e´ç¡·ÒeÅ ¹· .¤oÁ www - wordpress.com · การแก้อสมการ 11...
Post on 14-Jan-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
A
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
คำเตอน
คมอตวเลมนไดจดทาขนเพอ ใชประกอบการเรยนการสอน ผานเวบไซทเดกทาเลนท.
คอม (www.DekTalent.com) หากนกเรยนนาไปอานโดยไมไดสมครเรยนเอง จะไมไดผลลพธ
ในการเรยนสงสดหากยงไมไดสมครเรยนสมครเรยนเถอะคะทเวบไซทเดกทาเลนท.คอม
(DekTalent.com)
สงวนลขสทธ 2553 โดย อ. โต วชรา โอภาสวฒนา
หามนาสวนใดสวนหนงของเอกสารนไป ทาซา ลอกเลยนแบบ ทาสาเนา เผยแพรทางอนเตอรเนตหรอสอ
อนๆ ไมวารปแบบใด ยกเวนไดรบการอนญาตเปนลายลกษณอกษรจากผ เขยนเทานน
เอกสาร Version 15 พค. 2553
B
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ÊÒú a
eà èo§ ˹ �Ò จานวนจรงเบองตน 1
โครงสรางของระบบจานวนจรง 1
จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 1
การแปลงคาระหวางเศษสวนและทศนยม 3
สมบตเกยวกบจานวนจรง 4
ทฤษฎบทเศษเหลอ 5
การแกสมการ 6
ทบทวนการแยกตวประกอบสองวงเลบ 6
ทบทวนการหารสงเคราะห 7
สมบตการไมเทากน 8
ชวง 9
การแกอสมการ 11
คาสมบรณ 13
การแกสมการคาสมบรณ 13
การแกอสมการคาสมบรณ 14
1
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
¨íҹǹ¨Ãi§ สรปสาระสาคญ 1. โครงสรางของระบบจานวนจรง
2. จานวนตรรกยะ
จานวนตรรกยะ คอ จานวนทสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวน เมอ a, b เปนจานวนเตม \
และ b ≠ 0 สญลกษณ แทนดวย Q
ตวอยาง 2 เปนจานวนตรรกยะ 3. จานวนอตรรกยะ
จานวนอตรรกยะ คอ จานวนจรงทไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจานวนเตมได พบใน
สามแบบ ดงน
1. ตดเครองหมายราก และถอดรากไมลงตว เชน √2, √3, √−6
2. เปนทศนยมแบบไมซา เชน 1.232332333…
3. เปนสญลกษณพเศษ เชน π, e 4. เปรยบเทยบจานวนตรรกยะ และ จานวนอตรรกยะ
จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ 1. เขยนเปนเศษสวนของจานวนเตมได 1. เขยนเปนเศษสวนของจานวนเตมไมได
2. ถาตดเครองหมายราก จะถอดไดลงตว 2. ตดเครองหมายราก และถอดไมลงตว
3. ถาเปนทศนยม จะเปนทศนยมซา เชน
2.353535…
3. ถาเปนทศนยมจะเปนทษนยมไมซา เชน
2.353353335…
4. ใชเปนคาประมาณของ π คอ 4. ใชเปนสญลกษณพเศษ คอ π , e
2
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ตวอยางท 1 พจารณาวาจานวนทกาหนดใหวาเปนจานวนตรรกยะ หรอ จานวนอตรรกยะ
1. √196 2. −√2025 .................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
3.√0.0025 4. 3.1414
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
5. 4.999… 6. 4.232232223
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
7. 1.454554555… 8. √3 − √2 (√3 + √2)
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
9. (√5 − √2) 10. √18 − 3√2
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
.................................................................... ...................................................................
3
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ขอสงเกต จานวนตรรกยะ + , − , ×, ÷ จานวนตรรกยะ ผลทได จานวนตรรกยะเสมอ
จานวนอตรรกยะ + , − , ×, ÷ จานวนอตรรกยะ ผลทได ไมแนนอน
จานวนตรรกยะ + , − จานวนอตรรกยะ ผลทได จานวนอตรรกยะเสมอ
จานวนตรรกยะ ×, ÷ จานวนอตรรกยะ ผลทได ไมแนนอน
5. การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม
การเปลยนเศษสวนเปนทศนยม ทาไดโดยการตงหาร
ตวอยาง 1. = 2.375 2. = 0.6
6. การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวน กรณท 1 ทศนยมซาศนย เชน 5.23
กรณท 2 ทศนยมซาเลขอนๆ
เชน 1) 2.333333… =
2) 6.89898989… =
3) 1.4525252… =
4) 1.235235235… =
ตวอยางท 1 จงเปลยนทศนยมเปนเศษสวน
1. 0.35 =..........................
2. 2.435 =..........................
3. 0. 4 =..........................
4. 0. 345 =..........................
5. 0.345 =..........................
6. 0.345 =..........................
4
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
7. 1. 63 =..........................
8. 2.045 =..........................
7. สมบตเกยวกบจานวนจรง
การเทากนของจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ
สมบตสะทอน จะได a = a
สมบตสมมาตร จะได a = b แลว b = a
สมบตถายทอด จะได ถา a = b และ b = c แลว a = c
สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน จะได a = b แลว a + c = b + c
สมบตการคณดวยจานวนทเทากน จะได a = b แลว ac = bc
สมบตเกยวกบการบวกจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ
สมบตปดของการบวก จะได a + b เปนจานวนจรง
สมบตสลบทของการบวก จะได a + b = b + a
สมบตเปลยนกลมของการบวก จะได a + (b + c) = (a + b) + c
เอกลกษณการบวก จะได 0 เปนเอกลกษณการบวก
เพราะ a + 0 = 0 + a
อนเวอรสการบวก จะได –a เปนอนเวอรสการบวกของ a
เพราะ a + (-a) = (-a) + a = 0
สมบตเกยวกบการคณจานวนจรง ให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ
สมบตปดของการคณ จะได ab เปนจานวนจรง
สมบตสลบทของการคณ จะได ab = ba
สมบตเปลยนกลมของการคณ จะได a (b c) = (a b) c
เอกลกษณการคณ จะได 1 เปนเอกลกษณการคณ
เพราะ a × 1 = 1 × a = a
อนเวอรสการคณ จะได a-1 เปนอนเวรสการคณของ a
เพราะ a × a-1 = a-1 × a = 1
e ç¡·
8. ทฤษ
จากสมก
ดงนน
ตวอยาง
1. x3 - 2
............
............
............
............
............
ÒeÅ �¹· �.¤oÁ
สมบตการแจa ×
สมบตการตดถา a
ถา a
สมบตการตดถา a
ถา a
ฎบทเศษเหเมอตวตงคอ
การ
จะได
แทน X = c จ
ดงนน
ท 1 จงหาเศษ
x2 -5x + 6 ห
...................
...................
...................
...................
...................
Á
จกแจง ให a,
(b + c) = (a
ดออกสาหรบa + c = b +
a + b = a +
ดออกสาหรบa c = b c แล
a b = a c แล
ลอ P(x) เปนพห
จะได
ษจากการหาร
หารดวย x + 3
...................
...................
...................
...................
...................
, b, c เปนจา
a × b) + (a ×
บการบวก c แลว a = b
c แลว b = c
บการคณ ละ c ≠ 0 แลว
ละ a ≠ 0 แลว
หนามดกรสงก
P(x) = ผลลพ
P(c) = 0 + เ
P(X) ÷ (X -
รพหนามตอไ
3
.................
.................
.................
.................
.................
5
นวนจรงใดๆ
× c)
b
c
ว a = b
ว b = c
กวา 1 ตวหาร
พธ × (X – c)
เศษ = เศษ
- c) จะไดเศ
ไปน
แลว
รคอ x-c จะห
) + เศษ
ษเทากบ P(
2. 2x3 + x2+
..................
..................
..................
..................
..................
ww
าเศษจากกา
c)
+ x + 3 หารด
...................
...................
...................
...................
...................
ww.dekta
รหารไดดงน
ดวย 2x + 1
...................
...................
...................
...................
...................
alent.com
............
............
............
............
............
m
6
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ตวอยางท 2
1. ถา 2x3 - x2 + 5x + k หารดวย x + 2 แลว 2. ถา x + 3 หาร 2x3 - 3x2 + mx + 7 เหลอเศษ
เหลอเศษ 5 จงหาคา K เทากบเศษทไดจากการนา x - 3 ไปหาร
x4 - 5x3 + 2x2 – x + 2 จงหาคา m
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
9. การแกสมการ
สงทตองทราบ
-วธการแยกตวประกอบของพหนาม
-สตรการแกสมการสาหรบ สมการกาลงสอง
วธการแยกตวประกอบของพหนาม 1. การดงตวรวม
2. การแยกตวประกอบสองวงเลบ
3. กาลงสองสมบรณ
4. ผลตางกาลงสอง
5. ผลบวก หรอ ผลตางกาลงสาม
6. วธเพมเขา-ลบออก
7. จบค ดงตวรวม
8. การหารสงเคราะห
7
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ทบทวนการแยกตวประกอบสองวงเลบ
ตวอยางท 1 จงหาคา x จากสมการ
1. x2 + 7x + 10 = 0 2. x2 - 15x + 36 = 0
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
3. x2 + 5x – 24 = 0 4. x2 - 4x – 12 = 0
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
5. 2x2 + 13x – 24 = 0 6. 6x2 -12x + 6 = 0
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
ทบทวนการหารสงเคราะห ตวอยางท 1 จงหาคา x จากสมการ
1. x3 + x2 - 8x - 12 = 0 2. 3x3 + 2x2 - 12x - 8 = 0
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
8
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ÊÙµÃการแกสมการ สาหรบสมการกาลงสอง + + = 0
= −b ± √b − 4ac2a
ตวอยางท 1 จงหาคา x
1. x2 + 8x + 6 = 0 2. 2x2 + 4x = 1
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
.................................................................. ...................................................................
10. สมบตการไมเทากน
สมบตไตรวภาค ถา a, b เปนจานวนจรงใดๆ แลวความสมพนธระหวาง a กบ b จะเปนอยางใดอยางหนง คอ
1. a < b
2. a = b
3. a > b
สมบตของการไมเทากน 1. สมบตของการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c
2. สมบตของการบวก ถา a > b แลว a + c > b + c
3. สมบตของการลบ ถา a > b แลว a - c > b - c
4. สมบตของการคณ
• ถา a > b และ c > 0 แลว จะได ac > bc
• ถา a > b และ c = 0 แลว จะได ac = bc
• ถา a > b และ c < 0 แลว จะได ac < bc
9
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
5. สมบตของการหาร
• ถา ac > bc และ c > 0 แลว จะได a > b
• ถา ac > bc และ c > 0 แลว จะได a > b
11. ชวง (Interval) นยาม เมอเอกภพสมพทธเปนจานวนจรงและ a < b แลว 1) ชวงเปด หมายถง {x | a < x < b} สญลกษณ คอ (a , b)
เขยนกราฟ
2) ชวงปด หมายถง {x | a ≤ x ≤ b} สญลกษณ คอ [a , b]
เขยนกราฟ
3) ชวงครงเปด ม 2 แบบ ดงน
3.1 [a ,b ) หมายถง {x | a ≤ x < b}
เขยนกราฟ
3.2 (a ,b ] หมายถง {x | a < x ≤ b}
เขยนกราฟ
4) ชวงอนนต ม 2 แบบ ดงน
4.1 (a, ∞) หมายถง {x | x > a}
เขยนกราฟ
10
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
4.2 (-∞, a) หมายถง {x | x < a}
เขยนกราฟ
ตวอยางท 1 จงหาผลลพธของชวงตอไปน
ถา A = )2, 6(
B = )4, 8]
C = [-2, 5]
D = [0, 7(
จงหา
1. A ∪ B 2. B ∩ (C ∪ D)
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
3. (A′ ∩ D)′ 4. A - (B ∪ C)′ ..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
ตวอยางท 2
ให A = {x | -3 < x ≤ 5}
B = {x | -8 ≤ x ≤ 2}
C = {x | -1 < x < 8}
จงหา
1. A - (B ∩ C) 2. (A′∩ B)′ ..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
11
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
3. (B ∪ C) - A′ 4. (A – B)′ ∪(C - A)′ ..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
12. การแกอสมการ ขนตอนการแกอสมการ
1. แยกตวประกอบ
2. ตเสนจานวน
3. เลอกชวงของคาตอบ
ตวอยางท 1 จงแกอสมการตอไปน
1. (x - 3)(x - 2) > 0 2. (x - 4)(x + 3) < 0
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
3. x(x + 1)(x - 4) ≤ 0 4. x(3 - x)(x + 2) ≤ 0
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
5. (x - 2)2(x - 4)3(x + 5) < 0 6. ( )( )( ) ≥ 0
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
12
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
7. ( )( )( ) ≤ 0
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
ตวอยางท 2 จงแกอสมการตอไปน
1. x2 + 6x + 9 > 0 2. x2 - 4x + 12 < 0
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
3. − 1 ≤ 0 4. − > 0
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
5. > 6 . ≤
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
7 .3 + − 4 ≥ 0
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
13
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
13. คาสมบรณ (Absolute value) คาสมบรณของจานวนจรง a ใดๆ หมายถง ระยะหางระหวาง 0 (ศนย) กบจด a บนเสนจานวน
สญลกษณ คอ | a |
นยาม
| | = เมอ > 00 เมอ = 0− เมอ > 0
สมบตของคาสมบรณ
1. | | ≥ 0 เสมอ 5. | | = | || |
2. | | = |− | 6. = | || |
3. | − | = | − | 7. | + | ≤ | | + | |
4.| | = | | = 8. | − | ≥ | | − | |
การแกสมการคาสมบรณ ตวอยางท 1 จงแกสมการ
1. |2x - 5| = 13 2. |x + 6| = x
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
14
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
3. |x + 2| = |x – 4| 4. |2x + 5| = |x – 5| + 3
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
การแกอสมการคาสมบรณ ทฤษฎบท เมอ a เปนจานวนจรงบวก
1. ถา |x| < a หมายถง –a < x < a
2. ถา |x| ≤ a หมายถง –a ≤ x ≤ a
3. ถา |x| > a หมายถง x < -a หรอ x > a
4. ถา |x| ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a
ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 1. | 2x + 7 | < 15 2. | 2x – 3 | ≤ 9
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
3. | 3x – 6 | > 12 4. | x – 2 | ≥ 3x + 3
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
15
e ç¡·ÒeÅ �¹· �.¤oÁ www.dektalent.com
ตวอยางท 2 จงแกอสมการ
1. | x – 1 | ≥ | 2x – 3 | 2. ≤ 2
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
..................................................................... ....................................................................
3. − 1 ≤
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
top related