fourierova trasnformacija
Post on 24-Jul-2015
63 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Analiza signala i sistema u frekventnom domenu Fourierova transformacija
Teorija signala i sistema I
doc.dr. Nermin Suljanović
Uvod
Fourierov red – predstavljanje periodičnih signala kao beskonačne sume harmonijskih funkcija.
x(t) – neki aperiodičan signal koji se može posmatrati kao periodičan signal sa peridom T.
U slučaju aperiodičnih signala, amplitudni i fazni spektar su diskretni jer harmonijske komponente poprimaju samo učestanosti koje su cjelobrojni multipl osnovne učestanosti 0=2/T. T 00
Fourierova transformacija – proširenje koncepta na aperiodične signale.
Predstavljanje aperiodičnih signala
Posmatraćemo povorku pravougaonih impulsa.
2/,0
,1)(
1
1
TtT
Tttx
povećavamo T
držimo fiksno
Tk
Tkak
0
10 )sin(2
0
)sin(2 1
kk
TkTa
Ako posmatramo kao kontinualnu promjenljivu, funkcija (2sinT1)/ predstavlja anvelopu Tak dok su koeficijenti ak uzorci ove anvelope u jednakim intervalima.
•Sa povećanjem perioda T, anvelopa se uzorkuje sa kraćim intervalima između uzoraka.
•Istovremeno, koeficijenti Fourierovog reda pomnoženi sa T postaju sve bliži i bliži.
•Aperiodični signal možemo posmatrati kao limes periodičnog signala kada T.
Posmatramo signal x(t) konačnog trajanja (interval od –T1 do T1).
Iz aperiodičnog signala konačnog trajanja formiramo periodični signal .)(~ tx
tjk
kkeatx 0)(~
dtetxT
dtetxT
a tjkT
T
tjkk
00 )(1
)(~1 2/
2/
Na intervalu od –T/2 do T/2 je )()(~ txtx
Definirajmo anvelopu X(j) od Tak:
dtetxjX tj )()( )(1 jXT
ak
Zamijenimo ak u Fourierov red:
k
tjkejkXT
tx 0)(1
)(~0
0
2
T
000)(
2
1)(~
k
tjkejkXtx
0 ),(~0 txxT
Par Fourierove transformacije
dejXtx tj
)(2
1)(
dtetxjX tj
)()(
Prikaz aperiodičnog signala kao linearnu kombinaciju kompl. eksp. signala kojima odgovara kontinum frekvencija i amplituda X(j)/(d/)
Spektar aperiodičnog signala x(t)
Konvergencija Fourierovog integrala
1. Kada x(t) ima konačnu energiju, tada se može garantirati da je X(j) konačno (energija greške jednaka je nuli).
2. Dirichletovi uslovi
dttx2
)(
Dirichletovi uslovi
1. x(t) je apsolutno integrabilna funkcija.
2. x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar konačnog intervala.
3. x(t) ima konačan broj prekida unutar bilo kojeg konačnog intervala. Osim toga, svaki od ovih prekida mora biti konačan.
dttx )(
Primjer
Pravougaoni impuls
1sin2
)(1
1
TdtejX
T
T
tj
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
1/T1/T12T
12)()0( TdttxX
djX )(
trouglapovršina2
1)(
2
1)0(
djXx
Delta impuls
)()( ttx
det tj
2
1)(
)()( ttx
1)()( dtetjX tj
)()( 0tttx
0)()( 0tjtj edtettjX
Primjer
W
WjX
,0
,1)(
)( jX
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
/W
W/ W/
t
Wtdetx
W
W
tj
sin
2
1)(
Svojstvo dualnostiSvojstvo dualnosti
Primjer. Guasov proces (vjerovatnoća)2
)( atetx
a
aa
jta
a
ja
a
jt
ajta
tjat
ea
ee
dte
dteejX
4
42
22
2
22
222
2
)(
11
~
aa
t
Princip neodređenosti!Princip neodređenosti!
Ne možemo istovremeno osigurati da i Ne možemo istovremeno osigurati da i t i t i budu budu proizvoljno mali!proizvoljno mali!
Fourierova transformacija periodičnih signala Da bi razmatrali periodične i aperiodične signale u istom
kontekstu. FT izvodimo direktno iz predstave periodičnog signala
pomoću FR. Transformaciju čini povorka impulsa u frekventnom
domenu, sa površinom impulsa proporcionalnom koeficijentima reda.
Posmatrajmo signal čija je Fourierova transformacija oblika X(j)=2(-0)...
Fourierova transformacija periodičnih signala Signal x(t) odredićemo pomoću inverzne Fourierove transformacije:
Generalizirajmo prethodni izraz tako što će X(j) biti linearna kombinacija ekvidistantnih impulsa
kome odgovara signal oblika:
tjtj edetx 002)(
02)( kajXk
k
tjk
kkeatx 0)(
Predstava periodičnog signala pomoću
Fourierovog reda!
Fourierova transformacija periodičnih signala FT periodičnog signala koji ima koeficijente
Fourierovog reda {ak} se interpretira kao povorka impulsa u tačkama =k0.
Površina impulsa koji odgovara k-tom harmoniku frekvencije k0 je jednaka 2 puta k-ti koeficijent Fourierovog reda ak.
Primjer
Analiziramo jediničnu povorku pravougaonih impulsa sa periodom T i trajanjem 2T1. Koeficijenti razvoja ovog signala u Fourierov red su:
pa je i Fourierova transformacija ovog signala:
k
Tkak
10sin
)(sin2
010 k
k
TkjX
k
Primjer. Povorka impulsa
n
nTttx )()(
2/
2/
1)(
1)( 0
T
T
tjkk T
dtetxT
atx
n T
k
TjX
22)(
Isti oblik funkcije i u vremenskom i u frekventnom domenu!
Tperiod u vremenskom domenu
2/Tperiod u vremenskom domenu
Osobine Fourierove transformacije
Linearnost Vremenski pomak Konjugovanje Diferenciranje i integracija Skaliranje vremena i frekvencije
Linearnost)()( jXtx
F
)()()()( jbYjaXtbytaxF
)()( jYtyF
Vremenski pomak)()( jXtx
F
)()( 00 jXettx tj
F
Zaista,
)(
2
1
2
1)(
0
0
00
jXe
dejXe
dejXttx
tj
tjtj
ttj
Samo dodatni fazni pomak za -t0!
Konjugovanje)()( jXtx
F
)()( ** jXtxF
Zaista,
dtetxdtetxjX tjtj
)()()( *
*
*
dtetxjX tj
)()( **
)()(* jXjX Za realan signal!
Diferenciranje i integracija Neka je x(t) signal čija je Fourierova transformacija X(j). Ako difernciramo izraz za x(t) po t:
Očigledno je:
Diferenciranje u vremenskom domenu odgovara množenju sa j u frekventnom domenu.
Integracija je inverzna operacija te integracija po vremenu odgovara množenju sa 1/ j u frekventnom domenu.
Uzimajući u obzir i DC komponentu na izlazu integratora:
dejXjdt
tdx tj
)(2
1)(
)()( jXj
dt
tdx F
)()0()(1
)(
XjXj
dxt
Primjer
Odrediti Fourierovu transformaciju Heavisideove funkcije.
1)()()()(
dtetjGttg tj
dtutxt
)()()( )()0()(
)( G
j
jGjX
1)( jG )(1
)(
j
jX
1)(1)(
)(
jj
dt
tdut
F0)(
U drugom smjeru...
jer je
Skaliranje vremena i frekvencije)()( jXtx
F
a
jX
aatx
F 1)(
Zaista,
dteatxatx tj)()(F
at
0,)(1
0,)(1
)(
adexa
adexa
atxa
j
aj
F
Parsevalov teorem)()( jXtx
F
djXdttx
22)(
2
1)(
Zaista,
dtdejXtx
dttxtxdttx
tj
)(2
1)(
)()()(
*
*2
Promjenom redoslijeda integracije dobivamo:
djX
djXjX
ddtetxjXdttx tj
2
*
*2
)(2
1
)()(2
1
)()(2
1)(
Parsevalov teorem govori da se ukupna energija signala može odrediti ili integriranjem energije po jedinici vremena |x(t)|2 duž cijele vremenske ose ili integriranjem energije po jedinici frekvencije |X(j)|2/2 za sve frekvencije.
Dualnost
dejXtx tj
)(2
1)(
dtetxjX tj
)()(RAZLIKE!RAZLIKE!
Pretpostavićemo da su f(·) i g(·) dvije funkcije povezane relacijom:
Tada je: degrf jr
)()(
Za = t i r = :
Za =- i r = t:
)()()()( 11 fjXtgtx
)(2)()()( 22 gjXtftx
Dualnost
Konvolucija
Odziv LTI sistema na ulaz x(t) je određen konvolucionim integralom:
Fourierova transformacija Y(j) signala y(t):
dthxty )()()(
dtedthxtyjY tj
)()()()( F
Promjenom redoslijeda integracije:
ddtethxtyjY
jHe
tj
j
)(
)()()()( F
)(
)()()()()(
jX
jj dexjHdjHexjY
)()()( jXjHjY
Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva Fourierova transfromacija preslikava konvoluciju dva signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.signala u proizvod njihovih Fourierovih transformacija.
Množenje
Svojstvo konvolucije govori da konvolucija u vremenskom domenu odgovara množenju u frekventnom domenu.
Usljed dualnosti između vremenskog i frekventnog domena, množenje u vremenskom domenu odgovara konvoluciji u frekventnom domenu.
djPjSjRtptstrF
))(()(2
1)()()()(
Primjer
Neka je s(t) signal čiji je spektar S(j). Ako je p(t)=cos0t, odrediti spektar signal r(t)=s(t)p(t).
)()()( 00 jP
)( jS
11
)( jP
11
A
Spektar signala R(j) je:
)(2
1)(
2
1
)()()(2
1
))(()(2
1)(
00
00
jSjS
djS
djPjSjR
)( jR
0
2/A
10 0 10 10 10
Literatura
Oppenheim, Willsky, “Signals and Systems”, Prentice-Hall, Second edition.
MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.
top related