exemple de calcul beton armat ighid 2013-2014

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

DEPARTAMENTUL CONSTRUCŢII DE BETON ARMAT

EXEMPLE PENTRU CALCULUL

ELEMENTELOR DE BETON ARMAT

- Pentru uzul studenţilor din anii II şi III ai Facultăţii de Hidrotehnică

specializarea ISPM şi ACH -

ing. Eugen Enache

BUCUREŞTI

2013

NOTA : Acest material este destinat studenţilor de la specializările ISPM şi ACH din

cadrul Facultăţii de Hidrotehnică a UTCB şi va fi utilizat numai în scop didactic în cadrul

procesului de invăţământ. Folosirea lui în alte scopuri decât cele necesare procesului de

învăţământ implică numai răspunderea utilizatorului.

Schema 1.1 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere - Verificare

Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.

Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1.Se stabilesc rezistenţele pentru beton şi oţel:

2

2

/83,34715,1

400

/33,135,1

20

mmNf

f

mmNf

f

s

yk

yd

c

ck

cd

2. Se calculează a=55 mm în funcţie de condiţiile de

durabilitate.

3. d = h – a=600-55=545 mm

4. mmfb

fAx

cd

yds97,204

33,1318,0250

83,3471571

5. xlim = mmd

ydcu

cu03,364545

1074,1105,3

105,3

33

3

unde 3

1074,1200000

83,347

s

yd

ydE

f

6. Se verifică x xlim 204,97 mm ≤ 364,03 mm DA 7

7. Se calculează : mmx

dz 01,4632

97,2048,0545

2

8. MRd = As fyd z=1571∙347,83∙463,01=253,01 kNm Stop

250

2 10

montaj

5 20

600

Schema 1.2 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere - Dimensionare

Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm, solicitată

de un moment încovoietor MEd=240 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel

S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de durabilitate; valoarea a se estimează la

a 60 mm

3. d = h – a=700-60=640 mm

4. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm

considerând x = xlim , xlim = mmd

ydcu

cu48,427640

1074,1105,3

105,3

33

3

Fc = bxlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi

zlim= mmmx

d 47,001,4692

48,4278,0640

2

lim

(vezi Schema 1.1)

5. Se verifică MEd MRd,lim 240 kNm 642,77 kNm DA 6

6. Se calculează momentul încovoietor al rezultantei Fc (a eforturilor de compresiune

din beton) faţă de armătura As :

b x fcd [d-(x/2)]=MEd (ecuaţie de gradul II în x)

300∙0,8∙x∙1∙13,33∙(640-2

8,0 x)=240∙10

6

7. Se calculează x din ecuaţia de la punctul 6. Rezultă x=127,35 mm

8. Cu valoarea x de la punctul 7 se calculează cantitatea de armătură necesară

231,1171

83.347

33,13135,1278,0300mm

f

fxbA

yd

cd

s

9. Se calculează As,min

As,min=2

56,274640300400

2,226,026,0 mmdb

f

f

yk

ctm

sau

As,min=2

6,2496403000013,00013,0 mmdb

Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.

Rezultă As,min=274,56 mm2

10. Se verifică As As,min 1171,31 mm2 274,56 mm

2 NU: 11

11. As calculată la (8) este bună Stop

Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.

De exemplu se poate alege varianta 220+316, ceea ce înseamnă 628+603=1231 mm2

care acoperă necesarul de 1171,31 mm2.

300

210

montaj

2 20

3 16

700

Schema 1.3 - Secţiunea dreptunghiulară simplu armată –

Încovoiere - Dimensionare secţiune de beton

Exemplu 1 - Să se dimensioneze secţiunea unei grinzi solicitată de un moment

încovoietor cu valoarea MEd=260 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel

S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se alege în funcţie de tipul elementului un coeficient de armare optim opt. De

exemplu pentru grinzi opt =0,01

3. Se alege b în funcţie de tipul elementului. Se alege b=250 mm

4. Se calculează

26,033,131

83,34701,0

cd

yd

optf

f

d

x

5. Se calculează

mm

d

x

d

xfb

Md

cd

Ed29,587

26,02

1126,033,131250

10260

2

11

6

6. Se alege o valoare pentru a în funcţie de condiţiile de durabilitate.

Se alege a 55 mm

7. Se calculează valoarea h prin rotunjire la 10 mm pentru plăci şi 50 mm pentru grinzi

h = d + a=587,29+55=642,29 mm Se rotunjeşte la h=650 mm

8. Pentru grinzi se recomandă ca:

2

1

3

1

h

b respectiv

2

1

650

250

3

1 inegalitate care se verifică.

În concluzie dimensiunile secţiunii grinzii vor fi b=250 mm şi h=650 mm (250x650 mm)

Schema 2.1 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –

Încovoiere - Verificare

Exemplu 1 – Să se determine momentul încovoietor MRd al grinzii cu secţiunea din

figură. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi

clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de

condiţiile de durabilitate

3. d = h – a=550-60=490 mm

4. Se calculează mmfb

fAfAx

cd

ydsyds35,193

33,1318,0250

83,34740283,3471884'

5. Se calculează xlim = mmd

ydcu

cu29,327490

1074,1105,3

105,3

33

3

6. Se verifică x xlim 193,35 mm 327,29 mm DA 7 –8

7. Se calculează xmin = mma

ydcu

cu49,8945

1074,1105,3

105,3

33

3

'

unde s

yd

yd

E

f

8. Se verifică x xmin 193,35 mm 89,49 mm DA 9

9. ''

2adfA

xdfxbM

ydscdRd=

kNm94,2744549083,3474022

35,1938,049033,13135,1938,0250

250

2 16

6 20

550

Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –

Încovoiere - Dimensionare

Exemplu 1 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un

moment încovoietor MEd=450 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

Armătura comprimată este alcătuită din 314.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi

clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile

de durabilitate;valoarea a se estimează pentru că nu se

cunoaşte armătura dar a’ se poate calcula deoarece

armătura A’s este dată.

3. d = h – a=700-60=640 mm

Cazul în care armătura A’s este dată din alte considerente

4. MEd = A’s fyd (d-a’)=462∙347,83∙(640-45)=95,61 kNm

5. Se calculează M1=MEd - MEd=450-95,61=354,39 kNm

6. Se verifică M1 0 354,39 kNm 0 NU 8

8. Se calculează As1 numai cu momentul M1 =354,39 kNm cu Schema 1.2.(secţiune

dreptunghiulară simplu armată).

Rezultă As1=1816,07 mm2 (calculată cu acelaşi a=60 mm)

9. '

1 sssAAA =1816,07+462 =2278,07 mm

2

Se calculează As,min

As,min=2

56,274640300400

2,226,026,0 mmdb

f

f

yk

ctm

sau

As,min=2

6,2496403000013,00013,0 mmdb

Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.

Rezultă As,min=274,56 mm2

Se verifică As As,min 2278,07 mm2 274,56 mm

2 NU: rezultă că aria

calculată la punctul 9 este bună Stop

300

314

700

Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.

De exemplu se pot alege 622, ceea ce înseamnă 2281 mm2

care acoperă necesarul de

2278,07 mm2.

300

314

6 22

700

Schema 2.2 - Secţiunea dreptunghiulară dublu armată –

Încovoiere - Dimensionare

Exemplu 2 – Să se armeze secţiunea unei grinzi cu dimensiunile 300x700 mm pentru un

moment încovoietor MEd=670 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=60 mm şi a’=45 mm în funcţie de condiţiile de durabilitate; ambele

valori sunt estimate pentru că nu se cunosc armăturile.

3. d = h – a=700-60=640 mm

Cazul în care armătura A’s nu este cunoscută

10. Se calculează xlim = mmd

ydcu

cu48,427640

1074,1105,3

105,3

33

3

11. Se calculează MRd,lim =Fc zlim =1367,59∙0,47=642,77 kNm

Fc = b xlim fcd = 300∙0,8∙427,48∙1∙13,33=1367,59 kN şi

zlim= mmmx

d 47,001,4692

48,4278,0640

2

lim (vezi Schema 1.1)

12. Se verifică MEd MRd,lim 670 kNm 642,77 kNm NU 13

13. MEd = MEd –MRd,lim=670-642,77=27,23 kNm

14. 2

6

'

'57,131

4564083,347

1023,27mm

adf

MA

yd

Ed

s

15. 2

6

'

lim

lim,66,407157,131

83,34701,469

1077,642mmA

fz

MA

s

yd

Rd

s

Se calculează As,min

As,min=2

56,274640300400

2,226,026,0 mmdb

f

f

yk

ctm

sau

As,min=2

6,2496403000013,00013,0 mmdb

Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.

Rezultă As,min=274,56 mm2

Se verifică As As,min 4071,66 mm2 274,56 mm

2 NU: rezultă că aria

calculată la punctul 15 este bună Stop

Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.

De exemplu se pot alege 5 28+3 22 3079+1140=4219 mm2 pentru As şi 2 12

226 mm2

pentru A’s.

300

2 12

3 28

3 22+ 2 28

700

Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare

Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.

Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa

betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=50 mm în funcţie de

condiţiile de durabilitate

3. d = h – a=550-50=500 mm

4. Se calculează lăţimea activă de placă beff

=1000 mm

5. yd

cdfeff

s

f

fhbA

lim corespunzătoare la x=hf

2

lim80,4598

83,347

33,1311201000mm

f

fhbA

yd

cdfeff

s

6. Se verifică As As lim 763 mm2 4598,80 mm

2 NU:(x hf ) 7

7. Se calculează MRd ca pentru o secţiune dreptunghiulară simplu armată cu

b=beff=1000 mm cu Schema 1.1. La Schema 1.1 se trece direct la punctul 4, respectiv

calculul valorii x.

Rezultă în final o valoare a momentului încovoietor MRd=130,05 kNm.

120

250

1000

550

210

montaj

318

Schema 3.1 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Verificare

Exemplu 2 - Să se determine momentul MRd al grinzii cu secţiunea din figură.

Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa

betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=75 mm în funcţie de

condiţiile de durabilitate

3. d = h – a=700-75=625 mm

4. Se calculează lăţimea activă de placă beff

=1000 mm

5. yd

cdfeff

s

f

fhbA

lim corespunzătoare la x=hf

2

lim87,3065

83,347

33,131801000mm

f

fhbA

yd

cdfeff

s

6. Se verifică As As lim 3927 mm2 3065,87 mm

2 DA: ( x hf ) 8

8. 2

40,229983,347

33,131802501000mm

f

fhbbA

yd

cdfeff

IIs

9. sIIsIs

AAA =3927-2299,40=1627,6 mm2

10. Se calculează MI cu Schema 1.1 şi cu AsI ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu

dimensiunile b şi h

1 .Idem

2. a 50 mm deoarece AsI este mai mică decât As

3. d = h – a=700-50=650 mm

4. mmfb

fAx

cd

ydIs35,212

33,1318,0250

83,3476,1627

5. xlim = mmd

ydcu

cu16,434650

1074,1105,3

105,3

33

3

6. Se verifică x xlim 212,35 mm ≤ 434,16 mm DA 7

7. Se calculează : mmx

dz 06,5652

35,2128,0650

2

80

250

1000

700

210

montaj

825

8. MRd =MI= AsI fyd z=1627,6∙347,83∙565,06=319,9 kNm

Se revine la Schema 3.1:

11. kNmh

dfAMf

ydIIsII88,467

2

8062583,34740,2299

2

12. MRd = M I + M II =319,9+467,88=787,78 kNm Stop

Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare

Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment

încovoietor MEd=200 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa

betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de

durabilitate; valoarea a se estimează la

a 45 mm

3. d = h – a=500-45=455 mm

4. Se calculează lăţimea activă de placă beff=700

mm

5.

2lim

f

cdfeff

hdfhbM corespunzător la x = hf

kNmh

dfhbMf

cdfeff79,309

2

8045533,13180700

2lim

6. Se verifică MEd ≥ Mlim 200 kNm ≥ 309,79 kNm NU:(x hf ) 7

7. Se calculează As ca pentru o secţiune dreptunghiulară cu lăţimea beff =700 mm cu

Schema 1.2 şi MEd=200 kNm

Rezultă As = 1337,02 mm2

Se calculează As,min

As,min=2

13,130455200400

2,226,026,0 mmdb

f

f

yk

ctm

sau

As,min=2

30,1184552000013,00013,0 mmdb

Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.

Rezultă As,min=130,13 mm2

Se verifică As As,min 1337,02 mm2 130,13 mm

2 NU: rezultă că aria

calculată la punctul 7 este bună Stop

Obs. Se alege armătura reală respectând prevederile constructive pentru grinzi.

80

200

700

500

De exemplu se poate alege varianta 316+318, ceea ce înseamnă 603+763=1366 mm2

care acoperă necesarul de 1337,02 mm2.

80

200

700

500

210

montaj

316

318

Schema 3.2 - Secţiunea în formă de T – Încovoiere - Dimensionare

Exemplu 2 - Să se armeze secţiunea grinzii din figură solicitată de un moment

încovoietor MEd=325 kNm. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa

betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a în funcţie de condiţiile de

durabilitate; valoarea a se estimează la

a 70 mm

3. d = h – a=500-70=430 mm

4. Se calculează lăţimea activă de placă

beff=700 mm

5.

2lim

f

cdfeff

hdfhbM corespunzător la x = hf

kNmh

dfhbMf

cdfeff13,291

2

8043033,13180700

2lim

6. Se verifică MEd ≥ Mlim 325 kNm ≥ 291,13 kNm DA: (x hf ) 8

8.

kNmh

dfhbbMf

cdfeffII61,218

2

805050033,13180200700

2

Aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 la o secţiune cu mai

puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.

9. MI =MEd - MII=325-218,61=106,39 kNm

10. Se calculează AsI cu Schema 1.2 şi cu momentul MEd=MI=106,39 kNm pentru o

secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile b=200 mm şi h=500 mm

1. Idem

2. a 50 mm

3. d=h-a=500-50=450 mm

4. MRd,lim =Fc zlim =641,06∙0,33=211,55 kNm

considerând x = xlim , xlim = mmd

ydcu

cu57,300450

1074,1105,3

105,3

33

3

Fc = bxlim fcd = 200∙0,8∙300,57∙1∙13,33=641,06 kN şi

zlim= mmmx

d 33,077,3292

57,3008,0450

2

lim

(vezi Schema 1.1)

80

200

700

500

5. Se verifică MEd MRd,lim 106,39 kNm 211,55 kNm DA 6

6. b x fcd [d-(x/2)]=MEd (MEd=MI=106,39 kNm)

200∙0,8∙x∙1∙13,33∙(450-2

8,0 x)=106,39∙10

6

7. Soluţia este x=124,67 mm

8. 244,764

83.347

33,13167,1248,0200mm

f

fxbA

yd

cd

sI

Se revine la Schema 3.2 la punctul 11:

11. 2

6

92,1532

2

805050083,347

1061,218

2

mmh

df

MA

f

yd

II

IIs

Şi aici s-a considerat a=50 mm pentru a calcula d=h-a=500-50 deoarece şi la

această secţiune este mai puţină armătură decât la secţiunea reală a grinzii.

12. As = As I As II =764,44+1532,92=2297,36 mm2

Stop

NOTĂ – În cazul x hf situaţia As As,min este rar întâlnită în practică , deci nu mai

este necesar verificarea condiţiei respective.

Se alege varianta de armare, de exemplu 320+325, ceea ce înseamnă 942+1473=

2415 mm2

care acoperă necesarul de 2297,92 mm2.

80

200

700

500

210

montaj

320

325

Schema 4.3 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –

Compresiune excentrică - Verificare

Exemplu 1 - Să se determine momentul MRd pentru secţiunea din figură; efortul axial

NEd=500 kN. Materialele utilizate sunt beton C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa

betonului şi tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie

de condiţiile de durabilitate

3. d = h – a=500-50=450 mm

4. mmfb

Nx

cd

Ed77,93

33,1318,0500

105003

5. xlim = mmd

ydcu

cu57,300450

1074,1105,3

105,3

33

3

6. Se verifică x xlim 93,77 mm 300,57 mm DA : 8

8. Suntem în cazul x = 93,77 mm ≤ 2a’=2∙50=100 mm

Deci

kNm

adfAad

NMydsEdc

75,2745045083,34712562

5045010500

'2

'

3

9. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=

=max{30

500;20}=20 mm

10. MRd = Mc – NEd ei =274,75-500∙0,020=264,75 kNm Stop

500

500

4 20

4 20

Schema 4.4 - Secţiunea dreptunghiulară armată simetric –

Compresiune excentrică - Dimensionare

Exemplu 1 - Să se armeze secţiunea din figură pentru care MEd=250 kNm şi efortul axial

NEd=400 kN. Se va utiliza armarea simetrică 'ss

AA . Materialele utilizate sunt beton

C20/25 şi oţel S400.

1. Se stabilesc toate datele legate de clasa betonului şi

tipul şi clasa oţelului folosite

fcd=13,33 N/mm2 respectiv fyd=347,83 N/mm

2

2. Se calculează a=50 mm şi a’=50 mm în funcţie de

condiţiile de durabilitate

3. d = h – a=500-50=450 mm

4. mmfb

Nx

cd

Ed02,75

33,1318,0500

104003

5. xlim = mmd

ydcu

cu57,300450

1074,1105,3

105,3

33

3

6. Se verifică x xlim 75,02 mm 300,57 mm DA : 8

8. Se calculează excentricitatea adiţională ei =max {h/30 , 20 mm}=

=max{30

500;20}=20 mm

9. Mc = MEd Nei =250+400∙0,02=258 kNm

10. Suntem în cazul x=75,02 mm ≤ 2a’ =2∙50=100 mm

Deci 2

36

36,12795045083,347

2

504501040010258

'

2

'

' mmadf

adNM

AA

yd

Edc

ss

11. Se verifică condiţia privind armarea minimă totală a secţiunii

As,min=2

3

11583,347

1040010,010,0mm

f

N

yd

Ed

sau

As,min=0,002 Ac=0,002∙500∙500=500 mm2

Se alege pentru As,min cea mai mare valoare dintre cele două.

Rezultă As,min=500 mm2

Se verifică As As,min 1279,36 mm2 500 mm

2 NU: rezultă că aria

calculată la punctul 10 este bună. Trebuie observat că aria de armătură calculată se

500

500

referă doar la o latură a secţiunii transversale iar aria minimă se referă la toată aria de

armătură a secţiunii. Stop

De exemplu se poate alege varianta armării 2 22+2 20, ceea ce înseamnă

760+628=1388 mm2

care acoperă necesarul de 1279,36 mm2.

500

500

2 22

2 20

2 22

2 20

Bibliografie

1. *** - Notiţe de curs şi aplicaţii-anul II ACH şi anul II ISPM

2. E.Enache – Ghid pentru calculul elementelor de beton armat, UTCB 2013