fonksİyonlar ve grafİkler

FONKSİYONLAR ve

GRAFİKLER

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

( x , y )

R

R1 2 3 4 5 6

1

23

456

x

y

(1,3)(4,6)(3,3)(5,1)

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 3

1 2 3

b

c

d

a

A

B

(1,a)

(2,b)

(3,c)

Örnek: A = {1,2,3} ve B = {a,b,c,d} olsun.

(1,c)

(3,d)

A B ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ), ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ), ( , a ), ( , b ), ( , c ), ( , d ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 4

1 2 3

2

3

4

1

R

R

(1,1)

(2,2)

(3,3)

Örnek:R reel sayılar doğrusunu hem yatay eksen hem de düşey eksen olarak alalım.

x

y

(0,0)

0

(1,3)

(3,4)

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 5

Fonksiyon: A ve B gibi iki küme verildiğinde A nın her bir elemanını B kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşleyen kurala A dan B ye bir fonksiyon diyoruz.

Örnek:

A dan B ye bir fonksiyon,f : A B; y f ( x )

x y

f : A B; a f ( ), b f ( ), d f ( )

a

b

d

1 2 3

1

2

3

f ( ,a ),( ,b ),( ,d ) 1 2 3 yazılır.

olsun. A , , , B a,b,c ,d 1 2 3

e, f fonksiyonunun eşleme kuralı, y’ye de x’in f altındaki görüntüsü diyeceğiz.

y f ( x )

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6

A dan B ye bir fonksiyonda A ya bu fonksiyonun tanım kümesi B ye de değer kümesi denir. A kümesinin tüm elemanlarının B deki görüntülerinin oluşturduğu kümeye de görüntüler kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Doğal olarak dir.f ( A ) B

f ( ,a ),( ,b ),( ,d ) 1 2 3 fonksiyonunda f ( A ) a ,b,d

Aşağıdaki ikililer kümelerinin A dan B ye birer fonksiyon olup olmadıkları belirleyiniz. Fonksiyon olanlarının görüntüler kümelerini yazınız.

A , , , , B , , , , , , 1 0 3 4 2 1 0 1 2 3 4 kümeleri veriliyor.

f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 2 0 1 3 2 4 3

f ( , ),( , ),( , ),( , ) 2 1 1 0 0 3 3 4 4

f ( , ),( , ),( , )3 0 0 3 0 4 1

f ( , )( , ),( , ),( , ) 4 1 0 0 1 3 2 4 5

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 7

A B

1

2

3

f

a

b

c

f(A)

f = { (1,a), (2,b),(3,d)} A dan B ye fonksiyonunu Wen Şeması ile gösterelim.

d

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8

A dan B bir f fonksiyonu birinci terimi teker teker A kümesinin tüm elemanları ikinci terimi ise B den seçilen sıralı ikililer kümesidir.

Örnek: A , , , , B , , , , , , , , 1 1 2 3 2 1 2 4 5 6 7 9 11

f : A B; y f ( x ) x

x y

2 3

f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 1 5 2 7 3 9

f : A B; y f ( x ) x

x y

2

f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 2 1 2 2 4 3 6

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 9

1 2 3

5

7

9

1

R

R

(-1,1)

(1,5)

(3,9)

x

y

-1

Fonksiyonunun Grafiği

f ( , ),( , ),( , ),( , ) 1 1 1 5 2 7 3 9

(2,7)

1. İçine Fonksiyon

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ:

B)A(fveBA:f ise f içine bir fonksiyondur denir.

ab

c

d

1234

5

A Bf

f(A)

f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) B olduğundan f içine bir fonksiyondur.

10Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2. Örten Fonksiyon

B)A(fveBA:f ise f örten bir fonksiyondur denir.

ab

c

d

234

A Bf

f(A)

f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) = B olduğundan f örten bir fonksiyondur.

11Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3. Birebir Fonksiyon

)x(f)x(fxx

veyaxx)x(f)x(fiçinAx,xveBA:f

2121

212121

ise f birebir bir fonksiyondur denir.

ab

c

d

1234

5

A Bf

f(A)

f(A) = { 1,2,3,4 }, s(A) = sf(A) ve f(A) B olduğundan f birebir ve içine bir fonksiyondur.

12Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4. Sabit Fonksiyon

b)A(fveBb

veyaBb,b)x(fiçinAxveBA:f ii

ise f sabit fonksiyondur denir.

13

abc

d

A A

abc

d

f

f(A)

f (A) = {b} dır.

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5. Birim Fonksiyon

iii x)x(fiçinAxveAA:f ise f birim fonksiyondur denir.

14

abc

d

A A

abc

d

f

f(A)

f (A) = A dır. Birim fonksiyon her zaman birebir ve örten bir fonksiyondur.

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 15

Bileşke fonksiyon.

a

b

c

d

1

2

3

4

5

A Bf C

1

4

9

16

25

g

gof:gof CA

))(()();( xfgxgofxgofx ,1)1())(()( gafgagof 4)2())(()( gbfgbgof

,9)3())(()( gcfgcgof 16)4())(()( gdfgdgof

.tanımlanır olarak

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

16

Örnek: y f ( x ) x ve y g( x ) x 22 fonksiyonları veriliyor.

gof ve fog fonksiyonlarını bulunuz a)gof ( ) ?, fog( ) ? 2 2 b)

Çözüm: a ) gof ( x ) g( f ( x )) g( x ) ( x ) 22 2

fog( x ) f ( g( x )) f ( x ) x 2 2

fog( ) f ( g( )) f ( ) 2 2 4 6

b ) gof ( ) g( f ( )) g( ) 2 2 4 16

Ödev: y f ( x ) x ve y g( x ) x 2 3 3 fonksiyonları veriliyor.

gof ve fog fonksiyonlarını bulunuz a)gof ( ) ?, fog( ) ? 1 5 b)

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

17

Özel Fonksiyonlar1. Sabit Fonksiyonf ( x ) c , c R şeklindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.

2. Polinom Fonksiyonn n

n nf ( x ) a x a x ...a x a 11 1 0 şeklindeki

fonksiyonlara n’inci dereceden bir polinom fonksiyon denir.

Örnek: f ( x ) , f ( x ) 3 3

Örnek: f ( x ) x x x 3 23 5 4 2

f ( x ) x x x 5 26 21 72

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

18

3. Parçalı Tanımlı Fonksiyon Değişkenin farklı değerleri için eşleme kuralı farklı tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. ; x

f ( x ) x ; x

; x

2 2 0

3 2 0 4

2 4

Örnek:

4. Mutlak Değer Fonksiyonuf ( x ); f ( x )

f ( x )f ( x ); f ( x )

0

0 şeklinde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu denir.

Örnek:x ; x

x( x ); x

3 0 33

3 3 0

x ; xx

x; x

3 33

3 3

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

19

Simetri

A( x, y )A'( x , y )

y eksenine göre simetri

A( x, y )

A'( x , y ) x eksenine göre simetriA( x, y )

Orijine göre simetri

A( x, y )A'( y , x )

y =x doğrusuna göre simetri

A'( x , y )

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

20

eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

f ( x ) f ( x )

A( x, y )A'( x , y )

Örnek: y x 2 fonksiyonu olduğundan bir çift fonksiyondur.

f ( x ) ( x ) x f ( x ) 2 2

Grafiği

xx

y eksenine göre simetrik

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

21

eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

f ( x ) f ( x )

A( x, y )

Orijine göre simetrik

A'( x , y )

y x 3 fonksiyonu olduğundan bir tek fonksiyondur.

f ( x ) ( x ) x f ( x ) 3 3Örnek:

Grafiği

xx

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

22

Doğru Denklemleri

ax by c 0 şeklindeki birinci dereceden bir denklem bir doğru denklemidir.

a cax by c y x mx n

b b 0

Bu denklemden

yazılabilir.

Örnek: x y 2 4 0 doğrusunun grafiğini çiziniz.

Aksiyom: İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.

Buna göre bir doğrunun grafiğini çizmek için iki noktasını bilmemiz yeter.

x y y A( , ) 0 4 0 4 0 4

y x x B( , ) 0 2 4 0 2 2 0

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

23

B( , ) 2 0

A( , )0 4

y x 2 4

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol 24

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

x

y

x1 x2 x

x2-x1

x-x1

y2 -y1

y -y1

A(x1,y1)

B(x2 ,y2)

X(x,y)

H1

H2

A( x , y ) ve B( x , y )1 1 2 2 noktaları verilsin

Üçgenlerin benzerliğindeny y x x

y y x x

1 1

2 1 2 1

İki noktası bilinen doğrunun denklemi

y ytan m

x x

2 1

2 1

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

25

y y x x y yy y ( x x )

y y x x x x

1 1 2 1

1 1

2 1 2 1 2 1

y y m( x x ) 1 1 eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi. (Nokta-eğim denlemi)

y y x x( x x )( y y ) ( y y )( x x )

y y x x

1 1

2 1 1 2 1 1

2 1 2 1

a cb

( y y ) x ( x x ) y y ( x x ) x ( y y ) 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 ax by c 0

n

y y m( x x ) y mx x y y mx n 1 1 1 1 y mx n

Doğrunun genel denklemi (eğim-kesim denklemi)

Doğrunun genel denklemi

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

26

Paralel ve Dik doğrular

İki dorunun paralel olması için gerek ve yeter şart eğimlerinin eşit olmasıdır.

Dikey ve Yatay Doğrular

d / / d m m 1 2 1 2

İki dorunun birbirine dik olması için gerek ve yeter şart eğimleri çarpımının -1 olmasıdır.

d d m m 1 2 1 2 1

x eksenine paralel olan doğruya yatay doğru, y eksenine paralel olan doğruya da dikey doğru denir.Yatay doğruların denklemleri y bDikey doğruların denklemleri şeklindedir.x a

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

27

Fonksiyonların Tanım Kümeleri

Bu dersimiz de reel sayılar kümesinden yine reel sayılar kümesine tanımlı fonksiyonlarla ilgileneceğiz. Bu nedenle fonksiyonları sadece eşleme kuralları ile vereceğiz. Tanım kümeleri ile görüntüler kümelerini biz bulacağız.Bir fonksiyonda1.payda varsa paydayı sıfır yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır.2.Çift kuvvetten kök varsa kökün içini negatif yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır. Bu iki durum dışında bu derste ele alacağımız fonksiyonlar tanımlıdır.

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

28

Örnekler:

Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz.

. f ( x ) . f ( x ) x . f ( x ) x 31 3 2 2 3 2 4

x x. f ( x ) . f ( x ) . f ( x )

x xx

1

3 2 31 1

Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz, grafiklerini çiziniz.

; x x x. f ( x ) . f ( x )

; x x x

1 2 2 1 1 21 2

1 2 4 1 2 4

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

29

Aşağıdaki verilen noktalardan geçen doğruların eğiklerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz

. A( , ), B( , ) . A( , ), B( , ), . A( , ), B( , ) 1 2 1 0 3 2 0 0 2 3 3 2 2 2 2

Aşağıdaki BİR noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini yazınız ve grafiklerini çiziniz.

. m , A( , ), . m , A( , ), . m , A( , ) 1 3

1 2 2 4 2 2 5 3 1 02 2