forma canonica de jordam
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FACULDADE JOO CALVINO CURSO DE ESPECIALIZAO LATU SENSU
PS-GRADUAO EM MATEMTICA, TECNOLOGIAS CONTEMPORNEAS E NOVAS PRTICAS EDUCACIONAIS
FORMA CANNICA DE JORDAN
FERNANDO SILVEIRA ALVES
Orientadora: Eunice Candida Pereira
Barreiras - BA
2011
FERNANDO SILVEIRA ALVES
FORMA CANNICA DE JORDAN
Artigo apresentado Faculdade Joo Calvino, como requisito para obteno do certicado de Ps-Graduao em Matemtica, Tecnologias Contemporneas e Novas Prticas Educacionais, sob a orientao da Prof Dra. Eunice Cndida Pereira.
Barreiras - BA 2011
FORMA CANONICA DE JORDAN
Fernando Silveira Alves Eunice Cndida Pereira
RESUMONeste trabalho zemos um estudo relacionado a construo da forma cannica de Jordan para espao vetorial complexo de dimenso nita.
ABSTRACT
Palavras chaves: Forma cannica de Jordan; Espao vetorial; Dimenso nita.
In this work we have done a study related to the construction of the Jordan canonical form to complex vector space of nite dimension.
INTRODUOpolinmio de
Key words: Jordan canonical form; Vector space; Finite dimension.
Podemos decompor um operador linear
T
sobre um espao vetorial
V
com dimenso nita
por meio dos valores e vetores caracteristcos de
T,
para casos particulares, ou seja, quando o
T
decompe-se sobre um corpo
F
de escalares num produto de polinmios unitrios,
distintos e de grau
1.
E quando
T
arbitrrio, o que fazer? Se tentarmos estudar
T
usando valores
caracteristcos, iremos nos confrontar com dois problemas. Primeiro,
T
poder no ter nenhum valor caracteristco, isto na verdade, uma decincia
do corpo de escalares, a saber ele no algebricamente fechado. Segundo, mesmo que o polinmio caracteristco se decomponha completamente sobre no existir vetor caracteristcos sucientes de
F T
num produto de polinmio de grau
1,
podem
T
para gerar o espao sobre
V.
A segunda situao ilustrada pelo operador em relao base cannica por
F
3
(F um corpo arbitrrio) representado
2 0 0 A = 1 2 0 . 0 0 1 A
O polinmio caracteristco de de
(x 2)2 (x + 1)
e este obviamente o polinmio mininal
A (ou de T ). Ps
Assim
T
no diagonalizvel. V-se que isto ocorre porque o ncleo de
T (T 2I)
graduanda(o) em Matemtica, Tecnologias Contemporneas e Novas Prticas Educacionais pela Faculdade Joo Calvino BA. Professora Orientadora do Curso de Especializao da Faculdade Joo Calvino - BA.
tem dimenso
1
apenas. Por outro lado, o ncleo de
T +I
e o ncleo de
(T 2I)2
juntos geram
V.Se o polinmio minimal de
T
se decompe como
pm (x) = (x 1 )r1 . . . (x k )rksendo
1 , , k elementos distindos de F , ento mostraremos que o espao V a soma direta ri dos ncleos de (T i ) , i = 1, , k . Diante do esposto no presente artigo, trabalhamos com operador linear T : V V sendo F = C (dimenso nita). Exibiremos uma base para V na qual a matriz A de T formada por uma srie de blocos de Jordan ao longo da diagonal. Um bloco de Jordan uma matriz A triangular inferior cujos elementos diagonais so todos iguais a um mesmo autovalor de T e os elementos baixo da diagonal so todos iguais a 1. Diz-se ento que a matriz A est na forma cannica de Jordan. Quando V possui uma base formada por autovetores de T , os blocos de Jordan so todos 1 1, e neste caso, a forma cannica de Jordan para T uma matriz diagonal.A citada forma exibe a matriz mais simples que se pode obter de um operador linear. Para cumprir com os objetivos supra citados, utilizamos operadores nilpotentes uma vez que possuem matrizes tringulares. A forma cannica de Jordan til no estudo de questes que envolvem potncias sucessivas do operador
T,
como as equaes diferenciais lineares e as equaoes diferenciais lineares.
Preliminares Espaos VetoriaisEm 1888 Giuseppe Peano introduziu a primeira denio axiomtica de espao vetorial, mas a teoria do espao vetorial propriamente dita comeou a se desenvolver somente a partir de 1920. Atravs da resoluo de sistemas lineares foi que se desenvolveu a teoria dos espaos vetoriais. Um dos assuntos que tem importncia tanto para o desenvolvimento dos sistemas lineares, quanto posteriormente para os espaos vetoriais o estudo das curvas algbricas.
Denio 1.
Um espao veorial
V
sobre um corpo
F
um conjunto cujos elementos (denominados
vetores) podem ser somados ou multiplicados por escalares (elementos de adio e multiplicao devem satisfazer:
F ).
Estas operees de
1. Comutatividade: 2. Associatividade: 3. Distributividade:
v1 + v2 = v2 + v1 ; (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ) c (v1 + v2 ) = cv1 + cv2e e
(c1 c2 ) v1 = c1 (c2 v1 );
(c1 + c2 ) v = c1 v + c2 v ;
4. Vetor nulo:
v+ 0 =v
(para um vetor
0
independente de
v ); v );
5. Inverso aditivo:
v + (v) = 0 1v = v ;
(para um vetor
v
que depende de
6. Multiplicao por 1:
Para quaisquer vetores
v, v1 , v2 , v3 V mn
e quaisquer escalares
c, c1 , c2 F .;
Exemplo 2.vetores
O espao das
matrizes,
F mn .
Seja
F
um corpo arbritrio e sejam
m
e
n
inteiros positivos. Seja
F
mn
o conjunto de todas as matrizes sobre o corpo
F.
A soma de dois
A
e
B
em
F mn
denida por
(A + B)ij = Aij + BijO produto de um escalar
c
pela matriz
A
denido por
(cA)ij = cAij .Propriedades:
1. Se
w+u = w+v implica u = w .
ento
u = v.
Em particular,
w+u = w
implica
u= 0
e
w+u = 0
Com efeito, da igualdade
w+u=w+v
segue-se que
u = 0 + u = (w + w) + u = w + (w + u) = w + (w + v) = (w + w) + v = 0 +v =v w + u = w implica w + u = w + 0 , w + u = w + (w) logo u = w. u = 0. w+u = 0
Em particular,
logo
E se
ento
2. Dados
0 F e v V tem-se 0 v = 0 V . Analogamente, dados F e 0 V , vale 0 = 0. De fato, v + 0 v = 1 v + 0 v = (1 + 0) v = 1 v = v , logo 0 v = 0 . De modo anlogo, como 0 + 0 = 0 + 0 = 0 , segue de 1 que 0 = 0 .
3. Se 4.
=0
e
v= 0
ento
v = 0.
(1) v = v
Subespaos VetoriaisDenio 3.mente um
V subespao )Seja
um espao vetorial sobre um corpo de
F.
Um
subespao vetorial
(ou simples-
V
um subconjunto
W V
com as seguintes propriedades:
1.
0 W; u, v W vWento
2. Se 3. Se
u + v W; F , v W ;
ento, para todo
Teorema 4. Um subconjunto no-vazio W de V um subespao de V se, e somente se, para cadapar de vetores u, v em W e a cada escalar em F , o vetor u + v W .
Teorema 5. Seja V um espao vetorial sobre um corpo F. A interseo de uma coleo arbitrriade subespaos de V um subespao vetorial de V .
Denio 6.
Sejam
V
um espao vetorial sobre um corpo
F
e
v1 , , v n
vetores xados em
V.
Ento o conjunto
n
S = {x1 v1 + . . . + xn vn : x1 , , xn F } =i=1
xi v i : xi F
um subespao de geralmente, seja
V.
E este subespao chamado de
subespao gerado
por
v1 , , v n .
Mas
um subconjunto no vazio de
V.
Ento
n
S=i=1 o subespao de
xi v i : xi F
e
vi
V
gerado por
,
onde
o conjunto de
geradores
de
V,
e ser denotado por
S = [] .Quando
= {v1 , , vn },
denotaremos
[]
por
[v1 , , vn ].
Denio 7.somas
Se
S1 , S 2 , , S k
so subconjuntos de um espao vetorial
V,
o conjunto de todas as
x1 + x2 + + xkde vetores
xi
em
Si
dito a
soma
dos subconjuntos
S1 , S2 , , Sk
e indicado por
S1 + S2 + S3 + + Skou por
k
Sii=1Se
W1 , W 2 , , W k
so subespaos de
V,
ento a soma
W = W1 + W2 + + Wk um subespao de
V
que contm cada um dos subespaos
Wi .
Exemplo 8.das
Seja
F
um subcorpo do corpo
C
dos nmeros complexos e seja
V
o espao vetorial
22
matrizes sobre
F.
Seja
W1
o subconjunto de
V
constitudo por todas as matrizes da
forma
x y z 0onde
x, y, z
so escalares arbitrrios em
F. Finalmente, seja W2 x 0 0 y
o subconjunto de
V
constitudo por
todas as matrizes da forma
onde
x
e
y
so arbitrrios em
F.
Ento
W1
e
W2
so subespaos de
V.
Alm disso
V = W1 + W2O subespao
W 1 W2
consiste de todas as matrizes da forma
x 0 0 0
.
Denio 9.vetoriais de subespaos
Seja
V
um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo que o subespao
F, U a
e
W
subespaoes dos
V tais que U W = {0}. Dizemos U e W , e denotamos por U W .
U +W
soma direta
Combinao LinearDenio 10.Seja linear dos vetores
V um espao vetorial sobre um corpo F . Um vetor v em V uma combinao v1 , , vn em V se existirem escalares x1 , , xn F tais quen
v = x1 v1 + . . . + xn vn =i=1
x i vi .
Dependncia e Independncia LinearDenio 11.vetores Seja
V
um espao vetorial sobre um corpo
F
e
v1 , , vn V .
Dizemos que os
v1 , , v n
so
linearmente dependentes (LD)
se existirem escalares
x1 , , x n F ,(1)
no todos iguais a
0,
tais que
x1 v1 + . . . + xn vn = 0.
Ou, equivalente, a equao vetorial 1 admite uma soluo no-nula. Caso contrrio, dizemos que os vetores
v1 , . . . , v n
so
linearmente independentes (LI) ou, equivalente, a equao vetorial 1
admite apenas a soluo nula.
Base e DimensoDenio 12.vetores em Seja
V
um espao vatorial sobre um corpo
F.
Um conjunto
= {v1 , , vn }
de
V uma base de V se as seguintes condioes so satisfeitas: = {v1 , , vn } LI ; Se = {v1 , , vn } gera V , ou pela notao, V = [v1 , , vn ];
Observao.uma base.
Pode ser provado, usando o Lema de Zorn, que todo espao vetorial
V = {0}
possui
Teorema 13. Sejam V um espao vetorial sobre um corpo F e v1 , , vn vetores em V tais queV = [v1 , , vn ] .
Ento, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V .
Teorema 14. Se V um espao vetorial sobre um corpo F tal queV = [v1 , , vm ] .
Ento todo conjunto com mais de m vetores em V LD. Assim, todo conjunto de vetores em V possui no mximo m vetores.
Corolrio 15. Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo F . Se{u1 , , um } e {v1 , , vn }
so duas bases quaisquer de V , ento m = n.
Denio 16.
Seja
V
um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo
o numero de elementos em alguma base de
V
e ser denotada por
F . A dimenso de V dim V ou dimF V . Note que
pelo Corolrio 15, que est denio no depende da base de
V,
isto , est bem denida. Quando
V = {0},
convencionamos que
dim V = 0.
Denio 17.
Sejam
qualquer de vetores
V um espao vetorial sobre um corpo F de V . O posto de denido por posto () = dim [] .
e
= {v1 , , vn } um subconjunto
Lema 18. Seja V um espao vetorial sobre um corpo F . Seja {v1 , , vm } um subconjunto LIem V . Ento v V [v1 , , vm ] se, e somente se, {v1 , , vm , v} um conjunto LI .
Mudana de BaseDenio 19. Seja Vde um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo
F.
Uma base ordenada
V
uma sequencia nita de vetores
LI
que gera
V
e ser denotada por
{v1 , , vn }Se a sequncia
v1 , , v n
uma base ordenada de
V,
ento
{v1 , , vn }
uma base de
V.
Teorema 20. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo F e = {v1 , , vn }uma base ordenada de V . Ento todo vetor v V pode ser escrito de modo nico sob a forma:v = x1 v1 + . . . + xn vn .
Denio 21.
Sejam
V
um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo
F,
= {u1 , , un }duas bases ordenadas de nico sob a forma
e
= {v1 , , vn } vVpode ser escrito de modo
V.
Ento pelo Teorema 20, todo vetor
u = x u + . . . + x u 1 1 n n u = y v + . . . + y v1 1 n n
(2)
Assim,
[u] = x1. . .
e
[u] = y1. . .
. aij Ftais que
xnComo,
yn
vj V ,
para cada
j = 1, . . . , n,
temos que existem nicos
v1 = a11 u1 + . . . + an1 un =. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
n i=1 ai1 ui . . . n i=1
(3)
vn = a1n u1 + + ann un =Logo, pela equao 2, temos que
ain ui
u = y1 v1 + . . . + yn vnn n
=j=1 n
yji=1 n
aij ui aij yj ui
=i=1 j=1
Assim, pela unicidade das coordenadas, temos que
x1 = a11 y1 + . . . . . . . . . . . . .. .
+ a1n yn. . . . . .
xn = an1 y1 +
+ ann yn
Em forma matricial
x1. . .
=
a11 . . . .. .
a1n. . .
y1. . .
xnFazendo
an1 a11 . . . .. .
.
ann a1n. . .
yn
[I] = obtemos
an1 ann
,
[u] = [I] [u] . A matriz
[I]
chamada a
matriz de mudana de base
da base
para a base
.
Transformaes LinearesDenio 22.Dizemos que Sejam
V
e
W
espaos vetoriais sobre um corpo
F
e
T
uma aplicao de
V
em
W.
T uma transformao linear se T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u, v E . T (u) = T (u) para todo u E , F .
possui as seguintes propriedades:
Das duas propriedades de transformao linear, obtemos facilmente que
T (u + v) = T (u) + T (v)para todo
u, v V
e todos os escalares
, F .
Teorema 23. Sejam V e W espaos vetoriais sobre o corpo F , com dim (V ) = n, = {v1 , , vn }uma base ordenada de V e w1 , , wn elementos arbitrrios, para todo u, v V e todos os escalares , F de W . Ento existe uma nica transformao linear T : V W tal queT (vj ) = wj para j = 1, . . . n.
Ncleo e ImagemDenio 24.Vem Sejam
V
e
W
espaos vetoriais sobre um corpo
F
e
T
uma transformao linear de
W.
O conjunto
Im (T ) = {w W/w = T (v) denominada
para algum
v V}
imagem da transformao T .
Teorema 25. O conjunto Im (T ) W um subespao vetorial de W . Denio 26.Vem Sejam
V
e
W
espaos vetoriais sobre um corpo
F
e
T
uma transformao linear de
W.
O conjunto
Ker (T ) = v V /T (v) = 0Wda transformao
denominado
ncleo
T.
Teorema 27. O conjunto Ker (T ) V um espao vetorial de V . Teorema 28. Sejam V e W espaos vetoriais sobre um corpo F e T uma transformao linear de V em W . Ento, T uma aplicao injetora se, e somente se, Ker (T ) = 0V .
Teorema 29. Sejam V e W espaos vetoriais sobre um corpo F , com dim (V ) = n e T : V W uma transformao linear. Ento,dim (Ker (T )) + dim (Im (T )) = dim (V ) .
lgebra das Transformaes LinearesDenio 30.Sejam
V
e
W
espaos vetoriais sobre o corpo
F.
Denotamos por
L (V, W )
o
conjunto de todas as transformaes lieares de
V
em
W,
isto ,
L (V, W ) = {T : V W/T
uma transformao linear
}.
Denio 31. Dadas as transformaes lineares T, P L (V, W ). formaes T + P : V W da seguinte forma
Denimos a
adio de trans-
(T + P ) (v) = T (v) + P (v) ; v V.A aplicao assim denida tambm uma transformao linear.
Denio 32. Dada a transformao linear T L (V, W ) e o escalar F . Denimos multiplicao de uma transformao por um escalar T : V W da seguinte forma:(T ) (v) = T (v) ; v V.A aplicao assim denida tambm uma transformao linear.
a
Teorema 33. L (V, W ) um espao vetorial sobre um corpo F com relao as operaes de adiode transformaes lineares e multiplicao por escalar denidas anteriormente.
Teorema 34. Sejam V e W espaos vetoriais de dimenso nita sobre um corpo F , com dimensesn e m respectivamente. Ento, o espao vetorial L (V, W ) tem dimenso nita e dim (L (V, W )) = nm. U, V e W espaos vetoriais sobre o corpo F . Considere as transformaes lineares T : U V e P : V W . Denimos a composio das transformaes P e T , que denotaremos por S = P T : U W , da seguinte forma:Sejam
Denio 35.
S (u) = (P T ) (u) = P (T (u)) W ; u U.
Teorema 36. A aplicao S = P T uma transformao linear de U em W . Denio 37.Seja
V
um espao vetorial sobre o corpo
F.
Um
operador linear
sobre
V
uma
transformao linear de
V
em
V.
Denio 38.
Seja
V
um espao vetorial sobre o corpo
F.
Denotaremos por
L (V )
o conjunto de
todos os operadores lineares sobre
V,
isto ,
L (V ) = {T : V V /T
um operador linear
}.
Denio 39.
L (V ) podemos denir a operao potenciao para expoentes 0 naturais de um operador T L (V ) da seguinte forma: T = I, T 1 = T , T 2 = T T , e T n = T T n1 para n N.No espao vetorial
Exemplo 40.
Transformaes do plano:
Rotao de um ngulo
(sentido anti-horrio).
x = r cos ( + ) = r cos cos r sin sin Mas r cos = x e r sin = y . Ento, = {v1 , , vn } LI ; Se = {v1 , , vn } gera V , ou pela notao, V = [v1 , , vn ]; x = x cos y sin . Analogamente, y = r sin ( + ) = r (sin cos + cos sin ) = y cos + x sin . Assim, R (x, y) = (x cos y sin , y cos + x sin ) ou na forma coluna, x y.
x cos y sin y cos + x sin
=
cos sin sin cos
x y
Funcionais LinearesDenio 41. funcional linear sobre V
V um espao vetorial sobre um corpo F . aplicao J : V F com as seguintes propriedades: J (u + v) = J (u) + J (v) ; u, v V ; J (u) = J (u) ; u V e F ;Seja
Um
uma
Exemplo 42.
Considere o espao vetorial real
Mn (R).
A Aplicao
T r : Mn (R) Rn
A = [aij ] T r (A) =i=1que o trao da matriz
aii
A,
um funcional linear sobre
Mn (R).
Espao DualDenio 43. Seja Vuma base ordenada de um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo
F
e
= {v1 , v2 , , vn }
V.
O funcional linear denido por:
Ji : V F v Ji (v) = cionde
[v] = c1. . .
cn o vetor de coordenadas do elemento O funcional
v
em
V,
tem um importante papel na teoria de espao dual.
Ji
denominado
isima
funo coordenada com respeito base ordenada
.
Denio 44.
Note que
Ji = ij ,
onde
ij
o delta de Kronecker, isto ,
1 ij = 0
para para
i=j i=j F.O espao vetorial
Denio 45.corpo
Seja
V
um espao vetorial sobre um corpo
L (V, F ).
sobre o
F
denominado espao dual do espao vetorial
V,
que denotamos por
V
Teorema 46. Considere V um espao vetorial de dimenso nita sobre o corpo F com ={v1 , , vn } um base ordenada de V . Sejam Ji a i-sima funo coordenada a respeito da base , para i = 1, . . . , n, e = {J1 , , Jn }. Ento uma base ordenada para o espao dual V , denominada base dual da base . Alm disso, todo funcional linear T V representado da seguinte forma:n
T =i=1
T (vi ) Ji
e cada elemento v V escrito como:n
v=i=1
Ji (v) vi .
Assim, temos que dim (V ) = n.
Autovalor e Autovetor de um Operador LinearT : V V um operador linear. Se existirem v V , no nulos, F tais queT (v) = v , ento o escalar F um autovalor de T e o elemento v V um autovetor de T associado ao autovalor .Sejam
Denio 47.
V
um espao vetorial sobre o corpo
F
e
Teorema 48. Sejam V um espao vetorial sobre um corpo F , T um operador linear sobre V e vum autovetor associado ao autovalor . Ento, qualquer elemento w = v , com F no-nulo, tambm um autovetor de T associado a .
Denio 49.
Sejam
Fixando um autovalor
V um espao vetorial sobre o corpo F , do operador T, o subconjunto V = {v V /T (v) = v}
e
T :V V
um operador linear.
denominado
subespao associado ao autovalor .V igual ao subespao Kert (T
Podemos observar facilmente que o subconjunto De fato, tomando um elemento
IV ).
v V
temos que
T (v) = v (T IV ) v = 0V v ker (T IV ) .Logo, temos que
V = ker (T IV ).
Assim, provamos que
V
um subespao de
V , pois sabemos
que o ncleo de um operador linear um subespao de
V.
Autovalor e Autovetor de uma MatrizA, de ordem n, estaremos entendendo por autovetor e autovalor de A autovalor e autovetor da transformao linear AT : V V , associada matriz A em relao a base canonica, isto , TA (v) = A v (na forma coluna). Assim, um autovalor F de A, um autovetor v V , so solues da equao A v = v, v = 0.Dada uma matriz quadrada,
Polinmio CaracteristcoDenio 50.determinante Dada
A Mnn (F )
denimos o polinmio caracterstico de
A
como sendo o
pA () = det (A I) .onde
I
a matriz identidade de ordem
n.
Denio 51.Mnn (F )
Sejam
invertvel
A, B Mnn (F ). 1 tal que A = M BM .
Dizemos que
A
e
B
so semelhantes se existir
M
Proposio 52. Se A, B Mnn (F ) so matrizes semelhantes ento seus polinmios caractersticos so iguais.
Proposio 53. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo F e T L (V ).Ento, um autovalor de T se, e somente se pT () = 0.
Denio 54.Observao.
Um polinmio mnimo
mnico de menor grau tal que
m p [F ] m (T ) = 0. T : V V,
de uma aplicao
T :V V
um polinmio
Todo operador linear
denido em um espao
V
de dimenso nita
n,
possui um polinmio mnimo.
Proposio 55. Se p (T ) = 0 para um polinmio p p [F ] e m um polinmio mnimo de T , entop mltiplo de m.
Teorema 56. (Cayley-Hamilton) Seja V um espao complexo de dimenso nita n. Se p p [F ]for o polinmio caracterstico de T : V V , ento p (T ) = 0.
Proposio 57. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo F e T L (V ).Se um autovalor de T , denimos a multiplicidade algbrica de como sendo a multiplicidade de como raiz de pT (x).
Denio 58.Se
Sejam
V
um espao vetorial de dimenso nita sobre um corpo
F
e
T L (V ).
um autovalor de
T,
ento sua multiplicidade geomtrica no excede a sua multiplicao
algbrica.
DiagonalizaoDenio 59. Denio 60.Vmatriz de Sejam
V
um espao vetorial de dimenso nita e
diagonlizavel se existir uma base de Note que se
V
formada por autovetores
T L (V ). de T .
Dizemos que
T
formada por autovetores
T L (V ) diagonalizvel e se v1 , v2 , , vn formam uma base B de de T associados, respectivamente, aos autovalores 1 , , n , ento a ,
T
em relao a esta base
1 0 0 0 2 0 [T ]B = . . . .. . . . . . . . 0 0 nou seja,
[T ]B
uma matriz diagonal, isto , uma matriz quadrada
(aij )
tal que
aij = 0
se
i = j.
Teorema 61. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita e T L (V ). Ento, T diagonalizvel se, e somente se existir uma base de V com relao a qual a matriz de T diagonal.
Denio 62.
Dizemos que uma matriz
A Mnn (F )
diagonalizvel se existir
M Mnn (F )
invertvel tal que
M 1 AM
seja uma matriz diagonal.
Proposio 63. Sejam V um espao vetorial de dimenso nita, T L (V ) e C uma base qualquerde V . Ento T diagonalizvel se, e somente se a matriz [T ]C for diagonalizvel. Observao. Note que se T for diagonlizavel,onde os nmeros 1 , , n de T o seu polinmio caracteristico da formapT (x) = (x 1 ) (x n ) ,onde os nmeros so todos os autovalores
1 , , n
so todos os autovalores de
T.
Teorema 64. Sejam V um espao vetorial e T L (V ). Ento, T diagonalizvel se, e somentese os autovalores 1 , , n de T forem tais queV = V (1 ) V (n ) .
Teorema 65. Sejam V um espao vetorial e T L (V ) . Ento T diagonalizvel se, e somentese, para cada autovalor de T as suas multiplicidades algbricas e geomtricas forem iguais.
Corolrio 66. Sejam V um espao vetorial e T L (V ).pT (x) = (1 x) (n x) ,
onde 1 , , n F so dois a dois distintos ento T diagonalizvel.
Exemplo 67.
Verique se
T : P2 (R) P2 (R)
dado por
T (p (t)) = p (t) 2p (t) + p (t) diagonalizvel.Soluo: A matriz
T
com relao a base cannica (B
= {1, x, x2 })
dada por
1 2 2 A = 0 1 4 . 0 0 1 Assim, e
pT () = (1 )3 e, desta forma, 1 o nico autovalor de T . Como T diagonalizvel somente se, dim V (1) = 3, vejamos qual a dimenso deste subespao prprio.
se,
0 x 0 2 2 (x, y, z) V (1) 0 0 4 y = 0 y = z = 0. 0 0 0 0 z Portanto,
V (1) = [(1, 0, 0)]Seja
e
T
no diagonalizvel. cuja matriz com relao a alguma base dada por
Exemplo 68.
T : R2 R2
A=Mostre que
a b b c
.
T
diagonalizvel. O polinmio caracteristco de
Soluo:
T
dado por
pT (x) = x2 (a + c) x + ac b2 .Vemos que
pT (x)
apresenta duas razes reais simples, isto , com multiplicidade um, se e somente
se, o discriminante
(a + c)2 4 ac b2 = a2 + b2 2ac + 4b2 = (a c)2 + 4b2 > 0se, e somente se,
a=0
ou
b = 0.
Vemos assim, se
a=0
ou
e geomtrica de cada um doas autovalores de diagonalizvel. Se diagonal.
T
(as razes de
b=0 pT (x))
as multiplicidades algbrica coincidem e, portanto,
T A
a = c
e
b = 0
ento v-se claramente que
T
diagonalizvel pois, neste caso,
Produto InternoTrata-se de uma noo que completa e enriquece a estrutura de um espao vetorial, permitindo a utilizao de uma linguagem geomtrica altamente sugestiva e o destaque de tipos especiais de operadores, os quais admitem uma anlise mais profunda de suas propriedades, como se ver a seguir:Os axiomas de espaos vetoriais no so sucientes para abordar certas noes geomtricas como ngulo, perpendicularismo, comprimento, distncia, etc. Isto torna possvel com a introduo de um produto interno. Um
produto interno
num espao vetorial
V
um funcional linear simtrico e positivo em
V.
Mais precisamente, um produto interno uma funo
vetores
u, v V
um nmero real
vlidas as seguintes propriedades,
V V R, que associa a cada par de u, v , chamado o produto interno de u por v , de modo que sejam para quaisquer u, u , v, v V e R:
Bilinearidade:
u + u , v = u, v + u , v
,
u, v = u, v
,
u, v + v = u, v + u, v
,
u, v = u, v
;
u, v = v, u ; Positividade: u, v > 0 se u = 0. Como 0, v = 0 + 0, v = 0, v + 0, v 0, v = v, 0 = 0 para todo v V .Comutatividade (simetria):
, segue-se que
Observao.vVento
Resulta da positividade que se
Segue desta observao que se
u, v = 0 u, u V so u, u
para todo
vV
ento
vetores tais que
u = 0. u, v = u , v
para todo
u=u. u =chama-se a
O nmero no-negativo
norma
ou o
comprimento
do vetor
u.
Denio 69.
V um espao vetorial com produto interno. Dois vetores u, v V chamam-se ortogonais (ou perpendiculares ) quando u, v = 0. Escreve-se, ento, uv . Em particular, 0 perpendicular a qualquer vetor de V . Um conjunto W V diz-se ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer de W so ortogonais. Se, al disso, todos os vetores de W so unitrios ento W chama-se um conjunto ortonormal.Seja
Denio 70.tem-se
Portanto, um conjunto se
u, v = 0
u=v
e
W V u, v = 1 se u = v .
ortonormal se, e somente se, dados Uma base
ortonormal
uma base
u, v W de V que
um conjunto ortonormal.
A FORMA CANNICA DE JORDANOperadores NilpotentesUm operador linear
T :V V
diz-se
nilpotente
quando se tem
O ndice de um operador nilpotente o menor nmero
kN
tal que
T k = 0 para algum k N. T k = 0. Isso signica que Ak = 0para
T
k1
=0
e
T = 0. Achama-se nilpotente quando se tem Se
k
Analogamente, uma matriz quadrada algum
k N.
A
k1
=0
e
A = 0,
k
diz-se que a matriz nilpotente
A
tem ndice
k.
Exemplo 71.
Um exemplo simples de matriz nilpotente dado pela matriz
coluna o vetor nulo e, para matriz tem a forma abaixo:
1 j k 1, A=
sua
jsima 0 0 0 1 0 0 0 0
coluna
ej+1
k k cuja ksima Rk . Para k = 4 essa
0 1 0 0
0 0 1 0
A matriz deste exemplo provm do operador
ek , T (ek ) = 0. Evidentemente, matriz A) igual a k .
tem-se
T : Rk Rk , denido por T (e1 ) = e2 , , T (ek1 ) = T k = 0 e T k1 = 0. Logo o ndice do operador T (e da
Teorema 72. Dado o operador T : V V , seja v V um vetor tal que T k1 (v) = 0 e T k (v) = 0.Ento os vetores v, T (v) , , T k1 (v) so linearmente independentes.
Corolrio 73. Num espao vetorial de dimenso n, o ndice de um operador nilpotente n. Corolrio 74. Seja T : V V um operador nilpotente de ndice n num espao vetorial V , dedimenso n. Existe uma base de V na qual a 0 1 [T ]BV = 0 . . . 0 matriz de T tem a forma abaixo: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . 0 0 1 0
Vale, evidentemente, a recproca do Corolrio 74 acima: se alguma matriz do operador T : V V (onde dim V = n) tem a forma acima ento T um operador nilpotente de ndice n.
Lema 75. Se {T (w1 ) , , T (wp )} uma base da imagem do operador T : V V e {v1 , , vq } uma base do ncleo de T ento {w1 , , wp , v1 , , vq } uma base de V .Seja inicialmente o operador nilpotente Tomemos uma base que
T :V V,
de ndice 2:
T =0
e
T 2 = 0. T2 = 0signica
Im (A) N (A),
logo
{T (w1 ) , , T (wp )} da existem vetores v1 , , vq
imagem de tais que
T.
A condio
U = {T (w1 ) , , T (wp ) , v1 , , vq } uma base de
ker (A).
Pelo lema, o conjunto
K = {w1 , T (w1 ) , , wp , T (wp ) , v1 , , vq } uma base de
V.blocos da
Em relao a esta base formada por
p
K , a matriz do matrizes 2 2 do tipo
operador nilpotente
T : V V,
de ndice 2,
0 0 1 0ao longo da diagonal (onde
p
o posto =
dim (Im (T ))
de
T ),
seguidos de
q
colunas nulas, onde
2p + q = dim (V ).
Exemplo 76.
Sejam
T : R5 R5
nilpotente de ndice 2, sua matriz na base
K
tem uma das
formas abaixo, conforme seu posto seja 2 ou 1:
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Em seguida, consideremos um operador nilpotente A restrio de
T :V V Im (T )
de ndice 3.
T
as subespao invariante
um operador nilpotente de ndice 2.
Lembrando que os elementos de
Im (T )
so todos da forma
T (w),
resulta que existe uma base de
Im (T )
do tipo
T (w1 ) , T 2 (w1 ) , , T (wp ) , T 2 (wp ) , T (v1 ) , , T (vq ) ,com
T 2 (v1 ) = = T 2 (vq ) = 0.
Os vetores linearmente independentes
T 2 (w1 ) , , T 2 (wp ) , T (v1 ) , , T (vq )pertencem ao ncleo de
T,
logo podem ser incluidos numa base:
U = T 2 (w1 ) , , T 2 (wp ) , T (v1 ) , , T (vq ) , u1 , , ur N (T ) .Segue do Lema que o conjunto
K = w1 , T (w1 ) , T 2 (w1 ) , , wp , T (wp ) , T 2 (wp ) , v1 , T (v1 ) , , vq , T (vq ) , u1 , , ur uma base de
V.blocos de
Em relao a esta base formada por
p
K , a matriz do operador matrizes 3 3 da forma 0 0 0 1 0 0 0 1 0
nilpotente
T : V V,
de ndice 3,
ao longo da diagonal, seguidos por
q
blocos de matrizes
22
da forma
0 0 1 0ainda ao longo da diagonal, e por de
T
e
p+q+r
a dimenso de
r colunas ker (A)).
de zeros. (Aqui,
p
o posto de
T 2 , 2p + q
o posto
Eventualmente, pode-se ter operador nilpotente
q=0
T,
de ndice 3, na
Isso nos assegura que para um
r = 0 (ou ambos). Mas as base K , devem ser e2 , e3 e 0. 5 5 operador nilpotente T : R Rou
trs primeiras colunas do
de ndice 3, uma base
K
na qual sua matriz tem uma das formas seguintes
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
ou
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
,
conforme o posto de
T
seja 3 ou 2.
T : V V , dizemos que um subespao vetorial W V m m1 cclico (em relao a T ) quando existe um vetor u W tal que T (u) = 0 e {u, T (u) , , T (u)} uma base de W . Isto signica que W V um subespao vetorial de dimenso m, invariante por T , e que a restrio de T ao subespao W um operador nilpotente de ndice m. Por exemplo, na base K , anteriormente obtida quando analisamos um operador nilpotente de ndice 3, cada um dos vetores w1 , , wp gera um subespao cclico de dimenso 3, cada vj (j = 1, , q) gera um subespao cclico de dimenso 2 e cada ul (l = 1, , r) gera um subespao cclico de dimenso 1 (o que signica que T (u1 ) = = T (ul ) = 0).Dado um operador nilpotente
Teorema 77. Seja T : V V um operador nilpotente de ndice k num espao vetorial de dimenson. Existem inteiros k1 = k k2 kr > 0, tais que V = W1 W2 Wr , onde Wi um subespao cclico de dimenso ki . k1 + + kr = n . k 1 Tomando em cada Wi (i = 1, , r) uma base Ki = wi , T (wi ) , , T i (wi ) , obtemos uma base K = K1 Kr , em relao qual a matriz A (matriz de T ) formada por r blocos Ai M (ki ki ), ao longo da diagonal. Cada bloco Ai tem a forma vista no exemplo 76: para j < ki sua jsima coluna ej+1 Rki enquanto sua ki sima coluna zero.Claro que,
Existncia da Forma Cannica de JordanDenio 78.Uma matriz
J , n n, 0. . . . . .
est na forma cannica de Jordan, se ela da forma
J1 0 0 J2 J = . . . .. . . . . 0 0
, em que
j 0 1 j . . = . . . . 0 0 0 0
.. .
0 0. . .
Jj
Jk
j 1
0 0 . . . 0 j
para
j = 1, , k . Jk
chamado
bloco de Jordan. , , e
Exemplo 79.2 1 0 0 0 2 1 0
As matrizes
0 0 2 0
0 0 0 2
,
5 1 0 0
0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 1 3
4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7
esto na forma cannica de Jordan. sendo
A primeira formada de dois blocos de Jordan, o primeiro
33
e o segundo
1 1.
A segunda matriz formada por dois blocos de Jordan
2 2.
A
terceira, por somente um bloco e a ltima por 4 blocos de
1 1.
A matriz
2 1 0 0
0 2 1 0
0 0 0 0 2 0 1 1
no est na forma cannica de jordan.
Pois os elementos da diagonal no so iguais, ela teria de
ser formada por pelo menos dois blocos de Jordan e Entretanto, a entrada seria imediatamente acima de Seja
[1] deveria ser um 1 no igual a 0.
bloco de Jordan
1 1.
T :V V
um operador linear cujo polinmio minimal decompe como
pm (x) = (x 1 )r1 . . . (x k )rksendo de
1 , , k elementos distintos em C, ento mostraremos que o espao V a soma direta N (T I)ri , r = 1, , k . Inicialmente, daremos um exemplo para entendermos os citados T : R3 R3 v R3 ,
ncleos.
Exemplo 80.
Seja
o operador denido por
T (v) = Av ,
para todo
em que
5 1 0 A = 4 1 0 2 1 3 O polinmio caracteristco de autovalor de
T
dado por
pT () = det (A I3 ) = ( 3)3 .
Assim, o nico
T
= 3.
A forma escalonada reduzida de
2 1 0 A 3I3 = 4 2 0 2 1 0 Assim,
1 1 2 0 0 0 0 . 0 0 0
N (T 3I) = {(, 2, ) /, R}.
Agora, temos:
(T 3I)2 = 0, a transformao linear nula.
Como a
dim (W3 ) =multiplicidade = 3, ento
W3 = N (A 3I3 )2 = R3 .
Teorema 81. Seja T : V V um operador linear num espao vetorial (real ou complexo) dedimenso nita. Existe uma decomposio V = F G, como soma direta de subespaos invariantes F, G tais que T nilpotente em F e invertvel em G. Demonstrao.Como a dimenso de
V
nita, as sequencia de subespaos invariantes
V Im (T ) Im T 2 . . .no pode ser estritamente decrescente para sempre. Seja ento
Im T
k
= Im T
k+1
. Armamos que ento
Im T
k+1
k o menor nmero natural = Im T k+2 . Com efeito = Im T k+1 .
tal que
Im T k+2 = T Im T k+1Segue-se que
= T Im T k
Im T k+2 = Im T k+3
, etc. Note-se que vale
N (T ) N T 2 N T k = N T k+1 = N T k+2 = .Com efeito, pelo Teorema do Ncleo e da Imagem, temos
dim N T k+1
= dim (V ) dim Im T k+1 = dim (V ) dim Im T k = dim N T k .
Sejam
F = N T k e G = Im T k T : F F nilpotente. Alm disso,
.
Evidentemente,
as restrio
F e G so variantes por T e a restrio T : G G um operador sobrejetivo pois
T (G) = T Im T k T : G G Im T k = Im T 2kLogo invertvel. , existe
= Im T k+1 = Im T k = G. V = F + G. Dado v V , (v1 ). Ento, se escrevemoscomo
Mostraremos agora que tal que
v1 V
T (v) = T
k
2k
v = v T k (v1 ) + T k (v1 ) ,veremos que
T k v T k (v1 ) = T k (v) T 2k (v1 ) = 0, logo v T k (v1 ) F e, obviamente, T k (v1 ) G. Assim, todo elemento v V a soma de um vetor de F com um vetor de G, ou seja, E = F + G. Para concluir que V = F G, resta apenas mostrar que F G = {0}. Ora, sabemos
que
dim (F ) + dim (G) = dim (F + G) + dim (F G) = dim (V ) + dim (F G) .Por outro lado, o Teorema do Ncleo e da Imagem, aplicado ao operador
dim (V ) = dim (F ) + dim (G).
Segue-se ento que
dim (F G) = 0,
isto
T k : V V , nos , F G = {0}.
d
Lema 82. Seja F V um subespao invariante pelo operador A : V V . Se A : F Frepresenta a restrio de A ao subespao F , ento o polinmio pA divisor de pA .
Teorema 83. Seja V = F G como no teorema 81. Se n0 a multiciplidade algbrica do autovalor 0 do operador A : V V ento a dimenso do subespao F igual a n0 . Alm disso, F o ncleo e G a imagem de An0 : V V . Segue-se da que a decomposio V = F G, com as propriedades enunciadas naquele teorema, nica. Demonstrao. Sejam A : F F e A : G G as restries do operador A aos subespaos invariantes F e G. Como A nilpotente e A invertvel, o polinmio caracteristco de A n pA () = , n = dim F , e o de A cumpre a condio pA (0) = 0. O lema 82 nos d pA = pA pA . Por outro lado, pA () = n0 q (), com q (0) = 0. Assim, n pA () = n0 q (), com pA (0) = 0 e q (0) = 0. Segue-se que n = n0 . Sendo A nilpotente no subespao F de n n dimenso n0 , tem-se F N (A 0 ). Reciprocamente, se u N (A 0 ), escrevemos u = v + w , com v F (logo An0 (v) = 0) e w G. Ento 0 = An0 (v) + An0 (w) = An0 (w). Sendo A invertvel n n em G, de A 0 (w) = 0 conclui-se que w = 0, logo u = v F . Assim, F = N (A 0 ). Para provar n n que G = Im (A 0 ), observamos primeiro que, sendo A invertvel em G, o operador A 0 : G G n tambm invertvel, logo G Im (A 0 ). Por outro lado, para todo u V , escrevendo u = v + w n n n com v F e w G, temos A 0 (u) = A 0 (w) G (pois G invariante por A) logo Im (A 0 ) G. n Assim, Im (A 0 ) = G. Observao. Para uso da demonstrao do prximo teorema, notemos aqui que se V = F1 F2 Fr e dim V dim F1 + . . . + dim Fr ento V = F1 F2 Fr . Com efeito, tomando em cada subespao Fi uma base Bi (i = 1, , r) , o conjunto B = V1 V2 Vr gera V e o nmero de elementos de B dim V , logo B uma base de V . Assim, todo vetor v V se exprime, de modo nico, como soma v = v1 + v2 + . . . + vr , com v1 F1 , . . . , vr Fr . Noutras palavras, V = F1 F2 Fr .
Teorema 84. Sejam 1 , . . . , r os auto-valores distintos do operador A : V V , num espaovetorial complexo de dimenso nita. Para cada i = 1, . . . , r, sejam ni a multiplicidade algbrica de i e Vi = N [(A i I)ni ]. Ento dim Vi = ni e V = V1 Vr . Demonstrao. Mostremos inicialmente que ni tambm a multiplicidade algbrica do auto-valor 0 do operador Ai = A i I . Com efeito, pAi () = det [(A i I) I] = det [A ( i ) I] =
pA ( + i ). Temos pAi () = ( i )ni q () com q (i ) = 0. Logo pAi () = pA ( + i ) = ni r (), onde r () = q ( + i ), portanto r (0) = 0. Isto posto, o Teorema 83 nos assegura que dim Vi = ni . Em particular, dim V1 + . . . + dim Vr = dim V . Pela observao que procede este teorema, resta-nos apenas provas que V = V1 + . . . + Vr . Ora, o polinmio caracterstico do operador A se decompe na formar
pA () =j=1Se pusermos
( j )nj .
qi () =j=iobteremos os polinmios existem polinmios
( j )nj ,entre si. Por um conhecido teorema de lgebra,
q1 () , . . . , qr (), primos m1 () , . . . , mr () tais que
m1 () q1 () + . . . + mr () qr () = 1.Segue-se que
m1 (A) q1 (A) + . . . + mr (A) qr (A) = I.Assim, para todo
v V,
tem-se
v = v1 + . . . + vr , vi = mi (A) qi (A) (v) .Pelo teorema de Cayley-Hamilton, temos
Ani qi (A) = (A i I)ni ir
(A i I)nj
=j=1Logo
(A j I)nj = pA (A) = 0 i = 1, . . . , r.Isto conclui a demonstrao do
Ani (vi ) = 0, i
ou seja
vi Vi
para todo
teorema.
Teorema 85. Os subespaos Vi = [N (A i I)ni ] denidos no teorema 84 (anterior) so invariantes por qualquer operador B : V V que comute com A. Demonstrao. AB = BA (A i I) B = B (A i I) (A i I)ni B = B (A i I)ni .Logo v Vi (A i I)ni B (v) = B (A i I)ni (v) = B 0 = 0 B (v) Vi .
Corolrio 86. Os subespaos V1 , . . . , Vr so invariantes por A.
Um bloco de Jordan
nn
uma matriz triangular inferior da forma
1 B (; n) = 1
.. ..
. .
1
onde os elementos da diagonal so todos iguais, os elementos imediatamente abaixo da diagonal so todos iguais a 1 e os demais elementos so zeros. Diz-se que uma matriz est na
forma cannica de Jordan
quando ele triangular inferiorm
com blocos de Jordan as longo da diagonal e os demais elementos iguais a zero. Os blocos de Jordan devem estar agrupados consecutivamente em listas do tipo
B (i ; k1 ) , B (i ; k2 ) , . . . , B (i ; ksi ) ,onde
mos
k1 + k2 + . . . + ksi = ni =multiplicidade algbrica do auto-valor i da matriz dada. Por exemplo, dispondo os blocos B (1 ; 3) , B (1 ; 1) e B (2 ; 2) ao longo da diagonal, obteuma matrix 6 6 na forma cannica de Jordan: 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2
Teorema 87. Para todo operado A : V V num espao vetorial complexo de dimenso nita,exite uma base na qual a matriz se A tem a forma cannica de Jordan. Demonstrao.cada Seja
V = V1 V2 . . . Vr
a decomposio assegurada pelo teorema 84.
O
teorema 77 prova a existncia da forma cannica de Jordan para operadores nilpotentes. Ora, para
i = 1, . . . , r, a restrio (A i I) : Vi Vi nilpotente. Logo existe uma base Bi Vi na qual a matriz (A i I) : Vi Vi tem a forma cannica de Jordan (com zeros na diagonal). Logo a matriz da restrio A = ((A i I) + i I) : Vi Vi tem a forma cannica de Jordan.Do ponto de vista matricial, o resultado que acabamos de provar signica que, para toda
matriz quadrada complexa forma cannica de Jordan.
A,
existe uma matriz complexa invertvel
P
tal que
P 1 AP
est na
A Decomposio T = N + DT :V V nita, existe uma base B V na qual a matriz A de TMostramos que, dado um operador Segue-se que sendo os num espao vetorial complexo de dimenso formada por blocos de Jordan ao longo da
diagonal, sendo os blocos que correspondem as mesmo auto-valor de
T
agrupados consecutivamente.
a = n + d, auto-valores de T
onde
d
uma matriz diagonal, os elementos dessa matriz diagonal
repetidos de acordo com sua multiplicidade, e
n
uma matriz triangular
inferior nilpotente (logo os elementos de sua diagonal so todos iguais a zero) na qual os elementos imediatamente abaixo da diagonal so iguais a 1 ou 0 e os demais do nulos.
T = N + D, onde D : V V o operador cuja matriz na base B d e N : V V o operador nilpotente do qual n a matriz na base B . Um operador D : V V chama-se diagonalizvel quando exite alguma base de V na qual a matriz de D diagonal. Isto equivale a dizer que a referida base de V formada por auto-vetores do operador D .Resulta imediatamente da a decomposio Assim, acabamos de mostrar que, num espao vetorial complexo de dimenso nita, todo operador
T :V V
pode escrecer-se como soma
T = N +D
de um operador nilpotente com um
diagonalizvel. Na notao do teorema 84,
N
o operador cuja restrio a cada subespao
Vie
coincide com
T i I ,para todo
enquanto
D i = 1, . . . , r,
, restrito a cada uma dos Vi s igual asegue-se que
i I .
Como
T i I
i I N
comutam
N D = DN . T = N +Dcom nilpotente,
Provamos a seguir que esta a nica maneira de se escrever
D
diagonalizvel e
N D = DN .
Para maior clareza, destacaremos sob forma de lemas dois fatos elementares que usaremos na demosntrao dessa unicidade.
Lema 88. A restrio de um operador diagonalizvel D : V V a um espao invariante W V ainda um operador diagonalizvel D : W W . Demonstrao.Seja
B V
uma base formada por auto-vetores de
D.
Introduzimos em
V
um
produto interno impondo que a base cumpre a condio vale, em particular diagonalizvel.
B seja ortonormal. Relativamente a esse produto interno, D D (u) , v = u, D (v) para quaisquer u, v B , logo para quaisquer u, v V u, v W . Portanto a restrio D : W W um operador hermitiano, logo
Lema 89. A soma de dois operadores nilpotentes que comutam ainda um operador nilpotente.Demonstrao.Sejam
M, N : V V
com
M p = 0, N q = 0
e
MN = NM.
Esta comutatividade
assegura que vale o binmio de Newton:
p+q
(M + N )
p+q
=i=0
p+q M i N p+qi . i
No somatrio acima, as parcelas com
i p so nulas porque, neste caso, M i = 0. Se, entretanto, p+qi tem-se i < p ento p + q i > q , logo N = 0. Assim, as parcelas com i < p tambm so p+q nulas e conclumos que (M + N ) = 0.
Teorema 90. Seja V um espao vetorial complexo de dimenso nita. Para todo operador linearT : V V , existe uma nica decomposio A = N + D com N : V V nilpotente, D : V V diagonalizvel e N D = DN .
Demonstrao. Evidenteme, N e D comutam com A. Pelo teorema 85, cada subespao Vi = N [(T i I)ni ] invariante por N e por D. Para i = 1, . . . , r, sejam, (Ti , Ni , Di ) : Vi Vi as restries de T, N e D as subespao Vi . A igualdade Ti = Ni + Di pode ser escrita como (Ti i I) + i I = Ni + Di ou, ainda, como(Ti i I) Ni = Di i I.Pelo Lema 89, o operador
(Ti i I) Ni
nilpotente e pelo Lema 88,
Di
diagonalizvel, logo
Di i I
diagonalizvel (pois qualquer vetor no nulo auto vetor de
i I ).e
Pela igualdade
anterior, esses operadores so ao mesmo tempo, nilpotentes e diagonalizveis, logo iguais a zero. Portanto vale
Ni = Ti i I
e
Di = i I
para
i = 1, . . . , r.
Segue-se que
N
D
so os operadores
anteriormente obtidos a partir do teorema 84.
Roteiro para obteno da forma de Jordan1. Determine a forma matricial o operador linear. 2. Determine o polinmio caracteristico de
T.
O polinmio caracteristico de
T , ir nos orientar quantas vezes cada auto-valor ir apareento o auto-valor
cer na matriz de Jordan, por exemplo se tivermos o um operador com o seguinte polinmio caracteristico e o
pT (x) = (2 x)3 (3 x), auto-valor = 3, apenas uma vez. T.
=2
ir aparecer 3 vezes
3. Determine o polinmio mnimo de
O polinmio mnimo ir nos orientar dimenso dos blocos referente a cada auto-valor a matriz de Jordan ter, por exemplo considerando o polinmio caracteristico
pT (x) = (2 x) (3 x), os possveis polinmios mnimos so pm1 (x) = (2 x) (3 x), pm2 (x) = (2 x)2 (3 x) ou pm3 (x) = (2 x)3 (3 x) = pT (x), caso, o polinmio mnimo seja pm1 (x) = (2 x) (3 x), nossa matriz de Jordan ter 3 blocos de 1 1 referente ao auto-valor = 2 e 1 bloco de 1 1 referente ao auto-valor = 3. Caso o polinmio3
mnimo seja
pm2 (x) = (2 x)2 (3 x), a matriz de Jordan ter 1 bloco 2 2 e 1 bloco 1 1 referente ao auto-valor = 2 e 1 bloco de 1 1 referente ao auto-valor = 3. Caso contrrio a matriz de Jordan ter um bloco 3 3 referente ao auto-valor = 2 e 1 bloco de 1 1 referente ao auto-valor = 3.Seja
Exemplo 91.
T : R4 R4
denido por
T (x, y, z, t) = (2x y + t, 3y z, y + z, y + 3t) .Vamos obter a forma cannica de Jordan de 1. Obtendo a matriz de
T. 2 0 0 0 1 3 1 1 0 1 1 0 1 0 0 3 A.
T
na forma cannica
A = [T ] =
2. Determinando o polinmio caracteristico de
(2 ) 0 0 0 1 (3 ) 1 1 pA () = 0 1 (1 ) 0 1 0 0 (3 ) (3 ) 1 1 = (2 ) 1 (1 ) 0 0 0 (3 ) = (2 ) (3 )2 (1 ) + (3 ) = (2 ) ((3 ) ((3 ) (1 ) + 1)) = (2 ) (3 ) 3 3x x + x2 + 1 = (2 ) (3 ) x2 4x + 4 = (2 ) (3 ) (2 )2 pA () = (2 )3 (3 )3. Agora iremos determinar o polinmio mnimo de so
=0 =0
T , para isso temos que, as possveis solues
pm1 () = (2 ) (3 ) pm2 () = (2 )2 (3 ) pm3 () = (2 )3 (3 ) = pA ()
Para isso, vamos testar a primeira e a segunda hiptese, pois, para a terceira, j sabemos que zera a equao.
(2I A) = (3I A) =
2 0 0 0 3 0 0 0
0 2 0 0 0 3 0 0
0 0 2 0 0 0 3 0
0 0 0 2 0 0 0 3
2 0 0 0 1 3 1 1 = 0 1 1 0 1 0 0 3 2 0 0 0 1 3 1 1 = 0 1 1 0 1 0 0 3
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 , 0 1 2 0 1 0 0 0
logo,
(2I A) (3I A) =
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1
0 0 0 0 1 1 = 1 2 0 0 0 0 T.
0 0 0 0 1 1 1 1 = 0, 1 1 1 1 0 0 0 0 (2 )2 (3 ), 0 0 0 2 , 0 1 0 1
portanto
(2 ) (3 )
no o polinmio mnimo de
Agoras testando
primeiramente calculando
(2 ) = (2I A) = 2 2
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
=
0 2 1 1
0 0 0 0
assim,
(2 ) (3 ) = 2
0 2 1 1
0 0 0 0
1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 = 1 2 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
portanto, temos que o polinmio, bloco
22
referente ao
pm () = (2 )2 (3 ), assim temos que teremos um auto-valor = 2 mais um bloco 1 1, e 1 bloco 1 1, referente ao
auto-valor
= 3,
deste modo a forma de Jordan de
T 0 0 0 3
J =
2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
.
Exemplo 92.
Seja o operador linear pela matriz
0 0 1 A = [T ] = 1 0 3 0 1 3Determinando o polinmio caracteristco de
T 0 0 1 0 =0 0 1 =0
det (A I) =
=
0 0 1 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 0 1 (3 ) 3 + 32 3 + 1 = 0 Ttemos que
= 2 (3 ) + 1 3 = 0
fatorando o polinmio caracteristco de
pT () = ( 1)3 ,
deste modo temos
que as possveis formas do polinmio mnimo so:
pm1 () = ( 1) , pm2 () = ( 1)2 ,Assim, vericando temos que dimenso
ou
pm3 () = ( 1)3
pm () = pT (),
ou seja, teremos apenas um bloco de Jordan de
3 3,
portanto
1 0 0 J = 1 1 0 . 0 1 1o operador denido por
Exemplo 93.que
Seja
T : R3 R3
T (X) = AX ,
para todo
X R3 ,
em
5 1 0 A = 4 1 0 2 1 3 T dado por
O polinmio caracteristco de
p () = det (A I) = ( 3)3 .
Assim o nico
auto-valor de
T
= 3.
A forma escalonada reduzida de
2 1 0 A 3I = 4 2 0 2 1 0 Assim,
1 1 0 2 0 0 0 0 0 0
ker (T 3I)2 = R3 = W3 . 2 3 Precisamos encontrar um vetor que pertena ao ker (T 3I) = R , mas no pertena ao ker (T 3I) que o subespao que tem como base {V1 = (0, 0, 1) , V2 = (1, 2, 0)} . Para isso, vamos descobrir qual(is) vetores da base cannica pertencem a ker (T 3I).e
ker (T 3I) = {(, 2, ) /, R}
2 1 0 (A 3I) [e1 e2 e3 ] = (A 3I) I = 4 2 0 . 2 1 0Da concluimos que os vetores
e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0) no pertencem a ker (T 3I). Consideremos ento o ciclo iniciado com W1 = e1 . W2 = (A 3I) e1 = (2, 4, 2). Vamos tomar para W3 um auto-vetor de T que no mltiplo escalar de W2 . Por exempo, W3 = V1 . Assim, se 1 2 0 P = [W1 W2 W3 ] = 0 4 0 , 0 2 1que est na forma cannica de Jordan.
ento
3 0 0 P 1 AP = 1 3 0 , 0 0 3
ConclusoNeste trabalho apresentamos uma constuo para encontrar uma matriz semelhante diagonal ou quase diagonal de um operador linear complexa, de forma simples. A referida construo fora apresentada por meio de uma sequncia de conceitos, denies, teoremas, corolrios, proposies, lemas e matriz de Jordan (conforme desenvolvimento do trabalho). Em particular, apresentamos dois tipos de exemplos, um refere-se ao polinmio minimal que nos permitiu obter a dimenso dos blocos de Jordan, e outro onde encontramos uma base. Finalmente, constuimos uma base para encontrar uma matriz diagonal ou quase diagonal semelhante a
A, o que nos permite trabalhar com uma matriz, inicialmente
P
invrtivel tal que
J = P 1 AP , sendo J
a matriz
A.
Referncias[1] BUENO, Hamilton Prado. SBM, 2006. [2] HOFFMAN, Kenneth. KUNZE, Ray. 1979 [3] LIMA, Elon Lages. IMPA, 2001.
lgebra Linear - Um Segundo Curso. Linear Algebra.New Jersey:
Rio de Janeiro:
Prentice-Hall,
lgebra Linear:
A Forma Cannica de Jordan. Rio de Janeiro:
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