energiebänder im festkörper. inhalt klassisch: energieniveaus eines freien atoms energie des...
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Energiebänder im Festkörper
Inhalt
Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms
• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei
Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine
quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im
„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für
– Isolator– Halbleiter– Leiter
Kristalline Festkörper
Bohrsches Atommodell
r1
r2=4r1
r3=9r1
r4=16r1
E1=-13,6 eV
E2=-3,4 eV
E3=-1,5 eV
E1=-0,85 eV
Klassisches Modell
• Aufbau der Atome nach Bohrs Modell
• Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel)
Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
E [eV]
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie
Zwei Atome im Kasten, klassisch
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
016 14 12 10 8 6 4 2 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Zwei Atome im Kasten, klassisch
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
016 14 12 10 8 6 4 2 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Quantenmechanisches Modell
Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst
• Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“– Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten
Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in
Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl
Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential
Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch
x=0 x=L
Klassisch:
Quantenmechanisch:
Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
1/mWellenzahlen „die in den Kasten passen“
1 J
Energie zu Wellen mit Quantenzahl n
1 J
1 J
Wellenzahl und Energie
• Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?
nEnLm
22
22
2
nL
kn
nn Ekm
22
2
nEmL
hn
2
22
8
Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
x=0 x=L
1m Wellenlänge
1 1/m Wellenzahl
1 J Energie
1
21
L
Lk
1
2
2
1 8mL
hE
Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten
1m Wellenlänge
1 1/m Wellenzahl
1 J Energie
L2
Lk
22
2
2
2 8
4
mL
hE
x=0 x=L
Elektronen sind „Fermionen“
Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden
• Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen
• Man beginnt mit der Wellenzahl k1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu
• Man erhöhe die Wellenzahl bis kN =N·π/L
De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft
• Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k
1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen
• Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie εn zugeordnet
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen
• Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in dieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls
• Gitter mit vier Elementarzellen
0 1 2 3 4-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X Axis Title
Y A
xis
Titl
e
F1 F2 F3 F4
xn
x
Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen
• Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L
n=2
n=1
n=3
n=4
Energie εn der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen
Energie εn=n2h2/(8mL2)
Impuls ~ n
• Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie
• εn ~n2
Nummer n der Wellenzahl 1 1s ↑2 1s ↑
3 1s ↑4 1s ↑
Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
Energie Band
Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen
Kristall aus He-Atomen
Kristall aus Li-Atomen
Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8
n=6
n=5
n=7
n=8
Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen
Zuordnung der Wellenzahlen
↑ und ↓ besetzt
Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!
1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
1 2s ↓
2 2s ↓
3 2s ↓
4 2s ↓
1 2s ↑
2 2s ↑
3 2s ↑
4 2s ↑
Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
↑ und ↓ besetzt
Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!
Bandlücke
Band
Band
Alternative Zuordnung:
↑ und ↓ besetzt
Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!
1 1s ↓
2 1s ↓
3 1s ↓
4 1s ↓
1 1s ↑
2 1s ↑
3 1s ↑
4 1s ↑
1 2s ↓
2 2s ↓
3 2s ↓
4 2s ↓
1 2s ↑
2 2s ↑
3 2s ↑
4 2s ↑
Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
Bandlücke
Band
Band
↑ und ↓ besetzt
Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!
Leiter
Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter
• Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen – Energie und – Impuls (p=ħ·k)
aufzunehmen, – das Material ist elektrisch leitfähig
• Im Beispiel der Li-Kristall
Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter
Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind
• In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen– Im Beispiel der He-Kristall
• diese Materialien sind Nichtleiter
Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
Energie Band ↑ und ↓ besetzt
Nichtleiter
Kleine Bandlücke: Halbleiter
Bei genügend kleiner Bandlücke • Zwischen einem voll besetzten und• dem nächsten, unbesetzten Band
genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen
• Diese Materialien nennt man Halbleiter
Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
1 s
mal 0,0529 [nm]
Abstand vom Kern
Bindungsenergie E [eV]
2 s
↑ und ↓ besetzt
↑ und ↓ besetzt
Bandlücke
Band
Valenz Band
Leitungs BandLeeres Leitungsband
Halbleiter
Kleine Bandlücke
Zusammenfassung
Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms
• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei
Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Bandes bilden eine
quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im
„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für
– Isolator– Halbleiter– Leiter
Formel-zeichen
Wert SI Einheit Anmerkung
e 1,60 10-19 1 C Elementarladung
1,05 10-34
1 JsPlancksches Wirkungsquantum
h 6,63 10-34
me 9,11 10-31 1 kgMasse des Elektrons
8,85 10-12 1 F/mElektrische Feldkonstante
Konstanten
,
0
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