ejercicios resueltos de derivadas
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Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:
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Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:
1
2
3
Tipo n 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Ejercicio n 1)
Sol: Ejercicio n 2)
Sol: Ejercicio n 3)
Sol: Ejercicio n 4)
Sol:
Ejercicio n 5)
Sol:
Ejercicio n 6)
Sol:
Ejercicio n 7)
Sol:
Ejercicio n
Sol:
Ejercicio n 9)
Sol:
Ejercicio n 10)
Sol:
Derivada de una funcin potencial: Forma simple Tipo n 2
LA DERIVADA DE UNA FUNCIN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio n 11)
Sol:
Ejercicio n 12)
Sol:
Ejercicio n 13)
Sol:
Ejercicio n 14)
Sol:
Ejercicio n 15)
Sol: Ejercicio n 16)
Sol:
Ejercicio n 17)
Sol:
Ejercicio n 18)
Sol:
Ejercicio n 19)
Sol:
Ejercicio n 20)
Sol:
Ejercicio n 21)
Sol:
Ejercicio n 22)
Sol:
Ejercicio n 23)
Sol:
Ejercicio n 24)
Sol:
Ejercicio n 25)
Sol:
Ejercicio n 26)
Sol:
Ejercicio n 27)
Sol:
Ejercicio n 28)
Sol:
Ejercicio n 29)
Sol: Derivada de una funcin logartmica: Forma simple
Ejercicio n 30)
Sol: Derivada de una funcin exponencial con base e: Forma simple
Ejercicio n 31)
Sol: Derivada de una funcin exponencial con base distinta del nmero e: Forma simple
Ejercicio n 32)
Sol:
Ejercicio n 33)
Sol:
Ejercicio n 34)
Sol:
Ejercicio n 35)
Sol:
Ejercicio n 36)
Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo seno
Ejercicio n 37)
Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo coseno
Ejercicio n 38)
Derivada de una funcin trigonomtrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio n 39)
Derivada de una funcin trigonomtrica tipo arco seno: Forma simple
Ejercicio n 41)
Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo arco tangente: Forma simple
Ejercicio n 40)
Sol:
1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.
a).b).-
c).-
d).-
a). Solucin
como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los trminos de las funciones, es decir si entonces
por lo que para la funcin planteada en el ejercicio:
Recordando que la derivada de una funcin potencia en la derivada de una constante es cero tendremos
es
y que
es decir
b). Solucin
Para este caso Distribuyendo la derivada tenemos:
y utilizando directamente la frmula para observamos que al derivar, por ejemplo, obtenemos
la cual es
:
por lo que :
c). Solucin
De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:
como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene
por lo tanto:
d). Solucin
derivando cada trmino
Por lo que:
2.- Obtener los siguientes problemas.
a).-
b).-
c).-
d).-
Para la solucin de estos problemas utilizaremos, adems de las frmulas expuestas en el ejercicio anterior la frmula siguiente:
a).- Solucin
para obtener la solucin tenemos dos caminos.
1ero en este caso si comparamos con la frmula para derivar la divisin de dos funciones tendramos el anlogo f(x)=x y g(x)=x2+1 derivando cada funcin obtendramos:
f(x)=1 y g(x)=2x
sustituyendo en (A.1) tendramos:
simplificando:
2ada forma Como
ya que x2+1 nunca es cero, entonces:
podremos utilizar la frmula:
donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1 derivando cada funcin obtendramos:
f(x)=1 y
sustituyendo en A.2 obtenemos:
b).-Solucin
aplicando la frmula
tenemos:
del ejercicio anterior ya obtuvimos que:
y
entonces:
por lo tanto:
c).- Solucin
sustituyendo en la ecuacin (A.1)
por lo tanto:
d).- Solucin
aplicando la frmula
tenemos:
pero ya hemos calculado
del ejercicio a)
y la derivada de x3-x es:
de lo que:
1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).-
b).c).d).e).-
a) Solucin
para la solucin de estos problemas ocuparemos las siguientes frmulas
utilizando C.5 y haciendo
tenemos
pero por lo que
simplificando
b) Solucin
utilizando C.5 y haciendo
tenemos:
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la frmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
finalmente al sustituir en b.1 tenemos:
c) Solucin
tomando, en la frmula C.3, u=x y v=sen x tenemos:
d) Solucin
aplicando directamente C.1 tenemos
e). solucin
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:
2.- Demuestre la frmula
como
pero de la propiedad:
entonces
derivando tenemos:
utilizando el hecho de que natural tenemos:
y la derivada de un logaritmo
simplificando, tenemos:
Derivadas trigonomtricas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).-
b).-
c).-
d).-
a) Solucin
aplicaremos la frmula para derivar un producto de funciones:
tenemos:
pero:
por lo tanto:
b) Solucin
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la frmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
c) Solucin
haciendo u=csc 3x tenemos:
aplicando la regla de la cadena
tenemos
pero v= csc 3x
recordando que
tenemos
sustituyendo en y(x) tenemos:
d) Solucin
aplicando la frmula (B.1) tenemos:
simplificando tenemos:
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