fisica apostila mecanica calor ondas
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i
1. Um pouco de clculo
1.1 Introduo aos vetores................................................................................1
1.2 Introduo s derivadas..............................................................................9
1.3 Integrao ...............................................................................................15
1.4 Interpretao cinemtica das derivadas e integrais...................................19
Exerccios................................................................................................21
2. Movimento unidimensional
2.1 Introduo..................................................................................................25
2.2 Classificao dos movimentos unidimensionais.......................................30
2.3 Determinao de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t)...................30
2.4 Acelerao constante.................................................................................32
Exerccios................................................................................................34
3. Movimentos bi e tridimensional
3.1 Introduo..................................................................................................35
3.2 Decomposio de movimentos..................................................................37
3.3 O movimento acelerado.............................................................................38
3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares............................43
Exerccios................................................................................................45
4. As leis de Newton
4.1 Introduo..................................................................................................49
4.2 Referenciais...............................................................................................53
4.3 Aplicaes das leis de Newton..................................................................54
4.4 Movimento circular...................................................................................63
4.5 Fora retardada proporcional velocidade...............................................67
4.6 Foras observadas na natureza..................................................................69
4.7 Foras inerciais..........................................................................................75
Exerccios................................................................................................79
ndice
-
ii
5. Trabalho e energia
5.1 Trabalho e energia cintica.......................................................................85
5.2 Potncia.................................................................................................... 90
5.3 Energia potencial.......................................................................................90
5.4 Foras conservativas..................................................................................92
5.5 Determinao da fora a partir da energia potencial.................................94
5.6 Foras dissipativas.....................................................................................95
5.7 Conservao de energia.............................................................................96
5.8 Corpo so sob a ao de um potencial arbitrrio.....................................100
Exerccios..............................................................................................101
6. Sistema de partculas. Conservao de momentum
6.1 Centro de massa ......................................................................................107
6.2 Movimento do centro de massa...............................................................109
6.3 Sistemas onde a massa varia....................................................................112
Exerccios..............................................................................................116
7. Colises
7.1 Impulso....................................................................................................119
7.2 Transporte de momentum para uma superfcie. Presso de um gs........121
7.3 Coliso e conservao de momentum.....................................................123
Exerccios..............................................................................................127
8. Dinmica do corpo rgido
8.1 Introduo ...............................................................................................131
8.2 Rotao em torno de um eixo fixo...........................................................131
8.3 Energia rotacional e momento de inrcia................................................134
8.4 Dinmica da rotao em torno de um eixo fixo.......................................142
8.5 Equilbrio esttico de um corpo rgido....................................................145
8.6 Acelerao constante...............................................................................147
8.7 Momentum angular..................................................................................152
8.8 Torque e momentum angular de um sistema de partculas.....................154
8.9 Relao trabalho-energia rotacional........................................................158
8.10 Conservao do momentum angular.....................................................159
8.11 Combinao de translao e rotao.....................................................162
Exerccios..............................................................................................167
9. Oscilaes
9.1 O movimento harmnico simples............................................................175
-
iii
9.2 O sistema massa-mola.............................................................................178
9.3 O sistema massa-mola com gravidade.....................................................181
9.4 O pndulo matemtico.............................................................................182
9.5 O pndulo fsico.......................................................................................184
9.6 Oscilao de dois corpos.........................................................................185
9.7 O sistema mola-cilindro...........................................................................186
9.8 Oscilaes amortecidas............................................................................187
9.9 Oscilaes foradas.................................................................................188
Exerccios..............................................................................................192
10. Movimento ondulatrio
10.1 Introduo..............................................................................................195
10.2 Propagao de pulsos numa corda.........................................................197
10.3 Ondas sonoras........................................................................................198
10.4 Ondas harmnicas..................................................................................201
10.5 Efeito Doppler.......................................................................................202
10.6 Ondas estacionrias...............................................................................205
10.7 Funes de onda no caso estacionrio...................................................209
10.8 Interferncia...........................................................................................210
Exerccios..............................................................................................212
11. Gravitao
11.1 Introduo..............................................................................................215
Exerccios..............................................................................................221
12. Mecnica dos fluidos
12.1 Introduo..............................................................................................225
12.2 Hidrosttica............................................................................................226
12.3 Princpio de Arquimedes.......................................................................229
12.4 Dinmica dos fludos.............................................................................231
12.5 Teorema de Bernouilli...........................................................................233
12.6 Viscosidade............................................................................................238
Exerccios..............................................................................................241
13. Termologia e termodinmica
13.1 Introduo..............................................................................................245
13.2 Medida da temperatura..........................................................................247
13.3 Equao de estado.................................................................................249
-
iv
13.4 Interpretao microscpica da temperatura...........................................250
13.5 Dilatao trmica...................................................................................252
13.6 Calor e trabalho.....................................................................................255
13.7 Transmisso de calor.............................................................................257
Exerccios..............................................................................................262
14. Termodinmica do gs ideal
14.1 Introduo..............................................................................................265
14.2 Capacidade trmica...............................................................................268
14.3 Tipos de expanses................................................................................268
14.4 Mtodo de Rchhardt para determinao de .....................................270
Exerccios..............................................................................................272
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S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 1
1.1 Introduo aos vetores
Existem grandezas fsicas que podem ser especificadas fornecendo-se
apenas um nmero. Assim, por exemplo, quando dizemos que a temperatura
de uma sala de 20 0C temos a informao completa, no sendo necessrio
nenhum dado adicional. Grandezas deste tipo so conhecidas como escalares.
Por outro lado, se estivermos discutindo o deslocamento de um corpo,
necessrio indicar a distncia percorrida entre dois pontos, a direo e o
sentido do deslocamento. A grandeza que descreve este movimento
denominada de vetor e ser o objeto de estudo desta seo. Existem ainda
grandezas chamadas tensores que necessitam de um nmero maior de
informaes, em geral dadas na forma de matrizes, que fogem abrangncia
deste texto.
Geometricamente, os vetores so representados por uma seta, cujo
comprimento chamado de mdulo (escolhendo-se uma determinada escala).
A direo e o sentido da seta fornecem a direo e sentido do vetor.
Usualmente, ele representado por uma letra em negrito (a, AB, etc.) ou com
uma seta sobre a letra ( ar,AB
, etc.). Por outro lado, o mdulo do vetor
representado apenas por uma letra ou com o vetor colocado entre barras (a,
ar, AB
, etc.)
Consideremos uma partcula deslocando-se de A para B. Este
deslocamento representado por uma seta indo de A at B, como a mostrada
na Fig. 1.1(a). O caminho efetivamente seguido pela partcula pode no
coincidir com o seu deslocamento (vetor), conforme ilustra a Fig. 1.1(b). Se
considerarmos pontos intermedirios (P), tais como o mostrado na Fig. 1.1(c),
1 UM POUCO DE
CLCULO
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S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
2 Um pouco de clculo
poderemos eventualmente mapear o trajeto, porm a soma resultante ser
sempre o vetor AB
, caracterizado pelo seu mdulo (comprimento), direo e
sentido. As grandezas vetoriais combinam-se segundo determinadas regras.
Assim, no deslocamento da Fig. 1.1 definimos a operao soma de vetores,
ABPBAP
=+ , que veremos com mais detalhes a seguir.
Fig. 1.1 - (a) Vetor descrevendo o deslocamento de uma partcula entre os pontos A e
B, (b) trajetria real da partcula e (c) soma de deslocamentos.
Consideremos os vetores ar e b
r mostrados na Fig. 1.2. O resultado da
adio destes dois vetores a resultante rr, denotada por bar
rrr+= . O
procedimento empregado para efetuar a adio geomtrica de vetores pode ser
intudo a partir da Fig. 1.1 e o seguinte: traa-se (em escala) o vetor ar e em
seguida o vetor br com a origem na extremidade de a
r. Une-se a extremidade
final de br com a origem de a
r e assim temos o vetor soma r
r, como ilustrado
na Fig. 1.2.
Fig. 1.2 - Adio geomtrica dos vetores ar e br.
Usando este procedimento geomtrico para a adio de vetores, vemos
que esta satisfaz as propriedades comutativa: abbarrrr
+=+ e associativa: )cb(ac)ba(rrrrrr
++=++ , como indicado na Fig. 1.3.
A
B B
A
B
A P
(a) (b) (c)
ar
br
rr
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S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 3
A subtrao de vetores facilmente introduzida definindo-se o
negativo de um vetor como sendo o vetor com sentido oposto ao original.
Assim, )b(abarrrr+= , como ilustrado na Fig. 1.4. Note que tanto a adio
como a subtrao podem ser representadas simultaneamente pela construo
do paralelogramo representado na Fig. 1.5.
(a) (b)
Fig. 1.3 - Propriedades (a) comutativa e (b) associativa.
Fig. 1.4 - Subtrao geomtrica dos vetores ar e br.
Fig. 1.5 - Regra do paralelogramo para a adio e subtrao geomtrica dos vetores
ar e br.
A adio geomtrica de vetores tridimensionais muito mais difcil e para
evit-la costuma-se utilizar o mtodo analtico, que consiste na decomposio
espacial dos vetores e na manipulao individual de seus componentes. A
decomposio de um vetor s pode ser efetuada com relao a um sistema de
ar
br
cr
barr
+
cbarrr
++
cbrr
+ ar
br
rr
ar
br
ar
br
br
ar
barr
br
ar
barr
ar
br
ar
br
barr
+
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
4 Um pouco de clculo
coordenadas de orientao conhecida no espao. Considere a decomposio de
um vetor no plano, conforme mostra a Fig. 1.6, onde o ngulo entre ar e
o semi-eixo positivo x. Dependendo do ngulo , as componentes podem ser positivas ou negativas. Por definio, este ngulo aumenta quando o vetor
roda no sentido anti-horrio. O conhecimento dos componentes de um vetor
suficiente para especific-lo completamente, alm de possibilitar a
manipulao matemtica simultnea de vrios vetores. De acordo com a Fig.
1.6 temos ax = a cos e ay = a sen, de onde sai que:
2y
2x aaaa +==
r
tg = ay/ax
Fig. 1.6 - Decomposio do vetor ar num sistema de coordenadas cartesianas.
Muitas vezes conveniente a introduo de um vetor de mdulo
unitrio, chamado versor, na direo de um determinado vetor, que pode ento
ser escrito como aeaa =r
. Assim separamos o mdulo do vetor (a) de sua
direo e sentido ( ae ). Da mesma forma, conveniente traar versores paralelos aos eixos do sistema de coordenadas escolhido, como mostra a Fig.
1.7. Normalmente, no sistema de coordenadas cartesianas eles so chamados
de i , j e k . Costumamos dizer que estes versores formam uma base completa
porque qualquer vetor pode ser expresso como combinao linear deles, da
forma:
y
ay
ax
x
ar
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 5
kajaiaa zyx ++=r
Fig. 1.7 - Versores no sistema de coordenadas cartesianas.
onde kaeja,ia zyx so denominadas de componentes vetoriais do vetor ar.
Note que se estivermos tratando com vetores contidos no plano xy, temos az =
0. A soma analtica de vetores pode ser efetuada da forma:
( ) ( )kbjbibkajaiabar zyxzyx +++++=+=rrr
( ) ( ) ( ) krjrirkbajbaiba zyxzzyyxx ++=+++++= Assim, rx = ax+ bx, ry = ay+ by, rz = az+ bz. Logo: O vetor resultante tem como
componentes a soma das respectivas componentes dos vetores individuais.
Como exemplo, considere 3 vetores coplanares dados por: j1i2a =r
,
j2i3b +=r
e i1.5c =r
. As componentes do vetor resultante so: rx = 2 + 3 -
1.5 = 3.5 e ry = -1 + 2 + 0 = 1, de modo que j1i5.3r +=r
. O ngulo pode
ser encontrado de acordo com:
tg = ry/rx = 1/3.5 = 0.286 = 15.90
e o mdulo :
( ) 3.6413.5rr 2 =+==r
Uma operao que veremos aparecer com freqncia nos prximos
captulos a multiplicao envolvendo vetores, que pode ser de trs tipos:
k i
j
x
y
z
-
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6 Um pouco de clculo
a) Multiplicao de um vetor por um escalar - resulta num outro vetor paralelo
ao primeiro, porm com o mdulo multiplicado por uma constante. Se esta
constante for negativa existe a inverso do sentido do vetor.
b) Produto escalar - o produto escalar entre ar e b
r resulta num nmero (e no
num vetor) que definido como cosabb.a =rr
, onde o ngulo entre eles. Geometricamente, temos o produto do mdulo de um vetor pela projeo do
outro sobre si. Este tipo de produto aparece no clculo do trabalho mecnico,
potncia de uma fora, etc.
Fig. 1.8 - Produto escalar entre dois vetores ar e b
r.
c) Produto vetorial representado por b acrrr
= . O vetor resultante tem o
mdulo dado por c = ab sen, e direo perpendicular ao plano que contm ar
e br. Novamente, o ngulo entre a
r e b
r. O sentido de c
r pode ser
determinado pela regra da mo direita, ilustrada na Fig. 1.9. Usa-se a seguinte
receita: Empurre com as pontas dos dedos o vetor ar no sentido de superp-
lo ao vetor br. O polegar indicar o sentido do vetor c
r.
Fig. 1.9 - Regra da mo direita para a realizao do produto vetorial.
ar
br
cr
br
ar
-
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Um pouco de clculo 7
Ao contrrio do produto escalar, o produto vetorial no comutativo,
isto , ele muda de sinal ao mudarmos a ordem dos vetores, isto ,
a b b arrrr
= . Este fato pode ser comprovado pela regra da mo direita. Algumas propriedades interessantes dos produtos escalar e vetorial so:
1. distributiva (escalar): c.a b.a )cb.( arrrrrrr
+=+ 2. distributiva (vetorial): c a b a )cb( x a
rrrrrrr+=+
3. produto misto: )b a.(c ) a c( .b )c b( . arrrrrrrrr
== 4. duplo produto vetorial: c)b. a( b) c . a( )c b( x a
rrrrrrrrr=
Para o clculo do produto vetorial, notamos que: j j i i ==
0 k k == , pois o ngulo entre dois vetores iguais nulo e
i k j ,k j i == e j i k = , como pode ser visto pela regra da mo direita. Vejamos a seguir alguns exemplos de multiplicao vetorial.
(i) k8ba j2b e i4a ===rrrr
(ii) j- ib e j3i2a 2
1=+=rr
= barr
( ) =
+ jij3i22
1
k-jj3 - i j j i2 - i i 2
7
2
3 =+= .
Uma outra maneira de se fazer o produto vetorial pelo uso de
matrizes. Considere kj3i2a +=r
e k2jib +=r
. Podemos calcular o vetor resultante pela co-fatora da matriz:
( ) ( ) ( ) )kji5(k 32j 14i 162 1- 1
1- 3 2
k j i
ba =++==rr
Este mesmo resultado pode ser encontrado utilizando-se a propriedade
distributiva (vetorial).
A variao dos vetores um fato extremamente importante. Vamos
analisar, por exemplo, o movimento circular uniforme, esquematizado na Fig.
1.10.
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
8 Um pouco de clculo
Fig. 1.10 - Representao do movimento circular.
Durante um intervalo de tempo t extremamente curto (infinitesimal), a distncia percorrida s = r t. O vetor velocidade dado por:
t/svrr
=
e para calcul-lo tomamos, de acordo com a Fig. 1.10:
( ) ( ) jttsenrittcosrrrs 12 +++==rrr
[ ] itsentsentcostcosrjtsenritcosr =
[ ] jtsenritcosrjtsentcostcostsenr ++
Para t muito pequeno ( 0t ) temos 1tcos e ttsen , e assim,
jtcostritsentrs +=r
jtcosritsenrv +=r
Desta forma, a variao temporal do vetor posio rr nos leva a um
vetor velocidade vr que tangencial rbita do movimento circular. Note que
se definirmos um vetor k=r
, podemos escrever
jtcosritsenr
0t rsen t rcos
0 0
k j i
v +=
=r
t rr
x
y
sr
s
r 1
t
r 2
-
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Um pouco de clculo 9
Como vemos, o conhecimento de como as grandezas fsicas variam to
importante quanto o conhecimento da prpria grandeza. Como o vetor
caracterizado pelo mdulo, direo e sentido, ele apresentar variao sempre
que um destes elementos mudar. Podemos ter:
a) Variao do mdulo, como indicado na Fig. 1.11:
12 v-vvrrr
=
Fig. 1.11 Variao do mdulo de um vetor .
b) Variao da direo, como no movimento circular visto anteriormente:
21 aarr
=
12 aaarrr
=
Fig. 1.12 - Variao da direo de um vetor .
Este tipo de clculo que fizemos, considerando a variao do vetor em
intervalos pequenos, extremamente til em Fsica e nos leva ao chamado
clculo infinitesimal (vlido quando 0t ). Abordaremos este tpico a seguir.
1.2 Introduo s derivadas
Em Fsica, a manipulao matemtica das vrias grandezas to
importante quanto o conhecimento da prpria grandeza. Nem sempre as
operaes elementares de lgebra so suficientes para tais manipulaes,
sendo necessria a introduo de novas operaes e conceitos matemticos.
Dentre estes, so de extrema importncia os de derivada e integral.
Como ilustrao, consideremos um corpo que se desloca a uma
distncia d num intervalo de tempo t. Com estes dados, o mximo que
1vr
2vr
vr
1ar
2ar
ar
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10 Um pouco de clculo
podemos fazer calcular a velocidade mdia do corpo no intervalo
mencionado. Se quisermos conhecer a velocidade instantnea do corpo num
determinado ponto de sua trajetria, deveremos analisar seu comportamento
nas vizinhanas deste ponto e to mais exata ser a resposta quanto mais
limitada for a vizinhana. comum nesta situao que descrevemos
encontrarmos divises de nmeros quase nulos e, neste caso, tais divises
devem ser feitas de uma maneira especial.
Vamos iniciar a abordagem deste assunto pelo conceito intuitivo de
limite. Consideremos a funo ( ) 1x4xf 2 += . Queremos estudar seu comportamento quando a varivel x assume valores cada vez mais prximos
de 1. Para isto, vamos construir a seguinte tabela:
x f(x) x f(x)
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
0.99
2.44
2.96
3.56
4.24
4.61
4.92
1.4
1.3
1.2
1.1
1.01
1.001
8.84
7.76
6.76
5.84
5.08
5.008
Ela mostra claramente que quando x tende a 1, f(x) tende a 5 e estar
mais prximo de 5 quanto menor for a diferena entre x e 1. Este fato
expresso matematicamente da seguinte forma:
( ) 5xflim 1x = que quer dizer que o limite da funo f(x) quando x tende a 1 5. Outros
exemplos que podemos citar so:
11x2lim 1x =
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 11
= x1lim 0x
( ) 1x/11limx =+
Para funes polinomiais, isto , funes que tenham dependncia do
tipo xn, vale a seguinte propriedade:
( ) ( )cfxflim cx = Existem outros limites que so um pouco mais difceis de serem
demonstrados e que so melhor discutidos nos livros de Clculo. Por exemplo
temos:
1x
xsenlim 0x =
( ) ...718.2ex/11lim xx ==+
Vamos a seguir usar o conceito de limite para introduzir a operao de
diferenciao (derivadas). Seja a funo f(x) definida num intervalo do eixo x,
no qual o ponto x0 est contido, como mostra a Fig. 1.13. Chamaremos de
razo incremental da funo f(x) relativa ao ponto x0, a quantidade:
( ) ( )0
0
xx
xfxf
Fig. 1.13 - Definio da razo incremental.
x
f(x)
x0 x
f(x)-f(x0)
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
12 Um pouco de clculo
A razo incremental da funo f(x) representa o quanto a funo
incrementada quando x variado de x0 a x. Esta razo pode ser positiva,
negativa ou nula dependendo se a funo crescente, decrescente ou constante
no intervalo considerado. A derivada de uma funo definida como:
( ) ( )
= 0
0xx0 xx
xfxflim)x('f
0
tambm comum escrevermos dx/df)x('f 0 = . Fazendo x = x0 + ,x temos:
( ) ( )
+= x
xfxxflim)x('f 00ox0
A derivada da funo num ponto representa a taxa de variao da
funo ao nos afastarmos deste ponto. Vamos, a seguir, obter a derivada de
algumas funes.
1) f(x) = x2 + 3x ( ) ( ) ( )x
x3xxx3xx
x
)x(fxxf 22
+++
=
+
x3x2x
x3xx3x3xxx2x 222++=
++++
=
Logo: ( ) ( ) 3x2x3x2limx'f 0x +=++=
2) ( ) ( ) ( )x
xxx
x
xfxxfxxf
+
=
+=
( ) ( )( ) ( ) xxx
1
xxxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
++=
++
+=
++
++
+=
E assim, x2
1
xxx
1lim)x('f ox =
++=
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 13
3) ( ) ( ) ( )
x
xcosxxcos
x
xfxxfxcos)x(f
+
=
+=
( )( )2
2
x
x
2
x senxsen
+=
onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sena senb, com a = x + x/2 e b = x/2. Desta forma temos:
( )( ) xsen
senxsenlim)x(f
2
2
x
x
2
x0x
' =
+=
Geometricamente, podemos verificar que a derivada da funo f(x)
num determinado ponto x0 representa a tangente do ngulo formado pela reta
tangente curva em x0 com o eixo das abcissas (x). Este fato est ilustrado na
Fig. 1.14. fcil verificar quando fazemos x tender a x0, a reta que passa por
estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente curva no ponto
x0. Logo:
( ) ( ) =
= tgxx)x(fxf
limx'f0
00x0
Fig. 1.14 Interpretao geomtrica da derivada.
Uma vez visto o significado matemtico da derivada, passemos a
apresentao de certas regras que facilitam bastante os clculos:
1) funo constante: ( ) 0dx
dfcxf ==
x
f(x)
f(x)
f(x0)
x0 x
tangente
-
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14 Um pouco de clculo
2) funo potncia: ( ) 1nn nxx'fx)x(f == (regra do tombo)
3) funo soma: f(x) = u(x) + v(x) f(x) = u(x) + v(x)
Ex.: f(x) = x4 x3 + 3x2 + 1 f(x) = 4x3 3x2 + 6x
4) funo produto: f(x) = u(x). v(x) f(x) = u(x) v(x) + u(x). v(x) Ex.: f(x) = 3x2(4x+1) f(x) = 6x (4x+1) + 3x2(4)
5) funo quociente: ( ) )x(v/)x(uxf = ( ) ( ) ( ) ( )
( )2xvx'vxuxvx'u
)x('f
=
6) funes trigonomtricas:
( ) ( ) xcosx'fxsenxf == f(x) = cos x f(x) = - sen x
f(x) = tg x f(x) = sec2x
7) funo exponencial: f(x) = ax f(x) = ax lna
Todas estas propriedades que acabamos de mencionar podem ser
demonstradas a partir da definio da derivada em termos da razo
incremental. Demonstraremos aqui apenas uma delas, a da funo produto f(x)
= u(x) v(x), e deixaremos as outras para o curso de Clculo. Neste caso
temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xxvxuxxvxxu
x)x(fxxf
++
=
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xvxxuxvxxuxvxuxxvxxu
+++++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x
xuxxuxv]xvxxv[xxu
++++=
Tomando o limite para x tendendo a zero:
-
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Um pouco de clculo 15
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
+
+
+
+=
xxuxxu
xvlim
xxv)xx(v
xxulim)x('f
0x
ox
de onde obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'uxvx'vxux'f += Regra da cadeia: Muitas vezes, durante o uso de derivadas em Fsica,
encontramos a situao em que )y(g)x(F = , com y = f(x), o que corresponde chamada funo composta, isto , funo de uma outra funo.
Por exemplo, F(x) = sen (x2), de onde temos g(y) = siny e y = x2 . Neste caso,
devemos usar a regra da cadeia, dada por:
dx
dy
dy
dg
dx
dF =
No presente exemplo F(x) = sen x2, com g(y) = siny e y = x2. Logo, ycosdy/dg = e )x(cosx2)x('Fx2dx/dy 2==
Tomemos um outro exemplo onde 432 )x3x21()x(F ++= . Chamando x3x21y 32 ++= , temos g(y) = y4 de forma que a derivada : F(x) = 4y3 (4x + 9x2) = 4(1+2x2 + 3x3)3 (4x + 9x2)
1.3 Integrao
Como acabamos de ver, conhecendo-se a funo f(x) possvel
calcular sua taxa de variao f(x) (derivada). Uma pergunta lgica a ser feita
neste ponto : conhecendo-se f(x) possvel encontrar-se f(x), ou em outras
palavras, existe a operao inversa, ou anti-derivada? A resposta sim e a
operao inversa denominada integrao ser discutida a seguir de uma forma
bastante intuitiva, deixando-se o rigor matemtico para o curso de Clculo.
Vamos considerar a funo f(x) mostrada na Fig. 1.15 e supor
conhecidas as derivadas em todos os pontos x (x0, x1, x2, ...). Pela definio de
taxa de variao (ou razo incremental) temos:
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
16 Um pouco de clculo
Fig. 1.15 Funo f(x) usada para a demonstrao da operao inversa da derivada.
1taxaxx
)x(f)x(f
01
01 =
tal que f(x1) = f(x0) + taxa 1.(x1 x0). Assim, conhecendo-se a taxa de
variao e a funo no ponto x0, temos condies de determinar a funo no
ponto x1. Da mesma forma, conhecendo-se a funo no ponto x1 e a taxa 2,
que a taxa entre x1 e x2, podemos determinar a funo em x2. Se dividirmos o
eixo x em vrios intervalos sucessivos nos quais conhecemos a taxa de
variao da funo f(x), podemos mostrar que:
f(xn) = f(x0) + taxa 1.(x1 x0) + taxa 2.(x2 x1) + ... taxa n.(xn xn-1)
de forma que podemos encontrar a funo f(x) e sabermos as vrias taxas de
variao ao longo do eixo x. Vamos, a seguir, tomar todos os intervalos com o
mesmo tamanho, ou seja:
x1 x0 = x2 x1 = ... = xn xn-1 = x
de modo que:
f(xn) = f(x0) + (taxa1 + taxa 2 + ... + taxa n). x
Tomando o limite em que x tende a zero, as vrias taxas de variao transformam-se nas derivadas, de modo que:
x
f(x)
x1 x2 x3 x0 = 0
taxa 1
taxa 3
taxa 2
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 17
( ) ( ) ( ) xdxdfxfxf
s'stodos
0n +=
Como fizemos x 0, temos agora um nmero infinito de intervalos e, consequentemente, infinitos termos na somatria. Alm disto, estamos
somando nmeros df/dx que variam continuamente. Neste caso, ao invs de
usarmos a soma de nmeros discretos, introduzimos a operao , denominada integrao, que representa uma soma contnua. A partir desta
definio, podemos escrever:
( )+= n0
x
x0n dxdx
df)x(f)x(f
onde usamos dx x como notao no caso em que x 0. Como vemos, esta operao permite encontrar-se f(x) a partir de f(x) e por isso dizemos que
a integrao a operao inversa da diferenciao. Se quisermos, por
exemplo, calcular a integral:
( ) ( ) ++=+==+
+ C1m
xdxxdxd
1m1dxxI
1m1mm
onde a constante C est representando f(x0), que deve ser conhecido. A regra
acima bastante importante na integrao de polinmios. Alguns exemplos
simples so:
+= C3x
dxx3
2
( ) +++=++ Cx2x
3xdx1xx
232
( ) ++=+ Cx4x85dxx8x5 287
A integral de uma determinada funo tambm possui uma
interpretao geomtrica como no caso da derivada. Para vermos tal
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
18 Um pouco de clculo
interpretao, vamos considerar n
0
x
x.dx)x(g Para cada ponto x, multiplicamos
o valor da funo g(x) por uma largura dx mostrada na Fig. 1.16
(infinitesimalmente pequena) e somamos todos os produtos. Em cada ponto
temos a rea de um retngulo infinitesimal de base dx e altura g(x). Baseados
neste fato, podemos interpretar geometricamente a integral de uma funo g(x)
como sendo a rea sob a curva, isto , ( ) =n
0
x
xdxxg rea sob a funo g(x)
entre os pontos x0 e xn.
Fig. 1.16 - Interpretao geomtrica da integral.
Podemos verificar este fato calculando a integral de g(x) = 4x entre 0
e 1, e comparando o valor obtido com a rea da funo neste intervalo. Temos:
( ) ====1
0
1
0
1
0
2
201.22x4dxx4dxx4
Nesta ltima passagem introduzimos os limites de integrao,
substituindo a constante de integrao C.
( ) ==b
a
b
a
)a(F)b(FxFdx)x(g
Calculando a rea do tringulo sombreado da Fig. 1.17 obtemos: rea = .4.1 = 2, que coincide com o resultado obtido por integrao.
g(x)
dx xn x0
g(x)
x
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 19
Fig. 1.17 rea da funo g(x) = 4x entre 0 e 1.
Algumas propriedades importantes das integrais so:
(1) c g(x) dx = c g(x) dx onde c uma constante (2) [g1 (x) + g2 (x)] = g1 (x) dx + g2 (x) dx (3) senx dx = dx
d (-cos x) dx = - cosx + C
(4) cosx dx = dxd (senx) dx = senx + C
1.4 Interpretao cinemtica das derivadas e integrais
Na cinemtica encontramos vrias aplicaes do clculo de derivadas
e integrais. Analisando o movimento de um corpo, estas idias fluem
espontaneamente dos argumentos fsicos. Vamos considerar um corpo
deslocando-se numa trajetria S, conforme mostra a figura abaixo. Chamamos
de i e f os pontos inicial e final do movimento. O conhecimento especfico da
trajetria no suficiente para predizermos a velocidade do corpo para cada
posio. necessrio o conhecimento das posies sucessivas S(t) com o
decorrer do tempo. Suponha que a trajetria do corpo seja dividida em
pedaos sr
, como mostra a Fig. 1.18. Um sr
particular liga o ponto Sj ao ponto Sj+1 e o intervalo de tempo decorrido para que o corpo execute este
deslocamento t. A velocidade mdia neste intervalo de tempo t/sv =
rr. Esta velocidade ser to mais prxima da velocidade real
0.0 0.5 1.0 1.5 2.00
1
2
3
4
x
g(x)
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
20 Um pouco de clculo
(instantnea) do corpo na posio Sj quanto mais prximos forem os pontos j e
j +1. Isto ocorre porque neste caso sr
confunde-se cada vez mais com a trajetria real do corpo. No limite em que t (e consequentemente, s
r ) tende
a zero, temos a definio da velocidade instantnea:
dtsd
tslimv 0ti
rrr
=
=
que derivada da posio em relao ao tempo. Suponha agora que queremos
encontrar a distncia total percorrida pelo corpo. Isto pode ser feito dividindo-
se a trajetria em pequenos segmentos Sj e realizando a soma Sj.
Fig. 1.18 - Corpo deslocando-se numa trajetria S.
bvio que quanto menores forem os segmentos Sj , mais a soma acima se aproximar da distncia real percorrida pelo corpo, porque,
novamente, quanto menores forem os Sj, melhor eles se encaixam na trajetria. No limite em que Sj 0 eles se confundem completamente com a trajetria e assim:
distncia percorrida = lim Sj 0 Sj
usual no caso em que Sj 0 definirmos S = ds e substituirmos a somatria pela integral:
distncia percorrida = j
i
S
Sds
x
y
i
f
sj
sj+1 sr
Sj
Sj+1 Sj
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 21
Exerccios
1 Uma sala tem dimenses 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus
cantos e voa para o canto diametralmente oposto. Qual o mdulo do
deslocamento? Poderia sua trajetria ser menor do que este deslocamento?
Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este
deslocamento na forma vetorial.
2 Considere os vetores .kbjbibb e kajaiaa zyxzyx ++=++=rr
Mostre que zzyyxx bababab.a ++=rr
e que ( ) ibababa yzzy =rr
( ) ( ) kbabajbaba xyyxzxz x ++ .
3 Podemos combinar dois vetores de mdulos diferentes e ter resultante
nula? E no caso de 3 vetores?
4 Considere um corpo em movimento cujo vetor posio dado (em cm) por
.jtsen4itcos3r +=r
Usando procedimento semelhante ao utilizado
no texto para o movimento circular, a) mostre num grfico em escala o vetor r
r num determinado instante t; b) aps um intervalo de tempo t
pequeno, mostre no mesmo grfico o novo vetor rr; c) calcule o
deslocamento )t(r)tt(rsrrr
+= sofrido pelo corpo no intervalo t; d) calcule t/sv =
rre verifique sua orientao para t = 0, pi/2, pi e 3pi/2;
e) calcule v . rrre discuta o resultado; f) calcule v r
rr e discuta o resultado.
5 Considere os vetores .k3j2ib e k4j3i2a +=++=rr
a) determine: .ba e ba,ba,b.arrrrrrrr
+ b) qual a componente de a
r paralela a b
r?
c) qual a componente de ar perpendicular a b
r?
6 Considere o vetor ar do problema anterior.
a) faa um grfico em escala mostrando o vetor e os ngulos e , definidos na Fig. 1.19.
b) calcule o mdulo do vetor e os valores de e .
c) calcule a componente de ar paralela ao versor ( ) 3/kjie ++= .
d) calcule a componente perpendicular a este vetor.
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
22 Um pouco de clculo
Fig. 1.18
7 Faa a adio e subtrao geomtrica dos seguintes vetores:
ji3b e ji2a 23
21 +==
r.
8 Faa os produtos escalar e vetorial dos vetores: k3j2ia ++=r
e k2j4i2b +=r
.
9 Encontre a projeo do vetor k3j2ia ++=r
na direo paralela ao versor
( ) .3/k2j2ie += Faa o mesmo para a projeo perpendicular. 10 Mostre que o produto vetorial rv
rr um vetor constante quando o
movimento circular.
11 Mostre que 0r.v =rr
para o movimento circular. O que isto significa?
12 Calcule a derivada das seguintes funes:
a) f(x) = 3x2 + 1
b) f(x) = senx/x2
c) f(x) = ex (1+ x2 + x3)
d) f(x) = (x2 + 2)/(x3 + 3)
13 Calcule a derivada das funes acima nos pontos:
a) x = 0
b) x = pi c) x = 0
d) x = 1
y
y
z
z
ar
r
x x
P
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Um pouco de clculo 23
14 Procure num handbook de matemtica:
a) a derivada de f(x) = lnx
b) a integral de f(x) = 1/x
15 Determinar a derivada das seguintes funes: a) y = 4x5 b) y = 2x3 + 4x2 5x 2 c) y = sen x + cos x d) y = x2 + 1 e) y = x sen x f) y = 1/x2 g) y = ( )1x/x2 2 + h) y = x ex i) y = cotg x
j) y = x
k) y = x/1
16 Calcule as derivadas das funes:
a) f(x) = tgx
b) f(x) = eax (no ponto x = 0)
c) f(x) = sen2x (no ponto x = pi) d) f(x) = xn + cosx
e) f(x) = sen (cosx)
f) f(x) = esenx (no ponto x = 0)
17 Calcule +1
0 2x1dx . Sugesto: Faa x = tg 1 + x2 = 1 + tg2 =
sec2. Por outro lado, dx/d = sec2 dx = sec2 d. Como x = tg, os limites de integrao ficam: quando x = 0 = 0 e quando x = 1 = 4
pi .
18 Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) I = dxx3
b) I = ( ) + dx2x4x7 32
-
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
24 Um pouco de clculo
c) I = ( ) dxx8x15 210 +
19 Calcule as integrais definidas:
a) I = ( )pi
+0
dxxcosxsen3
b) I = dx)x25(1
1
2 +
c) I = 1
0
x2 dxe
d) I = pi4
0dxxcosxsen
20 - Considere a parbola y = 2x2+x-3.
a) Usando o conceito de derivada, encontre a posio x0 que corresponde
ao extremo (mximo ou mnimo);
b) Substituta o valor de x0 na equao da parbola para encontrar o valor
de y0;
c) Complete quadrados para encontrar os pontos do vrtice, x0 e y0;
d) Encontre os pontos para os quais a parbola cruza o eixo x;
e) Faa um esboo (grfico com poucos detalhes) da parbola;
f) Usando integrao, encontre a rea sob a parbola compreendida entre
os pontos 1 e 2.
-
Movimento unidimensional 25
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
2.1 Introduo
Dentre os vrios movimentos que iremos estudar, o movimento
unidimensional o mais simples, j que todas as grandezas vetoriais que
descrevem o movimento so paralelas. Como o movimento ocorre em apenas
uma dimenso, necessria apenas uma coordenada para especificar a posio
de um corpo em cada instante de tempo.
Consideremos um corpo que no instante t1 encontra-se na posio x1.
Aps um intervalo de tempo t = t2 t1, o corpo estar na posio x2 no
instante de tempo t2. Definimos o deslocamento como sendo x = x2 x1 e a
velocidade mdia do corpo neste intervalo de tempo como:
12
12
tt
xx
t
xv
=
=
O sentido do deslocamento do corpo dado pelo sinal do prprio
deslocamento ou da velocidade mdia (so proporcionais). Geometricamente,
a velocidade mdia entre os pontos x2 e x1 corresponde inclinao da reta
quer passa por estes pontos, conforme mostra a Fig. 2.1.
tg = t/xv =
Fig. 2.1 - Posio de um corpo com funo do tempo.
2 MOVIMENTO
UNIDIMENSIONAL
t1 t2
x
t t
x
-
Movimento unidimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
26
Quanto menor for o intervalo de tempo considerado, isto , quanto
mais prximos estiverem os pontos x1 e x2, mais fielmente v representar a
velocidade real do corpo naquele intervalo de tempo. Logo, a velocidade
instantnea (real) definida como:
( )dt
dx
t
xlimtv 0t =
=
que nada mais do que a derivada da posio com relao ao tempo.
Geometricamente, se tivermos um grfico de posio contra tempo, a
velocidade instantnea corresponde inclinao da reta tangente curva num
determinado instante de tempo, como ilustra a Fig. 2.2.
tg1 = v(t1)
tg2 = v(t2)
Fig. 2.2 - Interpretao geomtrica da velocidade instantnea.
Quando a velocidade instantnea constante num determinado
intervalo de tempo, dizemos que o movimento uniforme e que v)t(v = . Por outro lado, quando a velocidade no constante no tempo, o movimento
chamado de acelerado. Neste caso, a variao da velocidade com o tempo
caracterizada por uma grandeza denominada acelerao. Se a velocidade do
corpo no instante t1 1v e no instante t2 2v , a acelerao mdia definida
como:
t
v
tt
vva
12
12
=
=
e no grfico de velocidade contra tempo ela corresponde inclinao da reta
que passa pelos pontos v1 e v2. Quando consideramos o limite em que t tende
x
t
1
2
t1 t2
-
Movimento unidimensional 27
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
a zero, surge a idia de acelerao instantnea, grandeza esta que caracteriza
localmente a variao da velocidade do corpo. Logo:
( )dt
dv
t
vlimta 0t =
=
Geometricamente, a acelerao a inclinao da reta tangente curva
no grfico de velocidade, como mostra a Fig. 2.3.
tg = a(t)
Fig. 2.3 Interpretao geomtrica da acelerao instantnea.
O movimento do corpo pode ser classificado de acordo com a maneira
em que a acelerao se comporta no tempo. Quando a acelerao constante,
o movimento chamado de uniformemente acelerado e se constitui numa
classe importante de situaes que analisaremos. Antes de prosseguirmos,
vamos mostrar alguns exemplos dos conceitos que acabamos de ver.
Exemplo 1 : Seja um corpo deslocando-se de tal forma que sua
posio dada por x(t) = 4t2, com t dado em s e x em cm. Na Fig. 2.4(a)
vemos o grfico desta funo. A velocidade do corpo em cada instante de
tempo pode ser encontrada tomando-se a derivada de x(t) e assim,
Fig. 2.4 - Posio (a) e velocidade (b) de um corpo como funo do tempo.
t
t
v(t)
t (s)
x(t)
36
27
18
4 3 2 1
9
0
(cm)
t (s)
v(t)
32
24
16
4 3 2 1
8
0
(cm/s)
0 0
-
Movimento unidimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
28
( ) t8dt
dxtv == (em cm/s)
que a equao da linha reta mostrada na Fig. 2.4(b). Se quisermos calcular a
acelerao como funo do tempo, devemos tomar a derivada de v(t) que
obviamente uma constante.
( ) 2s/cm8dt
dvta ==
A velocidade mdia do corpo entre os instantes t = 1s e t = 3s pode ser
calculada atravs da expresso:
( ) ( )s/cm16
2
436
13
1x3x
t
xv ==
==
Este mesmo resultado poderia ser obtido da seguinte forma:
( ) ( )s/cm16
2
824
2
1v3vv =+=
+=
ou seja: A velocidade mdia a mdia das velocidades nos instantes
considerados. Este um resultado que s vale para um movimento cuja
acelerao constante.
Exemplo 2: O movimento de um corpo descrito por x(t) = 3t2 + 4t +
1, sendo esta funo mostrada na Fig. 2.5. A posio inicial do corpo x0 = 1
cm e pelo grfico vemos que nos instantes iniciais do movimento, o
deslocamento se d no sentido positivo do eixo x, at atingir um ponto
mximo a partir do qual o movimento se inverte, ocorrendo a partir da no
sentido negativo do eixo x.
Queremos responder seguinte pergunta: quanto tempo o corpo leva
para voltar posio inicial? Para isto fazemos x(t) = 1, isto ,
-3t2 + 4t + 1 = 1 -3t2 + 4t = 0 t (-3t + 4) = 0
de onde tiramos que o corpo est na posio x = 1 nos instantes t = 0 (posio
inicial) t = 4/3 s, que corresponde ao tempo necessrio para a partcula voltar
posio inicial.
-
Movimento unidimensional 29
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Fig. 2.5 - Posio de um corpo como funo do tempo.
A velocidade dada por v(t) = dx/dt = -6t + 4 (cm/s), que est
mostrada na Fig. 2.6. Notamos que: v > 0 para t < 2/3 s, v = 0 para t = 2/3 s
e v < 0 para t > 2/3 s. O grfico da velocidade do corpo corresponde uma
reta com coeficiente angular negativo. O tempo t = 2/3 s define o ponto de
retorno. A acelerao dada por:
2s/cm6dt
dva ==
e no sentido oposto ao da velocidade na fase inicial (t < 2/3 s).
Fig. 2.6 - Velocidade de um corpo como funo do tempo.
0
x(cm)
-2
2
1
1.5 2.0 1.0 0.5
-1
0 2.5 t (s)
0
v (cm/s)
-4
4
2
2/3 1/3
-2
0 1 t (s)
-
Movimento unidimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
30
2.2 Classificao dos movimentos unidimensionais
O movimento unidimensional classificado de acordo com as
variaes da posio, velocidade e acelerao com o decorrer do tempo.
Assim, temos os seguintes tipos de movimentos:
Progressivo: x(t) aumenta com o tempo;
Retrgrado: x(t) diminui com o tempo;
Acelerado: v(t) e a (t) tem o mesmo sentido;
Retardado: v(t) e a(t) tem sentidos opostos.
No exemplo anterior (Exemplo 2), a classificao do movimento : t <
2/3s movimento progressivo e retardado e t > 2/3x movimento
retrgrado e acelerado.
2.3 Determinao de x(t) a partir de v(t) e de
v(t) a partir de a(t)
Como vimos anteriormente, o conhecimento de x(t) permite o clculo
de v(t) atravs de uma derivao e tambm a(t) atravs de outra derivao. O
problema inverso consiste na determinao de x(t) a partir de v(t) ou a(t). Para
isto, temos que realizar uma integrao, pois estamos procurando a funo
cuja derivada conhecida. Assim,
( ) ( ) ( ) +=+= ttt
t00
0 0
dttvxdtdtdxxtx
Conhecendo-se a velocidade do corpo, determinamos sua posio
como funo do tempo atravs de uma integrao simples. Lembre-se que o
que estamos fazendo nada mais do que dividir o intervalo de tempo total em
pequenos intervalos dt nos quais a velocidade considerada constante. O
produto vdt fornece a pequena distncia percorrida (ou deslocamento sofrido)
em dt e a soma deles, que a operao de integrao, fornece o deslocamento
total do corpo. Num grfico de v(t) contra t, o deslocamento do corpo a rea
sob a curva, como mostrado na Fig. 2.7. Note que rea negativa indica
deslocamento no sentido negativo do eixo x.
-
Movimento unidimensional 31
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Fig. 2.7 - Clculo da posio a partir da velocidade de um corpo.
Exemplo 1: A velocidade de um corpo dada por: v(t) = 3t + 4 e
sabemos que para t = 0 ele localiza-se em x0 = 1. Vamos calcular x(t). Assim,
( ) ( ) 1t4tdt4t31tx 2t
0 2
3 ++=++=
Exemplo 2: Dado a(t) = 3t, calcular v(t) e x(t)
( ) 2t
000 tvdtt3vtv
2
3+=+=
Vemos que para conhecer v(t) precisamos saber a velocidade inicial. Para
achar x(t) fazemos:
( ) ( ) ( )22
33
00
t
0
200
t
00
ttvxdttvxdttvxtx ++=++=+=
Deste exemplo podemos concluir que para a determinao de v(t) a
partir de a(t) necessrio o conhecimento do valor inicial v0 da velocidade. A
determinao precisa de x(t) a partir de v(t) implica no conhecimento da
posio x0 inicial. x0 e v0 so denominados de condies iniciais do
movimento.
t
v(t)
t0 t
rea = x(t)
-
Movimento unidimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
32
2.4 Acelerao constante
Este caso envolve um nmero grande de problemas e, assim, devemos
trata-lo em particular. Sendo a acelerao constante, podemos calcular a
velocidade como:
( ) atvdtavdtavtvt
00
t
000 +=+=+=
e o deslocamento atravs de outra integrao:
( ) ( ) ( ) ++=++=+=t
0
20000
t
00 at
1tvxdtatvxdttvxtx2
Podemos eliminar t da primeira equao: ( ) a/vvt 0= e substitu-lo na segunda:
( ) ( ) ( ) ++=2
2
0
0
0
0a
vva
2
1vv
a
vxtx
( ) ( )2
v
2
vvv2vv
2
1vvvxxa
20
2
020
22000 =++=
Logo: ( )0202 xxa2vv += , que conhecida como equao de Torricelli, vlida apenas quando a acelerao constante.
Um caso especial do movimento uniformemente acelerado ocorre para
a = 9.81 m/s2 = g, que corresponde ao movimento vertical de corpos sujeitos
ao campo gravitacional da Terra, prximos superfcie. Neste caso, comum
tratar o deslocamento como altura (h) e adotar o sentido positivo de h como
sendo oposto ao de g.
Exemplo: Uma bola lanada para cima, com velocidade inicial v0
como mostra a Fig. 2.8. Assim, usando a equao de Torricelli temos:
( ) ( ) gh2vhvgh2vhv 20202 ==
Para um determinado h, existem duas solues para v. A positiva
representa o corpo em ascenso e a negativa o corpo est na descendente.
Vemos tambm que o ponto de retorno (v = 0) ocorre para uma altura mxima
-
Movimento unidimensional 33
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
hmax = g2/v20 mostrada na Fig. 2.9. Por outro lado, a dependncia temporal
dada por v(t) = v0 gt e h(t) = gt2
Fig. 2.8 Lanamento vertical de uma bola.
Ao atingir o ponto mximo da trajetria, v = 0 e tmax = v0/g. Logo: hmax
= g2/v20 como obtido anteriormente. Para a obteno do tempo total da
trajetria fazemos h(tf) = 0 0 = t (v0 - gt21 ) que nos d duas solues: ti = 0
(incio do movimento) e tf = 2v02/g que o dobro do tempo gasto para que a
bola atinja hmax.
Fig. 2.9 Dependncia da velocidade com a altura no lanamento vertical.
v(h)
v02
2g
h
+h v0
gr
-
Movimento unidimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
34
Exerccios
1 O maquinista de um trem movendo-se com velocidade v1, v, a uma
distncia d sua frente, um trem cargueiro movendo-se no mesmo sentido
com velocidade v2. Ele aciona os freios, transmitindo ao trem uma
acelerao -a. Mostre que se: d > (v1 - v2)2/2a no haver coliso e se d <
(v1 - v2)2/2a haver coliso.
2 Gotas de gua caem de um chuveiro sobre o piso situado a 2 m abaixo. As
gotas caem em intervalos regulares e quando a primeira atinge o cho, a
quarta est comeando a cair. Determine a posio de todas as gotas no
instante em que uma tinge o cho.
3 A posio de uma partcula que se desloca ao longo do eixo x depende do
tempo de acordo com a equao: x = at2 bt
3, x em cm, t em s.
a) em que ponto x mximo?
b) qual a velocidade e em que instante ela nula?
c) qual a acelerao e em que instante ela nula?
4 Um avio com velocidade v0 aterriza num porta-avies com uma
acelerao negativa tAa = . Qual o comprimento mnimo da pista?
5 Dois corpos localizam-se na origem do eixo x quando t = 0 s. O corpo A
tem velocidade constante de 2 m/s. O corpo B est inicialmente em
repouso mas sujeito a uma acelerao constante de 1 m/s2.
a) represente esquematicamente, num mesmo grfico, as posies dos
corpos A e B como funo do tempo.
b) qual o instante de tempo em que ocorrer a coliso?
c) qual a posio x em que isto ocorrer?
d) qual a velocidade do corpo B no instante da coliso?
e) em que instante de tempo as velocidades dos dois corpos sero iguais?
-
Movimentos bi e tridimensional 35
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
3.1 Introduo
O movimento unidimensional que vimos no captulo anterior um
caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em
duas ou trs dimenses. Se o movimento de um corpo est completamente
restrito a um plano, ele denominado movimento plano ou bidimensional.
Neste caso, a posio especificada atravs de coordenadas polares (r, ) ou
cartesianas (x, y), como indicadas na Fig. 3.1.
22 yxr +=
x = r cos
y = r sen
tg = y/x
Fig. 3.1 Posio de um corpo no plano xy.
Para o caso do movimento no espao (3 dimenses) a posio do
corpo especificada em coordenadas esfricas (r, , ) ou cartesianas(x, y, z),
indicadas na Fig. 3.2.
===
cosrzsensenrycossenrx
x/ytgz/yxtg
zyxr22
222
=+=++=
Fig. 3.2 - Posio de um corpo no espao.
3 MOVIMENTOS BI E
TRIDIMENSIONAL
x
x
y
r
P y
y
y
z
z
r
x x
P
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
36
Para movimentos planos e espaciais, as grandezas cinemticas
( aev,rrrr) no so necessariamente paralelas como acontece no movimento
unidimensional. Desta forma, de importncia fundamental tratar estas
grandezas vetorialmente.
Se no tempo t1 a posio do corpo for descrita pelo vetor posio 1rre
no tempo t2, pelo vetor posio 2rr, podemos dizer que o deslocamento sofrido
pelo corpo dado por 12 rrrrrr
= onde rr
no necessariamente a distncia percorrida pelo corpo. Havendo um deslocamento r
r num intervalo
de tempo t = t2 t1, podemos definir as velocidades mdia ( )mvr
e instantnea
( )vr da forma:
t
rvm
=
rr
dt
rd
t
rlimv 0t
rrr
=
=
Vemos que a velocidade sempre existir quando houver mudanas no
mdulo e/ou direo do vetor posio. A variao temporal de um vetor pode
ser analisada atravs da variao temporal de suas componentes, da forma:
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxvkziyixr ++=++=rr
e isto pode ser feito porque os versores k e j,i no variam com o tempo.
Exemplo: Vamos determinar a velocidade de um corpo cujo vetor
posio dado por: jt3it4r 2 +=r
. Tomando-se as derivadas temporais das
componentes de rr temos:
j3it8dt/rdv +==rr
Vamos usar este exemplo para demonstrar uma relao importante. Podemos
escrever:
-
Movimentos bi e tridimensional 37
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
( ) ( ) ( ) ( ) it4jt3itt8jt3it4jtt3itt4ttr 222 ++++=+++=+r
No caso em que t muito pequeno, (t)2
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
38
consideremos o caso de um barco com velocidade vb atravessando um rio cuja
correnteza tem velocidade vr. O barco percorrer uma trajetria que consiste
em deslocar-se vrt na direo do rio e vbt na direo perpendicular, como
mostra a Fig. 3.3. Assim, jvivv e jtvitvr brbr +=+=r
.
Fig. 3.3 - Movimento de um barco num rio com correnteza.
3.3 Movimento acelerado
Podemos generalizar o que vimos para o movimento unidimensional
escrevendo:
( ) dttvrrt
00 +=
rrr
( ) ( ) dttavtvt
00 +=
rrr
A integrao de vetores pode ser executada componente a
componente, como no caso da derivao. Portanto,
( )dttvrrt
0z
0zz +=
e assim por diante. No caso da acelerao ser constante temos:
tavv 0rrr
+= e 200 tatvrr2
1 rrrr ++=
i vr
vr t
vb t
j
-
Movimentos bi e tridimensional 39
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Podemos analisar este movimento atravs do sistema de equaes:
Para a velocidade: Para a posio:
tavv
tavv
tavv
z0zz
y0yy
x0xx
+=
+=
+=
2z2
10z
0zz
2y2
10y
oyy
2x2
10x
0xx
tatvrr
tatvrr
tatvrr
++=
++=
++=
Vamos em seguida ver alguns exemplos de movimento acelerado.
a) Lanamento de projtil
Um caso importante de movimento plano aquele onde temos:
jga =r
(com g = 9.8 m/s2) que corresponde ao movimento de um corpo
atirado de maneira arbitrria. Neste caso, o movimento ser acelerado na
direo y e no acelerado nas demais. Vamos imaginar a situao em que o
corpo lanado obliquamente de maneira a formar um ngulo com a
superfcie, como mostrado na Fig. 3.4
==
senvvcosvv
00y
00x
Fig. 3.4 Lanamento oblquo de um projtil.
Tomando-se o eixo x paralelo superfcie e o eixo y na vertical, a
velocidade inicial v0 pode ser decomposta em cosvv 00x = e = senvv 0oy . Na direo x no existe acelerao, porm na direo y
temos ay = -g de modo que:
( )( )
+=+=
==
tcosvxtvxtx
cosvvtv
000x0
00xx
v0
y
x
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
40
( )
+=
==2
210
y0
o0yy
tgtvyty
tgsenvtgv)t(v
Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equaes ( )( )0x0 v/xxt = e substituindo no segundo obtemos:
( ) 20x
0
0x
00y0 v
xxg
vxx
vyy2
1
+=
que representa uma trajetria parablica como indicada na Fig. 3.5. A altura
mxima pode ser calculada tomando-se dy/dx = 0. Assim,
( )g
vvxx0
v
xxg
v
v 0x0y
0max0x
00x
0y
2 +==
e substituindo em y(t) tiramos:
( )g
vyy
20y
0max2
1+=
Fig. 3.5 - Movimento parablico decorrente do lanamento oblquo.
Vamos tomar x0 = y0 = 0 e calcular qual o alcance do projtil ao
longo do eixo x. Para isto fazemos y = 0 e assim obtemos:
( )20x
2
0x
0y
v
RgR
v
v0
2
1=
0vr
ymax
xmax x0 R
x
y
y0
0
-
Movimentos bi e tridimensional 41
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
Descartando a soluo R = 0, que corresponde ao incio do movimento, temos R = g/vv2 0x0y , e usando-se == cosvv e senvv 00x00y obtemos:
( )g
2senvR
20 =
de onde conclumos que o ngulo que apresenta o maior alcance = 45o
b) Movimento circular
Este deslocamento caracterizado pelo fato de que o mdulo do
deslocamento permanece constante. Assim, imaginamos o raio vetor que
descreve o movimento entre t e t + t. O ngulo varrido pelo raio vetor
durante o intervalo de tempo t permite o clculo da velocidade angular como
ilustrado na Fig. 3.6.
tlim
dt
d0t
=
=
Fig. 3.6 Movimento circular.
Quando constante, temos ==t
0tdt e assim podemos
escrever: x = r cost e y = r sent, ou em notao vetorial:
rjtsenritcosrdtvda
jtcosritsenrdtrdv
jtrsenitcosrr
222 rr
r
rr
r
===
+==
+=
t
t+t
x
y
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
42
que sempre oposta a direo radial. Portanto, r/vraa 22 ===r
visto
que = rvr
e esta acelerao conhecida como centrpeta por estar
dirigida ao ponto central do movimento e uma caracterstica importante do
movimento circular uniforme.
c) Movimento ciclide
o movimento de um ponto da borda de um disco rodando, conforme
mostra a Fig. 3.7. Considerando um sistema de eixos no qual x paralelo ao
cho, temos a combinao de um movimento translacional uniforme com um
movimento circular uniforme. Para o movimento translacional, xt = x0 + vxt e,
para o movimento circular, x0 = r cost e y0 = r sent.
Fig. 3.7 - Movimento ciclide.
Desta forma,
tsenryy
tcosrtvxx
0
x0
+=
++=
Ao utilizarmos a notao vetorial e fazendo x0 = y0 = 0,
( ) jtsenritcosrtvr x ++=r
r
x
-
Movimentos bi e tridimensional 43
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
( )
c222
x
rjtsenritcosrdtvda
jtcosritsenrvdtrdv
rr
r
rr
===
+==
Exemplo: Considere um disco descendo um plano inclinado,
formando um ngulo com a horizontal, como mostrado na Fig. 3.8. Vamos
determinar x(t) e y(t) de um ponto localizado na borda do disco. Escolhendo o
eixo x da maneira indicada na figura, temos ax = g sen e ay = 0. Ento, x = xt
+ xc, y = yt + yc ++= cosrtseng2
1tvx 20x e += senrtvy
0y ,
onde t (movimento acelerado) o ngulo que o disco rodou.
Fig. 3.8 Disco descendo um plano inclinado
3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares
Vamos considerar um movimento circular no qual o corpo percorre
um comprimento de arco s, que est associado a um ngulo de acordo com: s
= r, sendo r o raio da trajetria. A velocidade tangencial :
=
== rdt
dr
dt
dsv
r P
x
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
44
Para representar vr, vamos introduzir os versores r e , que so
adequados para se trabalhar com coordenadas polares. O versor r tem a mesma direo e sentido do vetor posio r
r. O versor perpendicular a r
r
e tangente ao crculo, apontando para a direo em que e s crescem como
indica a Fig. 3.9. Desta forma, podemos escrever rr e v
r em coordenadas
polares da seguinte maneira:
==
=
dtdrvv
rrr
r
r
Fig. 3.9 Movimento plano descrito por coordenadas polares.
Devemos notar que r e so versores que variam com o tempo. Para encontrar esta variao em termos dos versores i e j que so fixos vemos
que jsenicosr += e jcosisen += . Desta forma,
( )
( ) rdtdjsenicos
dtd
dt
d
dtdjcosisen
dtdjcos
dtdisen
dtd
dtrd
=+=
=+=+=
Uma vez que conhecemos a maneira pela qual r e variam com o tempo, podemos encontrar v
r e a
r a partir de r
r .
i
y
x
r
rr
j
-
Movimentos bi e tridimensional 45
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
rdt
dr
dt
d
dt
dr
dt
vda
dt
dr
dt
rdr
dt
rdv
rrr
2
=
==
===
=
rr
rr
r
onde foi suposto que = d/dt constante. Como d/dt = v/r, temos ( ) rrrr/va 22 ==r , que a acelerao centrpeta no movimento circular
uniforme.
Se o movimento for uniformemente acelerado, isto , se d/dt = =
constante, a expresso para a acelerao se modifica. Tomando a derivada de
= rvr
temos:
rrrdt
ddtdra 2=
+=r
de onde vemos que alm da acelerao centrpeta surge uma acelerao
tangencial dada por r .
A descrio de um movimento retilneo atravs de coordenadas
polares feita baseando-se na Fig. 3.10. Podemos relacionar vr e v da
seguinte forma:
vx = vr cos - v sen
vy = vr cos + v sen
ou
vr = vx cos + vy sen
v = -vx sen + vy cos
Fig. 3.10 Descrio de um movimento retilneo atravs de coordenadas polares.
y
x
r
rr v
r
vy
vx
vr v
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
46
Para o caso que estamos tratando, vx = v e vy = 0. Portanto, vr = v
cos e v = v sen, ou seja:
= senvrcosvvr
Exerccios
1 Considere um cilindro de raio R rolando sem deslizar num plano
horizontal. O centro de massa do cilindro possui acelerao a. Qual a
acelerao angular do cilindro? Qual o ngulo que o cilindro roda
como funo do tempo?
2 Dois corpos A e B esto em movimentos circular uniformes de trajetrias
concntricas com raios ra e rb e velocidades angulares a e b. Determine
a velocidade relativa entre os dois corpos.
3 Determinar a acelerao de um corpo que desliza pela rosca de um
parafuso com passo h e raio R. Despreze o atrito e considere que o corpo
partiu do repouso.
4 necessrio lanar da terra uma bola por cima de uma parede de altura H
que se encontra a uma distncia S (Fig. 3.11). Qual a menor velocidade
inicial com que a bola pode ser lanada?
Fig. 3.11 Lanamento de projtil sobre uma parede de altura H.
0vr
H
S
-
Movimentos bi e tridimensional 47
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
5 Uma bala disparada de um canho com velocidade v0. Determine a
regio geomtrica onde a bala certamente no cair.
6 Um plano inclinado forma um ngulo com o plano xy, conforme mostra
a Fig. 3.12. Um corpo lanado com velocidade v0, formando um ngulo
com o eixo y. Desprezando o atrito calcule: xmax, zmax e o tempo que o
projtil demora para retornar ao eixo y.
7 Uma pedra lanada com velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo-se que ela
ficou 2 s no ar, calcule:
a) o ngulo de lanamento (com a horizontal)
b) a altura mxima atingida
c) o alcance
d) outro ngulo de lanamento para o qual a pedra ter o mesmo alcance.
(Neste caso o tempo ser diferente de 2 s).
Fig. 3.12 Lanamento oblquo num plano inclinado.
8 Um corpo translada com velocidade v = 5 m/s sobre um plano horizontal
sem atrito. Subitamente ele encontra pela frente um plano inclinado
(tambm sem atrito) de ngulo = 300 e altura H = 0,8 m, conforme
mostra a Fig. 3.13. Tomando-se g = 10 m/s, pergunta-se:
a) a que distncia d do final do plano inclinado o corpo cair?
b) qual a altura mxima que o corpo atingir?
0vr
y
x
z
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
48
Fig. 3.13 - Lanamento oblquo de um corpo por meio de uma rampa.
9 Um pequeno corpo lanado da origem com velocidade v0 = 100/ 3 m/s formando um ngulo = 600 com a horizontal. Outro corpo lanado 1
segundo depois, com a mesma velocidade v0, porm na horizontal e de
uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Suponha que haja uma coliso
entre os dois corpos e que g = 10 m/s2.
a) Em que instante de tempo ocorre a coliso?
b) Qual deve ser o valor de H para que a coliso ocorra?
c) Quais as coordenadas x e y da coliso?
3.10 Um pequeno corpo lanado da origem com velocidade v0 segundo um
ngulo com a horizontal. Outro corpo lanado com a mesma
velocidade v0, porm na horizontal e de uma altura H, como mostra a
Fig. 3.14. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo
ponto no eixo Ox?
Fig. 3.14 - Lanamento de dois corpos.
x
H
ymax
d
vr
v0
H v0
O x
-
Movimentos bi e tridimensional 49
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
3.11 - Mostre que o movimento de um projtil lanado com v0 e descrito
pela parbola: y xv
g
g x
v
v
gy
x
y( ) =
02
0
0
2
2 2, com v0x = v0 cos e v0y = v0
sen. b) Encontre o ngulo que a trajetria faz com a horizontal para qualquer x (tg = dy/dx), c) Encontre xmax correspondente ao topo da trajetria (tg = 0). d) Encontre o alcance R, fazendo = pi
-
Movimentos bi e tridimensional
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas
50
-
As leis de Newwton
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
49
4.1 Introduo
At o momento estudamos vrios tipos de movimento sem no entanto
nos preocuparmos com suas causas. J sabamos intuitivamente que para se
modificar o movimento de um corpo necessria a ao de um agente
externo. De fato, na ausncia completa de ao externa, o corpo permanece
num estado de movimento constante. A maneira pela qual o agente externo
age sobre o corpo atravs da atuao de uma fora. Portanto, a fora nada
mais do que a quantificao da ao de um corpo sobre outro.
A fora pode ser definida como uma grandeza fsica capaz de alterar o
estado de movimento de um corpo ou a forma deste corpo. O estado de
movimento de um corpo caracterizado pelo seu momentum linear, que
definido como:
vmprr
=
de forma que a existncia de uma fora produz alteraes em pr
.
O comportamento de um corpo quando sujeito a foras externas
regido pelas leis de Newton, expressas como:
Lei I - Todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilneo
uniforme, a menos que seja obrigado a modificar seu estado de movimento
pela ao de foras externas.
Lei II - A modificao do movimento proporcional fora atuante, ou
seja, dt/pdFrr
= . Lei III - A toda ao corresponde uma reao igual e oposta ou, as aes
mtuas de dois corpos so sempre dirigidas em sentidos opostos.
4 AS LEIS DE
NEWTON
-
As leis de Newwton
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
50
A primeira lei estabelece justamente o que havamos dito
anteriormente, isto , para modificarmos pr (grandeza que quantifica o estado
de movimento do corpo) necessrio um agente externo exercendo uma fora
sobre o corpo. Suponha por exemplo, um cometa movendo-se em movimento
retilneo uniforme. Ele continuar neste estado at chegar nas proximidades de
um planeta, que atravs da fora gravitacional, modificar seu estado de
movimento fazendo com que o momentum pr mude em mdulo e direo. Esta
idia que acabamos de apresentar, embora bastante lgica, no o era na poca
de Galileu, pois se acreditava que para manter um corpo em movimento
retilneo uniforme era necessria a ao de agentes externos. O nico estado
natural e espontneo para um corpo era o repouso!
A fora tambm necessria para alterar a forma de um corpo.
Durante a deformao as partculas deste corpo so aceleradas at atingirem
uma nova situao de equilbrio. O equilbrio de um corpo pode ser de tipos
diferentes. Inicialmente, um corpo s estar em equilbrio quando a resultante
das foras agindo sobre ele for nula. O equilbrio dito estvel quando uma
pequena perturbao tira o sistema de equilbrio, mas a vizinhana do corpo
age de forma a restaurar o equilbrio. O equilbrio dito instvel quando uma
pequena perturbao tira o sistema do equilbrio e a vizinhana age no sentido
de amplificar este efeito.
Vamos considerar que a quantidade de matria num determinado
corpo no se modifica. Neste caso, a ao de uma ou mais foras leva a uma
acelerao:
amdt/vdmFrrr
==
e a constante de proporcionalidade entre fora e acelerao denominada
massa do corpo. A unidade de massa Kg (SI) ou g (CGS) enquanto que a da
acelerao m/s2 (MKS) ou cm/s2 (CGS). Portanto, a unidade de fora
definida como: [F] = 1 N = 1 Kg.m/s2 no Sistema Internacional (SI) ou [F] = 1
dyn = 1 g.cm/s2 no sistema CGS, sendo portanto, 1 dyn = 10-5 N.
-
As leis de Newwton
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
51
Quando a massa de um corpo varia, como por exemplo, durante a
exausto de combustvel num foguete, a forma mais geral da segunda lei de
Newton fica:
( )dt
dmv
dt
vdmvm
dt
d
dt
pdF
rr
rr
r+===
A expresso vmprr
= para o momentum de um corpo vlida quando este tem velocidade bem menor que a velocidade da luz, c, que de
aproximadamente 300.000 km/s. Para velocidades altas (v c),
v)v(mvc/v1
mp
22
0 rrr =
=
onde m0 chamado de massa de repouso e m(v) varia de uma maneira que
corpo torna-se cada vez mais pesado quanto mais se aumenta sua velocidade.
Porm, se v/c
-
As leis de Newwton
S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas
52
pra-brisa enquanto que no segundo, a tendncia sair pela tangente curva.
Este tipo de comportamento est relacionado com a inrcia do passageiro.
Das trs leis de Newton, a 3a aquela que sem dvida exige um maior
esclarecimento. Ela descreve uma propriedade importante das foras: sua
ocorrncia em pares, isto , toda ao corresponde uma reao de mesma
intensidade, porm de sentido oposto. Um fato importante a ser observado
que ao e reao no se cancelam (ou se equilibram) porque agem em corpos
diferentes. Um exemplo disto o de um corpo sobre uma mesa como ilustrado
na Fig. 4.1. O corpo exerce uma fora 'Nr
sobre a mesa e esta responde
exercendo sobre o corpo uma fora '.NNrr= N
r e 'N
r constituem um par
ao-reao. A Terra exerce sobre o corpo a fora peso wr
para a qual existe
uma reao 'wr
exercida do corpo sobre a Terra. wr
e 'wr
' constituem outro
par ao-reao porm wr
e Nr
no constituem par ao-reao. Devido ao
fato do corpo estar em equilbrio, pela 2a Lei de Newton, 0a =r
e portanto
= 0Frr
. Logo:
Nw0Nwrrrr==+
Quando dois corpos isolados constituem um sistema, as nicas foras
existentes so as que constituem o par ao-reao. Neste caso, olhando para o
sistema como um todo, vemos que:
Fig. 4.1 - Foras agindo num corpo sobre uma mesa.
Nr
Nr
'wr
wr
corpo
m
top related