elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/21/block_html... · 2015-10-20 ·...

โครงสรางหลกสตรสถานศกษาขนพนฐานโรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

พ.ศ. ๒๕๕๘ – ๒๕๖๐

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาตอนตน

*************************************

ระดบชน รหสวชา ชอวชา ประเภทวชา (พนฐาน/เพมเตม)

ภาคเรยนท จ านวน (หนวยกต)

ม.๑

ค ๒๑๑๐๑ คณตศาสตร ๑ พนฐาน ๑ ๑.๕ ค๒๑๑๐๒ คณตศาสตร ๒ พนฐาน ๒ ๑.๕ ค ๒๑๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๑ เพมเตม ๑ ๐.๕ ค ๒๑๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๒ เพมเตม ๒ ๐.๕

ม.๒

ค ๒๒๑๐๑ คณตศาสตร ๓ พนฐาน ๑ ๑.๕ ค ๒๒๑๐๒ คณตศาสตร ๔ พนฐาน ๒ ๑.๕ ค ๒๒๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๓ เพมเตม ๑ ๐.๕ ค ๒๒๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๔ เพมเตม ๒ ๐.๕

ม.๓

ค ๒๓๑๐๑ คณตศาสตร ๕ พนฐาน ๑ ๑.๕ ค๒๓๑๐๒ คณตศาสตร ๖ พนฐาน ๒ ๑.๕ ค ๒๓๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๕ เพมเตม ๑ ๐.๕ ค ๒๓๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๖ เพมเตม ๒ ๐.๕

โครงสรางหลกสตรสถานศกษาขนพนฐานโรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

พ.ศ. ๒๕๕๘ – ๒๕๖๐

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาตอนปลาย

*************************************

ระดบชน รหสวชา ชอวชา ประเภทวชา (พนฐาน/เพมเตม)

ภาคเรยนท จ านวน (หนวยกต)

ม.๔

ค ๓๑๑๐๑ คณตศาสตร ๑ พนฐาน ๑ ๑.๐ ค๓๑๑๐๒ คณตศาสตร ๒ พนฐาน ๒ ๑.๐ ค ๓๑๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๑ เพมเตม ๑ ๑.๕ ค ๓๑๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๒ เพมเตม ๒ ๑.๕

ม.๕

ค ๓๒๑๐๑ คณตศาสตร ๓ พนฐาน ๑ ๑.๐ ค ๓๒๑๐๒ คณตศาสตร ๔ พนฐาน ๒ ๑.๐ ค ๓๒๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๓ เพมเตม ๑ ๑.๕ ค ๓๒๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๔ เพมเตม ๒ ๑.๕

ม.๖

ค ๓๓๑๐๑ คณตศาสตร ๕ พนฐาน ๑ ๑.๐ ค๓๓๑๐๒ คณตศาสตร ๖ พนฐาน ๒ ๑.๐ ค ๓๓๒๐๑ คณตศาสตรเพมเตม ๕ เพมเตม ๑ ๑.๕ ค ๓๓๒๐๒ คณตศาสตรเพมเตม ๖ เพมเตม ๒ ๑.๕

รายวชาพนฐาน

ระดบมธยมศกษาตอนตน

ค าอธบายรายวชาพนฐาน

รายวชา คณตศาสตร ๑ รหสวชา ค ๒๑๑๐๑ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาจ านวนเตมบวก จ านวนเตมลบ ศนย การบวก การลบ การคณ และการหาร จ านวนเตม

โจทยปญหาเกยวกบจ านวนเตม เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม การเขยนแสดงจ านวนในรป

สญกรณวทยาศาสตร ( A×10n เมอ 101 A และ n เปนจ านวนเตม การคณและการหารเลขยกก าลงทม

ฐานเดยวกนและเลขชก าลงเปนจ านวนเตม การน าไปใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนนบ และการ

น าไปใช การน าความรและสมบตเกยวกบจ านวนเตมไปใชการสรางพนฐานทางเรขาคณต(ใชวงเวยนและ

สนตรง) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทก าหนดให การแบงครง

สวนของเสนตรงทก าหนดให การสรางมมใหมขนาดเทากบขนาดของมมทก าหนดใหการสรางรป

เรขาคณตสองมต โดยใชการสรางพนฐานทางเรขาคณต (ใชวงเวยนและสนตรง) การแบงครงมมท

ก าหนดให การสรางเสนตงฉากจากจดภายนอกมายงเสนตรงทก าหนดใหการสรางเสนตงฉากทจดจดหนง

บนเสนตรงทก าหนดให

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณ

ทางคณตศาสตรในการสอสาร ไดอยางถกตอง ชดเจน น าประสบการณดานความร ความคด

ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนรและใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และ

ทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร และทกษะชวต

ตวชวด

ค๑.๑ ม. ๑/๑ , ม. ๑/๒

ค๑.๒ ม. ๑/๑ , ม. ๑/๓ , ม. ๑/๔

ค๑.๔ ม. ๑/๑

ค๓.๑ ม. ๑/๑ , ม. ๑/๒ , ม. ๑/๓

ค๖.๑ ม. ๑/๑ , ม. ๑/๒ , ม. ๑/๓ , ม. ๑/๔ , ม. ๑/๕ , ม. ๑/๖

รวม ๑๕ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๑ ค ๒๑๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

หนวยการเรยนรท

มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

สาระส าคญ ชอหนวยการเรยนร

เวลา (ชวโมง)

น าหนกคะแนน (๑๐๐)

๑ ค๑.๑ ม. ๑/๑

ค๑.๔ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๑

- ตวประกอบของจ านวนนบใด ๆ คอ จ านวนนบทหารจ านวนนบนนลงตว - จ านวนนบทมากกวา ๑ และมตวประกอบเพยงสองตว คอ ๑ และตวเอง เรยกวาจ านวนเฉพาะ - ตวประกอบทเปนจ านวนเฉพาะ เรยกวาตวประกอบเฉพาะ - การแยกตวประกอบของจ านวนนบใด คอ ประโยคทแสดงการเขยนจ านวนนบนนในรปการคณของตวประกอบเฉพาะ - ห.ร.ม. คอ ตวประกอบรวมทมคามากทสดทสามารถหารจ านวนนบตงแตง ๒ จ านวนขนไป - ค.ร.น. ของจ านวนนบตงแตสองจ านวนขนไป คอ จ านวนนบทนอยทสดทมจ านวนนบเหลานนเปนตวประกอบ

ตวหารรวม

มากและตว

คณรวม

นอย

๑๔ ๑๕

๒ ค๑.๑ ม. ๑/๑

ค๑.๒ ม. ๑/๑

ค๑.๔ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๓

- จ านวนเตมแบงออกเปน ๓ ประเภท คอจ านวนเตมบวกหรอจ านวนนบ ศนยและจ านวนเตมลบ - ในการเปรยบเทยบจ านวนสองจ านวนบนเสนจ านวนจ านวนเตมท

ระบบ

จ านวนเตม

๑๔ ๑๕

ค๖.๑ ม. ๑/๔

ค๖.๑ ม. ๑/๕ อยทางขวาจะมคามากกวาจ านวนทอยทางซายเสมอ

สอบกลาง

ภาค

ค๑.๑ ม. ๑/๑

ค๑.๒ ม. ๑/๑

ค๑.๔ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๓

ค๖.๑ ม. ๑/๔

ค๖.๑ ม. ๑/๕

- ตวหารรวมมากและการน าไปใช - ตวคณรวมนอยและการน าไปใช - จ านวนเตม - การบวกจ านวนเตม - การลบจ านวนเตม - การคณจ านวนเตม - การหารจ านวนเตม - สมบตของจ านวนเตม

๑.๕ ๒๐

๓ ค๑.๑ ม. ๑/๒

ค๑.๒ ม. ๑/๓

ค๑.๒ ม.๑/๔

ค๖.๑ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๕

- ให a แทนจ านวนใด ๆ และ n เปนจ านวนเตมบวก จะได

...na a a a a เปนจ านวน n ครง a เรยกวา ฐาน

n เรยกวา เลขยกก าลง

- การคณและการหารเลขยกก าลงทมฐานเปนจ านวนเดยวกน และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมใด ๆ จะอาศยบทนยามและสมบตตาง ๆ เกยวกบการคณ การหาร ของเลขยกก าลงเขามาชวยในการหาผลลพธ

- เราใชเลขยกก าลงเขยนแสดงจ านวนในรปของสญกรณวทยาศาสตร โดยมรปทวไปคอ

A เมอ 1 10A

เลขยกก าลง ๑๕ ๑๕

และ n เปนจ านวนเตม

น าหนกคะแนน

(๑๐๐) ๔ ค๓.๑ ม. ๑/๑

ค๓.๑ ม. ๑/๒

ค๓.๑ ม. ๑/๓

ค๖.๑ ม. ๑/๒

ค๖.๑ ม. ๑/๔

ค๖.๑ ม. ๑/๖

- จดและเสนตรงเปนค าพนฐานทางเรขาคณตทไมนยาม แตเราใชจดและเสนตรงในการใหนยามรปเรขาคณตอน ๆ เชน สวนของเสนตรง คอสวนของเสนตรงทมจดปลายสองจด รงส คอสวนหนงของเสนตรงทมจดปลายเพยงจดเดยว มม คอรงสสองเสนทมจดปลาย เปนจดเดยวกน รงสทงสองนเรยกวา แขนของมม และเรยกจดปลายทเปนจดเดยวกนวา จดยอดมม - วธการสรางรปโดยอาศยวงเวยนและสนตรง เชน การใชวงเวยนรวมกบไมบรรทด ไมโปรแทรกเตอรหรอสนตรงอน ๆ ในทางคณตศาสตรเรยกวา การสรางทางเรขาคณตเบองตน ไดแก การสรางสวนของเสนตรง การสรางมม การแบงครงมม การสรางมมตรง มมฉาก มม 45 มม 60 และมมอน ๆ การสรางเสนตงฉากจากจดทก าหนดใหและการสรางรปเรขาคณตอยางงาย

พนฐานทาง

เรขาคณต

๑๔ ๑๕

(๑๐๐)

สอบปลาย

ภาค

ค๑.๑ ม. ๑/๒

ค๑.๒ ม. ๑/๓

ค๑.๒ ม. ๑/๔

ค๓.๑ ม. ๑/๑

ค๓.๑ ม. ๑/๒

ค๓.๑ ม. ๑/๓

- ความหมายของเลขยกก าลง - การด าเนนการของเลขยกก าลง - จด เสนตรง สวนของเสนตรง

รงส มม - การสรางพนฐาน - การสรางรปเรขาคณตอยางงาย

๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๐

รายวชา คณตศาสตร ๒ รหสวชา ค ๒๑๑๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาเศษสวนและทศนยม การเปรยบเทยบเศษสวนและทศนยม การบวก การลบ การคณ และ

การหาร เศษสวนและทศนยม โจทยปญหาเกยวกบเศษสวนและทศนยม โอกาสของเหตการณ การ

ประมาณคาและการน าไปใช ภาพของรปเรขาคณตสามมต ภาพทไดจากการมองดานหนา (front view)

ดานขาง (side view) และดานบน (top view) ของรปเรขาคณตสามมต การวาดหรอประดษฐรปเรขาคณต

สามมตทประกอบขนจากลกบาศก เมอก าหนดภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน

ให ความสมพนธของแบบรป สมการเชงเสนตวแปรเดยว การเขยนสมการเชงเสนตวแปรเดยวจาก

สถานการณหรอปญหา โจทยปญหาเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยว กราฟบนระนาบในระบบพกดฉาก

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย และโปรแกรมส าเรจรปทาง

คณตศาสตร The Geometer’s Sketchpad (GSP) ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณ

ทางคณตศาสตรในการสอสารไดอยางถกตอง น าประสบการณดานความรความคดทกษะกระบวนการไป

ใชในการเรยนรและใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

ตวชวด

ค ๑.๑ ม. ๑/๑

ค ๑.๒ ม. ๑/๒

ค ๑.๓ ม. ๑/๑

๑๑

ค ๓.๑ ม. ๑/๔ , ม. ๑/๕ , ม. ๑/๖

ค ๔.๑ ม.๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๑ , ม. ๑/๒ , ม. ๑/๓ , ม. ๑/๔ , ม.๑/๕

ค ๕.๒ ม. ๑/๑

ค๖.๑ ม. ๑/๑ , ม. ๑/๒ , ม. ๑/๓ , ม. ๑/๔ , ม. ๑/๕ , ม. ๑/๖

รวม ๑๙ ตวชวด

๑๒

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๒ ค ๒๑๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๑.๑ ม. ๑/๑

ค ๑.๒ ม. ๑/๒

ค ๕.๒ ม. ๑/๑

ค ๖.๑ ม. ๑/๑

ค ๖.๑ ม. ๑/๓

ค ๖.๑ ม. ๑/๕

- จ านวนทอยในรปทศนยมประกอบ ดวยสองสวน คอ สวนทเปนจ านวนเตมและสวนทเปนทศนยม และมจด (.) คนระหวางสองสวนนน - บนเสนจ านวนทศนยมทอยทางขวาจะมากกวาทศนยมทอยทางซายเสมอ - การบวกและการลบทศนยม จะตองจดตวเลขทอยในหลกหรอต าแหนงเดยวกนใหตรงกนแลวท าการบวกหรอลบตามหลกเกณฑ - การคณทศนยมมหลกเกณฑการคณกนเหมอนจ านวนเตมแตผลลพธจะเปนจ านวนทศนยมทมต าแหนงทศนยมเทากบผลบวกของจ านวนต าแหนงทศนยมของตวตงและตวคณ - การหารทศนยมมหลกการวาจะตองท าตวหารใหเปนจ านวนเตมกอนแลวจงน าไปหารตวตง - เศษสวน คอ ตวเลขทใชจ านวนในรป a

b เมอ a และ b เปนจ านวนเตมท

0b โดยเรยก a วาตวเศษ และเรยก b วาตวสวน

ทศนยม

และ

เศษสวน

๑๕ ๑๒

๑๓

- การบวกและการลบเศษสวนตองท าตวสวนใหเทากนแลวน าเศษมาบวกหรอลบกน - การคณเศษสวนใหน าเศษคณเศษและสวนคณสวนแลวตอบเปนเศษสวนอยางต า - การหารเศษสวนใหเปลยนเครองหมายหารเปนเครองหมายคณแลวกลบตวเศษเปนสวนและกลบสวนเปนเศษแลวใชหลกการคณ - เศษสวนสามารถเขยนในรปของทศนยมไดโดยน าตวสวนไปหารตวเศษ

๒ ค ๑.๓ ม. ๑/๑

ค ๖.๑ ม. ๑/๓

ค ๖.๑ ม. ๑/๔

- คาทไดจากการประมาณและการประมาณคาเรยกวา คาประมาณ

- การปดเศษจ านวนเตมใด ๆ ใหเปนจ านวนเตมสบ จ านวนเตมรอย จ านวนเตมพน หรอจ านวนเตมหมน ฯลฯทใกลเคยงทสด ท าโดยอาศยหลกวา จ านวนทตองการปดเศษอยระหวางสองจ านวนทเปนจ านวนเตมสบ จ านวนเตมรอย จ านวนเตมพน หรอจ านวนเตมหมน ฯลฯ มคาใกลจ านวนใดมากกวา กใหปดเปนจ านวนนน

การ

ประมาณ

คา

๕ ๘

๓ ค ๔.๒ ม.๑/๔

ค ๔.๒ ม.๑/๕

- คอนดบเปนการแสดงการจบคของสมาชกของกลมสองกลม โดยใช

คอนดบ

และกราฟ

๙ ๑๐

๑๔

สญลกษณ (x , y) โดย x จะแทน - สมาชกตวหนา และ y แทนสมาชกตวหลง

- ความสมพนธระหวางปรมาณสองกลม สามารถแสดงความสมพนธโดยใชกราฟ และเมอมกราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณสองกลมเราสามารถหาพกดของจดทอยบนกราฟนนได - กราฟและการน าไปใช

ภาค

ค ๑.๑ ม. ๑/๑

ค ๑.๒ ม. ๑/๒

ค ๑.๓ ม. ๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๔

ค ๔.๒ ม.๑/๕

ค ๕.๒ ม. ๑/๑

ค ๖.๑ ม. ๑/๓

ค ๖.๑ ม. ๑/๔

ค ๖.๑ ม. ๑/๕

- ทศนยมและการเปรยบเทยบทศนยม - การบวก ลบ คณและหารทศนยม - เศษสวนและการเปรยบเทยบเศษสวน - การบวก ลบ คณและหารเศษสวน - ความสมพนธระหวางทศนยมและ

เศษสวน - การประมาณคา - การปดเศษ - คอนดบและกราฟ

๑.๕ ๒๐

ค ๔.๑ ม.๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๒

ค ๔.๒ ม.๑/๓

ค ๖.๑ ม. ๑/๔

ค ๖.๑ ม. ๑/๕

- สมการ เปนประโยคทแสดงการเทากนของจ านวนโดยมสญลกษณ = บอกการเทากน - ค าตอบของสมการ คอ จ านวนทแทนตวแปรในสมการแลวท าใหสมการเปนจรง - การแกสมการ คอ การหาค าตอบของสมการ -การหาค าตอบของสมการจะใชสมบต

สมการ

เชงเสน

ตวแปร

เดยว

๑๘ ๒๐

๑๕

การเทากนในการหาค าตอบ ไดแก สมบตสมมาตร สมบตถายทอด สมบตการบวกและสมบตการคณ

๕ ค ๓.๑ ม. ๑/๔

ค ๓.๑ ม. ๑/๕

ค ๓.๑ ม. ๑/๖

ค ๖.๑ ม. ๑/๖

-รปเรขาคณต เปนรปทประกอบดวย จด เสนตรง เสนโคง ระนาบ ฯลฯ อยางนอยหนงอยาง - เมอใชระนาบตดรปเรขาคณตสามมตจะได หนาตด หรอ ภาคตดบนระนาบ รปทไดจากการตดจะเปนรปเรขาคณตชนดใดขนอยกบแนวการตดและชนดของรปเรขาคณตสามมตนน - การเขยนรปเรขาคณตสองมตเพอแสดงรปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจากลกบาศกเราจะเขยนตารางรปสเหลยมทปรากฏในดานทมอง เพอใหทราบจ านวนลกบาศกทซอนกนจงเขยนจ านวนลกบาศกก ากบไวใน

ความสม

พนธ

ระหวาง

รป

สองมต

และสาม

มต

๑๐ ๑๐

ภาค

ค ๔.๑ ม.๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๑

ค ๔.๒ ม.๑/๒

ค ๔.๒ ม.๑/๓

ค ๓.๑ ม. ๑/๔

ค ๓.๑ ม. ๑/๕

ค ๓.๑ ม. ๑/๖

- แบบรปและความสมพนธ - ค าตอบของสมการ - การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว - หนาตดของรปเรขาคณต - ภาพทไดจากกการมองดานหนา

ดานขางและดานบนของรปเรขาคณตสาม

- รปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศกมต

๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๖

รายวชา คณตศาสตร ๓ รหสวชา ค ๒๒๑๐๑ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาอตราสวน สดสวน รอยละ การวดความยาว พนท การเลอกใชหนวยการวด การคาดคะเน

เวลา ระยะทาง พนทปรมาตร และน าหนก การน าไปใชและแกปญหา ดานและมมคทมขนาดเทากนของ

รปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบ ดาน– มม– ดาน

มม– ดาน– มม ดาน – ดาน – ดาน และมม– มม– ดาน การใชสมบตในการใหเหตผลและการแกปญหา การ

เลอนขนาน การสะทอน และการหมนรปเรขาคณตบนระนาบในระบบพกดฉาก แผนภมรปวงกลม

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ และโปรแกรมส าเรจรปทางคณตศาสตร GSP ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร และน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

ตวชวด

ค ๑.๑ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๔

ค ๒.๑ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๒ , ม. ๒/๓

ค ๒.๒ ม. ๒/๑

๑๗

ค ๓.๒ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๓ , ม ๒/๔

ค ๔.๒ ม. ๒/๒

ค ๕.๑ ม. ๒/๑

ค ๕.๒ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๒ , ม. ๒/๓ , ม. ๒/๔ , ม. ๒/๕ , ม. ๒/๖

รวม ๑๘ ตวชวด

๑๘

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๓ ค ๒๒๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๑.๑ ม. ๒/๑

ค ๑.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๒

ค ๖.๑ ม. ๒/๓

ค ๖.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๕

ค ๖.๑ ม. ๒/๖

- ความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณซงอาจมหนวยเดยวกนหรอหนวยตางกนกได เรยกวา อตราสวน เขยนเปนสญลกษณ :a b

หรอ ab

อานวา a ตอ b

- การหาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ ใหน าจ านวนทไมเทากบศนยคณอตราสวน จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม - การตรวจสอบอตราสวนดวยวธคณ

ไขว ถาอตราสวน a c

b d แลว

ad bc เมอ b และ d ตางกไมเทากบศนย - ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนเรยกวา สดสวน - การหาคาตวแปรในสดสวนท าได ๓ วธ คอ ใชหลกการคณทงเศษและสวน

อตราสวน

และรอยละ

๑๕ ๑๕

๑๙

ใชหลกการหารทงเศษและสวน ใชหลกการคณไขว

- ในการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณโดยใชอตราสวน ถาปรมาณของสงหลงเปน ๑๐๐ เราเรยกเปนรอยละหรอเปอรเซนต - การเขยนอตราสวนตางๆ ใหอยในรปของรอยละ ตองท าอตราสวนของปรมาณหลงใหเปน ๑๐๐ - การค านวณเกยวกบรอยละใหน าหลกการของอตราสวนและวธการค านวณหาตวแปรจากสดสวนมาประยกตใชแกปญหาได - การแกโจทยปญหารอยละ จะน าหลกการของอตราสวน การเขยนอตราสวนและสดสวนมาใชในการแกปญหา

๒ ค ๒.๑ ม. ๒/๑

ค ๒.๑ม. ๒/๒

ค ๒.๑ม. ๒/๓

ค ๒.๒ม. ๒/๑

- หนวยในการวดความยาวทนยมใชไดแก ระบบความยาวของไทย ระบบมาตรฐานเมตรก และระบบมาตรฐานองกฤษ - การวดความยาว เปนการบอกระยะความยาวของสงทตองการทราบ โดยเลอกใชเครองมอทมความเหมาะสมกบ

การวด ๑๔ ๑๕

๒๐

สงทตองการวด - การเปลยนหนวยความยาวใชหลกการเทยบบญญตไตรยางศ - หนวยพนทจะใชตาราง และหนวยของปรมาณจะใชลกบาศก

หนวยการ

เรยนรท

มาตรฐานการ

เรยนร /

ตวชวด

สาระส าคญ ชอหนวย

การเรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

- การคาดคะเน เปนการระบคาสงตางๆ โดยไมสามารถหาคาทแทจรงได - ค าน าหนาในระบบเมตรกทส าคญ คอ

กโล แทน 310 เฮกโต แทน 210 เดคา แทน 110 เดซ แทน 110 เซนต แทน 210 มลล แทน 310

ภาค

ค ๑.๑ ม. ๒/๑

ค ๑.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๒

ค ๖.๑ ม. ๒/๓

ค ๖.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๕

ค ๖.๑ ม. ๒/๖

ค ๒.๑ ม. ๒/๑

ค ๒.๑ม. ๒/๒

ค ๒.๑ม. ๒/๓

- อตราสวน

- อตราสวนทเทากน

- อตราสวนของจ านวนหลาย ๆ จ านวน

- สดสวน

- รอยละ

- การวดความยาว

- การวดพนท

- การวดปรมาตรและน าหนก

- การวดเวลา

๑.๕ ๒๐

๒๑

ค ๒.๒ม. ๒/๑

สาระส าคญ ชอหนวยการ

เรยนร

๓ ค ๕.๑ ม. ๒/๑

การน าเสนอขอมลดวยแผนภมรป

วงกลม เปนการน าเสนอขอมลโดย

ใชการแบงพนทในรปวงกลม

ออกเปนสวนยอยๆ ตามจ านวนของ

ปรมาณทตองการเปรยบเทยบ การ

แบงพนทจะแบงมมทจดศนยกลาง

ใหมขนาดตางๆ ตามจ านวนขอมลท

ก าหนด และเปลยนใหอยในรปรอย

ละหรอเปอรเซนต โดยใชหลกการ

วาผลบวกของจ านวนขอมลทงหมด

เทากบ ๑๐๐ % เทากบมมทจด

ศนยกลางทมขนาด ๓๖๐ องศา หรอ

๑ % เทากบ ๓.๖ องศา

แผนภมรป

วงกลม

๘ ๑๐

๔ ค ๓.๒ ม. ๒/๓

ค ๓.๒ ม ๒/๔

- การแปลง เปนการเคลอนทคงรป (rigid motion) สมพนธกบการเทากนทกประการ การแปลงแบบนรปทเกดขนจะยงคงรกษาภาวะรวมเสนตรง ระยะหางระหวางจด ตลอดจนมรปรางลกษณะและขนาดเทาเดมกบรปตนแบบ - การสะทอน (reflection) เปนการ

การแปลงทาง

๑๒ ๑๐

๒๒

แปลงแบบหนง การสะทอนจะตองมเสนสะทอน ระยะระหวางจดบนรปตนแบบถงเสนสะทอนจะเทากบระยะจดบน

เรยนร

- ภาพถงเสนสะทอนทสมนยกน ภาพทเกดจากการสะทอนเหมอนรปตนแบบและเทากนทกประการ เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนภาพทเกดจากการสะทอนท สมนยกน - การสะทอนครงรป เมอพบตามแนวเสนสะทอน รปซกซายและซกขวาจะทบกนสนทพอด เรยกวา การสะทอนสมมาตร - การเลอนขนาน (translation) เปนการสะทอนสองครงทตอเนองกน โดยผานเสนสะทอนสองเสนทขนานกน - รปตนแบบกบภาพทเกดจากการเลอนขนานเทากนทกประการ - การเลอนขนานจะตองมทศทาง - การหมน (rotation) เปนการสะทอนตอกนสองครงผานเสนสะทอนสองเสนตดกน หรอการหมนรอบจดๆ หนง

๒๓

- การหมนรอบจด จดเปนจดศนยกลางของการหมน หรอจดหมน และเรยกมมทหมนทกมมวา ขนาดของการหมน

เรยนร

๕ ค ๓.๒ ม. ๒/๑ - รปสองรปจะเทากนทกประกาดไดกตอเมอน ารปหนงซอนทบบนอกรปหนงไดสนทพอด ใชสญลกษณ

- สวนของเสนตรงทวางซอนกนและทบกนไดสนทพอด แสดงวามขนาดความยาวเทากน ดงนน สวนของเสนตรงทมขนาดยาวเทากน จะเทากนทกประการ - ถามม A เทากนทกประการกบมม B แลวจะน ามาวางซอนกนและทบกนไดสนทพอด โดยจะมขนาดของมมเทากน นนคอ และ

- ผลบวกของมมประชดบนเสนตรงจะเทากบ 180 - มมตรงขามเปนมมทเกดจากเสนตรงสองเสนตดกนและอยตรงขามกน ซงมมตรงขามจะมขนาดของมมเทากน - รปสามเหลยมสองรปใดๆ ทมดานยาวเทากนสองค และมมในระหวางดานทยาวเทากนมขนาดเทากนแลว

ความเทากน

ทกประการ

๘ ๑๐

๒๔

รปสามเหลยมสองสรปนนจะเทากนทกประการตามความสมพนธแบบ ดาน – มม – ดาน

เรยนร

- รปสามเหลยมสองรปใดๆ ทม

ขนาดของมมเทากนสองค และม

ดานซงเปนแขนรวมของมมทงสอง

มขนาดเทากน รปสามเหลยมสอง

รปนนจะเทากนทกประการตาม

ความสมพนธแบบ มม – ดาน – มม

- รปสามเหลยมสองรปใดๆ ทมดาน

ยาวเทากนสามค ดานตอดาน รป

สามเหลยมสองรปนนจะเทากนทก

ประการตามความสมพนธแบบ

ดาน – ดาน – ดาน

- รปสามเหลยมมมฉากสองรป ทม

ดานตรงขามมมฉากยาวเทากนอก

หนงคแลวรปสามเหลยมมมฉากทง

สองรปจะเทากนทกประการ ตาม

ความสมพนธแบบ ฉาก – ดาน –

ดาน

ภาค

ค ๓.๒ ม. ๒/๑

ค ๓.๒ ม. ๒/๓

ค ๓.๒ ม ๒/๔

- การอานแผนภมรปวงกลม

- การเขยนแผนภมรปวงกลม

- การเลอนขนาน การสะทอน

๑.๕ ๒๐

๒๕

ค ๕.๑ ม. ๒/๑ การหมน

- ความเทากนทก

รวม ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตร ๔ รหสวชา ค ๒๒๑๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาเศษสวนในรปทศนยม ทศนยมซ าในรปเศษสวน จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะและ

จ านวนจรง รากทสองและรากทสามของจ านวนจรง คาประมาณของรากทสองและรากทสามของจ านวน

จรง ทฤษฎบทพทาโกรส สมการเชงเสนตวแปรเดยว มมภายใน มมภายนอก และมมแยงของเสนขนาน

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาใน

สถานการณตาง ๆ ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร

และน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดาน

ความร ความคด ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

ตวชวด

ค ๑.๑ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๒ , ม. ๒/๓

ค ๑.๒ ม. ๒/๑ , ม ๒/๒

๒๖

ค ๑.๓ ม. ๒/๑

ค ๑.๔ ม. ๒/๑

ค ๓.๒ ม. ๒/๒

ค ๔.๒ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๑ , ม. ๒/๒ , ม. ๒/๓ , ม. ๒/๔ , ม. ๒/๕ , ม. ๒/๖

รวม ๑๕ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๔ ค ๒๒๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๑.๑ ม. ๒/๑

ค ๑.๑ ม. ๒/๒

ค ๑.๑ ม. ๒/๓

ค ๑.๒ ม. ๒/๑

ค ๑.๒ ม ๒/๒

ค ๑.๓ ม. ๒/๑

ค ๑.๔ ม. ๒/๑

- จ านวนจรงประกอบดวยจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะ ซงจ านวนตรรกยะประกอบดวยเศษสวนและจ านวนเตม และจ านวนเตมประกอบดวยจ านวนเตมบวก จ านวนเตมลบ และศนย - จ านวนทสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนไดเรยกจ านวนตรรกยะ - จ านวนทไมใชจ านวนตรรกยะเรยกจ านวน อตรรกยะ - บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสองของ a คอ จ านวนทยกก าลงสองแลวไดเทากบ a - ถา a แทนจ านวนจรงบวกใดๆ แลว และ เปนรากทสองของ a - ถา a แทนจ านวนจรงบวกใดๆ ท

แลว

ความร

เบองตน

เกยวกบ

จ านวน

จรง

๑๕ ๑๕

๒๗

- ถา a และ b แทนจ านวนจรงบวกใดๆ ท และ แลว

-บทนยาม ให a แทนจ านวนจรงบวกใดๆรากทสามของ a หมายถง จ านวนทยกก าลงสามแลวได a เขยนแทนดวย จะได

๒ ค ๓.๒ม. ๒/๒

- ทฤษฎบทพทาโกรส กลาวถงความสมพนธของดานประกอบรปสามเหลยมมมฉาก - บทกลบของทฤษฎพทาโกรสน าไปใชตรวจสอบวารปสามเหลยมทก าหนดใหเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม - ทฤษฎพทาโกรสน าไปใชค านวณ

ระยะทาง ความสง ความยาว และความ

กวางของสงตางๆ ทเกยวของกบรป

สามเหลยมมมฉาก

ทฤษฎบท

พทาโกรส

๑๔ ๑๕

ภาค

ค ๑.๑ ม. ๒/๑

ค ๑.๑ ม. ๒/๒

ค ๑.๑ ม. ๒/๓

ค ๑.๒ ม. ๒/๑

ค ๑.๒ ม ๒/๒

ค ๑.๓ ม. ๒/๑

ค ๑.๔ ม. ๒/๑

ค ๓.๒ ม. ๒/๑

- จ านวนตรรกยะ

- จ านวนอตรรกยะ

- รากทสอง

- รากทสาม

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก

- ทฤษฎบทพทาโกรส

- บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส

๑.๕ ๒๐

๓ ค ๔.๒ ม. ๒/๑ - ในการหาค าตอบของสมการเชงเสน การ ๑๔ ๑๕

๒๘

ค ๖.๑ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๒

ค ๖.๑ ม. ๒/๓

ค ๖.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๕

ในรปแบบตางๆ เชน ปญหาเกยวกบอาย เกยวกบการเงน หรอเกยวกบระยะทาง อตราเรวนน สามารถน าความรเกยวกบสมบตของการเทากนมาใชในการคดค านวณหาค าตอบของสมการนนๆ ได

ประยกต

ของ

สมการเชง

เสนตว

แปรเดยว

ค ๖.๑ ม. ๒/๖ -ในการแกปญหาโจทยเกยวกบความ

ยาว พนท ของผสมทมลกษณะของ

โจทยเปนสมการเชงเสนตวแปรเดยว

สามารถน าสมบตการเทากนตางๆ มา

ประยกตใชเพอหาค าตอบของโจทย

ปญหานนๆ ได

๔ ค ๓.๒ ม. ๒/๑ - บทนยาม เสนตรงสองเสนขนานกนกตอเมอมระยะหางเทากนตลอด - ทฤษฎบท เสนตรงคหนงมเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคนจะขนานกนกตอเมอผลบวกของมมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดรวมกนได ๑๘๐ องศา - เสนตรงคหนงมเสนตรงเสนหนงตด เสนตรงคนจะขนานกนกตอเมอมมแยงทเกดขนมขนาดเทากน - เสนตรงคหนงมเสนตรงเสนหนง

เสนขนาน ๑๔ ๑๕

๒๙

ตดเสนตรงคนจะขนานกนกตอเมอมมภายในและมมภายนอกทอยบนขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน

ภาค

ค ๓.๒ ม. ๒/๒

ค ๔.๒ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๑

ค ๖.๑ ม. ๒/๒

ค ๖.๑ ม. ๒/๓

ค ๖.๑ ม. ๒/๔

ค ๖.๑ ม. ๒/๕

ค ๖.๑ ม. ๒/๖

- การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว

- เสนขนานและมมภายใน

- เสนขนานและมมแยง

- เสนขนานและมมภายนอกกบมม

ภายใน

เสนขนานและรปสามเหลยม

๑.๕ ๒๐

รวม ๑๐๐

๓๐

รายวชา คณตศาสตร ๕ รหสวชา ค ๒๓๑๐๑ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาลกษณะและสมบตของปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม พนทผวของปรซม และทรงกระบอก ปรมาตรของปรซม ทรงกระบอก พระมด กรวย และทรงกลม การใชความรเกยวกบพนท พนทผว และปรมาตรในการแกปญหา การเปรยบเทยบหนวยความจหรอหนวยปรมาตรในระบบเดยวกนหรอตางระบบ การเลอกใชหนวยการวดเกยวกบความจหรอปรมาตร การคาดคะเนเกยวกบการวด กราฟแสดงความเกยวของระหวางปรมาณสองชดทมความสมพนธเชงเสน กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร กราฟของระบบสมการเชงเสนสองตวแปร กราฟอน ๆ ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร และการน าไปใช สมบตของรปสามเหลยมคลายและการน าไปใช

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร และน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร และทกษะชวต

ตวชวด

๓๑

ค๒.๑ ม.๓/๑ , ม.๓/๒ , ม.๓/๓ , ม.๓/๔

ค๒.๒ ม.๓/๑

ค๓.๑ ม.๓/๑

ค๓.๒ ม.๓/๑

ค๔.๒ ม.๓/๒ , ม.๓/๓ , ม.๓/๔ , ม.๓/๕

ค๖.๑ ม.๓/๑ , ม.๓/๒ , ม.๓/๓ , ม.๓/๔ , ม.๓/๕ , ม.๓/๖

รวม ๑๗ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๕ ค ๒๓๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค๒.๑ ม.๓/๑

ค๒.๑ ม.๓/๒

ค๒.๑ ม.๓/๓

ค๒.๑ ม.๓/๔

ค๒.๒ ม.๓/๑

ค๓.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๕

ค๖.๑ ม.๓/๖

-ทรงสามมตทมฐานเปนรปสามเหลยมใด ๆ มยอดแหลมซงไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐานและหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม เรยกวา พระมด

สตร

ปรมาตรของพระมด = 1

พนทฐาน x ความสง

พนทผวขาง = 1

2 x ความยาว

รอบฐาน x สงเอยง

พนทผวทงหมด = พนทผวขาง

+ พนทฐาน

พนทผวและ

ปรมาตร

๑๘ ๒๐

๓๒

-ปรซม เปนรปทรงทมหนาตด(ฐาน)

ทงสองขางเปนรปหลายเหลยมท

เทากนทกประการ มหนาขางเปนรป

สเหลยมมมฉาก การเรยกชอปรซมจะ

เรยกตามรปหนาตดของปรซม

ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน

x ความสง

พนทผวขาง = ความยาวรอบฐาน

x ความสง

พนทผวทงหมด = พนทผวขาง

+ ๒ พนทฐาน

-ทรงกลม คอ ทรงสามมตทมผวโคงเรยบและจดทกจดบนผวโคงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะทางเทากน

สตร ปรมาตรของทรงกลม = 34

พนทผวของทรงกลม = 24 r -ทรงกระบอก คอ ทรงสามมตใด ๆ ท

มฐานเปนรปวงกลมทเทากนทก

ประการกบหนาตด และอยในระนาบ

ทขนานกน เมอตดทรงสามมตนดวย

ระนาบทขนานกบฐานแลว จะไดรอย

๓๓

ตดเปนวงกลมทเทากนทกประการ

กบฐานเสมอ

สตรปรมาตรของทรงกระบอก

= พนทฐาน x ความสง = 2r h

พนทผวทงหมด = พนทผวขาง +

พนทฐานทงสอง= 22 + 2 rrh

= 2 r h r

๓๔

เรยนรท

เรยนร / ตวชวด สาระส าคญ

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

พนทผวขาง = 2 rh

-กรวย คอ ทรงสามมตใด ๆ ทมฐานเปนวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระแนบเดยวกนกบฐาน และเสนทตอระหวางจดยอดและจดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง

สตรพนทผวขางของกรวย =

rl l คอ สงเอยง

พนทผวทงหมด = 2rl r

= + rr l

ปรมาตรของกรวย = 21

๒ ค๔.๒ ม.๓/๒

ค๖.๑ ม๑/๒

ค๖.๑ ม.๓/๒

ค๖.๑ ม.๓/๓

-สมการเชงเสนสองตวแปร เปนสมการทสามารถเขยนไดในรปทวไปเปน Ax + By + C = ๐ เมอ x . y เปนตวแปร A , B และ C เปนคาคงตว ท A , B ไมเทากบศนยพรอมกน เราเรยกสมการในรป Ax + By + C = ๐ วาสมการเชงเสนตวแปรเดยว -การเขยนกราฟของสมการ Ax + By + C = ๐ เมอ A และ B ไมเทากบศนย จะนยมเปลยนสมการใหอยในรปใหมเรยกวา

กราฟ ๑๑ ๑๐

๓๕

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

- รปมาตรฐานของสมการเชงเสนตวแปรเดยว คอ

y ax b

เมอ a คอ ความชนของกราฟ

b คอ ระยะ ตดแกน Y

( ตดแกน Y ทจด (๐,b) )

- พจารณาคาของ a ซงม ๓

ลกษณะ และใหกราฟตางกน ๓

ลกษณะ ดงน

> 0a กราฟท ามมแหลมกบ

แกน X

= 0a กราฟขนานกบแกน X

< 0a กราฟท ามมปานกบแกน

-กรณทเขยนกราฟของสมการหลาย ๆ สมการ ถาสมการเหลานนมคา a เทากน กราฟจะขนานกน -กรณกราฟของสมการ ๒ สมการ มคา a คณกนได -๑ กราฟจะตงฉากกน

๓๖

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

ภาค

ค๒.๑ ม.๓/๑

ค๒.๑ ม.๓/๒

ค๒.๑ ม.๓/๓

ค๒.๑ ม.๓/๔

ค๒.๒ ม.๓/๑

ค๓.๑ ม.๓/๑

ค๔.๒ ม.๓/๒

- ลกษณะและสมบตของปรซม

พระมด ทรงกระบอก กรวย

และทรงกลม

- พนทผวของปรซม และ

ทรงกระบอก

- ปรมาตรของปรซม

ทรงกระบอก พระมด กรวย และ

ทรงกลม-

- การเปรยบเทยบหนวยความจ

หรอหนวยปรมาตรในระบบ

เดยวกนหรอตางระบบ

- การใชความรเกยวกบพนท

พนทผว และปรมาตรในการ

แกปญหา

- กราฟแสดงความเกยวของ

ระหวางปรมาณสองชดทม

ความสมพนธเชงเสน

๑.๕ ๒๐

๓๗

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๓ ค๔.๒ ม.๓/๓

ค๔.๒ ม.๓/๔

ค๔.๒ ม.๓/๕

ค๖.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๒

- , b , c , d , ea และ f เปนจ านวนจรงใด ๆ ท , b a ไมเปนศนยพรอมกน และ c , d

ไมเปนศนยพรอมกน เราเรยก

0ax by

cx dy f

วา ระบบสมการเชงเสนสอง

ตวแปร และค าตอบของระบบ

-การแกระบบสมการเชงเสนสอง

ตวแปรจะใชสมบตการบวก

สมบตการคณ สมบตการตดออก

-การแกโจทยสมการเชงเสนสอง

ตวแปร จ าเปนตองสมมตตวแปร

ขนมาสองตวแปรขนมาสองตว

ตามทโจทยตองการหา และเขยน

ความสมพนธระหวางตวแปรสอง

ตวในรปสมการขนมาสองสมการ

แลวด าเนนการแกระบบสมการ

ระบบ

สมการเชง

เสน

๑๘ ๑๕

๔ ค๓.๒ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๔

-รปเรขาคณตสองรปคลายกน เ มอรปเรขาคณตท งสองน นมร ป ร า ง เ ห ม อนกน แ ล ะ ร ปเรขาคณตทคลายกนอาจมขนาดเทากนหรอแตกตางกนกได

ความคลาย ๑๐ ๑๕

๓๘

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

- บทนยาม รปสามเหลยมสองรปคลายกนกตอเมอ รปสามเหลยมสองรปนนมขนาดของมมเทากน เปนค ๆ สามค

- ทฤษฎบท ถาอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคของรปสามเหลยมสองรป เปนอตราสวนทเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยมท คลายกน

ภาค

ค๓.๒ ม.๓/๑

ค๔.๒ ม.๓/๓

ค๔.๒ ม.๓/๔

ค๔.๒ ม.๓/๕

- สมบตของรปสามเหลยมคลาย

และการน าไปใช

- กราฟของสมการเชงเสนสองตว

แปร

- กราฟของระบบสมการเชงเสน

สองตวแปร

- กราฟอน ๆ

- ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร และ

การน าไปใช

๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๓๙

รายวชา คณตศาสตร ๖ รหสวชา ค ๒๓๑๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาอสมการเชงเสนตวแปรเดยวและการน าไปใช การเกบรวบรวมขอมล คากลางของขอมล

และการน าไปใช การน าเสนอขอมล การวเคราะหขอมลจากการน าเสนอ การทดลองสมและเหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ การใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ การใชความรเกยวกบ

สถต และ ความนาจะเปนประกอบการตดสนใจ

ตวชวด

ค๔.๒ ม.๓/๑

ค๕.๑ ม.๓/๑ , ม.๓/๒ , ม.๓/๓ , ม.๓/๔

ค๕.๒ ม.๓/๑

ค๕.๓ ม.๓/๑ , ม.๓/๒

ค๖.๑ ม.๓/๑ , ม.๓/๒ , ม.๓/๓ , ม.๓/๔ , ม.๓/๕ , ม.๓/๖

รวม ๑๔ ตวชวด

๔๐

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๖ ค ๒๓๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

ค๔.๒ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๒

ค๖.๑ ม.๓/๔

ค๖.๑ ม.๓/๕

-ประโยคสญลกษณทกลาวถงความสมพนธของจ านวนโดยมสญลกษณ , , , หรอ บอกความสมพนธระหวางจ านวนเรยกวา อสมการ -ค าตอบของอสมการทมตวแปร คอ จ านวนทน าไปแทนคาตวแปรในอสมการนนแลวท าใหอสมการเปนจรง -ในการหาค าตอบอสมการทมตวแปร หรอการแกอสมการนนใชสมบตของความไมเทากนของการบวกและการคณ -สมบตความไมเทากนของการคณนน ถาจ านวนทน ามาคณมากกวาศนยเครองหมายของอสมการจะคงเดม ถาจ านวนทน ามาคณนอยกวาศนย เครองหมายของอสมการจะเปนตรงกนขาม

อสมการ ๒๐ ๒๐

๔๑

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๒ ค๕.๒ ม.๓/๑

ค๕.๓ ม.๓/๑

-การทดลองสม คอ การทดลองหรอการกระท าใด ๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรกได แตๆไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธทอาจเปนไปไดเหลาน -ผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสมนเรยกวา แซมเปลสเปส -เหตการณ คอ ผลลพธทเราสนใจจากการทดลองสม -ความนาจะเปนของเหตการณ หมายถง คาทบอกใหทราบวาเหตการณทสนใจนนมโอกาสเกดขนมากนอยเพยงใด

ความนาจะ

เปน

๙ ๑๐

สอบ

กลาง

ภาค

ค๔.๒ ม.๓/๑

ค๕.๒ ม.๓/๑

ค๕.๓ ม.๓/๑

ค๕.๓ ม.๓/๒

- อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

และการน าไปใช

- การทดลองสมและเหตการณ

- ความนาจะเปนของเหตการณ

- การใชความรเกยวกบความนาจะ

เปนในการคาดการณ

๑.๕ ๒๐

๔๒

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๓ ค๕.๑ ม.๓/๑ ค๕.๑ ม.๓/๒

ค๕.๑ ม.๓/๓ ค๕.๑ ม.๓/๔

ค๕.๓ ม.๓/๑ ค๕.๓ ม.๓/๒

ค๖.๑ ม.๓/๑

ค๖.๑ ม.๓/๒ ค๖.๑ ม.๓/๓

ค๖.๑ ม.๓/๖

สถตมความหมายสองนย คอ สถต หมายถง ตวเลขหรอกลมของตวเลขทใชบรรยายเหตการณ หรอแสดงของเทจจรงเกยวกบเรองตาง ๆ ทตองการศกษา เชน สถตจ านวนผปวย สถต หมายถง ศาสตรหรอวชาทวาดวยหลกการและระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวยการเกบรวบรวมขอมล การน าเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการแปลความหมายขอมลเพออธบายคาทไดน าไปสการตดสนใจอยางมเหตผล ในเรองทเกยวกบขอมลนน -ขอมลสถต หมายถง ตวเลขทเกบรวบรวมมาจากทใดทหนงซงอาจเปนอาย คะแนน เปนตน -ขอมล หมายถง ขอเทจจรง ซงอาจจะเปนตวเลขหรออาจเปนขอความทไมใชตวเลข -ขอมลเชงปรมาณ หมายถง ขอมลทเปนตวเลขทใชแสดงปรมาณโดยวดออกมาเปนจ านวนทสามารถน าไปค านวณเปรยบเทยบกนได

สถต ๑๘ ๒๐

๔๓

นว

กา

เรย

นร

มาต

รฐา

การ

เรยน

ตวช

วด

สาระส าคญ

ชอ

นว

กา

เรย

นร

เวล

(ชว

โมง

น า

หน

คะ

แน

(๑๐

- ขอมลเชงคณภาพ หมายถง ขอมลทไมไดแสดงในรปตวเลข จะเปนขอมลประเภทขอความ ทอธบายลกษณะหรอสมบตในเชงคณภาพ

- วธการน าเสนอขอมลทนยมใชกนทว ๆ ไป ม 2 แบบคอการน าเสนอ

อยางไมเปนแบบแผนและการน าเสนออยางเปนแบบแผน

- การน าเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ เปนการน าขอมลดบ ซงอาจเปนตวเลขหรอไมเปนตวเลขกได และถาเปนตวเลขอาจเปนตวเลขทแสดงปรมาณหรอไมใชตวเลขแทนปรมาณกได มอย 2 แบบ คอ ตารางแจกแจงความถแบบแตละคา ตารางแจกแจงความถแบบอนตรภาคชน - พสย = คาสงสดของขอมล – คาต าสดของขอมล

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

-ขอบลาง คอ คากงกลางระหวางคาทนอยทสดของอนตรภาคชนนน กบคาทมากทสดของอนตร

๔๔

ภาคชนต ากวาหนงชน

- ขอบบน คอ คากงกลางระหวางคาทมากทสดของอนตรภาคชนนน กบคาทนอยทสดของอนตรภาคชนทสงกวาหนงชน

- ความกวางของอนตรภาคชน หมายถง ผลตางระหวางขอบบนและขอบลางของอนตรภาคชนนน

- ฮสโทแกรมและรปหลายเหลยมของความถ มลกษณะคลายแผนภมแทง โดยจะประกอบดวยรปสเหลยมมมฉากทวางเรยงตดตอกนบนแกนนอน โดยมความยาวของดานกวางของรปสเหลยมมมฉากเทากบความกวางของอนตรภาคชนซงเทากนทกชน และความยาวของรปสเหลยมมมฉากแตละรปคอขอบลางและขอบบนของอนตรภาคชนทเรยงตดตอกน

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

-คากลางของขอมล คอ คาทใชเปนตวแทนของขอมลชดนน คากลางทนยมใชม 3 ชนด คอ คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และ

๔๕

ฐานนยม การค านวณหาคากลางของขอมลขนอยกบลกษณะของขอมล - คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean) ของขอมล คอคาทไดจากการหารผลบวกของขอมลทงหมดดวยจ านวนขอมล คาเฉลยเลขคณต = ผลรวมของคาขอมลทกคา / จ านวนขอมล - มธยฐาน (median) ของขอมลชดหนง คอ คากลางขอมลทอยกงกลางของขอมลทงหมด ซงเมอเรยงล าดบขอมลชดนนจากมากไปนอยหรอจากนอยไปมากแลว - ฐานนยม (mode) ของขอมลชดนน คอ คาขอมลทมความถสงทสดในขอมลชดนน

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๔ ค ๒.๑ ม.๕/๑ รปสามเหลยมมมฉาก ABC ทมม

C เปนมมฉาก

ตรโกณมต ๑๐ ๑๐

๔๖

AB เปนดานทอยตรงขามมม

ฉากยาว c หนวย

BC เปนดานทอยตรงขามมม A

ยาว a หนวย

AC เปนดานประชดมม A ยาว

b หนวย

sin 𝐴 = 𝑎

𝑐= cos 𝐵

cos 𝐴 = 𝑏

𝑐= sin 𝐵

tan 𝐴 = 𝑎

𝑏𝑎

tan 𝐵

ภาค

ค๕.๑ ม.๓/๑

ค๕.๑ ม.๓/๒

ค๕.๑ ม.๓/๓

ค๕.๑ ม.๓/๔

ค๕.๓ ม.๓/๑

ค๕.๓ ม.๓/๒

- การเกบรวบรวมขอมล

- คากลางของขอมล และการ

น าไปใช

- การน าเสนอขอมล

- การวเคราะหขอมลจากการ

น าเสนอ

๑.๕ ๒๐

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

- การใชความรเกยวกบสถต และ

ความนาจะเปนประกอบการ

ตดสนใจ

- ความรเบองตนเกยวกบ

๔๗

ตรโกณมต

รวม ๖๐ ๑๐๐

๔๘

รายวชาเพมเตม

ระดบมธยมศกษาตอนตน

ค าอธบายรายวชาเพมเตม

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๑ รหสวชา ค ๒๑๒๐๑ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๑ ๐.๕ หนวยกต

๔๙

ศกษารปเรขาคณต จ านวนนบ รอยละในชวตประจ าวน เงน-เงน-เงน แลกเงนตรา ตวเลขโรมน

ระบบตวเลขฐานตางๆ การประยกตของจ านวนเตมและเลขยกก าลง เวลากรนช การสราง

ผลการเรยนร

๑. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได ๒. ใชความรและทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรแกปญหาตางๆ ได ๓. อานและเขยนตวเลขโรมนได ๔. เขยนตวเลขฐานทก าหนดใหเปนตวเลขฐานตางๆ ได ๕. ใชความรเกยวกบจ านวนเตมและเลขยกก าลงในการแกปญหาได ๖. ใชการสรางพนฐานสรางรปทซบซอนขนได

รวม ๖ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๑ ค ๒๑๒๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

ผลการเรยนร สาระส าคญ ชอหนวย การเรยนร

น าหนก คะแนน (๑๐๐)

๑ ๑.ตระหนกถงความสมเหตสมผลของ

- รปสามเหลยมใดๆ ความยาวของดานทงสามดานจะตองสมพนธกน

การ ๔ ๑๕

๕๐

ค าตอบทได ๒.ใชความรและทกษะกระบวนการ ทางคณตศาสตรแกปญหาตางๆ ได

โดยผลบวกของความยาวดานทสนสองดานจะตองมคามากกวาความยาวของดานทยาวทสด - จ านวนเฉพาะคอ จ านวนนบทมากกวา ๑ และมตวประกอบเพยง ๒ ตว ไดแก ๑ และตวเองเทานน - วธของยคลดหา ห.ร.ม. ใชเมอจ านวนนบสองจ านวนมคามาก - รอยละในชวตประจ าวน - เงน –เงน – เงน อตราแลกเปลยนในอาเซยน

ประยกต ๑

๒ ๓.อานและเขยนตวเลขโรมนได ๔.เขยนตวเลขฐานทก าหนดใหเปนตวเลขฐานตางๆ ได

- ระบบตวเลขโรมนใชสญลกษณพนฐาน 7 ตว ไดแก ตวเลขโรมน I V X L C D M - ตวเลขฮนดอารบค 1 5 10 50 100 500 1,000 หลกการเขยนตวเลขโรมน

1) สญลกษณแตละตวเขยนตดกนไดไมเกน 3 ตว

2) ใชหลกการเพม โดยเขยนสญลกษณเรยงจากมากไปนอย

จ านวน

และตวเลข

๕ ๑๕

3)ใชหลกการลบ โดยเขยนตวเลขทมคานอยไวหนาตวเลขทมคามาก ๔)การเขยนจ านวนมากๆ ใชเครองหมาย (-) โดยสญลกษณใหมจะมคาเปน 1,000 เทาของเดม - ระบบตวเลขฐานสอง จะใชเลข

๕๑

โดยสองตว คอ 1 และ 0 การเขยนตวเลขเชนเดยวกบตวเลขในระบบ - ฐานสบ และมคาประจ าหลกอยในรปเลขยกก าลงฐานเปน 2 เชน 1011สอง - วธการเปลยนระบบฐานสองเปนระบบฐานสบ ท าไดโดยน า 2 หารจ านวนทตองการไปเรอยๆ จนกวาจะหารตอไปไมได โดยน าเศษจากตวลางสดไปจนถงตวบนสดเขยนเรยงจากซายไปขวาและเขยน “สอง” ก ากบไวขางทาย - ระบบตวเลขฐานสบสอง มเลขโดยเพยงสบตว คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และเพมสญลกษณอกสองตวคอ A และ B แทนสบและสบเอดตามล าดบ และมคาประจ าหลกอยในรปเลขยกก าลงฐานเปน 12 เชน 2A54B สบสอง

- ในการเปลยนฐานทก าหนดใหเปนฐานอนๆ โดยฐานทงคไมใชฐานสบ จะท าการเปลยนโดยตรงไมได จะตองท าใหเปนระบบฐานสบกอนแลวคอยเปลยนเปนระบบตวเลขฐานทตองการ

สอบกลาง ผลการเรยนรขอท - รปเรขาคณต ๑ ๒๐

๕๒

ภาค ๑ – ๔ - จ านวนนบ - รอยละในชวตประจ าวน - เงน-เงน-เงน แลกเงนตรา - ตวเลขโรมน - ระบบตวเลขฐานตางๆ

๓ ๕.ใชความรเกยวกบจ านวนเตมและเลขยกก าลงในการแกปญหาได

- ถาเครองหมายหนาวงเลบเปนลบ เมอถอดวงเลบหรอใสวงเลบ เครองหมายทอยหนาวงเลบจะเปลยนเปนตรงกนขาม แตถาเครองหมายหนาวงเลบเปนบวก คาในเครองหมายวงเลบจะไมเปลยนแปลง - ผลบวกของจ านวนเตมบวกเรยงกนตงแต 1 ถง n เทากบ

เมอ n คอ จ านวนสดทาย - ผลบวกของจ านวนเตมคบวกเรยง

กนตงแต 2 ถง n เทากบ 12 2

เมอ n คอ จ านวนสดทาย

การ

ประยกต

ของ

จ านวนเตม

และเลขยก

ก าลง

๕ ๑๕

- ผลบวกของจ านวนเตมคบวกเรยง

กนตงแต 1 ถง n เทากบ 2

เมอ n คอ จ านวนสดทาย - เวลากรนช

๔ ๖.ใชการสรางพนฐานสรางรปทซบซอนขน

-การแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ เทากนโดยใชวงเวยน ไม

การสราง ๔ ๑๕

๕๓

ได

บรรทด ไมโพรแทรกเตอร โดยวธการแบงสวนของเสนตรงโดยการใชมมแยง -เสนมธยฐาน คอ สวนของเสนตรงทลากจากจดยอดไปยงจดกงกลางของดานทอยตรงขามของรปสามเหลยม -เซนทรอยด คอ จดทเกดจากเสนมธยฐานทงสามเสนตดกน และเซนทรอยดจะแบงเสนมธยฐานออกเปนสองสวน ท าใหระยะจากจดยอดถงเซนทรอยดเปนสองเทาของความยาวอกสวนหนง - ในการสรางมมขนาดตางๆ สรางรปสามเหลยม และรปสเหลยมดานขนานตองอาศยแนวคดหรอความสมพนธของการสรางมมทมขนาด 90 องศา และมมทมขนาด 60 องศา มาประกอบหรอหกออกจากกนในการสรางจด

สอบ

ปลายภาค

ผลการเรยนรขอท ๕-๖ - การประยกตของจ านวนเตมและเลขยกก าลง

- การสราง

๑ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๕๔

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๒ รหสวชา ค ๒๑๒๐๒ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๒ ๐.๕ หนวยกต

๕๕

ศกษาขอความคาดการณ ประโยคเงอนไข บทกลบของประโยคเงอนไข การใหเหตผล การบวก

ลบ คณ หารเอกนามและพหนาม แบบรปของจ านวน ขายงาน การประยกตของเศษสวนสวนและทศนยม

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลายในสถานการณตางๆ ใหเหตผล

ประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร และน าเสนออยางถกตอง

ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะ

กระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

๑. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตร ในการสอสารความหมาย และการน าเสนอขอมลไดอยางถกตอง

๒. วเคราะหและอธบายความสมพนธของแบบรปทก าหนดใหได ๓. ใชความรและทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรแกปญหาตางๆ ได ๔. สามารถบวก ลบ คณและหาร เอกนามและพหนามได

รวม ๔ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๒ ค ๒๑๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๑ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๕๖

๑ ๑.ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตร ในการสอสารความหมาย และการน าเสนอขอมลไดอยางถกตอง

-กระบวนการทใชการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครง แลวรวบรวมขอมลเพอหาแบบรปทจะน าไปสขอสรป ทมความเปนไปไดมากทสด แตยงไมไดพสจนวาเปนจรง เรยกขอสรปนนวา ขอความคาดการณ - ขอความทประกอบดวยขอความ 2 ขอความ ทเชอมดวยค าวา “ ถา ... แลว ...” เรยกขอความลกษณะนวา ประโยคเงอนไข - เรยกประโยคเงอนไขทตามหลง ถา วา เหต และเรยกขอความในประโยคหลงเงอนไขทตามหลง แลว วา ผล - ประโยคเงอนไขเปนจรง เมอเหตเปนจรงแลวท าใหเกดผลทเปนจรงเสมอ - การเขยนบทกลบของประโยคเงอนไขใดๆ สามารถน าผลของประโยคนนมาเปนเหตและน าเหตของประโยคนนมาเปนผล

การเตรยม

ความ

พรอมใน

การให

เหตผล

๕ ๑๕

- ถาประโยคเงอนไขใดเปนจรง แลวบทกลบของประโยคนนอาจเปนจรงหรอไมเปนจรงกได - ถาทงประโยคเงอนไขและบทกลบเปนจรง อาจเขยนประโยคเดยวกนได

๕๗

โดยใชค าวา “กตอเมอ” เชอมประโยคทงสองนน - ขอความทก าหนดความหมายทแนนอนของค า เรยกวา บทนยาม - การพสจนวาประโยคเงอนไขเปนจรงหรอไม จะตองใชเหตผลและความรในเรองบทนยามสมบต มาแสดงวา เหตเปนจรงแลวผลเปนจรง

๒ ๒.วเคราะหและอธบายความสมพนธของแบบรปทก าหนดใหได ๓.ใชความรและทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรแกปญหาตางๆ ได

- จ านวนนบทเปนพาลนโดรม คอ จ านวนนบทเขยนเลขโดยเรยงยอนกลบจากหลงไปหนา หรอจากขวาไปซายแลวไดจ านวนเดม - วธการสรางพาลนโดรม ใหน าจ านวนนบทมสองหลกหรอหลายๆหลกมาบวกกบจ านวนทไดจากการเขยนเลขโดด แลวเรยงยอนกลบจากหลงไปหนาของจ านวนเดม ถาผลลพธทไดยงไมเปนพาลนโดรม ใหน าผลลพธนนไปบวกจ านวนทไดจากการเขยนเลขโดดเรยงยอนกลบจากหลงไปหนาของผลลพธนนอก ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะไดพาลนโดรม

การ

ประยกต

๔ ๑๕

- ล าดบฟโบนกช (Fibonacci sequence) คอ แบบรปของจ านวนชดหนงทเรยงล าดบโดยจ านวนถดๆ ไปหาไดจากผลบวกของสองจ านวนกอนหนาจ านวนนน - ขายงาน คอ การลากเสนเชอมระหวาง

๕๘

จดโดยเมอลากเสนจากจดหนงไปอกจดหนงแลวจะลากเสนกลบมาทบเสนเดมไมได แตสามารถลากเสนผานจดเดมได - จดแตละจดบนขายงานเรยกวา จดยอด และเรยกเสนทเชอมระหวางจดยอดวา เสนเชอม

- - จดยอดค คอ จดยอดซงมจ านวนเสนเชอมทผานจด ณ จดนนเปนจ านวนค

- - จดยอดค คอ จดยอดซงมจ านวนเสนเชอมทผานจด ณ จดนนเปนจ านวนค - ขายงานทผานได คอ ขายงานทสามารถลากตามเสนเชอมทกเสนไดโดยตลอดอยางตอเนอง และไมซ าเสนเดม - ขายงานจะเปนขายงานทผานไดกตอเมอจ านวนของจดยอดคในขายงานนนเปน 0 หรอ 2 - การบวกและการลบเศษสวนและทศนยม ใชความรเกยวกบการใสวงเลบและการถอดวงเลบมาชวยในการคด

ภาค

ผลการเรยนรขอท ๑ - ๓

- การเตรยมความพรอมในการใหเหตผล - การประยกต 2

๑ ๒๐

๓ ๔.สามารถบวก ลบ

คณและหาร เอก

- ขอความทเขยนในรปสญลกษณทประกอบดวยตวเลขและตวอกษร เรยกตวเลขวา คาคงท และเรยกตวอกษรวา

พหนาม ๙ ๓๐

๕๙

นามและพหนามได ตวแปร และขอความทเขยนในรปสญลกษณ เชน – 5x เรยกวา นพจน - เอกนาม คอ นพจนทสามารถเขยนใหอยในรปการคณของคาคงตวกบตวแปรตงแตหนงตวขนไป โดยเลขชก าลงของตวแปรแตละตวเปนศนยหรอจ านวนเตมบวก เอกนามประกอบดวยสองสวน คอ สวนทเปนคาคงตว เรยก สมประสทธของเอกนาม และสวนทอยในรปของตวแปรหรอ การคณกนของตวแปร และเรยกผลบวกของเลขชก าลงของตวแปรทงหมดในเอกนามวา ดกรของเอกนาม - เอกนามสองเอกนามจะคลายกนกตอเมอ เอกนามทงสองมตวแปรชดเดยวกน และเลขชก าลงของตวแปรตวเดยวกนในแตละเอกนามเทากน

- เอกนามทจะน ามาบวกหรอลบกนไดตองเปนเอกนามทคลายกน โดยน าสมประสทธของเอกนามทคลายกนมาบวกหรอลบกน - พหนาม คอ นพจนทเขยนในรปเอกนามหรอเขยนในรปการบวกของเอนามตงแตสองเอกนามขนไป - ในพหนามใดๆ เรยกแตละเอกนามทอยใน

๖๐

พหนามวา พจน (term) ของพหนาม และกรณทพหนามนนมเอกนามทคลายกน เรยกเอกนามทคลายกนวา พจนทคลายกน (like terms) - ในกรณทพหนามมพจนบางพจนทคลายกน สามารถรวมพจนทคลายกนเขาดวยกน เพอท าใหพหนามนนอยในรปทไมมพจนทคลายกนเลย เรยกพหนามทไมม - พจนทคลายกนเลยวา พหนามในรปผลส าเรจ และเรยกดกรสงสดของพจนของพหนามในรปผลส าเรจวา ดกรของพหนาม การคณพหนาม - การคณเอกนามดวยเอกนาม - การคณพหนามดวยเอกนาม การหารพหนาม การหารเอกนามดวยเอกนาม การหารพหนามดวยเอกนาม

สอบปลายภาค

ผลการเรยนรขอท ๔

พหนาม ๑ ๒๐

รวม ๒๐ ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๓ รหสวชา ค ๒๒๒๐๑ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๑ ๐.๕ หนวยกต

๖๑

ศกษาสมบตของเลขยกก าลง การด าเนนการของเลขยกก าลง พหนามและเศษสวนของพหนาม การ

คณ การหารพหนาม การบวก ลบ คณ หารเศษสวนของพหนาม การประยกตเกยวกบอตราสวนและรอยละ

การประยกตของการแปลงทางเรขาคณต การเลอนขนาน การสะทอน การหมนและเทสเซลเลชน

๑. คณและหารจ านวนทเขยนอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมโดยใชบทนยาม

สมบตของเลขยกก าลง และน าไปใชในการแกปญหาได

๒. ค านวณและใชเลขยกก าลงในการเขยนแสดงจ านวนทมคานอยๆหรอมากๆในรปสญกรณ

วทยาศาสตรได

๓. ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวนและรอยละ แกปญหาหรอสถานการณตางๆได

๔. บวก ลบ คณ หารพหนามได

๕. บวก ลบ คณ หารเศษสวนของพหนามทพหนามมดกรไมเกนหนงได

๖. ใชความรเกยวกบการเลอนขนาน การสะทอน และการหมนในการสรางสรรคงานศลปะหรอ

ออกแบบ

รวม ๖ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๓ ค ๒๒๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

ผลการเรยนร สาระส าคญ ชอหนวยการเรยนร

๖๒

(๑๐๐)

๑.คณและหารจ านวนทเขยนอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมโดยใชบทนยาม สมบตของเลขยกก าลง และน าไปใชในการแกปญหาได ๒.ค านวณและใชเลขยกก าลงในการเขยนแสดงจ านวนทมคานอยๆหรอมากๆในรปสญกรณวทยาศาสตรได

สมบตของเลขยกก าลง 1. m n m + na × a = a

m m × na = a

4. n n nab = a b

5. n n

6. 0a = 1

7. - n

สมบตของ

เลขยกก าลง

๖ ๑๕

๓.ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน รอยละ แกปญหาหรอสถานการณตางๆ

- อตราสวน - รอยละ - การประยกตเกยวกบอตราสวนและรอยละ

การ

ประยกต

เกยวกบ

๓ ๑๕

ภาค

ผลการเรยนรขอท ๑ – ๓

- สมบตของเลขยกก าลง

- การประยกตเกยวกบอตราสวน

- ๑ ๒๐

๓ ๔.บวก ลบ คณ การคณพหนาม พหนาม ๕ ๑๕

๖๓

หารพหนามได๕.บวก ลบ คณ หารพหนามและเศษสวนของพหนามทพหนามมดกรไมเกนหนงได

1. การคณเอกนามกบพหนาม ท า

ไดโดยใชสมบตการแจกแจง

2. การคณพหนามกบพหนาม ม

วธคด 2 แบบ คอ

2.1 ใชสมบตการแจกแจง ท าได

โดยการคณแตละพจนของพหนาม

หนงกบทก ๆ

พจนของอกพหนามหนงแลวน าผล

คณทไดทงหมดมารวมกน

2.2 การตงคณ ท าไดโดย

เรยงล าดบดกรของตวแปรจากมาก

ไปนอยหรอนอยไป

มาก และใชหลกการเดยวกบการคณ

จ านวน คอ คณแตละพจนของพห

นามหนง กบทก ๆ พจน ของอกพห

นามหนง แลวน าผลคณทไดมาบวก

ลบกนโดยน าเอกนามทคลายกนมา

รวมกน การหารพหนาม

1. การหารพหนามดวยเอกนาม

ท าไดโดยน าตวหารทเปนเอกนามไป

หารกบทก ๆ พจนของพหนามแลว

น าผลทไดมาบวกกน

และ

เศษสวน

ของพห

นาม

2. การหารพหนามดวยพหนาม ท า

๖๔

ไดโดยใชวธการตงหารยาว แตกอน

จะตงหารให เรยงล าดบดกรทงของ

ตวตงและตวหารจากมากไปนอย

หรอนอยไปมากกอน และในกรณท

ตวตงมดกรชวงไหนหายไปใหเตม 0

หรอเวนทไวส าหรบดกรนนดวย

แลวใชหลกการเดยวกบการหาร

จ านวน

การบวกและการลบเศษสวนพหนาม

การบวกเศษสวนใชหลก a c ad bc

b d bd

เมอ , 0b d

การลบเศษสวนใชหลก a c ad bc

b d bd

เมอ , 0b d

การคณและการหารเศษสวนพหนาม

การคณและการหารเศษสวน

พหนามใชหลกการเดยวกนกบการ

คณและการหารเศษสวน

ดงน a c ac

b d bd เมอ , 0b d

a c ad

b d bc

๔ ๖. ใชความร

เกยวกบการเลอน

- การประยกตของการเลอนขนาน - การประยกตของการสะทอน

การ

ประยกต

๔ ๑๕

๖๕

ขนาน การสะทอน

และการหมนใน

การสรางสรรคงาน

ศลปะหรอ

ออกแบบ

- การประยกตของการหมน - เทสเซลเลชน

ของการ

แปลงทาง

สอบ

ผลการเรยนรขอท ๔ – ๖

- พหนามและเศษสวนของพหนาม - การประยกตของการแปลงทางเรขาคณต

- ๑ ๒๐

รวม ๒๐ ๑๐๐

๖๖

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๔ รหสวชา ค ๒๒๒๐๒ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๒ ๐.๕ หนวยกต

ศกษาการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง สมการก าลงสองตวแปรเดยว โจทยปญหาเกยวกบ

สมการก าลงสองตวแปรเดยว การแปรผนตรง การแปรผกผน และการแปรผนเกยวเนอง

๑. แยกตวประกอบของพหนามดกรสองได

๒. แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยใชการแยกตวประกอบได

๓. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยใชการแยกตวประกอบได

๔. เขยนสมการแสดงการแปรผนระหวางปรมาณตางๆทแปรผนตอกนได

๕. แกปญหาหรอสถานการณทก าหนดโดยใชความรเกยวกบการแปรผนได

รวม ๕ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๔ ค ๒๒๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๒ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๖๗

เรยนรท ผลการเรยนร สาระส าคญ

ชอหนวย การเรยนร

๑.แยกตว

ประกอบของ

พหนามดกรสอง

ได

การแยกตวประกอบพหนามดกรสอง พหนามดกรสองตวแปรเดยว คอ

พหนามทเขยนอยในรป 2ax bx c

เมอ ,a bและ c เปนคาคงตว โดยท

0a และ x เปนตวแปร

-การแยกตวประกอบโดยใชสมบต

การแจกแจง ถา ,a bและ c เปน

จ านวนเตมแลว

a b c a b a c

การแยกตวประกอบพหนามในรป 2x bx c เมอ ,b c เปนคาคงตวให

อยในรปผลคณของพหนามดกร1 นน เมอพจารณาค าตอบของการแยกตวประกอบ ในรป x m x n จะไดวา ถาน า m n แลวจะไดสมประสทธของพจนหลง m n c และถาน า m n กจะไดสมประสทธของพจนกลาง m n b นนแสดงวาตองหา m และ n ใหไดนนเอง

การแยกตว

ประกอบ

ของพหนาม

ดกรสอง

๗ ๒๐

ชอหนวย การเรยนร

๖๘

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองกรณทแยกตวประกอบพหนามแลวไดพหนามดกรหนง ทซ ากน เรยกพหนามดกรสองลกษณะดงกลาววา ก าลงสองสมบรณ การแยกตวประกอบพหนามดกรสองทเขยนอยในรป 2 2x y นนสามารถแยกตวประกอบไดเปน x y x y

๒ ๒.แกสมการ

ก าลงสองตว

แปรเดยวโดยใช

ประกอบได

ได

สมการก าลงสองตวแปรเดยว คอ สมการทอยในรป ax 2 +bx+c=0

เมอ a ≠ 0 ซง a, b อาจเรยกวาเปน

สมประสทธของ x2, x ตามล าดบ

สวน c คอสมประสทธคงตว

สมการ

ก าลงสอง

ตวแปรเดยว

๒ ๑๐

ภาค

ผลการเรยนรขอ

ท ๑ – ๒

- การแยกตวประกอบของพหนาม

ดกรสอง

- สองสมการก าลงสองตวแปรเดยว

- ๑ ๒๐

๒ (ตอ) ๓. แกโจทย

ปญหาเกยวกบ

สมการก าลง

สองตวแปรเดยว

โดยใชการ

แยกตวประกอบ

ได

- โจทยปญหาเกยวกบ สมการก าลงสองตวแปรเดยว

สมการ

ตวแปรเดยว

๕ ๑๐

๖๙

๓ ๔.เขยนสมการ

แสดงการแปร

ผนระหวาง

ปรมาณตางๆท

แปรผนตอกน

ได

๕.แกปญหา

หรอสถานการณ

ทก าหนดโดยใช

ความรเกยวกบ

การแปรผนได

การแปรผนตรง เปนความสมพนธ

ระหวางปรมาณสองปรมาณ เมอ

ปรมาณหนงเพม อกปรมาณหนงก

เพมตามดวย หรอเมอปรมาณหนงลด

อกปรมาณหนงกลดตามดวย อยาง

เปนสดสวนกน

บทนยาม ให x และ y แทน

ปรมาณใด ๆ

1) y แปรผนตรงกบ x เมอ y = kx

โดยท k เปนคาคงตว และ k ≠ 0

2) เราจะเรยก y = kx วา สมการ

แสดงการแปรผน และเรยก k วาคา

คงตวของการแปรผน

การแปรผกผน เปนความสมพนธกน

ระหวางปรมาณสองปรมาณ เมอ

ปรมาณหนงเพมขน อกปรมาณหนง

จะลดลงอยางไดสดสวนกน หรอเมอ

ปรมาณหนงลดลง อกปรมาณหนงก

จะเพมขนอยางไดสดสวนกน

บทนยาม ให x และ y แทน

ปรมาณใด ๆ ทไมใชศนย

1) y แปรผกผนกบ x เมอ y = k1

โดยท k เปนคาคงตว และ k ≠ 0

การแปรผน ๔ ๒๐

น าหนก คะแนน

๗๐

(๑๐๐)

2) เราจะเรยก y = k1

x วาสมการ

แสดงการแปรผน และเรยก k วาคาคง

ตวของการแปรผน

การแปรผนเกยวเนอง เปน

ความสมพนธของการแปรเปลยนของ

ปรมาณหนง ซงขนอยกบปรมาณอนๆ

ตงแตสองปรมาณขนไป อาจจะแปรผน

ตรง หรอแปรผกผนกบปรมาณของสง

เหลานนกได บางครงอาจเรยกวา การ

แปรผนรวม

บทนยาม ให x1, x2, x3, … , xn

แทนปรมาณใดๆ

1) แปรผนเกยวเนองกบ x1, x2, x3, … , xn เมอ y แปรผนตรงกบผลคณของ x1, x2, x3, … , xn

2) เราจะเรยกสมการ y =

k( x1)( x2) … (xn) วา สมการแสดงการแปรผน

และเรยก k วาคาคงตวของการแปรผน

สอบ

ผลการเรยนรขอท ๓ – ๕

- สมการก าลงสองตวแปรเดยว - การแปรผน

- ๑ ๒๐

รวม ๒๐ ๑๐๐

๗๑

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๕ รหสวชา ค ๒๓๒๐๑ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๑ ๐.๕ หนวยกต

ศกษา กรณทสอง การบวก การลบ การคณและการหารจ านวนจรงทอยในรป a เมอ a ๐

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ การแยกตวประกอบของพหนาม

ดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยอาศยวธท าเปนก าลงสองสมบรณหรอใชทฤษฎเศษเหลอ

การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยใชสตร การแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว

สมการพาราโบลา กราฟของพาราโบลาทอยในรป 2y ax bx c เมอ 0a

๑. บวก ลบ คณและหารจ านวนจรงทอยในรป a เมอ a ๐ โดยใชสมบต

๑) baab เมอ a ๐ และ b ๐ ๒) b

a เมอ a ๐ และ b > ๐

๒. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทอยในรปก าลงสองสมบรณ

๓. แยกตวประกอบของพหนามดกรสงทม สมประสทธเปนจ านวนเตมโดยอาศยวธท าเปนก าลงสอง

สมบรณหรอใชทฤษฎเศษเหลอ

๗๒

๔. แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยใชสตร a

๕. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว

๖. เขยนและบอกลกษณะกราฟพาราโบลาทก าหนดให

๗. อธบายลกษณะของกราฟพาราโบลาทก าหนดให

รวม ๗ ผลการเรยนร

๗๓

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๕ ค ๒๓๒๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ๑.บวก ลบ คณ

และหารจ านวน

จรงทอยในรป

a เมอ a 0

โดยใชสมบต

เมอ a 0 และ b

0 ได

เมอ a 0

และ b > 0

เมอ a เปนจ านวนจรงบวก รากท

สอของ a มสองราก คอ รากทสองท

เปนบวก ซงแทนดวยสญลกษณ √𝑎

และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวย

สญลกษณ −√𝑎

เมอรากทสองของจ านวนเตมบวก

ไมเปนจ านวนเตม รากทสองของ

จ านวนเตมบวกนนเปนอตรรกยะ

เมอ a เปนจ านวนจรงบวก

(√𝑎)2

= 𝑎 และ

(−√𝑎)2

= 𝑎

จ านวนใดๆ อยในรป √𝑎 เมอ

𝑎 ≥ 0 มสมบตส าคญสองขอ ดงน

1) √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 เมอ

𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0

2) √𝑎

√𝑏= √

𝑏 เมอ 𝑎 ≥ 0,

𝑏 ≥ 0

กรณฑท

สอง

๔ ๑๕

๗๔

๒ ๒.การแยกตว

ประกอบของพห

นามดกรสองทอย

ในรปก าลงสอง

สมบรณ

๓. แยกตว

ประกอบของพห

นามดกรสงทม

สมประสทธเปน

จ านวนเตมโดย

อาศยวธท าเปน

สมบรณหรอใช

ทฤษฎเศษเหลอ

การแยกตวประกอบของพหนามดกร

สอง

- ผลตางก าลงสอง

- ก าลงสองสมบรณ

- ผลบวกและผลตางก าลงสาม

- แยกตวประกอบพหนามดกรสง

กวาสองทมสมประสทธเปนจ านวน

เตม

- ทฤษฎบทเศษเหลอ

ประกอบ

๕ ๑๕

ภาค

ท ๑ – ๓

-กรณฑทสอง

-การแยกตวประกอบของพหนาม

- ๑ ๒๐

๗๕

ชอหนวยการ

เรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๓ ๔. แกสมการก าลงสอง

ตวแปรเดยวโดยใชสตร

๕.แกโจทยปญหา

เกยวกบสมการก าลง

สองตวแปรเดยว

สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม

x เปนตวแปร มรปทวไปเปน

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 เมอ a, b, c

เปนคาคงตวและ 𝑎 ≠ 0 และหา

ค าตอบของสมการดงกลาวโดย

การแยกตวประกอบของ 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 ใหอยในรปของการคณ

กนของพหนามดกรหนงสองพห

นาม

ค าตอบของสมการ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +

𝑐 = 0 เมอ a, b, c เปนคาคงตว

และ 𝑎 ≠ 0 และ 𝑏2 − 4ac ≥

0 เปนจ านวนจรงทหาไดจากสตร

𝑥 =−b ± √b2 − 4ac

สมการก าลง

สอง

๔ ๑๕

๔ ๖. เขยนและบอก

ลกษณะกราฟ

พาราโบลาทก าหนดให

๗.อธบายลกษณะของ

กราฟพาราโบลาท

ก าหนดให

สมการอยในรป

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 เมอ 𝑥, 𝑦

เปนตวแปร 𝑎, 𝑏, 𝑐 เปนคาคงตว

และ 𝑎 ≠ 0 เรยกสมการนวา

สมการของพาราโบลา

แกนสมมาตร คอ เสนตรง

𝑥 =−𝑏

คาสงสดหรอต าสดอยท 4𝑎𝑐−𝑏2

จดต าสดหรอสงสดอยท

พาราโบลา ๕ ๑๕

๗๖

(−𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎)

เรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

สอบ

เรยน

ผลการเรยนรขอท ๔ –

สมการก าลงสอง

พาราโบลา

- ๑ ๒๐

รวม ๒๐ ๑๐๐

๗๗

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๖ รหสวชา ค ๒๓๒๐๒ เวลา ๒๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๒ ๐.๕ หนวยกต

ศกษา การแกระบบสมการสองตวแปรทมดกรไมเกนสอง การแกโจทยปญหาเกยวกบระบบสมการ

สองตวแปรทมดกรไมเกนสอง สมบตเกยวกบวงกลม เศษสวนและพหนาม การบวก การลบ การคณและ

การหารเศษสวนของพหนาม การแกสมการเศษสวนของพหนาม การแกปญหาเกยวกบเศษสวนของพห

นาม

เหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร และทกษะชวต

๑. แกระบบสมการสองตวแปรทมดกรไมเกนสอง

๒. แกโจทยปญหาเกยวกบระบบสมการสองตวแปรทมดกรไมเกนสอง

๓. ใชสมบตเกยวกบวงกลมในการใหเหตผล

๔. สรางและใหเหตผลเกยวกบการสรางรปเหลยมและรปวงกลมทก าหนดให

๕. บวก ลบ คณและหารเศษสวนของพหนาม

๖. แกสมการเศษสวนของพหนาม

๗๘

๗. แกปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม

รวม ๑๓ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๖ ค ๒๓๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๓ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๒๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

เรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๑ ๑. แกระบบสมการ

สองตวแปรทมดกร

ไมเกนสอง

๒. แกโจทยปญหา

เกยวกบระบบ

สมการสองตวแปร

ทมดกรไมเกนสอง

ระบบสมการทประกอบดวยสมการ

เชงเสนและสมการดกรสอง

ระบบสมการทประกอบดวยสมการ

เชงเสนและสมการดกรสองจะมรป

ทวไปดงน A𝑥2 + B𝑦2 + C𝑥𝑦 + D𝑥 + E𝑦 + F = 0

P𝑥 + Q𝑦 + R = 0

เมอ x, y เปนตวแปร และ A, B, C, D,

E, F, P, Q, R เปนจ านวนจรง โดยท

B, C ไมเทากบศนยพรอมกน และ P,

Q ไมเทากบศนยพรอมกน

ระบบสมการ

ดกรสอง

๙ ๓๐

ภาค

ผลการเรยนรขอท

๑ – ๒

ระบบสมการดกรสอง - ๑ ๒๐

๒ ๓. ใชสมบต

เกยวกบวงกลมใน

การใหเหตผล

๔. สรางและให

เหตผลเกยวกบการ

สมบตเกยวกบวงกลม

1) มมในครงวงกลมมขนาดเทากบ 90

องศา หรอหนงมมฉาก

2) มมทจดศนยกลางของวงกลมจะม

ขนาดสองเทาของขนาดของมมในสวน

วงกลม

๔ ๑๐

๗๙

สรางรปเหลยมและ

รปวงกลมท

ก าหนดให

โคงของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคง

เดยวกน

เรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

3) ในวงกลมทเทากนหรอวงกลม

เดยวกน มมทจดศนยกลางของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงทมขนาดเทากนจะ

เทากน

เดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาด

เทากนแลว สวนโคงทรองรบมมทจด

ศนยกลางนนจะยาวเทากน (บทกลบขอ

เดยวกน ถามมในสวนโคงของวงกลมม

ขนาดเทากนแลวสวนโคงทรองรบมม

ทงสองนนจะยาวเทากน

เดยวกน มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงทมขนาดเทากนจะ

เทากน (บทกลบของขอ 5)

7) ในวงกลมวงหนงหรอวงกลมท

เทากน คอรดทยาวเทากนจะตดสวน

โคงออกไดยาวเทากนคอ สวนโคงนอย

เทากบสวนโคงนอย และสวนโคงใหญ

๘๐

เทากบสวนโคงใหญ

เรยนร

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

8) ในวงกลมวงหนงหรอวงกลมท

เทากน คอรดทตดวงกลมออกเปนสวน

โคงทยาวเทากน จะยาวเทากน (บทกลบ

ของขอ 7)

9) สวนของเสนตรงทลากจากจด

ศนยกลางมาตงฉากกบคอรด จะแบง

ครงคอรดนน

10) สวนของเสนตรงทลากจากจด

ศนยกลางมาแบงครงคอรด (ทไมใช

เสนผาศนยกลาง) จะตงฉากกบคอรด

นน (บทกลบขอ 9)

11) จดศนยกลางของเสนตรงใด ๆ จะ

อยบนเสนตรงทแบงครงและตงฉากกบ

คอรดของวงกลมนนๆ

๓ ๕. บวก ลบ คณ

และหารเศษสวน

๖. แกสมการ

เศษสวนของพห

นาม

๗. แกปญหา

ให P และ Q เปนพหนาม โดยท Q≠0

จะเรยก 𝑃

Q วาเศษสวนของพหนามทม

P เปนตวเศษ และ Q เปนตวสวน

การด าเนนการของเศษสวนของพห

นาม

การคณและการหารเศษสวนพหนาม

มหลกเกณฑดงน

เศษสวนของ

พหนาม

๕ ๒๐

๘๑

เกยวกบเศษสวน

1) เมอม P, Q, R และ S เปนพหนาม

โดยท Q 0 และ S 0 จะไดวา 𝑃

𝑃×𝑅

ผลการเรยนร สาระส าคญ ชอหนวยการ

เรยนร เวลา

(ชวโมง)

(๑๐๐)

2) เมอม P, Q, R และ S เปนพหนาม

โดยท Q 0, R 0 และ S 0 จะได

วา 𝑃

การบวกและการลบเศษสวนของพห

นาม

เมอม P, Q, R เปนพหนามโดยท Q

0 จะไดวา 𝑃

𝑃+𝑅

Q และ

𝑃−𝑅

ภาค

๓ – ๗

วงกลม

เศษสวนของพหนาม

- ๑ ๒๐

รวม ๒๐ ๑๐๐

๘๒

รายวชาพนฐาน

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

๘๓

รายวชา คณตศาสตร ๑ รหสวชา ค ๓๑๑๐๑ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๑ ๑.๐ หนวยกต

ศกษาเซตและการด าเนนการของเซต แผนภาพเวนน-ออยเลอร จ านวนจรง คาสมบรณของจ านวนจรง สมบตของจ านวนจรงและการน าไปใช การบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรง สมการและอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสอง โดยใชกระบวนการแกปญหา การใชเหตผล การสอสาร การสอความหมาย การน าเสนอ และการใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพอใหเกดทกษะ กระบวนการสามารถน าไปใชในการเรยนรสงตาง ๆ เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระเบยบรอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรางสรรค สรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ตวชวด ค ๑.๑ ม.๔-๖/๑ , ม.๔-๖/๒

ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๔ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๑ , ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ , ม.๔-๖/๔

รวม ๙ ตวชวด

๘๔

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๑ ค ๓๑๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

-กลมของสงตางๆ ในทางคณตศาสตรเรยกวา “เซต” (sets) และเรยกสงตางๆ ทอยในเซตวา “สมาชก” (elements หรอ members) ของเซต ใชสญลกษณแสดงความเปนสมาชกของเซตคอ - เซต A และเซต B เปนเซตทเทากนกตอเมอ เซต A และเซต B มสมาชกเหมอนกน กลาวคอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกทกตวของเซต B และสมาชกทกตวของเซต B เปนสมาชกทกตวของเซต A เขยนแทน เซต A เทากบเซต B ดวย A = B -เซตจ ากด (finite set) คอ เซตทมจ านวนสมาชกเทากบศนยหรอจ านวนเตมบวก -เซตอนนต (infinite set) คอ เซตทไมใชเซตจ ากด - เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก สญลกษณทใชแทนเซตวางคอ { } หรอ

เซต

๑๙ ๓๐

๘๕

( อานวา phi) - เซตยอย (subsets) และเซตก าลง (power set)

เซต A เปนเซตยอยของเซต B กตอเมอสมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B เซต -สามารถน ามาเขยนความสมพนธระหวางเซตโดยเชอมโยงดวยแผนภาพและแสดงการด าเนนการของเซตซงมหลกการเกยวกบการเขยนความสมพนธของเซต ดงน 1. เอกภพสมพทธ คอ เซตทก าหนดโดยมขอตกลงวาจะกลาวถงเซตใดๆ ทมสมาชกอยในเซตทก าหนดเทานน 2. ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอของเซต B หรอทงสองเซต เขยนแทนดวย A B 3. อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยท งในเซต A และ เซต B เขยนแทนดวย A B 4. สวนเตมเตมของเซต A และเซต B คอเซตของทกสมาชกในเอกภพสมพทธทไมอยใน A เขยนแทนดวย A’ 5. ผลตางของเซต A และเซต B คอเซตของทกสมาชกของเซต A ทไมเปน

๘๖

สมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A - B แผนภาพเวนน-ออยเลอร และการหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด

สอบกลางภาค

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

- เซต - เอกภพสมพทธ - สบเซตและเพาเวอรเซต - ยเนยน อนเตอรเซกชนและคอมพลเมนตของเซต

- ๑ ๒๐

๒. ค ๑.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๔ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๓

-จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทสามารถ

เขยนไดในรปเศษสวน ไดแก ab

โดย

ท a และ b เปนจ านวนเตมและ b ไมเทากบศนย -จ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทไมสามารถเขยนในรป a

b โดยท a และ b

เปนจ านวนเตม และ b ไมเทากบศนย 1. สมบตของจ านวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ 1.1 สมบตปด (closurs) 1.2 สมบตการสลบท (commutative property) 1.3 สมบตการเปลยนหม (associative property) 1.4 เอกลกษณ (identities) 1.5 การผกผน (inverses) 1.6 สมบตการแจกแจง (distributive pro-perty)

จ านวนจรง ๑๙ ๓๐

๘๗

2. สมบตการเทากนของจ านวนจรง 2.1 สมบตสะทอน (reflexive property) 2.2 สมบตสมมาตร (symmetric property) 2.3 สมบตถายทอด (transitive property)

2.4 สมบตการแทนท (substitution property) สมการก าลงสอง คอสมการพหนามระดบ ท สองหรอสมการท เ ร ยกว า “สมการควอดราตก”

ซงเปนสมการทเขยนไดในรปของ ax2

+ bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนจ านวนจรงและ a ≠ 0 การน าสมการก าลงสองไปใชในการคดค านวณเกยวกบการหาพนทเพมขน จากขนาดของเดมหรอการหาสงของหรอปรมาณของสงตางๆ ทเพมขนและลดลงจากของเดมกสามารถน าสมการก าลงสองไปประยกตใชได คาสมบรณ (Absolute Value) ของ a เขยนแทน ดวย |a| โดยท |a| = a ถา a < 0 หรอ –a

๘๘

ถา a < 0 หรอ 0 ถา a = 0

ป ร ะ โ ย คท า ง ค ณ ต ศ า ส ต ร ท ใ ชสญลกษณบอกความสมพนธดวย <, >, และ เรยกวาอสมการ (Inequalities) ประโยคทเปนอสมการจะเปนการเปรยบเทยบต าแหนงของจ านวน 1 จ านวน หรอ เปนการแสดงความสมพนธของจ านวนทไมใชความสมพนธในลกษณะการเทากบ ค าตอบของอสมการจะไมมเพยงค าตอบทเปนจ านวนเดยวแตจะเปนค าตอบทแสดงในชวงจ านวนหรอมากกวาหนงจ านวนซงสามารถเขยนแทนค าตอบของอสมการไดในรปของ เซต หรอ ชวง กราฟและชวงแสดงค าตอบของอสมการ กราฟแสดงค าตอบของอสมการ คอ เซตของ จดทก จด ทสอดคลองกบอสมการ ช ว ง เ ปน เซตของจ านวนบนเ สนจ านวนจรง โดยจะแสดงคาบางสวนหรอคาท งหมดบนเสนจ านวน เขยนแสดงดวยสญกรณชวง (a, b) เมอ a

๘๙

และ b เปนจดปลายของชวง วงเลบ-ใหญ [หรอ] แสดงวารวมจดปลายดวย สวนวงเลบเลก (หรอ) แสดงวาไมไดรวมจดปลาย

ชวง [a, b] เรยกชวงปดเนองจากรวมจดปลายทงสองดาน ชวง (a, b) เรยกชวงเปด เนองจากไมรวมจดปลายทงสองดาน ชวง [a, b] และ (a, b) เรยก ชวงครงเปด ส าหรบ a > 0 เซตค าตอบของอสม-การ |x | > a คอจ านวนทกจ านวนซงมระยะจากจดก าเนดไปยงจดน นมากกวา a นนคอ จ านวนทกจ านวนในชวง (- ,-a) และ (a,) ส าหรบ |x| a และ |x| a ในชวงค าตอบกรวมจดปลาย a และ -a ดวย อสมการก าลงสองและอสมการคาสมบรณ

ส าหรบ a > 0 เซตค าตอบของอสมการ |x| < a คอ จ านวนจรงทกจ านวน ซงมระยะทางจากจดก าเนดไปยงจดนนมคานอยกวา a นนคอ จ านวนทกจ านวนในชวงเปด (-a, a)

ค ๑.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๑ ม.๔-๖/๒

- จ านวนจรง - สมบตของจ านวนจรงเกยวกบการ

- ๑ ๒๐

๙๐

ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๔ ม.๔-๖/๑ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๓

บวกและการคณ - การน าสมบตของจ านวนจรงไปใชในการแกสมการก าลงสอง - การไมเทากน - คาสมบรณของจ านวนจรง

รวม ๔๐ ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตร ๒ รหสวชา ค ๓๑๑๐๒ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๒ ๑.๐ หนวยกต

ศกษาความสมพนธหรอฟงกชน ความสมพนธและฟงกชน กราฟของความสมพนธและฟงกชน

กราฟของสมการ อสมการ ฟงกชน การใหเหตผล การใหเหตผลแบบอปนยและนรนย โดยใชกระบวนการแกปญหา การใชเหตผล การสอสาร การสอความหมาย การน าเสนอ และการใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพอใหเกดทกษะ กระบวนการสามารถน าไปใชในการเรยนรสงตาง ๆ เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระเบยบรอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรางสรรค สรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ตวชวด ค ๔.๑ ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๓ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๓ , ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕ , ม.๔-๖/๖

รวม ๑๐ ตวชวด

๙๑

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๒ ค ๓๑๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๔.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๔ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๕ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

คอนดบ หมายถง การจบคของสงสองสงโดยถอล าดบเปนส าคญ ถา a,b เปนสงสองสง คอนดบ a,b เขยนแทนดวย ,a b เรยก a วาสมาชกตวหนา และเรยก b วาสมาชกตวหลง ผลคณคารทเซยน ของเซต A และ เซต B คอ เซตของคอนดบ ,a b ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B ผลคณคารทเซยนของเซต A และ เซต B เขยนแทนดวย A B ความสมพนธ r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r A B r เปนความสมพนธจาก A ไป A หรอเรยกวา ความสมพนธใน A ก

ความสมพนธและฟงกชน

๑๙ ๓๐

๙๒

เรนจ ( Range ) เรนจของความสมพนธ r ใชสญลกษณ rR คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r ดงนน / ,rR y x y r อนเวอรสของความสมพนธ (Inverse of relation ) คอ ความสมพนธซงประกอบดวยคอนดบทเกดจากการสลบทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงในแตละคอนดบของ r อนเวอรสความสมพนธ r ใชสญลกษณ 1r นนคอ

1 , / ,r y x x y r ฟงกชน คอ ความสมพนธใด ๆ โดยท ถา ,x y r และ ,x z r แลว y z

ถา f เปนฟงกชนและ ,x y f แลว เรากลาววา y เปนคาของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย f x อานวา เอฟของเอกซ

ตอเมอ r A A โดเมน ( Domain ) โดเมนของความสมพนธ r ใชสญลกษณ rD คอ เซตทมสมาชกเปนสมาชกตวหนาของ ทกคอนดบในความสมพนธ r ดงนน / ,rD x x y r

๙๓

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๔ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๕ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- ความสมพนธและฟงกชน - ฟงกชนเชงเสน - ฟงกชนก าลงสอง - ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล - ฟงกชนคาสมบรณ - ฟงกชนขนบนได

- ๑ ๒๐

๑ (ตอ)

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๔ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๕ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

ฟงกชนเชงเสน คอฟงกชนทอยในรป y mx c เมอ ,m c เปนจ านวนจรงและ 0m กราฟของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรง ฟงกชนคงตว คอ ฟงกชนทอยในรป y mx c และ 0m ดงนนฟงกชนจะอยในรป y c เมอ c คอคาคงตว กราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงขนานแกน x ฟงกชนก าลงสอง คอ ฟงกชนทอยในรป 2y ax bx c เมอ

, ,a b c เปนจ านวนจรงท 0a

ลกษณะของกราฟจะมลกษณะเปนโคงหงายหรอคว าขนอยกบคาของ

a ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล เปนฟงกชนทอยในรป xy a เมอ

0a และ 1a ฟงกชนคาสมบรณ คอ ฟงกชนทอยในรป

ความสมพนธและฟงกชน

๘ ๑๐

๙๔

y m x a c เมอ ,m a และ c เปนจ านวนจรง เมอ 0m ฟงกชนขนบนได หมายถง ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของจ านวนจรงและมคาของฟงกชนเปนคาคงตวเปนชวง ๆ มากกวาสองชวง

๒ ค ๔.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๖

การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) คอการใหเหตผลทอางถงเหตการณทกระท าซ าๆ กนหลายๆ ครงแลวใหผลเดม การใหเหตผลแบบอปนยเปนกระบวนการคาดคะเนขอ ความคดทอาจเปนจรง แตยงไมไดพสจนวาเปนจรงหรอเปนเทจ การใหเหตผลแบบอปนยเปนเทคนคทดยงทใชส าหรบการคาดคะเน

การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) คอ การใหเหตผลทอางถงขอความหรอสงตางๆ ทเรายอมรบวาเปนความจรง ในการใหเหตผลแบบเรขาคณตเราจะไดขอสรปทเปนรปทวไป กลาวคอ สามารถน าขอสรปทไดไปใชอางอง และใชในการหา ขอมลอนๆ ตอไปได ซงขอสรปใดมความส าคญมาก เราอาจเรยกขอสรปนนวา ทฤษฎ ตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร ในการ

การใหเหตผล

๑๑ ๒๐

๙๕

เขยนแผนภาพเพอแสดงวาขอสรปไมสมเหตผล แผนภาพทไดจะตองสอดคลอง กบสมมตฐานแตขดแยงกบขอสรป หากวาดแผนภาพแลวปรากฏวามแผนภาพทสอดคลองกบสมมตฐานแตขดแยงกบขอสรป แสดงวาการใหเหตผลน ไมสมเหตสมผล

การเขยนแผนภาพเพอแสดงวาขอความ สมเหตสมผล จะตองเขยนแผนภาพทกแบบทเปนไปไดเพอทจะยนยนไดวาไมมขอขดแยงนนคอ ตองไมเกดกรณทสอดคลองกบ

สมมตฐานแตขดแยงกบขอสรป

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๒

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๔

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๕

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๖

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

- ๑ ๒๐

รวม ๔๐ ๑๐๐

๙๖

รายวชา คณตศาสตร ๓ รหสวชา ค ๓๒๑๐๑ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๑ ๑.๐ หนวยกต

ศกษาจ านวนจรงทอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ และจ านวนจรงทอยในรป

กรณฑ การบวก การลบ การคณ การหาร จ านวนจรง จ านวนจรงทอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน

จ านวนตรรกยะ และจ านวนจรงทอยในรปกรณฑ การประมาณคาของจ านวนจรงทอยในรปกรณฑ การ

ประมาณคาของจ านวนจรงทอยในรปเลขยกก าลง อตราสวนตรโกณมต การแกปญหาเกยวกบระยะทางและ

ความสง และการน าไปใช

ทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

๙๗

ตวชวด ค ๑.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๓ ม.๔-๖/๑

ค ๒.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๒.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ , ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕

รวม ๘ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๓ ค ๓๒๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๑.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ ค ๑.๓ ม.๔-๖/๑

-รากท n ของ a หมายถง จ านวนจรงใดทยกก าลง n แลวได a จะไดวาจ านวนนนเปนค าตอบของสมการ ซงค าตอบนนจะไมยดวาเปนคาบวกเทานนหรอคาลบเทานน

-กรณฑท n หมายถง จ านวนจรงใดทยกก าลง n แลวได a ซงหากค าตอบของสมการนนมทงคาบวกและคาลบ ใหถอวาค าตอบของสมการนนเปนคาบวกเพยงอยางเดยว

-ให n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง b เปนรากท n ของ a กตอเมอ 𝑏n = 𝑎

-สมบตของรากท n (เมอ n เปน

เลขยก

ก าลง

๑๙ ๓๐

๙๘

จ านวนเตมบวกทมากกวา 1) ให a และ b เปนจ านวนจรงทมรากท n

บทนยาม เมอ a เปนจ านวนจรง n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a ม

รากท n 𝑎1

𝑛 = √𝑎𝑛

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง m และn เปนจ านวนเตม n > 0 และ 𝑚

𝑛 เปน

เศษสวนอยางต า จะไดวา

𝑎𝑚𝑛 = (𝑎

1𝑛)

= ( √𝑎𝑛

𝑎𝑚𝑛 = (𝑎𝑚)

1𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

บทนยาม เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรง 𝑛 เปน

จ านวนเตมทมากกวา 1 และ 𝑎 มรากท

𝑛 𝑎1

𝑛 = √𝑎𝑛

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง m และ

n เปนจ านวนเตม n > 0 และ 𝑚

𝑛 เปน

เศษสวนอยางต า จะไดวา

𝑎𝑚

𝑛 = (𝑎1

𝑛)𝑚

= ( √𝑎𝑛

𝑎𝑚𝑛 = (𝑎𝑚)

1𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

สอบกลาง ค ๑.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๑.๒ ม.๔-๖/๑ เลขยกก าลง - ๑ ๒๐

๙๙

ภาค ค ๑.๓ ม.๔-๖/๑

๒ ค ๒.๑ ม.๔-๖/๑

ค ๒.๒ ม.๔-๖/๑

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

-รปสามเหลยมมมฉาก ABC ทมม

C เปนมมฉาก

๑๙ ๓๐

AB เปนดานทอยตรงขามมมฉาก

ยาว c หนวย

BC เปนดานทอยตรงขามมม Aยาว

a หนวย

AC เปนดานประชดมม A ยาว b

หนวย sin 𝐴 = 𝑎

𝑐= cos 𝐵

cos 𝐴 = 𝑏

𝑐= sin 𝐵

tan 𝐴 = 𝑎

𝑏𝑎

tan 𝐵

sin 𝐴 = cos 𝐵 จะได

sin 𝐴 = cos(90° − 𝐴)

cos 𝐴 = sin 𝐵 จะได

cos 𝐴 = sin(90° − 𝐴)

๑๐๐

tan 𝐴 = 1

tan 𝐵 จะได

tan 𝐴 = 1

tan(90° − 𝐴)

sec 𝐴 =1

cos 𝐴 , cos 𝐴 ≠ 0

หรอ sec 𝐴 =𝑐

cosec 𝐴 =1

sin 𝐴 , sin 𝐴 ≠ 0 หรอ

cosec 𝐴 =𝑐

โคแทนเจนตของมม A แทนดวย

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑡 𝐴 หรอเขยนยอวา cot 𝐴

คอ สวนกลบของ tan 𝐴 เมอ tan 𝐴 ≠

0 นนคอ cot 𝐴 =1

tan 𝐴 , tan 𝐴 ≠ 0

หรอ cot 𝐴 =𝑏

-การแกปญหาเกยวกบการหาระยะทาง

และความสง บางครงตองอาศยความร

เรองอตราสวนตรโกณมตซงจะมขนาด

ของมมเขามาเกยวของรวมทงมมกม

และมมเงยมมกมและมมเงย เปนมมท

เกดจากแนวเสนระดบสายตา และแนว

เสนจากตาไปยงวตถ ถาวตถอยใตแนว

เสนระดบสายตา มมทไดเรยกวา มมกม

แตถาวตถอยสงกวาแนวเสนระดบ

สายตา มมทไดเรยกวา มมเงย

๑๐๑

ภาค

ค ๒. ม.๔-๖/๑

ค ๒.๒ม.๔-๖/๑

-อตราสวนตรโกณมต - ๑ ๒๐

รวม ๔๐ ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตร ๔ รหสวชา ค ๓๒๑๐๒ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๒ ๑.๐ หนวยกต

ศกษากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล การทดลองสม แซมเปลสเปซ เหตการณ

ความนาจะเปน

๑๐๒

ตวชวด

ค ๕.๒ ม.๔-๖/๒

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ , ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๔ , ค ม.๔-๖/๕ รวม ๖ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๔ ค ๓๒๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๕.๒ ม.๔-๖/๒

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒

-กฎการนบเบองตน คอ การใช

กระบวนการคดนบจ านวนเหตการณ

หรอวธการทเกดขนแบบเปนมเงอนไข

และไมมเงอนไขตอกน

- เครองหมายแฟคทอเรยล คอ

เครองหมายทแสดงผลคณของจ านวนท

ลดถอยลงทละ ดงนยาม

! ( 1)( 2)....3.2.1n n n n เมอ n

เปนจ านวนเตมบวกและศนย

- การทดลองสม คอ การทดลองท

เปน

๑๙ ๓๐

๑๐๓

ทราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แต

ไมสามารถบอกไดอยางแนนอนวาใน

แตละครงททดลอง ผลทเกดขนเปน

อยางไร ในบรรดาผลลพธทอาจเปนไป

ไดเหลานน

ภาค

ค ๕.๒ ม.๔-๖/๒

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒

- ความนาจะเปน ๑ ๒๐

(ตอ)

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- แซมเปลสเปซ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทเปนไดทงหมดของการทดลองสม - เหตการณ คอ เซตยอยของแซมเปลสเปซ - ความนาจะเปน คอ คาอตราสวนของจ านวนเหตการณทเราสนใจตอ จ านวน

-เหตการณทเกดทงหมด เขยนในสตร ( )

( )( )

n EP E

เปน

๑๙

๓๐

ภาค

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

-ความนาจะเปน ๑ ๒๐

รวม ๔๐ ๑๐๐

๑๐๔

รายวชา คณตศาสตร ๕ รหสวชา ค ๓๓๑๐๑ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๑ ๑.๐ หนวยกต

ศกษาล าดบ การหาพจนทวไปของล าดบจ ากด ล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณต อนกรมเลขคณตและ

อนกรมเรขาคณต โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาใน

สถานการณตาง ๆ ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร และน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

๑๐๕

ตวชวด

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕ ค ๔.๒ ม.๔-๖/๖

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ , ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕

รวม ๗ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๕ ค ๓๓๑๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑ ค ๔.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๕

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๖

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒

- ล าดบและการหาพจนทวไปของล าดบจ ากด คอ การเขยนสญลกษณทเปนตวแทนของล าดบ โดย นยาม ทวาล าดบเปน ฟงกชน ทมโดเมนเปนจ านวนเตมบวก สงไปยงเรนจจ านวนจรงใดๆ ดงนนการสรางฟงกชน ในรปสตรพชคณต จงเปนตวแทนของล าดบ ไดชดเจน

- ล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต คอ ล าดบพนฐานทางคณตศาสตร โดย

ล าดบ ๑๙ ๓๐

๑๐๖

ล าดบเลขคณตจะมลกษณะเฉพาะ ท แตละพจน จะหาง หรอ มผลตางเทากน

1n na a d และ มพจนทวไปดงตอไปน

1 ( 1)na a n d

- และ ล าดบเรขาคณต นนจะมอตราสวนของพจนถดไป เทากนเสมอ

และ มพจนทวไปดงตอไปน

na a r

ภาค

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๔.๑ ม.๔-๖/๕

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒

๑ ๒๐

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๖

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- อนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต

คอ อนกรมพนฐานทางคณตศาสตร เกด

จากการน าล าดบเลขคณต และเรขาคณต

มาบวก หรอ รวมกน เราจงเรยกวาเปน

อนกรม ซง มสตรทางพชคณต

nS a a เลขคณต

เราขาคณต

อนกรม

๑๙

๓๐

ภาค

ค ๔.๒ ม.๔-๖/๖

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- อนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต ๑ ๒๐

๑๐๗

รวม ๔๐ ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตร ๖ รหสวชา ค ๓๓๑๐๒ เวลา ๔๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๒ ๑.๐ หนวยกต

ศกษาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน และเปอรเซนไทลของขอมล

วธการส ารวจความคดเหน การน าเสนอผลทไดจากการส ารวจความคดเหนไปใชคาดการณในสถานการณ

ตางๆ ทก าหนดให การใชขอมลขาวสารและคาสถตชวยในการตดสนใจ

๑๐๘

ตวชวด

ค ๕.๑ ม.๔-๖/๑ , ม.๔--๖/๒ , ม.๔-๖/๓ ค ๕.๒ ม.๔-๖/๑

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๑

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ , ม.๔-๖/๓ , ม.๔-๖/๔ , ม.๔-๖/๕

รวม ๙ ตวชวด

โครงสรางรายวชา คณตศาสตร ๖ ค ๓๓๑๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๔๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

เรยนร

๑ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

ความหมายสถต สถตเปนศาสตรทวาดวยการเกบรวบรวมและวเคราะหขอมลเพอหาขอสรปจากขอมลทเกยวของแลวน ามาอธบายปรากฏการณหนง หรอตอบค าตอบถาม หรอประเดนปญหาทสนใจ โดยอาศยขอมลทไดจากการเกดซ าๆ ของปรากฏการณนนๆ การวเคราะหขอมล แบงออกเปน 2 สวน 1) สถตเชงพรรณนา (descriptive

แนวโนมเขาส

สวนกลาง

๑๙ ๓๐

๑๐๙

statistics) คอ การวเคราะหขนตนทมงวเคราะหเพออธบายลกษณะกวางๆ ของขอมลชดนน ซงจะวาดวยการสรปขอมลแตละชดทเราสนใจดาน 2) สถตเชงอนมาน (inferential statistics) คอ การวเคราะหขอมล ขอมลสถตอาจจ าแนกตามแหลงทมาได 2 ทาง คอ 1) ขอมลปฐมภม (Primary Data) 2) ขอมลทตยภม (Secondary Data) ประเภทของขอมลสถตแบงได 2 ลกษณะดงน 1) ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) 2) ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative data)

๑๑๐

ตวแปร (variable) หมายถง ลกษณะของประชากรทเราสนใจวเคราะหโดยทลกษณะนนๆ ของประชากรสามารถเปลยนคาได ไมวาจะเปนเชงปรมาณและเชงคณภาพ ประเภทของขอมลสถต แบงได 2 ลกษณะดงน 1) ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) 2) ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative data) การแจกแจงความถ จดเปน 2 ลกษณะ ดงน 1) การแจกแจงความถแบบไมจดเปนอนตรภาคชน 2) การแจกแจง การแจกแจงความถโดยใชกราฟ ท าใหเหนการกระจายของขอมลไดชดกวาการดจากตารางแจกแจงความถ ในทนจะกลาวถง 2 แบบ 1) ฮสโทแกรม (histogram) และ 2) แผนภาพตน-ใบ (stem-and-leaf plot หรอ stem plot) การวดต าแหนงทของขอมลดวยเปอรเซนไทล (Percentiles) เปนการน าขอมลชดหนงมาเรยงคาของขอมลจากนอยไปหามาก แลวแบงขอมลซงเรยงจากนอยไปหามากออกเปน 100 สวน โดยทแตละสวนมจ านวนเทาๆกน

๑๑๑

(๑๐๐) การวดคากลางของขอมล

ไดแก คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐาน

นยม คาเฉลยเรขาคณต คาเฉลยฮารโม

นก และคากงกลางพสย คากลางท

นยมใชมสามคาไดแก คาเฉลยเลข

คณต (มชฌมเลขคณต) มธยฐาน ฐาน

นยม

สอบ

กลางภาค ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- ความหมายสถต - การวเคราะหขอมล - ขอมลสถตอาจจ าแนกตามแหลงทมา - ประเภทของขอมลสถต - ตวแปร - การแจกแจงความถ - การแจกแจงความถโดยใชกราฟ - การวดต าแหนงทของขอมลดวย

- ๑ ๒๐

๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๑

ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒

ค ๕.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๕.๒ ม.๔-๖/๑

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๑

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

การวดการกระจายของขอมล เปนการแสดงใหเหนลกษณะของขอมลชดเจนขนและสามารถไดขอสรปเกยวกบขอมลใหมากพอทจะน าไปชวยในการตดสนบางอยางได เชน พสย (range) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviations)

การกระจาย

ของขอมล

และการ

ส ารวจ

ขอมล

๑๙ ๓๐

หนวยการ มาตรฐาน สาระส าคญ ชอหนวย เวลา น าหนก

๑๑๒

เรยนรท การเรยนร / ตวชวด

การเรยนร (ชวโมง) คะแนน (๑๐๐)

ความสมพนธระหวางการแจกแจง

ความถ คากลาง และคาการกระจายของ

ขอมล

เปนการกระจายแบบสมมาตร

(symmetric distribution) คาเฉลยเลข

คณตมธยฐาน และฐานนยม มคาเทากน

หรออยจดเดยวกน

เปนการกระจายทเบทางขวา (right-

skewed distribution) แทงสเหลยมมม

ฉากของฮทโทแกรมทมความถนอย

และนอยทสดอยทางขวา คาเฉลยเลข

คณตจะมคามากทสด รองลงมาเปน

มธยฐาน และฐานนยมตามล าดบ

หนวยการ มาตรฐานการ สาระส าคญ ชอหนวย เวลา น าหนก

๑๑๓

เรยนรท เรยนร / ตวชวด

การเรยนร (ชวโมง) คะแนน (๑๐๐)

เปนการกระจายเบทางซาย (left-skewed distribution) แทงฮทโทแกรมทมความถนอยและนอยทสดอยทางดานซาย ฐานนยมจะมคามากทสด รองลงมาเปนมธยฐานและคาเฉลยเลขคณตจะมคานอยทสด แผนภาพกลอง-ใบ การวดการกระจายของขอมลโดยใชสวนเบยงเบนควอรไทล อาศยคาของ Q1 และ Q3 เพอน ามาหาระยะหาง แลวน าคาครงหนงของระยะหางดงกลาวมาเปนตววดการกระจายของขอมล สามารถเขยนเปนแผนภาพทเรยกวา แผนภาพกลอง ไดดงรป

การวเคราะหขาวสาร การน าขอมลขาวสารในอาเซยนมาวเคราะหขอมล

หนวยการ มาตรฐานการ สาระส าคญ ชอหนวย เวลา น าหนก

๑๑๔

เรยนรท เรยนร / ตวชวด

การเรยนร (ชวโมง) คะแนน(๑๐๐)

วธส ารวจความคดเหน

มดงตอไปน 1) ขอบเขตของการส ารวจ ตองมการก าหนดขอบเขตของการส ารวจใหชดเจน ไมวาจะเปนก าหนดพนทศกษา ก าหนดดวยลกษณะสวนตวของผตอบ หรอ ก าหนดดวยการมสวนไดสวนเสยกบเรองทส ารวจ 2) วธการเลอกตวอยาง ตวอยางหรอตวแทนบคคลทจะเลอกมาเกบรวบรวมขอมลควรมลกษณะ การสมตวอยาง (random sampling) การสมโดยวธจบสลาก(Simple random sampling) การสมโดยใชตารางเลขสม (table of random numbers) การสมตวอยางเปนระบบ (systematic sampling) การสรางแบบส ารวจความคดเหน ทส าคญดงตอไปน 1) แบบส ารวจความคดเหนควร 2) ค าถามเกยวกบความคดเหนในเรองทส ารวจตองเปนค าถามน า

๑๑๕

สอบ

ค ๕.๑ ม.๔-๖/๑ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๕.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๕.๒ ม.๔-๖/๑

ค ๕.๓ ม.๔-๖/๑

ค ๖.๑ ม.๔-๖/๒ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๓ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๔ ค ๖.๑ ม.๔-๖/๕

- การวดการกระจายของขอมล

- การแจกแจงของขอมล

- แผนภาพกลอง-ใบ

- การส ารวจความคดเหน

- ๑ ๒๐

รวม ๔๐ ๑๐๐

๑๑๖

รายวชาเพมเตม

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

๑๑๗

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๑ รหสวชา ค ๓๑๒๐๑ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาตรรกศาสตรเบองตน หาคาความจรงของประพจน สจนรนดร การอางเหตผล หาคาความจรง

ของประโยคทมตวบงปรมาณ สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ ระบบจ านวนจรง สมบตของระบบจ านวนจรง สมบตของการไมเทากน ชวงและการแกอสมการ คาสมบรณ และทฤษฏจ านวนเบองตน

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระเบยบรอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรางสรรค สรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ผลการเรยนร ๑. หาคาความจรงของประพจนได ๒. หารปแบบของประพจนสมมลได ๓. บอกไดวาการอางเหตผลทก าหนดใหสมเหตสมผลหรอไม ๔. มความคดเหนรวบยอดเกยวกบระบบจ านวนจรง ๕. น าสมบตตางๆเกยวกบจ านวนจรงและการด าเนนการไปใชได ๖. แกสมการพหนามตวแปรเดยวดกรไมเกน ๔ ได ๗. แกสมการและอสมการในรปคาสมบรณได ๘. เขาใจสมบตของจ านวนเตมได ๙. น าสมบตของจ านวนเตมไปใชในการใหเหตผลเกยวกบการหารลงตวได

รวม ๙ ผลการเรยนร

๑๑๘

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๑ ค ๓๑๒๐๑ ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑.หาคาความจรงของประพจนได ๒.หารปแบบของประพจนสมมลได ๓.บอกไดวาการอางเหตผลทก าหนดใหสมเหตสมผลหรอไม

- ประพจนคอประโยคหรอขอความทเปน จรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเทานน - การเชอมประพจน - การหาคาความจรงของประพจน - รปแบบของประพจนทสมมลกน - รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ เรยกวา สจนรนดร

- การอางเหตผล - ตวบงปรมาณ สญลกษณ x แทน ส าหรบ x ทกตว สญลกษณ x แทน ส าหรบ x บางตว

ตรรกศาสตรเบองตน

๑๘ ๒๐

๒ ๔. มความคดเหนรวบยอดเกยวกบระบบจ านวนจรง ๕.น าสมบตตางๆเกยวกบจ านวนจรงและการด าเนนการไปใชได

- สมบตของระบบจ านวนจรง สมบตปดของการบวกและการคณ เอกลกษณของการบวก คอ 0 เอกลกษณของ การคณคอ 1 อนเวอรสการบวก

aaaa 0 อนเวอรสการคณ 11 1 aaaa - สมบตของการไมเทากน

ระบบ จ านวนจรง

๑๐.๕ ๑๐

๑๑๙

ผลการเรยนรขอท ๑ – ๕

- ประพจน - การเชอมประพจน - การหาคาความจรงของประพจน - การสรางตารางคาความจรง - รปแบบของประพจนทสมมลกน - สจนรนดร - การอางเหตผล - ประโยคเปด - ตวบงปรมาณ - คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว - สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ - คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว

- ๑.๕ ๒๐

๒ (ตอ)

๖. แกสมการพหนามตวแปรเดยวดกรไมเกน 4 ได ๗.แกสมการและอสมการในรปคาสมบรณได

- การแกสมการพหนามตวแปรเดยวสามารถใชทฤษฏบทเศษเหลอหรอทฤษฏบทตวประกอบในกรณทสมประสทธของพหนามเปนจ านวนจรงใดๆ - ชวงและการแกอสมการ เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง และ ba, เปนจ านวนจรงท ba ชวงเปด ba, หมายถง bxax ชวงปด ba, หมายถง bxax - คาสมบรณ

ให a เปนจ านวนจรง

ระบบ จ านวนจรง

๑๖.๕ ๒๐

๑๒๐

๓ ๘.เขาใจสมบตของจ านวนเตมได ๙.น าสมบตของจ านวนเตมไปใชในการใหเหตผลเกยวกบการหารลงตวได

- การหารลงตว บทนยาม ให m และ n เปนจ านวนเตม และ n 0 จะกลาววา n หาร m ลงตวกตอเมอ มจ านวนเตม c ซงท าให m = nc - ขนตอนวธการหาร ก าหนดให a และ b I โดยท b 0 แลวจะม q และ r I ชดเดยวซง a = bq + r เมอ 0 r b เรยก q วา ผลหาร และเรยก r วาเศษเหลอ - ตวหารรวมมากของ a และ b ใชสญลกษณ ( a,b ) หา ห.ร.ม.โดยใชขนตอนวธยคลด - ตวคณรวมนอยของ a และ b ใชสญลกษณ [

a,b ] ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว ab

= ( a,b )[ a,b ]

ทฤษฎจ านวนเบองตน

๑๒ ๑๐

ท ๖ – ๙

- จ านวนจรง - สมบตของระบบจ านวนจรง - การแกสมการพหนามตวแปรเดยว - สมบตของการไมเทากน - ชวงและการแกอสมการ - คาสมบรณ - การแกสมการและอสมการในรปคาสมบรณ - การหารลงตว - ขนตอนวธการหาร - ตวหารรวมมาก - ตวคณรวมนอย

- ๑ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๒๑

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๒ รหสวชา ค ๓๑๒๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน การด าเนนการของ

ฟงกชน ฟงกชนผกผน ฟงกชนประกอบ ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห และภาคตดกรวย โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาใน

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระเบยบรอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรางสรรค สรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ผลการเรยนร ๑. มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ ๒. หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ ๓. วเคราะหและหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได ๔. มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชน เขยนกราฟของฟงกชนและสรางฟงกชนท ก าหนดใหได ๕. น าความรเรองฟงกชนไปใชแกปญหาได ๖. หาระยะทางระหวางจดสองจด จดกงกลาง ระยะหางระหวางจดเสนตรงกบจดได ๗. หาความชนของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตงฉากและน าไปใชได ๘. เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวยเมอก าหนดสวนตางๆของภาคตดกรวยใหและ

เขยนกราฟของความสมพนธนนได ๙. น าความรเรองการเลอนแกนทางขนานไปใชในการเขยนกราฟได ๑๐. น าความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใชแกปญหาได

๑๒๒

รวม ๑๐ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๒ ค ๓๑๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๔ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑. มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซ และการด าเนนการของเมทรกซ ๒.หาดเทอรมแนนต ของเมทรกซ ๓.วเคราะหและหาค าตอบของระบบ สมการเชงเสนได

- ระบบสมการเชงเสน - เมทรกซ - การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ - การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

๑๒ ๑๐

๒ ๔.มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชน เขยนกราฟของฟงกชนและสรางฟงกชนจากโจทยปญหาทก าหนดใหได ๕.น าความรเรองฟงกชนไปใชแก ปญหาได

- ฟงกชน - การด าเนนการฟงกชน - ฟงกชนผกผน - ฟงกชนประกอบ

ฟงกชน ๑๖.๕ ๒๐

สอบ กลางภาค

ผลการเรยนรขอ ๑ – ๕

- ระบบสมการเชงเสน - เมทรกซ - ตวผกผนการคณของเมทรกซ - การหาตวผกผนการคณของเมทรกซ - การใชเมทรกซแกระบบสมการเชง

- ๑.๕ ๒๐

๑๒๓

เสน

- ความสมพนธ - ตวผกผนของความสมพนธ - ฟงกชน

๓ ๖. หาระยะทางระ หวางจดสองจด จด กงกลาง ระยะ หางระหวางจดเสนตรงกบจดได ๗.หาความชนของเสนตรง สมการ เสนตรง เสนขนาน เสนตงฉากและน าไปใช ๘.เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวยเมอก าหนดสวนตางๆของภาคตดกรวยใหและเขยนกราฟของความ สมพนธนนได ๙.น าความรเรองการเลอนแกนทาง ขนานไปใชในการเขยนกราฟได

- ระยะทางระหวางจดสองจด - ความชนของเสนตรง - เสนขนาน - เสนตงฉาก - ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด - วงกลม - วงร - พาราโบลา - ไฮเพอรโบลา - การเลอนกราฟ

เรขาคณตวเคราะห

๒๘.๕ ๓๐

๑๒๔

๑๐. น าความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใชแกปญหาได

ผลการเรยนรขอท ๖ – ๑๐

- ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห - ภาคตดกรวย

- ๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๒๕

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๓ รหสวชา ค ๓๒๒๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม กราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและ

ฟงกชนลอการทม การค านวณคาโดยประมาณโดยใชลอการทม การเปลยนฐานของลอการทม การแก

สมการเอกซโพแนนเชยลและสมการลอการทม และการประยกตของฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและ

ฟงกชนลอการทม ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ฟงกชนไซนและโคโซน คาของฟงกชนไซนและ

โคไซน ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ฟงกชนตรโกณมตของมม ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

การใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตาง

ของจ านวนจรงหรอมม ฟงกชนตรโกณมตของสองเทา สามเทา และครงหนงของจ านวนจรงหรอมม

ความสมพนธระหวางผลบวก ผลตาง และผลคณของฟงกชนตรโกณมต ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต

เอกลกษณและสมการตรโกณมต กฎของไซนและโคไซน และการหาระยะทางและความสง เวกเตอรใน

สามมต เวกเตอร เวกเตอรในระบบพกดฉาก การบวกและการลบเวกเตอร การคณเวกเตอรดวยสเกลาร ผล

คณเชง สเกลาร และผลคณเชงเวกเตอร

๑๒๖

๑. มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม และเขยนกราฟของฟงกชนทก าหนดใหได

๒. น าความรเกยวกบฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม ไปใชแกปญหาได ๓. มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนทก าหนดใหได ๔. น าความรเรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกตไปใชแกปญหาได ๕. มความคดรวบยอดเกยวกบเวกเตอรในสามมต ๖. หาผลบวกและลบเวกเตอร การคณเวกเตอรดวยสเกลาร ผลคณเชงสเกลาร และผลคณเชง

เวกเตอรได ๗. หาขนาดและทศทางของเวกเตอรทก าหนดใหได

รวม ๗ ผลการเรยนร

๑๒๗

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๓ ค ๓๒๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑.มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม และเขยนกราฟของฟงกชนทก าหนดใหได ๒.น าความรเกยวกบฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม ไปใชแกปญหาได

- ฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนลอการทม

บทนยาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชนทอยในรป

( , ) | , 0 , 1xf x y R R y a a a

บทนยาม ฟงกชนลอการทม คอ

1,0,log/, aaxyRRyxf a

ซงเปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซ

โพเนนเชยล

- กราฟของฟงกชน - การค านวณคาโดยประมาณโดยใชลอการทม การหาคาลอการทมสามญของจ านวนจรง

บวก N โดยท 101 N โดยใชตาราง

ลอการทม สงทควรทราบจากตาราง

1. คาลอการทมทปรากฏในตารางเปน

ฟงกชน

เอกซ

โพแนน

เชยลและ

ฟงกชน

ลอการทม

๑๔ ๑๕

๑๒๘

คาประมาณทอยในรปทศนยม 4 ต าแหนง

2. ตารางลอการทมทก าหนดให จะแสดงคา

ลอการทมสามญของจ านวน (N) ทมทศนยม

2 ต าแหนงและมขอบเขตตงแต 1.00 – 9.99

เทานน

3. แสดงวาเราสามารถหาคาลอการทมสามญ

ของจ านวน (N) ทมทศนยม 2 ต าแหนง และม

ขอบเขตตงแต 1.00 – 9.99 จากตารางไดทนท

เชน 34.1log = ……………

4. ถาเราตองการหาคาลอการทมสามญของ

จ านวน (N) ทมทศนยมมากกวา 2 ต าแหนง

และมขอบเขตตงแต 1.00 – 9.99 จะหาจาก

ตารางโดยตรงไมได เชน N = 1.437 จะพบวา

1.43 < 1.437 < 1.44

- การเปลยนฐานของลอการทม เปนการเปลยนฐานลอการทมจากฐานหนงไปเปนอกฐานหนง จากทฤษฏ ถา 1,0,1,0 bbaa และ 0x

แลว a

loglog

- การแกสมการและอสมการ หลกทวไปของการแกอสมการ

ใชความรเกยวกบฟงกชนเพมและฟงกชนลด

๑๒๙

ของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

1. ถา 1a แลว x ya a กตอเมอ x y

2. ถา 0 1a แลว x ya a กตอเมอ

- การประยกต การน าความรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและ

ฟงกชนลอการทมไปประยกตใชในสาขาวชาอน

ๆ ไดแก

การเตบโตของประชากร ณ เวลาหนงในกรณท

การเพมไมไดเปนไปอยางตอเนองตลอดเวลา

มสตรดงน trntn 10 การสลายตวของสารกมมนตภาพรงส ทมครงชวตเทากบ h ปรมาณสารทเหลออย มสตรดงน rtemtm 0

การวดระดบความเขมเสยง เปนการวดความเขมเสยงโดยเทยบกบความเขมเสยงทหคนปกตเรม ไดยนเปนเกณฑอางอง ระดบความเขมเสยง ม

สตรดงน

log10I

ระดบความเปน กรด – ดาง ของสารละลาย มสตรดงน HpH log

๑๓๐

๒ ๓.มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนทก าหนดใหได

- ฟงกชนไซนและโคโซน บทนยาม วงกลมหนงหนวย หมายถง วงกลม

ทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด (origin) และม

รศมยาวเทากบ 1 หนวย วงกลมนเปนกราฟของ

ความสมพนธ

{ (x,y) R ×R | x2 + y2 = 1 }ก าหนดจ านวน

จรง (ทตา) ถา (x, y) เปนจดปลายสวนโคงท

วดจากจก (1,0) ยาว || หนวย

ฟงกชน

๑๔.๕ ๑๕

๔.น าความรเรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกตไปใชแกปญหาได

1. ถา > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

2. ถา 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

- คาของฟงกชนไซนและโคไซน พจารณาจากคอนดบซงเปนจดปลายสวนโคง

ของวงกลมหนงหนวยซงเรมตนจากจด (1, 0)

และยาว || หนวย โดยท แทนจ านวนจรงใดๆ

- ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ บทนยาม ส าหรบจ านวนจรง ใดๆ

tangent =

sin เมอ cos ≠ 0

secant = cos

1 เมอ cos ≠ 0

cosecant = esin

1 เมอ sin ≠ 0

cotagent =

cos เมอ sin ≠0

- การใชตารางและกราฟของฟงกชนตรโกณมต - ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก - ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของ

๑๓๑

จ านวนจรงหรอมม ให A และ B เปนจ านวนจรงหรอมมใดๆ

BABABA sincoscossinsin

BABABA sincoscossinsin BABABA sinsincoscoscos

BABABA sinsincoscoscos

tantan1

tantantan

tantan1

tantantan

cotcot

1cotcotcot

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

cotcot

1cotcotcot

- ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต - เอกลกษณและสมการตรโกณมต หมายถง สมการตรโกณมตทเปนจรงเสมอ ไม

วาจะแทนทตวแปรดวยจ านวนจรงใดๆ กตาม

โดยการแทนทตวแปรดวยจ านวนจรงนนจะตอง

ท าใหแตละพจนมความหมายดวย

การพสจนเอกลกษณ หมายถง การพสจนให

เหนจรงวา กลมพจนทางดานซายมอและขวามอ

ของเครองหมายเทากบ เทากนเสมอ ในทกๆ

คาตวแปร

- กฎของไซนและโคไซน กฎของไซน (The Law of Sine)

ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปน

ความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C

๑๓๒

ตามล าดบ แลวจะไดความส าพนธดงน

Asin = b

Bsin = c

หรอ A

กฎของโคไซน (The Law of Cosine)

ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปน

ความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C

ตามล าดบ แลวจะไดความสมพนธดงน

a2 = b2+ c2- 2b . c . cosA

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

b2 = c2 + a2 – 2c .a . cosB

- การหาระยะทางและความสง

ภาค

ผลการเรยนรขอ ๑ – ๔

-ฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชน

ลอการทม

-ฟงกชนตรโกณมต

- ๑.๕ ๒๐

๓ ๕.มความคดรวบยอดเกยวกบเวกเตอรในสามมต ๖.หาผลบวกและลบเวกเตอร การคณเวกเตอรดวย สเกลาร ผลคณเชงสเกลาร และผลคณเชงเวกเตอรได ๗.หาขนาดและ

- - เวกเตอร คอ ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยว เรยกวา ปรมาณสเกลาร สวนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เรยกวา ปรมาณเวกเตอร หรอเรยกวา เวกเตอร เวกเตอรหนงหนวย หมายถงเวกเตอรทม

ขนาดหนงหนวยและมทศทางเดยวกบเวกเตอร

นนๆ ให a เปนเวกเตอรหนงหนวยของ

เวกเตอร A จะมทศทางเดยวกนหรอขนานกน

- เวกเตอรในระบบพกดฉาก เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

นยาม เวกเตอรในต าแหนงมาตรฐาน OA

เวกเตอรใน

สามมต

๒๘.๕ ๓๐

๑๓๓

ทศทางของเวกเตอรทก าหนดใหได

คอเวกเตอรทมจดเรมตนทจด O(0,0) และสนสด

ทA(a,b)

เขยนแทนดวยสญลกษณ OA =

.เวกเตอรใดๆในระนาบแกนมมฉาก

ก าหนดให P(x1,y1) และ Q(x2,y2)เปนจดใดๆใน

ระนาบแกนมมฉาก

แลว PQ =

xx และQP =

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

PQ = - QP

เมอ a=x2 –x1 ,b= y2 – y1

เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

นยาม ให x,y,z เปนจ านวนจรง เรยก

x วา

เวกเตอรในปรภมสามมตหรอเวกเตอรในสามมต

เรยกสน ๆวาเวกเตอร ซงมจดเรมตนทจดก าเนด

และจดสนสดท (x,y,z)

เวกเตอรในระนาบสามมต

นยาม ให A ( x1,y1,z1) และ B (x2,y2,z2)

๑๓๔

แลว AB =

- การบวกและการลบเวกเตอร การบวกเวกเตอรใดๆบนระนาบ

ก าหนดให u = AB และ v = BC ผลบวกของ u + v เปนเวกเตอรทมจดเรมตน ทจด A และมจดสนสดทจด C นนคอ

u + v = AB +BC = AC การลบเวกเตอรใดๆในระนาบเดยวกน คอการ

บวกเวกเตอรตวตงดวยนเสธของเวกเตอรตวลบ

ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอรใดๆใน

ระนาบ ผลลบของเวกเตอรu กบ v เขยนแทน

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

ดวย u -v โดยท u -v =u +(-v ) เชน ABAB AB + (- AB ) = AB +BA = oAA

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร นยาม ให a เปนจ านวนจรงและ u เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง a และ u เขยนแทนดวย au โดยท 1.ถา a = o หรอ u = o แลว au = o ถา a > o แลว au เปนเวกเตอรทมทศทางเดยว กบ u และ ua = a u

ถา a < o แลว au เปนเวกเตอรทมทศทางตรงกนขามกบ u และ ua = a u

ถา u และ v มทศทางเดยวกน v u

และ u = 2

3 v แลว u = 2

3v เรยก

๑๓๕

วาผล คณระหวางสเกลาร คอ 2

3 กบ v

ผลคณเชงสเกลาร และผลคณเชงเวกเตอร ผลคณเชงสเกลาร ให 𝐴 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 , 𝐵 = 𝑏1𝑖 +

𝑏2𝑗 + 𝑏3�� และ 𝐶 = 𝑐1𝑖 + 𝑐2𝑗 + 𝑐3�� เปนเวกเตอรใดๆในปรภมสามมต แลว ผลคณ 𝐴 ∙ (�� × 𝐶) เรยกวา ผลคณเชงสเกลารของสามมต ผลคณเชงเวกเตอร บทนยาม ให 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) และ �� =

(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) เปนเวกเตอรใด ๆ ในปรภมสามมต แลวผลคณเชงเวกเตอรของ 𝐴 และ �� หรอผลคณไขว เขยนแทนดวยสญลกษณ 𝐴 × ��

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

ภาค

๖ – ๗

-เวกเตอรในสามมต - ๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๓๖

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๔ รหสวชา ค ๓๒๒๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาจ านวนเชงซอน จ านวนเชงซอน สมบตเชงพชคณตของจ านวนเชงซอน รากทสองและรากท

n ของจ านวนเชงซอน กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน จ านวนเชงซอนในรปเชงขว และสมการ

พหนาม กราฟเบองตน กราฟ ดกรของจดยอด แนวเดน กราฟออยเลอร และการประยกตของกราฟ

ศกษาและพฒนาทกษะกระบวนการในการคดค านวณ การแกปญหา การใหเหตผล การสอความหมายทาง

คณตศาสตร

๑๓๗

๑. มความคดรวบยอดเกยวกบจ านวนเชงซอน ๒. มความเขาใจสมบตตาง ๆ เกยวกบจ านวนเชงซอน การด าเนนการไปใชแกปญหาได ๓. น าความรเรองจ านวนเชงซอนไปแกสมการพหนามตวแปรเดยวทมสมประสทธเปนจ านวนเตม

ดกรไมเกนสามและหารากท n เปนจ านวนเตมบวกได ๔. เขยนกราฟเมอก าหนดจด (vertex) และเสน (edge) ให และระบวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟ

ออยเลอรหรอไมได ๕. น าความรเรองกราฟไปใชในการแกปญหาบางประการได

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๔ ค ๓๒๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๕ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

๑.มความคดรวบยอดเกยวกบจ านวนเชงซอน ๒.มความเขาใจ

สมบตตาง ๆ

เกยวกบจ านวน

เชงซอน การ

- สมบตเชงพชคณตของจ านวนเชงซอน จ านวนเชงซอน(Complex Number) เขยน

แทนดวย z โดยท z = (a,b) จะไดวา

z = a + bi เมอ i = 1

i2 = -1

- รากทสองและรากท n ของจ านวนเชงซอน

จ านวน

เชงซอน

๒๘.๕ ๓๐

๑๓๘

ด าเนนการไปใช

แกปญหาได

๓.น าความรเรอง

จ านวนเชงซอนไป

แกสมการพหนามตว

แปรเดยวทม

สมประสทธเปน

จ านวนเตมดกรไม

เกนสามและหาราก

ท n เปนจ านวนเตม

บวกได

รากท n ของจ านวนเชง ซอน ประโยชนของทฤษฎบทของเดอมวร คอการหาค า ตอบของสมการ zn = w เมอ w เปนจ านวนเชงซอนทก าหนดให และ n เปนจ านวนเตมบวก ซงค าตอบของสมการกคอรากท n ของจ านวนเชงซอน w นนเอง ดงนนในหวขอนจะกลาวถงการน าทฤษฎบทของเดอมวรไปชวยในการหารากท n ของจ านวนเชงซอน - กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน - จ านวนเชงซอนในรปเชงขว รปแบบเชงขวเปนจ านวนเชงซอนทบอกขนาดและทศทางของปรมาณเฟสเซอรแยกจากกนอยางชดเจนเขยนเปนสมการไดดงน

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

- สมการพหนาม ทฤษฎบท ถาจ านวนเชง ซอน z เปนค าตอบของสมการพหนาม

โดยทสม ประสทธ เปนจ านวนจรงแลวสงยค จะเปนค าตอบของสมการพหนาม

ภาค

ผลการเรยนรขอท ๑ – ๓

- จ านวนเชงซอน ๑.๕ ๒๐

๑๓๙

๒ ๔.เขยนกราฟเมอ

ก าหนดจด (vertex)

และเสน (edge) ให

และระบวากราฟท

ก าหนดใหเปนกราฟ

ออยเลอรหรอไม

๕.น าความรเรองกราฟไปใชในการแกปญหาบางประการได

- กราฟ ดกรของจดยอด บทนยาม กราฟ G คอคอนดบ ( V(G)

, E(G) ) ประกอบดวย เซตจ ากด 2 เซต คอ

1. V(G) เปนเซตของจดยอดของกราฟ

G ทไมเปนเซตวาง 2. E(G) เปนเซต

ของเสนเชอมของกราฟ G ทเชอม

ระหวางจดยอด

บทนยาม ดกรของจดยอด V ในกราฟ คอ

จ านวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจด

ยอด V ใชสญลกษณ deg(V) แทนดกร

ของจดยอด V

- แนวเดน บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของ

กราฟ

ทฤษฎกราฟ

เบองตน

๒๘.๕ ๓๐

เรยนรท

ชอหนวย

เวลา

(ชวโมง)

น าหนก

คะแนน

(๑๐๐)

แนวเดน u – v ( u – v walk ) คอล าดบ

จ ากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน

u = u0 , e 1 , u1 , e2 , u 2 , e3 ,… , u n - 1 , en ,

un = v โดยเรมตนทจดยอด u และ

สนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม e1

จะเกดกบ จดยอด ui – 1 และ ui เมอ i {

1 , 2 , 3 , … , n }

-กราฟออยเลอรและการประยกตของ

กราฟ

๑๔๐

บทนยาม กราฟทมวงจรออยเลอร

เรยกวากราฟออยเลอร ( Eulerian graph )

ภาค

๔ – ๕

-ทฤษฎกราฟเบองตน - ๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๕ รหสวชา ค ๓๓๒๐๑ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๑ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาลมตของฟงกชน ความตอเนองของฟงกชน อนพนธของฟงกชน การหาอนพนธของ

ฟงกชนพชคณตโดยใชสตรอนพนธของฟงกชนคอมโพสท อนพนธอนดบสง การประยกตของอนพนธ

ปรพนธไมจ ากดเขต ปรพนธจ ากดเขต พนทปดลอมดวยเสนโคง

๑๔๑

ผลการเรยนร ๑. หาลมตของฟงกชนได

๒. อธบายความตอเนองของฟงกชนได

๓. หาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตรอนพนธของฟงกชนคอมโพสท อนพนธอนดบสงได

๔. ประยกตอนพนธของฟงกชนเกยวกบการเคลอนท อตราการเปลยนแปลงได ๕. หาปรพนธไมจ ากดเขต ปรพนธจ ากดเขต และ พนทปดลอมดวยเสนโคง ได

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๕ ค ๓๓๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๑ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑.หาลมตของฟงกชนได ๒.อธบายความตอเนองของฟงกชนได

-ลมตของฟงกชนคอ คาเขาใกลของฟงกชน

ขณะทตวแปรเขาใกลจ านวนจรงบางตวการ

เขาใกลของตวแปรมสองทศทาง คอ ทางซาย

และทางขวา กลาวคอจะเขาใกลทงทางนอย

และทางมาก ดงนน การใหความหมายวา

ลมตของ

ฟงกชน

และความ

ตอเนองของ

๑๐ ๑๐

๑๔๒

ลมตของฟงกชนตองพจารณาวาการเขาใกล

ทางซายและทางขวาตองมคาเทากนจง จะท า

ใหลมตของฟงกชนหาคาได เขยนแทนดวย

lim ( ) lim ( )

x a x a

f x f x L แลว lim ( )

-ความตอเนองของฟงกชน คอ การทกราฟ

ของฟงกชนไมขาดตอนอธบายวาถาพจารณา

จดบนโดเมนจดหนงๆ วา ท าใหฟงกชนนน

ตอเนองจะตองแสดงวา ลมตของฟงกชนเขา

ใกลจดนน มคาเทากบคาของฟงกชน ณ จด

นน ๆนนเอง หลกการมดงน

1. f(a) หาคาได

2. lim ( )x a

หาคาไดนนคอ

lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

และ 3. lim ( ) ( )x a

f x f a

ฟงกชน

(Limit and

Continuity)

๑๔๓

๓.หาอนพนธของโดยใชสตรอนพนธของฟงกชนคอมโพสท อนพนธอนดบสงได

-อนพนธของฟงกชน

คอ การพจารณาอตราการเปลยนแปลงของฟงกชนเทยบกบตวแปร ขณะใด ๆ

f x h f x

แทนดวยสญลกษณ dy

-การใชสตรหาอนพนธ คอ เครองมอในการหาอนพนธของฟงกชนในลกษณะ งาย ๆ เชน การบวกลบคณ และหารของฟงกชน ตวอยางสตรเชน 1. ( ) 0

dx 2. ( ) 1

3. ( )d d

cu c udx dx

4. 1n ndx n x

5. ( )d d d d

u v w u v wdx dx dx dx

-อนพนธอนดบสง คอ การหาอนพนธของฟงกชนมากกวา 1 ครง

อนพนธ

ของฟงกชน

๑๐ ๑๐

๓ ๔.ประยกตอนพนธของฟงกชนเกยวกบการเคลอนท อตราการเปลยนแปลงได

-การประยกตหาอนพนธ คอ การน าอนพนธ

ไปใชกบการหาคาเหมาะสม หรอ คาสงสด

และ คาต าสด โดยใชแนวคดเรองความชน

กลาวคอ จดต าสด และสงสดจะท าใหคา

ความชนเปนศนย ซงคาความชนกคอนพนธ

ของฟงกชน ณ จด ตางๆ

ประยกต

อนพนธ

ของฟงกชน

๘.๕ ๑๐

๑๔๔

สอบกลาง ภาค

ท ๑ – ๔

- ลมตของฟงกชน และความตอเนองของฟงกชน

- อนพนธของฟงกชน

- การประยกตหาอนพนธ

๑.๕ ๒๐

๕.หาปรพนธไมจ ากดเขต ปรพนธจ ากดเขต และ พนทปดลอมดวยเสนโคง ได

-ปรพนธไมจ ากดเขต

คอ การหากลบของอนพนธของฟงกชน

กลาว คอ เมอ เราหาอนพนธของฟงกชน

หนง แลว เราตองการยอนกลบหาฟงกชน

เดม เราจะเรยกวธการนวาปรพนธของ

ฟงกชนและ การไมจ ากดเขตเปนการไมระบ

คาฟงกชนทตองการยอนหาซงมมากมาย

มหาศาล สามารถใชสตรดงตอไปน

1. dx x c

2. kdx kx c

x dx cn

เมอ 1n

4. ( ) ( )kf x dx k f x dx

5. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

6. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

-ปรพนธจ ากดเขต คอการจ ากดเขต ขอบขาย

ของฟงกชนเดม ใหมชวงอยบนโดเมนท

ก าหนด

ปรพนธของ

ฟงกชน

๒๘.๕

๓๐

๑๔๕

(๑๐๐)

-พนทปดลอมดวยเสนโคงกบแกน x คอ การ

น าหลกของปรพนธจ ากดเขตมาใช เพราะ

พนทใตเสนโคงของฟงกชน คอ ปรพนธ

จ ากดเขตนนเอง

ภาค

ท ๕

ปรพนธของ

ฟงกชน

๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

๑๔๖

รายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๖ รหสวชา ค ๓๓๒๐๒ เวลา ๖๐ ชวโมง ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๒ ๑.๕ หนวยกต

ศกษาล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณตแบบอนนต ลมตของล าดบอนนต ทฤษฎลมตของล าดบ

อนนต สญลกษณแทนการบวก อนกรมเลขคณต อนกรมเรขาคณต อนกรมอนนต สหอนกรมเลขคณตเรขาคณต อนกรมอนนตแบบตาง ๆ โจทยปญหาทเกยวของกบล าดบ และ อนกรม วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฎเบองตนของความนาจะเปน ทฤษฎบททวนาม

โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร และน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอน ๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสรางนวตกรรม ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ผลการเรยนร ๑. หาลมตของล าดบอนนต และจ าแนกการลเขา และ ลออกของล าดบอนนตได

๒. หาผลลพธของสญลกษณแทนการบวก

๓. จ าแนกการลเขาและลออกของอนกรมอนนต

๔. หาคาสหอนกรมเลขคณตและเรขาคณตได

๕. แกโจทยปญหาล าดบ อนกรมอนนตได

๖. ค านวณหาจ านวนวธในการจดเรยงโดยใชวธเรยงสบเปลยนได ๗. ค านวณหาจ านวนวธในการเลอกโดยใชวธเรยงวธจดหมได

๘. ใชทฤษฎความนาจะเปนเบองตนแกปญหาได

๙. ใชทฤษฎบททวนามในการค านวณสมประสทธ และ ดกรได

รวม ๙ ผลการเรยนร

โครงสรางรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ๖

๑๔๗

ค ๓๓๒๐๒ ชนมธยมศกษาปท ๖ ภาคเรยนท ๒ เวลา ๖๐ ชวโมง คะแนนเตม ๑๐๐ คะแนน

๑.หาลมตของ

ล าดบอนนต และ

จ าแนกการลเขา

และ ลออกของ

ล าดบอนนตได

-การเขยนพจนทวไป คอ การเขยนสมการ หรอ รปแบบแทนล าดบ ดวย

na เมอ n เปนจ านวนเตมบวกใดๆ -ล าดบเลขคณต และ เรขาคณต คอ ล าดบสามญทศกษาความ สมพนธของพจนทอยตดกนโดยล าดบเลขคณต จะไดผลตางของพจนทอยตดกนเทากนเสมอ และล าดบเรขาคณต จะไดอตราสวนของพจนทตดกนเทากนเสมอ -ลมตของล าดบอนนต คอ การหาขอบขายของล าดบเมอ n มคามากมายมหาศาล หรอ เรยกวา n เขยนแทน ลมตของล าดบดวย lim n

-ทฤษฎลมต คอ เครองมอชวยในการหาคาลมตของล าดบใหงายขน มลกษณะทางพชคณตทกประการ

ลมตของ

ล าดบอนนต

๑๐ ๑๐

๒ ๒.หาผลลพธของ

สญลกษณแทน

การบวก

-สญลกษณแทนการบวก คอ เครองหมายแทนการรวมล าดบ โดยใชสญลกษณ

ทงนเราสามารถใชเครองหมายแทนการบวกเขยน ผลรวมยอยได

สญลกษณ

แทนการ

บวก

๖.๕ ๑๐

๑๔๘

(๑๐๐)

๓ ๓.จ าแนกการลเขาและลออกของอนกรมอนนต ๔.หาคา สหอนกรมเลขคณตและเรขาคณตได ๕.แกโจทยปญหาล าดบ อนกรมอนนตได

-อนกรมเลขคณต และ เรขาคณต อนนต คอ การน าอนกรมเลขาคณต และ เรขาคณตแบบจ ากดซงมตวแทน คอ ผลบวกยอย n หรอ nS มาหาลมต ซงเราจะเรยกวาอนกรมอนนต แทนดวย S หรอ เขยนเปนความสมพนธวา lim nn

-อนกรมอนๆ ไดแก อนกรม เทเลสโคป อนกรมผสมเลขคณตและเรขาคณต -โจทยปญหาเกยวกบอนกรม น ามาประยกตใชกบรปเรขาคณตหรอ กาแกวงและการกระดอนของวตถ ซงเหตการณเหลานมกใชอนกรมอนนตแบบเรขาคณตมาหาค าตอบ

อนกรม

อนนต

๑๒ ๑๐

ภาค

ท ๑ – ๕

- ล าดบอนนต

- สญลกษณแทนการบวก

- อนกรมอนนต

- ๑.๕ ๒๐

๔ ๖.ค านวณหา

จ านวนวธในการ

จดเรยงโดยใชวธ

เรยงสบเปลยนได

-กฎการนบเบองตน คอ การใช

กระบวนการคดนบจ านวนเหตการณ หรอ

วธการทเกดขนแบบเปนมเงอนไข และไม

มเงอนไขตอกน

เรยง

สบเปลยน

๑๐ ๑๐

๑๔๙

๔(ตอ) ๗.ค านวณหา

จ านวนวธในการ

เลอกโดยใชวธ

เรยงวธจดหมได

-เครองหมายแฟคทอเรยล คอเครองหมายทแสดงผลคณของจ านวนทลดถอยลงทละ ดงนยาม ! ( 1)( 2)....3.2.1n n n n

เมอ n เปนจ านวนเตมบวกและศนย -การจดเรยง คอการน าสงของมาจดเรยงอยางมหลกเกณฑ ม 2 ลกษณะ ไดแกเรยงเปนเสนตรง และเปนวงกลม ทงน จ านวนวธท น าสงของมาเรยง r สง จากของท

แตกตางกน n สง จะได

วธ -การจดหม คอ การเลอกสงของออกมาแตไมตองจดเรยง โดยทวไปจะอาศยสตร

วธ

หมายถง การเลอกของ r สง จากของทแตกตางกนทงหมด n สง

๘.ใชทฤษฎความ

นาจะเปน

เบองตน

แกปญหาได

-คาความนาจะเปน คอ คาอตราสวนของจ านวนเหตการณทเราสนใจตอ จ านวนเหตการณทเกดทงหมด

เปน

๘.๕

๑๐

๑๕๐

๖ ๙.ใชทฤษฎบท

ทวนามในการ

ค านวณ

สมประสทธ

และ ดกรได

-ทฤษฎบททวนาม คอ การกระจายพหนาม

ในรป 0

nn n k k

na b a b

ซงในสตรจะม n

ซง เปนสญลกษณ

ของการจดหมรวมอยในสมประสทธของแตละพจน

ทฤษฎบท

ทวนาม

๑๐ ๑๐

ผลการเรยนรขอท ๖ – ๙

- เรยงสบเปลยน

- ความนาจะเปน

- ทฤษฎบททวนาม

- ๑.๕ ๒๐

รวม ๖๐ ๑๐๐

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/21/block_html... · 2015-10-20 ·...

Documents

หมู่ฟังก์ชัน -...

คุณลักษณะอันพึงประสงค์elsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/270/course/summary/หน่วยที่... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/jarunee_su/pluginfile.php/20/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/natapon_yo/pluginfile.php/21/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/jaruwan_pi/pluginfile.php/336/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/siriluck_le/pluginfile.php/145/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/pornpan_he/pluginfile.php/20/course... ·...

จิตวิทยา -...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/siriluck_le/pluginfile.php/50/block_html... ·...

เรื่อง พหุนาม -...

3.elsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/260/course/summary/แผนการ...แผนการจัดการเรียนรู้ที่...

มาตรา ตัวสะก -...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/siriluck_le/pluginfile.php/145/block_html... ·...

โปรแกรม microsoft word -...

1 7 2 2557 1 12 1. -...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/narumon_la/pluginfile.php/59/block_html... ·...

ค ำน ำ -...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/narumon_la/pluginfile.php/59/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/samart_su/pluginfile.php/23/block_html... ·...

elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/chuchakaj_ch/pluginfile.php/249/course... ·...