esperienza di bernoulli

ESPERIENZA DI BERNOULLI

ESERCITAZIONE DI IDRAULICA

Dipartimento di Meccanica I.I.S. “G. Vallauri” - Fossano

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IL TEOREMAin sintesi

L’energia TOTALE convogliata da un fluido ideale in movimento in un condotto è COSTANTE ed è data dalla somma di tre contributi:

1) Energia geodetica (o potenziale o di posizione)

2) Energia piezometrica (di pressione)

3) Energia cinetica (di movimento)

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LA FORMULAper fluido ideale

Etot = Ez + Ep + Ec = cost

Ez = energia geodetica

Ep = energia piezometrica

Ec = energia cinetica

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EY = energia dissipata per attrito

In un fluido reale bisogna anche vincere le resistenze al moto dovute all’attrito interno (viscosità) e all’attrito esterno (con le pareti del condotto).

LA FORMULAper fluido reale

Etot = Ez + Ep + Ec + EY = cost

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LE UNITA’ DI MISURA

L’energia si misura in J (joule) ossia in Nm.L’energia per unità in peso di liquido in moto si misura in J / N ossia in Nm / N ossia in m (metri) di colonna di liquido.

Le energie, espresse in J, valgono:Energia Geodetica Ez = m g zEnergia Piezometrica Ep = m g p / ρ g

Energia Cinetica Ec = ½ m v2 Energia Dissipata EyLe energie, espresse in m di colonna di liquido, (ALTEZZE) valgono:

Altezza Geodetica Hz = zAltezza Piezometrica Hp = p / ρ g Altezza Cinetica Hc = v2 / 2 g Perdita di carico Y

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H = altezza o carico totale

Hz = z altezza geodetica

Hp = p / ρ g altezza piezometrica

Hc = v2 / 2 g altezza cinetica

Y = perdita di carico

LA FORMULA FINALEenergie sotto forma di altezze (o di carico)

H = Hz + Hp + Hc + Y = cost (m)

H = z + p / ρg + v2 / 2g + Y = cost

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L’ESPERIENZA

Vuole verificare la validità del teorema di Bernoulli, per fluidi reali, mediante il rilevamento o il calcolo delle altezze relative alle diverse tipologie di energia presenti in diversi punti dell’impianto.

La somma delle diverse altezze, in ciascun punto dovrà dare sempre lo stesso valore, ossia il carico totale.

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IL BANCO IDRAULICO

Il dispositivo per l’esperienza è costituito dai seguenti elementi: Serbatoio Pompa centrifuga a portata variabile con motore in cc Regolatore di flusso in ingresso Collettore di carico (Cc) Condotto a sezione rettangolare variabile con piezometri Collettore di scarico (Cs) Regolatore di flusso in uscita Due prese di pressione ai capi della pompa Una presa di pressione prima del collettore di carico

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AVVIO DELL’IMPIANTO

Dopo aver collegato il dispositivo alla rete elettrica, si avvia la pompa e si manda l’acqua nel circuito.

Agendo sulla velocità della pompa, sul regolatore di flusso in ingresso e sulla strozzatura allo scarico, si porta l’impianto a regime.

Ossia si fa in modo che il livello dell’acqua nei due collettori resti costante nel tempo.

Ciò consente di dire che l’acqua sul pelo libero dei due collettori è ferma.

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LA VISTA D’INSIEME del DISPOSITIVO IDRAULICO

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PROCEDIMENTOLINEE DEI CARICHI

Si rilevano innanzitutto: l’altezza della colonna d’acqua nel

collettore di carico (hcc)

l’altezza della colonna d’acqua nel collettore di scarico (hcs)

Per un fluido ideale le due altezze dovrebbero coincidere; la differenza riscontrata è dovuta alle perdite di carico.

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PROCEDIMENTO LINEE DEI CARICHI

Nota la differenza dei due livelli si può: tracciare la linea dei carichi totali ideali – retta orizzontale tracciare la linea dei carichi totali reali – retta inclinata verso

il basso calcolare l’angolo di inclinazione tra le linee dei carichi (α)

tgα = differenza tra i due livelli / interasse tra i collettori

α = arctg [ (hcc – hcs) / inter ]

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PROCEDIMENTOALTEZZE PIEZOMETRICHE

L’energia sotto forma di pressione diminuisce all’aumentare dell’energia cinetica del liquido. La velocità varia al variare della sezione del condotto in cui scorre il liquido.

Si può notare che il livello va diminuendo nei piezometri da 1 a 6 e torna ad aumentare in quelli da 7 a 11.

In una tabella si riportano tutte le altezze rilevate dei piezometri da 1 a 11, altezze, nota bene, comprensive della quota geodetica e di quella piezometrica.

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PROCEDIMENTOALTEZZE GEODETICHE

L’energia potenziale è dovuta alla diversa altezza a cui è posto il liquido rispetto a un piano di riferimento.

Poniamo come piano di riferimento z = 0, l’asse orizzontale passante per il baricentro della sezione del piezometro numero 1.

Nei piezometri 1 e 11 quindi l’altezza Z è nulla. Poiché l’altezza della sezione rettangolare del condotto si riduce (vedi disegno), Z aumenta in base all’angolo β.

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PROCEDIMENTOALTEZZE GEODETICHE

L’angolo β è l’inclinazione esistente tra l’asse orizzontale passante per il G della sezione A e l’asse del condotto.

tg β = (h1/2 – h2/2) / (d1 – d6)

h1 = altezza della sez. A (asse piez. 1)

h2 = altezza della sez. B (asse piez. 6)

d1 – d6 = distanza tra gli assi dei piezometri 1-615ab / sb

PROCEDIMENTOALTEZZE GEODETICHE

Avendo ricavato l’angolo β si può procedere a calcolare l’altezza geodetica di tutti i piezome-tri. (NB. Il condotto è simmetrico rispetto al n 6)

Z1 = altezza geodetica piezometro 1

Z2 = altezza geodetica piezometro 2

Z i = altezza geodetica piezometro “i”

Z i = (di – d1) • tg β

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PROCEDIMENTOALTEZZE CINETICHE

Per calcolare le altezze cinetiche (v2/2g) bisogna valutare prima la portata massica (Qm kg/s) che circola nell’impianto e poi calcolare la portata volumetrica (Qv m3/s):

Qv = Qm / ρNel dispositivo a bilanciere dell’attrezzatura poniamo un contrappeso di massa 5 kg e tappiamo il secchiello cilindrico. Con un contasecondi rileviamo quanto tempo occorre al bilanciere per raggiungere l’equilibrio. La portata massica sarà dunque:

Qm = massa contrappeso / tempo di riempimento.Ripetiamo l’operazione con un contrappeso di 10 kg, e assumiamo come portata massica, la media tra le due letture fatte.

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PROCEDIMENTOALTEZZE CINETICHE

La velocità media di un liquido che scorre in un condotto è pari alla portata (Qv) volumetrica divisa per la sezione (A) del condotto (ancora incognita).

v = Qv / A

L’area della sezione rettangolare vale:

A = b • hCon b = 10 mm in tutte le 11 sezioni prese in esameed h variabile da 20 a 10 mm e poi nuovamente a 20 mm passando dal piezometro 1 al 6 e dal 6 all’ 11.

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PROCEDIMENTOALTEZZE SEZIONI RETTANGOLARE

La velocità in corrispondenza di ogni piezometro “i” sarà calcolata considerando la sezione relativa al suo asse di simmetria (Ai).

vi = Qv / Ai

L’altezza del baricentro della sezione in corrispondenza dell’asse di ogni singolo piezometro (hi) dipende dall’angolo γ.

tg γ = (h1 – h2) / (d1 – d6)

h1 = altezza della sez. A (asse piez. 1)

h2 = altezza della sez. B (asse piez. 6)

d1 – d6 = distanza tra gli assi dei piezometri 1-6

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PROCEDIMENTOALTEZZE SEZIONI RETTANGOLARE

L’altezza hi sarà dunque calcolata come un aumento dell’altezza della sez. del piezometro 6 (h6 = 10 mm); ed è calcolata in base all’angolo γ e alla distanza del piezometro che sto considerando dal n°6.

hi = 10 + (d6 – di) • tg γ (mm)

Ricordando quanto detto precedentemente:

Ai = b • hi vi = Qv / Ai potremo calcolare le velocità

in corrispondenza ad ogni piezometro.20ab / sb

PROCEDIMENTOALTEZZE CINETICHE

L’altezza cinetica (hci) potrà essere calcolata a partire dalle velocità ricavate precedentemente.

hci = vi2 / 2 g (m)

vi = velocità del liquido in ogni piezometro

g = accelerazione di gravità.

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PROCEDIMENTOVERIFICA FINALE

Ora non resta che verificare che la somma delle tre altezze ricavate per ogni piezometro coincida con l’altezza indicata dalla linea dei carichi reali.

Come primo tentativo la perdita di carico (Yi) in ogni piezometro si potrà calcolare:

Yi = (di – d1) • tg αdi – d1 = distanza tra il piezometro “i-esimo” considerato e il n°1α = l’angolo di inclinazione tra le linee dei carichi ideali e reali calcolato nella slide 12.

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PROCEDIMENTOVERIFICA FINALE

Il valore della somma delle tre altezze ricavate per ogni piezometro deve coincidere con l’altezza totale del collettore di carico ridotta del valore della perdita di carico “i-esima”.

hcc - Yi = hzi + hpi + hci

Si procede quindi alla rappresentazione del grafico dove il carico idraulico totale ideale, per ogni piezometro, sarà somma dei quattro segmenti.

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PROCEDIMENTOVERIFICA FINALE

La retta inclinata verso il basso rappresentativa dei carichi totali reali, in realtà diventa una spezzata.

Lo scostamento dei nodi della spezzata rispetto alla linea retta dei carichi reali, evidenzia le caratteristiche del banco idraulico utilizzato e l’esattezza delle misurazioni effettuate e dei calcoli fatti.

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