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Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
TEORIA
DE
ERROS
FÍSICA EXPERIMENTAL III
“ A Ciência está escrita nestegrande livro colocado semprediante dos nossos olhos – oUniverso – mas não podemos lê-losem aprender a linguagem eentender os símbolos em termosdos quais está escrito. Este livroestá escrito na linguagemmatemática ” – Galileu Galilei
José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville
1. Introdução – O Método Científico
2. Algarismos Significativos
3. Precisão do Instrumento de Medida
4. Prefixos do SI e Notação Científica
5. Critérios de Arredondamento
6. Operações com Algarismos Significativos
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. Teoria de Erros
8. Propagação de Erros
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
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Definir e/ou indentificar o problema
Formar uma hipótese
Fazer observações (Medidas
de grandezas físicas)Testar hipótese/Fazer experimentos
Organizar e analisar dados
(Tratamento de Dados)
Os experimentos e observações
suportam a hipótese?
Sim!
Fazer conclusõesPublicar resultados
NãoErro nos experimentos?
Novos experimentos
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO
O Método Científico
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A person with a
watch knows what
time it is.
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
Filosofia básica no laboratório
1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO
A person with two
watches is never
sure.
1. Introdução – O Método Científico
2. Algarismos Significativos
3. Precisão do Instrumento de Medida
4. Prefixos do SI e Notação Científica
5. Critérios de Arredondamento
6. Operações com Algarismos Significativos
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. Teoria de Erros
8. Propagação de Erros
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. TEORIA DOS ERROS
Definições
Neste sentido, os erros podem ser divididos em trêstipos:
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
Como vimos, todas as medidas que realizamos trazemconsigo um erro associado ou ao instrumento de medida ouao processo de medição, ou a ambos.
a) erros sistemáticos;
b) erros aleatórios;
c) erros de escala.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. TEORIA DOS ERROS
Definições
Erro sistemático ( ∆∆∆∆xSIS): ocorrem quando todos osvalores medidos são muito maiores ou muito menores doque o valor real esperado.
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
Erro aleatório ( ∆∆∆∆xALE): quando da ausência de errossistemáticos, ocorrem quando alguns dos valores medidossão muito maiores e outros muito menores do que o valorreal esperado.
Erro de escala ( ∆∆∆∆xESC): ocorrem sempre, e estãoassociados aos instrumentos de medida utilizados noprocesso de medição.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. TEORIA DOS ERROS
Como minimizar os diferentes tipos de erros
Em relação ao erro sistemático ( ∆∆∆∆xSIS), a únicaalternativa para resolver a sua existência é refazer asmedidas experimentais já realizadas.
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
Já em relação ao erro aleatório ( ∆∆∆∆xALE), estes devem sertratados com técnicas estatísticas.
Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticascondições, calcular a média e os respectivos desvios destasmedidas.
Por fim, o erro de escala ( ∆∆∆∆xESC) é inerente ao processode medição e, portanto sempre devem ser considerados.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
ESCALEMAX xxx ∆+∆=∆
Como expressar o erro
7. TEORIA DOS ERROS
Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deveconter o valor do erro associado a ela.
G = [M(G) ± ∆M)] UG ⇒ Grandeza
M ⇒ Medida
ΔM ⇒ Erro da
medida
U ⇒ Unidade
Como os erros sistemáticos implicam na repetição doprocesso de medida, a expressão do erro de uma medidadeve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala.
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∑=
⋅=N
iix
Nx
1
1
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Como minimizar o erro aleatório: o valor médioUma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N
vezes o procedimento de medição.
Quando isto é feito o resultado da medida é apresentadoem termos do valor mais provável (valor médio ) e dosdesvios (desvio médio e desvio padrão ).
Definimos então o valor mais provável de uma grandeza(valor médio ) como a média aritmética de N medidasrealizadas com a mesma confiabilidade.
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xxx ii −=∆
Desvio de uma medida é a diferença entre o valor obtidona i-ésima medida e o valor mais provável da grandeza.
Por sua vez, desvio absoluto de uma medida é o módulodo seu desvio .
xxx ii −=∆
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
DesviosA partir da definição de valor médio , definimos os
conceitos de desvio de uma medida e desvio absoluto .
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Desvio médio de uma medida é a média aritmética dosdesvios absolutos .
Com a definição de desvio médio indicamos que oresultado de N medidas de mesma confiabilidade é expressona forma
∑=
∆⋅=∆N
iix
Nx
1
1
xxx ∆±=
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Desvio médio
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O desvio padrão de uma medida fornece uma idéia dadispersão das medidas em torno do seu valor médio .
O resultado de N medidas de mesma confiabilidadetambém pode ser expresso na forma
( )∑=
∆⋅−
=N
iix x
N 1
2
1
1σ
xxx σ±=
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Desvio padrão
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( ) xALEx σ=∆
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Desvio padrão e erro aleatório
Como vimos, tanto o desvio médio como o desviopadrão de uma medida são obtidos a partir de uma análiseestatística sobre os dados obtidos a partir de N medidas demesma confiabilidade.
Desta forma, estes desvios podem ser associados aoerro aleatório, já definido anteriormente.
Como o desvio padrão está associado à dispersão dosvalores obtidos, damos preferência a ele como expressão doerro aleatório.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Exemplo
Considere que a medição do comprimento L de objetosidênticos, realizada com o auxílio de uma réguacentimetrada, forneceu as seguintes leituras mostradas natabela abaixo.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Cálculo com a ajuda de planilha
Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmenteconseguimos determinar:
a) o valor médio do comprimento do objeto;
b) os desvios de cada medida em relação ao valormédio;
c) os desvios absolutos de cada medida em relação aovalor médio;
d) o desvio médio destas medidas;
e) o desvio padrão destas medidas.
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Cálculo com a ajuda de planilha
Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmenteconseguimos determinar:
cmL 3,0=σ
cmL 2,0=∆
cmL 0,241=
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Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partirda equação abaixo.
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Erro percentual
É frequente no laboratório realizarmos medidas degrandezas das quais existe um valor de referência, um valoresperado
Para o cálculo de E% usamos as regras dearredondamento definidas anteriormente.
100% ⋅−
=REF
REFMED
x
xxE
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MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Erro relativo
Por sua vez, como todas as medidas são obtidas comseus respectivos erros, é interessante determinar qual opeso deste erro frente ao valor expresso da medida.
Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equaçãoabaixo.
( )100% ⋅∆=
MED
MED
x
xER
Para o cálculo de ER% usamos as regras dearredondamento definidas anteriormente.
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Num dado experimento, medimos a aceleração dagravidade e obtemos
( ) 2/05,089,9 smg ±=
10081,9
08,0100
81,9
81,989,9% ⋅=⋅
−=E
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Exemplo: cálculo do erro percentual
Queremos determinar o erro percentual e o erro relativodesta medida.
%8% =E
Para determinar o valor do erro percentual, usamos ovalor medido para g (9,89 m/s2) e o valor de referência para g(9,81 m/s2)
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Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor de gobtido no processo de medida ( 9,89 m/s2), além do erroobtido no mesmo processo ( 0,05 m/s2).
( ) 2/05,089,9 smg ±=
%5,0% =E%510089,9
05,0% =⋅=ER
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
Exemplo: cálculo do erro relativo
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HIPÓTESES:
a) Não existem erros sistemáticos.
b) Façamos apenas uma medida (N = 1).
Neste caso, levamos em conta apenas erros de escala, os quais são
inerentes ao processo de medida e sempre devem ser considerados.
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
7. TEORIA DOS ERROS
1. Introdução – O Método Científico
2. Algarismos Significativos
3. Precisão do Instrumento de Medida
4. Prefixos do SI e Notação Científica
5. Critérios de Arredondamento
6. Operações com Algarismos Significativos
MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
7. Teoria de Erros
8. Propagação de Erros
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
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MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Cálculo de erros em medidas indiretas
Como já vimos, medidas indiretas são obtidasefetuando-se operações matemáticas a partir de medidasobtidas diretamente do experimento.
Geralmente a grandeza física de interesse ( medidaindireta ) está relacionada matematicamente com outrasgrandezas físicas ( medidas diretas ).
Isto significa que existe uma fórmula relacionando agrandeza associada à medida direta com as grandezasassociadas às medidas indiretas .
( )nxxxYY ,..., 21= Y ⇒ Grandeza associada
à medida indireta
xi⇒ Grandezas associadas à
medidas diretas
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nn
xx
Yx
x
Yx
x
YY ∆⋅
∂∂++∆⋅
∂∂+∆⋅
∂∂=∆ ...2
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1
Na fórmula acima ∆∆∆∆x1, ∆∆∆∆x2,...∆∆∆∆xn são os erros relativos acada medida direta x i.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos
8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Erros como diferenciais
O erro associado à medida indireta Y (∆∆∆∆Y) é calculado apartir da diferencial da função Y(x1,x2,…xn).
Em outras palavras, tratamos o erro como sendoequivalente a diferencial de uma função matemáticaconhecida de múltiplas ( n) variáveis.
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Em um experimento de eletricidade medimosdiretamente as grandezas diferença de potencial elétrica (V)entre os terminais de um resistor e corrente elétrica (I) queflui através dele, cada uma delas com seu respectivo erroexperimental.
Sabemos que a potência elétrica dissipada nesteresistor ( P) e a resistência elétrica do resistor ( R) são dadasrespectivamente por
( ) IVIVP ⋅=, ( )I
VIVR =,
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos
8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo
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Conhecidos os valores de V e ∆∆∆∆V e de I e ∆∆∆∆I, comocalcular os erros da potência elétrica ∆∆∆∆P e da resistênciaelétrica ∆∆∆∆R?
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos
8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplos
Usamos o conceito de propagação de erros eencontramos
∆+∆⋅=∆⋅+∆⋅=∆I
I
V
VPIVVIP
∆+∆⋅=∆⋅+∆⋅=∆I
I
V
VRI
I
VV
IR
2
1
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Vejamos como calcular estes erros associados com aajuda de uma planilha de cálculo.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos
8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS
Exemplo numérico com ajuda de planilha de cálculo
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Operação com Algarismos significativos
Consulte na sua apostila:
Pratique resolvendo exercícios!
I.6.e. Outras Operações Matemáticas.
Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos
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