repository.nusamandiri.ac.id · edisi kedua cetakan pertama, 2016 hak cipta © 2016 pada penulis,...
Post on 19-Oct-2020
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
KHALIFAH MEDIATAMA
Hj. Dwiza Riana, S.Si, M.M, M.KomHermansyah, S.T, M.M
APLIKASI STATISTIKA DESKRIPTIF ITU MUDAHCONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN(PROGRAM MS. EXCEL DAN SPSS)
EDISI 2
Book 1.indb 1 26/09/2016 19:41:03
Edisi Kedua Cetakan Pertama, 2016
Hak Cipta © 2016 pada penulis,Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Riana, Hj. Dwiza HermansyahAplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah/Hj. Dwiza Riana, Hermansyah—Edisi Kedua— Jawa Barat; Khalifah Mediatama, 2016xxiv + 354 hlm, 1 jil. 23 cmISBN: 978-602-6323-22-4
I. Statistika II. Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah1. Judul 2. Penulis
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu MudahContoh Soal dan Pembahasan (Program Excel dan SPSS)
Hj. Dwiza Riana, S.Si, M.M, M.KomHermansyah, S.T, M.M
KHALIFAH MEDIATAMAKomplek Pamulang ElokBlok K1A, Nomor 20, Pondok Petir Bojong Sari, Depok, Jawa BaratTelp./Fax : 021-74771723E-mail : khalifahmediatama@yahoo.co.id
Book 1.indb 2 26/09/2016 19:41:03
iii
KATA SAMBUTANRektor U-BSI Bandung
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Seraya memanjatkan puji dan syukur ke Hadhirat Allah SWT, saya atas nama pemimpin Universitas BSI Bandung menyambut baik atas penerbitan buku
“Aplikasi Statistika Deskriptif itu Mudah (Program Excel dan SPSS)”, yang disusun oleh Ibu Hj. Dwiza Riana, M.M, M.Kom dan Bapak Hermansyah,S.T,M.M. Saya yakin, buku ini akan sangat bermanfaat bagi para mahasiswa dan pembaca pada umumnya dalam memahami proses berfikir induktif, khususnya yang berkenaan dengan analisis kuantitatif untuk berbagai kepentingan atau kegiatan keilmuan secara teoritis maupun praktis. Bagi para dosen di lingkungan perguruan tinggi BSI diharapkan menjadi motivasi tersendiri dalam menulis karya ilmiah sesuai dengan program “One Lecturer One Book” yang sudah dicanangkan beberapa tahun yang lalu. Tujuannya, di samping memenuhi kebutuhan bahan pembelajaran bagi para mahasiswa, juga sebagai wujud produktivitas kinerja dosen dalam memenuhi tugas profesinya terutama yang berkaitan dengan penulisan karya ilmiah. Seperti dimaklumi bersama, seorang dosen memiliki tugas keahliannya untuk melaksanakan Tri Dharma Perguruan Tinggi yang terdiri dari (1) pendidikan dan pengajaran, (2) penelitian dan penulisan karya ilmiah, dan (3) pengabdian pada masyarakat. Di samping itu, setiap dosen dituntut pula untuk melaksanakan tugas penunjang Tri Dharma berupa aktivitas di lingkungan kelembagaan, baik yang terkait dengan akademik maupun tidak.
Book 1.indb 3 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahiv
Penulisan buku, adalah bentuk partisipasi penulisan karya ilmiah di samping bentuk-bentuk lainnya seperti menulis makalah untuk seminar dan menulis artikel ilmiah untuk dipublikasikan di media massa. Dengan cara ini, kebutuhan internal pembelajaran tidak lagi tergantung pada bahan yang disiapkan orang lain. Sebaliknya orang lain bisa ikut memanfaatkan hasil karya kita sendiri. Artinya, kemampuan kita dapat dikenal pihak lain dan sekaligus menunjukkan kualitas berpikir yang dimiliki. Akhirnya, Saya berharap semoga langkah penulis buku ini diikuti oleh dosen-dosen lainnya sesuai bidang ilmu dan keahlian masing-masing. Dengan demikian, khasanah keilmuan akan terus berkembang dan Insya Allah akan berkontribusi penting terhadap peningkatan kesejahteraan hidup manusia.
Wassalam.Bandung, 01 September 2016Rektor,
Dr. H. Purwadhi, M. Pd
Book 1.indb 4 26/09/2016 19:41:03
v
KATA PENGANTAR
Seraya memanjatkan puji dan syukur ke hadirat Allah SWT, semoga buku Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah (Program Excel dan SPSS), Contoh
Soal dan Pembahasan ini bermanfaat bagi para pembaca, khususnya bagi para guru, dosen dan mahasiswa yang mempelajari ilmu Statistika. Aplikasi program menjadi pilihan dan pembanding bagi pembaca untuk mempelajari ilmu statistika lebih mudah. Dalam kehidupan sehari-hari data bukanlah hal yang asing bagi kita. Dengan data kita mengungkapkan fakta. Ilmu statistika membantu kita mengolah data secara akurat untuk mengungkapkan fakta. Sebagai disiplin ilmu, Statistika dipelajari oleh pembaca dari berbagai disiplin ilmu. Bagi sebagian pembaca ilmu statistika bukanlah ilmu yang mudah dipelajari, terlihat rumit dan sulit dimengerti. Padahal pada kenyataannya tidak sedikit pembaca yang menyukai dan mencintai Statistika. Berdasarkan kenyataan ini perlu ditanamkan bahwa ilmu Statistika itu mudah dan bukan sesuatu yang harus ditakuti. Statistika dapat dipelajari dengan cara mudah jika tersedia buku-buku pendukung yang berisi penyampaian materi yang akrab di telinga pembaca. Materi pembahasan yang lugas dan memberikan kesempatan yang banyak pada pembaca untuk berlatih soal dan sekaligus dapat memeriksa sendiri kebenaran dari jawabannya. Aplikasi program Excel dan SPSS menjadi penunjang statistika telah menjadi bagian dari akurasi dan kemudahan tersebut.
Book 1.indb 5 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahvi
Pemahaman terhadap perhitungan-perhitungan dasar dalam materi Statistika Deskriptif akan memberikan kemudahan bagi pembaca untuk mempelajari ilmu Statistika yang lebih lanjut. Inilah alasan sederhana mengapa buku Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah, Contoh Soal dan Pembahasan (Program Excel dan SPSS) ini disusun, sehingga para pembaca dapat yakin bahwa sesungguhnya Statistika itu sangat mudah dipelajari dan bukan menjadi sesuatu yang menyulitkan. Mudah-mudahan melalui buku ini, para pembaca memahami dasar-dasar ilmu Statistika Deskriptif, dan selanjutnya dapat menerapkan dan mengembangkan perhitungan-perhitungan Statistika dalam praktek nyata di kehidupan. Kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk memperbaiki tulisan ini sehingga memberikan manfaat yang lebih besar bagi banyak kalangan. Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang memungkinkan buku ini terbit, mudah-mudahan menjadi amal sholeh dan mendapat imbalan yang berlipat ganda dari Allah SWT, Tuhan Yang Maha Kuasa.Amien
Bandung, 01 September 2016
Hj. Dwiza Riana, S.Si, M.M, M.KomHermansyah, S.T, M.M
Book 1.indb 6 26/09/2016 19:41:03
vii
DAFTAR ISI
KATA SAMBUTAN: REKTOR U-BSI BANDUNG ....................................... iiiKATA PENGANTAR ......................................................................................... vDAFTAR ISI ...................................................................................................... viiDAFTAR TABEL DAN GAMBAR ................................................................... xiii
BAB 1 DISTRIBUSI FREKUENSI ............................................................. 11.1 Pengertian ............................................................................... 21.2 Mengenal Istilah-Istilah dalam Distribusi Frekuensi ........ 21.3 Tahap-Tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi ............... 31.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data .. 51.5 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi ............................................ 14
1.5.1 Distribusi Frekuensi Kumulatif ........................................... 141.5.2 Distribusi Frekuensi Relatif .................................................. 15
1.6 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif .............................. 181.6.1 Histogram .................................................................................. 181.6.2 Poligon Frekuensi ................................................................... 191.6.3 Ogif .............................................................................................. 22
1.7 Notasi Sigma ........................................................................... 261.8 Jenis Grafik ............................................................................. 38
1.8.1 Grafik Garis (Line Chart) ....................................................... 381.8.2 Grafik Batang (Bar Chart) ...................................................... 42
Book 1.indb 7 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahviii
1.8.3 Grafik Lingkaran (Pie Chart) ................................................. 461.8.4 Grafik Gambar (Pictogram) .................................................. 50
1.9 Rangkuman ............................................................................. 531.10 Latihan Soal ........................................................................... 541.11 Jawaban Latihan Soal ............................................................ 61
BAB 2 UKURAN PEMUSATAN DATA TIDAK BERKELOMPOK ........ 732.1 Rata-Rata Hitung ................................................................... 73
2.1.1 Pengertian ................................................................................. 732.1.2 Macam-Macam Rata-Rata Hitung ..................................... 762.1.3 Beberapa Sifat Rata-Rata Hitung....................................... 81
2.2 Median ................................................................................... 852.3 Modus ...................................................................................... 912.4 Hubungan antara Nilai Rata-Rata Hitung, ........................
Median dan Modus ................................................................ 922.5 Kuartil, Desil dan Persentil ................................................... 94
2.5.1 Kuartil .......................................................................................... 942.5.2 Desil ............................................................................................. 982.5.3 Persentil ...................................................................................... 104
2.6 Rata-Rata Ukur (Geomethric Mean) .................................... 1102.7 Rata-Rata Harmonis (Harmonic Mean) .............................. 1122.8 Rangkuman ............................................................................. 1142.9 Latihan Soal ............................................................................ 1152.10 Jawaban Latihan Soal ........................................................... 116
BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DATA BERKELOMPOK ...................... 1253.1 Rata-Rata Hitung ................................................................... 1253.2 Median ..................................................................................... 1283.3 Modus ...................................................................................... 1313.4 Kuartil ...................................................................................... 1343.5 Desil ......................................................................................... 1383.6 Persentil ................................................................................... 1463.7 Rangkuman ............................................................................ 1543.8 Latihan Soal ............................................................................ 1553.9 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 157
Book 1.indb 8 26/09/2016 19:41:03
ixDaftar isi
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA ................................................... 1634.1 Jangkauan (Range) ................................................................. 163
4.1.1 Jangkauan Data yang Belum Dikelompokkan ............. 1644.1.2 Jangkauan Data yang Sudah Dikelompokkan ............. 164
4.2 Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation) ............................ 1654.2.1 Simpangan Rata-Rata Data yang Belum Dikelompokkan ....................................................................... 1664.2.2 Simpangan Rata-Rata Data yang Sudah Dikelompokkan ....................................................................... 167
4.3 Variansi (Variance) ................................................................. 1694.3.1 Variansi (Variance) Data yang Belum Dikelompokkan ....................................................................... 1704.3.2 Variansi (Variance) Data yang Sudah Dikelompokkan ....................................................................... 171
4.4 Standar Deviasi (Standard Deviation) ................................ 1734.4.1 Standar Deviasi (Standard Deviation) yang Belum Dikelompokkan .............................................. 1734.4.2 Standar Deviasi (Standard Deviation) yang Sudah Dikelompokkan .............................................. 174
4.5 Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil 10 – 90 .......... 1824.5.1 Jangkauan Kuartil (JK) ......................................................... 1834.5.2 Jangkauan Persentil (JP) ..................................................... 184
4.6 Koefisien Variasi ..................................................................... 1874.7 Koefisien Variasi Kuartil........................................................ 1904.8 Nilai Baku (Z) ......................................................................... 1924.9 Rangkuman ............................................................................. 1944.10 Latihan Soal ............................................................................ 1944.11 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 197
BAB 5 UKURAN PENYEBARAN DATA (KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN) ............................................................................. 205
5.1 Kemiringan Distribusi Data ................................................. 2065.1.1 Rumus Pearson ....................................................................... 2075.1.2 Rumus Momen ........................................................................ 2135.1.3 Rumus Bowley ......................................................................... 219
Book 1.indb 9 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahx
5.2 Keruncingan Distribusi Data ................................................ 2235.2.1 Keruncingan Distribusi Data yang Belum
Dikelompokkan ....................................................................... 2245.2.2 Keruncingan Distribuisi Data yang Sudah
Dikelompokkan ....................................................................... 225
5.3 Rangkuman ............................................................................. 2285.4 Latihan Soal ............................................................................ 2285.5 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 229
BAB 6 ANGKA INDEKS.............................................................................. 2336.1 Pengertian ............................................................................... 2336.2 Penyusunan Angka Indeks dan Pemilihan Tahun Dasar ........................................................ 2346.3 Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi ............................. 2356.4 Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index) ....... 236
6.4.1 Indeks Relatif Harga Sederhana (Simple Relatif Price Index) .................................................... 2366.4.2 Indeks Harga Agregatif Sederhana (Tidak Tertimbang) ................................................................. 2396.4.3 Indeks Rata-Rata Relatif Harga Sederhana .................... 241
6.5 Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index) ....................... 2446.5.1 Indeks Harga Agregatif Tertimbang ................................. 2456.5.2 Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres............. 2456.5.3 Indeks Harga Agregatif Tertimbang Paasche ............... 2466.5.4 Indeks Drobisch dan Indeks Fisher ................................... 2516.5.5 Indeks Harga Walsh dan Marshall–Edgeworth ............. 2546.5.6 Indeks Rata-Rata Relatif Harga Tertimbang .................. 259
6.6 Indeks Berantai ....................................................................... 2616.7 Rangkuman ............................................................................. 2626.8 Latihan Soal ............................................................................ 2636.9 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 265
Book 1.indb 10 26/09/2016 19:41:03
xiDaftar isi
BAB 7 REGRESI DAN KORELASI ............................................................ 2697.1 Pengertian Regresi dan Korelasi ........................................... 2697.2 Regresi dan Korelasi............................................................... 2697.3 Analisa Regresi Sederhana .................................................... 2707.4 Pembuatan Analisa Regresi Sederhana ............................... 2717.5 Analisa Korelasi Sederhana .................................................. 2797.6 Koefisien Determinasi (r2) .................................................... 2807.7 Kesalahan Baku dari Penaksiran Y= a + bx ....................... 2897.8 Rangkuman ............................................................................. 2997.9 Latihan Soal ............................................................................ 2997.10 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 301
BAB 8 ANALISIS DATA BERKALA .......................................................... 3098.1 Komponen Deret Berkala ..................................................... 3108.2 Cara Menentukan Trend ....................................................... 313
8.2.1 Metode Setengah Rata-rata (Semi Average) .................. 3138.2.2 Metode Rata-Rata Bergerak (Moving Average) ............ 3238.2.3 Metode Kuadrat Minimum (Least Square)...................... 332
8.3 Rangkuman ............................................................................. 3368.4 Latihan Soal ............................................................................ 3378.5 Jawaban Latihan Soal ............................................................. 337
BAB 9 APLIKASI MS. EXCEL DAN SPSS ................................................ 3419.1 Tutorial Membuat Distribusi Frekuensi Menggunakan MS. Excel 2016 ............................................. 3429.2 Tutorial Membuat Regresi dan Korelasi Menggunakan SPSS ............................................................... 347
9.2.1 Regresi ........................................................................................ 3479.2.2 Korelasi ....................................................................................... 350
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 353
Book 1.indb 11 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxii
Book 1.indb 12 26/09/2016 19:41:03
xiii
DAFTAR TABEL DAN GAMBAR
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................................ 8Tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................................ 8Tabel 1.3 Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............... 10Tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung ................................................... 11Tabel 1.5 Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ................ 13Tabel 1.6 Distribusi Frekuensi dari Nilai Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ....................................................................... 14Tabel 1.7 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................................ 15Tabel 1.8 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ...................... 16Tabel 1.9 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung ................................................... 16Tabel 1.10 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa
Perancangan Sistem 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ......... 17
Book 1.indb 13 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxiv
Tabel 1.11 Distribusi Frekuensi dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ................. 17
Tabel 1.12 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .................................................... 18Tabel 1.13 Distribusi Frekuensi nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ...................................... 19Tabel 1.14 Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ........................................................................................... 21Tabel 1.15 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............................................................................................... 22Tabel 1.16 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............................................................................................... 23Tabel 1.17 Distribusi Frekuensi Kurang Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP................................................................................................ 25Tabel 1.18 Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP................................................................................................ 25Tabel 1.19 Penggunaan keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007 ................................................................................. 38Tabel 1.20 Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008 ................... 39Tabel 1.21 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................................................................................ 40Tabel 1.22 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................................................ 41Tabel 1.23 Penggunaan Barang Produksi di PT. Kahatex Selama Tahun 2005 – 2009 ................................................................................. 43Tabel 1.24 Data Angka Kelahiran di Kota Jakarta Tahun 2004 – 2009 ............. 44Tabel 1.25 Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ............................. 45Tabel 1.26 Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 ................................................................................. 46Tabel 1.27 Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001................... 47Tabel 1.28 Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ....... 48Tabel 1.29 Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) .............................. 50Tabel 1.30 Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ........................................................................................ 51
Book 1.indb 14 26/09/2016 19:41:03
xvDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 1.31 Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) ....................................................................................... 52Tabel 1.32 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............................................................................ 55Tabel 1.33 Distribusi Frekuensi dari Nilai Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ................................................................................................... 55Tabel 1.34 Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............... 56Tabel 1.35 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa ........................................................................... 56Tabel 1.36 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .................................................... 57Tabel 1.37 Penggunaan Barang Produksi di PT. Kahatex selama Tahun 2005 – 2009 ................................................................................. 59Tabel 1.38 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006 .................................................................................. 59Tabel 1.39 Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 ................................................................................ 59Tabel 1.40 Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Jaya Agung Tahun 2005 – 2009 .................................................. 60Tabel 1.41 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ....................................................................... 60Tabel 1.42 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan) ....................................................................................... 60Tabel 1.43 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP .................. 62Tabel 1.44 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP Negeri 8 Bandung Kelas 7A .............................................. 63Tabel 1.45 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................ 63Tabel 1.46 Distribusi Frekuensi Relatif pada Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ........................................................ 64Tabel 1.47 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .................................................... 64
Book 1.indb 15 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxvi
Tabel 1.48 Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung ....................................................................... 65Tabel 2.1 Nilai Hasil Ujian ..................................................................................... 74Tabel 2.2 Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan ................... 75Tabel 2.3 Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3 ........................ 76Tabel 2.4 Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko .................................. 79Tabel 2.5 Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan ......................................... 83Tabel 3.1 Modal PT. Maju ...................................................................................... 126Tabel 3.2 Perhitungan Rata-Rata Hitung ............................................................. 126Tabel 3.3 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 127Tabel 3.4 Perhitungan Rata-Rata Hitung ............................................................. 127Tabel 3.5 Modal PT. Maju ...................................................................................... 128Tabel 3.6 Perhitungan Median ............................................................................... 129Tabel 3.7 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 130Tabel 3.8 Perhitungan Median ............................................................................... 130Tabel 3.9 Modal PT. Maju ...................................................................................... 131Tabel 3.10 Perhitungan Modus ................................................................................ 132Tabel 3.11 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 133Tabel 3.12 Perhitungan Modus ................................................................................ 133Tabel 3.13 Modal PT. Maju ...................................................................................... 134Tabel 3.14 Perhitungan Kuartil ................................................................................ 135Tabel 3.15 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 136Tabel 3.16 Perhitungan Kuartil ................................................................................ 137Tabel 3.17 Modal PT. Maju ...................................................................................... 139Tabel 3.18 Perhitungan Desil ................................................................................... 139Tabel 3.19 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 142Tabel 3.20 Perhitungan Desil ................................................................................... 143Tabel 3.21 Modal PT. Maju ...................................................................................... 147Tabel 3.22 Perhitungan Persentil ............................................................................. 147Tabel 3.23 Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri ............... 151Tabel 3.24 Perhitungan Persentil ............................................................................. 151Tabel 3.25 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ........................................... 155Tabel 3.26 Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati ........................ 155Tabel 3.27 Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung ................................. 156
Book 1.indb 16 26/09/2016 19:41:03
xviiDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 3.28 Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung ....................... 156Tabel 3.29 Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung ....................................................................... 157Tabel 3.30 Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung ........................................... 157Tabel 3.31 Perhitungan Median dan Modus .......................................................... 158Tabel 3.32 Perhitungan Kuartil ................................................................................ 159Tabel 3.33 Perhitungan Desil ................................................................................... 160Tabel 3.34 Perhitungan Persentil ............................................................................. 161Tabel 4.1 Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung ....................................................................... 165Tabel 4.2 Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati ..................... 168Tabel 4.3 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ...................................................... 168Tabel 4.4 Modal Perusahaan Cahaya .................................................................... 172Tabel 4.5 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi ............................... 172Tabel 4.6 Modal Perusahaan Cahaya .................................................................... 175Tabel 4.7 Distribusi Lengkap untuk Perhitungan Variansi ................................ 175Tabel 4.8 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi.......................................... 177Tabel 4.9 Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi ............................. 178Tabel 4.10 Modal Perusahaan Cahaya .................................................................... 179Tabel 4.11 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi.......................................... 179Tabel 4.12 Modal Perusahaan Cahaya .................................................................... 181Tabel 4.13 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi.......................................... 181Tabel 4.14 Berat Badan 20 Mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung ........................................................... 183Tabel 4.15 Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia .................................... 184Tabel 4.16 Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Universitas BSI Bandung ....................................................................... 185Tabel 4.17 Perhitungan Koefisien Variasi ............................................................... 188Tabel 4.18 Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung ....................................................................... 191Tabel 4.19 Modal Perusahaan PT. Andri ................................................................ 194Tabel 4.20 Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen Universitas BSI Bandung ....................................................................... 195Tabel 4.21 Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung ....................................................................... 195
Book 1.indb 17 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxviii
Tabel 4.22 Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung................................................................... 196Tabel 4.23 Perhitungan Simpangan Rata-Rata ...................................................... 197Tabel 4.24 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi ............................... 198Tabel 4.25 Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi ........ 199Tabel 4.26 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi.......................................... 201Tabel 4.27 Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi.......................................... 202Tabel 5.1 Perhitungan Standar Deviasi................................................................. 208Tabel 5.2 Perhitungan Standar Deviasi................................................................. 210Tabel 5.3 Distribusi Frekuensi ............................................................................... 211Tabel 5.4 Perhitungan ............................................................................................ 211Tabel 5.5 Perhitungan Standar Deviasi................................................................. 214Tabel 5.6 Modal Perusahaan Citra ........................................................................ 216Tabel 5.7 Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi dan Derajat Kemiringan ............................................ 216Tabel 5.8 Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ................................................... 218Tabel 5.9 Perhitungan Derajat Kemiringan ......................................................... 218Tabel 5.10 Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung ....................................................................... 226Tabel 5.11 Perhitungan ............................................................................................. 227Tabel 5.12 Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung ............................. 228Tabel 5.13 Perhitungan ............................................................................................. 229Tabel 6.1 Harga Beras dari 3 Daerah .................................................................... 237Tabel 6.2 Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005 ........................ 240Tabel 6.3 Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008 ........................... 241Tabel 6.4 Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2002 dan 2006 .............. 242Tabel 6.5 Perhitungan ............................................................................................. 242Tabel 6.6 Jenis-Jenis Bahan Tahun 2003 dan 2006 ............................................. 243Tabel 6.7 Perhitungan ............................................................................................. 244Tabel 6.8 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra ........................................... 246Tabel 6.9 Perhitungan ............................................................................................. 247Tabel 6.10 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005 ............................................................................. 248Tabel 6.11 Perhitungan ............................................................................................. 248Tabel 6.12 Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra ........................................... 251Tabel 6.13 Perhitungan ............................................................................................. 252
Book 1.indb 18 26/09/2016 19:41:03
xixDaftar Tabel dan Gambar
Tabel 6.14 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 .......... 252Tabel 6.15 Perhitungan ............................................................................................. 253Tabel 6.16 Penjualan Barang-Barang Elektronik Tahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan) ......................................................................................... 255Tabel 6.17 Perhitungan dengan Cara Walsh .......................................................... 256Tabel 6.18 Perhitungan Indeks dengan Cara Marshall – Edgeworth ................. 256Tabel 6.19 Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005 .......... 257Tabel 6.20 Perhitungan Dengan Cara Walsh ......................................................... 258Tabel 6.21 Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth ............................ 258Tabel 6.22 Harga dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006 ............................................................................. 260Tabel 6.23 Perhitungan ............................................................................................. 261Tabel 6.24 Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995 .............................................. 262Tabel 6.25 Kebutuhan Alat-Alat Kantor Tahun 2002 dan 2007 .......................... 263Tabel 6.26 Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .............. 264Tabel 6.27 Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang dibeli PT. Angkasa .. 264Tabel 6.28 Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009 .............. 265Tabel 6.29 Perhitungan ............................................................................................. 266Tabel 7.1 Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) .............................................................. 272Tabel 7.2 Perhitungan ............................................................................................. 272Tabel 7.3 Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara ........................ 274Tabel 7.4 Perhitungan ............................................................................................. 274Tabel 7.5 Data Antara Biaya Iklan dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer .............................................................. 276Tabel 7.6 Perhitungan ............................................................................................. 276Tabel 7.7 Data Pendapatan dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ............... 278Tabel 7.8 Perhitungan ............................................................................................. 278Tabel 7.9 Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) .............................................................. 281Tabel 7.10 Perhitungan ............................................................................................. 281Tabel 7.11 Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara ........................ 283Tabel 7.12 Perhitungan ............................................................................................. 283Tabel 7.13 Data Antara Biaya Iklan dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer .............................................................. 285Tabel 7.14 Perhitungan ............................................................................................. 285Tabel 7.15 Data Pendapatan dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ ............... 287Tabel 7.16 Perhitungan ............................................................................................. 288
Book 1.indb 19 26/09/2016 19:41:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxx
Tabel 7.17 Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran) .............................................................. 290Tabel 7.18 Perhitungan ............................................................................................. 291Tabel 7.19 Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara ........................ 292Tabel 7.20 Perhitungan ............................................................................................. 294Tabel 7.21 Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa
Eceran Produk Komputer ...................................................................... 295Tabel 7.22 Perhitungan ............................................................................................. 296Tabel 7.23 Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $ .............. 297Tabel 7.24 Perhitungan ............................................................................................. 298Tabel 7.25 Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel 12 Orang Ayah dan Putra ........................................................ 300Tabel 7.26 Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi ............................................ 300Tabel 7.27 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil ................................................. 301Tabel 7.28 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................................ 304Tabel 7.29 Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil ................................................. 305Tabel 7.30 Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku ............................................ 308Tabel 8.1 1Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ........................... 314Tabel 8.2 Perhitungan ............................................................................................. 314Tabel 8.3 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ............................. 316Tabel 8.4 Perhitungan ............................................................................................. 316Tabel 8.5 Besar Pinjaman suatu Negara (Milliaran Rupiah) ............................. 318Tabel 8.6 Perhitungan ............................................................................................. 318Tabel 8.7 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ............................. 320Tabel 8.8 Perhitungan ............................................................................................. 320Tabel 8.9 Besar Pengeluaran Perusahaan (Jutaan Rupiah) ................................ 322Tabel 8.10 Perhitungan Semi Average .................................................................... 322Tabel 8.11 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah) ............................. 327Tabel 8.12 Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun ...................................................... 329Tabel 8.13 Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun ...................................................... 329Tabel 8.14 Besar Penjualan Motor (Jutaan Rupiah) .............................................. 333Tabel 8.15 Perhitungan Least Square .................................................................... 334Tabel 8.16 Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah) ................................... 335Tabel 8.17 Perhitungan ............................................................................................. 335Tabel 8.18 Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah) ..................................... 337Tabel 8.19 Perhitungan ............................................................................................. 337Tabel 8.20 Perhitungan Least Square .................................................................... 340
Book 1.indb 20 26/09/2016 19:41:04
xxiDaftar Tabel dan Gambar
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi ...................................................... 4Gambar 1.2 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ..................... 20Gambar 1.3 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .................................................... 21Gambar 1.4 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .......... 23Gambar 1.9 Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008 ................................................................................ 40Gambar 1.10 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ................................................... 41Gambar 1.11 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ................. 42Gambar 1.12 Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Kahatex Tahun 2005 – 2009 ...................................................... 43Gambar 1.5 Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa .......... 24Gambar 1.6 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa ............................................................................................... 24Gambar 1.7 Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP ........................................................ 26Gambar 1.8 Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri Tahun 2001 – 2007 ................................................... 39Gambar 1.13 Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Jakarta Tahun 2004 – 2009 ......................................................... 44Gambar 1.14 Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002 ............................................................................ 45Gambar 1.15 Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006 ................................. 46Gambar 1.16 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 ............................................................................. 48Gambar 1.17 Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001 ............................................................................. 48
Book 1.indb 21 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxxii
Gambar 1.18 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ....................................................................... 49Gambar 1.21 Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung ....................................................................... 49Gambar 1.20 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) ........................................................................................ 51Gambar 1.21 Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan) ...................................................... 52Gambar 1.22 Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) .................................................... 52Gambar 1.23 Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa Universitas BSI Bandung ............... 65Gambar 1.24 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari pada Tinggi Badan 50 Siswa SMP .................................................................. 66Gambar 1.25 Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari pada Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung .................................................... 66Gambar 1.26 Grafik Garis Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. Abadi selama 2005 – 2009 ........................... 68Gambar 1.27 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006 ............................... 69Gambar 1.28 Grafik Batang Tunggal Dari Data Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005 ...... 69Gambar 1.29 Grafik Batang Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009 ........ 70Gambar 1.30 Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............................................. 70Gambar 1.31 Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung ............................................. 71Gambar 1.32 Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007 (dalam ratusan) .................................................... 71Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Pswanjang ............................................................ 310Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis .................................................................................. 311Gambar 8.3 Variasi Musiman ..................................................................................... 312Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur .......................................................................... 312Gambar 9.1 Memunculkan Menu File ...................................................................... 342Gambar 9.2 Memilih Menu Options ......................................................................... 342
Book 1.indb 22 26/09/2016 19:41:04
xxiiiDaftar Tabel dan Gambar
Gambar 9.3 Menginput Data ...................................................................................... 343Gambar 9.4 Memilih Data Anayisis .......................................................................... 344Gambar 9.5 Menginput Data Variabel kedalam Kolom.......................................... 344Gambar 9.6 Hasil Data dan Grafik ............................................................................ 345Gambar 9.7 Memilih Descriptive Statistics Data ...................................................... 345Gambar 9.8 Menginput Data kedalam Kolom Input Range .................................. 346Gambar 9.9 Hasil Perhitungan Distribusi Frekuensi .............................................. 346Gambar 9.10 Menginput Data ...................................................................................... 347Gambar 9.11 Menginput Variabel kedalam Kolom ................................................... 348Gambar 9.12 Tampilan Menu Save ............................................................................ 348Gambar 9.13 Hasil Perhitungan Regresi ..................................................................... 349Gambar 9.14 Menginput Data ...................................................................................... 350Gambar 9.15 Menginput Variabel kedalam Kolom ................................................... 351Gambar 9.16 Hasil Perhitungan Korelasi .................................................................... 351
Book 1.indb 23 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudahxxiv
Book 1.indb 24 26/09/2016 19:41:04
1
DISTRIBUSI FREKUENSI
Dalam kehidupan sehari-hari secara terus-menerus kita terhubung dengan data. Data nilai adalah contoh data yang paling akrab bagi mahasiswa
dan dosen. Data di perusahaan yang secara lengkap memuat proses tumbuh kembangnya perusahaan. Data kebutuhan layanan Broadband di dunia memperlihatkan kebiasaan, preference dan prioritas pelanggan dalam memilih layanan Internet Broadband. Data-data ini hanya contoh sebagian kecil data yang ada di sekitar kita. Tanpa disadari data yang telah terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar. Sering tumpukan data-data menjadi sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri-cirinya. Meringkas data menjadi suatu kebutuhan. Data yang jumlahnya besar perlu diatur, ditata atau diorganisir sedemikian rupa sehingga dapat dimunculkan ciri khas dari kelompok data tersebut. Salah satu cara dengan meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Untuk menunjukkan ciri-ciri data bisa beragam cara. Secara garis besar ada 2 cara untuk menyajikan data, yaitu dengan tabel dan grafik. Penyajian data secara tabel bisa dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas disebut juga frekuensi kelas. Sedangkan penyajian data dengan grafik dikatakan lebih komunikatif karena dalam waktu singkat seseorang akan dapat dengan mudah memperoleh gambaran dan kesimpulan mengenai suatu keadaan.
Bab 1
Book 1.indb 1 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah2
1.1 Pengertian
Pengertian Distribusi Frekuensi (DF) adalah proses pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Pembuatan DF bertujuan untuk mengatur data mentah atau belum dikelompokkan ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi terbagi menjadi dua kelompok yaitu Distribusi Frekuensi Numerikal dan Distribusi Frekuensi Kategorikal. Pengertian Distribusi Frekuensi Numerikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan angka-angka tertentu, biasanya disajikan dengan grafik histogram.Sedangkan pengertian Distribusi Frekuensi Kategorikal yaitu pengelompokkan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya disajikan dengan grafik batang, lingkaran dan gambar.
1.2 Mengenal Istilah-Istilah dalam Distribusi Frekuensi
Untuk dapat membentuk distribusi frekuensi, kita perlu mengenal istilah-istilah yang ada dalam distribusi frekuensi.Istilah-istilah tersebut adalah: 1. Kelas (Class) adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai
terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. 2. Batas Kelas (Class Limit) adalah nilai batas daripada tiap kelas dalam
sebuah distribusi, terbagi menjadi: States Class Limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi
frekuensi yang terdiri dari Batas bawah Kelas (Lower Class Limit) dan Batas atas Kelas (Upper Class Limit).
3. Tepi Kelas (Class Bounderies) adalah batas kelas yang sebenarnya yang terdiri dari Batas bawah kelas yang sebenarnya (Lower Class Boundary) dan Batas atas kelas yang sebenarnya (Upper Class Boundary)
4. Panjang Kelas atau Lebar Kelas (Class Interval) adalah lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
5. Titik Tengah Kelas (Class Mark/Mid Point) adalah rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau tepi kelasnya.
Book 1.indb 2 26/09/2016 19:41:04
3Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.3 Tahap-Tahap Penyusunan Distribusi Frekuensi
Dalam penyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan yang dapat dijadikan Lakukan pengurutan data-data mentah terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai data bila diperlukan. Selanjutnya lakukan tahapan-tahapan berikut ini: 1. Gunakan rumus berikut untuk menentukan nilai jangkauan atau range (R):
R = Nilai Maksimum Data – Nilai Minimum Data
2. Hitung banyaknya kelas yang diinginkan, dapat digunakan rumus Strugges yaitu:
K = 1 + 3,3 log n
Dimana: K = banyaknya kelas n = banyaknya data
Penggunaan rumus Strugges ini untuk memandu kita menentukan dengan mudah perkiraan jumlah kelas yang dapat dibentuk dari sekelompok data. Hindari terlalu sedikit kelas karena dengan kelas yang jumlahnya sedikit informasi data juga tidak maksimal. Sedangkan jika terlalu banyak kelas dikhawatirkan akan terdapat kelas yang frekuensinya kosong.
3. Dapatkan nilai Interval Kelas dengan menggunakan rumus:
I = R/K
Dimana: I = interval kelas R = range atau jangkauan K = banyaknya kelas 4. Buat batas-batas kelas untuk membentuk kelas-kelas dalam distribusi
frekuensi:
Tbk = bbk – 0,5 (skala terkecil)Tak = bak + 0,5 (skala terkecil)
Book 1.indb 3 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah4
Dimana: Tbk = Tepi bawah kelas Tak = Tepi atas kelas Bbk = Batas bawah kelas Bak = Batas atas kelas Dengan menggunakan batas-batas kelas maka dapat ditentukan pula
panjang interval kelas yaitu Tak – Tbk.
5. Dapatkan titik tengah kelas dengan menggunakan rumus
TTK = ½ (bak +bbk)
Dimana: TTK = titik tengah kelas Bak = batas atas kelas Bbk = batas bawah kelas
6. Setelah kerangka kelas tersusun, masukkanlah data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem Tally atau Turus.
7. Lengkapi distribusi frekuensi dengan cara mengisi kolom frekuensi sesuai dengan jumlah frekuensi data yang dihimpun dalam Tally atau Turus.
Distribusi Frekuensi 6
Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi
1.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data
Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut :
1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri.
2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung.
Gambar 1.1 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi
Book 1.indb 4 26/09/2016 19:41:04
5Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.4 Pembuatan Distribusi Frekuensi dari Sekelompok Data
Setelah mengetahui tahapan pembuatan distribusi frekuensi, maka sekarang kita akan membuat distribusi data dari kelompok-kelompok data berikut: 1. Data tinggi badan 100 orang mahasiswa STMIK Nusa Mandiri. 2. Nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI
Bandung. 3. Nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi
Universitas BSI Bandung. 4. Nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI
Bandung.
Ciri kelompok data di atas adalah semua kelompok data terdiri dari sekumpulan data yang merupakan hasil pengukuran ataupun hasil pemeriksaan yang terdiri dari kumpulan data yang ditampilkan apa adanya. Data seperti itu disebut data mentah dan sering disebut sebagai raw data.
Contoh 1.1*Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini yang diukur dalam cm:
167 164 163 156 164 168 174 163 169 159164 169 162 163 157 167 162 158 165 163165 169 173 159 164 169 163 156 162 168171 157 169 165 167 156 170 164 153 168162 158 161 164 167 163 156 162 164 168158 165 173 156 164 167 163 154 162 169170 161 166 152 163 160 167 162 171 157156 168 161 157 164 166 162 160 165 167160 164 166 155 161 164 167 162 174 159170 153 163 168 162 172 161 164 158 161
Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas susunlah ke dalam tabel distribusi frekuensi.
Book 1.indb 5 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah6
Penyelesaian:Tahap awal jika memungkinkan urutkan kelompok data tinggi badan di atas dari nilai tinggi terendah hingga tertinggi. Setelah diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar secara menyamping untuk data tinggi badan adalah sebagai berikut:
152 153 153 154 155 156 156 156 156 156 156 157 157 157 157 158 158 158 158 159159 159 160 160 160 161 161 161 161 161161 162 162 162 162 162 162 162 162 162162 163 163 163 163 163 163 163 163 163164 164 164 164 164 164 164 164 164 164164 164 165 165 165 165 165 166 166 166167 167 167 167 167 167 167 167 168 168168 168 168 168 169 169 169 169 169 169170 170 170 171 171 172 173 173 174 174
Selanjutnya lakukan tahapan pembuatan distribusi frekuensi dengan langkah-langkah: 1. Periksa nilai maksimum dan nilai minimum dari data terurut di atas,
hitunglah nilai range atau jangkauan. Diperoleh nilai maksimum 174 dan nilai minimum 152, maka diperoleh range (R).
R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 174 – 152 = 22
2. Prediksi jumlah banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 7,6 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 7 atau 8.
3. Untuk contoh ini diambil banyak kelas 8, maka Interval (I) kelasnya diperoleh:
Book 1.indb 6 26/09/2016 19:41:04
7Bab 1 Distribusi Frekuensi
I = R/K = 22/8 = 2,75 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 2 atau 3. 4. Karena nilai minimum data adalah 152, maka kita dapat memilih batas
kelas pertama adalah 150, 151, atau 152 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelas ditentukan 3, maka diambil saja batas kelas pertamanya 152 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya “152 – 154”.
Sehingga diperoleh: Tbk = bbk – 0,5 = 152 – 0,5 = 151,5
Tak = bak + 0,5 = 154 + 0,5 = 154,5
Sehingga panjang interval kelas yaitu “151,5 – 154,5” 5. Didapatkan nilai Titik Tengah Kelas (TTK) pertama adalah:
TTK = ½ (152+154) = 153
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas kedua 155 – 157 adalah 156. Kelas ketiga 158 – 160 adalah 159. Kelas keempat 161 – 163 adalah 162. Kelas kelima 164 – 166 adalah 165. Kelas keenam 167 – 169 adalah 168. Kelas ketujuh 170 –172 adalah 171. Kelas kedelapan 173 – 175 adalah 174.
6. Lakukan proses tally atau turus, pengurutan data pada tahap awal sebelumnya tentu sangat membantu dalam proses ini. Data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
Book 1.indb 7 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah8
Tabel 1.1 Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Turus Frekuensi152 – 154 IIII 4155 – 157 IIII IIII I 11158 – 160 IIII IIII 10161 – 163 IIII IIII IIII IIII IIII 25164 – 166 IIII IIII IIII IIII 20167 – 169 IIII IIII IIII IIII 20170 – 172 IIII I 6173 – 175 IIII 4
7. Langkah terakhir susunlah semua data dalam tabel distribusi frekuensi secara lengkap sebagai berikut.
Tabel 1.2 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Tepi Kelas Titik Tengah Frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
* Penyelesaian Menggunakan Microsoft Excel di BAB 9
Contoh 1.2Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
50 48 22 49 78 59 27 41 68 5434 80 68 42 73 51 76 45 32 5366 32 64 47 76 58 75 60 35 5773 38 30 44 54 57 72 67 51 8625 37 69 71 52 25 47 63 59 64
Buatlah daftar distribusi frekuensinya!
Book 1.indb 8 26/09/2016 19:41:04
9Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:Setelah diurutkan nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung diperoleh:
22 25 25 27 30 32 32 34 35 3738 41 42 44 45 47 47 48 49 5051 51 52 53 54 54 57 57 58 5959 60 63 64 64 66 67 68 68 6971 72 73 73 75 76 76 78 80 86
Selanjutnya dihitung data-data berikut:
1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 86 – 22 = 64
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62
Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6 atau 7.
3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 64/7 = 9,14
Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 9 atau 10.
4. Karena nilai minimum data adalah 22, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 22, 21, atau 20 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 10 maka diambil saja batas kelas pertamanya 20 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 20 – 29.
Book 1.indb 9 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah10
Jadi;
Tbk = bbk – 0,5 = 20 – 0,5 = 19,5
Tak = bak + 0,5 = 29 + 0,5 = 29,5
Panjang interval kelas pertama yaitu “19,5 – 29,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (20+29) = 24,5 Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu
kelas 30 – 39 adalah 34,5. Kelas 40 – 49 adalah 44,5. Kelas 50 – 59 adalah 54,5. Kelas 60 – 69 adalah 64,5. Kelas 70 – 79 adalah 74,5. Kelas 80 – 89 adalah 84,5.
Dengan memakai jajaran data dari data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung, maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
Tabel 1.3Turus dan Frekuensi dari data Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Kelas Turus Frekuensi20 – 29 IIII 430 – 39 IIII II 740 – 49 IIII III 850 – 59 IIII IIII II 1260 – 69 IIII IIII 970 – 79 IIII III 880 – 89 II 2
Book 1.indb 10 26/09/2016 19:41:04
11Bab 1 Distribusi Frekuensi
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap adalah sebagai berikut:
Tabel 1.4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2
Jumlah 50
Contoh 1.3Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
25 27 30 25 34 95 78 50 50 4087 25 95 25 95 40 66 53 70 5339 93 25 27 34 66 53 55 55 5340 89 27 95 89 40 55 53 53 5343 87 89 32 66 53 53 95 53 6478 40 39 30 70 55 95 93 64 4093 34 87 92 68 53 91 37 40 4395 25 93 37 44 53 68 64 37 3734 44 32 91 37 60 53 60 92 9525 25 92 30 91 95 87 55 95 78
Buatlah daftar distribusi frekuensinya!
Penyelesaian:Jajaran data yang diurutkan dari yang paling kecil sampai paling besar untuk data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Book 1.indb 11 26/09/2016 19:41:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah12
25 25 25 25 25 25 25 25 27 2727 30 30 30 32 32 34 34 34 3437 37 37 37 37 39 39 40 40 4040 40 40 40 43 43 44 44 50 5053 53 53 53 53 53 53 53 53 5353 53 53 55 55 55 55 55 60 6064 64 64 66 66 66 68 68 70 7078 78 78 87 87 87 87 89 89 8991 91 91 92 92 92 93 93 93 9395 95 95 95 95 95 95 95 95 95
Selanjutnya dilakukan tahap dan langkah perhitungan berikut: 1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 95 – 25 = 70
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 7,6
Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan antara 7 atau 8 kelas
3. Maka jika banyak kelas diambil 8. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 70/8 = 8,75
Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 8 atau 9.
4. Karena nilai minimum data adalah 25, maka kita dapat memilih batas kelas pertama adalah 25, 24, 23 atau 21 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 9 maka diambil saja
Book 1.indb 12 26/09/2016 19:41:04
13Bab 1 Distribusi Frekuensi
batas kelas pertamanya 25 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 25 – 33.
Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 25 – 0,5 = 24,5
Tak = bak + 0,5 = 33 + 0,5 = 33,5
Panjang interval kelas yaitu “24,5 – 33,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (25+33) = 29
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 34 – 42 adalah 38. Kelas 43 – 51 adalah 47. Kelas 52 – 60 adalah 56. Kelas 61 – 69 adalah 65. Kelas 70 – 78 adalah 74. Kelas 79 – 87 adalah 83. Kelas 88 – 96 adalah 92.
Selanjutnya diperoleh hasil turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
Tabel 1.5Turus dan Frekuensi Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Turus Frekuensi25 – 33 IIII IIII I 1634 – 42 IIII IIII IIII III 1843 – 51 IIII I 652 – 60 IIII IIII IIII IIII 2061 – 69 IIII III 870 – 78 IIII 579 – 87 IIII 488 – 96 IIII IIII IIII IIII III 23
Book 1.indb 13 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah14
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap yaitu sebagai berikut:
Tabel 1.6Distribusi Frekuensi dari Nilai Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
1.5 Jenis-jenis Distribusi Frekuensi
1.5.1 Distribusi Frekuensi Kumulatif
Distribusi frekuensi kumulatif adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya data yang ada di atas atau di bawah suatu nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif ini terbagi menjadi 2 bagian yaitu diantaranya: • Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari (dari atas) yaitu suatu total
frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
• Distribusi Frekuensi kumulatif lebih dari (dari bawah) yaitu suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya.
• Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi.
Book 1.indb 14 26/09/2016 19:41:05
15Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.5.2 Distribusi Frekuensi Relatif
Distribusi frekuensi relatif adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen.
Contoh 1.4Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:
Tabel 1.7Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 – 160 157,5 – 160,5 159 10161 – 163 160,5 - 163,5 162 25164 – 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
Dari 100 ukuran tinggi badan mahasiswa di atas buatlah ke dalam tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!
Penyelesaian:Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti berikut:
Book 1.indb 15 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah16
Tabel 1.8Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang daripada Data Tinggi Badan 100
Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 151,5 0 0152 – 154 ≤ 154,5 4 4155 – 157 ≤ 157,5 15 15158 – 160 ≤ 160,5 25 25161 – 163 ≤ 163,5 50 50164 – 166 ≤ 166,5 70 70167 – 169 ≤ 169,5 90 90170 – 172 ≤ 172,5 96 96173 – 175 ≤ 175,5 100 100
Contoh 1.5 Data nilai ujian Analisa Perancangan Sistem 50 mahasiswa Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.9 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
20 – 29 19,5 – 29,5 24,5 430 – 39 29,5 – 39,5 34,5 740 – 49 39,5 – 49,5 44,5 850 – 59 49,5 - 59,5 54,5 1260 – 69 59,5 – 69,5 64,5 970 – 79 69,5 – 79,5 74,5 880 – 89 79,5 – 89,5 84,5 2
Jumlah 50
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari!
Penyelesaian:Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
Book 1.indb 16 26/09/2016 19:41:05
17Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tabel 1.10Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari Nilai Ujian Analisa Perancangan Sistem 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 19,5 0 020 – 29 ≤ 29,5 4 830 – 39 ≤ 39,5 11 2240 – 49 ≤ 49,5 19 3850 – 59 ≤ 59,5 31 6260 – 69 ≤ 69,5 40 8070 – 79 ≤ 79,5 48 9680 – 89 ≤ 89,5 50 100
Contoh 1.6Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.11 Distribusi frekuensi dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100 mahasiswa Jurusan Akuntansi
Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi Kelas Titik Tengah Frekuensi25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari!
Penyelesaian:Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
Book 1.indb 17 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah18
Tabel 1.12Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR murni Ujian Statistika 100
mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Batas KelasFrekuensi KumulatifLebih dari
PersenKumulatif
25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23
≥ 96,5 0 0
1.6 Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif
Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Untuk menyajikan data dengan histogram dan poligon frekuensi, maka diperlukan sumbu X dan sumbu Y. Biasanya sumbu X dipakai untuk menyatakan kelas interval dan sumbu Y dipakai untuk menyatakan frekuensi kelas baik frekuensi absolut maupun frekuensi relatif. Cara untuk menyajikan data dengan histogram, poligon frekuensi dan ogif adalah sebagai berikut:
1.6.1 Histogram
Suatu histogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing-masing mempunyai: a. Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan lebar
kelas interval. b. Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas.
Book 1.indb 18 26/09/2016 19:41:05
19Bab 1 Distribusi Frekuensi
Jika semua kelas interval sama lebarnya, maka tinggi batang sebanding dengan frekuensi kelas dan biasanya tinggi batang secara numerik sama dengan frekuensi kelas interval. Akan tetapi, jika kelas interval lebarnya tidak sama, maka tinggi batang ini harus disesuaikan.
1.6.2 Poligon Frekuensi
Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dari fekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah–nilai tengah kelas dari puncak batang histogram. Untuk menggambar poligon frekuensi secara lengkap biasanya diperlukan garis tambahan berupa segmen garis yang menghubungkan nilai tengah dari puncak batang histogram pertama dan terakhir dengan nilai tengah kelas yang paling ujung (paling pinggir) di kiri dan di kanan yang frekuensi kelasnya sama dengan nol. Dengan demikian jumlah luas batang histogram sama dengan total luas yang dibatasi oleh poligon frekuensi dan sumbu datar (sumbu X). (Boediono: 2008)
Contoh 1.7Nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagai berikut:
Tabel 1.13Distribusi Frekuensi nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis 80
Mahasiswa
Kelas Tepi Kelas Titik Tengah Frekuensi31 – 40 30,5 – 40,5 35,5 241 – 50 40,5 – 50,5 45,5 351 – 60 50,5 – 60,5 55,5 561 – 70 60,5 – 70,5 65,5 1371 – 80 70,5 – 80,5 75,5 2481 – 90 80,5 – 90,5 85,5 21
91 – 100 90,5 – 100,5 95,5 12Jumlah 80
Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!
Book 1.indb 19 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah20
Penyelesaian:
Gambar 1.2Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
0
10
20
30
Frek
uens
i kel
as
2
30,5 40,5 5
3 5
13
0,5 60,5 70,5batas kelas
2421
5 80,5 90,5 1
12
00,5
Pada gambar di atas, sumbu mendatar menyatakan nilai ujian akhir semester Dasar Manjemen dan Bisnis yang telah dikelompokkan menjadi 7 kelas interval dan yang tampak pada gambar adalah batas kelas dari masing-masing kelas interval. Sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi masing-masing kelas interval. Pada gambar di atas jelas terlihat bahwa batang histogram kelas pertama 30,5 – 40,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 2. Batang histogram kelas kedua dengan batas kelas 40,5 – 50,5 mempunyai lebar batang sama dengan lebar kelas, yaitu C = 10 dan tinggi batang histogram sama dengan frekuensi kelas interval, yaitu f = 3 dan seterusnya. Perhatikan bahwa karena alas dari batang histogram selalu dinyatakan oleh batas kelas, maka antara batang histogram yang satu dengan batang histogram yang lain tidak mempunyai jarak atau berimpit. Perlu diingat bahwa sumbu tegak dari batang histogram dan poligon frekuensi, selain dapat dinyatakan dengan frekuensi relatif atau persen dari frekuensi masing-masing kelas interval. Tentu saja untuk itu diperlukan distribusi frekuensi relatif atau persen frekuensi. Dalam kasus ini, tinggi batang histogram dinyatakan dalam frekuensi relatif masing-masing kelas atau persen frekuensi masing-masing kelas.
Book 1.indb 20 26/09/2016 19:41:05
21Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.8 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.14Distribusi frekuensi dari nilai nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan
Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Buatlah grafik histogram dan poligon frekuensi dari data di atas!
Penyelesaian:
Gambar 1.3Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai OCR murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
0
5
10
15
20
25
24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5
Frek
uens
i kel
as
batas kelas
Book 1.indb 21 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah22
1.6.3 Ogif
Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang dipakai untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk menggambarkan histrogram dan poligon frekuensi. Sumbu datar dari ogif menyatakan batas kelas dan sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif.(Boediono: 2008)
Contoh 1.9Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manejemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa yang data distribusi frekuensi kumulatif kurang darinya sebagai berikut:
Tabel 1.15Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada nilai Ujian Akhir
Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 30,5 0 031 – 40 ≤ 40,5 2 2,541 – 50 ≤ 50,5 5 6,2551 – 60 ≤ 60,5 10 12,561 – 70 ≤ 70,5 23 28,7571 – 80 ≤ 80,5 47 58,7581 – 90 ≤ 90,5 68 81,25
91 – 100 ≤ 100,5 80 100
Book 1.indb 22 26/09/2016 19:41:05
23Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:
Gambar 1.4Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar Manajemen dan
Bisnis 80 Mahasiswa
0 2 5 1023
4768
80
020406080
100
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5Htgmwgpuk"Mwowncvkh
Dcvcu"Mgncu
Contoh 1.10Buatlah ogif dari data nilai Ujian Akhir Semester mata kuliah Dasar Manajemen dan Bisnis dari 80 mahasiswa sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
Tabel 1.16Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai Ujian Akhir
Semester Dasar Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
Kelas Batas KelasFrekuensi KumulatifLebih dari
PersenKumulatif
31 – 40 ≥ 30,5 80 10041 – 50 ≥ 40,5 78 97,551 – 60 ≥ 50,5 75 93,7561 – 70 ≥ 60,5 70 87,571 – 80 ≥ 70,5 57 71,2581 – 90 ≥ 80,5 33 41,25
91 – 100 ≥ 90,5 12 15≥ 100,5 0 0
Book 1.indb 23 26/09/2016 19:41:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah24
Penyelesaian:
Gambar 1.5Ogif Distribusi Frekuensi Lebih Daripada nilai Ujian Akhir Semester Dasar
Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
80 78 7570
57
3312
0020406080
100
30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,5
Frek
uens
i Kum
ulat
if
Batas Kelas
Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh tadi sebagai berikut:
Gambar 1.6Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada Nilai Ujian Akhir Semester Dasar
Manajemen dan Bisnis 80 Mahasiswa
0 2 510
23
47
688080 78 75 70
57
33
1200
20
40
60
80
100
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
100,
5
Htgmwgpuk"Mwowncvkh
Dcvcu"Mgncu
Ogif Frekuensi kumula�f kurang dari
Ogif frekuensi kumula�f lebih dari
Contoh 1.11Buatlah ogif dari data tinggi badan 50 anak SMP sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
Book 1.indb 24 26/09/2016 19:41:06
25Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tabel 1.17Distribusi Frekuensi Kurang Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 104,5 0 031 – 40 ≤ 110,5 2 441 – 42 ≤ 116,5 21 4251 – 51 ≤ 122,5 25 5061 – 42 ≤ 128,5 31 6271 – 69 ≤ 134,5 33 6681 – 78 ≤ 140,5 42 8491 – 87 ≤ 146,5 50 100
Tabel 1.18Distribusi Frekuensi Lebih Daripada Data Tinggi Badan 50 siswa SMP
KelasBatas Kelas
Frekuensi KumulatifLebih dari
PersenKumulatif
105 – 110 ≥ 104,5 50 100111 – 116 ≥ 110,5 38 76117 – 122 ≥ 116,5 29 58123 – 128 ≥ 122,5 25 50129 – 134 ≥ 128,5 19 38135 – 140 ≥ 134,5 17 34141 – 146 ≥ 140,5 8 16
≥ 146,5 0 0
Penyelesaian:Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada ogif frekuensi kumulatif kurang dari dan ogif frekuensi lebih dari dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari, dari contoh di atas sebagai berikut:
Book 1.indb 25 26/09/2016 19:41:06
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah26
Gambar 1.7Ogif Distribusi Frekuensi Kurang Dari dan Lebih Daripada
Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP
0
1221 25
31 3342
5050
3829 25
19 178
00102030405060
104,
5
110,
5
116,
5
122,
5
128,
5
134,
5
140,
5
146,
5
Frek
uens
i Kum
ulat
if
Batas Kelas
Ogif frekuensi kumula�f kurang dari
Ogif frekuensi kumula�f lebih dari
1.7 Notasi Sigma
Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah.
Rumus: Xii
n
=∑
1
dibaca sigma Xi, i dari 1 sampai n
Sifat-sifat Notasi Sigma
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i
n
i
n
i
n
± ±( )= ± ±= = ==
∑ ∑ ∑∑1 1 11
k Xi k Xi ki
n
i
n
. ,= ===
∑∑ bilangan konstanta11
k k k k nki
n
= + + + ==
∑ �1
a.
b.
c.
d.
e.
Xi k Xi kXi ki
n
i
n
−( ) = − +( )==
∑∑ 2 2 2
11
2
Yi a bXi Yi na b Xii
n
i
n
i
n
− −( )= − −= ==
∑ ∑∑1 11
Book 1.indb 26 26/09/2016 19:41:07
27Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.12Diketahui:
X1 = 3 X2 = 5 X3 = 7 X4 = 9 X5 = 11 Y1 = 1 Y2 = 2 Y3 = 3 Y4 = 4 Y5 = 5 Z1 = 2 Z2 = 4 Z3 = 6 Z4 = 8 Z5 = 10
Hitunglah Xi Zi Yii
n
+ +=
∑ !1
Penyelesaian:
Xii
= + + + + ==
∑ 3 5 7 9 11 351
5
Yii
= + + + + ==
∑ 1 2 3 4 5 151
5
Zii
= + + + + ==
∑ 2 4 6 8 10 301
5
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
iii
+ +( )= + +
= + +=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
5
1
5
1
5
35 15 3080
Contoh 1.13Diketahui:
X1 = 15 X2 = 17 X3 = 19 X4 = 21 X5 = 23 Y1 = 11 Y2 = 12 Y3 = 13 Y4 = 14 Y5 = 15 Z1 = 1 Z2 = 2 Z3 = 3 Z4 = 4 Z5 =5
Hitunglah Xi Zi Yii
n
+ +=
∑ !1
Book 1.indb 27 26/09/2016 19:41:08
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah28
Penyelesaian:
Xii=∑ = + + + + =
1
5
15 17 19 21 23 95
Yii=∑ = + + + + =
1
5
11 12 13 14 15 65
Zii=∑ = + + + + =
1
5
1 2 3 4 5 15
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i ii
− −( )= − −
= − −=
= = ==∑ ∑ ∑∑
1 1
5
1
5
1
5
95 65 1515
Contoh 1.14Diketahui:
X1 = 2 X2 = 4 Y1 = 0 Y2 = 1 Y3 = 8
Hitunglah 2 61
Xi Yii
n
=∑ + !
Penyelesaian:
2 6 2 61 1
2
1
3
Xi Yi Xi Yii
n
i i
+( )= += =
∑ ∑ ∑
= 2 (2+4) + 6 (0+1+8) = 2 (6) + 6 (9) = 12 + 54 = 66
Contoh 1.15Diketahui:
B1 = 10 B2 = 8 B3 = 12 C1 = 7 C2 = 8 C3 = 9 D1 = 2 D2 = 6 D3 = 8
Book 1.indb 28 26/09/2016 19:41:09
29Bab 1 Distribusi Frekuensi
Hitunglah Bi Ci Dii
n
=∑ + +
1
!
Penyelesaian:
Bii=∑ = + + =
1
3
10 8 12 30
Cii=∑ = + + =
1
3
7 8 9 24
Dii=∑ = + + =
1
3
2 6 8 16
Bi Ci Di Bi Ci Dii
n
i i i
+ +( )= + +
= + +=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
3
1
3
1
3
30 24 1670
Contoh 1.16F1 = 2 F2 = 3 F3 = 4 F4 = 5 L1 = 6 L2 = 7 L3 = 8 L4 = 9 M1 = 10 M2 = 11 M3 = 12 M4 = 13
Hitunglah Fi Li Mii
n
+ +=
∑ !1
Penyelesaian:
Fii
= + + + ==
∑1
4
2 3 4 5 14
Lii=∑ = + + + =
1
4
6 7 8 9 30
Mi
i=∑ = + + + =
1
4
10 11 12 13 46
Book 1.indb 29 26/09/2016 19:41:11
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah30
Fi Li Mi Fi Li Mii
n
i i i
+ +( )= + +
= + +=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
4
1
4
1
4
14 30 4690
Contoh 1.17Diketahui:
F1 = 25 F2 = 35 F3 = 40 L1 = 5 L2 = 7 L3 = 9M1 = 10 M2 = 13 M3 = 15
Hitunglah Fi Li Mii
n
− −=
∑ !1
Penyelesaian:
Fii=∑ = + + =
1
3
25 35 40 100
Lii=∑ = + + =
1
3
5 7 9 21
Mii=∑ = + + =
1
3
10 13 15 38
Fi Li Mi Fi Li Mii
n
i i i
− −( )= − −
= − −=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1
3
1
3
1
3
100 21 3841
Contoh 1.18Diketahui:
R1 = 10 R2 = 11 R3 = 12 R4 = 15 S1 = 0 S2 = 1 S3 = 2 S4 = 3 T1 = 2 T2 = 3 T3 = 4 T4 = 5
Book 1.indb 30 26/09/2016 19:41:12
31Bab 1 Distribusi Frekuensi
Hitunglah Ri Si Tii
n
=∑ − −
1
!
Penyelesaian:
Rii=∑ = + + + =
1
4
10 11 12 15 48
Sii=∑ = + + + =
1
4
0 1 2 3 6
Tii=∑ = + + + =
1
4
2 3 4 5 14
Ri Si Ti Ri Si Tii i i i
− −( )= − −
= − −=
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1
4
1
4
1
4
1
4
48 6 1428
Contoh 1.19Diketahui: X1 = 7 X2 = 5 X3 = 6 X4 = 3 X5 = 4 k = 3
Hitunglah k Xii
n
. !=
∑1
Penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X X Xi
n
i
n
.= =
∑ ∑= = + + + +( )
= + + + +( )
= ( )
=
1 11 2 3 4 5
3 7 5 6 3 43 2575
Book 1.indb 31 26/09/2016 19:41:14
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah32
Contoh 1.20Diketahui:
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 k = 10
Hitunglah k Xii
n
. !=
∑1
Penyelesaian:
k Xi k Xi k X X Xi
n
i
n
.= =
∑ ∑= = + +( )
= + +( )
= ( )
=
1 11 2 3
10 2 4 610 12120
Contoh 1.21Diketahui:
X1 = 4 X2 = 8 X3 = 12 X4 = 16 X5 = 18 X6 = 24 k = 5
Hitunglah k Xii
n
. !=
∑1
Penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X X X Xi
n
i
n
.= =
∑ ∑= = + + + + +( )
= + + + + +( )1 1
1 2 3 4 5 6
5 4 8 12 16 18 24== ( )
=5 82460
Contoh 1.22 Diketahui:
X1 = 0 X2 = 1 X3 = 2 X4 = 4 k = 15
Hitunglah k Xii
n
. !=
∑1
Book 1.indb 32 26/09/2016 19:41:15
33Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X Xi
n
i
n
.= =
∑ ∑= = + + +( )
= + + +( )
= ( )
=
1 11 2 3 4
15 0 1 2 415 7105
Contoh 1.23Diketahui: n = 5 k = 20
Hitunglah ki
n
!=
∑1
Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
5 20 100.
Contoh 1.24Diketahui:
n = 10 k = ½
Hitunglah ki
n
!=
∑1
Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
10 12
5.
Contoh 1.25 Diketahui:
n = 8 k = 15
Hitunglah ki
n
!=
∑1
Book 1.indb 33 26/09/2016 19:41:15
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah34
Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
8 15 120.
Contoh 1.26Diketahui:
n = 3 k = 25
Hitunglah ki
n
!=
∑1
Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
3 25 75.
Contoh 1.27Diketahui: n = 4 k = 5
Hitunglah ki
n
!=
∑1
Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
4 5 20.
Contoh 1.28Diketahui:
X1 = 5 X2 = 7 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 3
Hitunglah 2 5 2
1
5
Xii
−( )=
∑ !
Book 1.indb 34 26/09/2016 19:41:16
35Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:
2 5 4 10 10 25
4 20 25
2
1
52
1
5
2
1
5
Xi Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i
−( ) = − − +( )
= − +( )
= =
=
∑ ∑
∑
== − +
= + + + +( ) − + + + +( )+===
∑∑∑4 29 25
4 5 7 4 6 3 20 5 7 4 6 3
2
1
5
1
5
1
5
2
Xi Xiiii
55 25
4 5 7 4 6 3 20 25 1254 135 500 125540 500
2 2 2 2 2
( )
= + + + +( )− ( )+
= ( )− += − ++=
125165
Contoh 1.29Diketahui:
X1 = 7 X2 = 8 X3 = 9 X4 = 10 X5 = 11
Hitunglah 4 8 2
1
5
Xii
−( )=
∑ !
Penyelesaian:
4 8 16 64 64
16 64 64
2
1
52
1
5
2
1
5
1
5
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i i
−( ) = − +( )
= − +
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑ii=∑
= + + + +( ) − + + + +( )+ ( )
= + + +
1
5
2
2 2 2
16 7 8 9 10 11 64 7 8 9 10 11 5 64
16 7 8 9 100 11 64 45 32064 415 2880 32026560 2880 32024000
2 2+( )− ( )+
= ( )− += − +=
Book 1.indb 35 26/09/2016 19:41:17
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah36
Contoh 1.30Diketahui:X1 = 2 X2 = 4 X3 =6 X4 = 8
Hitunglah 3 4 2
1
4
Xii
−( )=
∑ !
Penyelesaian:
3 4 9 24 16
9 24 16
2
1
42
1
4
2
1
4
1
4
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i ii
−( ) = − +( )
= − +
= =
= ==
∑ ∑
∑ ∑11
4
2 2 2 2
2 2 2 2
9 2 4 6 8 24 2 4 6 8 4 16
9 2 4 6 8 24 25
∑= + + +( )− + + +( )+ ( )
= + + +( )− ( ))+
= ( )− += − += −
644 120 600 64480 600 64
56
Contoh 1.31Diketahui:
X1 = 2 X2 = 5 X3 = 1 X4 = 2 X5 = 1Y1 = 15 Y2 =17 Y3 = 20 Y4 = 35 Y5 = 30a = 6 b = 2
Hitunglah Yi Xii
n
− −( )=
∑ 6 21
Penyelesaian:
Yi Xi Yi i Xii ii
− −( )= − − =
= + + + +( )−= ==
∑ ∑∑6 2 5 6 2
15 17 20 35 30 301
5
1
5
1
5
.
−− + + + +( )
= − − ( )
= − −=
2 2 5 1 2 1117 30 2 11117 30 2265
Book 1.indb 36 26/09/2016 19:41:18
37Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.32Diketahui:
A1 = 1 A2 = 2 A3 = 3 A4 = 4 A5 = 5B1 = 25 B2 =27 B3 = 29 B4 = 30 B5 = 32a = 5 b = 3
Hitunglah Bi Aii
n
− −( )=
∑ 5 31
Penyelesaian:
Bi Ai Yi Xii ii
− −( )= − −
= + + + +( )− −= ==
∑ ∑∑5 3 5 5 3
25 27 29 30 32 25 21
5
1
5
1
5
.
11 2 3 4 5143 25 2 15143 30 3083
+ + + +( )
= − − ( )
= − −=
Contoh 1.33 Diketahui:
R1 = 3 R2 = 4 R3 = 5 S1 = 10 S2 =25 S3 = 35a = 4 b = 2
Hitunglah Si Rii
n
− −( )=
∑ 4 21
Penyelesaian:
Si Ri Yi Xii ii
− −( )= − −
= + +( )− − + +(= ==
∑ ∑∑4 2 3 4 2
10 25 35 12 2 3 4 51
3
1
3
1
3
.
))
= − − ( )
= − −=
70 12 2 1270 12 2434
Book 1.indb 37 26/09/2016 19:41:18
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah38
1.8 Jenis Grafik
Penyajian data dengan grafik lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. (Boediono: 2008)
1.8.1 Grafik Garis (Line Chart)
Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan suatu keadaan berupa data berkala. Misalnya, jumlah kelahiran tiap tahun, pertumbuhan ekonomi tiap tahun, pendapatan per kapita dari tahun 2000 – 2005, banyaknya bayi yang lahir di rumah sakit per bulan dalam 1 tahun dan lain-lain. Ada beberapa jenis grafik garis, yaitu diantaranya adalah:
a. Grafik Garis Tunggal
Grafik Garis Tunggal adalah grafik yang terdiri dari atas satu garis yang menggambarkan suatu keadaan atau kejadian berupa data berkala dari waktu ke waktu.Untuk menggambarkan grafik garis diperlukan sumbu datar (sumbu X) dan sumbu tegak (sumbu Y).
Contoh 1.34Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang keramik di PD. Mahar Putri selama 2001 – 2007 yang tabelnya tertera dalam tabel berikut ini:
Tabel 1.19Penggunaan keramik di PD. Mahar Putri Selama Tahun 2001 – 2007
Tahun Barang yang digunakan
2001 3762002 5242003 4122004 3102005 2682006 4762007 316
Book 1.indb 38 26/09/2016 19:41:18
39Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:
Gambar 1.8Grafik Garis Tunggal dari data Penggunaan Keramik di PD. Mahar Putri
Tahun 2001 – 2007
0
100
200
300400
500
600
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Bany
akny
a Ba
rang
Tahun
Contoh 1.35Buatlah grafik garis tunggal dari data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Palu dari tahun 2003 – 2008 disajikan pada tabel berikut:
Tabel 1.20Data Angka Kelahiran di Kota Palu Tahun 2003 – 2008
Tahun Angka Kelahiran
2003 3,32004 6,22005 8,12006 10,32007 14,22008 18,7
Book 1.indb 39 26/09/2016 19:41:19
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah40
Penyelesaian:
Gambar 1.9Grafik Garis Ganda dari Data Angka Kelahiran di Kota Palu tahun 2003 – 2008
0
5
10
15
20
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Jum
lah
Pend
uduk
( jut
aan
oran
g )
Tahun
b. Grafik Garis Ganda
Grafik garis berganda adalah grafik yang terdiri atas beberapa garis yang menggambarkan perkembangan beberapa keadaan dari waktu ke waktu.
Contoh 1.36Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan barang ekonomi (dalam miliar dollar) pada tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:
Tabel 1.21 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
TahunBarang Ekonomi
Barang Konsumsi
Barang BakuBarang Modal
2002 1,73 11.73 2,892003 0,83 10,48 2,572004 0,28 0,16 1,722005 0,45 8,36 1,912006 0,5 9,57 2,44
Book 1.indb 40 26/09/2016 19:41:19
41Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:
Gambar 1.10 Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan
Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
0
5
10
15
2002 2003 2004 2005 2006nila
i im
por (
dala
m m
illia
r do
llar)
Tahun
Barang KonsumsiBarang BakuBarang Modal
Contoh 1.37Buatlah grafik garis ganda dari data jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel:
Tabel 1.22Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Putri Agung
Tahun 2005 – 2009
TahunJenis Produk
Laptop Netbook Printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5
Book 1.indb 41 26/09/2016 19:41:19
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah42
Penyelesaian:
Gambar 1.11 Grafik Garis Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis
dan Waktunya di Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009
010203040506070
2005 2006 2007 2008 2009
Jum
lah
Prod
uk T
erju
al
Tahun
Laptop
Netbook
Printer
1.8.2 Grafik Batang (Bar Chart)
Menggambar grafik batang caranya hampir sama dengan menggambarkan grafik garis. Hanya di dalam grafik batang untuk mengatakan suatu keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. Data yang berbentuk kategori atau atribut sangat tepat disajikan dalam diagram ini asalkan tahunnya tidak terlalu banyak. Untuk menggambar grafik batang di perlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama; demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada sumbu tegak dengan skala pada sumbu datar tidak perlu sama. Kalau grafik dibuat tegak, maka sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut atau waktu. Kuantum atau nilai data digambar pada sumbu tegak. Seperti juga pada grafik garis, grafik batang pun terdiri atas beberapa jenis yang diantaranya:
Book 1.indb 42 26/09/2016 19:41:19
43Bab 1 Distribusi Frekuensi
a. Grafik Batang Tunggal
Grafik batang tunggal atau single bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari satu batang saja.
Contoh Soal 1.38Buatlah grafik batang tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Kahatex selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:
Tabel 1.23Penggunaan Barang Produksi di PT. Kahatex Selama Tahun 2005 – 2009
Tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590
Penyelesaian:Gambar 1.12
Grafik Batang Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di PT. KahatexTahun 2005 – 2009
0
2000
4000
6000
8000
2005 2006 2007 2008 2009
Bara
ng y
ang
digu
naka
n
Tahun
Book 1.indb 43 26/09/2016 19:41:19
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah44
Contoh 1.39Data angka kelahiran (dalam jutaan) di kota Jakarta dari tahun 2004 – 2009 disajikan pada tabel berikut dan buatlah grafik batang tunggalnya!
Tabel 1.24Data Angka Kelahiran di Kota Jakarta Tahun 2004 – 2009
Tahun Angka Kelahiran
2004 3,32005 6,22006 8,12007 10,32008 14,22009 18,7
Penyelesaian:
Gambar 1.13Grafik Batang Tunggal Dari Data Angka Kelahiran di Kota Jakarta
Tahun 2004 – 2009
0
5
10
15
20
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Ang
kaKe
lahi
ran
Tahun
b. Grafik Batang Ganda
Grafik batang ganda atau multiple bar chart yaitu grafik batang yang terdiri dari beberapa batang.
Book 1.indb 44 26/09/2016 19:41:19
45Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.40Diketahui banyaknya murid di daerah Kuningan menurut tingkat sekolah dan jenis kelamin pada tahun 2002 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!
Tabel 1.25Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002
TingkatSekolah
Banyaknya MuridLaki-Laki Perempuan
SD 875 687SMP 512 507SMA 347 321STM 476 342SMK 316 427
Jumlah 2526 2048
Penyelesaian:
Gambar 1.14Grafik Batang Ganda Dari Data Banyaknya Murid di Kuningan Tahun 2002
Pen
ConDatmilibata
nyelesaian :
GaBa
ntoh 1.45 ta nilai impoiar dollar) aang gandany
Tabel 1.3Ma
Tahun
2002 2003 2004 2005 2006
Bany
akny
a m
urid
mbar 1.16 Ganyaknya Mu
or menurut gadalah sebaya!
32 Data Nilaiakanan Pokok
Tepung12,73 2,33 3,84 5,55 4,5
0
500
1000
T
Distri
rafik Batangurid di Kunin
golongan makgai berikut
i Impor Menuk Tahun 2002
MakanaRoti
10,93 11,48 2,15 7,23 11,56
Tingkat Sekolah
ibusi Frekuen
g Ganda Daringan Tahun
kanan pokokdan buatlah
urut Golonga2 – 2006
an Pokok Beras5,89 4,75 3,62 1,99 7,39
Laki-L
Perem
nsi 59
i Data 2002
k (dalam h grafik
an
Laki
mpuan
Book 1.indb 45 26/09/2016 19:41:20
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah46
Contoh 1.45Data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam miliar dollar) adalah sebagai berikut dan buatlah grafik batang gandanya!
Tabel 1.26Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok Tahun 2002 – 2006
TahunMakanan Pokok
Tepung Roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39
Penyelesaian:Gambar 1.15
Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan PokokTahun 2002 – 2006
Distribusi Frekuensi 60
Penyelesaian :
Gambar 1.17 Grafik Batang Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut Golongan Makanan Pokok
Tahun 2002 – 2006
1.8.3 Grafik Lingkaran (Pie Chart) Cara lain yang juga sering dipakai untuk menggambarkan data adalah dengan grafik lingkaran. Untuk membuat grafik lingkaran, gambarkanlah suatu lingkaran, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan kepentingan. Tiap bagian menunjukkan karakteristik data yang terlebih dahulu diubah menjadi derajat.(Boediono : 2008)
Contoh 1.46 Buatlah grafik lingkaran dari data biaya tiap bulan di daerah Bandung (dalam persen) pada tahun 2001 yang disajikan pada tabel berikut ini :
0
5
10
15
2002 2003 2004 2005 2006
Nila
i im
por
Tahun
Tepung
Roti
Beras
1.8.3 Grafik Lingkaran (Pie Chart)
Cara lain yang juga sering dipakai untuk menggambarkan data adalah dengan grafik lingkaran. Untuk membuat grafik lingkaran, gambarkanlah suatu lingkaran, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa bagian sesuai dengan kepentingan. Tiap bagian menunjukkan karakteristik data yang terlebih dahulu diubah menjadi derajat.(Boediono: 2008)
Book 1.indb 46 26/09/2016 19:41:20
47Bab 1 Distribusi Frekuensi
Contoh 1.42Buatlah grafik lingkaran dari data biaya tiap bulan di daerah Bandung (dalam persen) pada tahun 2001 yang disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel 1.27Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
Keperluan BiayaUntuk (%)Pos A 28Pos B 18Pos C 14Pos D 22Pos E 10Pos F 8
Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:
Lingkaran kita bagi menjadi 6 bagian (sektor), yang besar sudutnya ditentukan dengan cara seperti berikut:
Pos A : 28% × 360° =100,8°Pos B : 18% × 360° = 64,8°Pos C : 14% × 360° = 50,4°Pos D : 22% × 360° = 79,2°Pos E : 10% × 360° = 36°Pos F : 8% × 360° = 28,8°Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:
Book 1.indb 47 26/09/2016 19:41:20
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah48
a. Gambar 1.16
Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
14%
22%
10% 28%
8%
18%
%
Pos A
Pos B
Pos C
Pos D
Pos E
Pos F
b.Gambar 1.17
Grafik Lingkaran Dari Data Biaya Tiap Bulan di Daerah Bandung Tahun 2001
Pos F8% Pos A
28%
Pos B18%Pos C
14%
Pos D22%
Pos E10%
Contoh 1.43Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara kegemaran sekolah di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel 1.28Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
Kegemaran Perolehan SuaraBasket 36%Volli 16%
Futsal 22%Renang 26%
Book 1.indb 48 26/09/2016 19:41:20
49Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:Untuk mengetahui berapa derajat dalam setiap pos maka lakukanlah hal seperti di bawah ini:
Lingkaran kita bagi menjadi 4 bagian, yang besar sudutnya di tentukan secara berikut:Basket : 36% × 360° = 129,6°Volli : 16% × 360° = 57,6°Futsal : 22% × 360° = 79,2°Renang : 26% × 360° = 93,6°Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:
a.Gambar 1.18
Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
22%
26%
Perolehan suara
36%
16%
Basket
Voli
Futsal
Renang
b.Gambar 1.21
Grafik Lingkaran dari Data Perolehan Suara Kegemaran di Universitas BSI Bandung
a.
GPerol
b.
GPerol
ambar 1.20 Glehan Suara
ambar 1.21 Glehan Suara
22%
26%
Per
Fut22
Pero
Distri
Grafik LingkKegemaran
Bandung
Grafik LingkKegemaran
Bandung
36%
16%
rolehan Suara
Basket 36%Voli16%
tsal2%
Renang26%
olehan Suara
ibusi Frekuen
karan Dari Ddi Universita
karan Dari Ddi Universita
Basket
Voli
Futsal
Renang
nsi 64
ata as BSI
ata as BSI
Basket36%
Renang26%
Futsal22% Voli
16%
Book 1.indb 49 26/09/2016 19:41:21
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah50
1.8.4 Grafik Gambar (Pictogram)
Grafik gambar adalah grafik berupa gambar atau lambang. Grafik gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam. Grafik gambar dapat menampilkan suatu keadaan cara yang sangat menarik, lebih-lebih bila lambang atau gambar yang dipilih bagus dan menarik. Lambang yang dipilih biasanya bergantung pada karakteristik datanya. Misalnya, data jumlah penduduk digambarkan atau dilambangkan dengan orang, data gedung digambarkan dengan gedung, data hasil pertanian digambarkan dengan pohon-pohonan, atau buah-buahan, dan sebagainya. Kesulitan yang dihadapi adalah untuk menggambarkan sesuatu yang tidak penuh. Misalnya, bila satu gambar orang menyatakan 1000 penduduk, maka kita sulit menggambarkan penduduk yang jumlahnya 250 orang, karena sulit membuat gambar seperempat orang. (Boediono: 2008)
Contoh 1.44Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan) adalah sebagai berikut:
Tabel 1.29Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)
Tahun Pelajaran Jumlah Pelajar
2001/2002 6,555
2002/2003 7,0002003/2004 7,4232004/2005 8,0002005/2006 8,846
Book 1.indb 50 26/09/2016 19:41:21
51Bab 1 Distribusi Frekuensi
Penyelesaian:Gambar 1.20
Grafik Gambar Dari Data Jumlah Pelajar di Indonesia (dalam ribuan)
2001/2002
2002/2003
2003/2004
2004/2005
2005/2006
Contoh 1.45Buatlah grafik gambar dari data jumlah populasi kelinci dari tahun 2004 – 2008 di Lembang adalah sebagai berikut:
Tabel 1.30Data Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008 (dalam ribuan)
TahunJumlah Kelinci (dalam ribuan)
2004 32005 52006 72007 92008 10
Book 1.indb 51 26/09/2016 19:41:21
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah52
Penyelesaian:Gambar 1.21
Grafik Gambar Dari Jumlah Populasi Kelinci Tahun 2004 – 2008(dalam ribuan)
2004
2005
2006
2007
2008
Contoh 1.46Buatlah grafik gambar dari data jumlah produksi pabrik obeng dari tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan) di Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.31Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008 (dalam ratusan)
Tahun 2005 2006 2007 2008Produksi 3 6 2 4
Penyelesaian:Gambar 1.22
Grafik Gambar Dari Data Jumlah Produksi Pabrik Obeng Tahun 2005 – 2008(dalam ratusan)
2005
2006
2007
2008
Book 1.indb 52 26/09/2016 19:41:22
53Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.9 Rangkuman
Distribusi frekuensi merupakan suatu pengelompokkan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya. Tujuannya untuk mengatur data mentah (belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi atau menambah inti informasi yang ada. Distribusi frekuensi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu: distribusi frekuensi numerikal dan distribusi frekuensi kategorikal. Untuk memudahkan kita membuat tabel distribusi frekuensi maka kita harus menggunakan tahap-tahap penyusunan distribusi frekuensi. Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi yaitu Distribusi Frekuensi Kumulatif dan distribusi frekuensi relatif. Σ adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola. Σ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Sifat-sifat notasi sigma diantaranya:
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
i
n
i
n
i
n
± ±( )= ± ±= = ==
∑ ∑ ∑∑1 1 11
k Xi k Xi ki
n
i
n
. ,= ===
∑∑ bilangan konstanta11
k k k k nki
n
= + + + ==
∑ �1
a.
b.
c.
d.
e.
Xi k Xi kXi ki
n
i
n
−( ) = − +( )==
∑∑ 2 2 2
11
2
Yi a bXi Yi na b Xii
n
i
n
i
n
− −( )= − −= ==
∑ ∑∑1 11
Book 1.indb 53 26/09/2016 19:41:23
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah54
Penyajian data dengan grafik atau diagram lebih komunikatif dan dalam waktu yang singkat. Tujuannya untuk mengetahui suatu keadaan yang memerlukan keputusan. Secara visual grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka dan biasanya dibuat berdasarkan tabel yang telah ada sebelumnya. Adapun jenis-jenis grafik yaitu sebagai berikut: a. Grafik garis (line chart): Grafik garis dipakai untuk menggambarkan suatu
keadaan berupa data berkala. b. Grafik Batang (bar chart): Grafik batang dipakai untuk mengatakan suatu
keadaan digunakan batang atau balok bukan garis. c. Grafik Lingkaran (pie chart): Grafik yang dipakai untuk menggambarkan
data dengan menggunakan lingkaran. d. Grafik Gambar (pictogram): grafik berupa gambar atau lambang. Grafik
gambar sering dipakai untuk mendapatkan suatu gambaran yang agak kasar mengenai suatu keadaan dan merupakan alat visual bagi orang awam.
1.10 Latihan Soal
1.10.1 Buatlah tabel Distribusi Frekuensi dari data tinggi badan anak SMP Negeri 8 Bandung kelas 7A dengan jumlah siswa 50 adalah sebagai berikut:
145 110 112 144 143 140 127 116 127 133110 109 107 108 114 107 133 112 124 105140 110 112 116 125 114 124 120 121 108107 114 120 137 140 143 140 138 137 110105 121 125 145 138 144 143 144 140 112
Book 1.indb 54 26/09/2016 19:41:23
55Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.10.2 Perhatikan data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri berikut ini:
Tabel 1.32Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Tepi Kelas Titik Tengah Frekuensi152 – 154 151,5 – 154,5 153 4155 – 157 154,5 – 157,5 156 11158 - 160 157,5 – 160,5 159 10161 - 163 160,5 - 163,5 162 25164 - 166 163,5 – 166,5 165 20167 – 169 166,5 – 169,5 168 20170 – 172 169,5 – 172,5 171 6173 – 175 172,5 – 175,5 174 4
Jumlah 100
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan frekuensi relatif!
1.10.3 Data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.33Distribusi Frekuensi dari Nilai Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100 Mahasiswa
Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
25 – 33 24,5 – 33,5 29 1634 – 42 33,5 – 42,5 38 1843 – 51 42,5 – 51,5 47 652 – 60 51,5 – 60,5 56 2061 – 69 60,5 – 69,5 65 870 – 78 69,5 – 78,5 74 579 – 87 78,5 – 87,5 83 488 – 96 87,5 – 96,5 92 23
Jumlah 100
Buatlah daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi relatif!
Book 1.indb 55 26/09/2016 19:41:23
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah56
1.10.4 Data nilai ELPT dari 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
Tabel 1.34Distribusi Frekuensi dari Nilai ELPT Jurusan Sistem Informasi 50 Mahasiswa
Universitas BSI Bandung
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
35 – 39 34,5 – 39,5 37 840 – 44 39,5 – 44,5 42 745 – 49 44,5 – 49,5 47 250 – 54 49,5 – 54,5 52 1655 – 59 54,5 – 59,5 57 460 – 64 59,5 – 64,5 62 765 – 69 64,5 – 69,5 67 6
Jumlah 50
Buatlah histogram dan poligon frekuensi dari data nilai ELPT 50 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung!
1.10.5 1.10.5 Buatlah ogif dari data tinggi badan anak SMP Angkasa kelas 7A yang jumlah siswanya 50 sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kurang dari yang datanya sebagai berikut:
Tabel 1.35Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Daripada Tinggi Badan 50 Siswa
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 104,5 0 0105 – 110 ≤ 110,5 12 24111 – 116 ≤ 116,5 21 42117 – 122 ≤ 122,5 25 50123 – 128 ≤ 128,5 31 62129 – 134 ≤ 134,5 33 66135 – 140 ≤ 140,5 42 84141 – 146 ≤ 146,5 50 100
Book 1.indb 56 26/09/2016 19:41:23
57Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.10.6 Buatlah ogif dari data nilai OCR murni ujian Statistika 100 mahasiswa jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung sebagaimana dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi lebih dari yang datanya sebagai berikut:
Tabel 1.36Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada nilai OCR Murni Ujian Statistika
100 Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Batas KelasFrekuensi KumulatifLebih dari
PersenKumulatif
25 – 33 ≥ 24,5 100 10034 – 42 ≥ 33,5 84 8443 – 51 ≥ 42,5 66 6652 – 60 ≥ 51,5 60 6061 – 69 ≥ 60,5 40 4070 – 78 ≥ 69,5 32 3279 – 87 ≥ 78,5 27 2788 – 96 ≥ 87,5 23 23
≥ 96,5 0 0
1.10.7 Diketahui: Y1 =10 Y2 = 20 Y3 = 30
Hitung Yii
n
=∑
1
1.10.8 Diketahui: B1 = 3 B2 = 7 B3 = 11 M4 = 15 M5 =19
Hitung Bii
n
=∑
1
1.10.9 Diketahui: H1 = 5 H2 = 8 H3 = 11 H4 = 13 H5 = 14 H6 = 17 I1 = 0 I2 = 3 I3 = 4 I4 = 5 I5 = 6 I6 = 7 J1 = 1 J2 = 4 J3 = 7 J4 = 9 J5 = 13 J6 = 15
Hitung Hi Ii Jii
n
+ +=
∑1
Book 1.indb 57 26/09/2016 19:41:24
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah58
1.10.10 Diketahui: X1 = 20 X2 = 21 X3 = 22 X4 = 23 X5 = 24 Y1 = 10 Y2 = 9 Y3 = 8 Y4 = 7 Y5 = 6 Z1 = 15 Z2 = 14 Z3 = 13 Z4 = 12 Z5 = 11
Hitung Xi Zi Yii
n
− −=
∑1
1.10.11 Diketahui: X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 k = 10
Hitung k Xii
n
.=
∑1
1.10.12 Diketahui: n = 10 k = 5
Hitung ki
n
=∑
1
1.10.13 Diketahui: X1 = 4 X2 =3 X3 = 2 X4 = 1
Hitung 5 6 2
1
4
Xii
−( )=
∑
1.10.14 Diketahui: X1 = 10 X2 = 11 X3 = 12 Y1 = 35 Y2 = 40 Y3 = 45 a = 3 b = 1
Hitunglah Yi Xii
n
− −( )=
∑ 3 11
1.10.15 Buatlah grafik garis tunggal dari data penggunaan barang produksi di PT. Kahatex selama 2005 – 2009 yang tabelnya seperti berikut ini:
Book 1.indb 58 26/09/2016 19:41:25
59Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tabel 1.37Penggunaan Barang Produksi di PT. Kahatex selama Tahun 2005 – 2009
Tahun Barang yang digunakan2005 30002006 32452007 31782008 45562009 6590
1.10.16 Buatlah grafik garis ganda dari data nilai impor menurut golongan makanan pokok (dalam jutaan rupiah) tahun 2002 – 2006 adalah sebagai berikut:
Tabel 1.38 Data Nilai Impor Menurut Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 - 2006
TahunMakanan Pokok
Tepung Roti Beras2002 12,73 10,93 5,892003 2,33 11,48 4,752004 3,84 2,15 3,622005 5,55 7,23 1,992006 4,5 11,56 7,39
1.10.17 Diketahui banyaknya permintaan konsumen dengan produk Komputer pada tahun 2000 – 2005 disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang tunggalnya!
Tabel 1.39Banyaknya Permintaan Konsumen Produk Komputer Tahun 2000 – 2005
Tahun Jumlah Permintaan2000 12002001 15002002 17502003 20002004 25002005 3000
Book 1.indb 59 26/09/2016 19:41:25
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah60
1.10.18 Jumlah produk terjual (dalam persen) menurut jenis dan waktu di Toko Putri Agung disajikan pada tabel berikut ini dan buatlah grafik batang gandanya!
Tabel 1.40Data Jumlah Produk Menurut Jenis Dan Waktunya di Toko Jaya Agung Tahun
2005 – 2009
TahunJenis Produk
Laptop Netbook Printer2005 9,2 12,5 26,32006 11,5 13,2 34,22007 25,5 45,5 30,22008 11,2 50,0 45,52009 40,5 63,0 55,5
1.10.19 Buatlah grafik lingkaran dari data perolehan suara pemilihan ketua BEM di Universitas BSI Bandung yang disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel 1.41 Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung
Nama Perolehan SuaraYunandi 32%
Arif 40%Nurdian 28%
1.10.20. Buatlah grafik gambar dari data jumlah Pembangunan Gedung dari tahun 2006 – 2010 di Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 1.42 Data Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2006 – 2010 (dalam ratusan)
TahunJumlah Gedung (dalam ratusan)
2006 22007 52008 62009 82010 10
Book 1.indb 60 26/09/2016 19:41:25
61Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.11 Jawaban Latihan Soal
1.11.1 Penyelesaian: Setelah diurutkan data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50
diperoleh:
105 105 107 107 107 108 108 109 110 110110 110 112 112 112 112 114 114 114 116116 120 120 121 121 124 124 125 125 127127 133 133 137 137 138 138 140 140 140140 140 143 143 143 144 144 144 145 145
Selanjutnya dihitung data-data berikut:1. Dari jajaran data di atas, maka diperoleh range atau jangkauan: R = Nilai maksimum – Nilai minimum = 145 – 105 = 40
2. Banyaknya kelas data: K = 1+ 3,3 log n = 1 + 3,3 log 50 = 6,62 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira 6
atau 7.
3. Maka jika banyak kelas diambil 7. Jadi Interval kelasnya adalah: I = R/K = 40/7 = 5,71 Dengan demikian interval kelas dapat ditentukan kira-kira 5 atau 6.
4. Karena nilai minimum data adalah 105, maka kita dapat memiih batas kelas pertama adalah 105, atau 106 dan usahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Dengan interval kelasnya 6 maka diambil saja batas kelas pertamanya 105 untuk memudahkan penyusunan dalam tabel distribusi frekuensi. Maka didapatlah batas kelas pertamanya 105 – 110.
Book 1.indb 61 26/09/2016 19:41:25
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah62
Jadi; Tbk = bbk – 0,5 = 105 – 0,5 = 104,5
Tak = bak + 0,5 = 110 + 0,5 = 110,5
Panjang interval kelas pertama yaitu “104,5 – 110,5”
5. Titik tengah kelas pertama adalah: TTK = ½ (105+110) = 107,5
Dengan cara yang sama dapat diperoleh titik tengah kelas berikutnya, yaitu kelas 111 – 116 adalah 113,5. Kelas 117 – 122 adalah 119,5. Kelas 123 – 128 adalah 125,5. Kelas 129 – 134 adalah 131,5. Kelas 135 – 140 adalah 147,5. Kelas 141 – 146 adalah 143,5.
Dengan memakai jajaran data dari data tinggi siswa SMP dengan jumlah siswa 50 maka diperoleh turus dan frekuensi data yaitu sebagai berikut:
Tabel 1.43Turus dan Frekuensi Data Tinggi Badan 50 Siswa SMP
Kelas Turus Frekuensi105 – 110 IIII IIII II 12111 – 116 IIII IIII 9117 – 122 IIII 4123 – 128 IIII I 6129 – 134 II 2135 – 140 IIII IIII 9141 – 146 IIII III 8
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data tinggi anak SMP kelas 7A yang jumlah siswanya 50 orang adalah sebagai berikut:
Book 1.indb 62 26/09/2016 19:41:25
63Bab 1 Distribusi Frekuensi
Tabel 1.44Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan 50
Siswa SMP Negeri 8 Bandung Kelas 7A
Kelas Tepi KelasTitik
TengahFrekuensi
105 – 110 104,5 – 110,5 107,5 12111 – 116 110,5 – 116,5 113,5 9117 – 122 116,5 – 122,5 119,5 4123 – 128 122,5 – 128,5 125,5 6129 – 134 128,5 – 134,5 131,5 2135 – 140 134,5 – 140,5 137,5 9141 – 146 140,5 – 146,5 143,5 8
Jumlah 50
1.11.2 Penyelesaian: Frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dengan cara menghitung
total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
Tabel 1.45Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Daripada Data Tinggi Badan 100
Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Batas KelasFrekuensi KumulatifLebih dari
PersenKumulatif
152 – 154 ≥ 151,5 100 100155 – 157 ≥ 154,5 96 96158 - 160 ≥ 157,5 85 85161 - 163 ≥ 160,5 75 75164 - 166 ≥ 163,5 50 50167 – 169 ≥ 166,5 30 30170 – 172 ≥ 169,5 10 10173 – 175 ≥ 172,5 4 4
≥ 175,5 0 0
Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 152 – 154 dengan frekuensi
Book 1.indb 63 26/09/2016 19:41:25
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah64
(f) = 4, maka frekuensi relatifnya adalah 4/100 * 100% = 4% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
Tabel 1.46Distribusi Frekuensi Relatif pada Data Tinggi Badan 100
Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Titik Tengah FrekuensiFrekuensi Relatif
(%)152 – 154 153 4 4155 – 157 156 11 11158 – 160 159 10 10161 – 163 162 25 25164 – 166 165 20 20167 – 169 168 20 20170 – 172 171 6 6173 – 175 174 4 4
Jumlah 100 100
Penyelesaian: Frekuensi kumulatif kurang dari diperoleh dengan cara menghitung
total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Maka dengan itu lebih lengkapnya tabelnya seperti di bawah ini:
Tabel 1.47Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Nilai OCR Murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Batas KelasFrekuensi Kumulatif
Kurang dari
PersenKumulatif
≤ 24,5 0 025 – 33 ≤ 33,5 16 1634 – 42 ≤ 42,5 34 3443 – 51 ≤ 51,5 40 4052 – 60 ≤ 60,5 60 6061 – 69 ≤ 69,5 68 6870 – 78 ≤ 78,5 73 7379 – 87 ≤ 87,5 77 7788 – 96 ≤ 96,5 100 100
Book 1.indb 64 26/09/2016 19:41:25
65Bab 1 Distribusi Frekuensi
Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 25 – 33 dengan frekuensi (f) = 16, maka frekuensi relatifnya adalah 16/100 * 100% = 16% dan seterusnya. Maka tabelnya seperti berikut:
Tabel 1.48Distribusi Frekuensi Relatif dari Nilai OCR murni Ujian Statistika 100
Mahasiswa Jurusan Akuntansi Universitas BSI Bandung
Kelas Titik Tengah FrekuensiFrekuensi Relatif (%)
25 – 33 29 16 1634 – 42 38 18 1843 – 51 47 6 652 – 60 56 20 2061 – 69 65 8 870 – 78 74 5 579 – 87 83 4 488 – 96 92 23 23
Jumlah 100 100
1.11.3 Penyelesaian:
Gambar 1.23Histogram dan Poligon Frekuensi dari nilai ELPT jurusan Sistem Informasi 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
1.11
1.11
1.3 Penyeles
Gambanilai EL
1.4 Penyeles Gamb
Kura
0
5
10
15
20
Frek
uens
i kel
as
0
10
20
30
40
50
60
1
Frek
uens
i Kum
ulat
if
saian :
ar 1.25 HistogLPT jurusan
Univer
saian :
bar 1.26 Ogif ang Dari Pad
Negeri
34,5 39,5 4
0
12
104,5 110,5 11
Distri
gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba
Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K
44,5 49,5 54,Batas Kelas
2125
16,5 122,5 128,.Batas Kelas
ibusi Frekuen
oligon Frekuermasi 50 Maandung
Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A
5 59,5 64,5
31 334
.5 134,5 140,5s
nsi 85
ensi dari ahasiswa
umulatif a SMP
69,5
4250
146,5
Book 1.indb 65 26/09/2016 19:41:25
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah66
1.11.4 Penyelesaian:
Gambar 1.24Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari pada
Tinggi Badan 50 Siswa SMP
1.11
1.11
1.3 Penyeles
Gambanilai EL
1.4 Penyeles Gamb
Kura
0
5
10
15
20
Frek
uens
i kel
as
0
10
20
30
40
50
60
1
Frek
uens
i Kum
ulat
if
saian :
ar 1.25 HistogLPT jurusan
Univer
saian :
bar 1.26 Ogif ang Dari Pad
Negeri
34,5 39,5 4
0
12
104,5 110,5 11
Distri
gram dan Pon Sistem Inforrsitas BSI Ba
Distribusi Fda Tinggi Bad8 Bandung K
44,5 49,5 54,Batas Kelas
2125
16,5 122,5 128,.Batas Kelas
ibusi Frekuen
oligon Frekuermasi 50 Maandung
Frekuensi Kudan 50 SiswaKelas 7A
5 59,5 64,5
31 334
.5 134,5 140,5s
nsi 85
ensi dari ahasiswa
umulatif a SMP
69,5
4250
146,5
1.11.5 Penyelesaian:
Gambar 1.25Ogif Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari pada nilai OCR Murni Ujian
Statistika 100 Mahasiswa Jurusan AkuntansiUniversitas BSI Bandung
10084
66 6040 32 27 23
00
50
100
150
24,5 33,5 42,5 51,5 60,5 69,5 78,5 87,5 96,5
Frek
uens
i Kum
ula�
f
Batas Kelas
1.11.7 Penyelesaian:
Yi Yi
i
n
i= =∑ ∑= = + + =
1 1
3
10 20 30 60
1.11.8 Penyelesaian:
Bi Bi
i
n
i= =∑ ∑= = + + + + =
1 1
5
3 7 11 15 19 55
Book 1.indb 66 26/09/2016 19:41:26
67Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.11.9 Penyelesaian:
Hii=∑ = + + + + + =
1
6
5 8 11 13 14 17 68
Iii=∑ = + + + + + =
1
6
0 3 4 5 6 7 25
Jii=∑ = + + + + + =
1
6
1 4 7 9 13 15 49
Hi Ii Ji Hi Ii Jii
n
iii
+ +( )= + +
= + +=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
6
1
6
1
6
68 25 49142
1.11.10 Penyelesaian:
Xii=∑ = + + + + =
1
5
20 21 22 23 24 110
Yii=∑ = + + + + =
1
5
10 9 8 7 6 40
Zii=∑ = + + + + =
1
5
15 14 13 12 11 65
Xi Yi Zi Xi Yi Zii
n
iii
− −( )= − −
= − −=
= ===∑ ∑∑∑
1 1
5
1
5
1
5
110 40 655
1.11.11 Penyelesaian:
k Xi k Xi k X X X Xi
n
i
n
.= =
∑ ∑= = + + +( )
= + + +( )
= ( )
=
11 2 3 4
1
10 2 4 6 810 20200
Book 1.indb 67 26/09/2016 19:41:28
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah68
1.11.12 Penyelesaian:
k nk
i
n
=∑ = = =
1
10 5 50.
1.11.13 Penyelesaian:
5 6 25 60 36
25 60 36
2
1
4
1
4
2
1
4
1
4
Xi Xi Xi
Xi Xi
i i
i ii
−( ) = − +( )
= − +
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑==
∑= + + +( ) − + + +( )+ ( )
= + + +( )− (
1
4
2
2 2 2 2
25 4 3 2 1 60 4 3 2 1 4 36
25 4 3 2 1 60 10))+
= − +=
144750 600 144294
1.11.14 Penyelesaian:
Yi Xi Yi Xii ii
− −( )= − −
= + + − − + += ==
∑ ∑∑3 1 3 3
35 40 45 9 10 11 121
3
1
3
1
3
.
( ) ( ))= − −=
120 12 3375
1.11.15 Penyelesaian:
Gambar 1.26Grafik Garis Tunggal Dari Data Penggunaan Barang Produksi di
PT. Abadi selama 2005 – 2009
1.11
1.11
1.15 Penyeles
GamPeng
1.16 Penyeles
GambIm
20
40
60
80
Bany
akny
a Ba
rang
nila
i im
por (
dala
m ju
taan
i
h)
saian :
mbar 1.28 Graggunaan Bar
sela
saian :
bar 1.29 Grafmpor Menuru
Ta
0
000
000
000
000
2005
0
2
4
6
8
10
12
14
2002 20
rupi
ah)
Distri
afik Garis Turang Produksama 2005 – 2
fik Garis Ganut Golongan Bahun 2002 – 2
2006 2007Tahun
003 2004 2005Tahun
ibusi Frekuen
unggal Dari Dsi di PT. Kah009
nda Dari DatBarang Ekon2006
2008 2009
5 2006
T
R
B
nsi 89
Data atex
ta Nilai nomi
Tepung
Roti
Beras
Book 1.indb 68 26/09/2016 19:41:29
69Bab 1 Distribusi Frekuensi
1.11.16 Penyelesaian:
Gambar 1.27Grafik Garis Ganda Dari Data Nilai Impor Menurut
Golongan Barang Ekonomi Tahun 2002 – 2006
nila
i im
por (
dala
m ju
taan
i
h)
0
2
4
6
8
10
12
14
2002 20
rupi
a h)
003 2004 2005Tahun
5 2006
T
R
B
Tepung
Ro�
Beras
1.11.17 Penyelesaian:
Gambar 1.28Grafik Batang Tunggal Dari Data Banyaknya Permintaan Konsumen
Produk Komputer Tahun 2000 – 2005
0
1.000
2.000
3.000
4.000
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Bany
akny
a Pe
rmin
taan
Tahun
Book 1.indb 69 26/09/2016 19:41:29
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah70
1.11.18 Penyelesaian:
Gambar 1.29Grafik Batang Ganda Dari Data Jumlah Produk Menurut Jenis dan Waktunya di
Toko Putri Agung Tahun 2005 – 2009
010203040506070
2005 2006 2007 2008 2009
Jeni
s Pr
oduk
Tahun
Laptop
Netbook
Printer
1.11.19 Penyelesaian: Lingkaran kita bagi menjadi 3 bagian, yang besar sudutnya di tentukan
secara berikut: Yunandi : 32% × 360° = 115,2° Arif : 40% × 360° = 144° Nurdian : 28% × 360° = 100,8° Jumlah = 360°
Untuk membagi lingkaran mulailah dari bagian lingkaran yang paling besar. Grafik lingkaran dapat dibuat dalam 2 jenis yaitu:a.
Gambar 1.30Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di
Universitas BSI Bandung
32%
40%
28%
Perolehan Suara
Yunandi
Arif
Nurdian
Book 1.indb 70 26/09/2016 19:41:30
71Bab 1 Distribusi Frekuensi
b.Gambar 1.31
Grafik Lingkaran Dari Data Perolehan Suara Pemilihan Ketua BEM di Universitas BSI Bandung
1.11
b. GPe
1.20 Penyeles
GPe
2003
2004
2005
2006
2007
Gambar 1.33 Gerolehan Sua
Unive
saian :
ambar 1.34 Gembangunan
(d
Nurdi28%
Perole
Distri
Grafik Lingkara Pemilihanersitas BSI B
Grafik GambGedung Tah
dalam ratusa
Yunandi32%Arif
40%
ian%
ehan Suara
ibusi Frekuen
karan Dari Dn Ketua BEM
Bandung
bar Dari Jumhun 2003 – 2an)
nsi 92
Data M di
mlah 2007
Nurdian28%
Yunandi32%
Arif40%
1.11.20 Penyelesaian:
Gambar 1.32Grafik Gambar Dari Jumlah Pembangunan Gedung Tahun 2003 – 2007
(dalam ratusan)
2003
2004
2005
2006
2007
Book 1.indb 71 26/09/2016 19:41:30
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah72
Book 1.indb 72 26/09/2016 19:41:31
73
UKURAN PEMUSATAN DATA TIDAK BERKELOMPOK
Pada data yang tidak berkelompok jika diurutkan baik membesar dan mengecil maka akan menunjukkan pusat data dari kelompok data tersebut.
Ukuran pusat data sangat berguna ketika kita ingin menganalisa data yang menjadi pusat perhatian kita. Jenis ukuran pemusatan data yang akan kita pelajari adalah rata-rata hitung (arithmetic mean), median, modus, kuartil, desil, persentil, rata-rata ukur (geometric mean) dan rata-rata harmonis (harmonic mean).
2.1 Rata-Rata Hitung
2.1.1 Pengertian
Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data disebut rata-rata hitung. Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Beberapa jenis rata-rata yang digunakan ialah rata-rata hitung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis. Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai keunggulan juga memiliki kelemahan.
Bab 2
Book 1.indb 73 26/09/2016 19:41:31
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah74
Contoh 2.1 Hasil ujian Anis dan Anas adalah seperti disajikan dalam tabel berikut ini:
Tabel 2.1Nilai Hasil Ujian
Mata PelajaranHasil Ujian
AnisHasil Ujian
Anas (B) (D)
Statistik 9 8Perpajakan 8,6 9Teori Ekonomi 7,9 6,6B. Inggris 8 8,2Akuntansi Dasar 8,5 7,9
Hitunglah rata-rata hasil ujian Anis dan Anas!
Penyelesaian:
XB = 9 + 8,6 + 7,9 + 8 + 8,5 5 = 8,4
XD = 8 + 9 + 6,6 + 8,2 + 7,9 5 = 7,94
Dari nilai rata-rata di atas dapat disimpulkan bahwa Anis memiliki nilai rata-rata yang lebih tinggi daripada Anas.
Contoh 2.2Perhatikan tabel di bawah ini!
Book 1.indb 74 26/09/2016 19:41:31
75Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Tabel 2.2Perbandingan Tingkat Gaji Karyawan Dua Perusahaan
KaryawanGaji Perusahaan
Cahaya (U)Gaji Perusahaan
Bulan (Z)1 50000 450002 40000 350003 45000 400004 55000 300005 60000 250006 75000 500007 65000 550008 80000 450009 75000 30000
10 50000 35000
Hitunglah rata-rata gaji Perusahaan Cahaya dan gaji perusahaan Bulan dalam membagi gaji 10 orang karyawannya!
Penyelesaian:
XU = 50000 + 40000 +45000 + 55000 + 60000 + 75000 + 65000 + 80000 + 75000 + 50000
10 = 59500
XZ = 45000 + 35000 +40000 + 30000 + 25000 + 50000 + 55000 + 45000 + 30000 + 35000 10
= 39000
Contoh 2.3 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata nilai Matematika dan rata-rata nilai Biologi!
Book 1.indb 75 26/09/2016 19:41:31
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah76
Tabel 2.3Perbandingan Nilai Matematika dan Biologi Kelas 3
Siswa Matematika BiologiAndi 80 56Arif 85 68
Anton 67 77Aisyah 79 87Gina 98 69Siti 77 97Yuli 86 79Kiki 88 90
Penyelesaian:
X Matematika = 80 + 85 + 67 + 79 + 98 + 77 + 86 + 88 8 = 82,5
X Biologi = 56 + 68 + 77 + 87 + 69 + 97 + 79 + 90 8 = 77,875
2.1.2 Macam-Macam Rata-Rata Hitung
Kalau kita mempunyai nilai variabel B, sebagai hasil pengamatan sebanyak N kali, yaitu B1, B2, B3, B4 … BN
1) Rata-rata sebenarnya (populasi)
µ=
= + + +( )
=∑1
11
1 2 3
NBi
NB B B B
i
n
N�
µ dibaca myu, yaitu symbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter. Rata-rata ini dihitung berdasarkan populasi. Karena itu, rata-rata juga sering disebut rata-rata populasi.
Book 1.indb 76 26/09/2016 19:41:32
77Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2) Rata-rata perkiraan (sampel) Kalau rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n dimana
n < N observasi, maka rata-rata yang diperoleh disebut rata-rata perkiraan atau rata-rata observasi yang diberi symbol yang rumusnya adalah sebagai berikut:
Xn
Bi
nB B B B
i
n
N
=
= + + +( )
=∑1
11
1 2 3 �
Contoh 2.4Diketahui:
B1 = 79 (Hasil pembelian tahun pertama)B2 = 85 (Hasil pembelian tahun kedua)B3 = 98 (Hasil pembelian tahun ketiga)B4 = 120 (Hasil pembelian tahun keempat)B5 = 91 (Hasil pembelian tahun kelima)B6 = 105 (Hasil pembelian tahun keenam)B7 = 119 (Hasil pembelian tahun ketujuh)B8 = 154 (Hasil pembelian tahun kedelapan)B9 = 145 (hasil pembelian tahun kesembilan)B10 = 130 (Hasil pembelian tahun kesepuluh)
(angka-angka yang digaris bawahi merupakan data sampel)
a) Hitung rata-rata hasil pembelian sebenarnya ! b) Ambil sampel sebanyak n = 7, misalnya setelah diambil sampelnya
diperoleh:B1, B3, B4, B6, B8, B9, B10. Hitung hasil pembelian per tahun !
Penyelesaian:
a) µ=
= ( )
=
=∑1101
101126
112 6
1
10 Bii
,
Jadi, rata-rata hasil penjualan per tahun = Rp 112,6 juta
Book 1.indb 77 26/09/2016 19:41:32
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah78
b) Xn
Bii
n=
= + + + + + +( )
=
=∑1
17
79 98 120 105 154 145 130
118 7
1
,
Jadi, rata-rata perkiraan hasil penjualan per tahun adalah 118,7 juta (ternyata sangat mendekati rata-rata sebenarnya) X merupakan perkiraaan dari µ.
Contoh 2.5Diketahui:B = hasil ujian Statistika Deskriptif 20 Mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan adalah sebagai berikut:
B1 = 70 B11 = 45B2 = 72 B12 = 30B3 = 80 B13 = 75B4 = 90 B14 = 90B5 = 75 B15 = 87B6 = 70 B16 = 55B7 = 85 B17 = 85B8 =100 B18 = 72B9 = 65 B19 = 75B10 = 55 B20 = 98
(Angka yang digarisbawahi merupakan data sampel) a) Berdasarkan data di atas hitunglah rata-rata hasil ujian yang sebenarnya! b) Kemudian ambil sampel sebanyak n = 10 dan hitunglah rata-rata perkiraan
sampel yang terambil B2, B4, B6, B8, B10, B12, B14, B16, B18, B20!
Penyelesaian:
a)
µ=
= + + +( )
=
=∑1
120
70 72 90 98
73 7
1NBi
i
n
…
,
Book 1.indb 78 26/09/2016 19:41:33
79Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
b)
Xn
Bi
B B B B B B B B B B
i
n=
= + + + + + + + + +( )
=
=∑1
1101
1072
1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
++ + + + + + + + +( )
=
90 70 100 55 30 90 55 72 98
73 2,
Pada umumnya makin besar elemen sampel (nilai n makin besar), makin baiklah perkiraan yang diperoleh. Oleh karena itu pengumpulan data umumnya didasarkan atas sampel, maka hasilnya suatu perkiraan. Untuk selanjutnya kita pergunakan rumus rata-rata perkiraan sebagai perkiraan sebagai perkiraan dari m dan sampel yang diselidiki sebanyak n elemen.
Contoh 2.6 Perhatikan tabel di bawah ini!Hitunglah rata-rata hitung kedua toko di atas!
Tabel 2.4Hasil Penjualan buku Perpajakan di Dua Toko
Hari ke- Toko Edi (E) Toko Ardi (A)1 6 22 5 43 7 34 4 95 2 56 5 27 3 3
Penyelesaian:
XE = 6 + 5 + 7 + 4 + 2 + 5 + 3
7 = 4,57
XA = 2 + 4 + 3 + 9 +5 + 2 + 3
7 = 4
Book 1.indb 79 26/09/2016 19:41:33
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah80
Maka, dapat disimpulkan penjualan di toko Edi lebih tinggi daripada di toko Ardi.
Contoh 2.7Diketahui:M adalah nilai Akuntansi Menengah sebanyak 7 orang yaitu sebagai berikut:
M1 = 65 M5 = 55M2 = 75 M6 = 60M3 = 50 M7 = 90M4 = 70
a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Ambilah 3 sampel nilai Akuntansi Menengah diperoleh M1, M2, dan M3
dan hitunglah rata-rata perkiraan sampelnya!
Penyelesaian:
a) µ=
= + + + + +( )
= ( )
=
=∑1717
65 75 70 55 60 90
17
465
66 43
1Mi
i
n
,
b)
X Mii
n=
= ( )
= ( )
=
=∑1313
65 50 70
13
185
61 67
1
, ,
,
Book 1.indb 80 26/09/2016 19:41:33
81Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.8 Diketahui:Jika A adalah gaji karyawan per tahun.
A1 =150 A8 = 120A2 =120 A9 = 160A3 =130 A10 = 130A4 =140 A11 = 110A5 =100 A12 = 140A6 = 90 A13 = 100A7 =140 A14 = 80
a) Hitunglah rata-rata sebenarnya! b) Hitunglah rata-rata perkiraan diambil banyaknya n = 6 dari gaji karyawan
(A2, A4, A8, A10, A11, A13)!
Penyelesaian:
a)
µ=
= ( )
=
=∑1141
141710
122 14
1Ai
i
n
,
b) µ=
= + + + + +( )
=
=∑1616
120 140 120 130 110 100
120
1Ai
i
n
2.1.3 Beberapa Sifat Rata-Rata Hitung
1. Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya sama dengan nol, yaitu:
Bi Xi
n
−( )==
∑1
0
Book 1.indb 81 26/09/2016 19:41:34
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah82
Dimana:
Xn
Bi nX= =∑1 atau
Bukti:Bi X Bi X
Bi nX
Bi Bi
−( ) −
= −
= −
=
∑ ∑∑∑
∑∑0
Contoh 2.9 Diketahui: B1 = 5 B2 = 4 B3 = 6 B4 = 7 B5 = 3
Hitung rata-rata hitung ( X ) dan tunjukan bahwa
Bi X−( )=∑∑ 0
Penyelesaian:
X Bi
Bii
=
= + + + +( )
=
∑
∑ =
1515
5 4 6 7 3
51
5
Bukti:
Bi B X B X B X B X B Xi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −
1 1 2 31 4 5
5 5 4 5 6 55 7 5 3 50
( )+ −( )+ −( )
=
Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan
minimum (terkecil) kalau k = X .
Book 1.indb 82 26/09/2016 19:41:35
83Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Maksudnya:
B k Bi Xi
n
i11
2
1−( ) > −( )
= =∑ ∑,
Kalau suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata hitung tidak dapat mewakili dengan sempurna atau tepat sekali apabila kelompok data homogen. Semakin heterogen datanya semakin tidak tepat. Suatu kelompok data dikatakan homogen atau tidak bervariasi kalau semua nilai dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen apabila nilai-nilai tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan sangat heterogen disebut relatif homogen, yaitu perbedaan antara nilai yang satu dengan yang lainnya tidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogen atau tingkat variasi tersebut sering dipergunakan kriteria yang disebut simpangan baku (standar deviasi).
Contoh 2.10Perhatikan tabel dibawah, yang menggambarkan upah bulanan dalam ribuan dari 3 kelompok karyawan perusahaan. Jika X adalah upah dalam ribuan rupiah.
Tabel 2.5Upah per bulan Tiga Kelompok Karyawan
X Kelompok I Kelompok II Kelompok III
(Homogen) (Relatif Homogen) (Heterogen)
X1 75 80 125
X2 75 70 40
X3 75 70 25
X4 75 80 35
X5 75 75 150
Hitunglah rata-rata hitung dalam setiap kelompok!
Penyelesaian:
X Homogen = 75 + 75 + 75 + 75 + 75
5 = 75
Book 1.indb 83 26/09/2016 19:41:35
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah84
X Relatif Homogen = 80 + 70 + 70 + 80 + 75
5 = 75
X Heterogen = 125 + 40 + 25 + 35 + 150
5 = 75 Walaupun rata-rata upah bulanan per karyawan dari kelompok 1, 2, dan 3 masing-masing sama besar Rp.75.000, namun kalau diperhatikan secara lebih cermat rata-rata dari kelompok 1 mewakili kelompok dengan sempurna atau tepat sekali (sebab masing-masing nilai sebesar Rp.75.000, sama dengan nilai rata-rata), rata-rata kelompok 2 agak mewakili atau mewakili dengan cukup. Sedangkan rata-rata kelompok 3 sangat tidak mewakili. Jadi nilai rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Dalam usaha mencari nilai untuk mewakili suatu kelompok nilai, selain dipergunakan rata-rata hitung atau mean, yang baru saja selesai dibahas, juga dipergunakan ukuran-ukuran lain seperti median dan modus.
Contoh 2.11 Diketahui:
B₁ = 60 B₄ = 50 B₇ = 30B₂ = 90 B₅ = 20 B₈ = 70B₃ = 40 B₆ = 80
a) Hitung rata-ratanya!
b) Tunjukan bahwa Bi X−( )=∑∑ 0
Penyelesaian:
a)
X Bi=
= + + + + + + +( )
= ( )
=
∑18
18
60 90 40 50 20 80 30 70
18
440
55
Book 1.indb 84 26/09/2016 19:41:36
85Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
b)
Bi B x B x B x B x B x
B x B x Bi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )+
1 1 2 3 4 5
6 7 88
60 55 90 55 40 55 50 55 20 5580 55 30
−( )= −( )+ −( )+ −( )+ −( )+ −( )
+ −( )+ −
x
555 70 555 35 15 5 35 25 25 150
( )+ −( )
= + − − − + − −=
Contoh 2.12Diketahui: A₁ = 4 A₂ = 3 A₃ = 6 A₄ = 7
a) Hitung rata-ratanya!
b) Tunjukan bahwa Ai X−( )=∑∑ 0
Penyelesaian:
a)
X Ai=
= + + +( )
= ( )
=
∑1414
4 3 6 7
14
20
5
b) Ai A x A x A x A xi
n
=∑ = −( )+ −( )+ −( )+ −( )= −( )+ −( )+ −( )+ −(
1 1 2 3 4
4 5 3 5 6 5 7 5))
= 0
2.2 Median
Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data tidak berkelompok dapat ditentukan langsung setelah datanya diurutkan.
Book 1.indb 85 26/09/2016 19:41:36
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah86
Untuk n bilangan ganjil
n k
k n= +
=−
2 11
2
Keterangan: k suatu bilangan konstanta n merupakan bilangan ganjil
Contoh 2.13
n kk
k
= → = +
= −
=
7 7 2 12 7 1
62
=
= → = +
= −
=
3
9 9 2 12 9 1
82
n kk
k
= 4
Kelompok nilai M1, M2, … Mk – i, Mk, Mk, Mk+I … Mn
Terkecil Terbesar
Median = Mk - i atau nilai yang ke (k+1)
Contoh 2.14Diketahui:Nilai Ujian Biokimia 15 Mahasiswa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut: 65, 55, 70, 80, 75, 95, 90, 75, 50, 90, 50, 60, 65, 75, 85.
Carilah median dari nilai di atas!
Book 1.indb 86 26/09/2016 19:41:37
87Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Penyelesaian:Hal yang harus pertama kali kita lakukan yaitu urutkan terlebih dahulu nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar. 50, 50, 55, 60, 65, 65, 70, 75, 75, 75, 80, 85, 90, 90, 95
Kedua; Tentukan nilai k!
15 2 12 15 1
142
7
= +
= −
=
=
kk
k
Jadi, Med = M8 = 70
Perhatikan bahwa M8, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10, M11, M12, M13, M14, M15
Median
Contoh 2.15 Himpunan bilangan genap yaitu sebagai berikut: 8, 4, 10, 2, 6, 12, 16, 20, 14, 22, 18
Carilah median dari data di atas!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
Nilai k yaitu:
n kk
k
= → = +
= −
=
=
11 11 2 12 11 1
102
5
Maka, median dari data di atas M6 = 12
Book 1.indb 87 26/09/2016 19:41:37
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah88
Contoh 2.1611 mahasiswa Universitas BSI Bandung yang mempunyai nilai persentasi Manajemen masing-masing adalah sebagai berikut: 80, 70, 90, 60, 95, 40, 50, 65, 45, 75.
Berapa besar nilai mediannya?
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95
Nilai k yaitu:
n kk
k
= → = +
= −
=
=
11 11 2 12 11 1
102
5
Maka, median dari data diatas yaitu M6 = 65
Untuk n bilangan GenapKalau k adalah bilangan konstanta dan n bilangan genap, maka selalu dapat ditulis:
n k
k n=
=
2
2
Contoh 2.17Diketahui:Gaji 8 orang karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90
Berapa nilai mediannya?
Penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 20, 45, 50, 75, 80, 80, 85, 90
Book 1.indb 88 26/09/2016 19:41:37
89Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Nilai k yaitu:
8 2824
=
=
=
k
k
Median M M = +( )
= +( )
=
1212
60 75
67 5
4 5
,
Jadi, median gaji karyawan = Rp.67.500
Perhatikan bahwa M4 dan M5, merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah data diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8
Median
Median M M =+4 5
2
Contoh 2.18Nilai Persentasi 10 Mahasiswa mata kuliah Fisika Dasar jurusan Teknik Industri Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut ini: 40, 70, 60, 75, 65, 80, 90, 45, 50, 95.
Berapa besarnya median dari nilai persentasi tersebut?
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 95
Nilai k yaitu: 10 = 2k k = 5
Book 1.indb 89 26/09/2016 19:41:38
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah90
Median M M= +( )
= +( )
=
1212
65 70
67 5
5 6
,
Jadi, Median nilai persentasi = 67,5.
Pada umumnya kelompok nilai tersebut merupakan hasil pengumpulan data. Simbol n sering disebut banyaknya data (n=8, n=10). Kalau kita perhatikan, hasil perhitungan median tersebut menunjukan bahwa median suatu kelompok merupakan salah satu nilai yang ada ditengah atau rata-rata dari dua nilai yang ada ditengah.
Contoh 2.19Diketahui:Gaji 20 karyawan (dalam ribuan) adalah sebagai berikut: 140, 130, 250, 115, 120, 170, 125, 100, 70, 150, 90, 165, 140, 200, 145, 160,
120, 125, 110, 95.
Berapa nilai median data tersebut?
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 70, 90, 95, 100, 110, 115, 120, 120, 125, 125, 130, 140, 140, 145, 150, 160,
165, 170, 200, 250.
Nilai k yaitu:20 = 2k k = 10
Med M M= +( )
= +( )
=
1212
125 130
127 5
10 11
,
Jadi Median gaji 20 karyawan sebesar Rp. 127.500.
Book 1.indb 90 26/09/2016 19:41:38
91Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2.3 Modus
Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Untuk menentukan modus suatu kelompok data, data tersebut tidak perlu diurutkan, tetapi bila data telah diurutkan akan sangat mempermudah menentukan modusnya. Biasanya modus disingkat Mod. Contoh 2.20Dari data berikut, apakah ada modusnya? Kalau ada, tentukan nilainya: a) 10, 2, 5, 7,9, 9, 10, 11, 12, 18, 9, 2 b) 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9
Penyelesaian: a) Modusnya adalah 9 karena nilai 9 adalah nilai yang paling banyak muncul. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di atas
tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 4 dan 7 karena nilai yang sering munculnya mempunyai
frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.
Contoh 2.21Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 1, 3, 6, 6, 3, 2, 2, 6, 3, 6 b) 1, 4, 5, 7, 3 c) 6, 8, 4, 1, 6, 8, 7, 7, 11, 9, 8, 2, 6
Carilah modus dari data di atas!
Penyelesaian: a) Modusnya adalah 8 karena nilai 8 yang paling sering muncul
Book 1.indb 91 26/09/2016 19:41:39
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah92
b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di atas tidak mempunyai modus.
c) Modusnya adalah 8 dan 6 karena nilai yang sering munculnya mempunyai frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus.
Contoh 2.22Perhatikan data di bawah ini! a) 2, 2, 3, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 9, 5, 7, 1, 2,4 b) 5, 7, 3, 11, 14, 6, 8, 2 c) 0, 10, 5, 9, 2, 4, 10, 1, 7, 10, 8, 4, 6
Carilah modus dari data di atas!
Penyelesaian: a) Modusnya adalah 2 dan 4 karena nilai yang sering munculnya mempunyai
frekuensi yang sama, maka mempunyai 2 modus. b) Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka data di atas
tidak mempunyai modus. c) Modusnya adalah 10 karena nilai 10 yang paling sering muncul.
2.4 Hubungan antara Nilai Rata-Rata Hitung, Median dan Modus
Hubungan antara nilai rata-rata hitung, median dan modus ditentukan oleh kesimetrian kurva distribusi data yang bersangkutan. Ada tiga kemungkinan untuk kesimetrian kurva. Pertama, jika nilai rata-rata hitung, median dan modus berdekatan (hampir sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri. Kedua, jika nilai modus lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada nilai rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring ke kanan. Ketiga, jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil daripada modus, maka distribusi data akan miring ke kiri. Pada kasus kedua, nilai modus paling kecil dan nilai rata-rata hitung paling besar, sedangkan pada kasus ketiga, sebalikya, yaitu nilai rata-rata hitung paling kecil dan modus paling besar.
Book 1.indb 92 26/09/2016 19:41:39
93Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Grafik kurva distribusi data untuk ketiga kemungkinan tersebut adalah:
Ukuran Pemusatan Data 116
Mod = Med = X Mod Med X
X Med Mod
Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu :
Contoh 2.23 Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan rata-rata hitung ( ) 67,45 dan median (Med) 65,64. Tentukanlah modus dari data di atas! Penyelesaian :
X� – Mod = 3 (X� – Med)
Dalam hal distribusi data tidak simetris, miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu:
X X− = −( )Mod Med3
Contoh 2.23Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan
rata-rata hitung ( X ) 67,45 dan median (Med) 65,64.Tentukanlah modus dari data di atas!
Penyelesaian:
X X
X X
X
− = −( )− = −
= −
= ( )− ( )
=
Mod Med
Mod Med
Mod Med
3
3 3
3 23 65 64 2 67 45, ,1196 92 134 962 02
, ,,
−=
Book 1.indb 93 26/09/2016 19:41:39
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah94
Contoh 2.24Suatu kelompok data diketahui mempunyai distribusi tidak simetri dengan
rata-rata hitung ( X ) 75,9 dan median (Mod) 77,2.Tentukanlah median dari data di atas!
Penyelesaian:
X X
X X
X
− = −( )− = −
= −
= ( )− ( )
=
Mod Med
Mod Med
Mod Med
3 3
3 3
3 23 77 2 2 75 979
, ,,,8
2.5 Kuartil, Desil dan Persentil
2.5.1 Kuartil
Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang tidak berkelompok nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:
Qi = Nilai yang ke Q Nilai yang ke i n
i
11
41 2 3
=+( )
=
, , i = 1,2,3
Contoh 2.25Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai Q1, Q2, dan Q3!
Book 1.indb 94 26/09/2016 19:41:39
95Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n1
14
1 13 14
3 12
=+( )
=+( )
=
=
Nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-
antarra nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
Q nilai ke- nilai ke1 = +3 12
-- nilai ke-4 3
40 12
45 40
42 5
−( )
= + −( )
= ,
Q22 13 1
4
760
=+( )
=
==
nilai yang ke
nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-
Q
2
3 ==+( )
=
=
nilai ke
nilai ke-
antara nilai ke- dan ni
3 13 14
10 12
10 llai ke-Jadi:
Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3
11
10 12
11 10= + −( )
= 880 12
85 80
82 5
+ −( )
= ,
Q22 13 1
4
760
=+( )
=
==
nilai yang ke
nilai ke-7Jadi:Q nilai ke-
Q
2
3 ==+( )
=
=
nilai ke
nilai ke-
antara nilai ke- dan ni
3 13 14
10 12
10 llai ke-Jadi:
Q nilai ke- nilai ke- nilai ke-3
11
10 12
11 10= + −( )
= 880 12
85 80
82 5
+ −( )
= ,
Book 1.indb 95 26/09/2016 19:41:40
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah96
Contoh 2.26Berat badan 15 mahasiswa jurusan Sistem Informasi Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n1
14
1 15 14
4
=+( )
=+( )
=
nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-Jadi:Q1 ==
=
=+( )
=
=
nilai ke-4
Q nilai ke
nilai ke-8Jadi:Q nilai
2
2
46
2 15 14
ke-8
Q nilai ke
Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke
3
3
3
=
=+( )
=
=
53
3 15 14
--1260=
Q i n1
14
1 15 14
4
=+( )
=+( )
=
nilai yang ke
nilai ke
nilai ke-Jadi:Q1 ==
=
=+( )
=
=
nilai ke-4
Q nilai ke
nilai ke-8Jadi:Q nilai
2
2
46
2 15 14
ke-8
Q nilai ke
Q nilai ke-12Jadi:Q nilai ke
3
3
3
=
=+( )
=
=
53
3 15 14
--1260=
Book 1.indb 96 26/09/2016 19:41:40
97Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.27Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n1
14
1 25 14
6 12
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
antara nillai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
Q nilai ke-6+ 12
nilai ke- ni1 = −7 llai ke-
Q nilai ke
nilai
2
6
162 12
163 162
162 5
2 25 14
( )
= + −( )
=
=+( )
=
,
ke-13Jadi:Q nilai ke-13
Q nilai ke
nilai ke
2
3
==
=+( )
=
165
3 25 14
--19
=antara nilai ke-19 dan nilai ke-20Jadi:
Q nilai ke-3
12
= 119 12
20 19
170 12
171 170
170 5
+ −( )
= + −( )
=
nilai ke- nilai ke-
,
Book 1.indb 97 26/09/2016 19:41:40
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah98
Q i n1
14
1 25 14
6 12
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
antara nillai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
Q nilai ke-6+ 12
nilai ke- ni1 = −7 llai ke-
Q nilai ke
nilai
2
6
162 12
163 162
162 5
2 25 14
( )
= + −( )
=
=+( )
=
,
ke-13Jadi:Q nilai ke-13
Q nilai ke
nilai ke
2
3
==
=+( )
=
165
3 25 14
--19
=antara nilai ke-19 dan nilai ke-20Jadi:
Q nilai ke-3
12
= 119 12
20 19
170 12
171 170
170 5
+ −( )
= + −( )
=
nilai ke- nilai ke-
,
2.5.2 Desil
Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data tidak berkelompok nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
Di i n
i
=+( )
=
nilai ke
110
1 2 3 4 9, , , �
Contoh 2.28Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai D1, D4, D5, dan D9!
Penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Maka nilai D1, D4, D5, dan D9 adalah
Book 1.indb 98 26/09/2016 19:41:41
99Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
5 13 110
−( )
=
=+( )
=
=
D nilai ke
nilai ke-7Jadi:D nilai ke
5
5 --7
D nilai ke
nilai ke-
nilai ke-
an
9
=
=+( )
=
=
=
60
9 13 110
12 610
12 35
ttara nilai ke-12 dan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nil9 = + aai ke-13 nilai ke-12−( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
5 13 110
−( )
=
=+( )
=
=
D nilai ke
nilai ke-7Jadi:D nilai ke
5
5 --7
D nilai ke
nilai ke-
nilai ke-
an
9
=
=+( )
=
=
=
60
9 13 110
12 610
12 35
ttara nilai ke-12 dan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nil9 = + aai ke-13 nilai ke-12−( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
Book 1.indb 99 26/09/2016 19:41:41
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah100
D i n1
14
1 13 110
1 410
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-
nilai kee-
antara nilai ke-1 dan nilai ke-2
Jadi:
D nilai ke-1+1
125
=
=225
nilai ke-2 nilai ke-1
D nilai ke4
−( )
= + −( )
=
=+
30 25
35 30
32
4 13 1(( )
=
=
=
10
nilai ke-5 610
nilai ke-5 35
antara nilai ke-5 dan nilaai ke-6Jadi:
D nilai ke-5 35
nilai ke- nilai ke-4 = + −( )
= +
6 5
50 35
555 50
53
5 13 110
−( )
=
=+( )
=
=
D nilai ke
nilai ke-7Jadi:D nilai ke
5
5 --7
D nilai ke
nilai ke-
nilai ke-
an
9
=
=+( )
=
=
=
60
9 13 110
12 610
12 35
ttara nilai ke-12 dan nilai ke-13Jadi:
D nilai ke-12 35
nil9 = + aai ke-13 nilai ke-12−( )
= + −( )
=
95 35
100 95
98
Contoh 2.29Berat badan 15 mahasiswa jurusan Teknik Informatika Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Tentukanlah nilai D₂, D₃, dan D₆!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Maka nilai D₂, D₃, dan D₆ adalah
D i n2
14
2 15 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-3
nilai kee-3
antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
D nilai ke-32
15
=
= +115
nilai ke-4 nilai ke-3
D nilai ke3
−( )
= + −( )
=
=
45 35
46 45
45 6
3 15
,
++( )
=
=
=
110
nilai ke-4 810
nilai ke-4 45
antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:
D nilai ke-4 45
nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )
= +46 445
47 46
46 8
6 15 110
−( )
=
=+( )
=
=
,
D nilai ke
nilai ke-9 610
nilai ke
6
--9 35
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
D nilai ke-96
=
= +335
nilai ke-10 nilai ke-9−( )
= + −( )
=
55 35
55 55
55
Book 1.indb 100 26/09/2016 19:41:41
101Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n2
14
2 15 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-3
nilai kee-3
antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
D nilai ke-32
15
=
= +115
nilai ke-4 nilai ke-3
D nilai ke3
−( )
= + −( )
=
=
45 35
46 45
45 6
3 15
,
++( )
=
=
=
110
nilai ke-4 810
nilai ke-4 45
antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:
D nilai ke-4 45
nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )
= +46 445
47 46
46 8
6 15 110
−( )
=
=+( )
=
=
,
D nilai ke
nilai ke-9 610
nilai ke
6
--9 35
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
D nilai ke-96
=
= +335
nilai ke-10 nilai ke-9−( )
= + −( )
=
55 35
55 55
55
D i n2
14
2 15 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-3
nilai kee-3
antara nilai ke-3 dan nilai ke-4Jadi:
D nilai ke-32
15
=
= +115
nilai ke-4 nilai ke-3
D nilai ke3
−( )
= + −( )
=
=
45 35
46 45
45 6
3 15
,
++( )
=
=
=
110
nilai ke-4 810
nilai ke-4 45
antara nilai ke-4 dan niilai ke-5Jadi:
D nilai ke-4 45
nilai ke-5 nilai ke-43 = + −( )
= +46 445
47 46
46 8
6 15 110
−( )
=
=+( )
=
=
,
D nilai ke
nilai ke-9 610
nilai ke
6
--9 35
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
D nilai ke-96
=
= +335
nilai ke-10 nilai ke-9−( )
= + −( )
=
55 35
55 55
55
Book 1.indb 101 26/09/2016 19:41:42
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah102
Contoh 2.30Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Tentukanlah nilai D₂, D₇, dan D₈!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Maka nilai D₂, D₇, dan D₈ adalah
D i n2
14
2 25 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5
nilai kee-5
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
D nilai ke-52
15
=
= +115
nilai ke-6 nilai ke-5
D nilai k7
−( )
= + −( )
=
=
160 15
162 160
160 4,
ee
nilai ke-18 210
nilai ke-18 15
antara nilai ke-1
7 25 110
+( )
=
=
= 88 dan nilai ke-19Jadi:
D nilai ke-18 15
nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18
D nilai ke
nilai ke-
8
( )
= + −( )
=
=+( )
=
170 15
170 170
170
7 25 110
220 810
nilai ke-20 45
antara nilai ke-20 dan nilai ke-21J
+
= +
=
aadi:
D nilai ke-20 45
nilai ke-21 nilai ke-208 = + −( )
= + −171 45
172 1171
171 8
( )
= ,
Book 1.indb 102 26/09/2016 19:41:42
103Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n2
14
2 25 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5
nilai kee-5
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
D nilai ke-52
15
=
= +115
nilai ke-6 nilai ke-5
D nilai k7
−( )
= + −( )
=
=
160 15
162 160
160 4,
ee
nilai ke-18 210
nilai ke-18 15
antara nilai ke-1
7 25 110
+( )
=
=
= 88 dan nilai ke-19Jadi:
D nilai ke-18 15
nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18
D nilai ke
nilai ke-
8
( )
= + −( )
=
=+( )
=
170 15
170 170
170
7 25 110
220 810
nilai ke-20 45
antara nilai ke-20 dan nilai ke-21J
+
= +
=
aadi:
D nilai ke-20 45
nilai ke-21 nilai ke-208 = + −( )
= + −171 45
172 1171
171 8
( )
= ,
D i n2
14
2 25 1102
10
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5
nilai kee-5
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
D nilai ke-52
15
=
= +115
nilai ke-6 nilai ke-5
D nilai k7
−( )
= + −( )
=
=
160 15
162 160
160 4,
ee
nilai ke-18 210
nilai ke-18 15
antara nilai ke-1
7 25 110
+( )
=
=
= 88 dan nilai ke-19Jadi:
D nilai ke-18 15
nilai ke-19 nilai 7 = + − kke-18
D nilai ke
nilai ke-
8
( )
= + −( )
=
=+( )
=
170 15
170 170
170
7 25 110
220 810
nilai ke-20 45
antara nilai ke-20 dan nilai ke-21J
+
= +
=
aadi:
D nilai ke-20 45
nilai ke-21 nilai ke-208 = + −( )
= + −171 45
172 1171
171 8
( )
= ,
Book 1.indb 103 26/09/2016 19:41:42
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah104
2.5.3 Persentil
Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang maisng-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:
Pi i i n
i
=+( )
=
nilai ke-
1100
1 2 3 4 5 99, , , , …
Contoh 2.31Berikut ini adalah data gaji bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 (n=13).
Tentukanlah nilai P₁₅, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈!
Penyelesaian:Hal yang harus kita lakukan pertama kali yaitu data yang di atas diurutkan terlebih dahulu, maka hasilnya seperti di bawah ini: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Maka nilai P15, P₂₀, P₄₅, dan P₆₈ adalah
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke
2
35 45
40 35
39
45 13 11045
( )
= + −( )
=
=+( )P00
=
=
=
nilai ke-6 30100
nilai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilaai ke-7Jadi:
nilai ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-P453
106
5
= −( )
= 55 310
60 55
56 5
68 13 110068
+ −( )
=
=+( )
=
=
,
P nilai ke
nilai ke-9 52100
nnilai ke-9 1325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=P68 nnilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-91325
10
75 1325
80 75
−( )
= + −( )
= 777 6,
Book 1.indb 104 26/09/2016 19:41:42
105Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke
2
35 45
40 35
39
45 13 11045
( )
= + −( )
=
=+( )P00
=
=
=
nilai ke-6 30100
nilai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilaai ke-7Jadi:
nilai ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-P453
106
5
= −( )
= 55 310
60 55
56 5
68 13 110068
+ −( )
=
=+( )
=
=
,
P nilai ke
nilai ke-9 52100
nnilai ke-9 1325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=P68 nnilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-91325
10
75 1325
80 75
−( )
= + −( )
= 777 6,
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke
2
35 45
40 35
39
45 13 11045
( )
= + −( )
=
=+( )P00
=
=
=
nilai ke-6 30100
nilai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilaai ke-7Jadi:
nilai ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-P453
106
5
= −( )
= 55 310
60 55
56 5
68 13 110068
+ −( )
=
=+( )
=
=
,
P nilai ke
nilai ke-9 52100
nnilai ke-9 1325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=P68 nnilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-91325
10
75 1325
80 75
−( )
= + −( )
= 777 6,
Book 1.indb 105 26/09/2016 19:41:43
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah106
P i n15
14
15 13 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P15 ii ke-2+ nilai ke-3 dan nilai ke-110
2
35 110
40 35
35 5
( )
= + −( )
= ,
P22020 13 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-2 80100
nilai ke-2 45
antaraa nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nilai ke-2+ 45
nilai keP20 = --3 dan nilai ke-
nilai ke
2
35 45
40 35
39
45 13 11045
( )
= + −( )
=
=+( )P00
=
=
=
nilai ke-6 30100
nilai ke-6 310
antara nilai ke-6 dan nilaai ke-7Jadi:
nilai ke-6+ nilai ke-7 nilai ke-P453
106
5
= −( )
= 55 310
60 55
56 5
68 13 110068
+ −( )
=
=+( )
=
=
,
P nilai ke
nilai ke-9 52100
nnilai ke-9 1325
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
=
=P68 nnilai ke-9+ nilai ke- nilai ke-91325
10
75 1325
80 75
−( )
= + −( )
= 777 6,
Contoh 2.32Berat badan 15 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 55, 45, 65, 53, 60, 45, 65, 47, 53, 63, 55, 46, 57, 44, 50
Tentukanlah nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 44, 45, 45, 46, 47, 50, 53, 53, 55, 55, 57, 60, 63, 65, 65
Maka nilai P₃₃, P₅₀, P₆₂ dan P₈₄ adalah
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 28100
nillai ke-5 725
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nila
=
=P33 ii ke-5+ nilai ke-6 dan nilai ke-725
5
47 725
50 47
47 84
( )
= + −( )
= ,
PP
P
P
50
50
50 15 1100
53
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
66262 15 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 92100
nilai ke-9 2325
antaara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilP622325
= aai ke- nilai ke-
nilai ke
10 9
55 2325
55 55
55
84 1584
−( )
= + −( )
=
=P ++( )
=
=
=
1100
nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke-113 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nnilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,
Book 1.indb 106 26/09/2016 19:41:43
107Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 28100
nillai ke-5 725
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nila
=
=P33 ii ke-5+ nilai ke-6 dan nilai ke-725
5
47 725
50 47
47 84
( )
= + −( )
= ,
PP
P
P
50
50
50 15 1100
53
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
66262 15 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 92100
nilai ke-9 2325
antaara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilP622325
= aai ke- nilai ke-
nilai ke
10 9
55 2325
55 55
55
84 1584
−( )
= + −( )
=
=P ++( )
=
=
=
1100
nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke-113 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nnilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 28100
nillai ke-5 725
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nila
=
=P33 ii ke-5+ nilai ke-6 dan nilai ke-725
5
47 725
50 47
47 84
( )
= + −( )
= ,
PP
P
P
50
50
50 15 1100
53
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
66262 15 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 92100
nilai ke-9 2325
antaara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilP622325
= aai ke- nilai ke-
nilai ke
10 9
55 2325
55 55
55
84 1584
−( )
= + −( )
=
=P ++( )
=
=
=
1100
nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke-113 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nnilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,Book 1.indb 107 26/09/2016 19:41:43
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah108
P i n33
14
33 15 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-5 28100
nillai ke-5 725
antara nilai ke-5 dan nilai ke-6Jadi:
nila
=
=P33 ii ke-5+ nilai ke-6 dan nilai ke-725
5
47 725
50 47
47 84
( )
= + −( )
= ,
PP
P
P
50
50
50 15 1100
53
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-8Jadi:
nilai ke-8
66262 15 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-9 92100
nilai ke-9 2325
antaara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ nilP622325
= aai ke- nilai ke-
nilai ke
10 9
55 2325
55 55
55
84 1584
−( )
= + −( )
=
=P ++( )
=
=
=
1100
nilai ke-13 44100
nilai ke-13 1125
antara nilai ke-113 dan nilai ke-14Jadi:
nilai ke-13+ nilai ke- P842325
14= − nnilai ke-13
63 2325
65 63
64 84
( )
= + −( )
= ,
Contoh 2.33Tinggi badan 25 mahasiswa jurusan Manajemen Perbankan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut: 160, 158, 173, 166, 162, 175, 164, 172, 163, 168, 166, 159, 165, 158, 160,
165, 163, 174, 171, 180, 169, 165, 164, 170, 170
Tentukanlah nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅!
Penyelesaian:Setelah data diurutkan maka hasilnya tampak seperti ini: 158, 158, 159, 160, 160, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166,
168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 180
Maka nilai P₁₈, P₃₅, P₄₁ dan P₇₅ adalah
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke
nilai ke-10 66100
nilai ke-10 3350
antara ni
41 25 1100
+( )
=
=
= llai ke-10 dan nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10+ nilai kP413350
= ee-11 nilai ke-
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
10
164 3350
165 164
164 66
75
,
P 775 25 1100
+( )
=
=
=
nilai ke-19 50100
nilai ke-19 122
antara nilai kke-19 dan nilai ke-20Jadi:
nilai ke-19+ nilai ke- P7512
20= − nilai ke-19( )
= + −( )
=
170 12
171 170
170 5,
Book 1.indb 108 26/09/2016 19:41:43
109Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke
nilai ke-10 66100
nilai ke-10 3350
antara ni
41 25 1100
+( )
=
=
= llai ke-10 dan nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10+ nilai kP413350
= ee-11 nilai ke-
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
10
164 3350
165 164
164 66
75
,
P 775 25 1100
+( )
=
=
=
nilai ke-19 50100
nilai ke-19 122
antara nilai kke-19 dan nilai ke-20Jadi:
nilai ke-19+ nilai ke- P7512
20= − nilai ke-19( )
= + −( )
=
170 12
171 170
170 5,
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke
nilai ke-10 66100
nilai ke-10 3350
antara ni
41 25 1100
+( )
=
=
= llai ke-10 dan nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10+ nilai kP413350
= ee-11 nilai ke-
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
10
164 3350
165 164
164 66
75
,
P 775 25 1100
+( )
=
=
=
nilai ke-19 50100
nilai ke-19 122
antara nilai kke-19 dan nilai ke-20Jadi:
nilai ke-19+ nilai ke- P7512
20= − nilai ke-19( )
= + −( )
=
170 12
171 170
170 5,
Book 1.indb 109 26/09/2016 19:41:43
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah110
P i n18
14
18 25 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-4 68100
nillai ke-4 1725
antara nilai ke-4 dan nilai ke-5Jadi:
nil
=
=P18 aai ke-4+ nilai ke-5 dan nilai ke-41725
160 1725
160 160
( )
= + −( )
==
=+( )
=
=
160
35 25 110035P nilai ke
nilai ke-9 10100
nilai ke-9 110
==
=
antara nilai ke-9 dan nilai ke-10Jadi:
nilai ke-9+ 110
P35 nnilai ke-10 dan nilai ke-9
nilai
( )
= + −( )
=
=
164 15
164 164
164
41P ke
nilai ke-10 66100
nilai ke-10 3350
antara ni
41 25 1100
+( )
=
=
= llai ke-10 dan nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10+ nilai kP413350
= ee-11 nilai ke-
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
10
164 3350
165 164
164 66
75
,
P 775 25 1100
+( )
=
=
=
nilai ke-19 50100
nilai ke-19 122
antara nilai kke-19 dan nilai ke-20Jadi:
nilai ke-19+ nilai ke- P7512
20= − nilai ke-19( )
= + −( )
=
170 12
171 170
170 5,
2.6 Rata-Rata Ukur (Geomethric Mean)
Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data, khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu banyak nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini, maka rata-rata ukur akan lebih baik daripada rata-rata hitung.(Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rumus rata-rata ukur adalah sebagai berikut:
G A A Ann= 1 2, , ,…
Contoh 2.34Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9 b) Y₁ = 5, Y₂ = 10, Y₃ = 15 c) Z₂ = 4, Z₂ = 8, Z₃ = 12
Book 1.indb 110 26/09/2016 19:41:44
111Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Penyelesaian:a) , G= X .X .X
b) G= Y .Y .Y1 2 3
1 2 3
3 3 3
3 3
3 6 9 162 5 45
5 10
= ( )( )( )= =
= ( )( ) 115 750 9 08
4 8 12 1920 7 26
3
3 3 3
( )= =
= ( )( )( )= =
,
,c) G= Z .Z .Z1 2 3
Contoh 2.35Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) A₁ = 3, A₂ = 6, A₃ = 9 b) B₁ = 5, B₂ = 10, B₃ = 15 c) C₂ = 4, C₂ = 8, C₃ = 12
Penyelesaian:a G= A .A .A
b) G= B .B .B1 2 3
1 2 3
) ,3 3 3
3 3
3 6 9 162 5 45
5 10
= ( )( )( )= =
= ( )( ) 115 750 9 08
4 8 12 1920 7 26
3
3 3 3
( )= =
= ( )( )( )= =
,
,c) G= C .C .C1 2 3
Contoh 2.36Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) R₁ = 6, R₂ = 12, R₃ = 24 b) S₁ = 21, S₂ = 42, S₃ = 84 c) T₁ = 8, T₂ = 16, T₃ = 32
Penyelesaian:a G= R .R .R
b) G= S .S .S1 2 3
1 2 3
) 3 3 3
3 3
6 12 24 1728 12
21 42
= ( )( )( )= =
= ( )(( )( )= =
= ( )( )( )= =
84 74088 42
8 16 32 4096 16
3
3 3 3c) G= T .T .T1 2 3
Contoh 2.37Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini: a) L₁ = 18, L₂ = 36, L₃ = 72 b) M₁ = 41, M₂ = 82, M₃ = 164 c) N₁ = 35, N₂ = 70, N₃ = 140
Book 1.indb 111 26/09/2016 19:41:44
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah112
Penyelesaian:a G= L .L .L
b) G= M .M .M1 2 3
1 2 3
) 3 3 3
3 3
18 36 72 46656 36
41
= ( )( )( )= =
= ( ) 882 164 551368 82
35 70 140 343000
3
3 3 3
( )( )= =
= ( )( )( )=c) G= N .N .N1 2 3 == 70
2.7 Rata-Rata Harmonis (Harmonic Mean)
Untuk menentukan ukuran pemusatan data yaitu dengan rata-rata harmonis, khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal. (Boediono: 2008) Untuk data tidak berkelompok rata-rata harmonis dari kelompok data; X₁, X₂, X₃ …,Xn rumusnya adalah sebagai berikut ini:
R n
x
H =
∑ 1
Contoh 2.38Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini! X₁ = 3, X₂ = 6, X₃ = 9
Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
113
16
19
3694 5,
Book 1.indb 112 26/09/2016 19:41:45
113Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Contoh 2.39Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
12
34
58
916
, , ,
Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
412
34
58
916
439161 64,
Contoh 2.40Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
L L L1 2 318 36 72= = =, ,
Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
31
181
361
7237
7230 8,
Contoh 2.41Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini!
23
49
318
89
, , ,
Book 1.indb 113 26/09/2016 19:41:46
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah114
Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
423
49
318
89
439181 84,
2.8 Rangkuman
Ukuran pemusatan data tidak berkelompok masih merupakan bagian dari statistika deskriptif. Ukuran pemusatan data itu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok
data. b. Median yaitu nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul. d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian
yang sama banyak. e. Desil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 bagian
yang sama banyak. f. Persentil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100
bagian yang sama banyak. g. Rata-rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data,
khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap 2 data yang berurutan tetap atau hampir tetap.
h. Rata-rata harmonis dipakai untuk menentukan ukuran pemusatan data khususnya kalau suatu kelompok data mempunyai ciri-ciri tertentu yang merupakan bilangan pecahan atau bilangan dalam desimal.
Book 1.indb 114 26/09/2016 19:41:46
115Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2.9 Latihan Soal
2.9.1 Nilai Ujian Teori Akuntansi dengan 27 Mahasiswa jurusan Perpajakan Universitas BSI Bandung yaitu: 6 mahasiswa mendapat nilai 65, 10 mahasiswa mendapat nilai 75, 5 mahasiswa mendapat nilai 80, 2 mahasiswa mendapat nilai 60 dan 4 mahasiswa mendapat nilai 95.
Hitunglah nilai rata-rata hitungnya!
2.9.2 Berat badan kelas Manajemen di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
45, 40, 49, 45, 49, 60, 48, 50, 60, 65, 70, 54, 55, 60, 43, 44, 50, 48, 70, 55, 60
Hitunglah median yang ada pada data di atas!
2.9.3 Tinggi badan suatu organisasi UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
160, 165, 170, 163, 165, 172, 161, 160, 164, 168, 160, 180, 178, 172, 165, 163, 165, 162
Carilah besar modus dari data di atas!
2.9.4 Penjualan formulir masuk Universitas BSI Bandung selama seminggu yaitu sebagai berikut:
20, 12, 18, 9, 14, 25, 33. Hitunglah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃!
2.9.5 Gaji 16 karyawan di Yogya Sunda setiap hari adalah sebagai berikut: 45, 30, 35, 50, 43, 37, 55, 45, 60, 48, 46, 43, 47, 42, 30, 38 Hitunglah nilai D₄, D₆, D₇, dan D₉!
2.9.6 Nilai Ujian mata kuliah Geologi Pariwisata 20 mahasiswa jurusan Pariwisata adalah sebagai berikut:
90, 85, 72, 65, 83, 75, 60, 77, 87, 85, 98, 80, 75, 78, 73, 82, 70, 78, 88, 95.
Hitunglah P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀!
Book 1.indb 115 26/09/2016 19:41:46
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah116
2.9.7 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) O₁ = 7, O₂ = 14, O₃ = 28b) P₁ = 12, P₂ = 24, P₃ = 48c) Q₁ = 10, Q₂ = 20, Q₃ = 40
2.9.8 Hitunglah rata-rata ukur dari data di bawah ini:a) D₁ = 3, D₂ = 6, D₃ = 12b) E₁ = 15, E₂ = 30, E₃ = 90c) F₁ = 25, F₂ = 50, F₃ = 100
2.9.9 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini: 4, 6, 8, 24 2.9.10 Hitunglah rata-rata harmonis dari data di bawah ini:
72
13
34
, ,
2.10 Jawaban Latihan Soal
2.10.1 Penyelesaian:
X =×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )
=+ + + +
6 65 10 75 5 80 2 60 4 9527
390 750 400 120 380027
204027
75 5
=
= ,
2.10.2 Penyelesaian: Data yang telah diurutkan maka hasilnya seperti di bawah ini: 43, 44, 44, 45, 45, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 54, 55, 55, 60, 60, 60, 60, 65,
70, 70
Book 1.indb 116 26/09/2016 19:41:46
117Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
Nilai k yaitu:
21 2 12 21 1
202
10
= +
= −
=
=
kk
k
k
Maka, median dari data di atas M₁₁ = 50
2.10.3 Penyelesaian: Modusnya adalah 165 karena tinggi badan 165 yang paling banyak
muncul.
2.10.4 Penyelesaian: Setelah data diurutkan maka hasilnya seperti ini: 9, 12, 14, 18, 20, 25, 33
Maka nilai Q₁, Q₂ dan Q₃ adalah
Q i n
Q
1
1
14
1 7 14
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2Jadi:
nilai ke-2
nilai ke
nilai ke-4Jadi:
nilai ke-4
=
=+( )
=
==
12
2 7 14
1
2
2
Q
Q88
3 7 14
25
3
3
Q
Q
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-6Jadi:
nilai ke-6Book 1.indb 117 26/09/2016 19:41:47
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah118
Q i n
Q
1
1
14
1 7 14
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2Jadi:
nilai ke-2
nilai ke
nilai ke-4Jadi:
nilai ke-4
=
=+( )
=
==
12
2 7 14
1
2
2
Q
Q88
3 7 14
25
3
3
Q
Q
=+( )
=
==
nilai ke
nilai ke-6Jadi:
nilai ke-6
2.10.5 Penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 30, 30, 35, 37, 38, 42, 43, 43, 45, 45, 46, 47, 48, 50, 55, 60
Maka nilai D₄, D₆, D₇ dan D₉ adalah
D i n4
14
4 16 110
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-6 810
nilai kee-6 45
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nilai ke-6
=
= +D4445
nilai ke- nilai ke-
nilai ke
7 6
42 45
43 42
42 8
6 166
−( )
= + −( )
=
=
,
D ++( )
=
=
=
110
nilai ke-10 210
nilai ke-10 15
antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10 15
nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00
45 15
46 45
45 2
7
( )
= + −( )
=
=( )
=
=
,
D nilai ke 7 16+110
nilai ke-11 910
aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:
nilai ke-11 910
D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
46 910
47 46
46 9
9
,
D 99 16+110
nilai ke-15
antara nilai ke-15 dan nilai ke-
( )
=
=
310
116Jadi:
nilai ke-15+ 310
nilai ke- nilai ke-D9 16 15
55 310
= −( )
= + 660 55
56 5
−( )
= ,
Book 1.indb 118 26/09/2016 19:41:47
119Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
D i n4
14
4 16 110
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-6 810
nilai kee-6 45
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nilai ke-6
=
= +D4445
nilai ke- nilai ke-
nilai ke
7 6
42 45
43 42
42 8
6 166
−( )
= + −( )
=
=
,
D ++( )
=
=
=
110
nilai ke-10 210
nilai ke-10 15
antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10 15
nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00
45 15
46 45
45 2
7
( )
= + −( )
=
=( )
=
=
,
D nilai ke 7 16+110
nilai ke-11 910
aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:
nilai ke-11 910
D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
46 910
47 46
46 9
9
,
D 99 16+110
nilai ke-15
antara nilai ke-15 dan nilai ke-
( )
=
=
310
116Jadi:
nilai ke-15+ 310
nilai ke- nilai ke-D9 16 15
55 310
= −( )
= + 660 55
56 5
−( )
= ,
D i n4
14
4 16 110
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-6 810
nilai kee-6 45
antara nilai ke-6 dan nilai ke-7Jadi:
nilai ke-6
=
= +D4445
nilai ke- nilai ke-
nilai ke
7 6
42 45
43 42
42 8
6 166
−( )
= + −( )
=
=
,
D ++( )
=
=
=
110
nilai ke-10 210
nilai ke-10 15
antara nilai ke-10 dann nilai ke-11Jadi:
nilai ke-10 15
nilai ke- nilai ke-D6 11 1= + − 00
45 15
46 45
45 2
7
( )
= + −( )
=
=( )
=
=
,
D nilai ke 7 16+110
nilai ke-11 910
aantara nilai ke-11 dan nilai ke-12Jadi:
nilai ke-11 910
D7 = + nnilai ke-12 nilai ke-11
nilai ke
−( )
= + −( )
=
=
46 910
47 46
46 9
9
,
D 99 16+110
nilai ke-15
antara nilai ke-15 dan nilai ke-
( )
=
=
310
116Jadi:
nilai ke-15+ 310
nilai ke- nilai ke-D9 16 15
55 310
= −( )
= + 660 55
56 5
−( )
= ,
2.10.6 Penyelesaian: Data yang telah diurutkan adalah sebagai berikut: 60, 65, 70, 72, 73, 75, 75, 77, 78, 78, 80, 82, 83, 85, 85, 87, 88, 90, 95,
98
Book 1.indb 119 26/09/2016 19:41:47
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah120
Maka nilai P₁₀, P₂₀, P₄₀, P₆₀ dan P₈₀ adalah
P i n10
14
10 20 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P10 ii ke-2 110
nilai ke- nilai ke-
n
+ −( )
= + −( )
=
=
3 2
65 110
70 65
65 5
20
,
P iilai ke
nilai ke-4 20100
nilai ke-4 15
antara ni
20 20 1100
+( )
=
=
= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:
nilai ke-4 15
nilai ke- n
5
520P = + − iilai ke-
nilai ke
nila
4
72 15
73 72
72 2
40 20 110040
( )
= + −( )
=
=+( )
=
,
P
ii ke-8 40100
nilai ke-8 25
antara nilai ke-8 dan nilai ke-9
=
=
JJadi:
nilai ke-8+ 25
nilai ke- nilai ke-P40 9 8
77 25
78 77
= −( )
= + −( ))
=
=( )
=
=
77 4
60100
60
,
P nilai ke 60 20+1100
nilai ke-12
nilai ke-122
antara nilai ke-12 dan nilai ke-13Jadi:
nilai ke-1
35
60
=
=P 22 35
nilai ke- nilai ke-
nilai
+ −( )
= + −( )
=
=
13 12
82 35
83 82
82 6
80
,
P kke 80 20+1100
nilai ke-16
nilai ke-16
antara nilai
( )
=
=
=
8010045 ke-16 dan nilai ke-17
Book 1.indb 120 26/09/2016 19:41:47
121Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
P i n10
14
10 20 1100
=+( )
=+( )
=
=
nilai ke
nilai ke
nilai ke-2 10100
nillai ke-2 110
antara nilai ke-2 dan nilai ke-3Jadi:
nila
=
=P10 ii ke-2 110
nilai ke- nilai ke-
n
+ −( )
= + −( )
=
=
3 2
65 110
70 65
65 5
20
,
P iilai ke
nilai ke-4 20100
nilai ke-4 15
antara ni
20 20 1100
+( )
=
=
= llai ke-4 dan nilai ke-Jadi:
nilai ke-4 15
nilai ke- n
5
520P = + − iilai ke-
nilai ke
nila
4
72 15
73 72
72 2
40 20 110040
( )
= + −( )
=
=+( )
=
,
P
ii ke-8 40100
nilai ke-8 25
antara nilai ke-8 dan nilai ke-9
=
=
JJadi:
nilai ke-8+ 25
nilai ke- nilai ke-P40 9 8
77 25
78 77
= −( )
= + −( ))
=
=( )
=
=
77 4
60100
60
,
P nilai ke 60 20+1100
nilai ke-12
nilai ke-122
antara nilai ke-12 dan nilai ke-13Jadi:
nilai ke-1
35
60
=
=P 22 35
nilai ke- nilai ke-
nilai
+ −( )
= + −( )
=
=
13 12
82 35
83 82
82 6
80
,
P kke 80 20+1100
nilai ke-16
nilai ke-16
antara nilai
( )
=
=
=
8010045 ke-16 dan nilai ke-17
P8080 20 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-16 80100
nilai ke-16 45
antaara nilai ke-16 dan nilai ke-17Jadi:
nilai ke-16+ 45
nilP80 = aai ke- nilai ke-17 16
87 45
88 87
87 8
−( )
= + −( )
= ,
Book 1.indb 121 26/09/2016 19:41:48
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah122
P8080 20 1
100=
+( )
=
=
=
nilai ke
nilai ke-16 80100
nilai ke-16 45
antaara nilai ke-16 dan nilai ke-17Jadi:
nilai ke-16+ 45
nilP80 = aai ke- nilai ke-17 16
87 45
88 87
87 8
−( )
= + −( )
= ,
2.10.7 Penyelesaian:
a
b
) . .
) . .
G O O O
G Q Q Q
= = ( )( )( ) = =
= = ( )( )
1 2 33 3 3
1 2 33
7 14 28 2744 14
12 24 488 13824 24
10 20 40 8000 20
3 3
1 2 33 3 3
( ) = =
= = ( )( )( ) = =c) . .G Q Q Q
2.10.8 Penyelesaian:
a
b
) . .
) . .
G D D D
G E E E
= = ( )( )( ) = =
= = ( )( )( )
1 2 33 3 3
1 2 33
3 6 12 216 6
15 30 6033 3
1 2 33 3 3
27000 30
25 50 100 125000 50
= =
= = ( )( )( ) = =C) . .G F F F
2.10.9 Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ + +
=
=
∑ 1
414
16
18
124
414246 85,
Book 1.indb 122 26/09/2016 19:41:48
123Bab 2 Ukuran Pemusatan Data Tidak Berkelompok
2.10.10 Penyelesaian:
R n
x
H =
=+ +
=
=
∑ 1
37
1213
34
320121 8,
Book 1.indb 123 26/09/2016 19:41:49
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah124
Book 1.indb 124 26/09/2016 19:41:49
125
UKURAN PEMUSATAN DATA BERKELOMPOK
Ukuran pemusatan dimaksudkan sebagai parameter atau ukuran keterpusatan data. Ukuran pemusatan data ini digunakan untuk
mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terhimpun dalam sekelompok data. Ukuran ini seringkali dijadikan pengambilan keputusan, sehingga keberadaan ukuran pemusatan data tersebut boleh dikatakan sangat berarti dalam rangka melakukan analisis data. Ukuran pemusatan data berkelompok yang akan dipelajari yaitu, rata-rata hitung, median, modus, kuartil, desil dan persentil.
3.1 Rata-Rata Hitung
Penggunaan rata-rata hitung untuk suatu kelompok data tergantung dari tujuan analisisnya. Nilai yang mewakili sekelompok data yaitu disebut rata-rata hitung. Untuk menentukan nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan ke dalam daftar distribusi frekuensi, dapat dilakukan perhitungan dengan cara yaitu perhitungan yang didasarkan pada jumlah dari hasil perkalian antara frekuensi tiap kelas interval dengan nilai tengah kelas. Penggunaan rata-rata banyak sekali dilakukan, bukan saja di dalam pelajaran statistik akan tetapi juga dalam perhitungan sehari-hari. Rata-rata hitung sering disimbolkan sebagai X , dibaca x bar.
Bab 3
Book 1.indb 125 26/09/2016 19:41:49
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah126
Persamaan rata-rata hitung ditentukan sebagai berikut:
XfX
f
ii
n
= =∑∑
1
Keterangan:
X = Nilai Rata-Rata Hitung
∑ f.Xi = Jumlah perkalian frekuensi dengan nilai tengah ∑ f = Jumlah data atau banyaknya data
Contoh 3.1Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.1Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.2Perhitungan Rata-Rata Hitung
Modal f Xi f. Xi10 – 29 22 19,5 42930 – 49 38 39,5 150150 – 69 26 59,5 154770 – 89 19 79,5 1510,5
90 – 109 35 99,5 3482,5110 – 129 15 109,5 1792,5130 – 149 45 139,5 6277,5
Jumlah 200 16540
Book 1.indb 126 26/09/2016 19:41:50
127Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu
X = =
16540200
82 7,
Contoh 3.2 Tentukanlah nilai rata-rata hitung dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Tabel 3.3Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4
Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.4Perhitungan Rata-Rata Hitung
Kelas f Xi f. Xi152 – 154 4 153 612155 – 157 11 156 1716158 – 160 10 159 1590161 – 163 25 162 4050164 – 166 20 165 3300167 – 169 20 168 3360170 – 172 6 171 1026173 – 175 4 174 696
Jumlah 100 16350
Book 1.indb 127 26/09/2016 19:41:50
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah128
Maka rata-rata hitung dari data modal perusahaan di atas yaitu
X = =
16350100
163 5,
3.2 Median
Nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan baik membesar atau mengecil disebut median. Biasanya median disingkat Med. Median data yang sudah dikelompokkan dirumuskan sebagai berikut:
Med Lm
in F
fC= +
−( )∑2 .
Keterangan:Med = MedianLm = Batas bawah kelas median C = Panjang kelas atau Interval kelasn = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda
kelas medianf = Frekuensi kelas median
Contoh 3.3Tentukanlah nilai median dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.5Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Book 1.indb 128 26/09/2016 19:41:50
129Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.6Perhitungan Median
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Letak median yaitu pada data yang ke 200/2 = 100 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 100 atau lebih). Lm = 69,5, ∑f = 86. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:
Med Lm
n F
fC= +
−( )
= +−( )
= +
= +
∑2
69 5
2002
86
1920
69 5 1419
20
69 5 0
.
, .
, .
, ,774 2084 3
.,=
Bahwasannya ada sebanyak 50% Modal PT. Maju yang bernilai 84,3.
Contoh 3.4Tentukanlah nilai median dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Book 1.indb 129 26/09/2016 19:41:50
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah130
Tabel 3.7Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan median pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.8Perhitungan Median
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Letak median yaitu pada data yang ke 100/2 = 50 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 50 atau lebih). Lm = 160,5, ∑f = 25. Dari tabel data di atas ternyata nilai median yaitu:
Med Lm
n F
fC= +
−( )
= +−( )
= +=
∑2
160 5
502
25
503
160 5 3163 5
.
, .
,,
Book 1.indb 130 26/09/2016 19:41:51
131Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Bahwasannya ada sebanyak 50% tinggi badan mahasiswa STMIK Nusa Mandiri yang bernilai 160,5.
3.3 Modus
Nilai yang sering muncul dalam suatu kelompok data atau nilai yang paling banyak frekuensinya disebut modus. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya, modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Modus sering disingkat dengan Mod. Persamaan modus data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
Mod Lmo dd d
C= ++
1
1 2
.
Keterangan:Mod = ModusLm = Batas bawah kelas modusd1 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi
sebelumnyad2 = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi
sesudahnyaC = Panjang kelas interval
Contoh 3.5Tentukanlah nilai modus dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.9Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Book 1.indb 131 26/09/2016 19:41:51
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah132
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.10Perhitungan Modus
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 45. d1 = 45 – 15 = 30, d2 = 45, Lm = 129,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:
Mod Lmo dd d
C= ++
= ++
=
1
1 2
129 5 3030 45
20
1
.
, .
229 5 8137 5
,,
+=
Contoh 3.6Tentukanlah nilai modus dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Book 1.indb 132 26/09/2016 19:41:51
133Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Tabel 3.11Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan modus pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.12Perhitungan Modus
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Letak modus yaitu pada data yang paling banyak frekuensinya yaitu 25. d1 = 25 – 10 = 15, d2 = 25 – 20 = 5, Lm = 160,5. Dari tabel di atas ternyata nilai modus yaitu:
Mod Lmo dd d
C= ++
= ++
= +=
1
1 2
160 5 1515 5
20
160 5 2 251
.
, .
, ,662 75,
Book 1.indb 133 26/09/2016 19:41:51
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah134
3.4 Kuartil
Kita telah mengetahui bahwa median itu merupakan nilai tengah data. Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak disebut kuartil. Bilangan pembaginya ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas. Untuk data yang sudah dikelompokan nilai kuartil ke-i, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut ini:
Qi Lqi
in f
fC= +
−
∑4 .
Keterangan:Qi = Nilai Kuartil ke i, i = 1, 2, dan 3Lqi = Batas bawah kelas Qi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda
kelas Qif = Frekuensi kelas Qi
Contoh 3.7Tentukanlah Q₂ dan Q₃ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.13Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Book 1.indb 134 26/09/2016 19:41:52
135Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.14Perhitungan Kuartil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Q Lq
n f
fC1 1
14
29 5
2004
22
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
29 5 50 2238
20
29 5 14 7444 24
2Q Lqq
n f
fC2
24
69 5
4004
86
19
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7484 24
3 3Q Lq ++−
= +−
∑34
109 5
6004
140
15
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
109 5 150 14015
20
109 5 13 33122 83
Book 1.indb 135 26/09/2016 19:41:52
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah136
Q Lq
n f
fC1 1
14
29 5
2004
22
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
29 5 50 2238
20
29 5 14 7444 24
2Q Lqq
n f
fC2
24
69 5
4004
86
19
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7484 24
3 3Q Lq ++−
= +−
∑34
109 5
6004
140
15
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
109 5 150 14015
20
109 5 13 33122 83
Contoh 3.8Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Tabel 3.15Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Book 1.indb 136 26/09/2016 19:41:52
137Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Tabel 3.16Perhitungan Kuartil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Q Lq
n f
fC1 1
14
157 5
1004
15
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
157 5 25 1510
3
157 5 3160 5
2 2Q Lq
224
160 5
2004
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
34
3 3Q Lq
n f
ffC
= +−
.
,166 5
3004
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
3
166 5 75 7020
3
166 5 0 75167 25
Book 1.indb 137 26/09/2016 19:41:52
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah138
Q Lq
n f
fC1 1
14
157 5
1004
15
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
157 5 25 1510
3
157 5 3160 5
2 2Q Lq
224
160 5
2004
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
34
3 3Q Lq
n f
ffC
= +−
.
,166 5
3004
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
3
166 5 75 7020
3
166 5 0 75167 25
3.5 Desil
Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya disebut desil. Maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil (D), yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, … D₉. Untuk data yang sudah dikelompokkan nilai desil ke-i, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
D Ld
in F
fCi i= +
−
∑10 .
Keterangan:Di = Nilai Desil ke i, i = 1, 2, dan 3Ldi = Batas bawah kelas Di C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda
kelas Dif = Frekuensi kelas Di
Book 1.indb 138 26/09/2016 19:41:53
139Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.9Tentukanlah D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.17Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.18Perhitungan Desil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
D Ld
n F
fC1 1
110
9 5
20010
0
22
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
9 5 20 022
20
9 5 18 1827 68
2 2D Ld
2210
29 5
40010
22
38
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
29 5 40 2238
20
29 5 9 4738 97
3
3 3D Ld
n110
29 5
60010
22
38
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
,,
20
29 5 60 2238
20
29 5 2049 5
Book 1.indb 139 26/09/2016 19:41:53
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah140
D Ld
n F
fC1 1
110
9 5
20010
0
22
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
9 5 20 022
20
9 5 18 1827 68
2 2D Ld
2210
29 5
40010
22
38
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
20
29 5 40 2238
20
29 5 9 4738 97
3
3 3D Ld
n110
29 5
60010
22
38
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
,,
20
29 5 60 2238
20
29 5 2049 5
D Ld
n F
fC4 4
410
49 5
80010
60
26
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
49 5 80 6026
20
49 5 15 3864 88
5D == +−
= +−
∑Ld
n f
fC5
510
69 5
100010
86
19
.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7384 24
D66 6
610
29 5
120010
104
35
= +−
= +−
∑Ld
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
89 5 120 10438
20
89 5 9 1498 644
710
89 5
140010
104
35
7 7D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
89 5 140 10435
20
89 5 20 571110 07,
Book 1.indb 140 26/09/2016 19:41:53
141Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
D Ld
n F
fC4 4
410
49 5
80010
60
26
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
49 5 80 6026
20
49 5 15 3864 88
5D == +−
= +−
∑Ld
n f
fC5
510
69 5
100010
86
19
.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7384 24
D66 6
610
29 5
120010
104
35
= +−
= +−
∑Ld
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
89 5 120 10438
20
89 5 9 1498 644
710
89 5
140010
104
35
7 7D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
89 5 140 10435
20
89 5 20 571110 07,
D Ld
n F
fC4 4
410
49 5
80010
60
26
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
49 5 80 6026
20
49 5 15 3864 88
5D == +−
= +−
∑Ld
n f
fC5
510
69 5
100010
86
19
.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
69 5 100 8619
20
69 5 14 7384 24
D66 6
610
29 5
120010
104
35
= +−
= +−
∑Ld
n f
fC.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
89 5 120 10438
20
89 5 9 1498 644
710
89 5
140010
104
35
7 7D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
89 5 140 10435
20
89 5 20 571110 07,
Book 1.indb 141 26/09/2016 19:41:54
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah142
D Ld
n f
fC8 8
810
129 5
160010
155
45
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
129 5 160 15545
20
129 5 2 221331 72
910
129 5
180010
9 9
,
.
,
D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑
1155
4520
129 5 1800 15545
20
129 5
= +−( )
=
.
, .
, ++=
11 11140 61
,,
D Ld
n f
fC8 8
810
129 5
160010
155
45
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
.
, .
, ,
20
129 5 160 15545
20
129 5 2 221331 72
910
129 5
180010
9 9
,
.
,
D Ld
n f
fC= +
−
= +−
∑
1155
4520
129 5 1800 15545
20
129 5
= +−( )
=
.
, .
, ++=
11 11140 61
,,
Contoh 3.10Tentukanlah nilai D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈ dan D₉ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Tabel 3.19Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
Book 1.indb 142 26/09/2016 19:41:54
143Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan desil data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.20Perhitungan Desil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
Book 1.indb 143 26/09/2016 19:41:55
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah144
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
D Ld
n f
fC1 1
110
154 5
10011
4
38
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,,
3
154 5 10 411
3
154 5 1 63156 13
2D LLd
n f
fC2
210
157 5
20010
15
10
+−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,
3
157 5 20 1510
3
157 5 1 5159
3 3D Ld
3310
160 5
30010
25
25
n f
fC
−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 30 2525
3
160 5 0 6161 1
4
4 4D Ld
n110
160 5
40010
25
25
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
, ,,
3
160 5 40 2525
3
160 5 1 8162 3
510
5 5D Ld
n−−
= +−
∑ f
fC.
,160 5
50010
25
25
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
160 5 50 2525
3
160 5 3163 5
Book 1.indb 144 26/09/2016 19:41:55
145Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
Book 1.indb 145 26/09/2016 19:41:55
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah146
D Ld
n f
fC6 6
610
163 5
60010
50
20
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
=
.
, .
, ,
3
163 5 60 5020
3
163 5 1 5165
7D Ld77
710
163 5
70010
50
20
+−
= +−
∑n f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, .
,,
3
163 5 70 5020
3
163 5 3166 5
8
8 8D Ld
n110
166 5
80010
70
20
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
.
, .
, ,
3
166 5 80 7020
3
166 5 1 5168
910
9 9D Ld
n f∑∑
= +−
fC.
,166 5
90010
70
20
= +−( )
= +=
.
, .
,,
3
166 5 90 7020
3
166 5 3169 5
3.6 Persentil
Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya disebut persentil. Maka akan terdapat 99 pembagi yang masing-masing disebut persentil (P), yaitu P₁, P₂, P₃, P₄… P₉₉. Untuk data tidak berkelompok nilai persentil ke-i, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut ini:
Pi Lpi
in F
fC= +
−
∑10 .
Keterangan:Pi = Nilai Persentil ke i, i = 1, 2, dan 3Lpi = Batas bawah kelas Pi C = Panjang kelas intervaln = Banyaknya data∑F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda
kelas Pif = Frekuensi kelas Pi
Book 1.indb 146 26/09/2016 19:41:56
147Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.11Tentukanlah P₁₅, P₂₃, P₄₇, P₅₈, P₇₂, P₇₉, P₈₇, dan P₉₄ dari data modal perusahaan PT. Maju di bawah ini!
Tabel 3.21Modal PT. Maju
Modal Frekuensi10 – 29 2230 – 49 3850 – 69 2670 – 89 19
90 – 109 35110 – 129 15130 – 149 45
Jumlah 200
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.22Perhitungan Persentil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif10 – 29 9,5 – 29,5 22 2230 – 49 29,5 – 49,5 38 6050 – 69 49,5 – 69,5 26 8670 – 89 69,5 – 89,5 19 104
90 – 109 89,5 – 109,5 35 140110 – 129 109,5 –129,5 15 155130 – 149 129,5 – 149,5 45 200
Book 1.indb 147 26/09/2016 19:41:56
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah148
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
104
3520
89 5 116 1043
+−
= +−( )
5520
89 5 6 8696 36
.
, ,,
= +=
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
104
3520
89 5 116 1043
+−
= +−( )
5520
89 5 6 8696 36
.
, ,,
= +=
Book 1.indb 148 26/09/2016 19:41:56
149Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC15 15
15100
29 5
3000100
22
= +−
= +−
∑.
,338
20
29 5 30 2238
20
29 5 4 2133
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
71
23100
29 5
460010
23 23P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
0022
3820
29 5 46 2238
20
29 5 12
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,66342 13
47100
69 5
9
47 47
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
4400100
86
1920
69 5 94 8619
20
69
−
= +−( )
=
.
, .
,55 8 4277 92
58100
89
58 58
+=
= +−
=
∑
,,
.P Lp
n f
fC
,, .
,
5
11600100
104
3520
89 5 116 1043
+−
= +−( )
5520
89 5 6 8696 36
.
, ,,
= +=
P Lp
n f
fC72 72
72100
109 5
14400100
= +−
= +−
∑.
,1140
1520
109 5 144 14015
20
109 5
= +−( )
= +
.
, .
, 55 33114 83
79100
129
79 79
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
,
5
15800100
155
4520
129 5 158 155
+−
= +−( )
44520
129 5 1 33130 83
87100
87 87
.
, ,,
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
129 5
17400100
155
4520
129,, .
, ,,
5 174 15545
20
129 5 8 44137 94
94100
94 94
+−( )
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
.
,
C
129 5
18800100
155
45
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
129 5 188 15545
20
129 5 14 66144 16
Book 1.indb 149 26/09/2016 19:41:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah150
P Lp
n f
fC72 72
72100
109 5
14400100
= +−
= +−
∑.
,1140
1520
109 5 144 14015
20
109 5
= +−( )
= +
.
, .
, 55 33114 83
79100
129
79 79
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
,
5
15800100
155
4520
129 5 158 155
+−
= +−( )
44520
129 5 1 33130 83
87100
87 87
.
, ,,
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
129 5
17400100
155
4520
129,, .
, ,,
5 174 15545
20
129 5 8 44137 94
94100
94 94
+−( )
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
.
,
C
129 5
18800100
155
45
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
129 5 188 15545
20
129 5 14 66144 16
P Lp
n f
fC72 72
72100
109 5
14400100
= +−
= +−
∑.
,1140
1520
109 5 144 14015
20
109 5
= +−( )
= +
.
, .
, 55 33114 83
79100
129
79 79
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
,
5
15800100
155
4520
129 5 158 155
+−
= +−( )
44520
129 5 1 33130 83
87100
87 87
.
, ,,
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
129 5
17400100
155
4520
129,, .
, ,,
5 174 15545
20
129 5 8 44137 94
94100
94 94
+−( )
= +=
= +−
∑P Lp
n f
f
= +−
.
,
C
129 5
18800100
155
45
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,
20
129 5 188 15545
20
129 5 14 66144 16
Book 1.indb 150 26/09/2016 19:41:57
151Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Contoh 3.12Tentukanlah nilai P₁₈, P₂₅, P₄₃, P₅₅, P₇₇, P₈₂, P₈₉, dan P₉₅ dari data tinggi badan 100 mahasiswa STMIK Nusa Mandiri!
Tabel 3.23Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa STMIK Nusa Mandiri
Kelas Frekuensi152 – 154 4155 – 157 11158 – 160 10161 – 163 25164 – 166 20167 – 169 20170 – 172 6173 – 175 4Jumlah 100
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Tabel 3.24Perhitungan Persentil
Kelas Tepi Kelas f f. kumulatif152 – 154 151,5 – 154,5 4 4155 – 157 154,5 – 157,5 11 15158 – 160 157,5 – 160,5 10 25161 – 163 160,5 – 163,5 25 50164 – 166 163,5 – 166,5 20 70167 – 169 166,5 –169,5 20 90170 – 172 169,5 – 172,5 6 96173 – 175 172,5 – 175,5 4 100
Book 1.indb 151 26/09/2016 19:41:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah152
P Lp
n f
fC18 18
18100
154 5
800100
4
1
= +−
= +−
∑.
,11
3
154 5 8 411
3
154 5 1 09155 5
= +−( )
= +=
.
, .
, ,, 99
25100
157 5
2500100
25 25P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑.
,−−
= +−( )
= +=
15
103
157 5 25 1510
3
157 5 316
.
, .
,00 5
43100
160 5
43001
43 43
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00025
253
160 5 43 2525
3
160 5 2
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,116162 66= ,
P Lp
n f
fC18 18
18100
154 5
800100
4
1
= +−
= +−
∑.
,11
3
154 5 8 411
3
154 5 1 09155 5
= +−( )
= +=
.
, .
, ,, 99
25100
157 5
2500100
25 25P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑.
,−−
= +−( )
= +=
15
103
157 5 25 1510
3
157 5 316
.
, .
,00 5
43100
160 5
43001
43 43
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00025
253
160 5 43 2525
3
160 5 2
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,116162 66= ,
P Lp
n f
fC18 18
18100
154 5
800100
4
1
= +−
= +−
∑.
,11
3
154 5 8 411
3
154 5 1 09155 5
= +−( )
= +=
.
, .
, ,, 99
25100
157 5
2500100
25 25P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑.
,−−
= +−( )
= +=
15
103
157 5 25 1510
3
157 5 316
.
, .
,00 5
43100
160 5
43001
43 43
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00025
253
160 5 43 2525
3
160 5 2
−
= +−( )
= +
.
, .
, ,116162 66= ,
Book 1.indb 152 26/09/2016 19:41:57
153Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
P Lp
n f
fC55 55
55100
163 5
5500100
5
= +−
= +−
∑.
,00
203
163 5 55 5020
3
163 5 0 751
= +−( )
= +=
.
, .
, ,664 25
77100
166 5
770
77 77
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
70
203
166 5 77 7020
3
166 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 11 05167 55
82100
166
82 82
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
8200100
70
203
166 5 82 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 8168 3
, ,,
+=
P Lp
n f
fC55 55
55100
163 5
5500100
5
= +−
= +−
∑.
,00
203
163 5 55 5020
3
163 5 0 751
= +−( )
= +=
.
, .
, ,664 25
77100
166 5
770
77 77
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
70
203
166 5 77 7020
3
166 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 11 05167 55
82100
166
82 82
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
8200100
70
203
166 5 82 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 8168 3
, ,,
+=
P Lp
n f
fC55 55
55100
163 5
5500100
5
= +−
= +−
∑.
,00
203
163 5 55 5020
3
163 5 0 751
= +−( )
= +=
.
, .
, ,664 25
77100
166 5
770
77 77
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
70
203
166 5 77 7020
3
166 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 11 05167 55
82100
166
82 82
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
8200100
70
203
166 5 82 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 8168 3
, ,,
+=
Book 1.indb 153 26/09/2016 19:41:58
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah154
P Lp
n f
fC89 89
89100
166 5
8900100
7
= +−
= +−
∑.
,00
203
166 5 89 7020
3
166 5 2 851
= +−( )
= +=
.
, .
, ,669 35
55100
163 5
550
55 55
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
50
203
163 5 55 5020
3
163 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 00 75164 25
77100
166
77 77
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
7700100
70
203
166 5 77 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 05167 55
82100
82 82
, ,,
+=
= +−
∑P Lp
n f
f..
, .
,
C
= +−
= +−(
166 5
8200100
70
203
166 5 82 70))
= +=
= +−
∑
203
166 5 1 8168 3
89100
89 89
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
= +
.
, .
,
C
166 5
8900100
70
203
166 5 89−−( )
= +=
= +−
∑
7020
3
166 5 2 85169 35
95100
95 95
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
169 5
9500100
90
63
169,, .
, ,
5 95 906
3
169 5 2 5172
+−( )
= +=
P Lp
n f
fC89 89
89100
166 5
8900100
7
= +−
= +−
∑.
,00
203
166 5 89 7020
3
166 5 2 851
= +−( )
= +=
.
, .
, ,669 35
55100
163 5
550
55 55
,
.
,
P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
00100
50
203
163 5 55 5020
3
163 5
−
= +−( )
= +
.
, .
, 00 75164 25
77100
166
77 77
,,
.
=
= +−
=
∑P Lp
n f
fC
,, .
, .
5
7700100
70
203
166 5 77 7020
3
+−
= +−( )
=1166 5 1 05167 55
82100
82 82
, ,,
+=
= +−
∑P Lp
n f
f..
, .
,
C
= +−
= +−(
166 5
8200100
70
203
166 5 82 70))
= +=
= +−
∑
203
166 5 1 8168 3
89100
89 89
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
= +
.
, .
,
C
166 5
8900100
70
203
166 5 89−−( )
= +=
= +−
∑
7020
3
166 5 2 85169 35
95100
95 95
.
, ,,
P Lp
n f
f
= +−
=
.
, .
C
169 5
9500100
90
63
169,, .
, ,
5 95 906
3
169 5 2 5172
+−( )
= +=
3.7 Rangkuman
Ukuran pemusatan data digunakan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dari suatu persoalan yang terdapat dalam sekelompok data. Ukuran pemusatan data yang sudah dikelompokkan yaitu diantaranya: a. Rata-rata hitung yaitu nilai yang mewakili sekelompok data. b. Median yaitu nilai tengah sekelompok data. c. Modus yaitu nilai yang sering muncul atau nilai yang paling banyak
frekuensinya, d. Kuartil yaitu kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian
yang sama banyak.
Book 1.indb 154 26/09/2016 19:41:59
155Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
e. Desil yaitu sekelompok data yang dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyaknya.
f. Persentil yaitu sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyaknya.
3.8 Latihan Soal
3.8.1 Tentukan rata-rata hitung dari data nilai Ujian Komputer Animasi 50 mahasiswa jurusan Public Relation Universitas BSI Bandung!
Tabel 3.25Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan
Public Relation Universitas BSI Bandung
Nilai Frekuensi60 – 62 563 – 65 1166 – 68 1469 – 71 872 – 74 12Jumlah 50
3.8.2 Tentukanlah nilai median dan modus dari tinggi badan 40 anak panti Asuhan Tambatan Hati!
Tabel 3.26Tinggi Badan 40 Anak Panti Asuhan Tambatan Hati
Tinggi Badan Frekuensi118 – 126 3127 – 135 5136 – 144 9145 – 153 12154 – 162 5163 – 171 4172 – 180 2Jumlah 40
Book 1.indb 155 26/09/2016 19:41:59
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah156
3.8.3 Tentukanlah nilai Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data nilai ujian Metodologi Keperawatan 30 mahasiwa jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung!
Tabel 3.27Nilai Ujian Metodologi Keperawatan 30 Mahasiswa
Jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung
Nilai Frekuensi21 – 30 131 – 40 141 – 50 351 – 60 961 – 70 871 – 80 681 – 90 2Jumlah 30
3.8.4 Tentukanlah nilai D₂, D₅ dan D₉ dari data nilai ujian Komputer Grafis II 40 mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung!
Tabel 3.28Nilai Ujian Komputer Grafis II 40 Mahasiswa Jurusan Desain Komunikasi Visual Universitas BSI Bandung
Nilai Frekuensi19 – 27 428 – 36 637 – 45 846 – 54 1055 – 63 664 – 72 373 – 81 3Jumlah 40
3.8.5 Tentukanlah nilai P₂₄, P₅₆, dan P₇₀ dari data tinggi badan 90 mahasiswa UKM Bulutangkis Universitas BSI Bandung!
Book 1.indb 156 26/09/2016 19:41:59
157Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
Tabel 3.29Tinggi Badan 90 Mahasiswa UKM Bulutangkis
Universitas BSI Bandung
Tinggi Badan Frekuensi140 – 142 4143 – 145 9146 – 148 20149 – 151 44152 – 154 18155 – 157 5Jumlah 90
3.9 Jawaban Latihan Soal
3.9.1 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan rata-rata hitung maka dibuat tabel
perhitungan sebagai berikut:
Tabel 3.30Nilai Ujian Komputer Animasi 50 Mahasiswa Jurusan
Public Relation Universitas BSI Bandung
Nilai f Xi f.Xi60 – 62 5 61 30563 – 65 11 64 70466 – 68 14 67 93869 – 71 8 70 56072 – 74 12 73 876
50 3383
Maka rata-rata hitungnya adalah
X
f Xif
= = =∑∑
.,3383
5067 66
3.9.2 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan median dan modus maka dibuat
tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 157 26/09/2016 19:41:59
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah158
Tabel 3.31Perhitungan Median dan Modus
Tinggi Badan f Xi fk118 – 126 3 122 3127 – 135 5 131 8136 – 144 9 140 17145 – 153 12 149 29154 – 162 5 158 34163 – 171 4 167 38172 – 180 2 176 40
Letak median yaitu pada data yang ke 40/2 = 20 (artinya median yang dicari terletak pada data yang ke 20 atau lebih). Lm = 144,5, ∑f = 17. Dari tabel data di atas ternyata nilai median dan modus yaitu:
Med Lm= +−
= +−
∑n F
fC2
144 5
402
17
12
.
,
= +
= +=
= +
.
, .
, ,,
9
144 5 312
9
144 5 2 25146 75
1Mod Lmo dd11 2
144 5 33 7
9
144 5 2 7147 2
+
= ++
= +=
dC.
, .
, ,,
Book 1.indb 158 26/09/2016 19:41:59
159Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
3.9.3 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan kuartil pada data yang sudah
dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 3.32Perhitungan Kuartil
Nilai f fk21 – 30 1 131 – 40 1 241 – 50 3 551 – 60 9 1461 – 70 8 2271 – 80 6 2881 – 90 2 30
Q Lq
n f
fC1 1
14
50 5
304
5
9
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, , .
, ,,
10
50 5 7 5 59
10
50 5 2 7853 28
2
2 2Q Lq
n44
60 5
604
14
8
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
10
60 5 15 148
10
60 5 1 2561 75
34
3 3Q Lq
n f
f
= +−
.
, .
C
70 5
904
22
6100
70 5 22 5 226
10
70 5 0 8371 33
= +−( )
= +=
, , .
, ,,
Book 1.indb 159 26/09/2016 19:42:00
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah160
Q Lq
n f
fC1 1
14
50 5
304
5
9
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +
.
, , .
, ,,
10
50 5 7 5 59
10
50 5 2 7853 28
2
2 2Q Lq
n44
60 5
604
14
8
−
= +−
∑ f
fC.
,
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
10
60 5 15 148
10
60 5 1 2561 75
34
3 3Q Lq
n f
f
= +−
.
, .
C
70 5
904
22
6100
70 5 22 5 226
10
70 5 0 8371 33
= +−( )
= +=
, , .
, ,,
3.9.4 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan desil pada data yang sudah
dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 3.33Perhitungan Desil
Nilai f fk19 – 27 4 428 – 36 6 1037 – 45 8 1846 – 54 10 2855 – 63 6 3464 – 72 3 3773 – 81 3 40
D Ld
n f
fC2 2
210
27 5
8010
4
6
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
9
27 5 8 46
9
27 5 633 5
510
5 5D Ld
n f
f
= +−
.
,
C
45 5
20010
18
10
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
9
45 5 20 1810
9
45 5 1 847 3
910
9 9D Ld
n f
f
= +−
=
.
, .
C
63 5
36010
34
39
633 5 36 343
9
63 5 669 5
, .
,,
+−( )
= +=
Book 1.indb 160 26/09/2016 19:42:00
161Bab 3 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok
D Ld
n f
fC2 2
210
27 5
8010
4
6
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
9
27 5 8 46
9
27 5 633 5
510
5 5D Ld
n f
f
= +−
.
,
C
45 5
20010
18
10
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
9
45 5 20 1810
9
45 5 1 847 3
910
9 9D Ld
n f
f
= +−
=
.
, .
C
63 5
36010
34
39
633 5 36 343
9
63 5 669 5
, .
,,
+−( )
= +=
D Ld
n f
fC2 2
210
27 5
8010
4
6
= +−
= +−
∑.
,
= +−( )
= +=
= +−∑
.
, .
,,
9
27 5 8 46
9
27 5 633 5
510
5 5D Ld
n f
f
= +−
.
,
C
45 5
20010
18
10
= +−( )
= +=
= +−
∑
.
, .
, ,,
9
45 5 20 1810
9
45 5 1 847 3
910
9 9D Ld
n f
f
= +−
=
.
, .
C
63 5
36010
34
39
633 5 36 343
9
63 5 669 5
, .
,,
+−( )
= +=
3.9.5 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan persentil pada data yang sudah
dikelompokkan, maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 3.34Perhitungan Persentil
Tinggi Badan f fk140 – 142 4 4143 – 145 9 13146 – 148 20 33149 – 151 44 77152 – 154 18 85155 – 157 5 90
Book 1.indb 161 26/09/2016 19:42:00
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah162
P Lp
n f
fC24 24
2490
145 5
216090
13
2
= +−
= +−
∑.
,00
3
145 5 24 1320
3
145 5 1 65147
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
155690
148 5
504090
56 56P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
−−
= +−( )
= +
33
443
148 5 50 4 3344
3
148 5 1
.
, , .
, ,557150 07
7090
148 5
70 70
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
6630090
33
443
148 5 63 3344
3
148
−
= +−( )
=
.
, .
,55 2 05150 55
+=
,,
P Lp
n f
fC24 24
2490
145 5
216090
13
2
= +−
= +−
∑.
,00
3
145 5 24 1320
3
145 5 1 65147
= +−( )
= +=
.
, .
, ,,,
.
,
155690
148 5
504090
56 56P Lp
n f
fC= +
−
= +
∑
−−
= +−( )
= +
33
443
148 5 50 4 3344
3
148 5 1
.
, , .
, ,557150 07
7090
148 5
70 70
=
= +−
= +
∑
,
.
,
P Lp
n f
fC
6630090
33
443
148 5 63 3344
3
148
−
= +−( )
=
.
, .
,55 2 05150 55
+=
,,
Book 1.indb 162 26/09/2016 19:42:01
163
UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi. Dispersi sangat berguna untuk menganalisa data dengan cara
membandingkan dua atau beberapa penyebaran distribusi data. Analisa data dengan menggunakan ukuran pemusatan data belum memberikan informasi yang mendalam, karena hanya memberikan informasi yang terbatas. Dengan ukuran dispersi akan dapat diketahui lebih banyak informasi tentang perbedaan dari kelompok data. Ada beberapa jenis ukuran dispersi data yang akan kita pelajari yaitu diantaranya jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan persentil (percentile deviation), koefisien variasi dan nilai baku.
4.1 Jangkauan (Range)
Bentuk yang paling sederhana dari ukuran dispersi adalah jangkauan atau range, yang dilambangkan dengan R. Definisi jangkauan atau range (R) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu kelompok data. Jangkauan dapat diketahui dari data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan.
Bab 4
Book 1.indb 163 26/09/2016 19:42:01
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah164
4.1.1 Jangkauan Data yang Belum Dikelompokkan
Persamaan jangkauan yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:
Range (R) = Nilai Maksimum – Nilai Minimum
Contoh 4.1 Kelompok data 1: 45, 45, 45, 45, 45. Kelompok data 2: 20, 40, 55, 60, 80. Kelompok data 3: 15, 35, 45, 60, 85.Hitunglah range dari kelompok-kelompok data di atas!
Penyelesaian: R1 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 45 – 45 = 0
R2 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 80 – 20 = 60
R3 = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 85 – 15 = 70
Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai jangkauan yang paling kecil (R1) dan kelompok data 3 mempunyai jangkauan yang paling besar (R3). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.
4.1.2 Jangkauan Data yang Sudah Dikelompokkan
Untuk data berkelompok dalam bentuk distribusi frekuensi jangkauan data dihitung dengan memakai selisih antara nilai tengah kelas yang maksimum dengan nilai tengah kelas minimum, dapat ditentukan dalam persamaan berikut ini:
R = Nilai Tengah Kelas Maksimum – Nilai Tengah Kelas Minimum
Book 1.indb 164 26/09/2016 19:42:01
165Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Contoh 4.2Perhatikan tabel berikut ini!
Tabel 4.1Berat Badan 54 Mahasiswa Jurusan Manajemen Informatika Universitas BSI Bandung
Berat badan (kg) Xi f50 – 54 52 555 – 59 57 360 – 64 62 2165 – 69 67 1570 – 74 72 10
Hitunglah range dari data di atas!
Penyelesaian: R = Nilai Tengah Kelas Maksimum – Nilai Tengah Kelas Minimum = 72 – 52 = 20 kg
Nilai jangkauan suatu kelompok data dapat menunjukkan kualitas data. Semakin kecil jangkauan suatu data, maka kualitas data itu semakin baik, sebaliknya semakin besar jangkauan suatu data, maka kualitas data tersebut semakin tidak baik. Oleh karena terlalu sederhana, yaitu hanya memakai nilai maksimum dan nilai minimum, maka jangkauan dikatakan terlalu kasar untuk menggambarkan penyebaran data sehingga dalam analisis data yang memerlukan tingkat ketelitian yang tinggi, ukuran dispersi data ini jarang dipakai. Inilah kekurangan dari jangkauan data. Akan tetapi kelebihannya paling mudah dihitung.
4.2 Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation)
Pengertian Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Misalkan kelompok data X1, X2, X3,…Xn mempunyai niilai rata-rata hitung X, maka simpangan atau selisih nilai dari X1, X2, X3,…Xn dengan X masing-
Book 1.indb 165 26/09/2016 19:42:01
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah166
masing adalah (X1 – X), (X2 – X), (X3 – X), …(Xn – X). Simpangan rata-rata sering disingkat dengan SR.
4.2.1 Simpangan Rata-Rata Data yang Belum Dikelompokkan
Persamaan simpangan rata-rata data yang belum dikelompokkan dinyatakan sebagai berikut:
SRx xn
=−∑
Keterangan:SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data
X = rata-rata hitungn = banyaknya data
Contoh 4.3Tentukanlah simpangan rata-rata dari kelompok-kelompok data sebagai berikut: Kelompok data 1: 60, 78, 80, 92, 100. Kelompok data 2: 20, 30, 40, 50, 60.
Penyelesaian:
X160 78 80 92 100
582
=+ + + +
=
maka, simpangan rata-rata dari data di atas yaitu:
SRx xn1
60 82 78 82 80 82 92 82 100 825
22 4 2 10 185
11
=−
=− + − + − + − + −
=+ + + +
=
∑
,,2
20 30 40 50 605
40
20 40 30 40 40 40 50 40
2
2
X
SRx xn
=+ + + +
=
=−
=− + − + − + − +
∑
660 405
20 10 0 10 205
12
−
=+ + + +
=
Book 1.indb 166 26/09/2016 19:42:02
167Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
SRx xn1
60 82 78 82 80 82 92 82 100 825
22 4 2 10 185
11
=−
=− + − + − + − + −
=+ + + +
=
∑
,,2
20 30 40 50 605
40
20 40 30 40 40 40 50 40
2
2
X
SRx xn
=+ + + +
=
=−
=− + − + − + − +
∑
660 405
20 10 0 10 205
12
−
=+ + + +
=
Maka;
SRx xn1
60 82 78 82 80 82 92 82 100 825
22 4 2 10 185
11
=−
=− + − + − + − + −
=+ + + +
=
∑
,,2
20 30 40 50 605
40
20 40 30 40 40 40 50 40
2
2
X
SRx xn
=+ + + +
=
=−
=− + − + − + − +
∑
660 405
20 10 0 10 205
12
−
=+ + + +
=
Terlihat bahwa kelompok data 1 mempunyai simpangan rata-rata yang paling kecil (SR1) dan kelompok data 2 mempunyai simpangan rata-rata yang paling besar (SR2). Artinya kelompok data 3 paling menyebar daripada data yang lain.
4.2.2 Simpangan Rata-Rata Data yang Sudah Dikelompokkan
Simpangan rata-rata untuk data berkelompok dapat dibuat tabel distribusi frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data. Persamaan simpangan rata-rata data yang sudah dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
SRf x x
f
SRX
=−
=
∑∑
Keterangan: simpangan Rata-rata
nilai data
frekuensi kelas (data berkelompok)
=
=x
ff∑ = banyaknya data
Keterangan: SR = Simpangan Rata-rataX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)∑f = banyaknya data
Book 1.indb 167 26/09/2016 19:42:02
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah168
Tanda nilai mutlak pada rumus tersebut untuk menjamin agar simpanan bertanda positif, karena dispersi data merupakan ukuran yang positif.
Contoh 4.4Tentukanlah simpangan rata-rata dari data tabel frekuensi di bawah ini!
Tabel 4.2Berat Badan 50 Anak di Panti Asuhan Tambatan Hati
Berat badan f20 – 29 230 – 39 340 – 49 950 – 59 1160 – 69 770 – 79 18
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 4.3Perhitungan Simpangan Rata-Rata
Berat Badan
f Xi f. Xi (Xi – X) |Xi – X | f |Xi – X |
20 - 29 2 24.5 49 -34.4 34.4 68.8
30 - 39 3 34.5 103.5 -24.4 24.4 73.2
40 - 49 9 44.5 400.5 -14.4 14.4 129.6
50 - 59 11 54.5 599.5 -4.4 4.4 48.4
60 - 69 7 64.5 451.5 5.6 5.6 39.2
70 - 79 18 74.5 1341 15.6 15.6 280.8
Jumlah 50 2945 640
Diketahui:
Diketahui
f f Xi f Xi X
X
Maka s
:
, . ,
,
,
= = − =
=
=
∑∑50 2945 6402945
5058 9
iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SRf x x
-
=−∑∑
∑=
=
f64050
12 8,
Book 1.indb 168 26/09/2016 19:42:03
169Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Maka, simpangan rata-rata data perusahaan tersebut adalah
Diketahui
f f Xi f Xi X
X
Maka s
:
, . ,
,
,
= = − =
=
=
∑∑50 2945 6402945
5058 9
iimpangan rata rata data perusahaan tersebuta dalah
SRf x x
-
=−∑∑
∑=
=
f64050
12 8,
Tanda nilai mutlak dapat mengubah (membalikkan) nilai besar bertanda negatif menjadi nilai besar bertanda positif. Sifat ini mempengaruhi simpangan rata-rata, yaitu mengakibatkan ukuran simpangan rata-rata menjadi kurang baik. Akan tetapi simpangan rata-rata masih lebih baik daripada jangkauan, karena simpangan rata-rata mempertimbangkan semua selisih antara nilai data dengan pusat data. Meskipun demikian, karena simpangan rata-rata mempunyai sifat yang kurang baik, maka ukuran dispersi ini juga jarang dipakai dalam analisis data. Satu hal lagi yang perlu diketahui adalah bahwa pada rumus simpangan rata-rata baik untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok, nilai rata-rata hitung dapat diganti dengan ukuran pemusatan data yang lain, misalnya median dan modus.
4.3 Variansi (Variance)
Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung dan banyaknya data. Rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung disebut variansi (variance). Variansi untuk sampel dilambangkan dengan S2. sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2. Bila sampel berupa kelompok data X1, X2, X3, …, Xn mempunyai rata-
rata hitung ( X ) maka kuadrat selisih nilai-nilai tersebut terhadap X adalah
X -X X -X X -X X -X1 2 3 n( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, , ,… .
Book 1.indb 169 26/09/2016 19:42:03
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah170
4.3.1 Variansi (Variance) Data yang Belum Dikelompokkan
Pada perumusan variansi menggunakan nilai kuadrat yang tujuannya sama dengan nilai mutlak pada persamaan simpangan rata-rata yang tujuannya untuk membuat nilai negatif menjadi nilai positif. Persamaan rumusnya adalah sebagai berikut:
SX Xn
SX
X
2
2
2
1=
−( )−
=
=
=
∑
Keterangan:
variansi nilai data
nilaai rata-rata hitung banyaknya datan =
Keterangan:S2 = variansi X = nilai data
X = nilai rata-rata hitungn = banyaknya data
Contoh 4.5Tentukanlah variansi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!
Penyelesaian:
Penyelesaian
X
Maka ian ya adalah
:
, var sin
=+ + + +
=
20 30 50 70 805
50
ssebagai berikut
SX x
n
:
2
2
2 2 21
20 50 30 50 50 50
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) +
∑
770 50 80 505 1
900 400 0 400 9004
650
2 2−( ) + −( )
−
=+ + + +
=
Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .
Maka variansinya adalah sebagai berikut:
Penyelesaian
X
Maka ian ya adalah
:
, var sin
=+ + + +
=
20 30 50 70 805
50
ssebagai berikut
SX x
n
:
2
2
2 2 21
20 50 30 50 50 50
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) +
∑
770 50 80 505 1
900 400 0 400 9004
650
2 2−( ) + −( )
−
=+ + + +
=
Jadi ian, var si kelompok data tersebut adalah S2 650= .Jadi, variansi kelompok data tersebut adalah S2 = 650
Perhatikan bahwa dengan memakai variansi, dispersi data tersebut jauh lebih besar jika dibandingkan dengan memakai simpangan rata-rata,. Hal ini
Book 1.indb 170 26/09/2016 19:42:03
171Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
diakibatkan oleh variansi yang memakai kuadrat selisih dari nilai-nilai data terhadap rata-rata hitung, sehingga simpangannya membesar secara drastis. Ini berarti variansi bukan merupakan ukuran dispersi yang baik untuk menggambarkan penyebaran data. Kelemahan variansi disebabkan oleh bentuk kuadrat yang dipakai dalam rumus, sementara dispersi data sesungguhnya merupakan ukuran yang bentuknya linear. Oleh karena itu, variansi juga merupakan ukuran yang jarang dipakai dalam analisis data. Meskipun demikian, variansi masih mempunyai kelebihan karena melibatkan selisih dari semua nilai data.
Contoh 4.6Tentukanlah variansi kelompok data: 32, 45, 49, 85, 56, 70, 82!
Penyelesaian:
X
SX Xn
=+ + + + + +
=
=−( )
−
=−( ) + −( )
∑
32 45 49 85 56 70 827
59 8
132 60 45 60
2
2
2
,
22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1
784 225
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ ++ + + + +
=
=
121 625 16 100 4846
23556
392 5,
Maka, variansi dari kelompok data di atas adalah:
X
SX Xn
=+ + + + + +
=
=−( )
−
=−( ) + −( )
∑
32 45 49 85 56 70 827
59 8
132 60 45 60
2
2
2
,
22 2 2 2 2 249 60 85 60 56 60 76 60 82 607 1
784 225
+ −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ ++ + + + +
=
=
121 625 16 100 4846
23556
392 5,
4.3.2 Variansi (Variance) Data yang Sudah Dikelompokkan
Variansi untuk data berkelompok dapat dibuat tabel frekuensi yang melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi kelas dan banyaknya data. Perumusan variansi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
Book 1.indb 171 26/09/2016 19:42:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah172
Sf X xn
Keterangan
S variansiX nilai data
x nilai ra
2
2
2
1=
−( )−
=
=
=
∑
:
tta rata hitungf frekuensi kelas data berkelompokn banya
- =
=
( )kknya data
Keterangan:S2 = Variansi X = nilai data
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data
Contoh 4.7Tentukanlah variansi data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!
Tabel 4.4Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 4.5Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi
Modal Xi f (Xi - X )2 f(Xi– X )2
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024
121 - 129 125 5 241.0256 1205.128
130 - 138 134 8 42.5756 340.6048
139 - 147 143 12 6.1256 73.5072
148 - 156 152 5 131.6756 658.378
157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024
166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512
40 8.098
Book 1.indb 172 26/09/2016 19:42:04
173Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Diketahui:
n Xi X
X
f=40 f
Maka variansi
atau −( ) =
=
=
∑∑2
8 0985621
40140 525
,
,
data tersebut adalah:
S2 809839
207 64
=
= ,
Maka variansi data tersebut adalah:
n Xi X
X
f=40 f
Maka variansi
atau −( ) =
=
=
∑∑2
8 0985621
40140 525
,
,
data tersebut adalah:
S2 809839
207 64
=
= ,
4.4 Standar Deviasi (Standard Deviation)
Akar pangkat dua dari variansi disebut standar deviasi (standard deviation). Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Standar deviasi berkaitan langsung dengan variansi. Standar deviasi sering disingkat dengan S.
4.4.1 Standar Deviasi (Standard Deviation) yang Belum Dikelompokkan
Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut;
SX Xn
=−( )
−∑
2
1
Keterangan : S = Standar Deviasi (Simpangan Baku) X = nilai data
S
X Xn
=−( )
−∑
2
1
= nilai rata-rata hitung n = banyaknya data
Contoh 4.8Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 20, 30, 50, 70, 80!
Book 1.indb 173 26/09/2016 19:42:04
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah174
Penyelesaian:
Penyelesaian
X
SX x
n
:
=+ + + +
=
=−( )
−
=−( ) +
∑
20 30 50 70 805
50
120 50 30
2
2
2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ + + +
−
50 50 50 70 50 80 505 1
900 400 0 400 9005 1
2 2 2 2
== 650
Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah
S
:
,==
65025 495
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
Penyelesaian
X
SX x
n
:
=+ + + +
=
=−( )
−
=−( ) +
∑
20 30 50 70 805
50
120 50 30
2
2
2 −−( ) + −( ) + −( ) + −( )
−
=+ + + +
−
50 50 50 70 50 80 505 1
900 400 0 400 9005 1
2 2 2 2
== 650
Jadi s dar deviasi dari kelompok data tersebut ada, tan llah
S
:
,==
65025 495
4.4.2 Standar Deviasi (Standard Deviation) yang Sudah Dikelompokkan
Perumusan standar deviasi (standard deviation) data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut;
Sf X Xn
KeteranganS s dar deviasi simpangan baku
=−( )
−
=
∑2
1
:tan ( ))
X nilai data
X nilai rata rata hitungf frekuensi kelas
=
=
=
- banyaknya data
( )data berkelompokn =
Keterangan:S = Standar Deviasi (Simpangan Baku)X = nilai data
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi kelas (data berkelompok)n = banyaknya data
Contoh 4.9Tentukanlah standar deviasi dari data modal perusahaan Cahaya pada tabel berikut ini!
Book 1.indb 174 26/09/2016 19:42:05
175Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Tabel 4.6Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel frekuensi sebagai berikut:
Tabel 4.7 Distribusi Lengkap untuk Perhitungan Variansi
Modal Xi f (Xi - X)2 f(Xi – X)2
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024
121 - 129 125 5 241.0256 1205.128
130 - 138 134 8 42.5756 340.6048
139 - 147 143 12 6.1256 73.5072
148 - 156 152 5 131.6756 658.378
157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024
166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512
40 8.098
Diketahui:
f f Xi X
S
∑ = − =
=
=
=
=
40 80985621
40140 5258098
39207
2
2
, ( )
,
,
664
207 6414 410
S ==
,,
Book 1.indb 175 26/09/2016 19:42:05
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah176
Maka, standar deviasi dari data di atas adalah
f f Xi X
S
∑ = − =
=
=
=
=
40 80985621
40140 5258098
39207
2
2
, ( )
,
,
664
207 6414 410
S ==
,,
Oleh karena standar deviasi merupakan akar dari variansi, maka standar deviasi mempunyai bentuk linier dari kuadrat selisih antara semua nilai data dengan rata-rata hitungnya. Seperti juga variansi, standar deviasi selalu bertanda positif. Oleh karena standar deviasi melibatkan semua nilai data serta merupakan bentuk linier dan selalu positif, sementara ukuran dispersi data merupakan jarak yang bentuknya linear dan positif, maka standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang dianggap paling baik sehingga paling banyak dipakai dalam analisis data daripada ukuran dispersi yang lain. Rumus lain untuk mencari variansi data tidak berkelompok.
Sn X X
n n2
2 2
1=
−( )−( )
∑∑
Dan rumus standar deviasinya adalah
Sn X X
n n=
−( )−( )
∑∑ 2 2
1
Untuk data berkelompok rumus variansi dan standar deviasi data menjadi:
Sn fX fX
n n2
2 2
1=
−( )−( )
∑∑
dimana n = Sf dimana n f
Sn fX fX
n n
=
=−( )−( )
∑∑∑ 2 2
1
Book 1.indb 176 26/09/2016 19:42:06
177Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Contoh 4.10Tentukanlah variansi dan standar deviasi dari kelompok data 20, 30, 50, 70, 80!
Penyelesaian:Buat tabel seperti berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
Tabel 4.8Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X 20 30 50 70 80 S X = 250X2 400 900 2500 4900 6400 S X2 = 15100
Maka diperoleh:
S =
Jadi,
2n X X
n n
S
−( )−( )
=( )−( )
( )
=
=
=
∑∑2
2
15 15100 250
5 413000
20650
665025 495= ,
Contoh 4.11Diketahui kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
Tentukanlah: a) Variansi b) Standar deviasi
Book 1.indb 177 26/09/2016 19:42:06
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah178
Penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
Tabel 4.9Daftar Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X f X2 f. X f. X2
3 2 9 6 184 1 16 4 165 4 25 20 1006 2 36 12 727 1 49 7 499 1 81 9 81
10 2 100 20 20012 1 144 12 14415 1 225 15 22518 1 324 18 324 16 123 1229
Dari tabel di atas diperoleh Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi
Maka:
a)
Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi b)
Dari tabel di atas diperolah f X fXMaka
dan .:
= =∑∑ 123 12292
aa Sn fX fX
n n) ( ) Variansi 2
2 2
2
116 1229 123
16 15
=−( )−( )
=( )−( )
( )
∑∑
==
=
==
4535240
18 9
18 94 3
,
) ( ) ,,
b S Standar deviasi
Contoh 4.12Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus lain dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!
Book 1.indb 178 26/09/2016 19:42:07
179Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Tabel 4.10Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
Penyelesaian:Gunakan tabel berikut untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi!
Tabel 4.11Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Modal X f X2 f X f X2
112 – 120 116 4 13456 464 53824121 – 129 125 5 15625 625 78125130 – 138 134 8 17956 1072 143648139 – 147 143 12 20449 1716 245388148 – 156 152 5 23104 760 115520157 – 165 161 4 25921 644 103684166 – 174 170 2 28900 340 57800
40 5,621 797989
Dari tabel diperoleh:
Dari tabel diperoleh
f
fX
fX
Dengan
demi
:
.
.
=
=
=
∑∑∑
40
5 621
797 9892
kkian variansi dan standar data tersebut adalah:
Sn fX fX
22
=− ∑∑∑ ( )−( )
=( )−( )
( )
=−
2
2
140 797989 5621
40 3931 919 560 31 595 64
n n
. . . . 111560
207 640
207 64014 410
=
==
,
,,
S
Dengan demikian variansi dan standar deviasi data tersebut adalah
Book 1.indb 179 26/09/2016 19:42:07
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah180
Dari tabel diperoleh
f
fX
fX
Dengan
demi
:
.
.
=
=
=
∑∑∑
40
5 621
797 9892
kkian variansi dan standar data tersebut adalah:
Sn fX fX
22
=− ∑∑∑ ( )−( )
=( )−( )
( )
=−
2
2
140 797989 5621
40 3931 919 560 31 595 64
n n
. . . . 111560
207 640
207 64014 410
=
==
,
,,
S
Dengan menggunakan rumus ini akan sama hasilnya dengan rumus sebelumnya. Akan tetapi dengan memakai rumus dan standar deviasi tersebut, proses perhitungan lebih mudah dilakukan dan mengurangi resiko kesalahan daripada memakai rumus variansi dan standar deviasi sebelumnya. Selain memakai cara itu, seperti juga cara menghitung rata-rata hitung, untuk menentukan variansi dan standar deviasi juga dapat dipakai cara koding atau transformasi dari variabel X ke variabel U, khususnya untuk data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi. Dengan cara transformasi, maka rumus variansi dan standar deviasi menjadi seperti berikut ini.
Variansi:S cn fU fU
n n2 2
2 2
1=
−( )−( )
∑∑
Standar Deviasi : S cn fU fU
n n=
−( )−( )
∑∑ 2 2
1
Keterangan : S2 = Variansi S = Standar Deviasi c = interval kelas n = banyaknya data f = frekuensi U = ... -2, -1, 0, 1, 2 ...
Book 1.indb 180 26/09/2016 19:42:07
181Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Dengan memakai cara transformasi atau kode tersebut, maka untuk nilai (X) yang besar akan berubah menjadi nilai data U yang kecil, yaitu U =0, ±1, ±2,±3 dan seterusnya sehingga akan mempermudah melakukan perhitungan dan hasil yang diperoleh juga akan menjadi lebih teliti serta mengurangi resiko kesalahan dalam proses penghitungan.
Contoh 4.13Tentukanlah variansi dan standar deviasi dengan menggunakan rumus di atas dari data modal perusahaan Cahaya berikut ini!
Tabel 4.12Modal Perusahaan Cahaya
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi buatlah tabel seperti di bawah ini:
Tabel 4.13Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Modal X f U f U f U2
112 - 120 116 4 -3 -12 36121 - 129 125 5 -2 -10 20130 - 138 134 8 -1 -8 8139 - 147 143 12 0 0 0148 - 156 152 5 1 5 5157 - 165 161 4 2 8 16166 - 174 170 2 3 6 18
40 -11 103
Book 1.indb 181 26/09/2016 19:42:07
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah182
Dari tabel diperoleh; n = 40, S f U = –11, c = 9, dan S f U2 = 103.
Dengan demikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebut adalah
S cn fU fU
n n2 2
2 2
2
1
9 40 103 11
=−( )−( )
= ( )( )−(
∑∑
- ))
( )
=−( )
=
2
40 39
81 4120 12140 39
207,, 640
Sedangkan standar deviasinya adalah
Dari tabel diperolehn
fUc
fU
Dengan
- dan
dem
:=
=
=
=
∑
∑
40
119
1032
iikian variansi dan standar deviasi data perusahaan tersebuut adalah:
S cn fU fU
n n2 2
2 2
2
1
9 4
=−( )−( )
=( )
∑∑
00 103 1140 39
81 4120 12140 39
2( )−( )
( )
=−
( )
-
=
=
207 640
207
,
tan sin :
,
Sedangkan s dar devia ya adalah
S
6640 14 410= ,
Perhatikan bahwa hasil ini sama persis dengan jawaban pada contoh 4.14. Akan tetapi, dengan memakai cara ini perhitungan menjadi jauh lebih sederhana dan sangat mudah dilakukan serta dengan hasil yang lebih teliti atau lebih baik karena resiko melakukan kesalahan lebih kecil daripada memakai rumus-rumus sebelumnya. Oleh karena itu, perhitungan variansi dan standar deviasi dengan memakai rumus tersebut untuk data dalam bentuk distribusi frekuensi paling sering dipakai dalam analisis data.
4.5 Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Persentil 10 – 90
Cara lain yang dipakai untuk menggambarkan penyebaran data adalah dengan jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90. Jangkauan kuartil
Book 1.indb 182 26/09/2016 19:42:08
183Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 - 90 disebut juga rentang persentil. Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada jangkauan atau range yang memakai selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum suatu kelompok data.
4.5.1 Jangkauan Kuartil (JK)
Jangkauan kuartil melibatkan nilai kuartil ke-1 dan kuartil ke-3. Persamaan jangkauan kuartil dirumuskan sebagai berikut ini:
JK
= −( )
=
12 3 1
1
Q Q
KeteranganQ kuartil bawah atau kuartil perta
:mma
Q kuartil atas atau kuartil ketiga3 =
Keterangan:Q1 = kuartil bawah atau kuartil pertamaQ3 = kuartil atas atau kuartil ketiga
Contoh 4.14Tentukan jangkauan kuartil dari data di bawah ini!
Tabel 4.14Berat Badan 20 Mahasiswa jurusan Desain Komunikasi Visual
Universitas BSI Bandung
Berat Badan (kg) FrekuensiFrekuensi Kumulatif
45 - 47 2 248 - 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 - 59 2 20
20
Penyelesaian:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X34
43
54 2
15. ,
.
,
=
=
=
terletak pada kelas 54-56
Q 53,5+15-143
55
12
54 25 49 3
2 475
3 1JK= 12
Q Q−( )
= −( )
=
, ,
,
Book 1.indb 183 26/09/2016 19:42:08
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah184
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X34
43
54 2
15. ,
.
,
=
=
=
terletak pada kelas 54-56
Q 53,5+15-143
55
12
54 25 49 3
2 475
3 1JK= 12
Q Q−( )
= −( )
=
, ,
,
Maka jangkauan kuartilnya adalah
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X34
43
54 2
15. ,
.
,
=
=
=
terletak pada kelas 54-56
Q 53,5+15-143
55
12
54 25 49 3
2 475
3 1JK= 12
Q Q−( )
= −( )
=
, ,
,
4.5.2 Jangkauan Persentil (JP)
Jangkauan persentil melibatkan nilai persentil ke-10 dan ke-90. Persamaan jangkauan persentil dirumuskan seperti berikut:
JP P P10 90 90 10− = −
Keterangan:P = persentil ke-10P = persen
10
90 ttil ke-90
Keterangan:P10 = persentil ke-10P90 = persentil ke-90
Contoh 4.15Tentukanlah jangkauan persentil dari data berikut!
Tabel 4.15Berat Badan 100 Anak Panti Yatim Indonesia
Berat Badan FrekuensiFrekuensi Kumulatif
40 - 42 3 343 - 45 7 1046 - 48 21 3149 - 51 48 7952 - 54 19 9855 - 57 2 100
Book 1.indb 184 26/09/2016 19:42:09
185Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Penyelesaian:
Penyelesaian:
, terletak pada kelas 43-45P X n X
P
10 10
1
10100
= =.
00
90 90
42 5 10 37
3
42 5 345 5
90100
= +−
= +=
= =
, .
,,
.P X n X , terletak pada kelas 52-54
Jadi,
P
JP
90
10 90
51 5 90 7919
3
51 5 1 753 2
= +−
= +=
−
, .
, ,,
== −= −=
P P90 10
53 2 45 57 7
, ,,
Penyelesaian:
, terletak pada kelas 43-45P X n X
P
10 10
1
10100
= =.
00
90 90
42 5 10 37
3
42 5 345 5
90100
= +−
= +=
= =
, .
,,
.P X n X , terletak pada kelas 52-54
Jadi,
P
JP
90
10 90
51 5 90 7919
3
51 5 1 753 2
= +−
= +=
−
, .
, ,,
== −= −=
P P90 10
53 2 45 57 7
, ,,
Contoh 4.16Data berat badan 100 mahasiswa jurusan Ilmu Komunikasi di Universitas BSI Bandung disajikan pada tabel distribusi frekuensi berikut. Tentukanlah nilai jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10 – 90 data tersebut!
Tabel 4.16Berat Badan 100 Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi
Universitas BSI Bandung
Berat Badan (Kg) Frekuensi60 – 62 563 – 65 1866 – 68 4269 – 71 2772 - 74 8Jumlah 100
Penyelesaian:Karena n = 100, maka Q1 terletak pada nilai ke-25, yaitu kelas 66 – 68, dan Q3 terletak pada nilai ke-75, yaitu kelas 69 – 71.
Book 1.indb 185 26/09/2016 19:42:09
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah186
Maka nilai Q1 dan Q3 adalah
Maka nilai dan adalah:Q Q
Q
1 3
1 65 5 3 25 2342
65 6= +−
=, , 44
68 5 3 75 6527
69 61
1212
69
3
3 1
Q
JK Q Q
= +−
=
= −( )
=
, ,
,
Jadi,
661 65 64
1 985
−( )
=
,
,
Maka nilai dan adalah:Q Q
Q
1 3
1 65 5 3 25 2342
65 6= +−
=, , 44
68 5 3 75 6527
69 61
1212
69
3
3 1
Q
JK Q Q
= +−
=
= −( )
=
, ,
,
Jadi,
661 65 64
1 985
−( )
=
,
,
Sedangkan P10 terletak pada nilai ke-10, yaitu kelas 63 – 65 dan P90 terletak pada nilai ke-90 yaitu kelas 69 – 71. Maka nilai P10 dan P90 adalah
P
Q
10
90
62 5 3 10 518
63 33
68 5 3 90 6527
= +−
=
= +−
, ,
, =
= −= −=
−
71 28
71 28 63 337 95
10 90 90 10
,
, ,,
Jadi, JP P P
P
Q
10
90
62 5 3 10 518
63 33
68 5 3 90 6527
= +−
=
= +−
, ,
, =
= −= −=
−
71 28
71 28 63 337 95
10 90 90 10
,
, ,,
Jadi, JP P P
Contoh 4.17Tentukanlah jangkauan kuartil dan jangkauan persentil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
Penyelesaian:Penyelesaian:
JK
nilai ke-
= −( )
= −( )
=
=+
1212
10 5
2 510 16 1
3 1
10
Q Q
P
,(( )
= + −( )
= + −( )
=
=
10070
100
3 70100
3 3
3
1 2 1
90
nilai ke-1 70100
X X X
P nnilai ke- nilai ke-15 30100
90 16 1100
3010015 16 15
+( )
= + −( )
=
X X X
115 30100
18 15
15 9
15 9 312 9
10 90 90 10
+ −( )
=
= −= −=
−
,
,,
JP P P
Book 1.indb 186 26/09/2016 19:42:10
187Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Penyelesaian:
JK
nilai ke-
= −( )
= −( )
=
=+
1212
10 5
2 510 16 1
3 1
10
Q Q
P
,(( )
= + −( )
= + −( )
=
=
10070
100
3 70100
3 3
3
1 2 1
90
nilai ke-1 70100
X X X
P nnilai ke- nilai ke-15 30100
90 16 1100
3010015 16 15
+( )
= + −( )
=
X X X
115 30100
18 15
15 9
15 9 312 9
10 90 90 10
+ −( )
=
= −= −=
−
,
,,
JP P P
4.6 Koefisien Variasi
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, bahwa ukuran penyebaran data seperti jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil merupakan dispersi mutlak. Ukuran dispersi ini tidak dapat dipakai untuk membandingkan penyebaran dua kelompok data atau lebih. Variasi satu meter dalam pengukuran jarak seribu meter jelas berbeda pengaruhnya dengan variasi satu meter dalam pengukuran jarak dua ribu meter. Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan dispersi relatif. Rumus:
Dispersi Relatif= Dispersi AbsolutRata-rata
Book 1.indb 187 26/09/2016 19:42:10
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah188
Untuk mengukur pengaruh demikian dan untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil digunakan dispersi relatif. Salah satu ukuran dispersi relatif yang sangat terkenal adalah koefisien variasi (KV) yang dirumuskan sebagai berikut:
Koefisien Variasi (KV)= sx
Keterangan:S = Standar devia
×100%
ssi (simpangan baku)
x = Rata-rata hitung
Keterangan: S = Standar deviasi (simpangan baku)
X = Rata-rata Hitung
Contoh 4.18Tentukanlah koefisien variasi kelompok data: 35, 45, 55, 65, 75!
Penyelesaian:Yang pertama kita tentukan dulu rata-rata hitung dan standar deviasi (S).
X =+ + + +
=
35 45 55 65 755
55
Untuk memudahkan perhitungan koefisien variasi maka buatlah tabel seperti di bawah ini:
Tabel 4.17Perhitungan Koefisien Variasi
X 35 45 55 65 75 SX = 275X2 1225 2025 3025 4225 5625 SX² = 16125
Sn X X
n n
S
22 2
2
15 16125 275
5 4250
25016 81
=−( )−( )
=( )−( )
( )=
==
∑∑
,
Jadi,,
KV sx
= ×
= ×
=
100
16 8155
100
30 56
%
, %
, %
Book 1.indb 188 26/09/2016 19:42:11
189Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Jadi,
Sn X X
n n
S
22 2
2
15 16125 275
5 4250
25016 81
=−( )−( )
=( )−( )
( )=
==
∑∑
,
Jadi,,
KV sx
= ×
= ×
=
100
16 8155
100
30 56
%
, %
, %
Contoh 4.19Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata-rata mampu menyala selama 1.500 jam dengan simpangan baku S1 = 200 jam. Sedangkan lampu jenis B secara rata-rata mampu menyala selama 1.750 jam dengan simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya lebih baik?
Penyelesaian:
Lampu jenis
Lampu jenis
A KV
B KV
: %
, %
:
1
2
2001500
100
13 3300
1
= ×
=
=7750
100
17 1
×
=
%
, %
Berdasarkan koefisien variasinya, lampu jenis A mempunyai koefisien variasi lebih kecil dari pada lampu jenis B. dengan kata lain kemampuan menyala lampu jenis B lebih bervariasi dari pada lampu jenis A dan kemampuan menyala lampu jenis A lebih seragam dari pada lampu jenis B.
Contoh 4.20Semacam lampu elektron rata-rata dapat di pakai selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu model lain rata-ratanya 7.500 jam dengan simpangan baku 2.000 jam. Manakah dari kedua lampu tersebut mempunyai masa pakai yang baik?
Book 1.indb 189 26/09/2016 19:42:11
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah190
Penyelesaian:
KV (lampu pertama)
KV (lampu kedua)
= ×
=
=
10503500
100
3020007
%
%
5500100
26 6
×
=
%
, %
Ternyata lampu kedua secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform.
Contoh 4.21Tentukanlah koefisien Variasi dari kelompok data yaitu: 12, 6, 7, 3, 15, 10,18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.Penyelesaian:
penyelesaian:
KV sx
= ×
= ×
=
100
4 37 7
100
55 8
%
,,
%
, %
4.7 Koefisien Variasi Kuartil
Ukuran dispersi relatif selain koefisien variasi adalah koefisien variasi kuartil. Koefisien variasi kuartil dipakai bilamana suatu kelompok data tidak diketahui berapa nilai rata-rata hitungnya dan standar deviasi (S). Persamaan koefisien variasi kuartil (KVQ) dirumuskan sebagai berikut:
KV Q QQ QQ =
−+
3 1
3 1
Atau bisa juga menggunakan rumus
KV
Q QMedQ =−( )3 1 2/
Book 1.indb 190 26/09/2016 19:42:12
191Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Contoh 4.22Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari data berikut ini!
Tabel 4.18Berat Badan 20 Mahasiswa UKM Bulutangkis di Universitas BSI Bandung
Berat Badan (kg) FrekuensiFrekuensi Kumulatif
45 – 47 2 248 – 50 5 751 – 53 7 1454 – 56 4 1857 – 59 2 20
20
Penyelesaian:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X
Q
34
53 5 15 144
3
54 2
15
3
. ,
, .
,
=
= +−
=
terletak pada kelas 54-56
55
54 25 49 354 25 49 34 95
103 550 047
3 1
3 1
KVQ QQ QQ =
−+
=−+
=
=
, ,, ,,,
,
Maka koefisien kuartil, yaitu:
Q X n X
Q
Q
1 5
1
3
4
47 5 5 25
3
49 3
= =
= +−
=
=
,
, .
,
terletak pada kelas 48-50
XX n X
Q
34
53 5 15 144
3
54 2
15
3
. ,
, .
,
=
= +−
=
terletak pada kelas 54-56
55
54 25 49 354 25 49 34 95
103 550 047
3 1
3 1
KVQ QQ QQ =
−+
=−+
=
=
, ,, ,,,
,
Book 1.indb 191 26/09/2016 19:42:12
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah192
4.8 Nilai Baku (Z)
Salah satu manfaat penting dari nilai rata-rata hitung dan standar deviasi (S) adalah kedua nilai tersebut dapat dipakai untuk membuat transformasi data yang menghasilkan nilai baku atau disebut juga skor baku (nilai standar). Misalkan, kelompok data dengan nilai-nilai: X1, X2, X 3, ….,Xn mempunyai nilai rata-rata hitung X dan standar deviasi S.(Boediono:2008) Kita dapat membuat nilai baku Z dengan memakai tranformasi berikut:Rumus:
Z X Xsi =−1 , dimana i = 1, 2, 3, ..., n
Karena nilai-nilai variabel Z diturunkan dari nilai-nilai variabel X, maka distribusi Z pada umumnya menyerupai (mirip) distribusi dari data X. Secara matematis dapat dibuktikan bahwa ternyata distribusi nilai Z1, Z2, Z3,…Zn mempunyai rata-rata sama dengan nol (Z = 0) dan standar deviasi sama dengan satu (SZ = 1). Nilai-nilai Z1, Z2, Z3,…Zn yang diperoleh dengan cara transformasi seperti itu disebut nilai baku. Skor baku dapat dipakai untuk membuat skala yang sama dari dua atau lebih kelompok data yang semula skalanya berbeda, sehingga dapat dibandingkan.
Contoh 4.23Nilai rata-rata Ujian Akhir Semester (UAS) mata kuliah Ekonomi di kelas A dengan 50 mahasiswa adalah 75 dan simpangan bakunya (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris di kelas itu mempunyai nilai rata-rata 80 dan simpangan bakunya (S) = 18. Bila di kelas itu Dono memperoleh nilai UAS untuk Ekonomi adalah 85 dan untuk Bahasa Inggris adalah 92, bagaimana posisi (prestasi) Dono di kelas itu?
Penyelesaian:Untuk melihat posisi Dono, apakah lebih baik prestasinya pada UAS mata kuliah Ekonomi atau Bahasa Inggris harus dicari nilai baku untuk nilai UAS pada dua mata kuliah tersebut.
Book 1.indb 192 26/09/2016 19:42:12
193Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Z X Xsi =−1
Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo
Untuk Ekonomi:
Untuk Bahasa Inggris:
Z
Z
=−
=
=−
85 7510
1
92 80188
0 67= ,
Dimana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Dono
Z X Xsi =−1
Di mana X adalah nilai UAS yang diperoleh oleh Donoo
Untuk Ekonomi:
Untuk Bahasa Inggris:
Z
Z
=−
=
=−
85 7510
1
92 80188
0 67= ,
Karena nilai Z untuk mata kuliah Ekonomi lebih besar dari nilai Z untuk mata kuliah Bahasa inggris, maka posisi (prestasi) Dono lebih baik pada mata kuliah Ekonomi daripada mata kuliah Bahasa inggris.
Contoh 4.24Pada ujian tengah semester yang lalu, untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi: Titan memperoleh nilai 84; sedangkan untuk mata kuliah Statistik ia memperoleh nilai 90. Di kelas itu terdapat 50 mahasiswa, di mana nilai rata-rata untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi adalah 76 dengan simpangan baku 10; sedangkan nilai rata-rata untuk mata kuliah Statistik adalah 82 dengan simpangan baku 16. Pada mata kuliah mana prestasi Titan yang lebih baik?
Penyelesaian:Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untu
Z x xs
=−
=−
=84 76
100 8,
kk mata kuliah Statistik
Z x xs
=−
=−
=90 82
160 5,
Untuk mata kuliah Statistik:
Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi:
Untu
Z x xs
=−
=−
=84 76
100 8,
kk mata kuliah Statistik
Z x xs
=−
=−
=90 82
160 5,
Ternyata prestasi Titan lebih baik pada ujian mata kuliah Pengantar Ekonomi, sebab nilai bakunya lebih besar.
Book 1.indb 193 26/09/2016 19:42:13
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah194
4.9 Rangkuman
Ada beberapa jenis ukuran dispersi data, antara lain: jangkauan (range), simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), standar deviasi (standard deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan persentil (percentile deviation), koefisien variasi, koefisien variasi kuartil dan nilai baku Jangkauan atau range (r) suatu kelompok data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. Simpangan rata-rata disingkat SR adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut dengan simpangan baku. Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil atau deviasi kuartil. Sedangkan jangkauan persentil 10 – 90 disebut juga rentang persentil.
4.10 Latihan Soal
4.10.1 Hitunglah range dari kelompok data di bawah ini! 110, 190, 90, 120, 150, 115, 85, 155, 185, 120.
4.10.2 Hitunglah range dari data di bawah ini!
Tabel 4.19Modal Perusahaan PT. Andri
Batas Kelas Modal (Jutaan Rp)
Frekuensi(f)
Titik Tengah(Xi)
30 – 39 2 34,540 – 49 3 44,550 – 59 11 54,560 – 69 20 64,570 – 79 32 74,580 – 89 25 84,590 – 99 7 94,5
Book 1.indb 194 26/09/2016 19:42:13
195Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
4.10.3 Tentukanlah simpangan rata-rata data perusahaan pada tabel berikut ini:
Tabel 4.20Nilai Ujian Bahasa Inggris kelas Manajemen
Universitas BSI Bandung
Nilai f65 – 69 1270 – 74 675 – 79 1080 – 84 485 – 89 18
4.10.4 Data hasil ujian Gizi dan Terapi Diet jurusan Keperawatan Universitas BSI Bandung yaitu sebagai berikut:
Tabel 4.21Nilai Hasil Ujian Gizi dan Terapi Diet Jurusan Keperawatan
Universitas BSI Bandung
NilaiJumlah
Mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10
Tentukanlah variansi dari data tersebut!
4.10.5 Tentukanlah standar deviasi dari kelompok data: 25, 40, 55, 60, 75.
4.11.6 Data hasil ujian Anatomi jurusan Keperawatan di Universitas BSI Bandung sebagai berikut:
Book 1.indb 195 26/09/2016 19:42:13
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah196
Tabel 4.22Hasil Ujian Anatomi jurusan Keperawatan
di Universitas BSI Bandung
NilaiJumlah
mahasiswa30 – 39,9 740 – 49,9 850 – 59,9 1060 – 69,9 3070 – 79,9 2080 – 89,9 1590 – 99,9 10
Tentukanlah standar deviasi dari data tersebut!4.10.7 Tentukanlah jangkauan kuartil dari kelompok data berikut: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100
4.10.8 Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi di Universaitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Berat badan mahasiswa: 40, 50, 60, 55, 70, 65, 60, 55, 65, 80. Berat badan mahasiswi: 45, 55, 50, 60, 45, 40, 55, 50, 65, 60.
Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata?
4.10.9 Tentukanlah koefisien variasi kuartil dari kelompok data 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 9, 10, 5.
4.10.10 Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika di mana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, yang mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana yang mencapai kedudukan yang lebih baik?
Book 1.indb 196 26/09/2016 19:42:13
197Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
4.11 Jawaban Latihan Soal
4.11.1 Penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 185 – 85 = 100
4.11.2 Penyelesaian: R = Nilai Maksimum – Nilai Minimum = 94,5 – 34,5 = 60
4.11.3 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan simpangan rata-rata maka buatlah
tabel seperti di bawah ini:
Tabel 4.23Perhitungan Simpangan Rata-Rata
Nilai f Xi f. Xi |Xi – X| f. |Xi – X| 65 - 69 12 67 804 11 13270 - 74 6 72 432 6 3675 - 79 10 77 770 1 1080 - 84 4 82 328 4 1685 - 89 18 87 1566 9 162
50 3900 356
Diketahui:
Diketahui:
n atau f f Xi f Xi X
X
= = − =
= =
∑∑∑ 50 3900 3563900
50
, . , .
778
Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:
SRf X X
=−∑ff∑
=
=
35650
7 12,
Maka, simpangan rata-rata nilai Ujian di atas adalah:
Diketahui:
n atau f f Xi f Xi X
X
= = − =
= =
∑∑∑ 50 3900 3563900
50
, . , .
778
Maka, simpangan rata-rata ujian di atas adalah:
SRf X X
=−∑ff∑
=
=
35650
7 12,
Book 1.indb 197 26/09/2016 19:42:13
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah198
4.11.4 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi maka buatlah tabel seperti
di bawah ini:
Tabel 4.24Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi
Nilai f Xi f.Xi (Xi –X)2 f (Xi – X)2
30 – 39,9 7 34.95 244,65 1108,89 7762,2340 – 49,9 8 44.95 359,6 542,89 4343,1250 – 59,9 10 54.95 549,5 176,89 1768,960 – 69,9 30 64.95 1948,5 10,89 326,770 – 79,9 20 74.95 1499 44,89 897,880 – 89,9 15 84.95 1274,25 278,89 4183,3590 – 99,9 10 94.95 949,5 712,89 7128,9
100 26411
Diketahui:
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
Maka variansi dari data berkelompok di atas adalah
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
4.11.5 Penyelesaian:
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
Book 1.indb 198 26/09/2016 19:42:13
199Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
Diketahui:
n= 100,
Maka, varia
f Xi X
X
−( )=
=
=
∑ 264116825100
68 25,
nnsi dari data berkelompok adalah:
Sf X Xn
2
2
126411
=−( )
−
=
∑
1100 1266 78
25 40 55 60 755
51
−=
=+ + + +
=
4.11.5 Penyelesaian:
,
X
S22
2
2 2 2 2 21
25 51 40 51 55 51 60 51 75 51
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑ X Xn
55 1676 121 16 81 576
4367 5
−
=+ + + +
= ,
Jadi, standar deviasi dari kellompok data tersebut adalah:
S ==
367 519 17
,,
4.11.6 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan variansi dan standar deviasi maka
buatlah tabel seperti di bawah ini:
Tabel 4.25Distribusi lengkap Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
Nilai f Xi U f U f U2
30 – 39,9 7 34.95 -3 -21 6340 – 49,9 8 44.95 -2 -16 3250 – 59,9 10 54.95 -1 -10 1060 – 69,9 30 64.95 0 0 070 – 79,9 20 74.95 1 20 2080 – 89,9 15 84.95 2 30 6090 – 99,9 10 94.95 3 30 90
100 33 275
Diketahui:
Diketahui:
n= 100, f U f U
S C
. , .∑ ∑= =
=( )−( )
33 175
100 275 33100
2
2 22
999
10 27 500 1 0899900
266 78
266 78
2
( )
=( )−{ }
=
=
. .
,
,S==16 3,
Diketahui:
n= 100, f U f U
S C
. , .∑ ∑= =
=( )−( )
33 175
100 275 33100
2
2 22
999
10 27 500 1 0899900
266 78
266 78
2
( )
=( )−{ }
=
=
. .
,
,S==16 3,
Book 1.indb 199 26/09/2016 19:42:14
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah200
4.11.7 Penyelesaian: Data telah diurutkan:
30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100
4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100
nilai ke-1 13+14
nilai ke-144
nQ1 =( )
= = iilai ke-3 12
nilai ke-
= + −( )= + −( )=
=
X X X
Q
3 4 3
3
12
40 12
45 40 42 5
3
,
113 14
12
80 12
810 11 10
+( )= =
= + −( )= +
nilai ke- 424
nilai ke-10 12
X X X 55 80 82 5
12
12
82 5 42 5 203 1
−( )=
= −( )= −( )=
,
, ,
Maka
JK Q Q
Maka,
4.11.7 Data telah diurutkan:30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 655, 70, 80, 85, 95, 100
nilai ke-1 13+14
nilai ke-144
nQ1 =( )
= = iilai ke-3 12
nilai ke-
= + −( )= + −( )=
=
X X X
Q
3 4 3
3
12
40 12
45 40 42 5
3
,
113 14
12
80 12
810 11 10
+( )= =
= + −( )= +
nilai ke- 424
nilai ke-10 12
X X X 55 80 82 5
12
12
82 5 42 5 203 1
−( )=
= −( )= −( )=
,
, ,
Maka
JK Q Q
4.11.8 Penyelesaian: Kelompok mahasiswa: Data yang telah diurutkan: 40, 50, 55, 55, 60, 60, 65, 65, 70, 80.
4.11.8 Penyelesaian:Data telah diurutkan 40, 55, 55, 55, 660, 60, 65, 65, 70, 80
X140 50 2 55 2 60 2 65 70 80
=+ + ×( )+ ×( )+ ×( )+ +
11060010
60
=
=
Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini:
Book 1.indb 200 26/09/2016 19:42:14
201Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
Tabel 4.26Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X X2
40 160050 250055 325055 325060 360060 360065 422565 422570 490080 6400
600 37100
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X =+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X =+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
Kelompok mahasiswi: Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 65.
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
600 37 100
110 37 10
22 2
.
. 00 60010 9
11 0090
122 2
122 211 05
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Kelompok mahasisswi:Data yang telah diurutkan: 40, 45, 45, 50, 50, 55, 55,, 60, 60, 65
X =+ ×( )+ ×( )+ ×( )+ ×( )+
=
=
40 2 45 2 50 2 55 2 60 6510
52510
522 5,
Book 1.indb 201 26/09/2016 19:42:15
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah202
Untuk memudahkan kita menghitung variansi dan standar deviasi maka dibuat tabel seperti di bawah ini!
Tabel 4.27Perhitungan Variansi dan Standar Deviasi
X X2
40 160045 202545 202550 250050 250055 302555 302560 360060 360065 4225
525 28125
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
525 28 125
110 28 12
22 2
.
. 55 52510 9
5 62590
62 5
62 57 91
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa
Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %
aariasi (KV) berat badan mahasiswi
Jadi,
KV( )= × =100 15 1% , %
data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa
Diperoleh dan X =2X
Sn X X
n n
=
=−( )−( )
=
∑ ∑∑∑
525 28 125
110 28 12
22 2
.
. 55 52510 9
5 62590
62 5
62 57 91
2( )−( )
( )
=
=
==
.
,
,,
S
Koefisien variasi ((KV) berat badan mahasiswa
Koefisien vKV( )= × =100 18 42% , %
aariasi (KV) berat badan mahasiswi
Jadi,
KV( )= × =100 15 1% , %
data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berrat badan mahasiswa
Koefisien variasi (KV) berat badan mahasiswa (KV) = 0,1842 × 100% = 18,42%
Koefisien variasi (KV) berat badan mahasiswi (KV) = 0,151 × 100% = 15,1%
Jadi, data berat badan mahasiswi jauh lebih merata daripada berat badan mahasiswa.
Book 1.indb 202 26/09/2016 19:42:15
203Bab 4 Ukuran Penyebaran Data
4.11.9 Penyelesaian:
4.11.9 Penyelesaian:
nilai ke- 1 16+14
nilai ke-4 14
Q
X
1
4
=( )
=
= +114
5 14
5 5
53 16 1
4
5 4
3
X X
Q
X
−( )= + −( )
=
=+( )
=
=
nilai ke- nilai ke-12 34
112 13 12
3 1
3 1
34
10 33
10 10
10
10 510
+ −( )= + −( )
=
=−+
=−+
X X
KVQ QQ QQ
Jadi,
550 33= ,
4.11.9 Penyelesaian:
nilai ke- 1 16+14
nilai ke-4 14
Q
X
1
4
=( )
=
= +114
5 14
5 5
53 16 1
4
5 4
3
X X
Q
X
−( )= + −( )
=
=+( )
=
=
nilai ke- nilai ke-12 34
112 13 12
3 1
3 1
34
10 33
10 10
10
10 510
+ −( )= + −( )
=
=−+
=−+
X X
KVQ QQ QQ
Jadi,
550 33= ,
Jadi,
4.11.9 Penyelesaian:
nilai ke- 1 16+14
nilai ke-4 14
Q
X
1
4
=( )
=
= +114
5 14
5 5
53 16 1
4
5 4
3
X X
Q
X
−( )= + −( )
=
=+( )
=
=
nilai ke- nilai ke-12 34
112 13 12
3 1
3 1
34
10 33
10 10
10
10 510
+ −( )= + −( )
=
=−+
=−+
X X
KVQ QQ QQ
Jadi,
550 33= ,
4.11.10 Penyelesaian:
4.11.10 Penyelesaian:
Untuk Matematika 86-7810
Untuk S
Z = = 0 8,
ttatistika Z= 92 8418
0 44−= ,
Mahasiswa itu mendapat 0,8 simpangan baku di atas rata-rata nilai matematika dan hanya 0,44 simpangan baku di atas rata-rata nilai statistika. Kedudukannya lebih tinggi dalam hal matematika.
Book 1.indb 203 26/09/2016 19:42:16
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah204
Book 1.indb 204 26/09/2016 19:42:16
205
UKURAN PENYEBARAN DATA (KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN)
P enyebaran atau dispersi adalah perserakan dari nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya.Rata-rata dari serangkaian nilai observasi tidak dapat
diinterpretasikan seara terpisah dari hasil dispersi nilai-nilai tersebut sekitar rata-ratanya. Makin besar variasi nilai Xi, makin kurang representatif rata-rata distribusinya. Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi atau variasi atau keragaman data. Dispersi data digunakan untuk membandingkan penyebaran dua distribusi data atau lebih. Kemiringan dan keruncingan merupakan salah satu bagian dari ukuran penyebaran data. Ada beberapa kemiringan keruncingan yang akan kita pelajari yaitu, simetri, miring ke kanan dan miring ke kiri. Distribusi yang simetris menunjukkan bahwa letak nilai rata-rata hitung, median, dan juga modus berimpit. Distribus yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri, mempunyai nilai sebaliknya, yaitu nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Nilai keruncingan distribusi data ada tiga jenis juga yaitu, leptokurtis, mesokurtis dan platikurtis. Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal sedangkan platikurtis yaitu distribusi data yang puncaknya tidak terlalu rendah atau tinggi.
Bab 5
Book 1.indb 205 26/09/2016 19:42:16
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah206
5.1 Kemiringan Distribusi Data
Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data disebut kemiringan. Kemiringan distribusi data ada tiga jenis yaitu simetri, miring ke kanan, dan miring ke kiri. Distribusi data yang simetri menunjukkan letak nilai rata-rata hitung, median dan modus adalah berimpit, yaitu berkisar di satu titik. Distribusi data yang miring ke kanan, mempunyai nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar. Sedangkan distribusi data yang miring ke kiri sebaliknya, yaitu mempunyai nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil. Distribusi data miring ke kanan disebut juga mempunyai kemiringan positif, distribusi data miring ke kiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness). Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data. a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
Gambar 5.1Distribusi Simetri
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 239
kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).
Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.
a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
f
x
Mod = Med = X�
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
f
Ekor ke Kanan
x Mod Med X�
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
Gambar 5.2Distribusi Miring ke Kanan
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 239
kemiringan positif, distribusi data miring kekiri disebut juga mempunyai kemiringan negatif, sedangkan distribusi data simetri disebut mempunyai kemiringan nol. Kemiringan distribusi data disebut juga kemencengan atau kemenjuluran (skewness).
Pola dari kemiringan distribusi data dapat diperoleh dengan cara menghaluskan poligon frekuensi dari suatu kelompok data.
a. Distribusi Simetri (kemiringan Nol)
f
x
Mod = Med = X�
b. Distribusi Miring ke kanan (Kemiringan positif)
f
Ekor ke Kanan
x Mod Med X�
Book 1.indb 206 26/09/2016 19:42:16
207Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
c. Distribusi Miring Ke Kiri (Kemiringan Negatif)
Gambar 5.3Distribusi Miring ke Kiri
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 240
c. Distribusi Miring Kekiri (Kemiringan Negatif)
f
Ekor ke kiri
x
X� Med Mod
Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu :
5.1.1 Rumus Pearson
Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distibusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus.
Persamaan kemiringan data menurut pearson yaitu sebagai berikut :
Atau
α = ( - Mod) S
Cara-cara yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data yaitu dengan menggunakan rumus Pearson, rumus Momen dan rumus Bowley.
5.1.1 Rumus Pearson
Pearson berkali-kali menekankan bahwa rata-rata hitung dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrimnya. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim sedangkan median hanya dipengaruhi oleh kedudukannya. Bila sebuah distribusi memang simetris, rata-rata hitung = median = modus (6-5). Sebaliknya, bila distribusi tidak simetris maka rata-rata hitung ≠ median ≠ modus. Persamaan kemiringan data menurut Pearson yaitu sebagai berikut:
α
α
α
=−( )
=−( )
X ModS
X MedS
atau
Keterangan: = derajat kemi
3
rringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
atau
α
α
α
=−( )
=−( )
X ModS
X MedS
atau
Keterangan: = derajat kemi
3
rringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
Keterangan:α = derajat kemiringan Pearson
X = rata-rata hitungMod = modusS = standar deviasiMed = median
Book 1.indb 207 26/09/2016 19:42:17
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah208
Rumus di atas dapat digunakan untuk data yang belum dikelompokkan dan data yang sudah dikelompokkan. Bila α = 0 atau mendekati nol maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri.
Contoh 5.1Tentukan kemiringan disribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 7, 7, 4, 6, 5, 10, 5, 7, 6, 9
Penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10
Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10
X =+ + +4 5 5 66 6 7 7 7 9 10
106610
6 6
7
+ + + + + +
= =
=
X ,
Modus
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
Tabel 5.1Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 256 366 367 497 497 499 81
10 100Sx = 66 Sx2 = 466
Book 1.indb 208 26/09/2016 19:42:17
209Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Diperoleh x x
Sn x x
n n
∑ ∑∑ ∑
= =
=−( )−( )
=( )−( )
66 466
110 466 66
2
22 2
2
110 94660 4356
903 37
1 8
( )
=−
=
=
,
,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33
Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah
αα
α
=−( )
=
=
X
-
bertanda negatif, maka distribu
ModS
6 61 830 21
,,,
ssi data miring ke kiri.
Derajat kemiringan distribusi data menurut Pearson adalah
Diperoleh x x
Sn x x
n n
∑ ∑∑ ∑
= =
=−( )−( )
=( )−( )
66 466
110 466 66
2
22 2
2
110 94660 4356
903 37
1 8
( )
=−
=
=
,
,Maka standar deviasi (S) = 3,37 33
Derajat kemiringan distribusi data menurut person adalah
αα
α
=−( )
=
=
X
-
bertanda negatif, maka distribu
ModS
6 61 830 21
,,,
ssi data miring ke kiri.α bertanda negatif, maka distribusi data miring ke kiri.
Contoh 5.2Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Pearson jika diketahui data sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5
Penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9
Med=
X
X
=+ + + + + + + + +
=
=
+( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Book 1.indb 209 26/09/2016 19:42:18
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah210
Penyelesaian:Data yang diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 88, 9
Med=
X
X
=+ + + + + + + + +
=
=
+( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi pada data yang belum dikelompokkan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
Tabel 5.2Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81
∑fx = 63 ∑fx2 = 421
Diperoleh x x= =∑∑ 63 4212
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.Book 1.indb 210 26/09/2016 19:42:18
211Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Derajat kemiringan menurut rumus Pearson adalah
Diperoleh X X
Sn X X
n n
= =
=−( )−( )
=( )−( )
∑∑∑∑
63 421
110 421 63
10 9
2
22 2
2
(( )
=
=
= =
24190
2 6
2 6 1 6
,
, ,Maka standar deviasi (S)Dearajat kemirringan menurut rumus person adalah
MedS
α =−( )
=−( )
3
3 6 3 61 6
X
,,
== ( )
=3 0 180 54
,,
Jadi, bertanda positif, maka data miring kα ee kanan.Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
Contoh 5.3 Tentukanlah derajat kemiringan dari data di bawah ini dengan menggunakan rumus Pearson!
Tabel 5.3Distribusi Frekuensi
Kelas Frekuensi11 – 13 314 – 16 717 – 19 1120 – 22 1723 – 25 2Jumlah 40
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat kemiringan maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
Tabel 5.4Perhitungan
Kelas f U Xi f U f U² f U³11 – 13 3 -2 12 -6 12 -2414 – 16 7 -1 15 -7 7 -717 – 19 11 0 18 0 0 020 – 22 17 1 21 17 17 1723 – 25 2 2 24 4 8 16Jumlah 40 8 44 2
Book 1.indb 211 26/09/2016 19:42:18
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah212
Dari tabel di atas diketahui:
f fU fU fU
Xf Xi
f
= = = =
= = =
= +
∑∑ ∑∑∑
40 8 44 2
74440
18 6
2 3 dan
Med Lm
n2
.,
−−
= +−
∑ fi
fmC.
.16 5
402
10
11
= +−
=
= ++
=
.
, .
,
3
16 5 20 1011
3
19 22
Mod Lmo dd d
.c1
1 2
119 5 66 15
3
19 5 0 8420 34
12
2 2
, .
, ,,
++
= +=
=−( )−( )
∑∑S2 Cn fU fU
n n
=( )−( )
( )
==
3 40 44 840 39
9 1 089
22
. ,, 772
9 723 12
18 6 20 36
1 76
S
X
==
−( )
−( )
−( )
= −
,,
, ,
,
α=1s
Mod
= 13,12
= 13,12
00 59,Jadi, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miriing ke kiri.
Book 1.indb 212 26/09/2016 19:42:19
213Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Pearson:
f fU fU fU
Xf Xi
f
= = = =
= = =
= +
∑∑ ∑∑∑
40 8 44 2
74440
18 6
2 3 dan
Med Lm
n2
.,
−−
= +−
∑ fi
fmC.
.16 5
402
10
11
= +−
=
= ++
=
.
, .
,
3
16 5 20 1011
3
19 22
Mod Lmo dd d
.c1
1 2
119 5 66 15
3
19 5 0 8420 34
12
2 2
, .
, ,,
++
= +=
=−( )−( )
∑∑S2 Cn fU fU
n n
=( )−( )
( )
==
3 40 44 840 39
9 1 089
22
. ,, 772
9 723 12
18 6 20 36
1 76
S
X
==
−( )
−( )
−( )
= −
,,
, ,
,
α=1s
Mod
= 13,12
= 13,12
00 59,Jadi, – bertanda negatif, maka distribusi datanya miriing ke kiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
5.1.2 Rumus Momen
Kemiringan relatif α3 sangat tergantung pada bentuk kurva frekuensi dan seringkali digunakan sebagai pengukuran kemiringan sekitar rata-rata distribusi teoritis.
5.1.2.1 Kemiringan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan
Kemiringan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang belum dikelompokkan adalah sebagai berikut:
α3
3
3=−( )∑ X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d
3
aata
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
Keterangan:α3
3
3=−( )∑ X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringanX = nilai d
3
aata
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
= derajat kemiringanX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungS = nilai standar deviasi
Contoh 5.4Tentukan kemiringan distribusi data berikut ini dengan menggunakan rumus Momen jika diketahui datanya sebagai berikut: 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 5, 6, 5
Book 1.indb 213 26/09/2016 19:42:19
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah214
Penyelesaian:Data yang telah diurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
X
Med
=+ + + + + + + + +
=
=
= +( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Penyelesaian:Datayangdiurutkan: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9
X
Med
=+ + + + + + + + +
=
=
= +( )
=
4 5 5 5 6 6 7 8 8 910
63106 312
6 6
6
,
Untuk memudahkan perhitungan standar deviasi maka dibuat tabel distribusi sebagai berikut ini:
Tabel 5.5Perhitungan Standar Deviasi
X X2
4 165 255 255 256 366 367 498 648 649 81
∑fx = 63 ∑fx2 = 421
Diperoleh X X= =∑∑ 63 4212
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 94210 3969
9024190
2
=−( )
−( )
=( )−( )
( )
=−
=
=
∑
,66
2 6 1 6
4 6 3 5
3
2
3
3
Maka standar deviasi
=X-X
( ) , ,
,
S
nS
= =
( )
=
−( ) +
∑α
−−( ) + −( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −
6 3 5 6 3 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6
3 3 3 3
3 3
, , , ,
, , ,33 8 6 3 9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
3 3 3
3
( ) + −( ) + −( )
( )
=
=
, ,,
,,
,Jadi, – berrtanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
Book 1.indb 214 26/09/2016 19:42:19
215Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 94210 3969
9024190
2
=−( )
−( )
=( )−( )
( )
=−
=
=
∑
,66
2 6 1 6
4 6 3 5
3
2
3
3
Maka standar deviasi
=X-X
( ) , ,
,
S
nS
= =
( )
=
−( ) +
∑α
−−( ) + −( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −
6 3 5 6 3 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6
3 3 3 3
3 3
, , , ,
, , ,33 8 6 3 9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
3 3 3
3
( ) + −( ) + −( )
( )
=
=
, ,,
,,
,Jadi, – berrtanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
Derajat kemiringan menurut rumus momen adalah
Sn X X
n n2
2 2
2
110 421 63
10 94210 3969
9024190
2
=−( )
−( )
=( )−( )
( )
=−
=
=
∑
,66
2 6 1 6
4 6 3 5
3
2
3
3
Maka standar deviasi
=X-X
( ) , ,
,
S
nS
= =
( )
=
−( ) +
∑α
−−( ) + −( ) + −( ) + −( )
+ −( ) + −( ) + −
6 3 5 6 3 5 6 3 6 6 3
6 6 3 7 6 3 8 6
3 3 3 3
3 3
, , , ,
, , ,33 8 6 3 9 6 310 1 6
28 98140 96
0 71
3 3 3
3
( ) + −( ) + −( )
( )
=
=
, ,,
,,
,Jadi, – berrtanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
Jadi, α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
5.1.2.2 Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan
Kemiringan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, frekuensi nilai data ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat kemiringan (α3) secara umum bagi data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut:
α3
3
3=−( )∑ f X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringan
X = nilai3
rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data
Keterangan:α3
3
3=−( )∑ f X X
nS
Keterangan:– = derajat kemiringan
X = nilai3
rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standdar deviasin = banyaknya data
= derajat kemiringan
X = nilai rata-rata hitungf = frekuensi nilai data ke-iS = standar deviasin = banyaknya data
Contoh 5.5Tentukanlah derajat kemiringan dari data modal perusahaan Citra berikut ini!
Book 1.indb 215 26/09/2016 19:42:20
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah216
Tabel 5.6Modal Perusahaan Citra
Modal f112 – 120 4121 – 129 5130 – 138 8139 – 147 12148 – 156 5157 – 165 4166 – 174 2
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 5.7Distribusi Lengkap Untuk Perhitungan Variansi, Standar Deviasi
dan Derajat Kemiringan
Modal Xi f (Xi - X )2 f (Xi– X)2 f (Xi– X)3
112 - 120 116 4 601.4756 2405.9024 -59004.76121 - 129 125 5 241.0256 1205.128 -187096.14130 - 138 134 8 42.5756 340.6048 -2222.48139 - 147 143 12 6.1256 73.5072 181.93148 - 156 152 5 131.6756 658.378 7554.89157 - 165 161 4 419.2256 1676.9024 34334.58166 - 174 170 2 868.7756 1737.5512 51214.32
40 8098 -155037.66
Dari tabel di atas diperoleh:
n atau f f Xi X
X
S
= −( ) =
=
=
=
=
∑∑ 40 80985621
40140 5258098
39207 64
2
2
,
,
SS
n S
==
=−( )
( )
=−
=−
∑
207 6414 4
155037 6640 14 4155037
3
3
3
3
,,
,( , )
αf X X
,,,
,
66119439 361 29= −
Jadi, – bertanda negatif, maka distribussi datanya miring ke kiri.
Book 1.indb 216 26/09/2016 19:42:20
217Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Maka derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Momen yaitu:
n atau f f Xi X
X
S
= −( ) =
=
=
=
=
∑∑ 40 80985621
40140 5258098
39207 64
2
2
,
,
SS
n S
==
=−( )
( )
=−
=−
∑
207 6414 4
155037 6640 14 4155037
3
3
3
3
,,
,( , )
αf X X
,,,
,
66119439 361 29= −
Jadi, – bertanda negatif, maka distribussi datanya miring ke kiri.Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
5.1.2.3 Rumus Lain Kemiringan Distribusi Data yang Sudah Dikelompokkan
Khusus untuk data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, derajat kemiringan a₃, dapat dihitung dengan cara tranformasi sehingga lebih sederhana ketika menghitung rata-rata hitung dan standar deviasi, yaitu sebagai berikut;
α3
3
3
3 2 3
32
2= −
+
( )∑ ∑ ∑ ∑CS
fun
fun
fu fu
n
Bila distribusi simetris sekitar rata-ratanya maka α3 = 0. Sebaliknya,bila distribusi menceng sekitar rata-ratanya, maka α3 akan menghasilkan nilai positif atau negatif sesuai dengan arah menceng distribusi. Kenney menganggap hasil α3 yang bervariasi antara ± 2 sebagai pertanda bagi distribusi yang menceng secara moderat. Sebaliknya α3 > ± 2 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali. Dalam perumusan kurva Pearson jenis III tentang hubungan antara besarnya α3 dan tingkat kemencengan yang berpedoman pada sebuah distribusi normal, Karl Pearson menganggap bahwa distribusi yang sangat menceng memiliki α3 > ± 0,50
Book 1.indb 217 26/09/2016 19:42:20
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah218
Contoh 5.6 Tentukanlah derajat kemiringan dari data berat badan 50 mahasiswa jurusan Teknik Industri di Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 5.8Distribusi Frekuensi Data dari Berat Badan 50
Mahasiswa Universitas BSI Bandung
Berat Badan Frekuensi45 – 49 550 – 54 1255 – 59 1660 – 64 1365 – 69 4
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan variansi, standar deviasi dan derajat kemiringan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 5.9Perhitungan Derajat Kemiringan
Berat badan Xi f U fu fu2 fu3 fu4
45 – 49 47 5 -2 -10 20 -40 8050 – 54 52 12 -1 -12 12 -12 1255 – 59 57 16 0 0 0 0 060 – 64 62 13 1 13 12 13 1365 – 69 67 4 2 8 16 32 64
-1 61 -7 169
Dari tabel diatas diperoleh:
C n f
fu fu
fu fu
= = =
= =
= =
∑∑ ∑∑ ∑
5 50
1 61
7 169
2
3 4
,
-
-
Book 1.indb 218 26/09/2016 19:42:21
219Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
C n f
fu fu
fu fu
S C
= = =
= =
= =
=
∑∑ ∑∑ ∑
5 50
1 61
7 169
2
3 4
2
,
-
-
222 2
22
1
5 50 61 150 49
n fu fu
n n
−( )−( )
=( )−( )
(
∑∑
-))
=−{ }
=
==
= ∑
25 3050 12450
1 24
1 241 11
3
3
3
,
,,
S
CS
fuα3
nnfu
nfu
n
fu
n−
+
( )
∑ ∑ ∑3 22 3
=−
−
−51 11
750
3 6150
150
3
3,
+
−( )
= − −
2 150
1251 36
0 14
3
,, 33 1 22 0 22 2 0 000008
91 9 0 8779 9
, , ,
, ,,
( ) −( )+ −( ){ }
= −( )
= −
Derajat kemiringan distribusi data menurut momen adalah
C n f
fu fu
fu fu
S C
= = =
= =
= =
=
∑∑ ∑∑ ∑
5 50
1 61
7 169
2
3 4
2
,
-
-
222 2
22
1
5 50 61 150 49
n fu fu
n n
−( )−( )
=( )−( )
(
∑∑
-))
=−{ }
=
==
= ∑
25 3050 12450
1 24
1 241 11
3
3
3
,
,,
S
CS
fuα3
nnfu
nfu
n
fu
n−
+
( )
∑ ∑ ∑3 22 3
=−
−
−51 11
750
3 6150
150
3
3,
+
−( )
= − −
2 150
1251 36
0 14
3
,, 33 1 22 0 22 2 0 000008
91 9 0 8779 9
, , ,
, ,,
( ) −( )+ −( ){ }
= −( )
= −
Jadi, α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
5.1.3 Rumus Bowley
Sebuah perumusan tentang pengukuran kemiringan yang lebih sederhana dari perumusan Pearson telah dikembangkan oleh A.L Bowley. Bowley mengembangkan koefisiennya atas dasar hubungan antara statistik Q1, Q3 dan median dari sebuah distribusi. Jika sebuah distribusi simetris, maka jarak antara kedua kuartil diatas dari mediannya seharusnya sama. Sebaliknya, bila distribusi tersebut tidak simetris, maka jarak antara kedua kuartil dari kedua mediannya tidak akan sama.
Book 1.indb 219 26/09/2016 19:42:21
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah220
Secara Aljabar,bila distribusi simetris, maka:
(Q3 – Q2) = (Q2 – Q1) atau (Q3 – Med) = (Med – Q1)
Sebaliknya, pada distribusi yang menceng secara positif, maka (Q3 – Med) > (Med – Q1)
sedangkan pada distribusi yang menceng secara negatif, maka (Q3 – Med) < (Med – Q1).
Persamaan derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley dapat ditentukan sebagai berikut:
α=+( )
−
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
-
Keterangan:Q = kuartilke-1Q = kuartilke
1
2 --2Q = kuartilke-33
Keterangan:Q1 = kuartil ke-1Q2 = kuartil ke-2Q3 = kuartil ke-3
Bowley berpendapat bahwa α = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng secara tidak berarti. Sebaliknya α > ± 0,30 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali.
Contoh 5.7Tentukanlah derajat kemiringan dari kelompok data di bawah ini! 10, 5, 4, 7, 4, 6, 9, 8, 12, 11, 6, 10, 5, 4, 3, 13.
Penyelesaian: Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 -( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
-( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 -( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
-( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + --
= + --
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.
Book 1.indb 220 26/09/2016 19:42:23
221Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 -( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
-( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 -( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
-( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + --
= + --
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.
Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 -( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
-( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 -( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
-( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + --
= + --
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.
Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley yaitu sebagai berikut:
Penyelesaian:Median = Q = 6
Q = nilai ke-1 16 + 14
= nila
2
1( )
ii ke-4 14
Jadi,
Q = nilai ke-4 + 14
nilai ke-5 nilai ke-4
=4
1 -( )
+ 14
5 4
Q = nilai ke- 3 16 + 14
= nilai ke-1
3
-( )
= +=
( )
4 0 254 25
,,
22 34
Jadi,
Q = nilai ke-12 + 34
nilaike-13 nilai ke-12
=10 +
3 -( )
34
10 10
=10Maka derajat kemiringan menggunakan rumus Bo
-( )
wwley, yaitu sebagai berikut:
α = + --
= + --
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
10 4 25 610 4
,,,
,,,
258 255 751 43
=
=Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kanan.Jadi, nilai α positif, berarti distribusi data miring ke kanan.
Contoh 5.8Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 9, 4, 3, 7, 8, 3, 5, 4, 3, 9, 7.
Tentukanlah derajat kemiringan dengan menggunakan rumus Bowley!
Book 1.indb 221 26/09/2016 19:42:23
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah222
Penyelesaian:Penyelesaian:
Median = Q = 5 + 62
Q = nilai ke-1 12 + 1
2
1
= 5 5,(( )
−
4
= nilai ke-3 14
Jadi,
Q = nilai ke-3 + 14
nilai ke-4 nilai1 ke-3
= 3 + 0,25
Q = nilai ke- 3 12 + 14
= nilai ke-9
3
( )
=
( )
3 25,
334
Jadi,
Q = nilai ke-9 + 34
nilai ke-10 nilai ke-9
= 7 + 3
3 −( )
448 7
= 7 + 0,75=7,75
Derajat kemiringan menggunakan rumus
−( )
Bowley:
α=+ −
−
=+ −
−
=
=
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
7 75 3 25 5 57 75 3 25
5 54 51 2
, , ,, ,
,,
, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.
Derajat kemiringan menggunakan rumus Bowley
Penyelesaian:
Median = Q = 5 + 62
Q = nilai ke-1 12 + 1
2
1
= 5 5,(( )
−
4
= nilai ke-3 14
Jadi,
Q = nilai ke-3 + 14
nilai ke-4 nilai1 ke-3
= 3 + 0,25
Q = nilai ke- 3 12 + 14
= nilai ke-9
3
( )
=
( )
3 25,
334
Jadi,
Q = nilai ke-9 + 34
nilai ke-10 nilai ke-9
= 7 + 3
3 −( )
448 7
= 7 + 0,75=7,75
Derajat kemiringan menggunakan rumus
−( )
Bowley:
α=+ −
−
=+ −
−
=
=
Q Q QQ Q
3 1 2
3 1
7 75 3 25 5 57 75 3 25
5 54 51 2
, , ,, ,
,,
, 22Jadi, nilai – positif berarti distribusi data miring ke kkanan.
Jadi, α positif yang berarti distribusi datanya miring ke kanan.
Book 1.indb 222 26/09/2016 19:42:23
223Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
5.2 Keruncingan Distribusi Data
Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan: a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak terlalu runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu
mendatar. Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu: Jika α4 = 3, Mesokurtis Jika α4 > 3, Leptokurtis Jika α4 < 3, Platikurtis
Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini: a. Leptokurtis
Gambar 5.4 Leptokurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 258
5.2 Keruncingan Distribusi Data Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu
distribusi data terhadap distribusi normalnya data disebut keruncingan distribusi data. Keruncingan data disebut kurtosis. Ada tiga jenis derajat keruncingan : a. Leptokurtis, distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. b. Mesokurtis, distribusi data yang puncaknya normal, tidak
terlalu runcing. c. Platikurtis, distribusi data yang puncaknya terlalu rendah
atau terlalu mendatar. Maka, syarat keruncingan terbagi atas tiga yaitu : Jika α4 = 3, Mesokurtis Jika α4 > 3, Leptokurtis Jika α4 < 3 ,Platikurtis Tiga jenis keruncingan distribusi data dapat digambarkan sebagai berikut ini :
a. Leptokurtis
f Puncak runcing X
b. MesokurtisGambar 5.5 Mesokurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal X c. Platikurtis f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang
Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
Book 1.indb 223 26/09/2016 19:42:23
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah224
c. PlatikurtisGambar 5.6
Platikurtis
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal X c. Platikurtis f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang
Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
Ukuran Penyebaran Data (kemiringan..) 259
b. Mesokurtis f Puncak normal X c. Platikurtis f Puncak tumpul
X
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data Yang
Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut :
5.2.1 Keruncingan Distribusi Data yang Belum Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
α4 4
41= −( )∑nS
X X
Keterangan:– = derajat keruncinganX = nila
4
ii data
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin=baanyaknyadata
Keterangan:a4 = derajat keruncinganX = nilai data
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data
Contoh 5.9Diketahui kelompok data sebagai berikut: 6, 4, 3, 7, Tentukanlah derajat keruncingan dari kelompok data di atas!
Penyelesaian:
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
441
4 1 823 5 4 5
X Xi −( )
=( )
−( ) + −
∑
,(( ) + −( ) + −( )
=( )
+ + +
=
4 4 4
4
6 5 7 5
14 1 82
16 1 1 16
0 77,
,Jadi, – kurang daari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Book 1.indb 224 26/09/2016 19:42:24
225Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
441
4 1 823 5 4 5
X Xi −( )
=( )
−( ) + −
∑
,(( ) + −( ) + −( )
=( )
+ + +
=
4 4 4
4
6 5 7 5
14 1 82
16 1 1 16
0 77,
,Jadi, – kurang daari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Jadi, standar deviasi dari kelompok data tersebut adalah
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
441
4 1 823 5 4 5
X Xi −( )
=( )
−( ) + −
∑
,(( ) + −( ) + −( )
=( )
+ + +
=
4 4 4
4
6 5 7 5
14 1 82
16 1 1 16
0 77,
,Jadi, – kurang daari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Maka, derajat keruncingannya adalah sebagai berikut:
X
SX Xn
=+ + +
=
=
=−( )
−
=−( ) + −( ) + −( ) + −( )
∑
3 4 6 74
204
5
13 5 4 5 6 5 7 5
4
2
2
2 2 2 2
−−
=+ + +
=
14 1 1 4
33 33,
Jadi, standar deviasi dari kelompok data ttersebut adalah:
S= 3,33
Maka, derajat keruncingannya a=1 82,
ddalah sebagai berikut:
= 1nS4α4
4
441
4 1 823 5 4 5
X Xi −( )
=( )
−( ) + −
∑
,(( ) + −( ) + −( )
=( )
+ + +
=
4 4 4
4
6 5 7 5
14 1 82
16 1 1 16
0 77,
,Jadi, – kurang daari 3, maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
5.2.2 Keruncingan Distribuisi Data yang Sudah Dikelompokkan
Keruncingan distribusi data yang sudah dikelompokkan melibatkan nilai data, nilai rata-rata hitung, nilai frekuensi kelas ke-i, banyaknya data dan nilai standar deviasi. Persamaan derajat keruncingan distribusi data yang belum dikelompokkan dapat ditentukan sebagai berikut:
Book 1.indb 225 26/09/2016 19:42:24
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah226
α4 4
41= −( )∑nS
f Xi x
Keterangan:– = derajat keruncinganXi =
4
nnilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data
Keterangan:a4 = derajat keruncinganXi = nilai titik tengah kelas ke-if = frekuensi data kelas ke-i
X = nilai rata-rata hitungS = standar deviasin = banyaknya data
Contoh 5.10Tentukanlah derajat keruncingan dari data nilai ujian B. Inggris 50 Mahasiswa jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 5.10Data Nilai Ujian B.Inggris 50 Mahasiswa Jurusan Pariwisata Universitas BSI Bandung
Kelas Titik Tengah Frekuensi20 – 29 24,5 4
30 – 39 34,5 7
40 – 49 44,5 8
50 – 59 54,5 12
60 – 69 64,5 9
70 – 79 74,5 8
80 – 89 84,5 2
Jumlah 50
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan derajat keruncingan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan seperti di bawah ini:
Book 1.indb 226 26/09/2016 19:42:24
227Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
Tabel 5.11Perhitungan
Kelas Xi f f.Xi f(Xi – X)2 f(Xi – X)4
20 – 29 24,5 4 98 3457,44 2988472,8
30 – 39 34,5 7 241,5 2634,52 991527,9
40 – 49 44,5 8 356 706,88 62459,9
50 – 59 54,5 12 654 4,32 1,55
60 – 69 64,5 9 580,5 1011,24 113622,9
70 – 79 74,5 8 596 3394,88 1440651,3
80 – 89 84,5 2 169 1872,72 1753540,1
Jumlah 50 2695 13082 7350276,5
Dari tabel di atas diperoleh:
f
fXi
f Xi X
f Xi X
S
∑∑∑∑
=
=
−( ) =
( ) =
=
50
2695
13082
7 350 276 51
2
4
2
- . . ,3308249
266 9
266 9
1
150 16 34
7 3
4 4
4
4
=
=
= −( )
=( )
∑
,
,
,.
S
nSf Xi X
= 16,34
α
550 276 5
2 6
. ,
,=
Maka, derajat keruncingan dari data di atas adalah
f
fXi
f Xi X
f Xi X
S
∑∑∑∑
=
=
−( ) =
( ) =
=
50
2695
13082
7 350 276 51
2
4
2
- . . ,3308249
266 9
266 9
1
150 16 34
7 3
4 4
4
4
=
=
= −( )
=( )
∑
,
,
,.
S
nSf Xi X
= 16,34
α
550 276 5
2 6
. ,
,=
Jadi, a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai derajat keruncingan platikurtis.
Book 1.indb 227 26/09/2016 19:42:24
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah228
5.3 Rangkuman
Kemiringan distribusi data adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian atau asimetri suatu distribusi data. Bila α = 0 atau mendekati 0 maka dikatakan distribusi data simetri, bila α bertanda negatif maka dikatakan distribusi data miring ke kiri, dan bila α bertanda positif maka dikatakan distribusi data miring ke kanan. Semakin besar α maka distribusi data akan semakin miring atau semakin tidak simetri. Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Keruncingan distribusi data disebut juga Kurtosis. Ada 3 jenis derajat keruncingan, yaitu Leptokurtis artinya distribusi data yang puncaknya relatif tinggi. Mesokurtis artinya distribusi data yang puncaknya normal. Yang terakhir adalah Platikurtis artinya distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar.
5.4 Latihan Soal
5.4.1 Data nilai Ujian Akhir Semester 80 mahasiswa jurusan Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung adalah sebagai berikut:
Tabel 5.12Data Nilai Ujian Akhir Semester 80 Mahasiswa Jurusan
Manajemen Pemasaran Universitas BSI Bandung
Nilai Ujian f31 – 40 141 – 50 251 – 60 561 – 70 1571 – 80 2581 – 90 20
91 – 100 12Jumlah 80
Tentukanlah nilai-nilai:a. Rata-Rata Hitungb. Variansic. Standar Deviasi
Book 1.indb 228 26/09/2016 19:42:25
229Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
d. Q₁, Q₂ dan Q₃e. Modusf. Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus pearsong. Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus momenh. Derajat kemiringan dengan menggunakan rumus bowleyi. Derajat keruncingan
5.5 Jawaban Latihan Soal
5.5.1 Untuk memudahkan perhitungan pada data yang sudah dikelompokkan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 5.13Perhitungan
Nilai Ujian
f Xi f.Xi f (Xi – X)² f (Xi – X)³ f (Xi – X)⁴
31 – 40 1 35,5 35,5 3074,7 170492,2 9453795,541 – 50 2 45,5 91 4131,4 -187772,3 8534253,651 – 60 5 55,5 277,5 6283,5 -222750,5 7896505,961 – 70 15 65,5 982,5 9715,5 -247260,4 6292777,971 – 80 25 75,5 1887,5 5967,5 -92198,8 1424472,181 – 90 20 85,5 1710 594,1 -3237,5 17644,891– 100 12 95,5 1146 248,4 1130,3 5143,1
80 7276 30015,1 -922581,4 33624592,9
Dari tabel di atas diperoleh:
f
f Xi
f Xi
∑∑
∑
=
=
−
80
7276 .
XX
f Xi X
f Xi X
( ) =
−( ) =
−( ) =
∑∑
2
3
4
30015,1
-922581,4
33624592,9
Book 1.indb 229 26/09/2016 19:42:25
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah230
a.
b.
c.
X
Sf Xi xn
S
=
=
=−( )
−
=
=
=
∑
727680
90 95
130015 1
79379 94
3
2
2
,
,
,
779 94 19 4914
60 5
804
8
1510
60 5 2
1 1
, ,
.
, .
,
=
= +−( )
= +−( )
= +
∑d. Q Lq
n F
fC
00 815
10
60 5 868 5
24
70 5
1604
23
25
2 2
−( )
= +=
= +−( )
= +−
∑
.
,,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
, ,
10
70 5 40 2325
10
70 5 6 8==
= +−
= +−
∑
77 334
80 5
2404
48
20
3 3
,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
,
10
80 5 60 4820
10
80 5 6== 86 5,
a.
b.
c.
X
Sf Xi xn
S
=
=
=−( )
−
=
=
=
∑
727680
90 95
130015 1
79379 94
3
2
2
,
,
,
779 94 19 4914
60 5
804
8
1510
60 5 2
1 1
, ,
.
, .
,
=
= +−( )
= +−( )
= +
∑d. Q Lq
n F
fC
00 815
10
60 5 868 5
24
70 5
1604
23
25
2 2
−( )
= +=
= +−( )
= +−
∑
.
,,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
, ,
10
70 5 40 2325
10
70 5 6 8==
= +−
= +−
∑
77 334
80 5
2404
48
20
3 3
,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
,
10
80 5 60 4820
10
80 5 6== 86 5,Book 1.indb 230 26/09/2016 19:42:25
231Bab 5 Ukuran Penyebaran Data (Kemiringan dan Keruncingan)
a.
b.
c.
X
Sf Xi xn
S
=
=
=−( )
−
=
=
=
∑
727680
90 95
130015 1
79379 94
3
2
2
,
,
,
779 94 19 4914
60 5
804
8
1510
60 5 2
1 1
, ,
.
, .
,
=
= +−( )
= +−( )
= +
∑d. Q Lq
n F
fC
00 815
10
60 5 868 5
24
70 5
1604
23
25
2 2
−( )
= +=
= +−( )
= +−
∑
.
,,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
, ,
10
70 5 40 2325
10
70 5 6 8==
= +−
= +−
∑
77 334
80 5
2404
48
20
3 3
,
.
,
Q Lq
n F
fC
= +−
= +
.
, .
,
10
80 5 60 4820
10
80 5 6== 86 5,
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−
( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
= −
=+ −( )
−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
180 19 49
33624
4 4
4
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α
nsf Xi X
5592 9
2 9
,
,=
f. Mod
α=−( )
=−
=
XS
90 95 77 1619 49
0 70
, ,,
,
Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi data miring ke kanan.
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−
( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
= −
=+ −( )
−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
180 19 49
33624
4 4
4
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α
nsf Xi X
5592 9
2 9
,
,=
Jadi, nilai α bertanda negatif, maka distribusi datanya miring ke kiri.
Book 1.indb 231 26/09/2016 19:42:26
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah232
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−
( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
= −
=+ −( )
−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
180 19 49
33624
4 4
4
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α
nsf Xi X
5592 9
2 9
,
,=
Jadi, nilai α bertanda positif, maka distribusi datanya miring ke kanan.
e. Mod=Lmo++
= ++
dd d
C1
1 2
70 5 1010 5
1
.
, . 00
70 5 6 6677 16
922581 480 19 49
3
3
3
3
= +=
=−( )
=−
( )
=
∑
, ,,
,,
g. αf X X
nS
−−
= −
=+ −( )
−
=+ −
922581 4592277 81 56
86 5 68 5 7
3 1 2
3 1
,,
,
, ,
h. αQ Q Q
Q Q77 3
86 5 68 54 32
180 19 49
33624
4 4
4
,, ,
,
,.
( )
−=
−( )
=( )
∑i. = 1α
nsf Xi X
5592 9
2 9
,
,= Jadi, nilai a kurang dari 3 maka distribusi data mempunyai
derajat keruncingan platikurtis.
Book 1.indb 232 26/09/2016 19:42:26
233
ANGKA INDEKS
Kata indeks sudah sering kita dengar melalui berbagai media, misalnya sering dilaporkan dalam pemberitaan mengenai indeks harga dan indeks
gabungan. Ketidakseimbangan antara fluktuasi pendapatan golongan yang berpendapatan tetap dan fluktuasi harga-harga umum yang menimbulkan ketegangan-ketegangan sosial kecil. Ketidakseimbangan antara harga barang industri yang harus dibayar oleh para petani dengan pendapatan petani yang diperoleh dari penjualan barang-barang menimbulkan kegoncangan-kegoncangan pada kegiatan-kegiatan ekonomi dan ketegangan sosial.
6.1 Pengertian
Suatu ukuran statistik yang menunjukkan perubahan-perubahan atau perkembangan-perkembangan keadaan, kegiatan, dan peristiwa yang sama jenisnya yang berhubungan satu sama lainnya disebut angka indeks. Dengan kata lain, angka indeks merupakan suatu ukuran yang dipakai untuk perbandingan dua keadaan yang sama jenisnya dalam dua waktu yang berbeda. Maka dari itu fungsi angka indeks adalah untuk mengukur secara kuantitatif adanya perubahan dari keadaan daalam dua waktu yang berlainan. Dengan adanya angka indeks, kita dapat dapat mengetahui kenaikan dan penurunan dalam suatu kegiatan dan usaha yang dilaksanakan. Misalnya, biaya
Bab 6
Book 1.indb 233 26/09/2016 19:42:26
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah234
hidup, ekspor, harga, tingkat pengangguran, dan upah waktu tertentu dibanding dengan waktu sebelumnya.Atau dapat juga dipakai untuk membandingkan kecerdasan para mahasiswa dari tahun ke tahun. Pembuatan angka indeks bertujuan untuk mengukur secara kuantitatif terjadinya suatu perubahan dalam dua waktu yang berlainan. Ciri khas dari angka indeks adalah perhitungan rasio (pembagian), dimana hasil rasio tersebut selalu dikalikan dengan bilangan 100 untuk menunjukkan perubahan tersebut dalam persentase. Dengan demikian basis dari angka indeks selalu 100 (seratus). Dalam membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu yaitu diantaranya: a. Waktu Dasar (Base Period) yaitu waktu dimana suatu kejadian atau
peristiwa dipergunakan untuk dasar perbandingan. b. Waktu yang sedang berjalan (Current Period) yaitu waktu dimana suatu
kejadian atau peristiwa akan diperbandingkan terhadap kegiatan pada waktu dasar.
Ada beberapa masalah yang dihadapi dalam menghitung angka indeks, yaitu: a. Berkaitan dengan pemilihan sampel. b. Berkaitan dengan tahun dasar yang dipakai, dimana harus
mempertimbangkan periode waktu yang stabil dan paling akhir. c. Berkaitan dengan timbangan yang cocok. d. Berkaitan dengan perubahan kualitas.
6.2 Penyusunan Angka Indeks dan Pemilihan Tahun Dasar
Dalam penyusunan suatu angka indeks, terdapat beberapa urutan yang perlu dilakukan, yaitu: 1. Perumusan tujuan penyusunan angka indeks Penyusunan angka indeks bertujuan mengukur segala perubahan atau
untuk membandingkan perubahan antara variabel ekonomi dengan sosial. Dalam menyusun angka indeks perlu dirumuskan tentang apa yang diukur, bagaimana cara mengukur, dan untuk apa pengukuran tersebut dilakukan.
Book 1.indb 234 26/09/2016 19:42:26
235Bab 6 Angka Indeks
2. Sumber dan syarat perbandingan data Sumber data yang digunakan sebaiknya sama, karena setiap sumber
data memiliki teknis dan cara pengambilan data yang berbeda sehingga menghasilkan data yang berbeda pula.
3. Pemilihan tahun dasar Periode dasar atau tahun dasar adalah tahun yang dipakai sebagai dasar
perhitungan dan tahun yang memiliki angka indeks 100.
Beberapa syarat yang perlu diperhatikan dalam memilih tahun dasar yaitu:a. Waktu sebaiknya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil,
dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali.b. Waktu sebaiknya usahakan paling lama 10 tahun atau lebih baik
kurang dari 5 tahun.c. Waktu dimana terjadi peristiwa penting.d. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan pertimbangan, hal ini
tergantung pada tersedianya biaya untuk pengumpulan data. 4. Pemilihan metode perhitungan Seacara garis besar ada dua macam metode perhitungan, yaitu metode tidak
tertimbang dan tertimbang. Metode tidak tertimbang tidak menggunakan faktor penimbang, sedangkan metode tertimbang menggunakan faktor penimbang. Faktor penimbang adalah faktor yang digunakan untuk membedakan pentingnya suatu barang terhadap barang-barang lain.
Kesulitan utama dalam penyusunan angka indeks adalah memilih komponen yang termasuk sekumpulan variabel yang akan dipertimbangkan. Misalnya indeks bahan makanan ; pilihlah jenis bahan makanan yang sering digunakan oleh masyarakat umum, akan tetapi pemilihan jenis barang harus representatif. Cara ini disebut Judgment Sampling.
6.3 Peranan Angka Indeks dalam Ekonomi
Peranan angka indeks dalam ekonomi yaitu diantaranya: 1. Dapat dijadikan standar atau pedoman untuk melakukan perbandingan
dari periode ke periode lainnya.
Book 1.indb 235 26/09/2016 19:42:26
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah236
2. Indeks harga merupakan petunjuk yang dapat digunakan untuk mengukur pertumbuhan ekonomi secara umum.
3. Indeks harga dalam perdagangan besar dapat memberikan gambaran dalam perdagangan.
4. Indeks harga konsumen dan indeks biaya hidup dapat digunakan sebagai dasar penetapan gaji, termasuk dasar untuk mengubahnya.
5. Indeks harga yang dibayar atau diterima petani dapat menggambarkan apakah petani itu semakin makmur atau sebaliknya.
6.4 Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweighted Index)
Metode angka indeks tidak tertimbang digunakan untuk mengetahui perkembangan suatu harga, yaitu terfokus hanya pada harga dan tidak mempertimbangkan kuantitasnya. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut:
6.4.1 Indeks Relatif Harga Sederhana (Simple Relatif Price Index)
Indeks yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun indeks harga disebut indeks relatif harga sederhana. Perbandingan dari suatu harga barang pada waktu tertentu terhadap waktu sebelumnya (waktu dasar). Jika harga barang pada waktu tertentu (waktu sedang berjalan) dilambangkan dengan Pn dan harga pada waktu dasar dilambangkan dengan Po, maka indeks relatif harga (In,o) dirumuskan sebagai berikut: Rumus:
I PPn o
n
o. %= ×100
Keterangan:I = indeks Relatif Harga Sedern.o hhanaP = harga masing-masing barang pada waktu berjalanP
n
oo = harga masing-masing barang pada waktu dasar
Keterangan:In,o = Indeks Relatif Harga SederhanaPn = harga masing-masing barang pada waktu berjalanPo = harga masing-masing barang pada waktu dasar
Book 1.indb 236 26/09/2016 19:42:26
237Bab 6 Angka Indeks
Contoh 6.1Harga ciki-coki pada tahun 2000 adalah Rp. 300,00 dan pada tahun 2005 adalah Rp. 500,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2005 sebagai tahun berjalan. Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!
Penyelesaian:
IPP
n
o20052000
100
500300
100
166 67
= ×
= ×
=
%
%
, %
Angka indeks sederhana relatif harga tersebut menunjukkan bahwa pada tahun 2005 harga coki-coki tersebut adalah 166,67% dari harga pada tahun 2000, yaitu mengalami kenaikan sebesar 66,67%.
Contoh 6.2Harga beras dari ketiga daerah pada tahun 2002, 2004, dan 2007 disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel 6.1Harga Beras dari 3 Daerah
Nama Daerah 2002 2004 2007Beras Padang 3500 4500 6000Beras Bandung 4000 5500 6500Beras Surabaya 3000 5000 5500
Tentukan indeks relatif harga pada tahun 2004 dan 2007 dengan memakai tahun dasar 2002!
Penyelesaian:Indeks relatif harga beras Padang:
Book 1.indb 237 26/09/2016 19:42:27
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah238
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Indeks relatif harga beras Bandung:
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Indeks relatif harga beras Surabaya:
IPP
IPP
n
o
n
o
20042002
20072002
100
45003500
100
128 57
10
= ×
= ×
=
= ×
%
%
, %
00
60003500
100
171 43
100
55004000
100
20042002
%
%
, %
%
%
= ×
=
= ×
= ×
IPP
n
o
==
= ×
= ×
=
=
137 5
100
65004000
100
162 5
20072002
20042002
, %
%
%
, %
IPP
I
n
o
PPP
IPP
n
o
n
o
×
= ×
=
= ×
=
100
50003000
100
166 67
100
550040
20072002
%
%
, %
%
000100
137 5
×
=
%
, %
Book 1.indb 238 26/09/2016 19:42:27
239Bab 6 Angka Indeks
6.4.2 Indeks Harga Agregatif Sederhana (Tidak Tertimbang)
Indeks agregatif tidak tertimbang digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini diperoleh dengan cara membagi hasil penjumlahan harga pada waktu yang bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. Indeks harga agregatif sederhana membandingkan jumlah semua harga barang pada tahun berjalan untuk tiap tahun dasar. Persamaan angka indeks agregatif sederhana (tidak tertimbang) ditentukan sebagai berikut:
IP
PHAn
o
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHA = Indeks Harga Agregatif∑ Pn = Jumlah semua harga barang pada tahun berjalan.∑ Po = Jumlah semua harga barang pada tahun dasar.
Kelebihan dari indeks agregatif ini adalah cara perhitungannya lebih mudah dipahami dan dipakai. Sedangkan kekurangannya dari indeks agregatif adalah sebagai berikut: 1. Indeks ini tidak memperhatikan arti penting secara relatif dari berbagai
komoditi, sebab semua harga komoditi diberi bobot (timbangan) yang sama atau mempunyai arti penting yang sama.
2. Indeks ini peka terhadap satuan dalam pencatatan harga seperti liter, gram, dan sebagainya.
Contoh 6.3PT Kasih membeli lima jenis kebutuhan pokok pada tahun 2000 dan 2005, ditampilkan dalam tabel berikut ini:
Book 1.indb 239 26/09/2016 19:42:27
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah240
Tabel 6.2Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2000 dan 2005
Jenis Kebutuhan PokokHarga
2000 2005
Roti 5000 7500Tepung 3000 6000Beras 4500 8000Minyak 4000 8000Susu 5000 10000
Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan pokok!
Penyelesaian: ∑Pn = 7500 + 6000 + 8000 + 8000 + 10000 = 39500 ∑P0 = 5000 + 3000 + 4500 + 4000 + 5000 = 21500
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Kasih adalah:
P
Pn
o
= + + + + =
= + + +
∑∑
7500 6000 8000 8000 10000 39500
5000 3000 4500 4000++ =
×
= ×
=
∑∑
5000 21500
100
3950021500
100
183 72
I =HA
P
Pn
o
%
%
, %
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan pokok pada tahun 2005 mengalami kenaikan 83,72 dibandingkan tahun 2000.
Contoh 6.4PT. Jaya Agung membeli beberapa jenis bahan bangunan pada tahun 2003 dan 2008. Jenis bahan dan harganya ditampilkan pada tabel berikut ini:
Book 1.indb 240 26/09/2016 19:42:28
241Bab 6 Angka Indeks
Tabel 6.3Jenis-Jenis Bahan Bangunan Tahun 2003 dan 2008
Jenis BahanHarga
2003 2008Semen 7500 17500Kayu 11000 18000Besi 15500 24000Paku 5000 8000
Tentukan indeks harga agregatif sederhana!
Penyelesaian: ∑Pn = 17500+18000+24000+8000 = 67500 ∑Po = 7500+11000+15500+5000 = 39000
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana adalah:
Penyelesaian:
P
Pn
o
= + + + =
= +
∑∑
17500 18000 24000 8000 67500
7500 110000 15500 5000 39000+ + =
Jadi, angka indeks harga agregatif sederrhana adalah:
I =HA
PP
n
o
∑∑
×
= ×
=
100
6750039000
100
173 08
%
%
, %
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga 4 jenis-jenis bahan bangunan pada tahun 2008 mengalami kenaikan 73,08 dibandingkan tahun 2003.
6.4.3 Indeks Rata-Rata Relatif Harga Sederhana
Dengan perhitungan indeks rata-rata relatif harga terdapat beberapa kemungkinan bergantung pada prosedur yang dipakai untuk menentukan rata-rata relatif harga, seperti rata-rata hitung, rata-rata harmonis, rata-rata ukur, median dan sebagainya. Bila yang dipakai konsep rata-rata hitung, maka persamaan indeks rata-rata relatif harga sederhana ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
Book 1.indb 241 26/09/2016 19:42:28
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah242
I
PP
nRH
n
o=
×
∑100%
Keterangan:IRH = Indeks Rata–Rata Relatif Harga
I
PP
nRH
n
o=
×
∑100%
= jumlah semua relatif harga barangn = banyaknya jenis barang
Contoh 6.5Tentukan indeks relatif harga sederhana PT Indra dari jenis kebutuhan pokok pada tahun 2002 dan 2006 sebagai berikut:
Tabel 6.4Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Pokok Tahun 2002 dan 2006
Jenis Kebutuhan PokokHarga
2002 (Po) 2006 (Pn)Tepung 5000 7500Roti 4500 6500Beras 6000 7500Susu 5000 8500Jumlah 20500 30000
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 6.5Perhitungan
Jenis Kebutuhan Pokok
Harga Relatif Harga
Indeks Relatif Harga
2002 (Po)
2006 (Pn)
Tepung 5000 7500 1,50 150%Roti 4500 6500 1,44 144%Beras 6000 7500 1,25 125%Susu 5000 8500 1,70 171%
Jumlah 590%
Book 1.indb 242 26/09/2016 19:42:28
243Bab 6 Angka Indeks
Dari tabel di atas diperoleh
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
590
100
5904
147 5
%
%
%
, %
Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
590
100
5904
147 5
%
%
%
, %
Contoh 6.6Tentukan indeks relatif harga sederhana PT. Indo dari jenis bahan yang dibutuhkan untuk perhitungan tahun 2003 dan 2006 pada tabel berikut ini:
Tabel 6.6Jenis-Jenis Bahan
Tahun 2003 dan 2006
Jenis bahanHarga
2003 (Po) 2006 (Pn)Kabel 3500 5000Buster 4000 7000Lampu 5500 8000Senter 6500 9000Stop Kontak 4500 7500Jumlah 24000 36500
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 243 26/09/2016 19:42:28
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah244
Tabel 6.7Perhitungan
Jenis bahanHarga Relatif harga
Indeks Relatif Harga2003 (Po) 2006 (Pn)
Kabel 3500 5000 1,43 143%Buster 4000 7000 1,75 175%Lampu 5500 8000 1,45 145%Senter 6500 9000 1,38 138%Stop Kontak 4500 7500 1,67 167%
Jumlah 768%
Dari tabel di atas diperoleh:
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
768
100
7685
153 6
%
%
%
, %
Jadi, jenis rata – rata relatif harga dari PT. Indo adalah:
PP
I
PP
n
n
o
RH
n
o
∑
∑
=
=
×
=
=
768
100
7685
153 6
%
%
%
, %
6.5 Indeks Harga Tertimbang (Weighted Index)
Angka indeks yang mencerminkan pentingnya suatu angka penimbang (bobot atau weight) terhadap angka-angka lainnya, sedangkan pemberian bobot angka penimbang tersebut ditentukan berdasarkan pentingnya barang tersebut secara subyektif disebut indeks harga tertimbang. Terkait dengan indeks tertimbang, disamping menggunakan angka penimbang secara subyektif dapat juga memperhatikan kuantitas atau jumlah barang sebagai pengganti angka penimbang tersebut, sehingga sering disebut dengan Indeks Kuantitas. Dalam menghitung indeks kuantitas tersebut variabel yang sangat penting untuk menjadi pertimbangan adalah kuantitas dari masing-masing barang.
Book 1.indb 244 26/09/2016 19:42:29
245Bab 6 Angka Indeks
6.5.1 Indeks Harga Agregatif Tertimbang
Indeks yang dalam pembuatan telah dipertimbangkan faktor-faktor yang akan mempengaruhi naik turunnya angka indeks disebut indeks agregatif tertimbang. Kelemahannya dari indeks agregatif tertimbang adalah sebagai berikut; 1. Satuan untuk unit harga barang sangat mempengaruhi angka indeks. 2. Tidak memperhitungkan kepentingan relatif (relatif importance) barang-
barang yang tercangkup dalam pembuatan indeks.
Sebelumnya telah dijelaskan indeks agregatif sederhana atau tidak tertimbang menganggap bahwa perubahan harga masing-masing barang mempunyai peranan yang sama terhadap perubahan harga secara keseluruhan, yang dipakai hanya harga-harga barang tanpa mempertimbangkan kuantitas yang dihasilkan atau yang diproduksi. Oleh karena itu, angka indeks agregatif tidak tertimbang dianggap tidak memuaskan, sehingga jarang sekali digunakannya atau dipakai. Untuk menanggulangi kekurangan dari indeks harga agregatif tak tertimbang, maka kita perlu memberikan bobot atau timbangan pada harga masing-masing barang dengan memakai faktor yang sesuai, yaitu kuantitas atau volume dari komoditi yang dihasilkan selama waktu dasar dan waktu berjalan. Kuantitas yang dipakai dapat berupa nilai tengah dari komoditi selama beberapa waktu. Bobot atau timbangan yang menunjukkan arti penting dari masing-masing komoditi.
6.5.2 Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres
Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu dasar sebagai timbangan (bobot) disebut Indeks harga tertimbang Laspeyres. Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres ditentukan sebagai berikut:
IP Q
P QHLn o
o o
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHL = Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres.Pn = harga pada waktu berjalan
Book 1.indb 245 26/09/2016 19:42:29
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah246
Po = harga pada waktu dasarQo = kuantitas pada waktu dasar
6.5.3 Indeks Harga Agregatif Tertimbang Paasche
Indeks harga agregatif tertimbang yang memakai kuantitas pada waktu berjalan sebagai timbangan (bobot) disebut indeks harga agregatif tertimbang Paasche. Persamaan indeks harga agregatif tertimbang Paasche ditentukan sebagai berikut:
IP QP QHP
n n
o n
= ×∑∑
100%
Keterangan:IHP = indeks harga agregatif tertimbang PaaschePn = harga pada waktu berjalanPo = harga pada waktu dasarQn = kuantitas pada waktu berjalanQo = kuantitas pada waktu dasar
Contoh Perhitungan indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres dan Harga Agregatif Tertimbang Paasche diberikan dalam contoh sebagai berikut.
Contoh 6.7Berikut ini PT. Citra membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2005 dan 2007 sebagai berikut:
Tabel 6.8Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra
Jenis bahanHarga Jumlah Pembelian
2005 2007 2005 2007Plastik 3,5 6,5 2,0 5,0Karet 2,5 5,5 3,5 6,5Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0Map 4,5 8,0 5,0 6,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5
Book 1.indb 246 26/09/2016 19:42:29
247Bab 6 Angka Indeks
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut ini:
Tabel 6.9Perhitungan
Jenis BahanHarga Jumlah Pembelian
Po Qo Pn Qo Po Qn Pn Qn2005 2007 2005 2007Po Pn Qo Qn
Plastik 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,5 32,5Karet 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16.25 35,75Kertas 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,0 45,50Map 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,0 48,0Tinta 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,5Jumlah 87,5 160,0 128,5 238,25
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o o
n n
HLn o
o o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
87 5
160 0
128 5
238 25
,
,
,
,
∑∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
16087 5
100
182 86
100
238 25128
%
,%
, %
%
,,
IP QP QHP
n n
o o
550100
185 41
×
=
%
, %
Book 1.indb 247 26/09/2016 19:42:30
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah248
Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari lima bahan di atas pada tahun 2007 sebesar 82.86 %, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan lima bahan tersebut pada tahun 2007 sebesar 85.41% dibanding tahun 2005.
Contoh 6.8Berikut ini PT. Ayu menyajikan tabel harga (dalam puluhan ribuan rupiah) dan jenis perlengkapan yang dibutuhkan oleh perusahaan:
Tabel 6.10Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan PT. Ayu Tahun 2000 dan 2005
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah Pembelian2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
Tentukanlah nilai indeks harga agregatif tertimbang dengan menggunakan cara Laspeyres dan Paasche!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 6.11Perhitungan
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah PembelianPo Qo Pn Qo Po Qn Pn Qn2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,0 9,75 5,0 16,25Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 6,25 11,25 8,75 15,75Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 3,5 5,5 14,0 22,00Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,0 9,0 8,75 15,75Jumlah 17,75 35,5 36,5 69,75
Book 1.indb 248 26/09/2016 19:42:30
249Bab 6 Angka Indeks
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP
o o
n o
o o
n n
HLn o
o
∑∑∑∑
∑
=
=
=
=
=
17 75
35 5
36 5
69 75
,
,
,
,
IP QP Q
o
HPn n
o n
∑
∑∑
×
= ×
=
= ×
=
100
35 517 75
100
200
100
69 7536 5
%
,,
%
%
%
,, 00
100
191 09
×
=
%
, %
Terlihat bahwa indeks harga agregatif tertimbang yang dihitung dengan rumus Laspeyres dan Paasche ternyata hampir sama. Dengan angka indeks harga Laspeyres, bila jumlah pembelian pada tahun dasar dipakai sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan dari empat jenis perlengkapan di atas pada tahun 2000 sebesar 100%, sedangkan indeks harga Paasche dengan memakai jumlah pembelian pada tahun berjalan sebagai timbangan, maka diperoleh kenaikan harga secara keseluruhan empat jenis perlengkapan tersebut pada tahun 2005 sebesar 91,09% dibanding tahun 2000.
Book 1.indb 249 26/09/2016 19:42:30
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah250
Perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Paasche sebagai berikut: 1. Perubahan angka indeks harga yang diperoleh dengan rumus Paasche
tidak hanya disebabkan oleh perubahan harga, karena timbangan dari tahun ke tahun akan berubah-ubah.
2. Perhitungan angka indeks harga dengan rumus Paasche membutuhkan waktu dan tenaga lebih banyak untuk mengumpulkan data mengenai timbangan yang dipakai. Metode Paasche memberikan keuntungan yang penting karena memakai timbangan yang up to date.
Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan indeks harga agregatif tertimbang Paasche mempunyai keunggulan dan kelemahan masing-masing. 1. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres Keunggulan dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres yaitu data
kuantitas yang diperlukan hanya dari periode yang ditentukan. Dengan demikian kita dapat membandingkan yang lebih bermakna seiring waktu, perubahan pada indeks dapat dihubungkan dengan perubahan harga.
Sedangkan kelemahannya yaitu tidak merefleksikan perubahan-perubahan pola pembelian seiring dengan waktu. Selain itu, indeks Laspeyres mungkin memberikan terlalu banyak bobot untuk barang-barang yang meningkat harganya.
2. Indeks harga agregatif tertimbang Paasche Keunggulan dari indeks agregatif tertimbang Paasche yaitu karena
menggunakan kuantitas dari periode sekarang, indeks ini merefleksikan perilaku pembelian masa sekarang.
Sedangkan kelemahannya yaitu memerlukan data kuantitas dari tahun sekarang. Oleh karena itu, kuantitas yang digunakan berbeda-beda setiap tahunnya, tidak mungkin menghubungkan perubahan pada indeks dengan perubahan pada harga. Indeks ini cenderung memberikan terlalu banyak bobot pada barang-barang yang harganya turun. Untuk indeks ini, harga-harganya harus dihitung ulang setiap tahunnya.
Book 1.indb 250 26/09/2016 19:42:30
251Bab 6 Angka Indeks
6.5.4 Indeks Drobisch dan Indeks Fisher
6.5.4.1 Indeks Drobisch
Jika diantara indeks harga dengan rumus Laspeyres dan Paasche terdapat perbedaan atau selisih yang besar, kedua angka indeks harga yang diperoleh dari dua rumus tersebut dapat digabungkan menjadi satu angka indeks. Drobisch menggabungkan dua angka indeks tersebut dengan cara mengambil rata-rata hitung dari rumus Laspeyres dan Paasche.Persamaan angka indeks Drobisch ditentukan sebagai berikut:
I I IHD
HL HP=+2
Keterangan:IHD = nilai indeks DrobischIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche
Contoh 6.9Tentukanlah angka indeks menurut Drobisch dari data di bawah ini!
Tabel 6.12Harga dan Kuantitas yang dibeli PT.Citra
Jenis bahan Harga Jumlah Pembelian2005 2007 2005 2007
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 251 26/09/2016 19:42:30
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah252
Tabel 6.13Perhitungan
Jenis bahanHarga
Jumlah Pembelian
Po Qo Pn Qo Po Qn Pn Qn2005 2007 2005 2007
Po Pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,0 13,0 17,50 32,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 8,75 19,25 16,25 35,75TV 3,0 6,5 4,5 7,0 13,50 29,25 21,00 45,50LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 22,50 40,0 27,00 48,00Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 35,75 58,5 46,75 76,50Jumlah 87,5 160,0 128,50 238,25
Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh
IHL = 182,86% dan IHP = 185,41% Maka, indeks Drobisch adalah
I I
I I I
HL HP
HDHL HP
= =
=+
=+
=
182 86 285 41
2182 86 185 41
21
, % , %
, % , %
dan
884 135, %
Contoh 6.10Tentukan angka indeks Drobisch dari data di bawah ini!
Tabel 6.14Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah Pembelian2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
Book 1.indb 252 26/09/2016 19:42:31
253Bab 6 Angka Indeks
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut ini:
Tabel 6.15Perhitungan
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah PembelianPo Qo Pn Qo Po Qn Pn Qn2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2.0 6.5 1.5 2.5 3.0 9.75 5.00 16.25Tas 2.5 4.5 2.5 3.5 6.25 11.25 8.75 15.75Baju 3.5 5.5 1.0 4.0 3.50 5.50 14.00 22.00Sandal 2.5 4.5 2.0 3.5 5.0 9.00 8.75 15.75Jumlah 17.75 35.5 36.50 69.75
Dengan menggunakan tabel di atas, maka diperoleh
IHL = 200% dan IHP = 191,09%
Maka, indeks Drobisch adalah
I I
I I I
HL HP
HDHL HP
= =
=+
=+
=
200 191 09
2200 191 09
2195 545
% , %
% , %
,
dan
%%
6.5.4.2 Indeks Fisher
Indeks Fisher yaitu menggabungkan kedua indeks harga itu dengan mengambil rata-rata ukur dari rumus Laspeyres dan Paasche. Persamaan indeks Fisher ditentukan sebagai berikut:
I I IHF HL HP= ( )( )
Keterangan:IHF = nilai indeks FisherIHL = nilai indeks LaspeyresIHP = nilai indeks Paasche
Book 1.indb 253 26/09/2016 19:42:31
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah254
Contoh 6.11Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 182,86% dan indeks harga Paasche (IHP) = 185,41%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!
Penyelesaian:
I I IHF HL HD= ( )( )
= ( )( )
=
182 86 185 41184 13
, % , %, %
Contoh 6.12Diketahui indeks harga Laspeyres (IHL) = 200% dan indeks harga Paasche (IHP) = 191,09%. Tentukan angka indeks menurut Fisher!
Penyelesaian:
I I IHF HL HD= ( )( )
= ( )( )
=
200 191 09195 49
% , %, %
6.5.5 Indeks Harga Walsh dan Marshall–Edgeworth
Selain memakai rumus Drobisch dan Fisher penanggulangan perbedaan antara indeks harga Laspeyres dan Indeks harga Paasche juga dapat dilakukan dengan memakai rumus Walsh dan rumus Marshall – Edgeworth, sebagai berikut:
6.5.5.1 Indeks Harga Walsh
Rumus:
IP Q Q
P Q QHW
n o n
o o n
=( )
( )×
∑∑
100%
Keterangan : IHW = Indeks Harga Walsh Pn = harga pada waktu berjalan
Book 1.indb 254 26/09/2016 19:42:32
255Bab 6 Angka Indeks
Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar
6.5.5.2 Indeks Harga Marshall – Edgeworth
Rumus:
IP Q QP Q QHw
n o n
o o n
=+( )+( )
×∑∑
100%
Keterangan : IHME = Indeks Harga Marshall - Edgeworth Pn = harga pada waktu berjalan Po = harga pada waktu dasar Qn = kuantitas pada waktu berjalan Qo = kuantitas pada waktu dasar
Contoh 6.13Hitunglah angka indeks harga Walsh dan Marshall – Edgeworth dari data di bawah ini!
Tabel 6.16Penjualan Barang-Barang ElektronikTahun 2005 dan 2007 (dalam jutaan)
Barang Elektronik
Harga Jumlah Penjualan2005 2007 2005 2007
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5TV 3,0 6,5 4,5 7,0LCD 4,5 8,0 5,0 6,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 255 26/09/2016 19:42:32
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah256
Tabel 6.17Perhitungan dengan Cara Walsh
Barang Elektronik
Harga Jumlah PembelianQo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn
Qo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn
Qo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn2005 2007 2005 2007Po Pn Qo Qn
Lemari 3,5 6,5 2,0 5,0 3,16 11,06 20,54Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 22,75 56,875 125,125TV 3,0 6,5 4,5 7,0 31,50 94,50 204,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 30,0 135,0 240Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 55,25 303,875 497,25
Jumlah 601,31 1087,665
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
∑∑
∑∑
1087 66
601 31
10
,
,
00
1087 66601 31
100
180 89
%
,,
%
, %
= ×
=
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
∑∑
∑∑
1087 66
601 31
10
,
,
00
1087 66601 31
100
180 89
%
,,
%
, %
= ×
=Tabel 6.18
Perhitungan Indeks dengan CaraMarshall – Edgeworth
Barang Elektronik
Harga Jumlah PembelianQo+Qn Po(Qo+Qn) Pn(Qo+Qn)2005 2007 2005 2007
Po Pn Qo QnLemari 3,5 6,5 2,0 5,0 7,00 24,50 45,50Kulkas 2,5 5,5 3,5 6,5 10,0 25,0 55,0TV 3,0 6,5 4,5 7,0 11,50 34,50 74,75LCD 4,5 8,0 5,0 6,0 11,0 49,50 88,0Laptop 5,5 9,0 6,5 8,5 15,0 82,50 135,0Jumlah 54,5 216,0 398,3
Book 1.indb 256 26/09/2016 19:42:32
257Bab 6 Angka Indeks
Dari tabel di atas diperoleh:
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
×
∑∑
∑∑
398 3
216 0
,
,
1100
398 3216
100
184 39
%
, %
, %
= ×
=
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
×
∑∑
∑∑
398 3
216 0
,
,
1100
398 3216
100
184 39
%
, %
, %
= ×
=
Dari tabel contoh 6.9, contoh 6.11 dan contoh 6.13 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang diperoleh indeks yang sama, yaitu 184% (setelah dibulatkan).
Contoh 6.14Tentukan angka indeks Walsh dan Marshall - Edgeworth dari data di bawah ini!
Tabel 6.19Kebutuhan Perlengkapan Perusahaan Tahun 2000 dan 2005
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah Pembelian2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5Tas 2,5 4,5 2,5 3,5Baju 3,5 5,5 1,0 4,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 257 26/09/2016 19:42:33
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah258
Tabel 6.20Perhitungan Dengan Cara Walsh
Jenis Perlengkapan
HargaJumlah Pembelian
Qo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn
Qo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn
Qo.Qn
Qo.Qn
Qo.Qn
Po
Pn2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6,5 1,5 2,5 3,75 3,87 12,58Tas 2,5 4,5 2,5 3,5 8,75 7,39 13,31Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 4,0 7,0 11,0Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 7,0 6,61 11,9Jumlah 24,87 48,79
Dari tabel di atas diperoleh
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
n o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
=
∑∑
∑∑
48 79
24 87
100
,
,
%
448 7924 87
100
196 18
,,
%
, %
×
=
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
n o n
HWn o n
o o n
( ) =
( ) =
=( )( )
×
=
∑∑
∑∑
48 79
24 87
100
,
,
%
448 7924 87
100
196 18
,,
%
, %
×
=Tabel 6.21
Perhitungan Dengan Cara Marshall – Edgeworth
Jenis Perlengkapan
Harga Jumlah PembelianQo+Qn Po(Qo+Qn) Pn(Qo+Qn)2000 2005 2000 2005
Po Pn Qo QnSepatu 2,0 6.5 1,5 2,5 4,0 8,0 26,0Tas 2.5 4,5 2,5 3,5 6,0 15,0 27,0Baju 3,5 5,5 1,0 4,0 5,0 17,5 27,5Sandal 2,5 4,5 2,0 3,5 5,5 13,75 24,75
Jumlah 54,25 105,25
Dari tabel di atas diperoleh
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
∑∑
∑∑
105 25
54 25
,
,
××
= ×
=
100
105 2554 25
100
194 12
%
,,
%
, %
Book 1.indb 258 26/09/2016 19:42:33
259Bab 6 Angka Indeks
Maka,
P Q Q
P Q Q
IP Q Q
P Q Q
n o n
o o n
HMEn o n
o o n
+( ) =
+( ) =
=+( )+( )
∑∑
∑∑
105 25
54 25
,
,
××
= ×
=
100
105 2554 25
100
194 12
%
,,
%
, %
Dari tabel contoh 6.10, contoh 6.12 dan contoh 6.14 dengan menggunakan rumus Drobisch, Fisher, Walsh, dan Marshall – Edgeworth ternyata hasil yang di peroleh indeks yang sama, yaitu 195% (setelah dibulatkan).
6.5.6 Indeks Rata-Rata Relatif Harga Tertimbang
Pada penghitungan indeks rata–rata dengan menggunakan indeks rata–rata sederhana memiliki kelemahan. Kelemahan indeks rata-rata sederhana yaitu tidak mempunyai kuatitas dari produksi dimana harga masing masing komoditi diberi bobot yang sama. Dalam mengatasi kelemahan digunakanlah indeks rata-rata relatif harga tertimbang. Dengan menggunakan cara ini, pada masing–masing harga diberi bobot sesuai nilai total dari komoditi yang dinyatakan dalam satuan moneter seperti rupiah. Oleh karena itu, nilai dari suatu komoditi diperoleh dengan mengalikan harga (P) dari komoditi dengan kuantitas (Q), maka timbangannya ditentukan oleh (P x Q). Pada indeks rata–rata relatif harga tertimbang ada tiga (3) rumus untuk menghitung rata–rata yang tergantung pada nilai (P x Q) pada tahun dasar, tahun berjalan atau pada waktu tertentu (t), yaitu berturut–turut adalah PoQo, PnQn atau PtQt sebagai berikut: 1. Indeks rata – rata relatif harga tertimbang PoQo adalah: Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
Book 1.indb 259 26/09/2016 19:42:33
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah260
2. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbangan PnQn adalah Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
3. Indeks rata – rata relatif harga dengan tertimbang PtQt adalah Rumus:
I
PP
P Q
P QP QP Q
I
RHT
n
oo o
o o
n o
o o
RHT
=
( )
× = ×∑
∑∑∑
100 100% %
==
( )
×
=
∑
∑
∑
PP
P Q
P Q
I
PP
P
n
on n
n n
RHT
n
o
100%
tt t
t t
Q
P Q
( )×
∑100%
Contoh 6.15Hitunglah indeks rata-rata hitung tertimbang PnQn dari data harga dan jumlah pembelian dari empat jenis dari PT. Asia pada tahun 2001 dan 2006 (dalam ribuan)!
Tabel 6.22Harga dan Jumlah Pembelian 4 Jenis Bahan Tahun 2001 dan 2006
Jenis Bahan
Harga Jumlah Pembelian
2001 (Po)
2006 (Pn)
2001 (Qo)
2006 (Qn)
Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3Garam 2,2 4,6 1,5 4,4Susu 3,4 5,6 2,7 4,7Gula 4,2 6,8 3,1 5,0
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut:
Book 1.indb 260 26/09/2016 19:42:34
261Bab 6 Angka Indeks
Tabel 6.23Perhitungan
Jenis Bahan
Harga Jumlah PembelianPn Pn Qn
Pn (Pn Qn)2001 (Po)
2006 (Pn)
2001 (Qo)
2006 (Qn)
Po Po
Tepung 2,5 3,6 2,1 4,3 1,44 15,48 22,29Garam 2,2 4,6 1,5 4,4 2,09 20,24 42,32Susu 3,4 5,6 2,7 4,7 1,65 26,32 43,35Gula 4,2 6,8 3,1 5,0 1,62 34,00 55,05Jumlah 96,04 163,01
Dari tabel di atas diperoleh
PP
P Q
P Q
I
PP
n
on n
n n
RHT
n
o
( )=
=
=
∑
∑
163 01
96 04
,
,
( )×
= ×
=
∑
∑
P Q
P Q
n n
n
100
163 0196 04
100
169 82
%
,,
%
, %
Maka,
PP
P Q
P Q
I
PP
n
on n
n n
RHT
n
o
( )=
=
=
∑
∑
163 01
96 04
,
,
( )×
= ×
=
∑
∑
P Q
P Q
n n
n
100
163 0196 04
100
169 82
%
,,
%
, %
6.6 Indeks Berantai
Untuk data berkala, angka indeks dapat dibuat dengan melakukan perubahan secara berurutan dari waktu dasarnya, misalnya dalam satu tahun, dua tahun, atau lebih. Susunan keseluruhan angka indeks bisa diperoleh dengan cara ini disebut indeks berantai. Untuk indeks harga berantai yang sederhana dirumuskan sebagai berikut:
I PPn n
n
n. %−
−
= ×11
100
Book 1.indb 261 26/09/2016 19:42:34
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah262
Keterangan:In, n-1 = Indeks BerantaiPn = harga pada tahun berjalanPn-1 = harga pada tahun dasar
Contoh 6.16Data harga perdagangan besar suatu komoditi dari indikator ekonomi, Biro Pusat Statistik, tahun 1990 sampai 1995 adalah sebagai berikut:
Tabel 6.24Harga Perdagangan Tahun 1990 – 1995
Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Harga/kg 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Tentukan indeks berantai dari data tersebut!
Penyelesaian:
Tahun dasar 1990: I = 20001500
Tahun d
1991/1990 × =100 133 33% , %
aasar 1991: I = 25002000
Tahun dasar 1992
1992/1991 × =100 125% %
:: I = 30002500
Tahun dasar 1993: I
1993/1992
1994/1
× =100 120% %
9993
1995/1994
= 35003000
Tahun dasar 1994: I = 4
× =100 116 67% , %
00003500
× =100 114 29% , %
6.7 Rangkuman
Angka indeks sangat dibutuhkan bagi orang yang melakukan kegiatan (terutama kegiatan perdagangan), karena dengan angka indeks itu, suatu perusahaan dapat mengetahui kenaikan dan penurunan penjualan yang terjadi. Indeks Harga Tidak Tertimbang (Unweight Index) terbagi menjadi tiga macam yaitu sebagai berikut:
Book 1.indb 262 26/09/2016 19:42:34
263Bab 6 Angka Indeks
a. Indeks relatif harga merupakan perbandingan dari suatu harga barang pada waktu tertentu terhadap waktu dasar.
b. Indeks harga agregatif sederhana (tidak tertimbang) merupakan perbandingan keseluruhan harga pada tahun berjalan terhadap keseluruhan harga barang pada waktu tahun dasar.
c. Indeks rata-rata relatif harga Indeks Harga Tertimbang (Weight Index) terdiri dari:
a. Indeks Harga Agregatif Tertimbang1. Indeks Harga Agregatif Tertimbang Laspeyres2. Indeks Harga Agregatif Tetimbang Paasche3. Indeks Drobish dan Indeks Fisher4. Indeks Rata-Rata Relatif Harga Tertimbang5. Indeks Harga Walsh dan Marshall – Edgeworth
b. Indeks Berantai
6.8 Latihan Soal
6.8.1 Harga terigu pada tahun 2004 adalah Rp. 3200,00 dan pada tahun 2009 adalah Rp. 6000,00 dalam hal ini tahun 2000 sebagai tahun dasar dan tahun 2004 sebagai tahun berjalan.
Tentukanlah indeks relatif harga sederhana!
6.8.2 PT Suka-Suka membeli lima jenis kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2002 dan 2007, ditampilkan dalam tabel berikut ini:
Tabel 6.25Kebutuhan Alat-Alat Kantor
Tahun 2002 dan 2007
Jenis Kebutuhan PokokHarga
2002 2007
Buku 10000 14000Bolpoin 25000 40000Map 10000 13500Tipe-X 4000 7500Tinta Print 20000 35000
Book 1.indb 263 26/09/2016 19:42:34
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah264
Tentukanlah indeks harga agregatif sederhana dari lima jenis kebutuhan alat-alat kantor!
6.8.3 Tentukan indeks relatif harga sederhana PMI dari jenis kebutuhan medis pada tahun 2005 dan 2009 sebagai berikut:
Tabel 6.26Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009
Jenis Kebutuhan MedisHarga
2005 (Po) 2009 (Pn)Kayu Putih 8000 12500Betadine 4500 7000Alkohol 10000 15000Perban 7500 11000Jumlah 21000 45500
6.8.4 Berikut ini PT. Angkasa membeli persediaan barang yang disajikan pada tabel harga (dalam ribuan rupiah) dan banyaknya kebutuhan pada tahun 2006 dan 2010 sebagai berikut:
Tabel 6.27Harga dan Kuantitas Persediaan Barang yang dibeli PT. Angkasa
Jenis bahanHarga Jumlah Pembelian
2006 2010 2005 2007Mentega 7,0 15,0 2,5 5,3Telur 7,5 11,0 4,0 7,4Terigu 4,8 6,0 4.5 6,5Coklat 5,5 8.0 5.0 6,8
Tentukanlah:a. Indeks Laspeyres dan Paascheb. Indeks Drobisch dan Fisher
Book 1.indb 264 26/09/2016 19:42:34
265Bab 6 Angka Indeks
6.9 Jawaban Latihan Soal
6.9.1 Penyelesaian:
I = P2009/2004
n
Po
×
= ×
=
100
500300
100
166 67
%
%
, %
6.9.2 Penyelesaian: ∑Pn = 14000+40000+13500+7500+35000 = 110000 ∑P0 = 10000+25000+10000+4000+20000 = 69000
Jadi, angka indeks harga agregatif sederhana dari PT Suka-Suka adalah:
P
Pn
o
= + + + + =
= + +
∑∑
14000 40000 13500 7500 35000 110000
10000 25000 100000 4000 20000 69000
100
11000069000
100
159 4
+ + =
= ×
= ×
=
∑∑
IPPHA
n
o
%
%
, 22%
Jadi, secara agregat (keseluruhan) harga lima kebutuhan alat-alat kantor pada tahun 2007 mengalami kenaikan 59,42 dibandingkan tahun 2002.
6.9.3 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:Tabel 6.28
Jenis Kebutuhan-Kebutuhan Medis Tahun 2005 dan 2009
Jenis Kebutuhan Medis
Harga Relatif harga
Indeks Relatif Harga2005 (Po) 2009 (Pn)
Kayu Putih 8000 12500 1,56 156%Betadine 4500 7000 1,55 155%Alkohol 10000 15000 1,50 150%Perban 7500 11000 1,46 146%Jumlah 21000 45500 5,89 590%
Book 1.indb 265 26/09/2016 19:42:35
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah266
Jadi, indeks rata-rata relatif harga dari PT Indra adalah
I
PP
nRH
n
o=
×
=
=
∑100
6074
151 75
%
%
, %
6.9.4 Penyelesaian: Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel sebagai berikut
ini:
Tabel 6.29Perhitungan
Jenis bahan
Harga Jumlah Pembelian
Po Qo Pn Qo Po Qn Pn Qn2006 2010 2006 2010
Po Pn Qo QnMentega 7,0 15,0 2,5 5,3 17,5 37,5 37,1 79,5Telur 7,5 11,0 4,0 7,4 30,0 44,0 55,5 81,4Terigu 4,8 6,0 4,5 6,5 21,6 27,0 31,2 39,0Coklat 5,5 8,0 5,0 6,8 27,5 40,0 37,4 54,4Jumlah 96,6 148,5 161,2 254,3
Dari tabel di atas diperoleh
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
254 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 157 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HL(( )( )
= ( )( )
=
IHP
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Book 1.indb 266 26/09/2016 19:42:35
267Bab 6 Angka Indeks
Maka hasil yang diperoleh dari indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres dan Paasche sebagai berikut:a. Indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
254 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 157 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HL(( )( )
= ( )( )
=
IHP
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Indeks harga agregatif tertimbang Paasche:
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
254 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 157 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HL(( )( )
= ( )( )
=
IHP
153 72 157 75155 72
, % , %, %
b. Indeks Drobisch adalah
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
254 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 157 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HL(( )( )
= ( )( )
=
IHP
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Indeks Fisher adalah
P Q
P Q
P Q
P Q
IP QP Q
o o
n o
o n
n n
HLn o
o o
=
=
=
=
= ×
∑∑∑∑
∑∑
96 6
148 5
161 2
254 3
,
,
,
,
1100
148 596 6
100
153 72
100
254 3161 2
%
,,
%
, %
%
,,
= ×
=
= ×
=
∑∑
IP QP QHP
n n
o n
××
=
=+
=+
=
=
100
157 75
2153 72 157 75
2155 73
%
, %
, % , %
, %
I I I
I I
HDHL HP
HF HL(( )( )
= ( )( )
=
IHP
153 72 157 75155 72
, % , %, %
Book 1.indb 267 26/09/2016 19:42:36
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah268
Book 1.indb 268 26/09/2016 19:42:36
269
REGRESI DAN KORELASI
Dalam kehidupan sehari-hari kita sudah sering menemukan kegiatan-kegiatan yang saling berhubungan satu sama lainnya. Kegiatan-kegiatan
itu tentunya membutuhkan analisis hubungan antara kegiatan-kegiatan tersebut. Pada bab ini yang akan dipelajari yaitu hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel yang disebut regresi dan korelasi.
7.1 Pengertian Regresi dan Korelasi
Regresi dan korelasi digunakan untuk mempelajari pola dan mengukur hubungan statistik antara 2 atau lebih variabel. Jika digunakan hanya 2 variabel disebut regresi dan korelasi sederhana. Sedangkan jika digunakan lebih dari 2 variabel disebut regresi dan korelasi berganda. Persamaan regresi dibentuk untuk menerangkan pola hubungan variabel-variabel. Variabel yang akan diduga disebut variabel terikat (tidak bebas), bisa dinyatakan dengan variabel Y. Variabel yang menerangkan perubahan variabel terikat disebut variabel bebas, bisa dinyatakan dengan variabel X.
7.2 Regresi dan Korelasi
Kegunaan Regresi Mengukur besar dan arah hubungan.
Bab 7
Book 1.indb 269 26/09/2016 19:42:36
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah270
Dipergunakan untuk pendugaan dan peramalan.Harus ditentukan mana variabel bebas dan variabel terikatnya.Bisa disajikan dalam bentuk gambar.
Kegunaan KorelasiMengukur derajat keeratan hubungan.Bukan untuk pendugaan dan peramalan.Tak perlu memilih variabel bebas dan terikatnya.Tidak bisa disajikan dalam bentuk gambar.
7.3 Analisa Regresi Sederhana
Garis lurus atau garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara variabel X dengan variabel Y disebut garis regresi atau korelasi. Dalam hal ini X disebut variabel bebas dan Y disebut variabel tak bebas. Persamaan garis regresi linear sederhana ditentukan sebagai berikut:
�Y a bX= +
Keterangan:�Y bX= +α = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas (Y)X = nilai-nilai variabel bebas a = intersep (pintasan) bilamana X = 0b = koefisien arah atau slope dari garis regresi
Dalam hal ini a dan b merupakan koefisien regresi Variabel bebas X sering disebut sebagai prediktor, yaitu variabel yang dipakai untuk memprediksi nilai Y, sedangkan variabel Y sering disebut sebagai variabel yang diprediksi Dalam hal ini, suatu kriteria bahwa persamaan regresi yang paling baik adalah regresi yang mempunyai total kuadrat selisih atau total
kuadrat eror S (Y – �Y bX= +α) yang paling minimum. Model populasi linear ini diduga
dengan metode kuadrat terkecil (Least Square Method). Persamaan regresi linear dengan metode kuadrat terkecil akan mempunyai total kuadrat eror minimum ditentukan sebagai berikut:
Book 1.indb 270 26/09/2016 19:42:36
271Bab 7 Regresi dan Korelasi
aY X X XY
n X X=
−
−( )∑∑ ∑∑∑ ∑
2
2 2
bXY X Y
n X X=
−
−( )∑ ∑∑
∑ ∑2 2
Persamaan regresi linier di atas di hitung secara terpisah. Selain dengan persamaan di atas bisa juga koefisien b dihitung pertama kali dan hasil yang diperoleh digunakan untuk menghitung koefisien a, persamaannya ditentukan sebagai berikut:
bXY X Y
n X X=
−
−( )∑ ∑∑
∑ ∑2 2
aY
nb
Xn
= −
∑ ∑
7.4 Pembuatan Analisa Regresi Sederhana
Setelah mengetahui persamaan analisa regresi sederhana, maka sekarang kita akan membuat analisa regresi sederhana dari hubungan-hubungan berikut ini: 1. Hubungan antara kecepatan beroperasi mesin cetak (X) dengan jumlah
kerusakan kertas (Y). 2. Hubungan antara besarnya pendapatan (X) dengan besarnya pengeluaran
(Y). 3. Hubungan antara biaya iklan (X) dengan volume penjualan (Y). 4. Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi atau
belanja (Y) dalam $.
Book 1.indb 271 26/09/2016 19:42:37
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah272
Contoh 7.1* Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
Tabel 7.1Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
Kecepatan mesin permenit (X)
Jumlah kerusakan kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
* Penyelesaian menggunakan SPSS di Bab9
Tentukan persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat terkecil!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.2Perhitungan
Kecepatan mesin permenit
(X)
Jumlah kerusakan kertas
(Y)XY X2 Y2
9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84
113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03
Book 1.indb 272 26/09/2016 19:42:37
273Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
== −
=
=
= −∑
8466 9613210 8
8229 6412814 24
237 32395 840 5995
,,
,,
,,
,
aY
nbb
Xn
n
∑
= −( )
= −=
72 7 0 5995 113 28
9 0875 6 483
, , ,
, ,00 6045,
Maka, nilai b yaitu:
X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
== −
=
=
= −∑
8466 9613210 8
8229 6412814 24
237 32395 840 5995
,,
,,
,,
,
aY
nbb
Xn
n
∑
= −( )
= −=
72 7 0 5995 113 28
9 0875 6 483
, , ,
, ,00 6045,
Maka, nilai a yaitu:
X
Y
XY
X
Y
n XY X Y
=
=
=
=
=
=−
∑∑∑∑∑
∑
113 2
72 7
1 058 37
1 651 26
688 03
2
2
,
,
. ,
. ,
,
b ∑∑∑∑ ∑−( )
=( )−( )( )
( )−( )
n X X2 2
2
8 1 058 37 113 2 72 78 1651 26 113 2. , , ,
, ,
== −
=
=
= −∑
8466 9613210 8
8229 6412814 24
237 32395 840 5995
,,
,,
,,
,
aY
nbb
Xn
n
∑
= −( )
= −=
72 7 0 5995 113 28
9 0875 6 483
, , ,
, ,00 6045,
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
�Y = 0,6045 + 0,5995X
Book 1.indb 273 26/09/2016 19:42:37
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah274
Contoh 7.2 Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
Tabel 7.3Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara
TahunBesar Pendapatan
(X)Besar Pengeluaran
(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.4Perhitungan
TahunBesar
Pendapatan (X)
Besar Pengeluaran
(Y)XY X2 Y2
2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61
Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23
Book 1.indb 274 26/09/2016 19:42:37
275Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
Maka, nilai b yaitu:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
Maka, nilai a yaitu:
X
Y
XY
X
=
=
=
=
∑∑∑∑
56 0
51 1
295 83
325 022
,
,
,
,
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2
270 23=
=−
−(
∑
∑∑∑∑ ∑
,
))
=( )−( )( )
( )−( )
=−
2
2
10 295 83 56 4 51 110 325 02 56 4
2958 3 2882
, , ,, ,
, , 0043250 3180 96
76 2669 241 10
51 110
−
=
=
= −
=
∑ ∑
,,,
,
,
aY
nb
Xn
−−
= −=
1 10 56 410
5 11 6 2041 094
, ,
, ,,-
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
�Y = –1,094 + 1,10 X
Book 1.indb 275 26/09/2016 19:42:38
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah276
Contoh 7.3Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
Tabel 7.5Data Antara Biaya Iklan dan Volume Penjualan Perusahaan
Jasa Eceran Produk Komputer
Biaya Iklan(jutaan rupiah)
X
Volume Penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.6Perhitungan
Biaya Iklan(jutaan rupiah)
X
Volume Penjualan(ribuan unit)
YX2 Y2 XY
3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144
42 91 280 1199 564
Book 1.indb 276 26/09/2016 19:42:38
277Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑
(( )−( )( )
( )−( )=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
Maka, nilai b yaitu:
=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑
(( )−( )( )
( )−( )=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
Maka, nilai a yaitu:
=
=
=
=
∑∑∑∑
42
280
564
912
Y
XY
X
b
Y
n XY X Y
n X X
2
2 2
1199
7 564
=
=−
−( )
=
∑
∑∑∑∑ ∑
(( )−( )( )
( )−( )=
= −
= −
∑ ∑
42 917 280 42
0 6429
917
0
2
,
,
aY
nb
Xn
6642 427
13 0 6429 613 3 85749 1426
= − ( )
= −=
,,
,
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu Y = 9,1426 + 0,6429X
Contoh 7.4Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
Book 1.indb 277 26/09/2016 19:42:38
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah278
Tabel 7.7Data Pendapatan dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
Pendapatan (X) Konsumsi (Y)8 6
10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Tentukan persamaan regresi linear dengan menggunakan metode kuadrat terkecil!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.8Perhitungan
Pendapatan (X)
Konsumsi (Y)
XY X2 Y2
8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024
294 266 6496 7084 5964
Book 1.indb 278 26/09/2016 19:42:38
279Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
Maka, nilai b yaitu:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
Maka, nilai a yaitu:
X
X
XY
Y
=
=
=
=
∑∑∑∑
294
7084
6496
266
2
b
Y
n XY X Y
2 5964=
=−
∑
∑∑∑nn X X
aY
n
∑ ∑
∑
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
= −
2 2
2
14 6496 294 26614 7084 294
0 958,
bbX
n∑
= −
= − ( )
= −
26614
0 958 29414
19 0 958 2119
,
,220 118
1 118,
,= -
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu
�Y = –1,118 + 0,958X
7.5 Analisa Korelasi Sederhana
Derajat hubungan antara variabel-variabel dikenal dengan analisa korelasi. Ukuran yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data kuantitatif yang disebut koefisien korelasi.
Book 1.indb 279 26/09/2016 19:42:39
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah280
Jika garis regresi yang terbaik untuk sekelompok data berbentuk linear, maka derajat hubungannya akan dinyatakan dengan r dan biasa disebut koefisien korelasi. Persamaan koefisien korelasi (r) ditentukan sebagai berikut:
rn XY X Y
n X X n Y Y=
−
−( ){ } −( ){ }∑∑∑
∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2
Data untuk melihat data korelasi sebagai berikut : < 0,2 : Sangat Longgar 0,2 – 0,4 : Longgar 0,4 - 0,7 : Moderat 0,7 – 0,9 : Erat 0,9 – 1 : Sangat Erat
Jika b positif maka r positif sedangkan jika b negatif maka r negatif, nilai r terletak dari -1 sampai +1 atau ditulis -1 < r <+1. Bila r mendekati +1 dan -1 maka terjadi korelasi tinggi dan terjadi hubungan linear yang sempurna antara X dan Y, bila r mendekati 0 hubungan linearnya sangat lemah atau tidak ada.
Contoh: r = -0,6 itu menunjukkan arah yang berlawanan, X↑ maka Y↓ atau X↓ maka Y↑. r = = 0,6 itu menunjukkan arah yang sama, X↑ maka Y↑ atau X↓ maka Y↓. r = 0 itu menunjukkan tidak ada hubungan linear antara X dan Y.
7.6 Koefisien Determinasi (r2)
Alat untuk mengukur tingkat kecocokan/kesempurnaan model regresi disebut koefisien determinasi (r2) misal r2 = 0,90 artinya nilai duga regresi yang kita peroleh memenuhi model yang kita kehendaki atau 90% (Sembilan puluh persen) nilai-nilai Y besarnya ditentukan oleh nilai-nilai variabel X yang dimasukkan dalam model, sedangkan 10% lagi ditentukan oleh variabel lain di luar model. Atau untuk menyatakan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai-nilai peubah X melalui hubungan linear tersebut. Koefisien determinasi ditulis r2 untuk regresi dua variabel dan nilainya antara 0 dan 1.
Book 1.indb 280 26/09/2016 19:42:39
281Bab 7 Regresi dan Korelasi
Contoh halnya r2 = 0,6 artinya 0,36 atau 36% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X atau besarnya sumbangan X terhadap naik turunnya Y adalah 36% sedangkan 64% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.5*Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
Tabel 7.9Data Kecepatan Mesin Per Menit Dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
Kecepatan mesin permenit (X)
Jumlah kerusakan kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
* Penyelesaian menggunakan SPSS di Bab 9
Tentukan koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.10Perhitungan
X Y XY X2 Y2
9,2 7,0 64,4 84,64 4912,2 8,0 97,6 148,84 6413,2 8,5 112,2 174,24 72,2514,2 6,7 95,14 201,64 44,8914,5 9,6 139,2 210,25 92,1615,8 9,2 145,36 249,64 84,6416,5 11,5 189,75 272,25 132,2517,6 12,2 214,72 309,76 148,84
113,2 72,7 1058,37 1651,26 688,03
Book 1.indb 281 26/09/2016 19:42:39
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah282
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
X=113,2
Y
XY
X = 1.651,26 2
∑∑
∑∑
=
=
72 7
1 058 37
,
. ,
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−(
2
2
688 03,
rn XY X Y
n X X)){ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−(
∑ ∑2 2 2
8 105 37 113 2 72 7
8 1651 26 113 2
n Y Y
, , ,
, , )){ } ( )−( ){ }
=−
−{
2 28 688 03 72 7
8466 96 8229 6413210 08 12814 24
, ,
, ,, , }} −{ }
=
=
=
5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17
237 3229
, ,,,,
,,
44 3960 81
,,=
Maka, koefisien korelasinya yaitu:
X=113,2
Y
XY
X = 1.651,26 2
∑∑
∑∑
=
=
72 7
1 058 37
,
. ,
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−(
2
2
688 03,
rn XY X Y
n X X)){ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−(
∑ ∑2 2 2
8 105 37 113 2 72 7
8 1651 26 113 2
n Y Y
, , ,
, , )){ } ( )−( ){ }
=−
−{
2 28 688 03 72 7
8466 96 8229 6413210 08 12814 24
, ,
, ,, , }} −{ }
=
=
=
5504 24 5285 293237 32294 396237 3286669 17
237 3229
, ,,,,
,,
44 3960 81
,,=
Dengan nilai koefisien relasinya 0,81 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara kecepatan mesin dengan jumlah kerusakan kertas. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r² = (0,806)² = 0,6496 = 64,96%
r2 = 0,81 artinya 0,6561 atau 65,61% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 64,96% sedangkan 34,39% disebabkan oleh faktor lain.
Book 1.indb 282 26/09/2016 19:42:39
283Bab 7 Regresi dan Korelasi
Contoh 7.6Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
Tabel 7.11Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara
TahunBesar Pendapatan
(X)Besar Pengeluaran
(Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukanlah nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.12Perhitungan
Tahun X Y XY X2 Y2
2000 5,2 4,2 21,84 27,04 17,642001 4,7 4,0 18,8 22,09 162002 5,0 4,1 20,5 25 16,812003 4,8 4,3 20,64 23,04 18,492004 5,4 5,0 27 29,16 252005 5,1 4,9 24,09 26,01 24,012006 5,8 5,7 33,06 33,64 32,492007 6,4 5,7 36,48 40,96 32,492008 6,8 6,3 42,84 46,24 39,692009 7,2 6,9 49,68 51,84 47,61
Jumlah 56,0 51,1 295,83 325,02 270,23
Book 1.indb 283 26/09/2016 19:42:40
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah284
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=56,0
Y
XY
X = 325,02 2
∑∑
∑∑
=
=
51 1
295 83
,
.
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−( ){
2
2
2 2
270 23,
rn XY X Y
n X X }} −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑ ∑n Y Y2 2
2
10 295 83 56 4 51 1
10 325 02 56 4
, , ,
, , 110 270 23 51 1
2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3
2, ,
, ,, , ,
( )−( ){ }
=−
−{ } −−{ }
=( )( )
=
=
2611 2176 26
69 24 91 0976 2679 420 96
,,
, ,,,
,
Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:
X=56,0
Y
XY
X = 325,02 2
∑∑
∑∑
=
=
51 1
295 83
,
.
Y∑
∑∑∑∑ ∑
=
=−
−( ){
2
2
2 2
270 23,
rn XY X Y
n X X }} −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
∑ ∑n Y Y2 2
2
10 295 83 56 4 51 1
10 325 02 56 4
, , ,
, , 110 270 23 51 1
2958 3 2882 043250 2 3180 96 2702 3
2, ,
, ,, , ,
( )−( ){ }
=−
−{ } −−{ }
=( )( )
=
=
2611 2176 26
69 24 91 0976 2679 420 96
,,
, ,,,
,
Dengan nilai koefisien relasinya 0,96 terletak antara 0,90 dan 1,0, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara besarnya pendapatan dengan besarnya pengeluaran. Maka, nilai koefisien determinasi yaitu:
r² = (0,96)² = 0,9216 = 92,16%
r2 = 0,96 artinya 0,9216 atau 92,16% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 92,16% sedangkan 7,84% disebabkan oleh faktor lain.
Book 1.indb 284 26/09/2016 19:42:40
285Bab 7 Regresi dan Korelasi
Contoh 7.7Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
Tabel 7.13Data Antara Biaya Iklan dan Volume Penjualan Perusahaan
Jasa Eceran Produk Komputer
Biaya Iklan(jutaan rupiah)
X
Volume Penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 7.14Perhitungan
X Y X2 Y2 XY3 12 9 144 364 11 16 121 445 13 25 169 656 12 36 144 727 13 49 169 918 14 64 196 1129 16 81 256 144
42 91 280 1199 564
Book 1.indb 285 26/09/2016 19:42:40
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah286
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
X=42
X 280
XY
Y= 91
2
∑∑∑
∑
=
= 564
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( ){ }=
( )−( )
2
2 2 2 2
1199
7 564 42
rn XY X Y
n X X n Y Y
991
7 280 42 7 1199 91
3948 38821960 1764 839
2 2
( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=−
−{ } 33 8281126
196 112126
148 20 85
−{ }
=( )( )
=
=,
,
Maka, nilai koefisien korelasi yaitu:
X=42
X 280
XY
Y= 91
2
∑∑∑
∑
=
= 564
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( ){ }=
( )−( )
2
2 2 2 2
1199
7 564 42
rn XY X Y
n X X n Y Y
991
7 280 42 7 1199 91
3948 38821960 1764 839
2 2
( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=−
−{ } 33 8281126
196 112126
148 20 85
−{ }
=( )( )
=
=,
,
Dengan nilai koefisien relasinya 0,85 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara biaya iklan dengan volume penjualan. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r2 = (0,85)2 = 0,7225 = 72,25%
Book 1.indb 286 26/09/2016 19:42:40
287Bab 7 Regresi dan Korelasi
r2 = 0,85 artinya 0,7225 atau 72,25% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 72,25% sedangkan 27,75% disebabkan oleh faktor lain.
Contoh 7.8Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
Tabel 7.15Data Pendapatan dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
Pendapatan (X)
Konsumsi (Y)
8 610 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Tentukan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasinya!
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Book 1.indb 287 26/09/2016 19:42:40
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah288
Tabel 7.16Perhitungan
(X) (Y) XY X2 Y2
8 6 48 64 3610 8 80 100 6412 10 120 144 10014 12 168 196 14416 14 224 256 19618 16 288 324 25620 18 360 400 32422 20 440 484 40024 22 528 576 48426 24 624 676 57628 26 728 784 67630 28 840 900 78432 30 960 1024 90034 32 1088 1156 1024
294 266 6496 7084 5964
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=294
X 7084
XY
Y= 266
2
∑∑∑
∑
=
= 6496
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( )
2
2 2 2
5964
rn XY X Y
n X X n Y Y22
2 2
14 6496 294 266
14 7084 294 14 5964 266
{ }=
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
==−
{ } { }
=
=
90944 7820412740 12740
12740127401 0,
Maka, nilai koefisien korelasinya yaitu:
X=294
X 7084
XY
Y= 266
2
∑∑∑
∑
=
= 6496
Y∑
∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑
=
=−
−( ){ } −( )
2
2 2 2
5964
rn XY X Y
n X X n Y Y22
2 2
14 6496 294 266
14 7084 294 14 5964 266
{ }=
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
==−
{ } { }
=
=
90944 7820412740 12740
12740127401 0,
Book 1.indb 288 26/09/2016 19:42:41
289Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dengan nilai koefisien relasinya 1,0, terletak antara 1,0 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang sangat kuat antara pendapatan dengan konsumsi. Maka, koefisien determinasinya yaitu:
r2 = (1,0)2 = 1 = 100%
r2 = 1,0 artinya 1 atau 100% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 100%.
7.7 Kesalahan Baku dari Penaksiran Y = a + bx
Penaksiran dengan persamaan regresi e Y Y2 2= −( )∑ ∑
� = a + bX memberi total kuadrat eror
sebesar:
e Y Y2 2= −( )∑ ∑
�
Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas
Persamaan regresi yang memberi total kuadrat eror merupakan total kuadrat kesalahan dari penaksiran e Y Y2 2
= −( )∑ ∑�
= a + bX terhadap nilai-nilai Y yang sebenarnya. Bila bentuk itu kita bagi dengan banyaknya data, yaitu n, maka kita peroleh rata-rata kesalahan baku, yaitu:
en
Y Y
n∑ ∑
=−( )2 2�
Keterangan: Σe2 = total kuadrat eror Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data
Book 1.indb 289 26/09/2016 19:42:41
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah290
Selanjutnya kita ambil akarnya maka diperoleh:
SY Y
ny x�
�
. =−( )∑
2
Keterangan: Sy.x = penaksiran kesalahan baku Y = variabel tak bebas Ŷ = nilai-nilai taksiran untuk variabel tak bebas n = banyaknya data
Persamaan terakhir ni merupakan kesalahan baku dari penaksiran (standard eror of estimate) ini oleh e Y Y2 2
= −( )∑ ∑�
= a + bX.
Contoh 7.9Data pada suatu pabrik kertas menunjukkan bahwa kebanyakannya kertas rusak ada hubungannya dengan kecepatan beroperasi mesin cetak.
Tabel 7.17Data Kecepatan Mesin Per Menit dan Jumlah Kerusakan Kertas (Lembaran)
Kecepatan Mesin Permenit (X)
Jumlah Kerusakan Kertas (Y)
9,2 7,012,2 8,013,2 8,514,2 6,714,5 9,615,8 9,216,5 11,517,6 12,2
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu e Y Y2 2
= −( )∑ ∑�
= 0,6045 + 0,5995X
Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah e Y Y2 2
= −( )∑ ∑�
= 0,6045 + 0,5995X, maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
Book 1.indb 290 26/09/2016 19:42:41
291Bab 7 Regresi dan Korelasi
X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12
(Y Y ) = (7,0 1
1 1
�
�− −− 6,12) = 0,7744
X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7
2
2 2
�,,92
(Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064
X = 13,2 Y = 0,602 2
2
3 3
− −�
�445 + 0,5995(13,2) = 8,52
(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0003 32− −
�44
X = 14,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12
(Y Y ) = 4 4
4 4
�
�− ((6,7 9,12) = 5,8564
X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5
2
5 5
−�
)) = 9,37
(Y Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529
X = 15,8 Y = 5 5
2
6 6
− −�
00,6045 + 0,5995(15,8) = 10,08
(Y Y ) = (9,2 10,08) = 6 62− −
�00,7744
X = 16,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49
(Y 7 7
7
�
�− YY ) = ( 11,5 10,49) = 1,0201
X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,57
2
8 8
−�
9995(17,6) = 11,16
(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −
�
X = 9,2 Y = 0,6045 + 0,5995(9,2) = 6,12
(Y Y ) = (7,0 1
1 1
�
�− −− 6,12) = 0,7744
X = 12,2 Y = 0,6045 + 0,5995(12,2) = 7
2
2 2
�,,92
(Y Y ) = (8,0 7,92) = 0,0064
X = 13,2 Y = 0,602 2
2
3 3
− −�
�445 + 0,5995(13,2) = 8,52
(Y Y ) = (8,5 8,52) = 0,0003 32− −
�44
X = 14,2 Y = 0,6045 + 0,5995(14,2) = 9,12
(Y Y ) = 4 4
4 4
�
�− ((6,7 9,12) = 5,8564
X = 14,5 Y = 0,6045 + 0,5995(14,5
2
5 5
−�
)) = 9,37
(Y Y ) = (9,6 9,37) = 0,0529
X = 15,8 Y = 5 5
2
6 6
− −�
00,6045 + 0,5995(15,8) = 10,08
(Y Y ) = (9,2 10,08) = 6 62− −
�00,7744
X = 16,5 Y = 0,6045 + 0,5995(16,5) = 10,49
(Y 7 7
7
�
�− YY ) = ( 11,5 10,49) = 1,0201
X = 17,6 Y = 0,6045 + 0,57
2
8 8
−�
9995(17,6) = 11,16
(Y Y ) = (12,2 11,16) = 1,08168 82− −
�
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Tabel 7.18Perhitungan
(X) (Y) Ŷ (Y-Ŷ)²9,2 7,0 6,12 0,7744
12,2 8,0 7,92 0,006413,2 8,5 8,52 0,000414,2 6,7 9,12 5,856414,5 9,6 9,37 0,052915,8 9,2 10,08 0,774416,5 11,5 10,49 1,020117,6 12,2 11,16 1,0816
Jumlah 9,5666
Book 1.indb 291 26/09/2016 19:42:42
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah292
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
SY
nyx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
Y
2
2
9 5666
9 56668
1 09
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
SY
nyx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
Y
2
2
9 5666
9 56668
1 09
,
,
,
Contoh 7.10Data pada tabel berikut menyajikan besarnya pendapatan dan pengeluaran suatu negara (dalam jutaan dolar) dari tahun 2000 sampai dengan tahun 2009.
Tabel 7.19Data Besarnya Pendapatan dan Pengeluaran Negara
Tahun Besar Pendapatan (X) Besar Pengeluaran (Y)2000 5,2 4,22001 4,7 4,02002 5,0 4,12003 4,8 4,32004 5,4 5,02005 5,1 4,92006 5,8 5,72007 6,4 5,72008 6,8 6,32009 7,2 6,9
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
�Y =− +1 094 1 10, , !X
Book 1.indb 292 26/09/2016 19:42:42
293Bab 7 Regresi dan Korelasi
Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah
�Y = –1,094 + 1,10X
maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
�
�Y -
X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6
(Y 1
1
= +
−
1 094 1 10, , X
Y ) = (4,2 4,63) = 0,1849
X = 4,7 Y = -1,094 + 1,101
2
2 2
�
�−
((4,7) = 4,08
(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064
X = 5,0 2 2
2
3
− −�
�YY = -1,094 + 1,10(5,0) = 6,6
(Y Y ) = (4,1 6,6) = 63
3 32− −
�,,25
X = 4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19
(Y Y ) = (4 4
4 4
�
�− 44,3 4,19) = 0,0121
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) =
2
5 5
−�
44,85
(Y Y ) = (5,0 4,85) = 0,0225
X = 5,1 Y = -1,5 5
2
6 6
− −�
�0094 + 1,10(5,1) = 4,52
(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444
X6 6
2
7
− −�
= 5,8 Y = -1,094 + 1,10(5,8) = 5,29
(Y Y ) = ( 5,7 7
7 7
�
�− −− 5,29) = 0,1681
X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95
(
2
8 8
YY Y ) = (5,7 5,95) = 0,0625
X = 6,8 Y = -1,094 + 8 8
2
9 9
− −�
11,10(6,8) = 6,39
(Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081
X = 9 9
2
10
− −�
77,2 Y = -1,094 + 1,10(7,2) = 6,83
(Y Y ) = (6,9 10
10 10
�
�− − 6,83) = 0,00492
�
�Y -
X = 9,2 Y = -1,094 + 1,10(5,2) = 4,6
(Y 1
1
= +
−
1 094 1 10, , X
Y ) = (4,2 4,63) = 0,1849
X = 4,7 Y = -1,094 + 1,101
2
2 2
�
�−
((4,7) = 4,08
(Y Y ) = (4,0 4,08) = 0,0064
X = 5,0 2 2
2
3
− −�
�YY = -1,094 + 1,10(5,0) = 6,6
(Y Y ) = (4,1 6,6) = 63
3 32− −
�,,25
X = 4,8 Y = -1,094 + 1,10(4,8) = 4,19
(Y Y ) = (4 4
4 4
�
�− 44,3 4,19) = 0,0121
X = 5,1 Y = -1,094 + 1,10(5,4) =
2
5 5
−�
44,85
(Y Y ) = (5,0 4,85) = 0,0225
X = 5,1 Y = -1,5 5
2
6 6
− −�
�0094 + 1,10(5,1) = 4,52
(Y Y ) = (4,9 4,52) = 0,1444
X6 6
2
7
− −�
= 5,8 Y = -1,094 + 1,10(5,8) = 5,29
(Y Y ) = ( 5,7 7
7 7
�
�− −− 5,29) = 0,1681
X = 6,4 Y = -1,094 + 1,10(6,4) = 5,95
(
2
8 8
YY Y ) = (5,7 5,95) = 0,0625
X = 6,8 Y = -1,094 + 8 8
2
9 9
− −�
11,10(6,8) = 6,39
(Y Y ) = (6,3 6,39) = 0,0081
X = 9 9
2
10
− −�
77,2 Y = -1,094 + 1,10(7,2) = 6,83
(Y Y ) = (6,9 10
10 10
�
�− − 6,83) = 0,00492
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Book 1.indb 293 26/09/2016 19:42:43
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah294
Tabel 7.20Perhitungan
TahunBesar
Pendapatan (X)Besar
Pengeluaran (Y)Ŷ (Y- Ŷ)²
2000 5,2 4,2 4,63 0,18492001 4,7 4,0 4,08 0,00642002 5,0 4,1 6,6 6,252003 4,8 4,3 4,19 0,01212004 5,4 5,0 4,85 0,02252005 5,1 4,9 4,52 0,14442006 5,8 5,7 5,29 0,16812007 6,4 5,7 5,95 0,06252008 6,8 6,3 6,39 0,00812009 7,2 6,9 6,83 0,0049
Jumlah 6,8639
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
6 8639
6 863910
0 69
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
6 8639
6 863910
0 69
,
,
,
Contoh 7.11Dari hasil pencatatan antara biaya iklan dan volume penjualan sebuah perusahaan jasa eceran produk komputer diperoleh informasi sebagai berikut:
Book 1.indb 294 26/09/2016 19:42:43
295Bab 7 Regresi dan Korelasi
Tabel 7.21Data Antara Biaya Iklan Dan Volume Penjualan Perusahaan Jasa Eceran Produk Komputer
Biaya Iklan(jutaan rupiah)
X
Volume Penjualan(ribuan unit)
Y3 124 115 136 127 138 149 16
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
�Y = +9 1426 0 6429, , !X
Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah �
�
Y
Y 1
= +
= +
= = +
9 1426 0 6429
1 094 1 10
3 9 1426 0 641
, ,
- , ,
, ,
x
Y X
X 229 3 11 07
12 11 07 0 8649
41
2
2
( ) ,
( ) ( , ) ,
Y
1
2
=
− = − =
=
Y
X
�
�YY
Y 2
2 22
9 1426 0 6429 4 11 71
11 11 71
= + =
− = −
, , ( ) ,
( ) ( , )Y� 22
Y
Y
=
= = + =
−
0 5041
5 9 1426 0 6429 5 12 363 3
3
,
, , ( ) ,
(
X
Y
�
�33
2
4 4
13 12 36 0 4096
6 9 1426 0 6429 6
) ( , ) ,
, , (
Y
2= − =
= = +X�
))
( ) ( )
, ,
Y
Y
2
=
− = − =
= = +
13
12 13 1
7 9 1426 0 64 4
2
5 5
Y
X
�
�4429 7 13 64
13 13 64 0 4096
85 5
2
6
( ) ,
( ) ( , ) ,
Y
2
=
− = − =
=
Y
X
�
�YY
Y 6
6 62
9 1426 0 6429 8 14 29
14 14 29
= + =
− = −
, , ( ) ,
( ) ( , )Y� 22
Y
Y
=
= = + =
−
0 0841
9 9 1426 0 6429 9 14 937 7
7 7
,
, , ( ) ,
(
X
Y
�
�)) ( , ) ,2 14 14 93 1 14 2= − =
maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
�
�
Y
Y 1
= +
= +
= = +
9 1426 0 6429
1 094 1 10
3 9 1426 0 641
, ,
- , ,
, ,
x
Y X
X 229 3 11 07
12 11 07 0 8649
41
2
2
( ) ,
( ) ( , ) ,
Y
1
2
=
− = − =
=
Y
X
�
�YY
Y 2
2 22
9 1426 0 6429 4 11 71
11 11 71
= + =
− = −
, , ( ) ,
( ) ( , )Y� 22
Y
Y
=
= = + =
−
0 5041
5 9 1426 0 6429 5 12 363 3
3
,
, , ( ) ,
(
X
Y
�
�33
2
4 4
13 12 36 0 4096
6 9 1426 0 6429 6
) ( , ) ,
, , (
Y
2= − =
= = +X�
))
( ) ( )
, ,
Y
Y
2
=
− = − =
= = +
13
12 13 1
7 9 1426 0 64 4
2
5 5
Y
X
�
�4429 7 13 64
13 13 64 0 4096
85 5
2
6
( ) ,
( ) ( , ) ,
Y
2
=
− = − =
=
Y
X
�
�YY
Y 6
6 62
9 1426 0 6429 8 14 29
14 14 29
= + =
− = −
, , ( ) ,
( ) ( , )Y� 22
Y
Y
=
= = + =
−
0 0841
9 9 1426 0 6429 9 14 937 7
7 7
,
, , ( ) ,
(
X
Y
�
�)) ( , ) ,2 14 14 93 1 14 2= − =
Book 1.indb 295 26/09/2016 19:42:43
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah296
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Tabel 7.22Perhitungan
X Y Ŷ (Y - YŶ)2
3 12 11,07 0,86494 11 11,71 0,50415 13 12,36 0,40966 12 13 17 13 13,64 0,40968 14 14,29 0,08419 16 14,93 1,1449
Jumlah 4,4172
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
4 4172
4 41727
0 79
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
4 4172
4 41727
0 79
,
,
,
Contoh 7.12Hubungan antara pendapatan perminggu (X) dengan konsumsi (belanja = Y) perminggu dalam $.
Book 1.indb 296 26/09/2016 19:42:44
297Bab 7 Regresi dan Korelasi
Tabel 7.23Data Pendapatan Dengan Konsumsi Per Minggu Dalam $
Pendapatan (X) Konsumsi (Y)8 6
10 812 1014 1216 1418 1620 1822 2024 2226 2428 2630 2832 3034 32
Tentukan kesalahan baku yang diberikan oleh persamaan regresi jika diketahui persamaan regresi liniernya yaitu
�Y = –1,118 + 0,958X!
Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan regresi tersebut adalah �
�Y
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1
= +1 1186 0 958, , X
−− − Y ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,951
2 2
2 2
�
�88(10) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y 2 2
2 2
3 3
− −�
== -1,118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378)3 32 2− −
� = 0,1428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y 4 4
4
�
−��
�Y ) = (12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(4
2 2
5 5
−
116) = 14,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y5 5
2 2
6 6
− −�
� = -1,118 + 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126)6 62− −
� 22
7 7
7
= 0,0158
X = 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y
�
�− YY ) = (18 18,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,97
2 2
8 8
−�
558(22) = 19,958
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X 8 8
2 2
9
− −�
== 24 Y = -1,118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 9
9 92
�
�− −− 21,874) = 0,0158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23
2
10 10
�,,79
(Y Y ) = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -10 10
2 2
11 11
− −�
�11,118 + 0,958(28) = 25,706
(Y Y ) = (26 25,706)11 112 2− −
� = 0,0864
X = 30 Y = -1,118 + 0,958(30) = 27,622
12 12
�
(Y Y ) = (28 27,622) = 0,1428
X = 3212 12
2 2
13
− −�
��
�Y = -1,118 + 0,958(32) = 29,538
(Y Y ) = (30 13
13 132− − 229,638) = 0,2134
X = 34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,
2
14 14
�4459
(Y Y ) = (32 31,459) = 0,29268114 142 2− −
�
maka penaksiran kesalahan baku yaitu:
�
�Y
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1
= +1 1186 0 958, , X
−− − Y ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,951
2 2
2 2
�
�88(10) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y 2 2
2 2
3 3
− −�
== -1,118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378)3 32 2− −
� = 0,1428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y 4 4
4
�
−��
�Y ) = (12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(4
2 2
5 5
−
116) = 14,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y5 5
2 2
6 6
− −�
� = -1,118 + 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126)6 62− −
� 22
7 7
7
= 0,0158
X = 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y
�
�− YY ) = (18 18,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,97
2 2
8 8
−�
558(22) = 19,958
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X 8 8
2 2
9
− −�
== 24 Y = -1,118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 9
9 92
�
�− −− 21,874) = 0,0158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23
2
10 10
�,,79
(Y Y ) = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -10 10
2 2
11 11
− −�
�11,118 + 0,958(28) = 25,706
(Y Y ) = (26 25,706)11 112 2− −
� = 0,0864
X = 30 Y = -1,118 + 0,958(30) = 27,622
12 12
�
(Y Y ) = (28 27,622) = 0,1428
X = 3212 12
2 2
13
− −�
��
�Y = -1,118 + 0,958(32) = 29,538
(Y Y ) = (30 13
13 132− − 229,638) = 0,2134
X = 34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,
2
14 14
�4459
(Y Y ) = (32 31,459) = 0,29268114 142 2− −
�
Book 1.indb 297 26/09/2016 19:42:44
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah298
�
�Y
X = 8 Y = -1,118 + 0,958(8) = 6,546
(Y 1 1
1
= +1 1186 0 958, , X
−− − Y ) = (6 6,546) = 0,298
X = 10 Y = -1,118 + 0,951
2 2
2 2
�
�88(10) = 8,462
(Y Y ) = (8 8,462) = 0,213
X = 12 Y 2 2
2 2
3 3
− −�
== -1,118 + 0,958(12) = 10,378
(Y Y ) = (10 10,378)3 32 2− −
� = 0,1428
X = 14 Y = -1,118 + 0,958(14) = 12,294
(Y 4 4
4
�
−��
�Y ) = (12 12,294) = 0,086
X = 16 Y = -1,118 + 0,958(4
2 2
5 5
−
116) = 14,21
(Y Y ) = (14 14,21) = 0,0441
X = 18 Y5 5
2 2
6 6
− −�
� = -1,118 + 0,958(18) = 16,126
(Y Y ) = (16 16,126)6 62− −
� 22
7 7
7
= 0,0158
X = 20 Y = -1,118 + 0,958(20) = 18,042
(Y
�
�− YY ) = (18 18,042) = 0,001764
X = 22 Y = -1,118 + 0,97
2 2
8 8
−�
558(22) = 19,958
(Y Y ) = (20 19,958) = 0,001764
X 8 8
2 2
9
− −�
== 24 Y = -1,118 + 0,958(24) = 21,874
(Y Y ) = (22 9
9 92
�
�− −− 21,874) = 0,0158
X = 26 Y = -1,118 + 0,958(26) = 23
2
10 10
�,,79
(Y Y ) = (24 23,79) = 0,0441
X = 28 Y = -10 10
2 2
11 11
− −�
�11,118 + 0,958(28) = 25,706
(Y Y ) = (26 25,706)11 112 2− −
� = 0,0864
X = 30 Y = -1,118 + 0,958(30) = 27,622
12 12
�
(Y Y ) = (28 27,622) = 0,1428
X = 3212 12
2 2
13
− −�
��
�Y = -1,118 + 0,958(32) = 29,538
(Y Y ) = (30 13
13 132− − 229,638) = 0,2134
X = 34 Y = -1,118 + 0,958(34) = 31,
2
14 14
�4459
(Y Y ) = (32 31,459) = 0,29268114 142 2− −
�
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Tabel 7.24Perhitungan
Pendapatan (X)
Konsumsi(Y)
Ý (Y - Ý)2
8 6 6,546 0,29810 8 8,462 0,21312 10 10,378 0,142814 12 12,294 0,08616 14 14,21 0,044118 16 16,126 0,015820 18 18,042 0,00176422 20 19,958 0,00176424 22 21,874 0,015826 24 23,79 0,044128 26 25,706 0,086430 28 27,622 0,142832 30 29,538 0,213434 32 31,459 0,292681
Jumlah 1,939
Book 1.indb 298 26/09/2016 19:42:44
299Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
1 939
1 93914
0 37
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
1 939
1 93914
0 37
,
,
,
7.8 Rangkuman
Analisis regresi berbeda dengan analisis korelasi. Jika analisis korelasi digunakan untuk melihat hubungan dua variabel, maka analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tergantung serta memprediksi nilai variabel tergantung dengan menggunakan variabel bebas. Dalam analisis regresi variabel bebas berfungsi untuk menerangkan (explanatory) sedangkan variabel tergantung berfungsi sebagai yang diterangkan (the explained). Untuk mengumpulkan data waktu ke waktu kita dapat menggunakan deret berkala metode semi average. Analisa regresi ingin mengetahui pola relasi dalam bentuk persamaan regresi, analisa korelasi ingin mengetahui kekuatan tersebut dalam koefisien korelasinya. Hasil dari suatu analisis regresi linier tidak lain persamaan linier Y = a + bX. Nilai a dan b dapat langsung dicari menggunakan rumus penurunan parsial terhadap a dan b yang sederhana.
7.9 Latihan Soal
7.9.1 Data tinggi badan ayah (X) dan tinggi badan putra (Y) yang diperoleh dari suatu survei dengan sampel 12 orang ayah dan putra mereka disajikan pada tabel berikut (dalam satuan in).
Book 1.indb 299 26/09/2016 19:42:45
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah300
Tabel 7.25Tinggi Badan Ayah dan Tinggi Badan Putra dengan Sampel
12 Orang Ayah dan Putra
Tinggi Badan Ayah (X)
Tinggi Badan Putra (Y)
66 6964 6768 6965 6669 7063 6772 6967 6668 7162 6261 6071 70
Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat
terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku
7.9.2 Percobaan nitrogen pada tanaman padi menghasilkan data berikut:Tabel 7.26
Percobaan Nitrogen pada Tanaman Padi
Pupuk Nitrogen (X)
Hasil (Y)
0 5,10 4,5
30 5,730 5,560 6,560 7,090 7,090 7,5
120 5,5120 6,0
Book 1.indb 300 26/09/2016 19:42:45
301Bab 7 Regresi dan Korelasi
Tentukan:a. Persamaan regresi linear dengan memakai metode kuadrat
terkecil.b. Koefisien korelasic. Koefisien determinasid. Penaksiran kesalahan baku
7.10 Jawaban Latihan Soal
7.10.1 Penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:
Tabel 7.27Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil
X Y XY X2 Y2
66 69 4554 4356 476164 67 4288 4096 448968 69 4692 4624 476165 66 4290 4225 435669 70 4830 4761 49063 67 4221 3969 448972 69 4968 5184 476167 66 4422 4489 435668 71 4828 4624 504162 62 3844 3844 384461 60 3660 3721 360071 70 4970 5041 4900
796 806 53567 52934 54258
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑
∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Book 1.indb 301 26/09/2016 19:42:45
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah302
Maka nilai b yaitu:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑
∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Maka nilai a yaitu:
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑
∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Jadi persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat minimum yaitu Ŷ = 16,1 + 0,77 X
b. Maka nilai koefisien korelasinya adalah
X=796
∑∑∑∑
=
=
=
Y
XY
X
806
53567
529342
Y
bn XY X
2 54258=
=−
∑
YY
n X X∑∑∑
∑∑ −( )
=( )−( )( )
( )−( )
=
2 2
2
12 53567 796 80612 52934 796
6428044 641576635208 633616122815920 77
−−
=
=
= −
=
∑ ∑
,
a Y
nb
Xn
880612
0 77 79612
67 17 0 77 66 3367 17 51 0716
−
= − ( )
= −=
,
, , ,, ,,11
16 1 51 07 16 1
12
2 2 2 2
Y
rn XY X Y
n X X n Y Y
= − =
=−( ){ } −( ){ }
=
∑∑∑∑∑ ∑∑
, , ,
-
553567 796 806
12 52934 796 12 54258 806
64
2 2
( )−( )( )
( )−( ){ } ( )−( ){ }
=22804 641576
635208 633616 651096 64963631228
1592 1460
−−{ } −{ }
=( )(( )
=
=
12281524 50 80
,,
Book 1.indb 302 26/09/2016 19:42:45
303Bab 7 Regresi dan Korelasi
Dengan nilai koefisien relasinya 0,80 terletak antara 0,70 dan 0,90, maka terdapat hubungan positif yang kuat antara tinggi badan ayah dengan tinggi badan putranya.
c. Maka nilai koefisien determinasinya adalah
r2 0 800 6464
=( )
=
=
.,
%
r2 = 0,80 artinya 0,64 atau 64% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 64% sedangkan 36% disebabkan oleh faktor lain.
d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 16,1 + 0,77X adalah sebagai berikut:
X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92
(Y Y ) = (69 661 1
1 1
�
�− − ,,92) = 4,33
X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38
(Y Y
2
2 2
2
�
�− 22
2
3 3
) = (67 65,8) = 2,62
X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,
−�
446
(Y Y ) = (69 68,46) = 0,29
X =65 Y = 16,1 + 03 3
2
4 4
− −�
�,,77(65) = 66,15
(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023
X =69 4 4
2
5
− −�
�YY = 16,1 + 0,77(69) = 69,23
(Y Y ) = (70 69,23) = 5
5 52− −
�00,59
X = 63 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61
(Y Y ) = (676 6
6 6
�
�− 64,61) = 5,71
X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54
(Y
2
7 7
7
−
−
�
��
�Y ) = (69 71,54) = 6,45
X =67 Y =16,1 + 0,77(67) =7
2
8 8
−
67,69
(Y Y ) = (66 67,69) = 2,86
X = 68 Y = 16,18 8
2
9 9
− −�
� + 0,77(68) = 68,46
(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45
X =9 9
2
10
− −�
62 Y = 16,1 + 0,77(62) = 63,84
(Y Y ) = (62 63,10
10 10
�
�− − 884) = 3,39
X = 61 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07
(Y
2
11 11
11
�
�− YY ) = (60 63,07) = 9,42
X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71)11
2
12 12
−�
== 70,77
(Y Y ) = (70 70,77) = 0,5912 122− −
�
Book 1.indb 303 26/09/2016 19:42:46
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah304
X = 66 Y = 16,1 + 0,77(66) = 66,92
(Y Y ) = (69 661 1
1 1
�
�− − ,,92) = 4,33
X = 64 Y =16,1 + 0,77(64) = 65,38
(Y Y
2
2 2
2
�
�− 22
2
3 3
) = (67 65,8) = 2,62
X = 68 Y = 16,1+0,77(68) = 68,
−�
446
(Y Y ) = (69 68,46) = 0,29
X =65 Y = 16,1 + 03 3
2
4 4
− −�
�,,77(65) = 66,15
(Y Y ) = (66 66,15) = 0,023
X =69 4 4
2
5
− −�
�YY = 16,1 + 0,77(69) = 69,23
(Y Y ) = (70 69,23) = 5
5 52− −
�00,59
X = 63 Y = 16,1 + 0,77(63) = 64,61
(Y Y ) = (676 6
6 6
�
�− 64,61) = 5,71
X =72 Y = 16,1 + 0,77(72) = 71,54
(Y
2
7 7
7
−
−
�
��
�Y ) = (69 71,54) = 6,45
X =67 Y =16,1 + 0,77(67) =7
2
8 8
−
67,69
(Y Y ) = (66 67,69) = 2,86
X = 68 Y = 16,18 8
2
9 9
− −�
� + 0,77(68) = 68,46
(Y Y ) = (71 68,46) = 6,45
X =9 9
2
10
− −�
62 Y = 16,1 + 0,77(62) = 63,84
(Y Y ) = (62 63,10
10 10
�
�− − 884) = 3,39
X = 61 Y = 16,1 + 0,77(61) = 63,07
(Y
2
11 11
11
�
�− YY ) = (60 63,07) = 9,42
X = 71 Y = 16,1 + 0,77(71)11
2
12 12
−�
== 70,77
(Y Y ) = (70 70,77) = 0,5912 122− −
�
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Tabel 7.28Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku
X Y Ý (Y- Ŷ)²66 69 66,92 4,3364 67 65,38 2,6268 69 68,46 0,2965 66 66,15 0,02369 70 69,23 0,5963 67 64,61 5,7172 69 71,54 6,4567 66 67,69 2,8668 71 68,46 6,4562 62 63,84 3,3961 60 63,07 9,4271 70 70,77 0,59
Jumlah 42,72
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
42 72
42 7212
1 89
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
42 72
42 7212
1 89
,
,
,
Book 1.indb 304 26/09/2016 19:42:46
305Bab 7 Regresi dan Korelasi
7.10.2 Penyelesaian:a. Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:
Tabel 7.29Perhitungan Metode Kuadrat Terkecil
Pupuk Nitrogen (X)
Hasil(Y)
X2 Y2 XY
0 5,1 0 26,01 00 4,5 0 20,25 0
30 5,7 900 32,49 17130 5,5 900 30,25 16560 6,5 3600 42,25 39060 7,0 3600 49 42090 7,0 8100 49 63090 7,5 8100 56,25 675
120 5,5 14400 56,25 660120 6,0 1440 36 720600 60,3 54000 397,75 3831
Dari tabel perhitungan di atas maka diperoleh:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑
�Y X
rn XY X Y
n X X∑∑ ∑∑{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 3
,
997 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 0092130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Maka nilai b yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑
�Y X
rn XY X Y
n X X∑∑ ∑∑{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 3
,
997 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 0092130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Book 1.indb 305 26/09/2016 19:42:47
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah306
Maka nilai a yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑
�Y X
rn XY X Y
n X X∑∑ ∑∑{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 3
,
997 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 0092130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Jadi, persamaan regresi linier dengan menggunakan metode
kuadrat minimum yaitu
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑
�Y X
rn XY X Y
n X X∑∑ ∑∑{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 3
,
997 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 0092130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
b. Maka koefisien korelasinya yaitu:
X= 600
∑∑∑∑
=
=
=
X
XY
Y
2 54000
3831
60,,
,
5
397 752
Y
bn X
=
=
∑
YY X Y
n X X
−
−( )
=( )−( )( )
( )−( )=
∑∑∑∑∑ 2 2
2
10 3831 600 60 310 54000 600
0
,
,0012
60 310
0 012 60010
6 03 0
a = −
= −
= −
∑ ∑Yn
bX
n
, ,
, ,,, ,,
, ,
-
012 606 03 0 725 31
5 31 0 012
2 2
( )
= −=
= +
=−( )
∑∑∑∑
�Y X
rn XY X Y
n X X∑∑ ∑∑{ } −( ){ }=
( )−( )( )
( )−( ){ }
n Y Y2 2
2
10 3831 600 60 3
10 54000 600 10 3
,
997 75 60 3
38310 361805400000 360000 3977 5 3636
2, ,
, ,
( )−( ){ }
=−
−{ } − 0092130
5040000 341 412130
41481 40 05
{ }
=( )( )
=
=
,
,,
Dengan nilai koefisien relasinya 0,05 terletak antara 0,0 dan 0,30, maka terdapat hubungan positif yang sangat lemah antara pupuk nitrogen dengan hasil tanaman padi.
c. Maka koefisien determinasi yaitu:
r2 = (0,05)2 = 0,0025 = 0,25%
Book 1.indb 306 26/09/2016 19:42:47
307Bab 7 Regresi dan Korelasi
r2 = 0,05 artinya 0,0025 atau 25% diantara keragaman total nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan nilai-nilai X terhadap naik turunnya Y adalah 25% sedangkan 75% disebabkan oleh faktor lain.
d. Maka, penaksiran kesalahan baku dari persamaan regresi linier yaitu Ŷ= 5,31 + 0,012X adalah sebagai berikut:
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y ) = (5,1 5,1 1
1 12
�
�− − 331) = 0,0441
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y
2
2 2
2 2
�
�− )) = (4,5 5,31) = 0,6561
X = 30 Y = 5,31 + 0,012 (30
2 2
3 3
−�
)) = 5,67
(Y Y ) = (5,7 5,67) = 0,0009
X = 30 Y = 3 3
2 2
4 4
− −�
�55,31+ 0,012 (30) = 5,67
(Y Y ) = (5,5 5,67) = 0,024 42 2− −
�889
X = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
(Y Y ) = (6,5 5
5 52
�
�− 55 6,03) = 0,2209
X6 = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
2
6
−�
((Y Y ) = (7 6,03) = 1,2321
X = 90 Y = 5,31 + 0,6 6
2 2
7 7
− −�
�0012 (90) = 6,39
(Y Y7) = (7 6,39) = 0,3721
X = 90 7
2 2
8
− −�
��
�Y = 5,31 + 0,012 (90) = 6,39
(Y Y8) = (7,5 6,39)8
82 2− − = 1,2321
X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75
(Y Y9 9
9 9
�
�− )) = (5,5 6,75) = 1,5625
X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (
2 2
10 10
−�
1120) = 6,75
(Y Y ) = (6 6,75) = 0,562510 102 2− −
�
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y ) = (5,1 5,1 1
1 12
�
�− − 331) = 0,0441
X = 0 Y = 5,31 + 0,012 (0) = 5,31
(Y Y
2
2 2
2 2
�
�− )) = (4,5 5,31) = 0,6561
X = 30 Y = 5,31 + 0,012 (30
2 2
3 3
−�
)) = 5,67
(Y Y ) = (5,7 5,67) = 0,0009
X = 30 Y = 3 3
2 2
4 4
− −�
�55,31+ 0,012 (30) = 5,67
(Y Y ) = (5,5 5,67) = 0,024 42 2− −
�889
X = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
(Y Y ) = (6,5 5
5 52
�
�− 55 6,03) = 0,2209
X6 = 60 Y = 5,31 + 0,012 (60) = 6,03
2
6
−�
((Y Y ) = (7 6,03) = 1,2321
X = 90 Y = 5,31 + 0,6 6
2 2
7 7
− −�
�0012 (90) = 6,39
(Y Y7) = (7 6,39) = 0,3721
X = 90 7
2 2
8
− −�
��
�Y = 5,31 + 0,012 (90) = 6,39
(Y Y8) = (7,5 6,39)8
82 2− − = 1,2321
X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (120) = 6,75
(Y Y9 9
9 9
�
�− )) = (5,5 6,75) = 1,5625
X = 120 Y = 5,31 + 0,012 (
2 2
10 10
−�
1120) = 6,75
(Y Y ) = (6 6,75) = 0,562510 102 2− −
�
Keseluruhan nilai-nilai yang sudah didapat jika dimasukkan ke dalam bentuk tabel maka akan tampak seperti berikut:
Book 1.indb 307 26/09/2016 19:42:47
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah308
Tabel 7.30Perhitungan Penaksiran Kesalahan Baku
X Y Ý (Y - Ý)2
0 5,1 5,31 0,04410 4,5 5,31 0,6561
30 5,7 5,67 0,000930 5,5 5,67 0,028960 6,5 6,03 0,220960 7,0 6,03 0,940990 7,0 6,39 0,372190 7,5 6,39 1,2321
120 5,5 6,95 1,5625120 6,0 6,95 0,5625
Jumlah 5,621
Dari tabel di atas dapat diperoleh total kuadrat kesalahan
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
5 621
5 62110
0 74
,
,
,
Jadi, kesalahan baku dari taksiran regresi tersebut adalah:
Y
Y
nx
−( ) =
=−( )
=
=
∑
∑
�
�
Y
SY
y
2
2
5 621
5 62110
0 74
,
,
,
Book 1.indb 308 26/09/2016 19:42:48
309
ANALISIS DATA BERKALA
Bab 8
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa (perkembangan
produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Data berkala sering disebut time series data atau time series. Data berkala merupakan serangkaian nilai-nilai variabel yang disusun berdasarkan waktu. Serangkaian data yang terdiri dari variabel Yi merupakan serangkaian hasil observasi dan fungsi dari variabel Xi merupakan variabel waktu yang bergerak secara seragam kearah yang sama, dari waktu lampau ke waktu mendatang. Analisis data berkala sangat berguna untuk kita, untuk mengetahui perkembangan satu atau beberapa keadaan serta hubungan terhadap keadaan lain. artinya apakah suatu keadaan mempunyai hubungan terhadap keadaan yang lain atau apakah suatu keadaan mempunyai pengaruh yang besar terhadap keadaan yang lain. Analisis data berkala yang akan kita pelajari yaitu dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat terkecil (least square).
Book 1.indb 309 26/09/2016 19:42:48
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah310
8.1 Komponen Deret Berkala
Pola gerakan runtut waktu atau deret berkala dapat dikelompokkan kedalam 4 (empat) komponen deret berkala. Empat komponen deret berkala tersebut yaitu: 1. Trend Sekuler, yaitu gerakan yang berjangka panjang, lamban, seolah-olah
alun ombak dan berkecenderungan menuju ke satu arah, arah menaik atau menurun.
2. Variasi Musiman, yaitu ayunan sekitar trend yang bersifat musiman serta kurang lebih teratur.
3. Variasi Sikli, yaitu ayunan trend yang berjangka lebih panjang dan agak lebih tidak teratur.
4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.
Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan
Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term
Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih. Metode yang biasa dipakai adalah Metode Semi Average dan Metode Least Square.
Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang
Analisis Data Berkala 355
4. Variasi Random, yaitu gerakan yang tidak teratur sama sekali.
Komponen Deret Berkala Sebagai Bentuk Perubahan : Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut : 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long
Term Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.. Garis trend ini juga sangat berguna untuk membuat ramalan (forecasting). Trend sekuler umunya meliputi gerakan yang lamanya sekitar 10 tahun atau lebih.
Y =f(X) Y = f(X) X(Waktu) X (Waktu)
Gambar 8.1 Grafik Trend Jangka Panjang
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulag dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).
Book 1.indb 310 26/09/2016 19:42:48
311Bab 8 Analisis Data Berkala
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan). Gerakan sikli bisa terulang setelah jangka waktu tertentu (setiap 3 tahun, 5 tahun atau bisa lebih), bisa juga tidak terulag dalam jangka waktu yang sama. Gerakan/variasi sikli berlangsung selama lebih dari setahun dan tidak pernah variasi tersebut memperlihatkan pola yang tertentu mengenai gelombangnya. Gerakan/variasi yang sempurna meliputi fase-fase pemulihan (recovery), kemakmuran (prosperity), kemunduran atau resesi (recession) dan depresi (depression).
Gambar 8.2Tahap-tahap Siklis
Analisis Data Berkala 356
resesi kemakmuran
Pemulihan
Depresi
Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Y=f(X) 1990
1991 1992 1993
Waktu
Gambar 8.3 Variasi Musiman
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Book 1.indb 311 26/09/2016 19:42:48
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah312
Gambar 8.3 Variasi Musiman
Analisis Data Berkala 356
resesi kemakmuran
Pemulihan
Depresi
Gambar 8.2 Tahap-tahap Siklis
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun, Gerakan-gerakan tersebut disebabkan karena adanya kebiasaan masyarakat seperti pemberian hadiah di Tahun Baru, Idul Fitri dan Natal serta konsumsi menjelang Tahun Baru dan hari-hari besar lainnya yang menimbulkan variasi yang tertentu dalam penjualan barang-barang konsumsi. Dalam bidang produksi dan harga-hargabarang agraria keadaan alam seperti iklim, hujan, sinar matahari, tingkat kelembaban, angin, tanah, dan lain-lain merupakan penyebab terjadinya variasi musim.
Y=f(X) 1990
1991 1992 1993
Waktu
Gambar 8.3 Variasi Musiman
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogoka dan sebagainya, yang mempengaruhi kegitan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.
Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur
Analisis Data Berkala 357
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan. Variasi random biasanya disebabkan oleh peperangan, banjir, gempa bumi, perubahan politik, pemogoka dan sebagainya, yang mempengaruhi kegitan-kegiatan perdagangan perindustrian, keuangan dan lain-lain. Variasi ini berbeda dengan ketiga variasi sebelumnya yaitu terletak pada sistematik fluktuasi itu sendiri.
Y = f(X)
Gambar 8.4 Gerakan Tidak Teratur
8.2 Cara Menentukan Trend Ada 3 cara yang akan kita pelajari untuk menentukan
persamaan trend linier yaitu : metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu :
Book 1.indb 312 26/09/2016 19:42:48
313Bab 8 Analisis Data Berkala
8.2 Cara Menentukan Trend
Dalam bagian ini akan dibahas 3 cara untuk menentukan persamaan trend linier yaitu: metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average), dan metode kuadrat minimum (least square). Ketiga cara ini yang akan digunakan untuk menentukan bentuk umum dari persamaan trend linier yaitu:
�Y bX= +α
Keterangan:�Y = nilai trend pada periode tertentuX = periode waktua = intersep dari persamaan trendb = koefisien kemiringan atau gradien dari persamaan trend yang
menunjukan besarnya suatu perubahan suatu unit pada X
8.2.1 Metode Setengah Rata-rata (Semi Average)
Penentuan persamaan trend linier Y = a + bx dengan metode setengah rata-rata dilakukan dengan tahapan seperti berikut: 1. Kelompokanlah data berkala menjadi dua kelompok dengan jumlah tahun
dan jumlah deret yang sama, sebagai kelompok 1 dan kelompok 2. 2. Tentukanlah rata-rata hitung masing-masing kelompok, sebagai Y₁ dan
Y₂. 3. Tentukan dua titik, yaitu (X₁; Y₁) dan (X₂; Y₂), dimana absis X₁ dan X₂
ditentukan dari periode waktu data berkala. 4. Tentukan nilai a dan b dengan mensubtitusikan nilai-nilai
data X dan Y dari dua titik tersebut pada persamaan trend
�Y = a + bX
Permasalahan akan muncul ketika kita membagi data berkala menjadi dua kelompok yang sama banyak. Dalam hal banyak data berkala genap maka kita tidak akan banyak masalah, karena tiap kelompok akan terdiri dari nilai data berkala yang sama banyaknya. Akan tetapi bila banyaknya data berupa ganjil, agar masing-masing kelompok terdiri atas nilai data berkala yang sama banyak,
Book 1.indb 313 26/09/2016 19:42:49
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah314
maka dapat dilakukan dengan cara yaitu, pertama menghilangkan nilai data paling tengah atau kedua memasukan nilai data paling tengah tersebut pada masing-masing kelompok.
Contoh 8.1
Tentukanlah persamaan trend �Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Tabel 8.11Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)
X Tahun Besar Pendapatan (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1
10 2010 3,5
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.2 Perhitungan
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2000 1,21 2001 1,52 2002 2,33 2003 3,34 2004 1,05 2005 1,86 2006 1,37 2007 7,18 2008 9,39 2009 1,1
10 2010 3,5
Kelompok 1
Dihilangkan
Kelompok 2
Book 1.indb 314 26/09/2016 19:42:49
315Bab 8 Analisis Data Berkala
Dengan banyaknya data berkala n = 11 (ganjil) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara menghilangkan nilai paling tengah, yaitu nilai data berkala tahun 2005 = 1,8, sehingga masing-masing kelompok terdiri atas 5 nilai data berkala. Sekarang kita akan menentukan nilai rata-rata hitung dari kelompok data tersebut.
Y
Y
1
2
1 2 1 5 2 3 3 3 1 05
1 86
1 3 7 1 9 3 1 1 3 55
4 46
=+ + + +
=
=+ + + +
=
, , , , , ,
, , , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 1,86 bertepatan dengan tahun 2002 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,46 bertepatan dengan tahun 2008 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 8. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (2; 1,86) dan (X₂; Y₂) = (8; 4,46). Dengan dua titik (2; 1,86) dan (8; 4,46) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut yaitu:
Titik (2; 1,86) X1 = 2 Y1 = 1.86 → 1,86 = a + 2b …..(1)Titik (8; 4,46) X2 = 8 Y2 = 4.46 → 4,46 = a + 8b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−−
=
2 1 868 4 466 2 6
2 66
0 43
,,
,,
,
Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43
( )
( )=+ =
1 860 86 1 8
,, ,a 66
1 86 0 861 0
aa
= −=
, ,,
Book 1.indb 315 26/09/2016 19:42:49
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah316
Masukkan nilai b = 0,43 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−−
=
2 1 868 4 466 2 6
2 66
0 43
,,
,,
,
Masukkan nilai bb = 0,43 pada persamaan 1 maka:a+2 0,43
( )
( )=+ =
1 860 86 1 8
,, ,a 66
1 86 0 861 0
aa
= −=
, ,,
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi
average) yaitu �Y = 1 + 0,43X
Contoh 8.2
Tentukanlah persamaan trend �Y = a + bX dari data di bawah ini dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Tabel 8.3 Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.4Perhitungan
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 3,21 2003 3,72 2004 4,03 2005 4,34 2006 4,45 2007 5,0
Kelompok 1
Kelompok 2
Book 1.indb 316 26/09/2016 19:42:49
317Bab 8 Analisis Data Berkala
Dengan banyaknya data berkala n = 6 (genap) maka data berkala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu dengan cara membagi dua kelompok dengan sama banyaknya. Sekarang kita akan menentukan rata-rata hitung dari dua kelompok tersebut.
Y
Y
1
2
3 2 3 7 4 03
3 63
4 3 4 4 5 03
4 56
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 4,56 bertepatan dengan tahun 2006 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 4. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁; Y₁) = (1; 3,63) dan (X₂; Y₂) = (4; 4,56). Dengan dua titik (1; 3,63) dan (4; 4,56) sekarang kita akan tentukan nilai
a dan b dari persamaan trend �Y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut
yaitu:
Titik (1; 3.63) X1 = 1 Y1 = 3.63 → 3,63 = a + 1b …..(1)Titik (4; 4.56) X2 = 4 Y2 = 4.56 → 4,56 = a + 4b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−=
3 634 4 563 0 93
0 933
0 31
,,
,,
,
Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )
+ == −
aa
0 31 3 633 63 0 3
, ,, , 11
3 32a = ,
Masukkan nilai b = 0.31 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−=
3 634 4 563 0 93
0 933
0 31
,,
,,
,
Masukkan nilai b = 0,2325 pada persamaan 1 maka:( )
+ == −
aa
0 31 3 633 63 0 3
, ,, , 11
3 32a = ,
Book 1.indb 317 26/09/2016 19:42:50
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah318
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata
(semi average) yaitu �Y = 3,32 + 0,31X.
Contoh 8.3
Tentukanlah persamaan trend �Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Tabel 8.5Besar Pinjaman suatu Negara (Milliaran Rupiah)
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.6Perhitungan
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 2,01 2003 2,32 2004 2,73 2005 3,04 2006 3,25 2007 3,76 2008 4,0
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu
Y
Y
1
2
2 0 2 3 2 73
2 3
3 2 3 7 4 03
3 63
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Kelompok 1
Kelompok 2
Book 1.indb 318 26/09/2016 19:42:50
319Bab 8 Analisis Data Berkala
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,3 bertepatan dengan tahun 2003 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 3,63 bertepatan dengan tahun 2007 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 5. Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁ ; Y₁) = (1 ; 2,3) dan (X₂ ; Y₂) = (5 ; 3,63). Dengan dua titik (1 ; 2,3) dan (5 ; 3,63) sekarang kita akan tentukan nilai
a dan b dari persamaan trend �Y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut
yaitu:
Titik (1 ; 2,3 ) X1 = 1 Y1 = 2,3 → 2,3 = a + 1b …..(1)
Titik (5 ;3,63 ) X2 = 5 Y2 = 3.63 → 3,63 = a + 5b …..(2)
Maka diperoleh:a b
a bb
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−= =
2 35 3 634 1 33
1 334
0 3325 0 33
,,
,,
, ,
Masukkan nilai b = 0,32 pada persamaan 1 maka:+1b 0,33
( )
( )=+
aa
2 30
,,, ,
, ,,
33 2 32 3 0 331 97
== −=
aa
Masukkan nilai b = 0.33 pada persamaan (1) maka:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−= =
2 35 3 634 1 33
1 334
0 3325 0 33
,,
,,
, ,
Masukkan nilai b = 0,32 pada persamaan 1 maka:+1b 0,33
( )
( )=+
aa
2 30
,,, ,
, ,,
33 2 32 3 0 331 97
== −=
aa
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata
(semi average) yaitu �Y = 1,97 + 0,33X
Contoh 8.4
Tentukanlah persamaan trend �Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Book 1.indb 319 26/09/2016 19:42:50
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah320
Tabel 8.7Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.8Perhitungan
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2000 1,31 2001 2,42 2002 3,33 2003 2,14 2004 1,75 2005 4,36 2006 1,27 2007 5,18 2008 2,29 2009 1,1
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
1 3 2 4 3 3 2 1 1 75
2 16
4 3 1 2 5 1 2 2 1 15
2 78
=+ + + +
=
=+ + + +
=
, , , , , ,
, , , , , ,
Kelompok 1
Kelompok 2
Book 1.indb 320 26/09/2016 19:42:51
321Bab 8 Analisis Data Berkala
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,10 bertepatan dengan tahun 2002 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 2 dan nilai rata-rata Y₂ = 2,78 bertepatan dengan tahun 2007 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 7 Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁ ; Y₁) = (2 ; 2,16) dan (X₂ ; Y₂) = (7 ; 2,78). Dengan dua titik (2 ; 2,16) dan (7 ; 2,78) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend
�Y = a + bX, dengan menggunakan cara berikut
yaitu:
Titik (2; 2,10) X1 = 2 Y1 = 2,16 → 2,16 = a + 2b …..(1)
Titik (7; 2,78) X2= 7 Y2 = 2,78 → 2,78 = a + 7b …..(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−==
2 2 167 2 785 0 62
0 625
0 1240 12
,,
,,
,,
Masukkann nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )
+ =
+ ( )=
a ba
2 2 162 0 12 2
,, ,116
2 16 0 241 92
a = −=
, ,,
Masukkan nilai b = 0,12 pada persamaan (1):
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−==
2 2 167 2 785 0 62
0 625
0 1240 12
,,
,,
,,
Masukkann nilai b = 0,24 pada persamaan 1 :( )
+ =
+ ( )=
a ba
2 2 162 0 12 2
,, ,116
2 16 0 241 92
a = −=
, ,,
Jadi persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi average) yaitu
�Y = 1,92 + 0,12X.
Contoh 8.5
Tentukanlah persamaan trend �Y = a + bX dari data di bawah ini dengan
menggunakan metode setengah rata-rata (semi average)!
Book 1.indb 321 26/09/2016 19:42:51
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah322
Tabel 8.9Besar Pengeluaran Perusahaan (Jutaan Rupiah)
X Tahun Besar Pengeluaran (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.10Perhitungan Semi Average
X Tahun Besar Pengeluaran (Y)0 2003 20,71 2004 24,52 2005 24,63 2006 27,84 2007 30,15 2008 32,46 2009 34,5
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu:
Y
Y
1
2
20 7 24 5 24 63
23 26
30 1 32 4 34 53
32 33
=+ +
=
=+ +
=
, , , ,
, , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 23,26 bertepatan dengan tahun 2004 (paling tengah dari kelompok 1) sehingga X = 1 dan nilai rata-rata Y₂ = 32,33 bertepatan dengan tahun 2008 (paling tengah dari kelompok 2) sehingga X = 5 Dengan demikian diperoleh dua titik yaitu (X₁ ; Y₁) = (1 ; 23,26) dan (X₂ ; Y₂) = (5 ; 32,33).
Kelompok 1
Dihilangkan
Kelompok 2
Book 1.indb 322 26/09/2016 19:42:51
323Bab 8 Analisis Data Berkala
Dengan dua titik (1 ; 23,26) dan (5 ; 32,33) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend
�Y = a + bx, dengan menggunakan cara
berikut yaitu:
Titik (1; 23,26) X1 = 1 Y1 = 23,26 → 23,26 = a + 1b .…(1)
Titik (5; 32,33) X2 = 5 Y2 = 32,33 → 32,33 = a + 5b …. (2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−==
1 23 265 32 334 9 07
9 074
2 26752 27
,,,,
,,
Masukkkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :+1b 2,27
( )
( )=+
aa
23 26,22 27 23 26
23 26 2 2720 99
, ,, ,,
== −=
aa
Masukkan nilai b = 2,27 pada persamaan (1):
a ba b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=−
−==
1 23 265 32 334 9 07
9 074
2 26752 27
,,,,
,,
Masukkkan nilai b = 0,33 pada persamaan 1 :+1b 2,27
( )
( )=+
aa
23 26,22 27 23 26
23 26 2 2720 99
, ,, ,,
== −=
aa
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata
(semi average) yaitu �Y = 20,99 + 2,27X.
8.2.2 Metode Rata-Rata Bergerak (Moving Average)
Jika setelah rata-rata dihitung, diikuti gerakan satu periode ke belakang maka disebut dengan rata-rata bergerak. Metode rata-rata bergerak disebut juga rata-rata bergerak terpusat, karena rata-rata bergerak diletakkan pada pusat dari periode yang digunakan.
Book 1.indb 323 26/09/2016 19:42:51
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah324
Pada metode rata-rata bergerak diadakan penggantian nilai data suatu tahun dengan nilai rata-rata, dihitung dengan nilai data tahun yang mendahuluinya dan nilai data tahun berikutnya. Langkah-langkahnya ialah sebagai berikut: 1. Menghitung rata-rata dari sejumlah data paling awal 2. Melupakan nilai data yang pertama 3. Mengulangi tahap (a) dan (b) sampai data yang terakhir
Kalau kita mempunyai data sebanyak n yaitu Y1, Y2, Y3,…,Yn, maka rata-rata bergerak (moving average) n waktu (tahun, bulan, minggu, hari) merupakan urutan rata-rata hitung sebagai berikut:
Y Y Yn
Y Y Yn
Y Y Yn
n n n1 2 1 2 1 3 4 1+ + + + + + + + ++ +… … �, ,
Dan seterusnya, setiap rata-rata hitung di atas disebut total gerak (moving total), yang berguna untuk mengurangi variasi dari data asli.di dalam data berkala, rata-rata bergerak sering dipergunakan untuk memuluskan fluktuasi yang terjadi dalam data tersebut.proses pemulusan ini disebut pemulusan data berkala. Bagian pembilang masing-masing disebut total bergerak menurut total n yang bergantung pada periode waktu data berkala. Data berkala merupakan data tahunan, maka urutan n adalah dalam tahunan, bila data berkala merupakan data bulanan, maka urutan n adalah bulanan, dan seterusnya. Dengan demikian kita dapat mengenal rata-rata bergerak satu tahun, rata-rata bergerak 5 tahun rata-rata bergerak 10 tahun, rata-rata bergerak 3 bulan, dan seterusnya. Apabila rata-rata bergerak dibuat dari data tahunan atau bulanan sebanyak n waktu, maka rata-rata bergerak disebut rata-rata bergerak tahunan atau bulanan dengan order n (moving average of order n). Dalam menggunakan metode rata-rata bergerak untuk mencari nilai trend, perlu diperhatikan beberapa hal yaitu: 1. Jika dalam membuat prakiraan digunakan rata-rata bergerak, misalnya
3 tahun, prakiraan tahun ke-4 dapat dilakukan jika sudah tersedia data sampai dengan 3 tahun sebelumnya. Demikian juga, membuat prakiraan
Book 1.indb 324 26/09/2016 19:42:52
325Bab 8 Analisis Data Berkala
dengan rata-rata bergerak 5 tahun, harus tersedia data dari 5 tahun sebelumnya, dan seterusnya.
2. Semakin banyak tahun bersangkutan diambil, semakin kurang fluktuasi rata-ratanya dan semakin kelihatan halus (smooth) grafiknya.
3. Jika diperkirakan tidak banyak terjadi perubahan data di masa datang maka dalam membuat prakiraan sebaiknya diambil waktu yang panjang, demikian pula sebaliknya.
Metode rata-rata bergerak (moving average) dapat dibedakan menjadi 2 yaitu: 1. Rata-Rata Bergerak Sederhana yaitu sering digunakan untuk meratakan
deret berkala yang bergelombang adalah metode rata-rata bergerak. Metode ini beda berdasarkan jumlah tahun yang dipakai untuk mencari rata-rata.
2. Rata-Rata Bergerak Tertimbang yaitu umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak adalah koefisien Binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1, sebagai timbangan.
Berikut ini prosedur-prosedur cara menghitung metode moving average: a. Prosedur menghitung rata-rata bergerak sederhana per 3 tahun
sebagai berikut: (1) Jumlahkan data selama 3 tahun berturut-turut. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut. (2) Bagilah dengan banyaknya tahun tersebut untuk mencari nilai rata-rata hitungnya. (3) Jumlahkan data berikutnya selama 3 tahun berturut-turut dengan meninggalkan tahun yang pertama. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan bagilah dengan banyaknya tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.
b. Rata-rata Bergerak Tertimbang. Umumnya timbangan yang digunakan bagi rata-rata bergerak ialah koefisien binomial. Rata-rata bergerak per 3 tahun harus diberi koefisien 1, 2, 1 sebagai timbangannya prosedur menghitung rata-rata bergerak tertimbang per 3 tahun sebagai berikut: (1) Jumlahkan data tersebut selama 3 tahun berturut-turut secara tertimbang. (2) Bagilah hasil penjumlahan tersebut dengan faktor pembagi 1+2+1 = 4. Hasilnya diletakkan di tengah-tengah tahun tersebut dan seterusnya sampai selesai.
Book 1.indb 325 26/09/2016 19:42:52
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah326
Contoh 8.6Gunakan data berkala berikut: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1
Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 3!
Penyelesaian:
Y
Y
Y
Y
1
2
3
4
3 6 13
103
3 33
6 1 63
133
4 33
1 6 43
113
3 66
6
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=
,
,
,
++ += =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
4 73
173
5 66
4 7 33
143
4 66
7 3 33
133
4 33
3 3
5
6
7
,
,
,
Y
Y
Y 113
73
2 33= = ,
Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1
Rata-rata bergerak: 3,33, 4,33, 3,66, 5,66, 4,66, 4,33, 2,33
Contoh 8.7Gunakan data berkala ini: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3, 3, 1 bila tiap nilai menurut urutan 3 masing-masing diberi bobot 1, 4, dan 1, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 3!
Penyelesaian:
Y
Y
1
2
1 3 4 6 1 11 4 1
3 24 16
286
4 66
1 6 4 1 1 61
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+
,
44 16 4 6
6166
2 66
1 4 4 6 1 41 4 1
4 24 46
326
5 33
+=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
,
,Y 33
1 6 4 4 1 71 4 1
6 16 76
296
4 83
1 4 4 7 1 3
4
5
Y
Y
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
,
11 4 14 28 3
6356
5 83
1 7 4 3 1 31 4 1
7 12 36
2266
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
,
Y 33 66
1 3 4 3 1 11 4 1
3 12 16
166
2 667
,
,Y =( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
Book 1.indb 326 26/09/2016 19:42:52
327Bab 8 Analisis Data Berkala
Y
Y
1
2
1 3 4 6 1 11 4 1
3 24 16
286
4 66
1 6 4 1 1 61
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+
,
44 16 4 6
6166
2 66
1 4 4 6 1 41 4 1
4 24 46
326
5 33
+=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
,
,Y 33
1 6 4 4 1 71 4 1
6 16 76
296
4 83
1 4 4 7 1 3
4
5
Y
Y
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
,
11 4 14 28 3
6356
5 83
1 7 4 3 1 31 4 1
7 12 36
2266
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
,
Y 33 66
1 3 4 3 1 11 4 1
3 12 16
166
2 667
,
,Y =( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 3, 6, 1, 6, 4, 7, 3,
Rata-rata bergerak: 4,66, 2,66, 5,33, 4,83, 5,83, 3,66, 2,66
Contoh 8.8Dengan menggunakan data berkala di bawah ini, tentukanlah: a. Rata-rata bergerak 2 tahun b. Rata-rata bergerak 3 tahun
Tabel 8.11Besar Pinjaman Suatu Negara (Milliaran Rupiah)
Tahun Besar Pinjaman (Y)2000 2,52001 3,82002 3,52003 2,32004 1,52005 4,52006 4,22007 1,72008 1,8
Book 1.indb 327 26/09/2016 19:42:52
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah328
a. Rata-rata bergerak 2 tahun:
Y
Y
Y
1
2
3
2 5 3 82
6 32
3 15
3 8 3 52
7 32
3 65
3 5 2 32
5 82
=+
= =
=+
= =
=+
=
, , , ,
, , , ,
, , ,==
=+
= =
=+
= =
=+
= =
2 9
2 3 1 52
3 82
1 9
1 5 4 52
62
3
4 5 4 22
8 72
4
5
6
,
, , , ,
, ,
, , ,
Y
Y
Y 44 35
4 2 1 72
5 42
2 95
1 7 1 82
3 52
1 75
7
8
,
, , , ,
, , , ,
Y
Y
=+
= =
=+
= =
b. Rata-rata bergerak 3 tahun:
Y
Y
Y
1
2
3
2 5 3 8 3 53
9 83
3 26
3 8 3 5 2 33
9 63
3 2
3 5 2
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
, , , , ,
, , , , ,
, ,33 1 53
7 33
2 43
2 3 1 5 4 53
8 33
2 76
1 5 4 5 4 23
4
5
+= =
=+ +
= =
=+ +
=
, , ,
, , , , ,
, , ,
Y
Y 88 33
2 76
4 5 4 2 1 73
10 43
3 46
4 2 1 7 1 83
7 73
2
6
7
, ,
, , , , ,
, , , ,
=
=+ +
= =
=+ +
= =
Y
Y ,,56
Letak rata-rata bergerak 2 tahun dan rata-rata bergerak 3 tahun disajikan pada 2 tabel berikut:
Book 1.indb 328 26/09/2016 19:42:53
329Bab 8 Analisis Data Berkala
Tabel 8.12Letak Rata-Rata Bergerak 2 Tahun
Tahun Data AsliTotal Bergerak
2 tahunRata-Rata Bergerak
2 tahun2000 2,52001 3,8 6,3 3,152002 3,5 7,3 3,652003 2,3 5,8 2,92004 1,5 3,8 1,92005 4,5 6 32006 4,2 8,7 4,352007 1,7 5,9 2,952008 1,8 3,5 1,75
Tabel 8.13Letak Rata-Rata Bergerak 3 Tahun
TahunData Asli
Total bergerak3 tahun
Rata-rata Bergerak 3 tahun
2000 2.52001 3,8 9,8 3,262002 3,5 9,6 3,22003 2,3 7,3 2,432004 1,5 8,3 2,762005 4,5 10,2 3,42006 4,2 10,4 3,462007 1,7 7,7 2,562008 1,8
Contoh 8.9Diketahui data berkala sebagai berikut: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Tentukanlah rata-rata bergerak urutan 4!
Penyelesaian:
Y
Y
Y
1
2
3
4 5 3 24
144
3 5
5 3 2 14
114
2 75
3 2 1 74
134
3 2
=+ + +
= =
=+ + +
= =
=+ + +
= =
,
,
, 55
2 1 7 64
164
4
1 7 6 44
184
4 5
4
5
Y
Y
=+ + +
= =
=+ + +
= = ,Book 1.indb 329 26/09/2016 19:42:53
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah330
Y
Y
Y
1
2
3
4 5 3 24
144
3 5
5 3 2 14
114
2 75
3 2 1 74
134
3 2
=+ + +
= =
=+ + +
= =
=+ + +
= =
,
,
, 55
2 1 7 64
164
4
1 7 6 44
184
4 5
4
5
Y
Y
=+ + +
= =
=+ + +
= = ,
Data bergerak asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Rata-rata bergerak: 3,5, 2,75, 3,25, 4, 4,5
Contoh 8.10Diketahui data berkala berikut ini: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4. Bila nilai menurut urutan 4 masing-masing diberi bobot 2, 3, 3 dan 2 maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!
Penyelesaian:
Y
Y
1
2
2 4 3 5 3 3 2 22 3 3 2
3610
3 6
2 5 3 3 3 2 2 1
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+
,
[[ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
2 3 3 22710
2 7
2 3 3 2 3 1 2 72 3 3 2
2910
2 93
,
,Y
Y44
5
2 2 3 1 3 7 2 62 3 3 2
4010
4
2 1 3 7 3 6 2 4
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]
+ + += =
=( )+ ( )+ ( )+ [ ]Y
22 3 3 24910
4 9+ + +
= = ,
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 4, 5, 3, 2, 1, 7, 6, 4
Rata-rata bergerak: 3,6, 2,7, 2,9, 4, 4,9
Book 1.indb 330 26/09/2016 19:42:53
331Bab 8 Analisis Data Berkala
Contoh 8.11Diketahui data berkala berikut: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Tentukanlah rata-rata bergerak menurut urutan 4!
Penyelesaian:
Y
Y
Y
Y
1
2
3
4
2 6 24
104
2 5
6 2 34
114
2 75
2 3 44
94
2 25
3 4
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
,
,
,
++= =
=+ +
= =
=+ +
= =
=+ +
=
54
124
3
4 5 44
134
3 25
5 4 44
134
3 25
4 4 14
94
5
6
7
Y
Y
Y
,
,
== 2 25,
Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Rata-rata bergerak: 2,5, 2,75, 2,25, 3, 3,25, 3,25, 2,25
Contoh 8.12Diketahui data berkala berikut ini: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Bila tiap nilai menurut urutan 2 masing-masing diberi bobot 2, 1, dan 2, maka tentukanlah rata-rata bergerak secara tertimbang menurut urutan 4!
Book 1.indb 331 26/09/2016 19:42:54
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah332
Penyelesaian:
Y
Y
1
2
2 2 1 6 2 22 1 2
4 6 45
145
2 8
2 6 1 2 2 32 1
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +
,
2212 2 6
5205
4
2 2 1 3 2 42 1 2
4 3 85
155
3
2 3
3
4
=+ +
= =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )
Y
Y ++ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ +
1 4 2 52 1 2
6 4 105
205
4
2 4 1 5 2 42 1 2
8 5 85Y
55215
4 2
2 5 1 4 2 42 1 2
10 4 85
225
4 4
2 4 1 4
6
7
= =
=( )+ ( )+ ( )
+ +=
+ += =
=( )+
,
,Y
Y(( )+ ( )
+ +=
+ += =
2 12 1 2
8 4 25
145
2 8,
Dengan demikian diperoleh:Data berkala asli: 2, 6, 2, 3, 4, 5, 4, 4, 1
Rata-rata bergerak: 2, 8, 4, 3, 4, 4,2, 4,4, 2,8
8.2.3 Metode Kuadrat Minimum (Least Square)
Telah dijelaskan sebelumnya dalam bab regresi dan korelasi bahwa antara
nilai-nilai data berkala y₁, y₂, y₃,.....,yn dengan nilai-nilai trend �Y 1 , �Y 2 , �Y 3 ,....
�Yn , yang diperoleh dari persamaan trend linear
�Y i = a + bX mempunyai selisih
sebesar ei = Yi –�Y i , sehingga jumlah seluruh selisih dari semua titik adalah
Σei. Oleh karena nilai ei bisa bertanda positif atau bertanda negatif, maka agar menjadi nilai bertanda positif, dapat diambil kuadrat dari semua ei, yaitu ei
2
sehingga diperoleh jumlah kuadrat selisih, yaitu Σei2 = Σ (Yi –
�Y i)
2. Dengan meminimumkan bentuk kuadrat ini, maka akan diperoleh persamaan trend linear
�Y = a + bX yang mempunyai kesalahan atau selisih (paling kecil).
Book 1.indb 332 26/09/2016 19:42:54
333Bab 8 Analisis Data Berkala
Persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dalam
persamaan trend linear �Y = a + bX ditentukan sebagai berikut:
aY
n
bXY
X
=
=
∑
∑2
Keterangan:Y = nilai data berkalan = jumlah periode waktuX = tahun kode
Dengan syarat ΣX = 0, di mana X adalah variable waktu dari data berkala dan Y adalah nilai – nilai data berkala. Oleh karena itu pendekatan yang dipakai bersifat matematis, maka persamaan trend yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil ini dipandang sebagai suatu persamaan trend yang paling baik dibandingkan dengan metode bebas, metode setengah rata-rata dan metode rata-rata bergerak, sehingga banyak dipakai dalam analisis data berkala. Secara teknis persyaratan ΣX = 0, ditentukan berdasarkan banyaknya nilai data berkala. Bila banyaknya nilai data berkala n ganjil, maka nilai – nilai X adalah...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...... sedangkan bila banyaknya nilai berkala n genap, maka nilai – nilai X adalah...., -5, -3, -1, 1, 3, 5,....
Contoh 8.13Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!
Tabel 8.14Besar Penjualan Motor
(Jutaan Rupiah)
Tahun Penjualan2001 1702002 1902003 2252004 2502005 325
Book 1.indb 333 26/09/2016 19:42:54
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah334
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.15Perhitungan Least Square
Tahun Penjualan (Y) X XY X²2001 170 -2 -340 42002 190 -1 -190 12003 225 0 0 02004 250 1 250 12005 325 2 650 4
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
Maka, nilai a yaitu:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
Maka, nilai b yaitu:
Y XY X
Yn
XYX
= = =
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
1160 370 10
11605
232
37010
37
2
2
a
s
b
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least
square) yaitu �Y = 232 + 37X.
Book 1.indb 334 26/09/2016 19:42:54
335Bab 8 Analisis Data Berkala
Contoh 8.14Tentukanlah persamaan trend linier dari data di bawah ini dengan menggunakan metode kuadrat minimum (least square)!
Tabel 8.16Besar Pembelian Baju (Dalam Jutaan Rupiah)
Tahun Pembelian (Y)2000 2002001 2352002 1552003 1752004 2102005 220
Penyelesaian:Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan sebagai berikut:
Tabel 8.17Perhitungan
Tahun Pembelian (Y) X XY X²2000 200 -5 -1000 252001 235 -3 -705 92002 155 -1 -155 12003 175 1 175 12004 210 3 630 92005 220 5 1100 25
Jumlah 1195 45 70
Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
∑Y = 1195 ∑XY = 45 ∑X² = 70
Maka, nilai a yaitu:
aY
n
b =XYX2
=
=
=
=
=
∑
∑∑
11956
199 17
45700 64
,
,
Book 1.indb 335 26/09/2016 19:42:55
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah336
Maka, nilai b yaitu:
aY
n
b =XYX2
=
=
=
=
=
∑
∑∑
11956
199 17
45700 64
,
,
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat minimum
(least square) yaitu �Y = 199,17 + 0,64X
8.3 Rangkuman
Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan suatu perkembangan atau kecenderungan keadaan/peristiwa (perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan, jumlah kejahatan, dan sebagainya) disebut data berkala. Gerakan atau variasi dari data berkala terdiri dari empat komponen yaitu sebagai berkut: 1. Gerakan Trend Jangka Panjang Atau Trend Sekuler (Long Term
Movement Or Secular Trend), yaitu suatu gerakan yang menunjukan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum, arahnya bisa menaik atau menurun.
2. Gerakan/Variasi Sikli atau Siklus (Cyclical Movement or Variations), yaitu gerakan atau variasi jangka panjang di sekitar garis trend (berlaku untuk data tahunan).
3. Gerakan/Variasi Musiman (Seasonal Movement or Variations), yaitu gerakan yang mempunyai pola tetap atau berulang-ulang secara teratur selama kurang lebih setahun.
4. Gerakan/VariasiRandom/Residu (Irregular or Random Variations), yaitu gerakan/variasi yang disebabkan oleh faktor kebetulan (chance factor). Gerakan yang berbeda tapi dalam waktu yang singkat, tidak diikuti dengan pola yang teratur dan tidak dapat diperkirakan.
Book 1.indb 336 26/09/2016 19:42:55
337Bab 8 Analisis Data Berkala
Cara menentukan persamaan trend yaitu diantaranya dengan menggunkan metode setengah rata-rata (semi average), metode rata-rata bergerak (moving average) dan metode kuadrat minimum (least square).
8.4 Latihan Soal8.4.1 Tentukanlah persamaan trend Y= a + bX dari data di bawah ini
dengan menggunakan metode:a. setengah rata-rata (semi average)b. rata-rata bergerak urutan 3 (moving average)c. kuadrat minimum (least square)
Tabel 8.18Besar Pinjaman Perusahaan (Jutaan Rupiah)
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6
8.5 Jawaban Latihan Soal8.5.1 Penyelesaian:
a. Metode Setengah Rata-Rata (Semi Average) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:
Tabel 8.19Perhitungan
X Tahun Besar Pinjaman (Y)0 2002 1,81 2003 2,02 2004 2,13 2005 2.34 2006 2,65 2007 2,86 2008 3,07 2009 3,48 2010 3,6
Kelompok 1
Dihilangkan
Kelompok 2
Book 1.indb 337 26/09/2016 19:42:55
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah338
Nilai rata-rata hitung dari masing-masing kelompok yaitu
Y
Y
1
2
1 8 2 0 2 1 2 34
2 05
2 8 3 0 3 4 3 64
3 2
=+ + +
=
=+ + +
=
, , , , ,
, , , , ,
Coba perhatikan bahwa nilai rata-rata Y₁ = 2,05 berada di antara nilai data 2,0 pada tahun 2003 dengan X = 1 dan nilai 2,1 tahun 2004 dengan X = 2. Dengan demikian rata-rata Y₁ = 2,05 bertepatan atau bersesuaian dengan nilai X = (1+2)/2 = 1,5 sehingga diperoleh titik (1,5; 2,05). Sedangkan Y₂ = 3,2 berada di antara nilai data 3,0 tahun 2008 dengan X = 6 dan nilai data 3,4 tahun 2009 dengan X = 7; dengan demikian rata rata Y₂ = 2,45 bertepatan atau bersesuaian dengan X = (6+7)/2 = 6,5 sehingga diperoleh titik kedua, yaitu (6,5; 3,2).
Dengan dua titik (1,5; 2,05) dan (6,5; 3,2) sekarang kita akan tentukan nilai a dan b dari persamaan trend Y = a + bx, dengan menggunakan cara berikut ini yaitu:
Titik (1,5; 2,05) X1 = 1,5 Y1 = 2,05 → 2,05 = a + 1,5b .…..(1)
Titik (6,5; 3,2) X2 = 6,5 Y2 = 3,2 → 3,2 = a + 6,5b ..….(2)
Maka diperoleh:
a ba b
b
b
b
a b
+ =
+ = −
− = −
=−
−=
+ =
1 5 2 056 5 3 2
5 1 151 15
50 23
1 5 2
, ,, ,
,,
,
, ,
0051 5 0 23 2 05
2 05 0 3451 705
aa
+ ( )== −=
, , ,, ,,
Book 1.indb 338 26/09/2016 19:42:55
339Bab 8 Analisis Data Berkala
Masukan nilai b = 0,23 pada persamaan (1) yaitu:
a ba b
b
b
b
a b
+ =
+ = −
− = −
=−
−=
+ =
1 5 2 056 5 3 2
5 1 151 15
50 23
1 5 2
, ,, ,
,,
,
, ,
0051 5 0 23 2 05
2 05 0 3451 705
aa
+ ( )== −=
, , ,, ,,
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode setengah rata-rata yaitu
�Y = 1,705+ 0,23X
b. Metode Rata-rata Bergerak
Y
Y
Y
1
2
3
1 8 2 0 2 13
5 93
1 97
2 0 2 1 2 33
6 43
2 13
2 1 2
=+ +
= =
=+ +
= =
=+
, , , , ,
, , , , ,
, ,, , ,
, , , , ,
, , ,
3 2 63
73
2 33
2 3 2 6 2 83
7 73
2 57
2 6 2 8 3 03
8
4
5
+= =
=+ +
= =
=+ +
=
Y
Y ,, ,
, , , , ,
, , , ,
43
2 8
2 8 3 0 3 43
9 23
3 07
3 0 3 4 3 63
103
3 33
6
7
=
=+ +
= =
=+ +
= =
Y
Y
Data berkala asli: 1,8, 2,0, 2,1, 2,3, 2,6, 2,8, 3,0, 3,4, 3,6
Rata-rata bergerak: 1,97, 2,13, 2,33, 2,57, 2,8, 3,07, 3,33
c. Metode Kuadrat Minimum (Least Square) Untuk memudahkan perhitungan maka dibuat tabel perhitungan
sebagai berikut:
Book 1.indb 339 26/09/2016 19:42:55
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah340
Tabel 8.20Perhitungan Least Square
TahunBesar
Pinjaman (Y)X XY X²
2002 1,8 -4 -7,2 162003 2,0 -3 -6,0 92004 2,1 -2 -4,2 42005 2,3 -1 -2,3 12006 2,6 0 0 02007 2,8 1 2,8 12008 3,0 2 6,0 42009 3,4 3 10,2 92010 3,6 4 14,4 16
Jumlah 23,6 13,7 60
d. Dari tabel perhitungan di atas diperoleh:
∑Y = 23,6 ∑XY = 13,7 ∑X² = 60
Maka, nilai a yaitu:
Y
XY
X
aY
n
bXY
X
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
23 6
13 7
60
23 69
2 62
1
2
2
,
,
,
,
33 760
0 23
,
,=
Maka, nilai b yaitu:
Y
XY
X
aY
n
bXY
X
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑
∑∑
23 6
13 7
60
23 69
2 62
1
2
2
,
,
,
,
33 760
0 23
,
,=
Jadi, persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat
minimum (least square) yaitu �Y = 2,62 + 0,23X.
Book 1.indb 340 26/09/2016 19:42:56
341
APLIKASI MS. EXCEL DAN SPSS
Ukuran pemusatan data baik yang belum dikelompokkan, data yang sudah dikelompokkan, keduanya bisa diterapkan pada program Microsoft
Excel. Penerapan ini diperlukan untuk mempercepat proses perhitungan data dan keakuratan data itu sendiri. Aplikasi program dimaksudkan sebagai parameter untuk ukuran keterpusatan data yang dilakukan secara matematis. Penerapan terhadap ukuran pemusatan data ini digunakan untuk mendapatkan keakuratan data yang telah dilakukan secara manual, sehingga keberadaan ukuran pemusatan data tersebut boleh dikatakan sangat berarti dalam rangka kepastian pengambilan keputusan untuk sebuah analisis data. Penerapan program Microsoft Excel terhadap ukuran pemusatan data yang tidak berkelompok dan berkelompok yang akan dilakukan yaitu, rata-rata hitung, median, modus. Selain itu akan juga dilakukan terhadap standar deviasi (Standar deviation) variansi (sample variance), kemiringan distribusi data (kurtosis and skewness). Aplikasi SPSS mempunyai kemampuan untuk menganalisis statistik dengan keakuratan yang cukup tinggi. Sistem manajemen data SPSS pada lingkungan grafis menggunakan menu-menu deskriptif dan kotak dialog sederhana yang memudahkan dalam pengoperasian. Program SPSS dapat membaca berbagai jenis data yang di Input secara langsung kedalam SPSS Data Editor dan memunculkan dalam bentuk analisis Output Navigator. Penerapan Program SPSS diantaranya adalah Regresi dan Korelasi.
Bab 9
Book 1.indb 341 26/09/2016 19:42:56
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah342
9.1 Tutorial Membuat Distribusi Frekuensi Menggunakan MS. Excel 2016
Penerapan ukuran pemusatan data digunakan dalam Program Microsoft Excel 2016. Proses lengkap pembuatan distribusi frekuensi dapat dilihat langkah-langkah dibawah ini. 1. Buka MS Excel 2016, lalu klik menu File, lalu klik Options. Seperti pada
gambar 9.1.
Gambar 9.1Memunculkan Menu File
143
1. Buka MS Excel 2016, lalu klik menu File, lalu klik Options. Seperti pada gambar 9.1.
Gambar 9.1 Memunculkan Menu File
2. Setelah itu, klik Add Ins dan Pilih Analysis ToolPak dan
Klik Go lalu klik OK. Seperti pada gambar 9.2
Gambar 9.2 Memilih Menu Options
2. Setelah itu, klik Add Ins dan Pilih Analysis ToolPak dan Klik Go lalu klik OK. Seperti pada gambar 9.2
Gambar 9.2Memilih Menu Options
143
1. Buka MS Excel 2016, lalu klik menu File, lalu klik Options. Seperti pada gambar 9.1.
Gambar 9.1 Memunculkan Menu File
2. Setelah itu, klik Add Ins dan Pilih Analysis ToolPak dan
Klik Go lalu klik OK. Seperti pada gambar 9.2
Gambar 9.2 Memilih Menu Options
Book 1.indb 342 26/09/2016 19:42:56
343Bab 9 Aplikasi MS. Excel dan SPSS
3. Setelah Analysis ToolPak sudah muncul di Tab Menu Data, maka langkah selanjutnya adalah masukan Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri di Sheet1, dan Cari Nilai Terkecil, Nilai Terbesar, Nilai Jangkauan (Range), Tepi Kelas Bawah dan Tepi Kelas Atas. Seperti disajikan pada gambar 9.3
Gambar 9.3Menginput Data
144
3. Setelah Analysis ToolPak sudah muncul di Tab Menu Data, maka langkah selanjutnya adalah masukan Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri di Sheet1, dan Cari Nilai Terkecil, Nilai Terbesar, Nilai Jangkauan (Range), Tepi Kelas Bawah dan Tepi Kelas Atas. Seperti disajikan pada gambar 9.3
Gambar 9.3 Menginput Data
4. Pilih Tab Menu Data dan Pilih Data Analysis, setelah itu pilih Menu Histogram lalu klik OK. Seperti disajikan pada gambar 9.4
Book 1.indb 343 26/09/2016 19:42:56
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah344
Gambar 9.4Memilih Data Anayisis
145
4. Pilih Tab Menu Data dan Pilih Data Analysis, setelah itu pilih Menu Histogram lalu klik OK. Seperti disajikan pada gambar 9.4
Gambar 9.4 Memilih Data Anayisis
5. Kolom Input Range diisi dengan Data Tinggi Badan secara keseluruhan (blok data tersebut), Kolom Bin Range diisi dengan Tepi Kelas Atas, Pilih New WorkSheet untuk Outputnya, Centang Cumulative Percentage dan Chart Output. Seperti gambar 9.5
5. Kolom Input Range diisi dengan Data Tinggi Badan secara keseluruhan (blok data tersebut), Kolom Bin Range diisi dengan Tepi Kelas Atas, Pilih New WorkSheet untuk Outputnya, Centang Cumulative Percentage dan Chart Output. Seperti gambar 9.5
Gambar 9.5Menginput Data Variabel kedalam Kolom
146
Gambar 9.5 Menginput Data Variabel kedalam Kolom
6. Hasil akhir Data Tinggi Badan untuk frekuensi, persen kumulatif dan grafik histogram seperti pada gambar 9.6.
Gambar 9.6 Hasil Data dan Grafik
Book 1.indb 344 26/09/2016 19:42:56
345Bab 9 Aplikasi MS. Excel dan SPSS
6. Hasil akhir Data Tinggi Badan untuk frekuensi, persen kumulatif dan grafik histogram seperti pada gambar 9.6.
Gambar 9.6Hasil Data dan Grafik
146
Gambar 9.5 Menginput Data Variabel kedalam Kolom
6. Hasil akhir Data Tinggi Badan untuk frekuensi, persen kumulatif dan grafik histogram seperti pada gambar 9.6.
Gambar 9.6 Hasil Data dan Grafik
7. Untuk mencari Mean, Standar Error, Median, Modus, Standar Deviation yaitu dengan memilih Menu Data Analysis lalu pilih Descriptive Statistic. Tetapi sebelumnya sebaran Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri tersebut harus dijadikan 1 kolom saja.
Gambar 9.7Memilih Descriptive Statistics Data
147
7. Untuk mencari Mean, Standar Error, Median, Modus, Standar Deviation yaitu dengan memilih Menu Data Analysis lalu pilih Descriptive Statistic. Tetapi sebelumnya sebaran Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri tersebut harus dijadikan 1 kolom saja.
Gambar 9.7 Memilih Descriptive Statistics Data
8. Setelah itu masukan sebaran Data Tinggi Badan tersebut ke kolom Input Range, dan centang di Summary Statistics lalu klik OK.
Book 1.indb 345 26/09/2016 19:42:56
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah346
8. Setelah itu masukan sebaran Data Tinggi Badan tersebut ke kolom Input Range, dan centang di Summary Statistics lalu klik OK.
Gambar 9.8Menginput Data kedalam Kolom Input Range
148
Gambar 9.8 Menginput Data kedalam Kolom Input Range
9. Hasil akhir Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri
akan muncul di Sheet baru terhadap data-data yang diinginkan. Seperti telihat pada gambar 9.9.
9. Hasil akhir Data Tinggi Badan 100 Mahasiswa Nusa Mandiri akan muncul di Sheet baru terhadap data-data yang diinginkan. Seperti telihat pada gambar 9.9.
Gambar 9.9Hasil Perhitungan Distribusi Frekuensi
149
Gambar 9.9 Hasil Perhitungan Distribusi Frekuensi
9.2 Tutorial Membuat Regresi dan Korelasi Menggunakan SPSS
Penerapan persamaan regresi linier dengan
menggunakan metode kuadrat terkecil dapat dilakukan dengan Program SPSS. Proses lengkap pembuatan regresi dan korelasi dapat dilihat langkah-langkah dibawah ini.
Book 1.indb 346 26/09/2016 19:42:57
347Bab 9 Aplikasi MS. Excel dan SPSS
9.2 Tutorial Membuat Regresi dan Korelasi Menggunakan SPSS
Penerapan persamaan regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dapat dilakukan dengan Program SPSS. Proses lengkap pembuatan regresi dan korelasi dapat dilihat langkah-langkah dibawah ini.
9.2.1 Regresi
Langkah-langkah menentukan persamaan regresi sederhana antara dua variabel dengan SPSS : 1. Input data yang telah ditentukan pada data view. Pilih analyze pada menu
bar, lau pilh regression kemudian klik linear seperti pada gambar.10.
Gambar 9.10Menginput Data
150
9.2.1 Regresi Langkah-langkah menentukan persamaan regresi
sederhana antara dua variabel dengan SPSS : 1. Input data yang telah ditentukan pada data view. Pilih
analyze pada menu bar, lau pilh regression kemudian klik linear seperti pada gambar.10.
Gambar 9.10 Menginput Data
2. Masukkan variabel Y ke kolom Dependent dan variabel X ke kolom Independent. Lalu klik plots dan pilih Histogram seperti pada gambar 9.11
2. Masukkan variabel Y ke kolom Dependent dan variabel X ke kolom Independent. Lalu klik plots dan pilih Histogram seperti pada gambar 9.11
Book 1.indb 347 26/09/2016 19:42:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah348
Gambar 9.11Menginput Variabel kedalam Kolom
Gam
3. Klik Savpilih Co
mbar 9.11 M
ve pada Preontinue, dan
Gambar
151
enginput Va
dicted Valueklik OK sepe
r 9.12 Tamp
ariabel keda
es pilih Unstaerti pada gam
ilan Menu S
alam Kolom
andardized, lmbar 9.12.
Save
lalu
3. Klik Save pada Predicted Values pilih Unstandardized, lalu pilih Continue, dan klik OK seperti pada gambar 9.12.
Gambar 9.12Tampilan Menu Save
Gam
3. Klik Savpilih Co
mbar 9.11 M
ve pada Preontinue, dan
Gambar
151
enginput Va
dicted Valueklik OK sepe
r 9.12 Tamp
ariabel keda
es pilih Unstaerti pada gam
ilan Menu S
alam Kolom
andardized, lmbar 9.12.
Save
lalu
Book 1.indb 348 26/09/2016 19:42:57
349Bab 9 Aplikasi MS. Excel dan SPSS
4. Lalu akan muncul hasilnya seperti gambar 9.13.
Gambar 9.13Hasil Perhitungan Regresi
152
4. Lalu akan muncul hasilnya seperti gambar 9.13.
Gambar 9.13 Hasil Perhitungan Regresi
Persamaan regresi linier yang dihasilkan adalah : Ῠ = a + bX = 0,604 + 0,6X
Persamaan regresi linier yang dihasilkan adalah : Ῠ = a + bX = 0,604 + 0,6X
Book 1.indb 349 26/09/2016 19:42:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah350
9.2.2 Korelasi
Langkah-langkah menentukan persamaan korelasi sederhana antara dua variabel dengan SPSS : 1. Input data yang telah ditentukan pada data view. Pilih analyze pada
menubar, lalu pilh correlate kemudian klik bivarite seperti pada gambar 9.14.
Gambar 9.14Menginput Data
153
9.2.2 Korelasi Langkah-langkah menentukan persamaan korelasi
sederhana antara dua variabel dengan SPSS : 1. Input data yang telah ditentukan pada data view. Pilih
analyze pada menubar, lalu pilh correlate kemudian klik bivarite seperti pada gambar 9.14.
Gambar 9.14 Menginput Data
2. Masukkan variabel X dan Y ke kolom Variables. Lalu klik
OK seperti pada gambar 9.15. 2. Masukkan variabel X dan Y ke kolom Variables. Lalu klik OK seperti pada
gambar 9.15.
Book 1.indb 350 26/09/2016 19:42:57
351Bab 9 Aplikasi MS. Excel dan SPSS
Gambar 9.15Menginput Variabel kedalam Kolom
154
Gambar 9.15 Menginput Variabel kedalam Kolom
3. Lalu akan muncul hasilnya seperti gambar 9.16
Gambar 9.16 Hasil Perhitungan Korelasi
Nilai korelasi linier yang dihasilkan adalah 0,806.
3. Lalu akan muncul hasilnya seperti gambar 9.16
Gambar 9.16Hasil Perhitungan Korelasi
154
Gambar 9.15 Menginput Variabel kedalam Kolom
3. Lalu akan muncul hasilnya seperti gambar 9.16
Gambar 9.16 Hasil Perhitungan Korelasi
Nilai korelasi linier yang dihasilkan adalah 0,806.
Nilai korelasi linier yang dihasilkan adalah 0,806.
Book 1.indb 351 26/09/2016 19:42:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah352
Book 1.indb 352 26/09/2016 19:42:57
353
DAFTAR PUSTAKA
Boediono, Wayan Koster, Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. PT. Remaja Rosdakarya. Bandung. 2008.
Dajan, Anto. Pengantar Metode Statistik, Jilid 1. LP3ES. Jakarta. 1991.Hinkle Dennise, et.al.Applied Statistics for the Behavior Sciences. Hounghton
Mifflin Company. New Jersey. London. 1979.Kariadinata, Rahayu. Pengantar Statistika Dasar. CV. Insan Mandiri. Bandung.
2011.Lewis E.E. Introduction to Relaibility Engineering, Second Edition. John Wiley
& Sons, Inc. New York. 1994.Nar dan Hamid, Akib, H.M. Statistika Dasar. Universitas Terbuka. Jakarta. 2007.Siagian, Dergibson dan Sugiarto. Metode Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi.
PT. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. 2002.Soemartojo H. Statistik untuk Manajamen dan Ekonomi, Edisi Keempat, Jilid I.
Erlangga. Jakarta. 1982. Soentoro, A. Idris. Cara Mudah Belajar Metodologi Penelitian Bisnis. CV
Taramedia. Jakarta. 2002.Sri Mulyono. Statistika untuk Ekonomi. Fakultas Ekonomi UI. Jakarta. 1991.Sudijono, Anas. Pengantar Statistik Pendidikan. PT Raja Grafindo Persada.
Jakarta. 2009. Sudjana. Metoda Statistika, Edisi Keenam. Tarsito. Bandung. 1996.
Book 1.indb 353 26/09/2016 19:42:57
Aplikasi Statistika Deskriptif Itu Mudah354
Sudradjat. Konsep Dasar Pengumpulan dan Pengolahan Data, Widya Padjadjaran, Bandung, 2010.
Sujadi P,A. Seri Matematika Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. ITB. Bandung. 1983.
Supranto. Statistika Teori dan Aplikasi, Jilid I. Erlangga. Jakarta. 1992.Susila, I Nyoman. Statistika, Edisi Kedua. Erlangga. Jakarta. 1994.Walpole Ronald E. Introduction Statistics, 3rd Edition. Terjemahan Bambang
Soemantri. ITB. Bandung. 1986.Walpole Ronald E. Probability and Statistics for Engineer and Scientiest, 2nd
Edition. Terjemahan R.K Sembiring. ITB. Bandung. 1986.
Book 1.indb 354 26/09/2016 19:42:57
top related