řenáší zatížení do vazeb/podpor? * modelování...
Post on 29-Jan-2020
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
© 2005-2011 Petr Kabele
2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU
* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce.
2.1 Úvod
pruty
* Jak konstrukce přenáší zatížení do vazeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány?
1
© 2005-2011 Petr Kabele
Prut: konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními.
l b
hl >> hl >> b
Průřez: příčný řez prutu
Střednice: čára tvořená těžišti průřezů prutu
∴∴∴∴ Pruty budeme modelovat jejich střednicí.
2
© 2005-2011 Petr Kabele
Prostorový prut - střednice je prostorová křivkanebo lomená čára
Rovinný prut - střednice je rovinná křivkanebo lomená čára
Prizmatický prut - přímý prut konstantního průřezu
osa
Obecný prut - zakřivený, proměnného průřezu
3
© 2005-2011 Petr Kabele
Prostý nosník
Nosník = podepřený prut
Konzolový nosník,konzola, krakorec
Prostý nosníks převislými konci
Př:
4
© 2005-2011 Petr Kabele
Nosníky
• přímé
• lomené
• obloukové
• prutové soustavy
5
© 2005-2011 Petr Kabele
2.2 Vnitřní síly prutu
Prut v rovnováze(reakce a zatížení ... rovnovážná soustava sil)
Akce a reakce:
FP = -FL
MP = -ML
rozdělíme fiktivním řezem na 2 části L a P
L
P
Aby každá část byla v rovnováze, musí v řezu působit síly a momenty:FP, MP ... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy FL, ML ... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy
P
FP
MP
ML
FLL
6
© 2005-2011 Petr Kabele
z
xy
FP
MP
Ve zkoumaném řezu zavedeme lokální souřadný systémx-y-z; osax tečna ke střednici,y, z normály
Vektory FP a MP rozložíme do složek:FPx = N ... normálová síla [N]
FPy = Vy ... posouvající síla [N]
FPz = Vz ... posouvající síla [N]
MPx = T = M x ... kroutící moment [Nm]
MPy = M y ... ohybový moment [Nm]
MPz = M z ... ohybový moment [Nm]
Vntiřní síly prutu
T=Mx
NVz
Mz
My
Vy
7
© 2005-2011 Petr Kabele
Kladná orientace vnitřních sil
Kladně orientovaný průřez(vidíme ze směru kladné poloosy x)
FL
ML
N
Záporně orientovaný průřez(vidíme ze směru záporné poloosyx)
FL = -FP
ML = -MP
→ kladné vnitřní síly orientovanéshodně se souřadnicovými osami
→ kladné vnitřní síly orientovanéopačně než souřadnicové osy
x
z
FP
MP
NTVz
Mz
My
Vy
x
z
y
y
T
Mz
MyVz
Vy
8
© 2005-2011 Petr Kabele
Rovinný prut zatížený v roviněxg
zg
Pokud:1) střednice - rovinná křivka2) vnější síly (zatížení a reakce)
- rovnovážná soustavav rovině střednice
∴ zjednodušení vnitřních sil:⇐ z podmínek rovnováhy
oddělené části
xy
z
NV
Μ
Vnitřní síly:N ... normálová síla [N]
Vz = V ... posouvající síla [N]
My = M ... ohybový moment [Nm]
Vy = 0T = Mz = 0
9
© 2005-2011 Petr Kabele
x
z
xg
zg
Kladná orientace vnitřních sil
N
V
Mx
z
N
V
M
Kladně orientovaný průřez(vidíme ze směru kladné poloosyx)
Záporně orientovaný průřez(vidíme ze směru záporné poloosyx)
10
© 2005-2011 Petr Kabele
Příklad 1:Určete vnitřní síly v průřezu A rovinného nosníku.
11
© 2005-2011 Petr Kabele 12
© 2005-2011 Petr Kabele
Příklad 2:Určete vnitřní síly v průřezu A prostorového nosníku.
13
© 2005-2011 Petr Kabele 14
© 2005-2011 Petr Kabele 15
© 2005-2011 Petr Kabele
2.3 Sřednicový model rovinného prutu
Pruty budeme modelovat jejich střednicí.
16
© 2005-2011 Petr Kabele
Zatížení prutu/nosníku
Pruty modelujeme jejich střednicí
∴∴∴∴ veškeré síly působící na konstrukci (zatížení i reakce)
redukujeme ke střednici
Příklady: F
h/2
Av
Ah
2h
hA
h/2
2h
FxFx
Fz
B
Av
Ah B osamělé síly/reakce redukujeme k těžišti průřezu, ve kterém působí
17
© 2005-2011 Petr Kabele
fz
fx
x
z
d x
z
fx
m = fx⋅ d
spojité momentové zatížení[Nm/m]
18
© 2005-2011 Petr Kabele
f
x
z
d
m = f cosα⋅ d
α
fz= f sinα fx = f cosα
fz= f sinα
fx = f cosα
19
© 2005-2011 Petr Kabele
zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku
FFzFx
d1
d2
FzFx M2 = Fz⋅d2
M1 = Fx⋅d1
d1
d2
20
© 2005-2011 Petr Kabele
zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku
F = f⋅d2
d2
Ms =F∙��
�
d2
f
F = f⋅d2
21
© 2005-2011 Petr Kabele
Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.)
• osa x ... vždy tečná ke střednici prutu
• osa z ... preferujeme ve směru zemské tíže (shora dolu)
nebo zleva doprava
• x-zpravotočivá soustava souřadnic
x
z
x
z
x
z x
z
x
z
někdy též
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
* "spodní" vlákna (stranu) prutů označujeme čárkovanou čarou
22
© 2005-2011 Petr Kabele
2.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřezu prutu (rovinná složená sousava)
1) Prut vyjmeme ze soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (zatížení a reakce)
FR1
Ah
Av
Bh
Bv
AFf1
f2
AF
Určete vnitřní síly v průřezu A.
23
© 2005-2011 Petr Kabele
2) Prut rozdělíme řezem A na části L a P a do řezu zavedeme neznámé vnitřní síly.
FR1
Bh
Bv
Ah
Av
F
FR1
Ah
Av
Bh
Bv
AF
LP
N
V
MN
V
M
3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil.
24
© 2005-2011 Petr Kabele
FR1
Ah
Av
BhBv
AF
3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P:
Ah
Av
F
L
N
V
M
L : Ah, Av, F, N, V, M ... musí být v rovnováze
* A ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akcea reakce) ⇒ kontrola výsledku !
FR1
BhBv
PN
V
M
P: Bh, Bv, FR1, N, V, M ... musí být v rovnováze
25
© 2005-2011 Petr Kabele
3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřezu:
* A ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akcea reakce) ⇒ kontrola výsledku !
Ah, Av, Fjsou ekvivalentní
N, V, M působícím na P
PAh
Av
F
L N
V
MFR1
Bh
Bv
LP
N
V
M
Bh, Bv, FR1
jsou ekvivalentníN, V, M působícím na L
Ah
Av
F
L
26
© 2005-2011 Petr Kabele
6
Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řezech A, B, C dané konstrukce.
A
F1 = 8 kN
f = 1,5 kN/mB
C
2 2 4 (m)
33
Reakce:
8
5
4 4
9
4 4
3
3
8
6
(kN)
F2 = 2 kN
2
27
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez A:
(m, kN)
33
8
5
4
8
Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"
A
NA
VAMA
5 0 5A AN N kN↑ + = ⇒ = −
4 8 8 0 4A AV V kN→ + − + = ⇒ = −
4 6 8 6 8 3 0 0A AM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =
28
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez A:
(m, kN)
Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zprava"
A
NA
VA
MA 6 3 2 0 5A AN N kN↓ + − + = ⇒ = −
4 0 4A AV V kN← + = ⇒ = −
4 3 6 2 0 0A AM M kNm∩ − + ⋅ − ⋅ = ⇒ =
4
3
1,5⋅4
2 2
2
29
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez A:
(m, kN)
33
8
5
4
8
Výpočet z ekvivalence vnitřních sil a sil působících na oddělenou část prutu "zleva"
NA
5AN kN↑ = −
4 8 8 4AV kN→ = − + − = −
4 6 8 6 8 3 0AM kNm∩ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
AVA
MA
Pozn.: oproti výpočtu z rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice ... rychlejší výpočet
30
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez B:
(m, kN)
33
8
5
4
8
Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"
B NB
VB
MB
5 2 0 3B BV V kN↓ − + = ⇒ =
4 8 8 0 4B BN N kN→ + − + = ⇒ = −
4 6 8 6 8 3 2 0 0 0B BM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ =
2
31
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez B:
(m, kN)
Rovnováha ve styčníku
B NB
VB
MB2
A
NA
VA
MA
2 0 2 3B A B AV N V N kN↓ + + = ⇒ = − − =
0 4B A B AN V N V kN→ − = ⇒ = = −
0 0B A B AM M M M kNm∩ − = ⇒ = =
32
© 2005-2011 Petr Kabele
Průřez C:
(m, kN)
33
8
5
4
8
C NC
VC
MC
5 2 3 0 0C CV V kN↓ − + + = ⇒ =
4 8 8 0 4C CN N kN→ + − + = ⇒ = −
4 6 8 6 8 3 2 2 5 2 3 1 0 3C CM M kNm∩ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =
2
2
1,5⋅2
33
© 2005-2011 Petr Kabele
C
VC
MC
Průřez C: (alternativní výpočet):
NB
VB
MB
3 0 3 0C B C BV V V V kN↓ − + = ⇒ = − =
0 4C B C BN N N N kN→ − = ⇒ = = −
2 3 1 0 3C B B CM M V M kN∩ − − ⋅ + ⋅ = ⇒ =
NC
2
(m, kN)
1,5⋅2
34
© 2005-2011 Petr Kabele
2.5 Vnitřní síly v průřezu vs. vnitřní síly v bodě střednice
V bodech, kde se• mění tvar střednice (a)• stýká více prutů (e)• působí osamělá síla či moment (b, c)• je umístěna vazba (d)mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodechje třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřezech.
a b
c
d
e
35
© 2005-2011 Petr Kabele
Viz předchozí příklad:
8
5
4
4
38
62a
V bodě a zleva≈ průřez A
(m, kN)
8
5
4
8A
NA
VAMA
Určete vnitřní sílyv bodě a.
8
5
4
8
B NB
VB
MB2
V bodě a zprava≈ průřez B
5
4
0
A
A
A
N kN
V kN
M kNm
= −= −=
4
3
0
B
B
B
N kN
V kN
M kNm
= −==
36
© 2005-2011 Petr Kabele
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 22.2.201137
top related