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Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre tensões e deformações
13 de dezembro de 2012
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre tensões e deformaçõesAs relações entre tensões e deformações são estabelecidas apartir deensaios experimentais simples que envolvem apenas uma componentedo tensor de tensões. Ensaios complexos com tensões significativasnas 3 direções ortogonais tornam difíceis as correlações entre astensões e suas correspondentes deformações.Destacam-se:
ensaio de tração
ensaio de compressão
ensaio torção.
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Ensaio de tração
Objetivos:Relacionar tensões normais (σ) e deformações lineares (ǫ);Determinar as propriedades dos materiais;Verificar a qualidade dos mesmos.
→ Corpo de prova (CP): barra reta de seção constante, comprimentoL, diâmetroD e áreaA, na configuração inicial
P PLD
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
O ensaio consiste em aplicar ao CP uma cargaP axial de tração queaumenta lenta e gradualmente (carga “estática”), até sua ruptura.Mede-se, durante o ensaio, a cargaP, a variação do comprimentoL(∆L) e do diâmetroD (∆D)
P PLD
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Tensor de tensões:
x
y
z
P
Figura :Referencial adotado
σ =
σx 0 00 0 00 0 0
=
P/A 0 00 0 00 0 0
(1)
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Quais são as deformações causadas pela tração aplicada ao CP?
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
Figura :Deformações no ensaio de tração
não sofre distorções angulares
alongamento dos ladosbc e ad→ ǫxencurtamento dos ladosab e cd→ ǫy
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
σx causaǫx, ǫy e ǫz;
σy causaǫx, ǫy e ǫz;
σz causaǫx, ǫy e ǫz;
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
→ Traça-se, durante o ensaio, um gráfico contendo no eixo vertical osvalores da cargaP e no eixo horizontal o alongamento∆L
σ = PA
ǫ = ∆LL
P
∆L
(a) DiagramaP×∆L
ε
σ
x
x
(b) Diagramaσx × ǫx - Tensão-deformação
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Tipos de diagramas tensão×A forma do diagrama depende do tipo de material deformaçãoobtidos dos ensaios:
εx
σx
5 %
R
1
2
α
(c) Material Frágil
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
(d) Material dútil sem pata-mar de escoamento
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
(e) Material dútil com pata-mar de escoamento
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Materiais frágeis (concreto, vidro): a ruptura (pontoR) se dá paravaloresǫx < 5 %;
εx
σx
5 %
R
1
2
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Material dútil sem patamar de escoamento definido(açosespeciais com alto teor de carbono). A ruptura (pontoR) se dá paravaloresǫx >> 5 % e o material não apresenta patamar de escoamento.
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Material dútil com escoamento definido(aços comuns, com baixoteor de carbono). A ruptura (pontoR) se dá para valoresǫx >> 5 % e omaterial apresenta patamar de escoamento.
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Principais características dos materiais obtidas do ensaioI – Ponto 1 – limite de proporcionalidade: define o nível de tensão apartir do qual o material deixa de ter comportamento linear.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Principais características dos materiais obtidas do ensaioII – Ponto 2 – limite de elasticidade. Quando o CP é carregadoacima deste limite, não retorna a sua configuração inicial quandodescarregado. Acima deste ponto passam a existir deformaçõespermanentes ou plásticas.No aço os limites de elasticidade e proporcionalidade são muitopróximos, tanto que normalmente não se faz muita diferença entreesses dois níveis de tensão. Materiais que possuem estes dois limitesmuito próximos são chamados demateriais elásticos lineares.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Principais características dos materiais obtidas do ensaioIII – Ponto 3 – tensão ou ponto de escoamento. Tensão ou ponto deescoamento que caracteriza o início do comportamento não linearelástico.→ aços com baixo teor de carbono: diretamente da curvatensão-deformação.→ aços especiais com alto teor de carbono arbitrado como sendoatensão que provoca uma pequena deformação residual de 0,2 % apóso descarregamento.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Principais características dos materiais obtidas do ensaioIV – Módulo de elasticidade – E. Durante a fase elástica linear arelação entre a tensãoσx e a deformaçãoǫx é linear→ Lei de Hooke(Robert Hooke, Londres, 1635 a 1703)
σx = tanα ǫx = E ǫx
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Principais características dos materiais obtidas do ensaioV – Coeficiente dePoisson ν. Além de gerar deformaçõesǫx, a tensãoσx gera deformações lineares nas direções transversais (ǫy e ǫz)
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
ǫy =∆DD e ǫz = ∆D
D
→ ǫx, ǫy e ǫz: obtidos experimentalmente com as medidas dosextensômetros
ǫyǫx= constante= −ν
ǫzǫx= constante= −ν
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre a tensãoσx e as deformaçõesǫx, ǫx e ǫz
ǫy = −ν ǫx
ǫz = −ν ǫx
Substituindoσx = tanα ǫx = E ǫx (Lei de Hooke), chega-se ás relaçõesentre tensões normais e deformaçõs transversais:
ǫy = −νσx
E(2)
ǫz = −νσx
E(3)
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Caso estivessem atuando simultaneamenteσx, σy eσz:
ǫx = +σx
E− νσy
E− νσz
E(4)
ǫy = −νσx
E+σy
E− νσz
E(5)
ǫz = −νσx
E− νσy
E+σz
E(6)
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Ensaio de Compressão
É semelhante ao ensaio de tração, mas o CP deve ter dimensõesadequadas para se evitar a flambagem. Para materiais metálicos osCPs devem ser de tal forma que a razãoL/D deve se situar entre 2 e 4(ou entre 3 e 8, segundo alguns autores ).O ensaio de compressão do aço apresenta um diagrama semelhante aoensaio de tração na fase elástica. Admite-se que as constanteselásticasE eν obtidas experimentalmente são as mesmas para traçãoou compressão (postulado da isotropia) .
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Ensaio de torção
→ Alternativa ao ensaio de cisalhamento→ Aplica-se um torque num CP analisando as distorções angulares
αa b
→ Verifica-se experimentalmente que, para pequenas deformações, avariação da dimensão do segmentoab pode ser desprezada→ asdeformações medidas no ensaio de torção sãodistorções angulares.
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Lei de Hooke para o ensaio de torção
τxy = tanα γxy = Gγxy
G→Módulo de Elasticidade Transversale é uma outracaracterística do material.
Relações entre tensões cisalhantes e distorções angulares
τxz = Gγxz
τyz = Gγyz
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre tensões e deformaçõesLei de Hooke generalizada
13 de dezembro de 2012
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Lei de Hooke generalizada
G = E2(1+ν)
ǫxǫyǫzγxy
γxz
γyz
=
1/E −ν/E −ν/E 0 0 0−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0
0 0 0 1/G 0 00 0 0 0 1/G 00 0 0 0 0 1/G
σx
σy
σz
τxy
τxz
τyz
(7)
Na forma matricial compacta:
ǫ = D−1σ σ = Dǫ
ondeD é chamada de matriz constitutiva do material.Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Tabela :Constantes elásticas de alguns materiais
Material E (GPa) G (GPa) ν σe µ
(MPa) (kg/m3)
Aço CA-25 210 79 0,33 250 7860Aço CA-50 210 79 0,33 500 7860Aço CA-60 210 79 0,33 600 7860Aço CP-150 210 79 0,33 1500 7860
Aço ASTM A-36 253 7860
Concreto 22 a 30 � 0,1 15 a 40 2400
Alumínio 69 26 0,33 290 2710
Titânio 114 825 4460
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Exercícios
1 Um pequeno bloco cilíndrico de alumínio 6061-T6, comdiâmetro original de 20mm e comprimento de 75mm, é colocadoem uma máquina de compressão e comprimido até que a cargaaxial aplicada seja de 5kN. Determinar:a) o decréscimo de seu comprimento.b) seu novo diâmetro.Resposta: a)∆L = −0,0173mm b) d= 20,00162mm
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
2 Um corpo de prova padronizado, de aço, com 13 mm dediâmetro, sujeito a uma força de tração de 29,5 kN teve umalongamento de 0,216 mm para um comprimento de 200 mm.Admitindo-se que não foi superado o limite deproporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidadelongitudinal do aço.Resposta:E = 206 GPa
3 Um pequeno bloco cilíndrico de bronze C86100(coeficiente dePoisson= 0,34),com diâmetro original de 1,5 cm e comprimentode 3 cm, é colocado em uma maquina de compressão ecomprimido até que seu comprimento se torne 2,98 cm.Determinar o novo diâmetro do bloco. Resposta: d= 1,5034 cm.
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