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情報視覚化講義
コンピュータグラフィックス
モデリング編その2
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URL:http://kmj.iis.u-tokyo.ac.jp/infoviz/ID : infovizpassword : infoviz2016
形状モデル(多面体)
o形状モデルの分類
ワイヤフレーム 頂点間の稜線情報 ×隠線・隠面
サーフェスモデル 面の情報 ×立体の保証
ソリッドモデル 体積を持った立体情報
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
ソリッドモデル - 1
oCSG表現 (Constructive Solid Geometry)基本立体:基本形状(直方体など)集合演算:和・積・差演算
利用時に形状評価が必要
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
プリミティブ図形 プリミティブ図形による論理演算
ソリッドモデル - 2
ソリッドモデル - 3o境界表現
形状を形状の境界によって表現
立体:面集合,面:稜線集合,稜線:2頂点
常に最終形状(形状評価後の形状)
幾何情報
頂点座標等
位相情報
隣接関係
2 fev
ソリッドモデル - 3
oオイラー操作
境界表現モデルの基本位相操作(オイラー式を保存)2多様体立体: (境界が)2次元円盤に位相同型
(2多様体の)オイラー式
例: mev 稜線と頂点を生成
ソリッドモデル - 4oスイープ表現
平面図形の移動によってできる立体
主として,平行移動と回転
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
曲線の表現形式
o関数曲線
o陰関数曲線
oパラメトリック曲線
曲線上の点列が得られる
2
2 2ty
ttxtgytfx
010, 22 yxyxf
2xyxfy
2次曲線 - 2
o2次曲線の種類楕円
放物線
双曲線
012
2
2
2
by
ax
012
2
2
2
by
ax
02 axy
パラメトリック曲線 - 1oエルミート曲線
多項式関数のパラメトリック曲線
oセグメントの両端点と接ベクトルによる記述
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 - 2o3次エルミート曲線の性質
パラメトリック曲線 - 3
「Computer Graphics 技術CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 - 4
oベジエ曲線
多項式関数の
パラメトリック曲線
o3次ベジエ曲線
3次多項式によるベジエ曲線
4つの制御点 P0, P1, P2, P3 によって定まる
i
ii tBtBtBtBtBt
tttttttt
PPPPPP
PPPPP
3
0
33
332
321
310
30
33
22
12
03 1,0,13131
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 – 5oバーンスタイン基底関数(多項式)
ベジエ曲線を定義する多項式群(3次なら4種類)
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 - 6
o3次ベジエ曲線の性質端点
接線
凸包性 – 加重平均
概形性(変動減少性)
30
33
22
12
03
1,013131
PPPPPPPPP
ttttttt
2301
232
12012
31,3031613
PPPPPPPPPPPPP
dtd
dtd
ttttdttd
1113131 332233
0
3
tttttttttBi
i
iiki
ki
ki tttttt PPPPP
01
11 ,1
321221
1110
10
12
11
21
11
10
20
21
20
30
111
11
1
PPPPPPPPPPPPPPP
PPP
ttttttttttttttttttt
ttttt
パラメトリック曲線 - 7o細分割によるベジエ曲線
ドカステリョのアルゴリズム
ベジエ曲線の再帰的な定義
パラメトリック曲線 - 8oベジエ曲線の利用
(アウトライン)フォント
描画ソフトウェア
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 - 9oBスプライン曲線
多項式パラメトリック曲線(Bスプライン多項式)
局所的な制御が可能
凸包性・変動減少性
i
ini tNt PP
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲線 – 10
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
p 一様3次スプライン関数
曲面の表現形式 - 1
o関数曲面
高さ場曲面と呼ばれる,特殊な形式
o陰関数曲面
曲面上の点の関係式,レイトレーシング法に向く
oパラメトリック曲面
曲面上の点群が得られる,多くの描画法が適用可能
vuhzvugyvufxvu ,,,,,, p
0,, zyxf
yxfz ,
曲面の表現形式 - 2oレイと球の交差判定
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
レイの方程式
球の方程式
球の方程式(陰関数表記)へレイの方程式(パラメトリック表記)を代入
実数解を持てば交差する
パラメトリック曲面 - 1
oベジエ曲面
双3次ベジエ曲面(u,vパラメータについて各3次)
制御点数 164隅の点が一致
4辺はベジエ曲線
概形(変動減少性)凸包性
3
0
3
0
33,j i
ijji vBuBvu PP
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲面 - 2
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
パラメトリック曲面 - 3
「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」
ポリゴン曲面
oポリゴン (polygon)多数の多角形の集まりとして形状を表現する
一般に高速な描画が可能
メッシュ圧縮
「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版
細分割曲面
o細分割曲面細分割操作:面を複数に分割する & 頂点の移動
細分割操作を反復適用して,徐々に曲面に近づく
「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版
プログレッシブメッシュ「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版
プログレッシブ伝送では、ペースメッシュデータを最初に送り、順次詳細化データを送る詳細化データの差し引きにより、メッシュを再構成
LOD(Level of Detail)
「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版
平滑化処理
o平滑化
ノイズなどによる小さな凹凸やウネリを除去する
(画像の平滑化フィルタに似ている)
詳細度制御
o詳細度制御 – LOD (Level Of Detail)視点からの距離:近くて大きく見える場合は詳細に
視点からの角度:可視部分(特に輪郭)は詳細に
パラメータ化
oパラメータ化
ポリゴン/曲面とパラメータ(u,v座標)との対応づけ
テクスチャマッピング(画像の貼り付け)などに利用
ボクセル表現
oボクセル
3次元空間内の格子 ⇔ ピクセル(2次元)ボクセル値 ⇔ 画素値
oボリュームデータ
ボクセルなどで表現される空間情報
スカラ場・ベクトル場データ
八分木・四分木
oボクセル・ピクセル
空間を均等に分割 → 無駄な領域多し
o八分木・四分木
空間を必要に応じて分割(直交座標系の各象限)
フラクタル図形 - 1oフラクタル
自己相似性を持つ図形
縮尺を変えると同じパターンが現れる
→ 縮小写像の集合の反復
マンデルブロ(仏数学者)が提唱
自然界に多く見られる(ようだ)フラクタル次元 ≠ 位相次元
コッホ曲線
1/3の長さの線分が4つ
フラクタル図形 - 2
oフラクタル
縮小写像の集合の反復
複素数列
マンデルブロ集合
Z0=0 で発散しないCの集合
ジュリア集合
C=一定 で発散しないZ0の集合
CZZ nn 2
1
フラクタル図形 - 3
oフラクタル
中点変位法 – 山岳形状など
ポリゴンの細分割
フラクタル - 4
o位相次元
図形要素上の点の自由度 → 必ず整数
oフラクタル次元
フラクタルの複雑さの尺度
測度の(量を測る)次元
コッホ曲線
nDns sD log
26186.14log3 D
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