fonctions partie 1 - exercices...
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Fonctions partie 1 - exercices corrigés
3.2. Exercices de base
3.2.1. Calculs de limites
1. x doit être positif et non nul : ] [0 ;x ∈ + ∞ . 2. a. f semble tendre vers 0.
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
( )f x 2 0,348 0,101 0,031 0,01 0,003
b. La courbe de f se rapproche de 0 quand x se rapproche de 0 (en restant supérieur à 0).
3.
Données a, f, e
Variables x, p
Calcul p ← 1, x ← a+p Tant que abs(x – a)>e faire
Calculer et afficher f(x) ;
p ← p/10 ; x ← a+p ;
fin tant que.
Sortie …
-
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4.
fonction valeur de a limite confirmation graphique
( )2
2 2
1
xf x
x
+=−
1, 1a a= > −∞
1, 1a a= > +∞
1, 1a a= − < − 1
1, 1a a= − > − 1
( )21 2
2 2
xf x
x
−=−
2
2a = 0,707…, soit 2
2.
( ) sin xf xx
=
0, 0a a= > 1
0, 0a a= < 1
-
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3.2.2. Lecture graphique
n ( )( )A ;n n n na f a ( )n nf a′ Tangente en An 0 (–2 ; 0) 1 2y x= +
1 ( )1 ;1,5− 5 ( )5 1 1,5 5 6,5y x x= + + = +
2 ( )0 ; 0,5 –1 ( )1 0 0,5 0,5y x x= − − + = − +
3 ( )1 ; 2 –2 ( )2 1 2 2 4y x x= − − + = − +
4 ( )2 ; 3,5 0,5 ( )0,5 2 3,5 0,5 2,5y x x= − + = +
5 ( )3 ; 0,75 0,3 ( )0,3 3 0,75 0,3 0,15y x x= − + = −
3.2.3. Calcul du nombre dérivé
Fonction Nombre dérivé (calculatrice)
Nombre dérivé
(direct) Tangente
( ) 201
2f x x x= +
a0=–2
–3,5 ( ) ( )
( )0 0
2
2 7lim
2 2x
f x f
x→−
− −= −
− − ( )7 2 3
2y x
−= + +
( ) 21 2 1f x x x= − + + a1=0
1 1y x= +
( ) 32 2f x x x= + a2=1
5 5 2y x= −
( )32
1f x
x=
−
a3=2
–2 2 6y x= − +
( )41
f x xx
= +
a4=–1
–2 2 2y x= − −
3.2.4. QCM justifié
f définie sur l’intervalle ] [1 ;− + ∞ par ( ) 121
f xx
= −+
.
1. On a :
-
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( )1
lim 1x
f x→−
= − ( )1
lim 2x
f x→−
= ( )1
limx
f x→−
= −∞
Quand x tend vers –1, x+1 tend vers 0 en étant positif (f est définie sur ] [1 ;− + ∞ ), –1/(x+1) devient très gros en négatif, donc réponse C.
2. La fonction dérivée de f est :
( )( )2
1'
1f x
x= −
+ ( )
( )21
' 21
f xx
= ++
( )( )2
1'
1f x
x=
+
La dérivée de 2 est 0, celle de 1/(x+1) est ( )2
1
1x
−
+ donc réponse C.
3. La courbe C admet une tangente au point d’abscisse x = 0 d’équation :
11
2y x= + 3 1y x= + 1y x= +
( ) ( ) ( ) ( )' 0 0 0 1 0 1 1y f x f x x= − + = − + = + .
4. Le signe de ( )f x′ sur l’intervalle ] [1 ;− + ∞ est :
positif négatif positif avant 0, négatif après 0
Réponse A…évident.
5. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 est :
3/2 1/4 –1/2
( )( )2
1 1' 1
41 1f = =
+, réponse B.
6. Pour tout réel x de l’intervalle ] [1 ;− + ∞ , ( )f x peut s’écrire :
( ) 2 11
xf x
x
+=+
( ) 21
xf x
x=
+ ( ) 1
1f x
x=
+
Mise au même dénominateur : ( ) ( )2 1 11 2 121 1 1
x xf x
x x x
+ − += − = =+ + +
, réponse A.
7. La position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation 2y = est :
-
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Au-dessus avant 0, en dessous après 0
Au-dessus En dessous
Signe de ( ) 121
f xx
− = −+
: x+1 est positif sur ] [1 ;− + ∞ donc ( ) 2f x − est négatif, C est en dessous de D, réponse C.
8. La courbe C a une tangente parallèle à la droite 4y x= au point d’abscisse :
–1/2 1/2 1
La courbe C a une tangente parallèle à la droite 4y x= si on trouve x tel que ( )' 4f x = (égalité des
coefficients directeurs) : on résoud ( )
( )22
1 1 1 1 34 1 1 ou
4 2 2 21x x x
x
−= ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = −+
. Seul la
première solution convient sur ] [1 ;− + ∞ , réponse A.
9. La courbe C et la droite D’ d’équation 2 3 2 0x y− − = sont :
Sécantes au point x=–1/2 Sécantes aux points
x=4 et x=–2/3
Sécantes aux points solutions de 22 6 5 0x x− − =
(Regarder sur la calculette ou Geogebra…)
On réécrit D’ sous la forme 2 2
3 3y x= − et on résoud :
( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 6 5 03 3 1 3
x xf x x x x x x x
x
+ −= − ⇔ = ⇔ + = − + ⇔ − − =+
. Réponse C.
10. Pour tout x de ] [1 ;− + ∞ , on a ( )f x =
2
2
2 3 2
2
x x
x x
− −− −
( )
2
2
2 3 1
1
x x
x
+ +
+
1
1 2
x
x+
+
Tester les différentes formes à la machine pour voir que c’est B : ( )
( ) ( )( )
2
2 2
1 2 12 3 1 2 1
11 1
x xx x x
xx x
+ ++ + += =++ +
.
3.2.5. Lecture graphique et interprétation
La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur I = ]1 ; + ∞ [.
1. a. f(2) = 8, f(3)= 1, f(9) = 1.
1. b. f(x) = 0 lorsque x = 3,5 ou x = 7,5 environ.
c. f est positive sur [1 ; 3,5] [7,5 ; [∪ + ∞ f est positive, sur [3,5 ; 7,5] f est négative.
-
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2. a. f’(5) vaut 0 car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale.
b. (T) passe par (1 ; 7) et par (3 ; 1) d’où l’équation 3 10y x= − + . Comme (T) est tangente à la courbe au point (3 ; 1), on a '(3) 3f = − , coefficient directeur de (T).
c.
3. a. 2
( )( 1)
cf x a
x′ = −
− .
b. et c. f(2)=8 donc 2 8a b c+ + = , f(9) = 1 donc 9 18
ca b+ + = , '(5) 0f = donc 0
16
ca − = .
c.
2 8 18 8 18 8 1
72 8 8 88 8 8 11 1 10.
16 0 16 16 16
a b c a b a b a
a b c a b a b b
a c a c a c c
+ + = + = + = = + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − − = = = =
4. 16
( ) 101
f x xx
= − +−
.
a. y = x – 10.
b. Comme x > 1, 16
01x
>−
donc C est au-dessus de D.
5. ( )
( )( )
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
1 4 5 316'( ) 1
1 1 1
x x xf x
x x x
− − − += − = =
− − − est du signe de 5x − …
6. a. 2
16 16'( ) 1 '(2) 1 15
1( 1)f x f
x= − ⇒ = − = −
− et (2) 8 16 8f = − + = : la tangente a pour équation
15( 2) 8 15 38y x x= − − + = − + .
b. ( ) ( ) ( )22 216 1 4 4
15 38 16 48 16 3 16 161 1 1 1
xx xf x x x x
x x x x
− − + − − + = − + = − + = = − − − − qui est positif
sur I donc C au-dessus de T’.
x
f
0
+∞
f’
+∞
1
−
+∞
5
+
−1
-
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7. 2( 10)( 1) 16 11 26
( )1 1
x x x xf x
x x
− − + − += =− −
; 121 104 17∆ = − = , 111 17
3,52
x−= ≈ et
111 17
7,52
x+= ≈ . Négatif entre x1 et x2…
3.2.6. Fonction et dérivée
Partie A
1. C1 est la courbe de f, C2 celle de f’ : lorsque C2 est positive C1 est croissante, et lorsque C2 est négative C1 est décroissante.
2. a.
( )( )( )
1 0 0
3 0 9 3 0
1 4 4
p a b c
p a b c
p a b c
− = ⇔ − + =
= ⇔ + + = = − ⇔ + + = −
, soit :
2
12 4 0 3 3
2 1 1
b a c b a c b
a c c a c
a c a a
= + = + = − + = ⇔ = − ⇔ = − + = − = =
; ( ) 2 2 3p x x x= − − .
b. Comme on a ( ) ( ) 2' 2 3f x p x x x= = − − , en « revenant en arrière » on trouve ( ) 3 21 33
f x x x x C= − − +
où C est une constante inconnue (la dérivée de C est 0).
c. ( ) ( )3 2 3 21 10 0 0 3 0 2 3 23 3
f C C f x x x x= − − × + = = ⇒ = − − + .
3.2.8. Second degré et translations
1. ( )22( ) 2 3 1 4f x x x x= − − = − − . La courbe fC représentative de f est donc l’image de la parabole P d’équation 2y x= par la translation de vecteur 4u i j= −
�� � �.
2. ( )221 1( ) 2 3 2 52 2
g x x x x= − − + = − + + . La courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole
'P d’équation 21
2y x= − par la translation de vecteur 2 5v i j= − +
� � �.
3. Tracé des deux paraboles fC et Γ .
4. Les coordonnées ( );x y des points d’intersection de fC et Γ vérifient : 2
2
2 3
12 3
2
y x x
y x x
= − −
= − − +
.
2 2 22
2 2 2 2
2 3 2 3 2 32 3
1 1 322 3 2 3 2 3 6 0
2 2 2
y x x y x x y x xy x x
xy x x x x x x x
= − − = − − = − − = − − ⇔ ⇔ ⇔ = ±= − − + − − = − − + − =
.
Les coordonnées des points d’intersection de fC et Γ sont donc ( )2; 3− et ( )2;5− .
5. ( )2 2 21 3( ) ( ) 2 3 2 3 62 2
f x g x x x x x x − = − − − − − + = −
.
-
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23 62
x − est un trinôme du 2° positif à l’extérieur de ses racines –2 et 2.
Sur ] [; 2− ∞ − et sur ] [2 ;+ ∞ , ( ) ( )f x g x> et la courbe fC est donc au-dessus de la courbe Γ . Sur ] [2 ;2− , ( ) ( )f x g x< et la courbe Γ est donc au-dessus de la courbe fC . 3.2.9. Drame familial
1. a. '( ) 10 10 0 1f t t t= − + ≥ ⇔ ≤ . Les limites sont celle de 25t− , soit −∞ .
t 1
( )'f t + 0 −
f
5
2. a. 2 2( ) 5 10 3,75 2 0,75 0f t t t t t= − + = ⇔ − + = , 0,5t = ou 1,5t = .
b. Lorsque ( ) 0f t = , soit à t = 2.
3. a.
b. 2 2( ) 5 10 5 5,2 5 15 5,2 0f t t t t t t= − + = − + ⇔ − + − = , soit t = 0,4 (lorsqu’elle monte) ou t = 2,6 (lorsqu’elle descend).
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3.2.10. 3ème degré
1. 3: 3 1f x x x→ − − est dérivable sur ℝ , de dérivée : ( ) ( )2 2' 3 3 3 1f x x x= − = − . Sur ℝ , ( )'f x a le signe de 2 1x − . 2 1x − est positif (coefficient de 2x positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 1. f est donc croissante sur ] ]; 1−∞ − et sur [ [1 ; + ∞ , et f est décroissante sur [ ]1 ;1− . 2. Une équation de la tangente 0T à la courbe fC au point d’abscisse 0 est : ( )3 0 1y x= − − − ; soit
3 1y x= − − . ( ) ( ) 33 1f x x x− − − = . Or 3 0x ≤ sur ] ];0− ∞ et 3 0x ≥ sur [ [0 ;+ ∞ .
fC est donc au-dessus de 0T sur [ [0 ;+ ∞ et fC est donc au-dessous de 0T sur ] ];0− ∞ .
3. Soit la parabole ( )22: 2 1 1P y x x x= − + = − . a. P est une parabole de sommet ( )1 ; 0S , d’axe la droite : 1x∆ = .
b. ( ) 32 2 3 2 1 1f = − × − = et 22 2 2 1 1− × + = . Le point ( )2 ;1A est un point des deux courbes fC et P .
-
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c. ( ) ( )2 3 22 1 2f x x x x x x− − + = − − − . On vérifie que 2 est racine de 3 2 2x x x− − − , on peut mettre 2x − en facteur : ( ) ( )3 2 22 2 1x x x x x x− − − = − + + . Or 2 1x x+ + est toujours positif car son discriminant est négatif et le coefficient de 2x est positif.
3 2 2x x x− − − est donc du signe de 2x − : fC est au-dessus de P sur [ [2 ;+ ∞ et en dessous sur ] ];2−∞ . 4. Courbes fC et P .
5. Pour répondre à cette question il faut résoudre l’équation
( ) ( ) 2 2' ' 3 3 2 2 3 2 1 0f x g x x x x x= ⇔ − = − ⇔ − − = ,
soit 1x = (tangentes horizontales) et 13
x = − (strictement parallèles, calculez les équations des tangentes…).
3.2.11. Hyperbole
1. ( )1
cf x ax b
x= + +
− passe par A(2 ; 4) si (2) 2 4f a b c= + + = ; on calcule
2'( )
( 1)
cf x a
x= −
−
; elle a en ce
point une tangente horizontale si 2
'(2) 0 0(2 1)
cf a a c= ⇔ − = ⇔ =
−
; elle a au point d'abcisse 3 une tangente
parallèle à la droite d'équation y = x + 4, soit '(3) 1f = , le coefficient directeur de la droite.
On a donc 4
1 14 4 3
c aa a a c− = ⇒ − = ⇔ = = .
On termine avec 2 4 4 4 0a b c b b+ + = ⇔ + = ⇔ = , soit 4 4( )3 3( 1)
f x xx
= +−
.
2. Soit 4 4
( ) 13 3 3
g x xx
= − +−
.
a. g n’a pas la même écriture que f… mais c’est la même décalée de 1 ves le bas.
2
2 2 2
( 1) 1 ( 2)4 4 4 4'( )
3 3 33( 1) ( 1) ( 1)
x x xg x
x x x
− − −= − = = − − −
.
Tableau de variation :
-
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c. Lorsque x > 1, 4
3 3x − est positif, C est au dessus de D, lorsque x < 1,
4
3 3x − est positif, C est en dessous
de D.
d. (T) : 11 2
'(3)( 3) (3) 1( 3)3 3
y g x g x x= − + = − + = + .
x
g
−∞
0
0 +∞
g’ +
+∞
1
−∞
− −
−∞
+∞
2
−7/3
0 +
7/3
-
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22 ( 3)2 4 4 2 1 5 4 6 9( ) 1
3 3 3( 1) 3 3 3 3( 1) 3( 1) 3( 1)
xx xg x x x x x
x x x x
−− + − + = − + − − = − + = = − − − − . Y a plus qu’à faire le
signe… qui est très facile.
3.2.12. Rationnelle
Partie A
3 ²( )
² 1
x ax bx
xϕ + +=
+ est tangente en I si (0) 3ϕ = et '(0) 4ϕ = (même coefficient directeur que la droite T).
(0) 3bϕ = = et 2 2
2 2
(6 )( 1) 2 (3 3)'( ) '(0) 4
( 1)
x a x x x axx a
xϕ ϕ+ + − + += ⇒ = =
+.
Partie B
1. Ensemble de définition ℝ . 2 2
2
( 1)( ) 3, 4
² 1 ² 1 1
x xx x xf x
x x x
α ββ α β αα α β+ + + += + = = ⇒ = =+ + +
.
2. 2 2
2 2 2 2
4( 1) 4 (2 ) 4( 1)'( )
( 1) ( 1)
x x x xf x
x x
+ − − −= =
+ + d’où les racines −1 et 1. Négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.
3. La tangente a évidemment pour équation y = 4x + 3. On fait le signe de
-
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2 3
2 2 2
4 4 ( 1)4 4( ) (4 3) 3 4 3
1 1 1
x x xx xf x x x
x x x
− + −− + = + − − = =+ + +
qui est du signe de −x, soit (C) est au dessus de (T) pour 0x ≤ et en-dessous pour 0x ≥ .
4. Pour que le point ( , )u vΩ soit centre de symétrie de (C) il faut que ( ) ( ) 2f u x f u x v+ + − = ; ici ça donne :
2 2
4 4( ) ( ) 3 3 6 2.3
1 1
x xf x f x
x x+ − = + + − = =
+ +, ok !
3.3. Exercices intermédiaires
3.3.1. Solution d’équation
Traçons la courbe de la fonction ( )3
2 1xf x
x
−= sur l'intervalle 1 ;12
.
Comme on le voit la fonction prend la valeur 1 aux environs de 0,618 ; plus précisément on a
f(0,618031)= 0,99999068 et f(0,618034) = 1,00000963.
On a donc 0,618α ≈ .
3.3.2. Tangente
1. On a ( ) 3' 4 4 1f x x x= − + + d’où ( )' 1 1f − = et ( )1 1 2 1 0f − = − + − = ; la tangente est donc ( )0 1 1 1y x y x− = + ⇔ = + .
-
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2. Traçons la fonction f ainsi que la tangente en −1 ; nous voyons alors qu’en 1 elle est tangente à f de nouveau.
On vérifie par le calcul : ( )' 1 4 4 1 1f = − + + = et ( )1 1 2 1 2f = − + + = d’où la tangente en 1 a pour équation : ( )2 1 1 1y x y x− = − ⇔ = + . C’est bien la même.
On pouvait également cherche les points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 1 :
( ) ( )3 3 2' 4 4 1 1 4 4 0 4 1 0 0,1, 1f x x x x x x x x= − + + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = − . Mais la tangente en 0 a pour équation y x= et ne convient donc pas.
3.3.3. Second degré
1. On a ( )1 3f = pour A, ( )' 1 1f = pour la tangente en A et ( )' 1 / 2 0f = pour la tangente horizontale ;
avec ( )' 2f x ax b= + on a donc les équations : 3 3
2 1 1
0 1
a b c c
a b a
a b b a
+ + = = + = ⇔ = + = = − = −
et ( ) 2 3f x x x= − + .
2. Facile…
-
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3.3.8. Approximations
1. (1 )
( )1 1 1
a x bb a b axf x a
x x x
− + + −= + = =− − −
d’où 2a = − et 1 3b a= − = . On a donc 3( ) 21
f xx
= − +−
.
2 2
3( 1) 3'( ) 0
(1 ) (1 )f x
x x
−= − =
− − donc positive, f est croissante.
Lorsque x tend vers l’infini, 3
1 x− tend vers 0 donc f tend vers −2.
Lorsque x tend vers 1, x1, 3
1 x− tend vers
−∞ (f(1,01)=−300).
2. 2( ) 1 3 3h x x x= + + ; '( ) 3 6 3(1 2 )h x x x= + = + donc croissante après −1/2, décroissante avant −1/2. ( 1 / 2) 1 / 4h − = .
3. On cherche le signe des expressions
* 23 3
( ) ( ) 2 1 3 3 3 31 1 1
xf x g x x x
x x x− = − + − − = − − + =
− − −.
Lorsque x < 1, ( ) ( ) 0f x g x− > donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g ; c’est le contraire lorsque x > 1.
* 3
2 23 3( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 3 31 1 1
xf x h x x x x x
x x x− = − + − − − = − − − + =
− − − qui est du signe de
1
x
x−, soit positif
(courbe de f au-dessus de courbe de h) lorsque [0, 1[x ∈ , négatif sinon.
4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.
a. 2 3 44 2 3 2 3 4 4
2 3 (1 )(1 ) 1 111 1 1 1
x x x x xx x x x x x x x xx x x
x x x x
+ + + − + + + + − − − − ++ + + + = = =− − − −
.
b. 4 4
2 3 2 33 3( ) 2 2 3 1 1 3 3 31 1 1
x xf x x x x x x x
x x x
= − + = − + + + + + = + + + + − − −
.
c. En fait il faut montrer que 43
1
x
x− est croissant pour
1 1
2 2x− < < ; ceci dit on a alors
430,125 0,0417
1
x
x− < <
−.
On peut dire que ( ) ( )f x k x− vaut entre −0,125 et 0,0417 lorsque 1 12 2
x− < < . Ceci donne une valeur
approchée de f sur cet intervalle.
-
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3.4. Pour chercher
3.4.1. Coûts de production
1. a. Dérivée : 2
2 2 2
( 30)( 30)900 900'( ) 1
x xxU x
x x x
− +−= − = = d’où le tableau de variations : x + 30 est toujours
positif sur I, x − 30 est négatif avant 30, positif après.
b. Le minimum est obtenu pour 30 objets produits. Le bénéfice est alors (100 (30)) 30 1500U− × = .
c. Graphiquement le nombre d’objets fabriqués doit être compris entre 11,5 et 78,5.
2. Le bénéfice est 2900
( ) (100 ( )) 100 10 110 900B x x U x x x x xx
= − = − + − = − + −
. Sa dérivée est
'( ) 2 110B x x= − + qui s’annule pour 55x = . Avant 55 B est coissante (B’ > 0), après 55 B est décroissante (B’ < 0), c’est bien un maximum. Ce bénéfice maximum est alors (55) 2125B = .
3.4.3. Ficelle
1. Aire du triangle équilatéral : 21 3 3
2 2 2 4
base hauteurx x x
× = = ; pour l’aire du carré il faut le côté ; comme
on a déjà consommé 3x de ficelle avec le triangle, il reste 3l x− pour faire 4 côtés, soit 34
l xa
−= . L’aire totale
est donc 2
2 2 23 1 3 1( ) ( 3 ) (1 3 )4 4 4 16
s x x l x x x = + − = + −
.
2. On calcule 3 1 3 3 9 3 9 3
'( ) 2 2( 3)(1 3 )4 16 2 8 8 2 8 8
s x x x x x x
= + − − = − + = + −
. s’ s’annule en 3
4 3 9x =
+
qui est la valeur pour laquelle s est minimale.
3. 9 4 3 4 12 4 3 9
1 3 1 3.1 34 3 9 4 3 9 4 3 9 4 3
x xa x
a x
+= − = − = ⇒ = = =−+ + +
x
U
10
0
30 100
U’ + −
50
90 99
-
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3.4.6. Éclairement
1. Attention, il faut convertir les km en m… 2 2211 2
1 W.m 2,25.10 W(1,5.10 )
SS
pp− = ⇒ = .
2. a. La puissance reçue en M provenant de A est 2
p
x, celle provenant de B est
2( )
p
l x− donc l’intensité reçue
en M est 2 2
( )( )
p pI x
x l x= +
−.
b. On calcule I’(x) :
{ } { }
{ }
3 3
4 4 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
2 2
3 3
(2 ) 2( 1)( ) ( )1 1( ) 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (2 ) 22 2
( ) ( )
(2 )2
( )
x l x l x xI x p p p p
x l x x l x x l x
x l x x x l x l x x l x xl x l lx xp p
x l x x l x
x l l lx xp
x l x
− − − − − − +−′ = + = + = − − −
− + + − + − − + − + − + = = − −
− − += −
.
(En fait on pouvait s’arrêter au début de la deuxième ligne, ou même à la deuxième égalité… pourquoi ?)
Le terme 2 2x lx l− + a pour discriminant 2 2 24 3 0l l l∆ = − = − < et est donc toujours positif. Donc le signe de
I’ ne dépend que de celui de 2x l− , négatif pour 2
lx < et positif après. Il s’agit donc bien d’un minimum,
obtenu lorsque M est au milieu de [AB].
3.5.1
1.
Q1 : f est impaire (soit ( ) ( )f x f x− = − : faux, par exemple f(–1)=1 et f(1)=38. Q2 : f ′ s’annule deux fois. : faux c’est trois fois.
Q3 : ( )' 1 1f − = : faux, ce doit être aux environs de 35… Q4 : Si ( )f x est un polynôme, il est au moins de degré 4 : comme f’est de degré 3 au moins, f doit être de degré 4 au moins.
Q5 : ( )
0limx
f x
x→ existe et est comprise entre 10 et 15 : vrai, c’est le coefficient directeur de la tangente en 0, soit
environ 12.
Q6 : La tangente à C en –1 a un coefficient directeur négatif : faux, f est croissante, f’ est positive en –1.
Q7 : L’équation ( ) 0f x = n’a pas de solutions : faux, il y en a 2 (–2,5 et –1,3 environ).
-
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Q8 : Il n’existe aucun point de C d’ordonnée inférieure à –30 : vrai, la courbe ne descend pas en dessous de –15.
Q9 : La dérivée f ′ est croissante sur l’intervalle [−2 ; −1] : vrai f’ passe de 0 en –2 à 35 en 1.
Q10 : L’équation ( ) 20f x = a deux solutions sur [−2 ; 2] : vrai, la courbe coupe 2 fois la droite y=20. Q11 : Le coefficient directeur de la tangente en 1/2 est égal à 10 : faux, ça semble plutôt être 0.
Q12 : La fonction f admet un extremum relatif en 1 : vrai, c’est un minimum relatif.
Q13 : Quand x ∈ [0 ; 1], la courbe de f est en dessous de sa tangente en tout point : faux, aux environs de 0,8 la tangente change de côté.
Q14 : ( )2 60f = : faux, on ne sait pas. 2. Q1 : Vrai, faites le calcul avec la dérivée du produit et celle de un.
Q2 : Vrai.
Q3 : Faux : la dérivée ne change pas de signe.
Q4 : Faux.
Q5 : Faux : ( )3 / 5f est un maximum local, pas global. Q6 : Vrai : en 0, 1 et 3/5.
Q7 : Faux : il n’y a aucun point où la tangente est parallèle à y=–x (figure).
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Q8 : Vrai : dans les très grands x négatifs f est croissante donc comme 1000 100110 10−− > − , on a
( ) ( )1000 100110 10f f −− > − car f conserve l’inégalité.
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