] ≤ 1.......................................................................................................................................2 puncte
𝑥 = 0, 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙.....................................................................................................................1 puncte
𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 1........................................................................................................................2 puncte
Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
a) ................................................................................................................................................4 puncte
b) Monotonia funcţiei 𝑥2 + 14𝑥 − 7.........................................................................................2 puncte
Monotonia pe intervalele [−24, −7] și [−7,10]........................................................................1 puncte
Cel mult o soluţie pe [−24, −7] și [−7,10]..................................................................................1 punct
𝑥 = −15 și 𝑥 = 1 sunt soluţii.......................................................................................................1 punct
Subiectul 3. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
𝑤 = −𝑤......................................................................................................................................3 puncte
Obţine 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0...........................................................................................................3 puncte
Finalizare.....................................................................................................................................3 puncte
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a XI-a
Subiectul 1. Din oficiu..................................................................................................................1 punct 𝑥𝑛
𝑛→ 0 (Cesaro-Stolz).................................................................................................................3 puncte
lim𝑛→∞𝑥𝑛
𝑛∙ 𝑛( 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛) = 0..................................................................................................3 puncte
lim𝑛→∞ 1 +𝑥𝑛
𝑛
2𝑛+1
𝑥𝑛 = 𝑒2.........................................................................................................3 puncte
Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
det 𝐼𝑛 − 𝐴 = det 𝐼𝑛 − 𝐴 𝑡 = det 𝐼𝑛 + 𝐴 ..............................................................................2 puncte
det 𝐼𝑛 − 𝐴2 = det 𝐼𝑛 − 𝐴 2....................................................................................................3 puncte
det 𝐼𝑛 + 𝐴2 = 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2.......................................................................................................4 puncte
Subiectul 3. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
Definește 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ, 𝑔 𝑥 =𝑥
𝑓(𝑥)........................................................................................3 puncte
𝑔 𝑎 = 𝑔(𝑏) și aplică Rolle........................................................................................................3 puncte
Finalizare:...................................................................................................................................3 puncte
NOTA: Rezolvarea care utilizează funcţia 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ, 𝑔 𝑥 =𝑓(𝑥)
𝑥, unde 𝑥 se poate anula, va fi
cotată cu cel mult 7 puncte.
Colegiul Naţional Constantin Carabella Târgoviște
Societatea de Știinţe Matematice din România Filiala Dâmboviţa
Str. Pârvan Popescu 58, colegiucarabella@yahoo.com
Telefon / fax: 0245-210785 / 0245-217625 www.freewebs.com/ssm_dambovita
ssm_dambovita@yahoo.com
Concursul de Matematică “Cezar Ivănescu”
Ediţia a IX-a, Târgoviște, 15 Martie 2008
Clasa a XII-a
Subiectul 1. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
a) Consideră mulţimea 𝐵 = 𝑔𝑎2−1 𝑎2 ∈ 𝐴}.............................................................................2 puncte
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵 = 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴...........................................................................................................................2 punct
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵 + 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 > 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐺 ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅....................................................................................1 punct
b) Consideră mulţimea 𝐴 = 𝑥2 𝑥 ∈ 𝐾}...................................................................................2 puncte
𝑐𝑎𝑟𝑑𝐴 >1
2𝑐𝑎𝑟𝑑𝐾........................................................................................................................1 punct
Finalizare, conform a)..................................................................................................................1 punct
Subiectul 2. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
Schimbarea 𝑥 = 1/𝑦..................................................................................................................3 puncte
Calculează 𝐼 𝑎 + 𝐼(𝑎)...............................................................................................................3 puncte
Finalizare.....................................................................................................................................3 puncte
Subiectul 3. Din oficiu...................................................................................................................1 punct
Consideră 𝑔 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥
0
2− ∫ 𝑓3 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0..........................................................................3 puncte
𝑔′ ≥ 0.........................................................................................................................................4 puncte
𝑔(1) ≥ 𝑔(0) și finalizare............................................................................................................2 puncte
top related