funciones y transformaciones
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Funciones y Transformaciones:Funciones y Transformaciones:Maneras de Manipular el Maneras de Manipular el
EspacioEspacioVanessa Santiago OlivaresVanessa Santiago Olivares
Glenn MéndezGlenn MéndezMATE 5100 Matemáticas DiscretasMATE 5100 Matemáticas Discretas
14 de enero de 201014 de enero de 2010
IntroducciónIntroducción
Función – modelo (matemático) que Función – modelo (matemático) que expresa la relación entre la(s) variable(s) expresa la relación entre la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependienteindependiente(s) y la variable dependiente Valores de la(s) variable(s) independiente(s) Valores de la(s) variable(s) independiente(s)
= dominio de la función= dominio de la función Valores de la variable dependiente Valores de la variable dependiente
= co-dominio de la función= co-dominio de la función
IntroducciónIntroducción
Características de la funciónCaracterísticas de la función Posee un dominio y un co-dominioPosee un dominio y un co-dominio Cada valor del dominio tiene un valor único Cada valor del dominio tiene un valor único
en el co-dominioen el co-dominio Los valores del dominio y co-dominio se Los valores del dominio y co-dominio se
relacionan mediante unas reglas fijas, es relacionan mediante unas reglas fijas, es decir, las reglas no cambiandecir, las reglas no cambian
EjemplosEjemplos
y = xy = x22
Dominio = los Dominio = los números realesnúmeros reales
Co-dominio = los Co-dominio = los números positivosnúmeros positivos
Menú de Menú de 9999¢ ¢
Dominio = Hamburgers, Dominio = Hamburgers, papas fritas, nuggets, papas fritas, nuggets, helado, refresco, helado, refresco, ensaladaensalada
Co-dominio = 99Co-dominio = 99¢¢ + IVU!!+ IVU!!
IntroducciónIntroducción
Transformación – función especial que Transformación – función especial que establece la relación entre dos espaciosestablece la relación entre dos espacios
Gráficos de FuncionesGráficos de Funciones
En términos matemáticos, la relación entre En términos matemáticos, la relación entre el dominio y el co-dominio de una función, el dominio y el co-dominio de una función, o un conjunto de funciones, se puede o un conjunto de funciones, se puede representar gráficamenterepresentar gráficamente
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
x
y
22 xy
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
x
y
31 ;1
32 ;72
21 ;12
xy
xxy
xxy
Gráficos de FuncionesGráficos de Funciones
No todas las representaciones gráficas No todas las representaciones gráficas son apropiadas o dan la información son apropiadas o dan la información necesarianecesaria
Ejemplo:Ejemplo:
Por tanto, es importante poder hacer Por tanto, es importante poder hacer transformaciones de un espacio a otro que transformaciones de un espacio a otro que provean la información de interésprovean la información de interés
TransformacionesTransformaciones
Hay tres tipos principales de Hay tres tipos principales de transformaciones afines (mantienen las transformaciones afines (mantienen las líneas paralelas)líneas paralelas) Traslación o desplazamientoTraslación o desplazamiento ““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad RotaciónRotación
Cualquier otro tipo de transformación se Cualquier otro tipo de transformación se puede obtener con una combinación de puede obtener con una combinación de las anterioreslas anteriores
Traslación o DesplazamientoTraslación o Desplazamiento
Ahí voy!
Adios…
Traslación o DesplazamientoTraslación o Desplazamiento
No cambia tamaño, forma, orientación, ni No cambia tamaño, forma, orientación, ni propiedad algunapropiedad alguna Sólo mueve el objeto de un lugar a otroSólo mueve el objeto de un lugar a otro
z
y
x
tzz
tyy
txx
'
'
'
tx
tz
ty
(x’,y’,z’ )
x
y
z
““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad
Uju…
Soy Hulk!
Que vergüenza…
Me voy.
““Scaling” o dimensionalidadScaling” o dimensionalidad
Cambia la forma de los objetos al Cambia la forma de los objetos al multiplicar las dimensiones por un factor kmultiplicar las dimensiones por un factor k
x’ = kxx y’ = kyy x’ = kxxy’ = kyy
F(x,y)
RotaciónRotación
Yo soy la Inter…
…pa’que tú lo sepas !
RotaciónRotación
Cambio en el ángulo Cambio en el ángulo de inclinación de inclinación usando el origen usando el origen como referenciacomo referencia Es más fácil Es más fácil
explicarlo usando explicarlo usando coordenadas polares coordenadas polares en vez de cartesianasen vez de cartesianas
x
y
z
y’x’
z’
α
x’ = z sin(α) + x cos(α)y’ = yz’ = z cos(α) – x sin(α)
Combinando TransformacionesCombinando Transformaciones
Imagen de espejoImagen de espejo 1.1. Establecer plano Establecer plano cartesiano y cartesiano y referenciareferencia
2.2. Establecer funciónEstablecer función
3.3. Realizar Realizar transformación(es)transformación(es)
4.4. Simplificar Simplificar ecuacionesecuaciones
Combinando TransformacionesCombinando Transformaciones
f(x,y,z) Traslaciónal origen
Rotación Traslaciónal punto
final
Inverso de la FunciónInverso de la Función
Se estableció que para que sea función Se estableció que para que sea función cada valor del dominio debe tener un solo cada valor del dominio debe tener un solo valor en el co-dominiovalor en el co-dominio
Para que la función tenga inverso, es Para que la función tenga inverso, es además necesario que cada valor del co-además necesario que cada valor del co-dominio tenga un valor único del dominiodominio tenga un valor único del dominio
y = 4x + 3x = (y – 3) ÷ 4
Preguntas?Preguntas?
…estoy cansao.
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