equaÇÃo linear sistema linear geometria da … · 2014-09-03 · 3 m .: 5 8 1 a solução de uma...
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ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Vianei Peixoto 1
EQUAÇÃO LINEAR
SISTEMA LINEAR
GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES
RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS
ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear
ÁLGEBRA LINEAR Prof. Vianei Peixoto 2
*
1 2 3 n
1 2 3 n
Seja , , ,....., , (números reais) e n (n 1)
x , x , x ,.....,
x (números reais)
Chama-se e
quaç
EQUAÇÃO LINEAR
Equa
ão Linear sobre
çã
na
o L
s i
inear
ncóg
1 2 3 n
1 2 3 n
1 2 3 n
1 1 2 2 3 3 n n
nitas x , x , x ,....., x ,
a equação da forma
onde , , ,....., são os coeficientes da equação
x , x , x ,....., x termos desconhecidos(incógnitas) da e
x x x ..... +
quação
x
1 2
1 2 3
são também chamados variáveis.
Exemplos:
a) 3x = 5
b) 3x 5x = 8
c) 2x - x + x = 1
A solução de uma equação linear com n incógnitas é a sequência de n
números reais que torna a iguald
S
a
olução de uma Equação Line
de que define a equação
ar em com n
uma sen-
tença
incógn
verd
itas
adei
ra.
Nos exemplos anteriores temos:
5a) S =
3
b) a dupla ou par ordenado (1,1) é uma solução
c) a terna ordenada (1,1,0) é uma solução
As equações b) e c) na verdade têm infinitas duplas ou ternas
ordenadas, respectivamente como solução.
1. Escreva 3 equações lineares com 2, 3 e 4 incógnitas respectivamente.
2. A equação 2x + 3y - t + z = 4 tem infinitas quádruplas como solução.
Determine pe
Exer
lo m
cício Propost
enos uma dela
o 1.1
s.
3. As quádruplas (1, -2, 3, 4), (1, -2, 3, 11) satisfazem a equação
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2x + 3y - t + z = 4 ? Justifique a sua resposta.
*
Seja m, n
Sistema Linear de m equaçõe e n incógnitas é um conjunto
de m equações, com cada uma dessas eq
SISTEMA LIN
uações cont
Sis
end
tema Linea
o
n incógn
EAR
r
itas
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 m n m
x x x ..... + x
x x x ..... + x
.......................................................
x x x ..
e consi
...
deradas simultaneamente.
S:
x
+
Ob
1 2 3 m
: 1) se m=n o sistema é chamado
sistema linear de ordem n.
2) se = = ......... = 0 o sistema é
chmado sistema Linear
servação
Homogêneo.
Exemplos:
4x - 2y = 8a) onde m= 2 e n = 2
2x + 5y = 16
2x + 3y + z= 3b) onde m= 2 e n = 3
2x - 5y - 3z= 10
2x + 3y + z= 3
c) 4x - 9y - 10z = - 1 onde m= 3 e n=
2x - 5y - 3z = 10
3
Seja o sistema line
Solução de um Siste
ar S de m equações
ma Linear
e n incóg
m
ni
x n
tas.
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ÁLGEBRA LINEAR Prof. Vianei Peixoto 4
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 m n m
x x x ..... + x
x x x ..... + x
..............................S
.........................:
A solução do sistema S,
x x x ..... +
acima
x
, é
1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 3 n
a n-upla ordenada
de números (b , b , b ,........,b ) tal que substituindo-se
x , x , x ,........, x por b , b , b ,........,b nessa mesma ordem,
em cada equação do sistema, a igualdade se verifica ver
dadeira
para cada uma equação do sistema.
Exemplos:
4x - 2y = 8a) onde m= 2 e n = 2
2x + 5y = 16
A solução é S= 3,2 , pois,
4. - 2. = 8 (V)
2. + 5. = 16 (V)
x - y + z = 1
b
3 2
3 2
) 2x +
y + 2z = 0 onde m= 3 e n=3
3x - y + z = 1
2 1 A solução é S= 0,- , , pois,
3 3
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2 1 0 -
3 3
2 10 -
3 3
- + = 1 (V)
2. + + 2. = 0 (V)
3. - + 2 1
= 1 (V)0 -3 3
Consistente e
Classificação
determinado
Com relação a solução, um sistema linear pode ser:
1) ou ou possível e determinado compatível e
determin
do Sis
tema Qu
quando
anto
tem ad sò
a
men
Soluçã
te
o
o uma solução.
2) ou ou
quando tem mais de um
Consiste
a soluçã
nte e indeterminado possível e indeterminado compatível e
indeterminado
Inconsistente impossível incomp
o.
3) ou ou quando não tem soatível lução.
1
1 1
Sejam S e S sistemas de equações lineares m x n.
O sistema S é equivalente ao sitema S e escrevemos S S , se e só
se têm a mesma solução.
6x + 5y = 27Exempl
Sistemas Equivalentes
o: S 5x - 4y = -2
1
1
1
52x + y = 9
S 3
5x - 4y = -2
Os sistemas S e S são equivalentes, pois,o par or-
denado (2,3) é solução do sistema S e do sistema S .
Faremos então a comprovação:
6. + 5. = 27S
5. -
2 3
2 4.3
1
1
52. + . = 9
S 3= -2
5. - 4. = -2
12 + 15 = 27 4 + 5 = 9S S
10 - 12 = -2 10 - 12
3
= -2
2 3
2
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1) O que é um sistema linear ?
2) O que é uma solução de um sistema linear ?
3) Com relação a solução como podem ser classificados
os sistema lineares ?
4) O
Exer
que
cício Propost
são sistemas
o 1.2
equivalentes ?
5) Resolva os sistemas lineares:
x - y - 2z= 1 3x + 2y = 6 11x + 2y = 6/3
-x + y + z = 2-2x - 3y = 7 -2x - 3y = 7/4
2x -2y + z =-2
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GEOMETRIA DAS EQUAÇÕES LINEARES
São entes matemáticos definidos por segmento de reta orientado.
Notação: AB - vetor AB de origem em A e
extremo em B
Vetores Geométricos
.
2Correspondência entre Vetores Geométricos e Pontos do Plano ( )
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2 1 2 1
1 1 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1
2
Ao vetor AB podemos associar o ponto do plano P de coordenadas (x -x , y -y ).
Sejam A(x , y ) e B(x , y )
AB = B - A = (x , y ) - (x , y ) = (x -x , y -y )
Ao ponto P = (x -x1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
, y -y ) podemos associar o vetor OP de origem O (0, 0).
P = (x -x , y -y ) = P - O = (x -x , y -y ) - (0, 0) = OP.
Exercício: O vetor AB tem origem no ponto A=(3, 5) e estrimidade no ponto B=(5, 8).
a) Ache o vetor OP que tem origem no O(0, 0), associado ao vetor AB.
b) Faça a representação gráfica.
a -aSeja o vetor v= . O vetor oposto de v é o vetor designado por -v = .
b -b
3Na figura temos a representação gráfica
Ve
do vetor v = e do seu oposto 2
tor O
-3-v= .
-2
Observ
to
a
pos
ação: A notação usual do vetor é na forma de coluna v= . Entretanto,
b
muitas vezes por comodidade de espaço escrevemos no formato ho-
rizontal v = (a, b). Us
amos sempre minúsculas.
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a cSejam os vetores u = e v =
b d
a + cSoma dos vetores u e v é vetor u + v =
b + d
3 -2 3 + (-2)Exemplo: seja u = e v = u + v =
-2
Soma de Vetor
5 -2
es
1
5 3
a cSejam os vetores u = e v =
b d
Diferença dos vetores u e v é vetor
A diferença de dois vetores u e
D
v
é
u -
a s
v = u +
oma do primeiro vetor com o oposto do
iferenç
se
a de Vet
g
(-v)
re
u
o s
a -c a-cu - v = u + (-v) = + =
b -d b-
ndo
d
.
3 -2 3 2 5Exemplo: seja u = e v = u - v = =
-2 4 -2-4 -6
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a a .aSeja o vetor v = e um número real. Então .v = . =
b b
"Para multiplicar um
Produto de um Vetor po
número por um vetor multiplica-se
cada componte
.
n
b
t
r um Númer
e do v
o
-2 -2 -4Exemplo: z = ,
etor
w =2. = , w = 2.z-1 -1 -2
pelo número"
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1 2 3 n
1 2 3 n
1 1 2 2 n n 1 2 n
Sejam v , v , v , ......., v n vetores.
Chama-se combinação linear dos n vetores v , v , v , ......., v a toda expres-
são do tipo v + v + ....... v onde
Com
, ,.......,
binação L e
in ar
são números re-
ais e também chamados escalares.
Exemplo: a expressão é uma combinação linear dos vetores
(
Cons
3.(1
equê
, 2) + 2
ncia da
1, 2) e
definição
(3, 2).
.(3, 2
O
:
)
resultado da expressão 3. + 2. é o vetor , pois, temos
3. + 2. = (4, 6) +
Assim, dizemos que o vetor
(1, 2
(9, 1
(3, 15
0) é u
)= .
ma co
) (3, 2) (9, 10)
(1, 2
mbinação linear dos
) (3, 2) (9, 1
vetores
0)
(1, 2) e (3, 2).
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Representação Gráfica da Combinação Linear
x + 2y = 8 x=2
-2x + y = -1 y =3
1 2 2 6 8 2. + 3. = + =
-2 1
Imagem Geométrica do Sistema Linear 2
-4 3 -1
1 2 8 2. + 3. = . Sendo
-2 1
2:
1
x
-
esta igualdade verdadeira,
8 1 2 é combinaçao linear das colunas e
-1 -2 1
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Imagem Geométrica das Linhas do Sistema
Imagem Geométrica das Colunas do Sistema
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1) O que são vetores geométricos ?
2) Represente no plano alguns vetores geométricos.
3) Dado o vetor AB de origem O(3, 4) e extremo B(-2, 5).
Exercício
Qual é o
Propost
po
o 1.
nto do plan
3
o associado ao vetor AB ?
2 -3 4) Dado os vetores v= e u= .
3 1
a) Qual o oposto de u? b) Qual o oposto de v ?
1 3 2 5) Seja os vetores u = , v = e z = .
2 2 -1
a) D
etermine os vetores u+v, v+z e u+z.
b) Faça a representação de cada soma.
1 3 6) Dados os vetores u = , v = .
3 2
a) Determine u - v e v - u.
b) Faça a representação de cada dife
rença.
c) Determine os produtos: -2u e 3v.
d) Faça a representação gráfica de cada produto.
1 2 7) a) Sendo u = , v = , determine o vetor dado pela expressão -2u + 3v
3 5
e
represente graficamente.
b) Seja z o vetor encontrado no ítem anterior. O vetor z é uma combinação
linear dos vetores u e v ?
c) Determine outro vetor que seja combinação linear de
1
u e v.
8) Verifique se o vetor (-3, 2) é combinação linear:
a) dos vetores v=(1,3) e u = (3,2)
b) dos vetores j= -1,2 e t=(-2,4)
a x + b 9) Escreva na forma de equação matricial o sistema:
1 1
2 2 2
y = c
a x + b y = c
10) a) Escreva a matriz associada ao sistema anterior.
b) Escreva a matriz aumentada do sistema anterior.
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RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES
Existem vários métodos de resolução de um sistema linear, entre os quais,
o método de Cramer e o método de eliminação de Gauss-Jordan. O primeiro
tem suas limitações e o segundo é mais geral. Veremos a seguir os conceitos
que fundamentam o método de eliminação Gauss-Jordan.
m x n
Sejam m e n números naturais não-nulos.
Chama-se matriz m por n sobre a uma tabela M formada de números reais
distribuidos
Matriz m por n
em m linha e
s
n
obr
col
e (
unas.
M
x
( ))
E
11 12 13 1n
21 22 23 2n
m1 m2 m3 m n m x
a a a ........a 4 3 5
a a a ........a 1 3 5emplos: , -1 0 -3 , Matriz Genérica
-2 4 -3 ......................... 2 4 -6
a a a .....a
n
a) (Troca) Trocar duas linhas entre si.
b) (Mudança
Operações Elementares sobre
de escala) Multiplicar uma linha por um número di
as
fe
Linhas de u
rente de zer
ma Ma
o.
c) (Subs
triz
tituição) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha
multiplicada por um número diferente de zero.
a) (Troca) Troc
1 2
1 -1 -1 -
ar duas linhas en
1
tre si.
Troca da 1ª e 3ª linhas
A = 3 2 -1 2 A = 3 2 -1 2
b
2 -1 1
) (Mudan
1 -1 -1
2 -1
-1
1
1
1
-
-
2 3
ça de escala) Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Multiplicação da 2ª linha por 1/3
1 -1 -1 -1 1 -1 -1
A = A =
2 -1 1 -1
3 2 -1 2
-1
2 -1
1 2/3 -1
1 -
/3 2/3
1
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c) (Substituição) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha
multiplicada por um número diferente de zero.
Substituição da 3ª lin
3
ha pela 1ª linha multiplicada por (-2), somada com a
a 3ª linha
-2 x 1 + 2 = , -2 x (-1) + (-1) = , -2 x (-1) + 1 = , -2 x 0 (-1) + (-1) = ,
1 -1 -1 -1
A =
1 3 1
4
1 -1 -1 -1
1 2/3 -1/3 2/3 A = 1 2/3 -1/3 2/3
02 -1 1 1 - 3 11
Seja M uma matriz retangular
A matriz M está na se são satisfeitas as seguintes condições:
i) Todas as linh
Forma Escal
as não-nula
onada de
da matri
forma escalo
z estão acim
nad
a d
Uma Matri
e qua
z
a
lquer linha nula.
ii) O primeiro elemento da 1ª linha é não-nulo e todos elementos abaixo dele
são nulos.
iii) O número de "primeiros elementos nulo", a partir da 2ª linha é maior que o
número de "primeiros elementos nulo" da linha anterior.
A matriz M está na se está na forma escalonada e ainda
são satisfeitas as seguintes condições:
i) Em cada linha o 1º elemento não-nulo é igua
forma es
l a 1.
calonada red
ii) Em cada
uzida
coluna os elementos acima do elemento igual a 1 é nulo.
* # # # # # * # # # # #
0 * # # # # 0 * # # # #
Matrizes Escalonadas 0 0 * # # # 0 0 * # #
0 0 0 * # #
0 0 0 0 * #
* # # # # #
0 * # # # #
# 0 0 0 0 * #
0 0 0 * # # 0 0 0 0 0 *
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2
Matrizes Associadas
x x x ..... + x
x x x .
a um Sist
Seja o Sis.... + x
.......................................................
x
ema
tema Linear
Line
:
r
S
x
a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
m1 m2 m
m
3 m n
11 12
3 3 m n m
a a a ........a
a a a ........a É chamada Matriz do Sistema ou Matriz dos Coeficientes
.........................
a a a
x ...
.....a
a a
.. + x
13 1n 1
21 22 23 2n 2
m1 m2 m3 m n 1
1
2
1
a ........a
a a a ........a É chamada Matriz Aumentada do Sistema ou Matriz Completa do Sistema
.........................
a a a .....a
.
.
É chamada Matriz dos Termos Independen
"
,
tes
Se as matrizes aumentadas de dois sistemas lineares forem equivalentes
por linha os dois sistemas são equivalentes e então têm a mesma sol
.
"ução
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2
x x x ..... +
Notação M
x
x x x ..Seja o Sistema Linear
... + x
.....................................................
atricial de um Sistema Line
. S:
.
x x
ar
1 1
11 12 13 1n
2 2
21 22 23 2n
m1 m2 m3 m
m3 3 m n m
n
n m
xa a a ........a
xa a a ........a
. . = ..........................
. .a a a .....a
x ..... +
x
x
ou A.X = b onde
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11 12 13 1n
21 22 23 2n
m1 m2 m3 m n
1
2
n
a a a ........a
a a a ........a A = Matriz do Sistema ou Matriz dos Coeficientes
.........................
a a a .....a
x
x
X = . Matriz
.
x
1
2
m
das Variáveis e b = . Matriz dos Termos Independentes
.
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Exercício:
Usando o método de Gauss-Jordan, resolva o sistema linear:
x - 2x + 3x - 5x + 2x = -1
-x - 3x + x + 2x + 4x = 3
2x x + 4x + 5x + 3x = 1
5x + 5x + 3x - 16x - 8x
= -11
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1) Resolva os sistema 3x3 usando a Regra de Cramer e o método
de
Exercício Propost
Gauss(Escaloname
o 1.4
nto)
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