esponenziali e logaritmi. la funzione esponenziale a b =c x b = ya x = y a=00 x = 0 (indefinita per...
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Esponenziali e Logaritmi
La funzione esponenziale
ab=c
xb = y ax = y
•a=0 0x = 0 (indefinita per
x=0)
•a=1 1x = 1
•a<0 ax (cambia segno di
continuo)
La funzione esponenziale
y=ax con a<0
=
=
La funzione esponenziale
y=ax a>0 e a≠1
0 < a < 1
1 < a < +∞
xR
L’equazione esponenziale
ax=q
y=ax
y=qq≤0 Nessuna
soluzioneq>0 1 soluzione
ax > 0, xR
L’equazione esponenziale
2x=4 x=2
5x=125 x=3
2x=⅛ x=-3
(¾)x=1 x=0
(⅞)x=5 x=?
Il logaritmo
(⅞)x=5 x = log⅞ 5
ax = y x =loga y
a>0 e a≠1
y > 0
base10, e
argomento
La funzione logaritmo
x Log x1 0
10 -1
100 -2
1/10 11/100 2
y= log 1/10 x
0 < a < 1y =loga x
x>0
La funzione logaritmo
1 < a < +∞
x Log x1 0
10 1
100 2
1/10 -11/100 -2
y= Log x
y =loga x
x>0
L’equazione logaritmica
logax=q
y=loga
xy=q
qR 1 soluzione
L’equazione logaritmica
3log 9y y=2
3
1log
9y y=-2
2log 1y y=0
2log 2y y=1
Proprietà del logaritmo
log 1a a 1a a
log 1 0a 0 1a
log xa a x x xa a
INFATTIloga xa x loga x
da dare ad a per ottenere x
è l’esponente
Proprietà del logaritmo
log log loga a aX Y X Y
log
loga
a
X x
Y y
x
y
X a
Y a
x y x yX Y a a a
log log log logx ya a a aX Y a x y X Y
Proprietà del logaritmo
log log loga a a
XX Y
Y
log
loga
a
X x
Y y
x
y
X a
Y a
:x y x yXa a a
Y
log log log logx ya a a a
Xa x y X Y
Y
Proprietà del logaritmo
log log ca ac X X
loga X x xX a
( )c x c xcX a a
log log logc cxa a aX a cx c X
Proprietà del logaritmo
loglog
logb
ab
XX
a
log
loga
b
X x
a y
x
y
X a
a b
( )x y x yxX a b b
log log log logxyb b a bX b xy X a
log log loga b bX a X
Esempio
32 3 5
5 5 5 5
1 13log log ln log 15
8 91
log 45 log 9 4log 3 log 751000
y e
Log
Equazioni esponenziali elementari
1 2x xa a
1 2x xa a
1 2x x
1 2x x
Equazioni esponenziali elementari
( ) ( )f x g xa a
( ) ( )f x g x
22 2 25 5x x
( ) ( )log logf x g xa aa a
2 8 3 13 9x x
( ) ( )f x g xa b
( ) ( )log logf x g xa aa b
3 32 3x x
( ) ( ) logaf x g x b
1 12 5x x
Equazioni esponenziali elementari
1 22 2 2 7x x x
19 3 2 0x x
Equazioni esponenziali riconducibili ad elementari
1 7 2 7 1
7 1 49 1 7 1
x x
x x x
Equazioni logaritmiche elementari
1 2log loga ax x
1 2log loga ax x
1 2x x
1 2x x
Equazioni logaritmiche elementari
log ( ) log ( )a af x g x
log ( ) log ( )a af x g xa a
3 3log ( 3) log (3 1)x x
( ) 0
( ) 0
f x
g x
ATTENZIONE:
3log (2 4) 2x ( ) ( )f x g x
2 4log 3log 10x x
2 2 2 2log (3 1) log ( 2) 2 log (9 4) logx x x x
23 3(log ) log 6 0x x
Equazioni logaritmiche riconducibili ad elementari
4 2 3
5log (2 3) log 4
2xx
Disequazioni esponenziali elementari
1 2x xa a
1 2x x
0<a<1
1xa
2xa
1x 2x
Disequazioni esponenziali elementari
1 2x xa a
1 2x x
0<a<1
2xa1xa
2x 1x
Disequazioni esponenziali elementari
1 2x xa a
1 2x x
a>1
1xa
2xa
1x2x
Disequazioni esponenziali elementari
1 2x xa a
1 2x x
a>1
2xa1xa
2x1x
Disequazioni esponenziali
( ) ( )f x g xa a
( ) ( )f x g x
( ) ( )f x g xa a
( ) ( )f x g x
0<a<1
2 3 23 3
4 4
x x
Disequazioni esponenziali
( ) ( )f x g xa a
( ) ( )f x g x
( ) ( )f x g xa a
( ) ( )f x g x
a>1
1 4 13 9x x
Disequazioni esponenziali riconducibili ad elementari
1 22 2 2 7x x x
2 3 9 1x x
2 21
2 1 2 4
x x
x x
Disequazioni logaritmiche
1 2log loga ax x
1 2x x
0<a<1
1loga x
2loga x 1x
2x
Disequazioni logaritmiche
1 2log loga ax x
1 2x x
a>1
1loga x
2loga x 1x
2x
Disequazioni logaritmiche
log ( ) log ( )a af x g x
( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x
0<a<1
1
2
log (3 5) 1x
log ( ) log ( )a af x g x
Disequazioni logaritmiche
log ( ) log ( )a af x g x
( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x
a>1
log ( ) log ( )a af x g x
22log (1 ) 1x
Disequazioni logaritmiche riconducibili ad elementari
23 3log log 6 0x x
2 15 0Log Log x
11
Logx
Logx
Disequazioni tra esponenziali aventi base diversa
( ) ( )f x g xa b
( ) ( )log logf x g xa aa b a>1
( ) ( ) logaf x g x b1 12 5x x
( ) ( )f x g xa b
( ) ( )log logf x g xa aa b 0<a<1
( ) ( ) logaf x g x b2 1
313
2
xx
Disequazioni tra esponenziali aventi base diversa
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