equation differentielle lineaire
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7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
1/141
ANNALES SCIENTIFIQUES DE L.N.S.
DOUARD GOURSATSur lquationdiffrentielle linaire, qui admet pourintgrale la srie hypergomtrique
Annales scientifiques de l.N.S. 2e srie, tome 10 (1881), p. 3-142 (supplment).
Gauthier-Villars (ditions scientifiques et mdicales Elsevier), 1881, tous droits rservs.
Laccs aux archives de la revue Annales scientifiques de l.N.S. (http://www.elsevier.com/locate/ansens ), implique laccord avec les conditions gnrales dutilisation(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systma-tique est constitutive dune infraction pnale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la prsente mention de copyright.
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7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
2/141
SUR
L ' Q U A T I O N
D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E
Q U A D M E T
P O U R I N T G R A L E
L A S R I E H Y P E R G O M T R Q U R ,
P A R
M .
E D O U A R D G O U R S A T ,
A N C I E N L V E
D E
L ' C O L E
N O R M A L E
S U P R I E U R E .
I N T R O D U C T I O N .
1.
L a
sr ie h y p e r g o m t r i q u eF ( a ,?,y ,
x),
c o n s i d r e c o m m e
fo n c -
t i o n d e
son
q u a t r i m e
l m e n t a ? , n ' e s t d f i n i e
q u e
p o u r les v a l e u r s
de
l a
v a r i a b l e d ^ u n m o d u l e i n f r i e u r
l ' u n i t . P o u r la d f i n i r p o u r
des
v a l e u r s q u e l c o n q u e s de o n d o i t l a
c o n s i d r e r
c o m m e
u n e
i n t g r a l e
p a r t i c u l i r e
d ' u n e
q u a t i o n
d i f f r e n t i e l l e
l i n a i r e
d u
s e c o n d
o r d r e ;
l a
q u e s t i o n
r e v i e n t
t r o u v e r
ce q u e
d e v i e n t ce t t e
i n t g r a l e
q u a n d
le
c h e m i n
s u i v i
p a r l a
v a r i a b l e a b o u t i t
a
u n
p o i n t
s i t u e n d e h o r s d u
c e r c l e de
r a y o n
i d c r i t d e l ' o r i g i n e c o m m e
c e n t r e -
Pa r
u n e
g n r a -
l i s a t i o n
q u i s ' o f f r e d ' e l l e - m m e , o n
est
a l o r s
c o n d u i t
se p o s e r le
m m e p ro b l m e p o u r u n e i n t g r a l e q u e l c o n q u e de
c e t t e q u a t i o n , l e
c h e m i n s u i v i
p a r l a
v a r i a b l e t a n t s i m p l e m e n t a s s u j e t t i
n e passe r
p a r a u c u n
des
p o i n t s c r i t i q u e s q u ' e l l e p r s e n t e .
Cette q u a t i o n
c l b r e ,
t u d i e
p a r G a u s s (
1
) et
K u m m e r
(
2
) ,
a d m e t ,
(
1
)
GEwef
campteff,
t . t ,
p .
'207.
( 2 )
Jo^nni d e .
Crelle,t.
X V,
p . 39 .
-
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S. 4
* G O U R S A T .
c o m m e
l 'a m o n t r c e
d e r n i e r , v i n g t - q u a t r e i n t g r a l e s d e
la
f o r m e
(i-- . x ; ^ { c c ' , ^ , Y , ^ ) ,
o z e s t l ' u n e d e s v a r i a b l e s
x, i x ,
- - ?
,
' - 5
1
-
5 p o u r v u
o c i s e , s e " i * *
q u ' a u c u n
des
n o m b r e s
7 , y
-
a - |3, |3 a
n e
s o i t
u n
n o m b r e e n t i e r .
D a n s
l e
m m e
t ra v a i l , K u m m e r a d o n n
l e s
r e l a t i o n s
l i n a i r e s
c o e f f i -
c i e n t s c o n s t a n t s q u i e x i s t e n te n t r e
t r o i s
q u e l c o nq u e s d e cesi n t g r a l e s ;
m a i s , c e t m i n c n t
g o m t r e
s ' t a n t p l a c u n i q u e m e n t a u p o i n t d e v u e
d e sv a l e u r s r e l l e s
d e l a v a r i a b l e / l e s f o r m u l e s q u ' i l
a o b t e n u e s p r -
s e n t e n t
q u e l q u e s
d i f f i c u l t s
q u a n d
o n v e u t p a s s e r a u x a p p l i c a t i o n s ,
d ' a u t a n t p l u s
q u ' i l n 'a
p a s
t o u j o u r s p r c i s s u f f i s a m m e n t le sens d e ses
i n t g r a l e s .
S u p p o s o n s , en
e f f e t ,
q u ' o n
v e u i l l e p a s s e r
d ' u n e
v a l e u r
d e
x
r e l l e ,
p o s i t i v e
e ti n f r i e u r e
l ' u n i t ,
u n e
v a l e u r d e
x r e l l e , p o s i t i v ee t
s u p -
r i e u r e
l ' u n i t ; c e l a n e p o u r r a
se
f a i r e
e n a t t r i b u a n t la v a r i a b l e u n e
s u i t e
d e v a l e u r s t o u t e sr e l l e s ,
p u i s q u ' o n
n ep e u t
p a s s e r p a r
l ep o i n t , r = = = i ,
q u i e s t u n p o i n t c ri t i q u e p o u r l ' q u a t i o n
d i f f r e n t i e l l e . I l f a u d r a
d o n c
a t t r i b u e r
x u n e s u i t e
d e v a l e u r s
i m a g i n a i r es ,
ce q u e l ' o n
p o u r r a
f a i r e
d ' u n e
i n f i n i t
d e m a n i re s , e t ,
l a
v a l e u r f i n a l e d e la f o n c t i o n
d p e n d a n t
e s s e n t i e l l e m e n t
d e
l a
l o i d e s u c c e s s i o n
d e s
v a l e u r s d e l a
v a r i a b l e ,
o n
v o i t q u ' i l est n c e s s a i r e , p o u r l ' o b j e t
q u e l ' o n s e
p r o p o s e , d ' i n t r o d u i r e
l a c o n s i d r a t i o n d e s
v a l e u r s i m a g i n a i r e s d a n s l ' q u a t i o n d i f f r e n t i e l l e .
L a
t h o r i e
g n r a l e
d e
c e t t e
q u a t i o n ,
q u a n d o n
n ' a p p o r t e
a i n s i
a u -
c u n e ^ s t r i c t i o n a u x v a l e u r s d e la v a r i a b l e , n 'a
p a s
t f a i t e j u s q u ' i c i
d ' u n e m a n i r e c o m p l t e , d u m o i n s m a c o n n a i s sa n c e *Je d o i s r a p p e l e r
c e p e n d a n t
q u e
M . T a n n e r y (
On
t r o u v e r a
c i - a p r s l e T a b l e a u d e
ces
six
i n t g r a l e s , a v e c l es c o n d i t i o n s q u e d o i v e n t r e m p l i r
les
q u a n t i t s
a,6, y p o u r
q u e ces
i n t g r a l e s a i e n t u n s en s ( l ' i n g a l i t A>o i n -
d i q u e s i m p l e m e n t q u e l a
p a r t i e
r e l l e de A e s t
p o s i t i v e ) .
-
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S.8 . G O i m y A T .
(i)
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2
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( 3 )
( 4 )
( 5 )
(6)
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i
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y~[3>o a4- i
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y.-(3>o i
-
a
^ :>
o
i
a^>o
4. A v a n t
d ' a l l e r p l u s
l i n , i l i m p o r t e , p o u r l a
s u i t e ,
d eb i e n p r c i s e r
q u e l l e est c e l l e d e sv a l e u r s d e
l a f o n c t i o n
V q u e l ' o n p r e n d d a n s
l ' i n -
t g r a t i o n e t a u s s i d ' t u d i e r
d e
p l u s
p r s
l e s p r o p r i t s d e s f o n c t i o n s
r e p r s e n t e s p a r
ces
i n t g r a l e s d f i n i e s .
5 .
I / i n t g r a l e
y
=;
j
u ^
\(
i
^ T - - M
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s e n s ,p o u r v u
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q u e
l e s
p a r t i e s r e l l e s
d e
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e t
de
y ( 3
s o i e n t
p o s i t i v e s , e t
en
o u t r e
p o u r v u q u e
x
n ^ a i t p a su n e
v a l e u r
r e l l e s u p r i e u r e
l ' u n i t .
On p r e n -
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-
K
d r a
c e t t e
i n t g r a l es u i v a n t
l e
c h e m i n
r e c t i l i g n e
o - * j
(fig ) ;
p o u r
a r g u -
n e n s d eu e t
- / / ,
o n
p r e n d r a
o ,
et p o u r
a r g u m e n t d e
xu
c e l u i
q u i es t n u l
p o u r
u
o.
-
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S U R
L ' Q U A T I O N
D I F F R E I N T I E L L E
L I N A I R E ,
E T C . S. 9
L a f o n c t i o n y
a i n s i
d f i n i e es t
u n e
f o n c t i o n
u n i f o r m e d ex d a n s
t o u t e
l ' t e n d u e
d u
p l a n ,
c o n d i t i o n q u e
l e c h e m i n
s u i v i
p a r
l a
v a r ia b l e
ne c o u p e p a s l a l i g n e 4 - 0 0
.
F a i s o n s d c r i r e a u p o i n t o c u n e
c o u r b e f e r m e n e c o u p a n t p a sc e l t e
l i g n e ;
l e p o i n t xu ^ c o r r e s p o n d a n t
u n e
v a l e u r
d e u c o m p r i se e n t r e o
e t i ,
d c r i r a
u n e
c o u r b e f e r m e
h o m o t h t i q u e
l ap r c d e n te
e t l a i s s a n t
l ep o i n t s
l 'e x t r i e u r . L ' a r g u -
m e n t d e o c u r e p r e n d r a d o n c sa v a l e u r i n i t i a l e ; i l e n s e r a d e m m e
d e l ' l m e n t d e l ' i n t g r a l e
q u i
c o r r e s p o n d c e t t e v a l e u r
d e
u,et
p a r
s u i t e
d e l ' i n t g r a l e
e l l e - m m e .
I l
r s u l t e
d e
ce
q u i
p r c d e q u e
l a
f o n c t i o ny
p o u r r a ,
l ' i n t r i e u r
d ' u n c e r c l e
d e r a y o n
g a l
l ' u n i t d c r i t d e l ' o r i g i n e c o m m e
c e n t r e ,
t r e d v e l o p p e
e n
s r i e c o n v e r g e n t e o r d o n n e s u i v a n t l e s
p u i s s a n c es
c r o i s s a n t e s
d e
l a
v a r i a b l e .
L e
c o e f f i c i e n t d e x'^
1
d a n s
ce d v e l o p p e m e n t
s e r a
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(7)
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d e
x d e m o d u l e i n f r i e u r a
l ' u n i t ,
o n a u r a d o n c
'v. m Ft., ,.).
L ' i n t g r a l e p r c d e n t e e s t
s u s c e p t i b l e
d e
t r o i s
a u t r e s f o r m e s s e m -
b l a b l e s , q u e
l ' o n
o b t i e n t
a u m o y e n
d e s
c h a n g e m e n t s d e v a r i a b l e
s u i -
v a n t s , i n d i q u s p a r J a c o b i ;
u =.=
V y
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U
=
5
x
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v
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I
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7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
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S.O .
C O U R S A T .
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1
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p r e m i r e
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1
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' '
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C e t t e
d e r n i r e
i n t g r a l e
e s t p r i s e
s u i v a n t
l e m m e c h e m i n q u e
la
p r e m i r e .
S i
l ' o n
f a i t s u r l e s a r g u m e n t s d e c , i
v,
i
^
v
l e s
m m e s c o n v e n t io n s q u e
t o u t
l ' h e u r e , i l f a u d r a ,
p o u r
q u e l e s
d e u x
i n t g r a l e s s o i e n t i d e n t i q u e s ,
p r e n d r e
p o u r a r g u m e n t
d e
i x c e l u i
q u i e s t n u l p o u rx=o. On a u r a a l o r s
r
1
. . . .\
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F a i s o n s l a s e c o n d e t r a n s f o r m a t i o n:
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L ' i n t g r a l e
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C e t t e
d e r n i r e i n t g r a l e
e s t
p r i s e
l e l o n g
d ' u n
a r c
d e
c er cl e o M i ; m a is
i l
e s t
f a c i l e d es'assurer q u e l ' a i r e c o m p r i s e e n t r e
c e t
a r c d e c e r c l e
e t
l a l i g n e o - f n e c o n t i e n t
p a s
le p o i n t - ? q u i e s t u n p o i n t c r i t i q u e
se
p o u r
l a n o u v e l l e f o n c t i o n s o u s l e s i g n e d ' i n t g r a t i o n . E n e f f e t , l a
v a l e u ry=
c o r r e s p o n d p o u r
u l a v a l e u r
u=
4 - 0 0 ; l e p o i n t A
q u i
> %
f i g u r e
^ d o i t d o n c a p p a r t e n i r l a c i r c o n f r e n c e d o n t
f a i t p a r t i e
l ' a r c o M i . O n p o u r r a ,
p a r
c o n s q u e n t , p r e n d r e la s e c o n d e
i n t g r a l e
s u i v a n t
l e c h e m i n r e c t i l i g n eo -i e t , e n f a i s a n t
s u r l e s
a r g u m e n t s
les
m m e s
c o n v e n t i o n s
q u e t o u t H i e u r e , o n p o u i T a c r i r e
/l
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-
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S U R L ' Q U A T I O N
D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E ,
E T C . S, 1
L a
t r a n s f o r m a t i o n
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-
d o n n e r a i t
d e m m e
T
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1
( T-c.y)-(T--^
*
/
o
^
o
C h a c i n e des n o u v e l l e s i n t g r a l e s p e u t s o n t o u r
t r e
d v e l o p p e e n
s r i e p o u r
d e s
v a l e u r s
d e
l a v a r i a b l ec o m p r i se s
e n t r e
c e r t a i n e s l i m i t e s .
A i n s i ,
p o u r d e s
v a l e u r s
d e
x d e m o d u l e i n f r i e u r l ' u n i t , o n a
(l_,c]~a-p /
(;Y-"P-I
(i_
(,,)P-I
( .
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
11/141
S
2.S
.
C O U R S A T .
D a n s
le c e r c l e
G o , o n a
o,==F( (3,
y,
.r)== ( --.r)r ~ P F( y-
a,
y (3,y,
x}.
D a n s
l ' e s p a c e
E o ,
o n a
d e m m e
^,r=:(
-.r)- F
(a,
y-
,6,
y,
- )
=(r-)'P
pfy
-a,
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\ .%
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/
i/
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( i ; r )
t a n t s u p p o s
c o m p r i s
e n t r e T T e t +
T T . A
l a
v r i t ,
l e s
r s u l t a t s
q u i
p r c d e n t n e s o n t t a b l i s
q u ' e n
s u p p o s a n t p o s i -
t i v e s
le s p a r t i e s
r e l l e s d e
?e t
d e 7 f 3 ;
m a i s
i l
e s t c l a i r
q u e ces
r s u l -
t a t s
s u b s i s t e n t t a n t q u e 7n ' e s t p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f
o u
n u l .
I m a g i n o n s
q u ' o n
v e u i l l e
v r i f i e r d i r e c t e m e n t
q u e
l ' u n e
d e s
q u a t r e
f o n c t i o n s p r c d e n t e s s a t i s f a i t
l ' q u a t i o n ( i ) : le
s i g n e d e s
q u a n t i t s
P, 7 a n ' i n t e r v i e n d r a en r i en
d a n s
l e c a l c u l , e t , p a r c o n s q u e n t ,
l a
v r i f i c a t i o n
d e v r a se f u i r e
d a n s t o u s
l e s c a s . 11
e n
s e r a i t d e
m m e
si
l ' o n
v o u l a i t
v r i f i e r
q u e
d e u x de c es f o n c t i o n s s o n t g a l e s
p o u r l e s
v a l e u r s
d ex, q u i r e n d e n t
c o n v e r g e n t e s
le s d e u x s r i e s .
Je f a i s
c e t t e
r e m a r q u e u n e
fo i s
p o u r
t o u t e s ,
p o u r n ' a v o i r
p a s
y r e -
v e n i r d a n s
l e s
c a s
a n a l o g u e s .
S i
l e s
p a r t i e s r e l l e s d e f t e t
d e
y p s o n t p o s i t i v e s , o n a
r^y-
6.
L ' i n t g r a l ey=
""
1
( i ^^"^"'(i ocu)-^
d u a
u n
s e n s ,
t/
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
12/141
S U R
L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E , E T C * S.l^
p r e n n ea r g . ( ^ ) = = + 7 ; ,
e t
f a i s o n s
l e
c h a n g e m e n t
d e
v a r i a b l e
:
___f__ \_
c
l
'
i
^
^
^ (h
j
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i
v v a r i a n t
d eo
,u
v a r i e d e o
o o:
c [
T .ri
T xn = . ' - ,
S i
n o u s
p r e n o n s
o
p o u r
a r g u m e n t
d e
v
e t
de
i
< ^ n o u s d e v o n s
p r e n d r en
p o u r a r g u m e n t
d e ( 1 ) , e t l ' a r g u m e n t d e 1 ^ ( 1 ^ ) s e r a
n u l
p o u r
^=o. P a r ce
c h a n g e m e n t
d e v a r i a b l e , l ' i n t g r a l e d e v i e n t
^
j
^
^]
a-Y
_
,
f
_ )]-a
v < (
D a n s c e l t e d e r n i r e
i n l g r a l e , l e s a r g u m e n t s d e
7
,
1 ^ , 1 ^ ( 1 ^ )
o n t l e m m e
s e n s q u e
d a n s l ' i n t g r a l e d j t u d i e . O n p e u t
d o n c
l u i
a p p l i q u e r
l e s
t r a n sf o r m a t i o n s
p r c d e n t e s , e t l ' o n c o n c l u t q u e ,
t a n i q u e
+p
y n ' e s t p a s u n n o m b r e
e n t i e r
n g a t i f
o u n u l ,
r q u a t i o n
( i )
a d m e t u n e
n o u v e l l e
i n t g r a l e
9 2
h o l o m o r p h e
d a n s
t o u t
le
p l a n , s o u s
l e s
c o n d i t i o n s i n d i q u e s p l u s
h a u t .
D a n s
l e
c e r c l e
C , , o n a
c^==
F
(a, S,
a-4"
|3-H
7,
i.^ )
==.z-'-TFi 4 - 1 y,P+
--
y,
-4-
p-h r y,
r
.r).
D a n s l ' e s p a c eEo
o n
a
d e
m m e
c p . >=- Ffa,a
+
y,
a
+
|3 - 4 - 1
-
y,^-j
\
%
y
/ _
p
==: --P
F(
p,p+
y,
a+- (3 -4-
y,
l ' a r g u m e n t
d e^
t a n t
c o m p r i s
e n t r e T T
e t
+ 7 7 .
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
13/141
S.4
- G O U K S A T .
L o r s q u e | 3 e t a 4 - i y a u r o n t l e u r s p a r t i e s r e l l e s p o s i t i v e s , c e t t e
f o n c t i o n
^
p o u r r a
t r e r e p r s e n t e
p a r
u n e
i n t g r a l e d f i n i e ,
F
^ p - - i
( , )- ( r-xuY-^du=
111 ^ ^
o.,
Jo r(a-4-(3-+-iy)
i
"
e n s u p p o s a n t q u e
l ' o n p r e n n e +n
p o u r
a r g u m e n t
d eu
d a n s l ' i n t -
g r a l e .
S i
l ' o n
p r e n a i t
T T
p o u r c e t
a r g u m e n t ,
o n a u r a i t
^
"
n (i
--P- - - " ' , .r i a - n- ' / i r C y i S ) ,
?-,
( ,
-u
)-P-
( -xu
-
d u
=
< ? (- T '
;7-r-
1
ensupposant
qu'onprenne(-71)pour argument dei-u.
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
15/141
S.I
.
G O U R S A T .
S i l ' o n p r e n a i t
+n p o u r
ce t a r g u m e n t , o n
a u r a i t
F -'(i-,,)Y-P--
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
16/141
S U R L ' Q U A T I O N D I F F R E N r E L L E L I N A I R E ,
E T C .
8.17
D e
m m e , a
l ' e x t r i e u r
d u ce rc l e
C ^ ,
Q,=(i_)-pF
(;3,
y
--a,
(34-
-a,)
\
i
-^/
-:
(--^)I-T(T^)-P-
1
F(p-l-
y ,
--a,
f3+a,
)>
l e s a r g u m e n t s
de
( ^ )
e t
d e ( r ^ )
t a n t c o m p r i s
e n t r e
( T T ) e t
'(+7
P o u r d es v a l e u r s c o n v e n a b l e s d e fi e t d e r
a,
o n a u r a
r' -.f , _ ' i - p - .
/
,
-
, ^ < ) - a < / . = e ^ p '
y p ) ^ ' - ^ ,
. / o
r ^ + i - ;
f
- i - . w
9. L'intgraler== ^'"
1
( ^-P
1
--
1
f r /r^)-
01
a un
s e ns ,
< ? -
p o u r v u
q u e
l e s p a r t ie s r e l l e s d e
a e ta-h
s
7
s o i e n t p o s i t i v e s e t
q u ex
n ' a i t
p a s u n e v a l e u r
r e l l e
s u p r i e u r e
l ' u n i t ; d e p l u s ,
l a f o n c -
t i o n
y s e r a
h o l o m o r p h e
si l e
c h e m i n s u i v i
p a r l a
v a r i a b l e
n e c o u p e
a u -
c u n e
des l i g n e s in d f i n i e s c e
o , +co .
O n r a m e n
c e l t e i n l g r a l c
a l a p r e m i r e f o r m e e n p o s a n t u= =
e t
l ' o n t r o u v e
/ +
^
^
-
i
f
._
H
Y( ~~
\
(
_
^uY~
7
-
f/if
^
^
^=fc'n:/'(Y-.^-I')w.f \ -- Y j
( > a -
Y f (; ' ; --^
^
(.'.r
)'~?"~
1
o
L e s a r g u n e n i s ( l eu
e t
d e
u
s o n t
f i x s
p a r l ac o n t i n u i t en s u p p o s a n t
q u ' o n
p a r t e
d e
l ' o r i g i n e a v e c l ' a r g u m e n t
o
e t q u ' o n d c r i v e le r a y o n
i n f i n i o L p a s s a n t p a r l e
p o i n t -
I
-
Q u a n t i ^, o n p e u t
p r e n d r e
p o u r
a r g u m e n t T T . D a ns
la formule
p r c d e n t e , on
prendra
le
signe
-4-
ou
le signe
-
d e v a n t
ni(;/
-fi
1
. ) s u i v a n t
qu e
le
pointquifigure la
va l e ur dex sera
d a n s la par t ie
s u p r i e u r e ou
d a ns
la p a r t i e
infrieure
du
p l a n ,
e t le
signe
4-
ou
d e v a n t
i
s u i v a n t
que
l'on
prend,
p o u r
a r g u m e n t de
t .vu,
-+- T T
ou
- T r .
> . ? o
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
17/141
.i8 ^ * C O U R S A T .
T a n t q u e
2 7
n e s e r a
p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f
o u
n u l , l ' q u a -
t i o n
( i )
a d m e t t r a
u n e
i n t g r a l e
^ g ,
u n i f o r m e
s o u s
l a
c o n d i t i o n
n o n c e
p l u s
h a u t .
D a n s
l e
c e r c l e C o , o n
a u r a
o ;;
= =
. % < -Y F
( p - 4 - 1
y , e x . -+ -
r
y ,
? ---
y )
:^-^( - PF(i
a,
(3,
2
--y,
.r).
D e
m m e , d a n s
l ' e s p a c e E o ,
/
.
^ \
c p , , = = "r(
;r)T- --'
F a4- y, T p, a
y,
' 6
, *
/
^
-r(
_
^y..~p-i
Ffp
+
y,
^,
-
y,
^^TY)
'
l e s
a r g u m e n t s
de
o c
e t d e o c t a n t
c o m p r i s
e n t r e
T T
et
- 4 - 7 T .
P o u r d e s v a l e u r s c o n v e n a b l e s d ea, f 3 , 7 , o n a y r a
^-4-w
T
f^--J-
][
vVf
1 OC \
[
,,?-.
(
_
a)r-P-
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
18/141
S U R . L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E
L I N A I R E ,
ETC.
S.Q
p a r t
d e
l ' o r i g i n e a v e co p o u r v a l e u r i n i t i a l e , e t l ' o n d c r i t le c h e m i n
r e c t i l i g n e
o - ; p u i s o n p a r t d u p o i n tx= i,
e t
l ' o n d c r i t l e c h e m i n
r e c t i l i g n e q u i j o i n t c e p o i n t
a u
p o i n t a v e c d es
v a l e u r s p a r f a i t e m e n t
d t e r m i n e s
p o u r
ces a r g u m e n t s . M a i s
i l
y
a
a m b i g u t
p o u r l ' a r g u -
m e n t de
i
u.
D a n s
l a
f o r m u l e p r c d e n t e , o n
d e v r a p r e n d r e
le s i g n e -+ o u l e
s i g n e
"
d e v a n t 7 u ( y - p i ) , s u i v a n t q u e
l ' o n
p r e n d
arg.( r
u]
== = arg.
( .v] arg.^dz
T T .
T a n t q u e7
+ - 1
a p n e s e r a p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f
o u n u l ,
o n a u r a u n e n o u v e l l e i n t g r a l e
< p e
d e l ' q u a t i o n
d i f f r e n t i e l l e ,
u n i f o r m e
a u x m m e s c o n d i t i o n s q u e la p r c d e n t e .
D a n s l e
c e r c l e
C i ,
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
19/141
S. 20
. C O U R S T .
N o u s
r e n d o n s
ces
i n t g r a l e s u n i f o r m e s e n i m p o s a n t c e r t a i n e s c o n d i -
t i o n s
a u
c h e m i n
s u i v i
p a r
l a v a r i a b l e ; a i n s i , p o u r l e s
i n t g r a l e s ^ , y ^ ,
< p 5 ? y ( >
c e c h e m i n n e d o i t c o u p e r a u c u n e d e s l i g n e s x o ,i-4-xi ;
p o u r
l e s
i n t g r a l e s
y ; ;
e t
y , . ,
ce
c h e m i n n e d o i t p a s c o u p e r l a l i g n e
i n d f i n i e
o 4 - c e
.
Ces s i x i n t g r a l e s
se
p a r t a g e n t e n
t r o i s g r o u p e s ,
c h a q u e g r o u p e
c o m -
p r e n a n t
les
i n t g r a l e s q u i s e
c o m p o r t e n t d ' u n e m a n i r e s i m p l e d a n s l e
v o i s i n a g e d ' u n p o i n t
c r i t i q u e * L e p r e m i e r g r o u p e c o m p r e n d l e s
i n t -
g r a l e s < p i
e t y ; i ; l e
s e c o n d
se c o m p o s e d e ( p ^ e t d e y , ; ;
93
e t 9 4 f o r m e n t
l e t r o i s i m e .
C h a c u n e d e ces i n t g r a l e s
e s t s u s c e p t i b l e d ' t r e r e p r s e n t e p a r
u n e
i n t g r a l e d f i n i e ,
p o u r v u
q u e le s l m e n t sa,
f ^ ,
7
s a t i s f a s s e n t
c e r -
t a i n e s c o n d i t i o n s .
Tableau, de s intgrales,
i) F(a,p,y,,z'j,
^ ) (
/r)r F(y
y ., y
p,
y,.r
;,
x
9.
( 3 ;
(i- )
,,/
r
F ,7-^y, "
X 1
^
x
( 4
^ )
1 1
^ F (3,7-a,
y ,
.y i
i )
F
(a,
[3
o t .
-t-
p4-.
y ,
i
x},
.r'-TFla 4 - 1 y ,
(3
4" i y ,a+p
4-
i .7, i -"-
3 c \
N
1
.
^ i
\
-"
a
F a,
a
+
y ,
a+
[3
4"
i
y ,
?
\
^
^
( 3 )
( 4 ) x F( |3,p-7,^
-4-p
4-
i-
7 >
)
\
IA
-
/
(
i
)
(--
.z* p
7
'
F (a, a-1- i
-~ -
y ,
a
4-
i
"-
p 7
)
y < y /
( a )
(-^^^(^^^^Ffi-^y-p^
(3 ,
/ \
( 3 )
(i-^)=
(4 )(- < -T (
- )Y-"-^
p o u r
l i m i t e .
N o u s
a v o n s ,
p a r
c o n s q u e n t ,
l ' g a l i t
/
f / - /
-
f
/-
V4-^ Ndu V=r(>,
du\
^du^j
V
).T
"-
( .6i+i)
2
' (^+4^_4).
7
--
[7-; jz^72j2
=
2=:-
/ = = o ,B+C=o,
\
z=tm=,, ^ (i _ ^Lri L
" (i+^
9
,
""-
(.-^)
^=:t.=i-.)
- i 6 ? ( i ~ - ? )
(" F'"'
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
87/141
S 88
,
GOITRSAT.
{
A
-0,
Br
C0,
j
^
= . ? niiirL z JJLr-
- ii-LzA^
' i - .^(^^-h) ^(^4^4)2' ^-(,+4^4 '
I
H
-~--h:|-,l/=U
Transfo rm
afions
fn
verses.
i A
~:
C ,
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\ ' (^.2
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p_
(L^L l
4
-
i^
2
""
6
^
4
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)
2
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j J:::=
W=,
^ .i . _.yj2 """"
K.y - "'"
4 ^ . ~
"
1
,
.
^ 1 (-i. Y
1 6 ^ ( 1
-
_ ZL LZL -.,
A:r:, __y.] ._^a~- (l+. ~
?
2_ + 2-
^ c = : 4 A , B r : r 4 . A ^ ( y 2 ^ 4 . y^ ,4 )2^ L
2
' - l5f-rJ-1
2
- -
^
= =
- - ,
w
==
~7u^^^-^)^
^
y
Tir T )
"""
5
^^p~:-
/,
* ' ^ ( LT IL - l iLZ)--- S^^^) _ _ _
^==: .=y. ^ : r4J2
=:=
^
T y"'
" (^+4^4)2-^
, A , = = 4 c , B ==-4 ,
c , ,
(
4
4 ^ 2 j 2
^
;
Jjzj
-
(jA r- l
) / . ,m= ,^.._.. - _.^^.^_^~ ^^_ ,i =
'
' " 1
y
(
( j ? ^ - ) - ^ _
" ilfliri
/
-J in L/
t
A=^:^=:^.
] - (7+4^r : -4^2 ) i - -^ " ( ^ ^ . - . i ^ - ^
l
'
( + 4 ^ - 4 ^ 2 ) 2 - - ^
1 3 .
S o i t
n=.:a , ^r^S.
I I
f a u t d t e r m i n e r
B .
e t
S
de t e l l e so r t e
q u e
l 'on
a i t
I^^s^Hrt ^.
R p e u t
t r e
du p r e m i e r ,
d u d e u x i m e o u d u t r o i s i m e
d e g r ; Sp e u t
t re d u p r e m i e r
ou du d e u x i m e d e g r ,
ce
q u i
f a i t
en
t o u t si x ca s
e x a m i n e r .
Premier
cas.
S u p p o s o n sR e t
S
d u
p r e m i e r
d eg r ,
R - a l -i -
h,
S = = / y ? ^ - + - n ,
l e
p o l y n m e R
2
S
3
sera d u t r o i s i m e d e g r ; i l a d m e t t r a
u n
f a c t e u r
d o u b l e
e t
u n
f a c t e u r
s i m p l e .
Soi t
t
le f a c t e u r d o u b l e ;
il
f a u d r a
q u e
Fon ait
h n
3
, 2ab-3mn
2
, (a
&)2=:(m4"/?,)
3
.
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
88/141
S U R
L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E
L I N A I R E , ETC. S.89
On
p e u t t o u j o u r s p r e n d r e
b
= = i,n=i. On a u r a a l o r s
3m
a==5
2.
e t
p a r s u i t e
On
en t i r e
d ' o r i d e n t l l
3ni
L
f
m
= =.
-,
==
[
m-[- 1
;{
^
_-
s '
(g8)-(4---3=27^(-^
Deu x i me
cas .
S u p p o s o n s
R
d u
d e u x i m e d e g r , S d u p r e m i e r
d e g r
:
R
==
a
2
+bt+c,
S
==
m^
4- .
L e
p o l y n m e
R ^ S
3
s er a d u q u a t r i m e d e g r ;
il n e
p e u t a d m e t t re
d e u x f a c t e u r s d o u b l e s . Si
l'on a v a i t
R 2 _ 8 ^ = 11^ (1"
t y
2
,
o n
en
c o n c l u r a i t
SrrrRaH l- )
2
.
O r
l ' q u a t i o n
B .
2
H ^ ^ i
--^ o se d d o u b l e e n d e u x q u a t i o n s a u
p l u s d u
d e u x i m e d e g r ,
R .it[),
e t p a r c o n s q u e n t n e
p e u t a d m e t t re
d e
r a c i n e t r i p l e ;
S
2
R
3
a u r a d o n c
u n
f a c t e u r t r i p l e
e t
u n f a c t e u r
s i m p l e ,
S o i tt l e f a c t e u r
t r i p l e ,
o n
a u r a les c o n d i t i o n s
c n
3
,
2bc= 3fnn
2
, b
2
-} -lac Zm n, [a~\-b
-^
^ (m
4-
n)
3
.
P r e n o n sn=i, c==i ;
o n
en
t i r e
, 3m 3w
2
qm
4
qm
3
-
^
a=: -? 4-==
m
3
,
2 8 64 o
p a r
c o n s q u e n t
m
==
j, 6
== , a
== ; fV ,
S.
12
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
89/141
S.90 . G O U R S A T .
d ' o r s u l t e
l ' i d e n t i t
(8^-
36 - -
^
-(9-8 ^ ) 3
=
-64 ( i -~^.
Troisime cas . S o i e n t Rd u t r o i si m e
d e g r
e tSd u p r e m i e r
d e g r
:
R=:< ^
3
-i-
it
2
-i-
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
90/141
S U R L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E , E T C . S.Q
Quatr ime
cas .
S u p p o s o n s R d u
p r e m i e r
d e g r etS d u d e u x i m e
d e g r ,
{-=:at 4-
6,
S^wP+ra-+-p.
R
2
S
< t
n e p o u r r a
a d m e t t r e
d e u x f a c t e u r s t r i p l e s .
S i
l ' o n a v a i t
R2- S3"=(-
3
,
o n e n
d d u i r a i t
R2^S3.4,^(i-^).-i;
o r
le
s e c o n d
m e m b r e a d m e t v i d e m m e n t p l u s
d ' u n f a c t e u r
d i s t i n c t .
S i l ' o n a v a i t
S3=:R2^(i?)
2
,
c h a c u n e d e sd e u x q u a t i o n s
R
= = ( i t)d e v r a i t a d m e t t re u n er a c i n e
t r i p l e - On
a u r a i t
i -^ - ^ /
\
/
.
.
\ p .
R
^(U-^
R+2 ( 1
,_i)=[Ut- -V)
D o n c
9,R
=(Z
+
(/)
3
+,
(M i
-+- i )
3
;
R
t a n t d u
p r e m i e r d e g r , l ' g a l i t e s t i m p o s s i b l e
S i l ' o n
a v a i t
S2_R3 :H(~ ,
o n
t r o u v e
c o m m e
c o n d i t i o n
,
n
= =
o, ab
==
o.
L ' h y p o t h s e n e
d o n n e e n c o r e
r i e n .
Cinquime
cas ,
R
e tS s o n t du
d e u x i m e d e g r .
On
d m o n t r e ,
c o m m e p o u r
le s
ca s p r c d e n t s ,
q u e
c e t t e
h y p o t h s e
e st r e j e t e r .
Sixime cas . R
es t
d u
t r o i s i m e d e g r e tS d u d e u x i m e d e g r :
f^
34. 6 ^ 2
_
ci
4. cl , S = - .
mt^
nt
" --
p .
" R 2 _ g 3p o u r r a t r e d ' u n d e g r i n f r i e u r a u s i x i m e . On r a m n e p a r
d e s t r a n s f o r m a t i o n s f a c i l e s
l e
s e c o n d
m e m b r e d e l ' i d e n t i t
j { 2 ^
g
= 1 , 1 . ^ ( 1 - - -ty
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
91/141
S.92 . G O U R S A T .
a v o i r
l ' u n e d e s
f o r m e s s u i v a n t e s:
HP, H^,
lit,
H ^ ( T - - ^ 2 , H^(i-^), l-^r.-r).
Si
l ' o n
a v a i t , p a r
e x e m p l e ,
BsS
3
^ /^ --^),
e n c h a n g e a n tt
en ^
e t en
m u l t i p l i a n t
p a r ^
6
,
o n
e n
d d u i t
B^S=:--H/(i--^).
Si
l ' on
a v a i t
R2_S3, I
o n
e n
c o n c l u r a i t
q u e
l ' q u a t i o n
S
3
t - H ^
a
t r o i s
r a c i n e s d o u b l e s , c e
q u i
est i m p o s s i b l e .
S u p p o s o n s
q u e
Fo n a i t
RS^S^-H^;
o n
en
d d u i r a
R a H ^ ^ S
3
.
Il
f a u d r a i t
d o n c q u e
l ' o n e t
R+ \ / H ^ = = ( ^ 4 - - ^ )
3
,
R
it .(u t~\~Vi]^
D o n c
2
/t^=:
[ut -vY
[ u ^ t -
J
r - V ^ Y .
c e q u i est i n a d m i s si b l e .
S i
l ' o n
a
RiS
3
:
^
,
o n
d e v r a a v o i r d e
m m e
e t p a r s u i t e
R - i -^/H^i- t}-=.[ut
+ )
;
,
B
---
^^i / ) (? ^ -4 - ( ^ iY,
[ut
- { v)
3
( ^ ^ ^ - ^ y ^ )
;
= = 2 v
/
H ( I t}.
N o u s
a v o n s
v u
p l u s
h a u t q u ' i l
f a l l a i t
p r e n d r e p o u r c e l a
u t 4-^ == t 4-/, ? ^
^ -\ -
^ ^
^= t
- \~ j
2
;
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
92/141
S U R L ' Q U A T I O N
D I F F R E N T I E L L E
L I N A I R E , E T C .
S.
9
o n e n t i r e
R==-i ( ^ 4-j)
3
-+-
A
( ^+
2
)
3
== 1-
-4-
s ,
s=(?+y)(^p)^(^_^^
d ' o
l ' i d e n t i t
('7.^3^
2
3^ -^%)
2
4(^
f4,);:=:_ f2(_.
^2^
Si l ' o n
v o u l a i t
a v o i r
K a S ^ ^ H ^ ^ i
) ,
o n a u r a i t , e n s u p p o s a n td^p=^
i,
le s c o n d i l i o D S s u i v a n t e s
:
m
3
^^
2
,
m n- lab,
3m
2
^
Smn
2
^:
&
2
-4- 2a
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
93/141
S.94
E
" C O U R S A T .
o n en t i r e s u c c e s s i v e m e n t
,-
3n\/m
Gmn- n m m
a ==:
m\//r,
b ==
^
c = = ==- )
( =(-^')^-
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
122/141
S U R
I / Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E ,
E T C .
S.I23
EF(a , a-{--^k^
^fi+^l^FfAa
5 9 )
^(l4-^)4aF(4^2^+ ^ + ^ (i4_^maF^^^ 2^+ ^),
( 6 0 ) GF++U)
( ==(I4-^)
4a
F(4a,-^4-^2a+l, j(+^
4a
F(4^,2^+:;,2a+^^
//
i;
i\ L " s o n t le s d e u x r a c i n e s d e
I n q u a t i o n
^t^Qt - L-
[
4-tYx-=0,
q u i s o n t g a l e s
3 2 \ / ^ p o u r ^ = = = o .
j-
^
f
.==3
2
y .
4"
(
3
^'2
4)
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
123/141
S.124 ' ^-
C O U R S A T .
^
E F [ a , ^ + { ^, ^ )
(63)
j
( ) F(4a, + 4, +( )"F(4a ^ 4-
( G^F(a-4-4,a+ j,^)
(64) =
(l_y
x
F(4a,2a+4 + ')
' '
/
i \
2
/
1 -f
1
)"
F(4^
+- o 4 ^+ t " ) ;
, ^
/
s o n t .
l e s
d e u x r a c i n e s d e l ' q a a t i o n
( ^ + 4 ^ 4 ) 2
( 2
^ ^ ===0 ,
q u i
s o n t
g a l e s
2 ^ / 2 2 p o u rxo.
t
1
==
2 ^ '2
2+(3 ^/2
4 ) - ^
2
+ ?
r==2\/2
,-2
--(3V 4)^^-r.. .
.
HF(a ,4~- a J^ )
H(i_^^F(.^a,a+^, )
' 'GS
')
'
~8~
,
/"-f- ,
,
-',
-*- g
./
x
/o
1.
r=^+-i ^ -...,
L,==^7^_,,
3
V
7T^
^
)
Mi-io^^a-. K
3
-
1
.
'
1 ;
r(^-a)ri(+^' "'-i- . r(a)r^-
j PF(,o:+.^^ ';==(i+8f')-"t;i/'^F(3o:,^-a:,^a+;;-, )
(
m6
) i "
-
(i
+
S^")
2
^ ;"]^F(3a,.i
x,
na-t- r)
( +l+8^
/ff
)2(
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
135/141
S
(36
^
GOUKSAT.
(^Q)
Q^F(a+^
a+U,.r:i= (i
-
Q/^^FtS^,Sa+^aa+i,^
+j2(^c)^)^F(3a,3^+ 2a-+-|,
/
/ /
;
+ / ( o^^FtSa,
3a+^
^a+jf,r):
^, ^
/
,
fs o n t l e s
t r o i s r a c i n e s
d e l ' q u a t i o n
(3 /4 - )
3
( y t^x^o:
9.
V^
^
r^~^-+^- ^+...,
'^V3l . ^
+
---./+-
^_+2+,..
l
F(a,
a
-+-
a
+)=(--^1"F(^
-+-
a
+- | - ,
2a
4-)
(l
TO )
.
/
Cf \
2a
1 J
=,,.^) F(3a,3a +^4^^^ )-
l
\
0
/
t' es t u n e d e s d e u x
r a c i n e s
d e l ' q u a t i o n
/2i_
+
-8)2==0,.
q u i
s o n t
n u l l e s
p o u r
r = = o .
^
l F (a.a-4-.7,2a-4-f, )
==
(l )
3
F(a-l-
a+t,2a+1, )
/ r
1 1 1
/
j =(l+V
a
(I- F(3a+4 +^
/
S;
^ '
e s t u n e d e sd e u x r a c i n e s d e l ' q u a t i o n
-27^-h
(^-+8)
2
(I^)^=.o,
q u i
s o n t n u l l e s p o u r.r
=
o.
-
7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire
136/141
S U R
LQUATION D I F F R E N T I E L L E
L I N A I R E , ETC.
S.
13"7
(ip2)
j
r(a,a+2a+ )=(r- F(a-+-i,
a+,2a4-t )
(
==(i--9F(3a,
3a4-^2a4-^),
^ t a n t l a
r a c r o e
d e
l ' q u a t i o n
27^ 1-.
2+fi_ 2 ^
o,
q u i est n u l l e p o u rx=o.
\
,la-4-I-,
-
= ==
( f
-y^
3)
F(
^+,-+-1-, )==
(i
-.r)
3
F(a+,
,
a+
t,
2a4-)
= ( 4 -8^ )2a ( ,)aF(3^,
-a,2a+ ^);
^
t a n t l a
r a c i n e
d e l ' q u a t i o n
t
(i4-
S / )
2
^ i?)^==o,
q u i e st
n u l l e
p o u r a ? = = =o.
/ _i
F(a,a4--;I-,a:+^,^)==(i )
2
F(a4-4,a
4-
,2a -4-,x}
(
) f 3^N3a
( = - F(3a,3a4-^4^+t^');
^
es t
u n e
d es
d e u x
r a c i n e s d e
I n q u a t i o n
27^(1-- t] (43^)
3
^===o,
q u i
s o n t
n u l l e s p o u r a?==o.
/
i
F(a,
a
4-4,2 4-1, )=(i )
2
F(a4-^
a
4-j,
2 c4-t,
)
(*
1 5
)
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