escoamentos simples · escoamento em regime laminar e permanente escoamento axi-simétrico efeitos...
Post on 07-Dec-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Escoamentos Simples
Uni-dimensionais, uni-direcionais eproblemas de transferência de calor
Solução de Escoamentos
• Escoamentos isotérmicos/não isotérmicos• Equações não lineares• Soluções exatas só para escoamentos simples
(p. ex. termos não lineares nulos - u•grad u=0)• Soluções aproximadas:
– Soluções numéricas– Métodos analíticos - métodos assintóticos ou
técnicas de perturbação: soluções analíticasbaseadas em aproximações/ hipóteses quesimplificam as equações
Escoamentos unidirecionaisSoluções exatas• Escoamentos unidirecionais:
u=u(q1,q2)ê3
• Equações de massa e NS:– Coord. cartesianas: u=(0,0,u)– Conservação de massa:
– Como u independe da posição na direçãodo escoamento, os termos não lineares deNS são nulos:
!
"u
"z= 0 # u = u(x,y,t)
!
u•"u # u$u
$z= 0
• Como os componentes x e y de u são nulos:
!
"P
"x="P
"y= 0# P = P z,t( )
$"u
"tfc de x,y,t
{= %
"P
"z#fc de t
{+ µ
" 2u
"x 2+" 2u
"y 2
&
' (
)
* +
fc de x,y,t
1 2 4 4 3 4 4
Generalizando, para outros sistemas de coordenadas:
!
"#u
#t=G( t) + µ $
2
2u( )
$2
2 % h1h
2
#
#q1
h1
h2
#
#q1
&
' (
)
* + +
#
#q2
h2
h1
#
#q2
&
' (
)
* +
,
- .
/
0 1
sistema coordenadas cilíndricas :
$2
2 %1
r
#
#rr#
#r
&
' (
)
* + +
1
r2
# 2
#2 2h1, h2: métricas
Escoamentos unidirecionais
• Serão considerados 3 tipos:– Reg. permanente, causados pelo
movimento de fronteira com G=0, oucausados por gradiente de pressão
– Start-up: movimento de fronteira ougradiente de pressão impostos sobre umfluido estacionário
– Escoamentos transientes devido a CCtransiente ou gradiente de pressãotransiente
Adimensionalização e valorescaracterísticos• Escoamento entre 2 placas paralelas
!
" 2u
"y 2= #
G
µ
CC : y = 0 u = 0
y = d u =U
!
ˆ u "u
Uˆ y "
y
d
!
" 2 ˆ u
"ˆ y 2
= #Gd
2
µU
CC : ˆ y = 0 ˆ u = 0
ˆ y =1 ˆ u =1
Parâmetroadimensional
!
ˆ u = "Gd
2
µU
#
$ %
&
' (
ˆ y 2
2"
ˆ y
2
#
$ %
&
' ( + ˆ y
Variáveis adimensionais:
Solução:
Obs: se U→0, a adimensionalização não é boa
Hip: esc. Desenvolvido reg permanente esc. Isotérmico diss. viscosa desprezível
• Vantagens da adimensionalização:– Generalização do problema e resultados– Ordem de grandeza dos valores– Significado físico dos parâmetros adimensionais /
análise dos resultados• Número de Reynolds: fornece a relação entre
forças de inércia e forças viscosas
• Número de Brinckam: fornece a importânciarelativa dos termos de dissipação viscosa
!
Br "µ0U2
k0T0
Br <<1 termos dedissipação desprezíveis
!
Re "#v
clc
µRe<Rec - escoamento laminar
Escoamento num duto circular
Hip: esc. desenvolvido reg permanente esc. isotérmico diss. viscosa desprezível
xr R
dx
rτ,p
dr
rτ,p
!
d
r A
!
d
r A
!
d
r A
!
d
r A
τrx+dAr
+
τrx-dAr
-
p-dAx p+dAx
u=(u(r),0,0)
ΣFx=Fp+Fcis
!
"dp
dx2#rdrdx + $rx2#drdx +
d$ rx
dr2#rdrdx = 0
"dp
dx+$ rxr
+d$ rxdr
= 0 % dp
dx=
1
r
d(r$ rx )
dr= cte
!
" rx =r
2
dp
dx+C1
r
!
" rx =r
2
dp
dxr
x
Válido para qualquer fluido
Integrando,
Para um fluido Newtoniano,
!
"rx
= "xr
= µdu
dr
!
du
dr=r
2µ
dp
dx
" u =r
2
4µ
dp
dx+ C
2
C.C.: não deslizamento " r = R, u = 0
" C2
= #R
2
4µ
dp
dx
rx
u(r)
• Vazão volumétrica:
!
Q = u2"rdr =0
R
# $"R 4
8µ
dp
dx
• Velocidade média:
• Velocidade máxima:
!
um =Q
A=
Q
"R2
= #R2
8µ
dp
dx
!
r = 0 "du
dr= 0 # u
max= $
R2
4µ
dp
dx= 2um
Equação de Hagen-Pouiseuille
• Distribuição de velocidade axial:
!
u = "R2
4µ
dp
dx1"
r
R
#
$ %
&
' ( 2)
* + +
,
- . .
Escoamento de fluido nãoNewtoniano num duto circular• A distribuição de tensão cisalhante é a
mesma (linear)• A distribuição de velocidades
dependerá da função viscosidade
!
"rx
= "xr
=#du
dr
˙ $ {
# =#du
dr
%
& '
(
) *
Modelo Power - Law : # = k ˙ $ n+1
Perfil de velocidademais achatado
Escoamento de Couette
Equação de continuidade:
!
1
r
"
"rru
r( ) +1
r
"u#
"#+"u
z
"z= 0
!
" ur#ur#r
+u$
r
#ur#$
% u$&
' (
)
* + + uz
#uz#z
,
- .
/
0 1 = %
#p
#r+ µ
1
r
#
#rr#ur#r
&
' (
)
* + +
1
r2
# 2ur#$ 2
+# 2uz#z2
%2
r2
#u$#$
%ur
r2
,
- .
/
0 1
!
" ur#u$#r
+u$
r
#u$#$
+ ur%
& '
(
) * + uz
#u$#z
+
, -
.
/ 0 = 1
1
r
#p
#$+ µ
1
r
#
#rr#u$#r
%
& '
(
) * +
1
r2
# 2u$#$ 2
+# 2u$#z2
+2
r2
#ur#$
1u$
r2
+
, -
.
/ 0
!
" ur#uz#r
+u$
r
#uz#$
%
& '
(
) * + uz
#uz#z
+
, -
.
/ 0 = 1
#p
#r+ µ
1
r
#
#rr#uz#r
%
& '
(
) * +
1
r2
# 2uz#$ 2
+# 2uz#z2
+
, -
.
/ 0
Equações de NS:
CC: r=a, r=a(1+ε) ur=0 uz=0
r=a uθ=aΩ1
r= a(1+ε) uθ=a (1+ε)Ω2
• Simplificações e hipóteses:– Cilindro longo: escoamento 2-D, u=u(r,θ)– uz(r,θ)=0– uθ=G(r)⇒da eq. cont.:ur=F(θ)/r. Mas usando
as CC, observa-se que F(θ)=0 (ou ur=0)– p=p(r)– Assim, uθ= uθ(r), p=p(r), ur=uz=0– Equações resultantes:
!
"#u$2
r= "
dp
dr
0 = µ1
r
d
drrdu$
dr
%
& '
(
) * "
u$
r2
+
, -
.
/ 0
Adimensionalização
!
lc = a uc = a"1
pc = #a2"
1
2
ˆ u $2
ˆ r = %
dˆ p
dˆ r
0 =1
ˆ r
d
dˆ r ˆ r
d ˆ u $
dˆ r
&
' (
)
* + %
ˆ u $ˆ r 2
,
- .
/
0 1
CC : ˆ r =1 ˆ u $ =1
ˆ r =1+ 2 ˆ u $ = 1+ 2( )"2
"1
Solução:
!
ˆ u " = C1ˆ r +
C2
ˆ r
C1
=
#2
#1
1+ $( )2
%1
1+ $( )2
%1C2
= %
#2
#1
%1&
' (
)
* + 1+ $( )
2
1+ $( )2
%1
ˆ p = C1
2ˆ r 2
2+ 2C
1C2ln ˆ r %
C2
2
2ˆ r 2
+ p0
Observações
• No limite ε→0, o perfil de velocidadetende a linear. Além disso, a melhoradimensionalização seria
!
ˆ y = ˆ r "1
ˆ u # =$2 "$1
2%$1
2 ˆ y + O ˆ y 2( )[ ] 1+ O %( )[ ]
&2 ˆ y pois 0' ˆ y '% <<1
1 2 4 4 4 3 4 4 4 !
ˆ y = "ˆ y
Aplicações: reometria Foi a primeira geometria desenvolvida (1890, Maurice Couette)Impõe-se uma rotação em um dos cilindros e mede-se o torque
Hipóteses: Escoamento em regime laminar e permanenteEscoamento axi-simétricoEfeitos de gravidade e extremidade desprezíveisEscoamento azimutal:
O torque medido pelo transdutor é relacionado com a tensão cisalhante no cilindro:
A taxa de deformação é relacionada com a velocidade de rotação do cilindro. Para razão de raios próxima de 1 (κ=R1/R2<0.99):
!
˙ " =#v
#r=
$R
R2% R
1
A viscosidade é calculada na parede do cilindro:
!
" R( ) =# R( )˙ $ R( )
=
T
2%R2L&R
R2' R
1
(" R( ) =T(1' R
2/R
1)
2%R2L&
!
T = R " F = R " #2$RL( )% # =T
2$R2L
Instabilidades
• Podem ocorrer escoamentos secundários(quebra no balanço entre as forçascentrípetas e a devida ao gradiente depressão) quando:
!
T "4#
1
2R
1
4
$ 2
1%#
2
#1
&
' (
)
* + 1%
R1
2#2
R2
2#1
&
' (
)
* +
1%R
2
2
R1
2
&
' (
)
* +
,
-
.
.
.
.
/
0
1 1 1 1
T > Tc
=3416
1+#
2
#1
0 2#
2
#1
<1 : esc. instável
vórtices de Taylor
Start-up num tubo circular
• Em t=0, impôe-se um gradiente depressão não nulo e constante para t>0
• Solução pelo método de separação devariáveis
• Hipótese: t>0 uz=uz(r,t) ur=uθ=0• Equações e CC:
!
"#u
z
#t=G + µ
1
r
#
#rr#u
z
#r
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. /
r = R uz
= 0
t = 0 uz
= 0
r = 0 uz finito
Adimensionalização e solução
!
" ˆ w
"ˆ t =
1
ˆ r
"
"ˆ r
ˆ r " ˆ w
"ˆ r
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- .
ˆ r =1 ˆ w = 0
ˆ t = 0 ˆ w = /1
41/ ˆ r
2( )ˆ r = 0 ˆ w finito
!
ˆ u z
=u
z
GR2
/ µˆ r =
r
R
ˆ t =t
R2
/ µ
ˆ w = ˆ u z"1
41" ˆ r
2( )
!
ˆ w ˆ r , ˆ t ( ) = R(r)"( t)
ˆ w = #8
sn
3J1(s
n)[ ]
fç Bessel ordem 1
1 2 3 n=1
$
%#1
e#sn
2 ˆ t J0(s
nˆ r )
fç Bessel ordem 0
1 2 3
sn
: zeros de J0
uz
=GR
2
4µ1#
r
R
&
' (
)
* +
2,
- .
/
0 1 #
32
sn
3J1(s
n)[ ]
#1e#sn
22t / R2
J0 sn
r
R
&
' (
)
* +
n=1
$
%3 4 5
6 5
7 8 5
9 5
Problema de Rayleigh: solução pelométodo de similaridade• Placa plana em repouso. Em t=0, impõe-se
uma velocidade constante Ui• Esc. transiente, unidirecional, coord.
cartesianas• O movimento do fluido acima da placa se dá
devido apenas ao movimento da fronteira. Ogradiente de pressão no fluido é apenas ohidrostático.
u(y,t)G(t)=0
Ui (t>0)
• Equações, CC e iniciais:
!
"#u
#t= µ
# 2u
#y 2
y > 0 : u(y,0) = 0
t $ 0 : u(0,t) =U, u(y,t)% 0 qdo y%&
Adimensionalização: uc=U lc=?Variável de similaridade: η=η(y,t,ν,U) ⇒ vamos procurar uma solução para u=u(η)
!
u
U= F
y
"t
#
$ %
&
' ( ) =
y
"t
d2F
d) 2+
1
2)dF
d)= 0
CC /CI :F(0) =1 F())* 0 qdo ) *+
Solução:
!
u
U=1" erf
#
2
$
% & '
( )
erf z( ) *2
+e"r 2dr
0
z
,
Start-up escoamento simples decisalhamento (entre 2 placas paralelas)
• Problema similar ao de Rayleigh, com umaplaca superior, a uma distância d(=comprimento característico)
• Solução pelo método de separação devariáveis
• Para t<<d2/ν, o resultado recai no doproblema de Rayleigh
Transferência de calor emescoamentos unidirecionais• Desenvolvimento hidrodinâmico e
térmico são independentes• Escoamento laminar num duto circular• Problema 1: regime permanente
• Equação de conservação de energia e CC:
!
u =GR
2
4µ1"
r2
R2
#
$ %
&
' (
2U 1"r
2
R2
#
$ %
&
' ( )*
)z
#
$ %
&
' ( = k
1
r
)
)rr)*
)r
#
$ %
&
' ( +
) 2*
)z2
+
, -
.
/ 0
CC : r = R k)*
)r= q (z 1 0) (obs :q > 0 fluxo de calor fornecido ao fluido)
Adimensionalização:
!
ˆ r = r / R ˆ z = z / R ˆ " =" #"
0
qR / k
!
2Pe 1" ˆ r 2( )# ˆ $
#ˆ z
%
& '
(
) * =
1
ˆ r
#
#ˆ r ˆ r #$
#ˆ r
%
& '
(
) * +
# 2$
#ˆ z 2
Pe +UR
k (convecção/condução)
CC : ˆ r =1# ˆ $
#ˆ r =1 ( ˆ z , 0)
Pe<<1: termos de condução>>termos de convecçãoPe>>1: troca de calor é dominada pela conveção
!
1" ˆ r 2( )# ˆ $
#ˆ z
%
& '
(
) * + 0, ˆ $ não é fç de z.Como ˆ $ (z = 0) = 0, ˆ $ = 0
, não satisfaz a CC de fluxo na parede
, a adimensionalização usada não é boa para Pe >> 1
Comp. característico - R qdo Pe >> 1
• Uma escala apropriada para o comprimentocaracterístico pode ser obtida a partir de umbalanço de calor no tubo na condição de reg.permanente:
• As equações usando esta novaadimensionalização (válida para Pe>>1) ficam:
!
lc
= RPe
!
2 1" ˆ r 2( )# ˆ $
#ˆ z
%
& '
(
) * =
1
ˆ r
#
#ˆ r ˆ r # ˆ $
#ˆ r
%
& '
(
) * +
1
Pe2
# 2 ˆ $
#ˆ z 2
+0
1 2 4 3 4
CC : ˆ r =1# ˆ $
#ˆ r =1 ( ˆ z , 0)
ˆ $ finito em ˆ r = 0
A CC para z=0 não pode ser usadapois esta formulação só é válida paraz>>RPe. Podemos então fazer umbalanço de calor em 0<z<zgrande:
!
ˆ z = 2 ˆ " ˆ z , ˆ r ( ) 1# ˆ r ( )0
1
$ ˆ r dˆ r para qq ˆ z >1
Solução para θ, z>>RPe e Pe>>1
• Hipótese:
!
ˆ " = ˆ z ˆ " 1( ˆ r ) + ˆ "
2( ˆ r )
!
1
ˆ r
d
dˆ r ˆ r
d ˆ " 1
dˆ r
#
$ %
&
' ( = 0
1
ˆ r
d
dˆ r ˆ r
d ˆ " 2
dˆ r
#
$ %
&
' ( = 2 1) ˆ r
2( ) ˆ " 1( ˆ r )
Integrando, utizando as CC e restrições:
!
ˆ " = 2ˆ z + ˆ r 2 #
ˆ r 4
4#7
24
$
% &
'
( )
" = "0
+2qz
UR*Cp
#qR
k
r
R
$
% &
'
( ) 4
# 4r
R
$
% &
'
( ) 2
+7
6
+
, -
.
/ 0
Obs: na região de entrada (z<RPe), a solução é bem mais complexa
Problema de Graetz
• Solução da equação anterior usando a CC
• A solução é obtida pelo método de separaçãode variáveis:
!
) " = 0 em
) z = 0
!
ˆ " = ˆ " apr + An exp #$n
2
2ˆ z
%
& '
(
) *
n= 0
+
, Rnˆ r ,$n( )
ˆ " apr : solução para z >> RPe
Problema 2: Dispersão de Taylor num tubo• Fluido é aquecido inicialmente numa região 2δ,
e a temperatura é mantida cte fora desta região:
!
"# $ z $ # % = %1
z > # % = %0
paredes tubo isoladas
!
uz
=GR
2
4µ1"
r2
R2
#
$ %
&
' (
)*
)t+ 2U 1"
r2
R2
#
$ %
&
' ( )*
)z
#
$ %
&
' ( = k
1
r
)
)rr)*
)r
#
$ %
&
' ( +
) 2*
)z2
+
, -
.
/ 0
CC : r = R)*
)r= 0
r = 0 * finito
Hipótese: Pr=ν/α >> 1⇒desenv. hidrodinâmico mais rápido do que o térmico. Em t=0, pulso de calor. Dissipação viscosa desprezível; θ=θ(r,z,t)
• A solução obtida é uma solução aproximada,considerando:– Pe>>1– Altos tempos
• Obs: Importância relativa dos termos depende do tempo(adimensionalização também): soluções singulares -diferentes soluções obtidas pelas aproximações feitas.Neste caso, o método mais apropriado é o método deexpansões assintóticas
!
˜ " = " 'Pe
m " '= ˆ " # ˆ " ˆ " : média de ˆ " na seção, m > 0
lc $ RPe1+m
% "
%t+U
% "
%z= k
Pe2
48
&
' (
)
* +
keff
1 2 3
% 2 "
%z2
posição no tubo da máximatemp. média se move como sehouvesse convecção com vel. U.O pulso de temp. se espalha porcondução axial com keff em tornodeste plano
Escoamento pulsátil num tubo
• Escoamento transiente devido a umgradiente de pressão periódico
• Aplicação: escoamento em artérias• Vamos analisar a situação para t>>1
(velocidade periódica no tempo)!
"#P
#z=G =G
01+ $ sin%t( )
!
"#u
z
#t=G
01+ $ sin%t( ) + µ
1
r
#
#rr#u
z
#r
&
' (
)
* +
,
- .
/
0 1
CC : r = R uz
= 0
uz finito em r = 0
t = 0 uz
= 0
Adimensionalização:
!
ˆ u z
=u
z
G0R
2/ µ
ˆ r =r
R
ˆ t =t
R2/ µ
"ˆ u z
"ˆ t =1+ # sin
$R2
%R$
{
ˆ t
&
'
( ( (
)
*
+ + +
+1
ˆ r
"
"ˆ r ˆ r " ˆ u
z
"ˆ r
&
' (
)
* +
CC : ˆ r =1 ˆ u z
= 0
ˆ u z finito em ˆ r = 0
) t = 0
) u
z= 0
Equação de NS e condições de contorno:
Rω frequência adimensional (número de Strouhal)
!
ˆ u z
= uz
(0) + "uz
(1)
uz
(0) =1
41# ˆ r
2( )
uz
(1)$ =1
41# ˆ r
2( )sin ˆ t #1
16R%
3
4# ˆ r
2 +ˆ r 4
4
&
' (
)
* + cos ˆ t + O R%
2( )
, uz
$ =G0R2
4µ1+ " sin%t( ) 1#
r
R
&
' (
)
* +
2-
. /
0
1 2 #
"
4R%
3
4#
r
R
&
' (
)
* +
2
+1
4
r
R
&
' (
)
* +
4&
' ( (
)
* + + cos%t + O R%
2( )3 4 5
6 5
7 8 5
9 5
Solução para longos tempos e Rω<<1:
termos O(1): solução quasi-permanente (= sol. reg. permanente com G(t)) este termo domina quando Rω→0, e os efeitos de inércia são desprezíveistermos O(Rω): contém influência da inércia - velocidade defasada emrelação às variaçnoes no gradiente de pressão
top related