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Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas
Estudo da função seno Estudo da função seno
1
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Compasso - www.ser.com.br
As funções cossecante, secante e cotangente As funções cossecante, secante e cotangente
Estudo da função cosseno Estudo da função cosseno
Estudo da função tangente Estudo da função tangente
Funções trigonométricas Funções trigonométricas
Funções trigonométricas inversas Funções trigonométricas inversas
Estudo da função senoEstudo da função seno
2
f(x) = sen x
x sen x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
0
0
0
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
1
1
3
Estudo da função senoEstudo da função seno
Observações:Observações:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1].
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1] , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo,
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = sen (x). Por exemplo,
5 3... 1.
2 2 2
sen sen sen
1 1.
6 2 6 2
sen sen
4
Estudo da função senoEstudo da função seno
Periodicidade:Periodicidade:O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2
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Estudo da função senoEstudo da função seno
Sinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.
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Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
f(x) = cos x
x cos x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
0
1
0
3 / 2
3 / 2
3 / 2
3 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
2 / 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
0
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Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
Observações:Observações:
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D =
3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1].
4ª) O período é o mesmo: p = 2.
5ª) A função cosseno não é nem injetiva nem subjetiva.
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).
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Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno
Sinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.
x cos x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
9
0
0
0
3 / 3
3 / 3
3 / 3
3 / 3
1
1
1
1
3
3
3
3
Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
f(x) = tg x
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Observações:Observações:
Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im = .
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = tg (x).
5ª) Período: p = .
| , .2
D = k kx x
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Estudo da função tangenteEstudo da função tangente
Sinal:Sinal:
A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.
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As funções cossecante, secante e cotangenteAs funções cossecante, secante e cotangente
1,
1,
,
1,
cossec x para sen x 0;sen x
sec x para cos x 0;cos x
cos xcotg x para sen x 0;
sen x
cotg x para sen x 0 e cos x 0.tg x
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Funções trigonométricasFunções trigonométricas
x sen x y = 2 + sen x
0
2
3
2
2
0
1
0
1
0
2 0 2
2 1 3
2 0 2
2 1 1
2 0 2
( ) 2 .f x sen x, com x
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Funções trigonométricasFunções trigonométricas
( ) .f x cos 2x, com x
x 2x y = cos 2x
0
2
3
2
2
1
0
1
0
1
0
4
2
3
4
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Funções trigonométricas inversasFunções trigonométricas inversas
Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora.
Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x.
Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x.
Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x.
1.
2 2 2 6
2 30 .
2 4
53 .
2 2 3
Se x e x arcsen , então x
Se x e x arccos , então x
Se x e x arctg , então x
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