fundamentos de computación cuántica

Fundamentos de computación cuántica

Andres Sicard Ramırez

Mario Elkin Velez Ruız

Juan Fernando Ospina Giraldo

Luis Fernando Moreno (Grupo de Logica y Computacion. Universidad EAFIT,

Medellın)

{asicard,mvelez,jospina,lmorenos}@eafit.edu.co

Cursillo en el X Encuentro ERM

Universidad de Medellın

Julio 12–16, 2004

– p. 1

Contenido

1. Introducción a la computación cuántica

2. Preliminares (matemáticos, físicos, informáticos)

3. Circuitos cuánticos

4. Algoritmos cuánticos (Deutsch, Deutsch-Jozsa,Shor)

5. Simuladores

6. Realización física

– p. 2

Recursos bibliográficos

(introductorios)

• Texto guía: Isaac L. Chuang y Michael A. Nielsen.Quantum computation and quantum information.Cambridge: Cambridge University Press, 2000 .

• N. David Mermin. From cbits to qubits: teaching

computer scientists quantum mechanics. Eprint:arXiv.org/abs/quant-ph/0207118.

• Eleanor Rieffel y Wolfgang Polak, An introduction to

quantum computing for non-physicists. Eprint:arXiv.org/abs/quant-ph/9809016.

• Dorit Aharonov. Quantum computation. Eprint:arXiv.org/abs/quant-ph/9812037.

– p. 3

Recursos Internet

• Servidor de los Alamos (arxiv.org/)(xxx.lanl.gov).

• Virtual Journal of Quantum Computation(www.vjquantuminfo.org/).

• Artículos clásicos(pm1.bu.edu/~tt/qcl.html).

• Centre for Quantum Computation - Oxford(www.qubit.org/)

• Simuladores(www.vcpc.univie.ac.at/~ian/hotlist/qc/programming.shtml)

– p. 4

Introducción a la computación

cuántica

• Alan Mathison Turing (1936): Máquina de Turing• K. de Leeuw, E. F. Moore, C. E. Shannon y N.

Shapiro (1956): Computación probabilista.• Charles H. Bennett (1973): Computación

reversible.

Compuerta no reversible: yx xor x⊕ y

Compuerta reversible: yx xor x⊕ y

– p. 5

• Edward Fredkin y Tommaso Toffoli (1982):Compuertas universales reversibles.

Toffoliz ⊕ (x ∧ y)yx

z⊕(x∧y) =

x ∧ y ssi z = 0 (compuerta and),

x⊕ z ssi y = 1 (compuerta xor ),

¬z ssi x = y = 1 (compuerta not),

z ssi x = 0; y = 1 (compuerta identidad).

– p. 6

• Richard Feynman (1982, 1985): Computaciónmecánico-cuántica.

• David Deutsch (1985): Máquinas de Turingcuánticas.

Máquina de TuringClásica

Máquina de TuringProbabilista

Máquina de TuringReversible

≡ Máquina de TuringCuántica

– p. 7

• David Deutsch (1989): Circuitos cuánticos.Intercambio de qubits:

| y〉| x〉

⊕⊕

⊕ | x〉| y〉

– p. 8

• Peter Shor (1994): Algoritmo para factorizar unnúmero en sus factores primos de complejidadtemporal polinomial

Complejidad polinomial

Complejidad exponencial

– p. 9

Algoritmo de Shor vs. algoritmo clásico

Número de dígi-tos

Algoritmoclásico

Algoritmo deShor

129 1.85 años 45.9 minutos250 2.1× 106 años 3.4 horas1000 4.5× 1025 años 3.07 días

– p. 10

• Lov K. Grover (1996): Algoritmo de busqueda enuna base de datos desorganizada.

• Implementación

• 1998: 2-qubit (University of California Berkeley)• 1999: 3-qubit (IBM-Almaden)• 2000: 5-qubit (IBM-Almaden, Los Alamos)• 2001: 7-qubit (IBM-Almaden)

– p. 11

• Simuladores• Bernhard Ömer (1994): QCL: A Programming

Language for Quantum Computers (paraLinux).

• Colin P. Williams y Scott H. Clearwater (1997):Simulador implementado en MATHEMATICATM .

– p. 12

Preliminares matemáticos

• Álgebra línealEspacios vectoriales y operadores línealesRepresentaciones matriciales y espectrosEspacios y operadores unitarios

• Álgebra multilinealProducto tensorial de espacios vectorialesProducto tensorial de operadores lineales

• Análisis línealFunciones de operadores línealesEcuaciones de evoluciónEspacios de Hilbert y álgebras BanachTransformada cuántica de Fourier

– p. 13

Álgebra líneal

• Espacios vectoriales y operadores líneales• Representaciones matriciales y espectros• Espacios y operadores unitarios• Matrices hermíticas, matrices de Pauli

– p. 14

Álgebra multilineal

• Producto tensorial de espacios vectoriales• Producto tensorial de operadores líneales• Matrices de Dirac y álgebras de Clifford• Grupos y álgebras de Lie

– p. 15

Análisis líneal

• Funciones de operadores líneales• Exponencial de operadores líneales• Ecuaciones de evolución• Espacios de Hilbert y álgebras Banach• Transformada cuántica de Fourier

– p. 16

Preliminares físicos

– p. 17

– p. 18

– p. 19

– p. 20

– p. 21

– p. 22

– p. 23

– p. 24

– p. 25

– p. 26

– p. 27

– p. 28

– p. 29

– p. 30

– p. 31

– p. 32

– p. 33

– p. 34

– p. 35

– p. 36

– p. 37

Postulados de la mecánica cuántica

• Primer postulado: A cada sistema físico descritopor la mecánica cuántica se le asocia un espaciode Hilbert, y a cada estado del sistema un vector(ket), de ese espacio.

• Segundo postulado: Toda cantidad físicamedible está descrita por un operador A que actúasobre el espacio de Hilbert, este operador es unobservable.

• Tercer postulado: El único resultado posible deuna medida física, es un autovalor delcorrespondiente observable.

– p. 38

• Cuarto postulado (caso discreto nodegenerado): Cuando una cantidad física esmedida sobre un sistema, el cual está en unestado normalizado | x〉, la probabilidad deencontrar el autovalor an correspondiente a unobservable A es:

P (an) = |〈n|x〉|2,donde |n〉 son los autovectores normalizados deA, asociados a los autovalores an.

– p. 39

• Quinto postulado: Si la medida de una cantidadfísica sobre un sistema que está en un estado | x〉da un resultado an, el estado del sistema está,inmediatamente después de la medida, en laproyección normalizada,

Pn | x〉√

〈x|Pn|x〉,

de | x〉 sobre el auto-subespacio asociado a an.

– p. 40

• Sexto postulado: La evolución en el tiempo delvector de estado | x(t)〉 es gobernada por laecuación de Schrödinger:

dt| x(t)〉 = H(t) | x(t)〉 ,

donde H(t) es el Hamiltoniano del sistema,observable asociado con la energía.

– p. 41

Preliminares informáticos

• In(computabilidad)• Máquinas de Turing• Máquina universal de Turing• Compuertas lógicas universales

• In(tratabilidad)• Notación asintótica• Complejidad algorítmica• Clases de complejidad P y NP

• Problemas NP -completos

– p. 42

Circuitos cuánticos

• Compuertas cuánticas de 1-qubitEspacio vectorial de 1-qubitOperador unitario sobre 1-qubitMatrices de Pauli (X, Y, Z)Compuertas de Hadamard (H), fase (S) y π/8

(T )Operadores de rotación y descomposiciones

• Compuertas cuánticas controladasCompuerta CNOTCompuerta U controlada y su implementaciónCompuerta C2(U) y su implementación

• Compuertas cuánticas universales

– p. 43

Compuerta Hadamard

• Circuito

• Representación matricial

1 −1

– p. 44

Compuerta de Pauli X

• Circuito

– p. 45

Compuerta de Pauli Y

• Circuito

0 −i

– p. 46

Compuerta de Pauli Z

• Circuito

0 −1

– p. 47

Compuerta de fase

• Circuito

– p. 48

Compuerta π/8

• Circuito

0 eiπ/4

– p. 49

Compuerta U

• Circuito

U = eiαAXBXC,ABC = I

– p. 50

Compuerta CNOT

• Circuito

| t〉| c〉

⊕ | t⊕ c〉| c〉

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

– p. 51

Operación U controlada

• Circuito

| t〉

| c〉

U U c | t〉

| c〉

– p. 52

Compuerta X controlada

• Circuito

| t〉

| c〉

X Xc | t〉

| c〉

– p. 53

Compuerta Z controlada

• Circuito

| t〉

| c〉

Z Zc | t〉

| c〉

– p. 54

Compuerta corrimiento de fase

controlada

• Circuito

| t〉

| c〉

eiαI eiαcI | t〉

| c〉

0 eiαcI

– p. 55

Compuerta corrimiento de fase

controlada

• Circuito equivalente

0 eiα

– p. 56

Operación U controlada

• Circuito

⊕ ⊕

U = eiαAXBXC,ABC = I– p. 57

Operación C2(U)

• Circuito

| t〉

| c1〉

| c2〉

U U c1c2 | t〉

| c1〉

| c2〉

0 U c1c2

– p. 58

Operacion C2(U)

• Circuito

V V † V

⊕ ⊕

V es cualquier operador unitario que satisface V 2 = U .V ≡ (1− i)(I + iX)/2 corresponde a la compuertaToffoli.

– p. 59

Algoritmos cuánticos

y ⊕ f(x)

| 0〉

| 0,f(0)〉+| 1,f(1)〉)

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉

Circuito cuántico para evaluar f(x) : {0, 1} → {0, 1}. Lacompuerta Uf actúa sobre un sistema 2-qubit. Aprovechala superposición de estados del primer qubit para evaluarparalelamente f(0) y f(1).

– p. 60

Algoritmo de Deutsch

| 0〉

| 0〉 − | 1〉)

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉

Circuito cuántico para el Algoritmo Deutsch

– p. 61

Algoritmo de Deutsch-Jozsa

nH⊗n H⊗n

| 0〉n

| 0〉 − | 1〉)

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉

Circuito cuántico para el algoritmo Deutsch-Jozsa

– p. 62

Factorización cuántica

• Transformada cuántica de Fourier• Estimación de fase• El orden r de x módulo N

• Algoritmo de Shor

– p. 63

Transformada cuántica de Fourier

En un sistema n-qubit, la transformada cuántica deFourier Fq sobre los elementos de su base, se definecomo

Fq: C2n → C2n

| k〉n 7→ c0 | 0〉n + c1 | 1〉n + . . .+ c2n−1 | 2n − 1〉 ,

Fq | k〉n =1√2n

2n−1∑

e2πijk2n | j〉n , para 0 6 k < 2n .

– p. 64

Debido a la linealidad de Fq, la transformada deFourier cuántica sobre un sistema superpuesto|Ψ〉 = α0 | 0〉n + α1 | 1〉n + . . .+ α2n−1 | 2n − 1〉n es

Fq |Ψ〉 = Fq (α0 | 0〉n + α1 | 1〉n + · · ·+ α2n−1 | 2n − 1〉n)= α0Fq | 0〉n + α1Fq | 1〉n + · · ·+ α2n−1Fq | 2n − 1〉n .

– p. 65

La Fq para un estado base | k〉n = | k1k2 . . . kn〉 sepuede representar mediante

Fq| k〉n= 1√2n

| 0〉+e2πi0.kn | 1〉)

| 0〉+e2πi0.kn−1kn | 1〉)

⊗···⊗(

| 0〉+e2πi0.k1k2...kn | 1〉)

| k4〉

| k3〉

| k2〉

| k1〉

••

• •××

×H R2 R3 R4

H R2 R3

|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉 |ψ3〉 |ψ4〉 |ψ5〉 |ψ6〉 |ψ7〉 |ψ8〉 |ψ9〉 |ψ10〉|ψ11〉

|ψ12〉– p. 66

En un sistema n-qubit, la inversa de Fq sobre loselementos de su base, se define como

F−1q : C2n → C2n

| k〉n 7→ c0 | 0〉n + c1 | 1〉n + . . .+ c2n−1 | 2n − 1〉 ,

F−1q | k〉n =

1√2n

2n−1∑

e−2πijk2n | j〉n , para 0 6 k < 2n .

– p. 67

Estimación de fase

Problema: Suponga un operador unitario U con unautovector | u〉 y un autovalor asociado e2πiϕ, es decir,U | u〉 = e2πiϕ | u〉. El problema de la estimación de fasees determinar ϕ, con ϕ ∈ [0, 1).

Se define la compuerta V de tal forma que

V (| j〉t | u〉m) = | j〉U j | u〉= | j〉 e2πiϕj | u〉= e2πiϕj | j〉 | u〉 .

– p. 68

Algoritmo para la estimación de fase

1. Estado inicial del sistema (t+ n)-qubit

|Ψ0〉 = | 0〉t | u〉m .

2. Creación de una superposición de estados alaplicar H⊗t sobre el primer registro

|Ψ1〉 =1√2t

2t−1∑

| j〉t | u〉m .

– p. 69

3. Se aplica V al sistema (t+m)-qubit

|Ψ2〉 =1√2t

2t−1∑

V (| j〉t | u〉m)

=1√2t

2t−1∑

| j〉t U j | u〉m

=1√2t

2t−1∑

e2πiϕj | j〉t | u〉m .

– p. 70

4. Se aplica F−1q al primer registro

|Ψ3〉 =1√2t

2t−1∑

e2πiϕj1√2t

2t−1∑

e−2πijk

2t | k〉t | u〉m

2t−1∑

ϕ− k2t

j | k〉t | u〉m

∼ϕ× 2t

t| u〉m .

5. Se mide el primer registro y se divide por 2t paraobtener

∼ϕ.

– p. 71

Circuito para la estimación de fase

|u〉m |u〉m�m

| 0〉t �t

H⊗t F−1q

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉

– p. 72

El orden r de x módulo N

Sean x, N dos enteros positivos coprimos con x < N .El orden de x módulo N es el menor entero positivo r,tal que xrmodN = 1.Ejemplo: Sean x = 5 y N = 21 , el orden r de 5 módulo21 es 6, pues

51mod 21 = 5 ,

52mod 21 = 4 ,

53mod 21 = 20 ,

54mod 21 = 16 ,

55mod 21 = 17 ,

56mod 21 = 1 .– p. 73

Algoritmo para hallar el orden r de x

módulo N

1. Estado inicial

|Ψ0〉 = | 0〉t | 1〉n .

2. Empleando H⊗t se crea una superposiciónuniforme de todos los estados de la base delsistema t-qubit sobre el primer registro

|Ψ1〉 =1√2t

2t−1∑

| j〉t | 1〉n

– p. 74

3. Se aplica la compuerta V(x,N) a todo el sistema

|Ψ2〉 =1√2t

2t−1∑

V(x,N) (| j〉t | 1〉n)

=1√2t

2t−1∑

| j〉t∣

∣ xj modN⟩

Suponga que r es potencia de dos de esta forma

|Ψ2〉 =1√2t

r−1∑

| ar + b〉t∣

∣ xbmodN⟩

– p. 75

4. Se mide el segundo registro y, con probabilidad1/r, se obtiene un estado

∣ xb′modN

de los r

posibles

|Ψ3〉 =1

∣ ar + b′⟩

′modN

– p. 76

5. Se aplica F−1q al primer registro

|Ψ4〉 =1

1√2t

2t−1∑

e−2πik(ar+b′)

2t | k〉t∣

′modN

=1√r

2t−1∑

e−2πi

ae−2πi( k

2t )b′ | k〉t

′modN

=1√r

r−1∑

e−2πi( sr )b

′∣

∣s · 2t

′modN

– p. 77

6. Se mide el primer registro y se obtiene s′ · 2t

r ,donde s′ toma cualquier valor entre cero y (r − 1).Luego se divide por 2t y se aplica el algoritmo defracciones continuas para obtener r o un r′ factorde r.

– p. 78

Circuito para hallar el orden r de x

módulo N

V(x,N)

| 1〉n �n

| 0〉t �t

H⊗t F−1q

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉 |Ψ4〉

– p. 79

Algoritmo de Shor

Problema: Dado un entero N , determinar susfactores primos no triviales.

1. Mientras que N sea par divida N por dos y retorneel factor 2.

2. Verifique que N sea compuesto. Mediante elalgoritmo de Manindra esto es posible en tiempopolinomial.

3. Determine si N es de la forma ab, con a > 2 y b > 2,pues el método para encontrar el orden puedefallar si N es de esta forma con a primo impar. SiN = ab, retorne b veces el factor a. Si N no es de laforma ab vaya al paso (4).

– p. 80

4. Aleatoriamente elija un x, tal que 1 < x < N − 1.Mediante el algoritmo de Euclides encuentre elmáximo común divisor entre x y N . Mientras quem.c.d.(x,N) > 1, retorne el factor m.c.d.(x,N) y a Nasígnele N dividido por m.c.d.(x,N).Si ahora N es un número primo termine elalgoritmo. De lo contrario evalúe si es necesarioencontrar los otros factores de N cuánticamente.En caso afirmativo vaya al paso (5), sino,encuentre los otros factores clásicamente.

5. Ejecute el algoritmo cuántico para encontrar elorden r de x módulo N .

– p. 81

6. Si r es impar hay que ejecutar nuevamente laparte cuántica del algoritmo con un nuevo x, vayaal paso (4). Si r es par se define y como

xr/2modN = y , (1)

donde 0 6 y < N . De (1) se tiene quexr/2 = k1N + y, al elevar al cuadrado a amboslados se obtiene

xr = k21N2 + 2k1Ny + y2

k21N + 2k1y)

N + y2

xr = k2N + y2 . (2)– p. 82

Ahora, como xrmodN = 1 entonces

xr = k3N + 1 . (3)

De la diferencia entre (2) y (3) se encuentra que(y − 1)(y + 1) = (k3 − k2)N , es decir, N divide a(y − 1)(y + 1).Luego, si 1 < y < N − 1 entonces 0 < y − 1 < y + 1 < N ,lo cual implica que N no divide a y − 1 ó a y + 1separadamente. Se concluye que y − 1 y y + 1contienen factores de N por el teorema fundamentalde la aritmética. Así, el m.c.d.(y − 1, N) y elm.c.d.(y + 1, N) son factores no triviales de N .

– p. 83

Simuladores cuánticos

En computación, la simulación es la ejecución de unalgoritmo que finge un sistema de tal forma que dadasunas condiciones iniciales, se pretende determinarcuáles serán las condiciones finales de éste.

• En el presente: software clásico ejecutable en uncomputador clásico que sólo alcanza a simularsistemas cuánticos pequeños.

• En el futuro: software cuántico ejecutable en uncomputador cuántico que tendrá el potencial desimular sistemas cuánticos grandes.

– p. 84

En www.vcpc.univie.ac.at/~ian/hotlist/qc/programming.shtml hayuna lista de enlaces a simuladores y lenguajes decomputación cuántica. Dos de ellos que permiten laconstrucción y simulación de circuitos cuánticos son:

• qcad

• QuaSi

– p. 85

• Ventajas:

X Su GUI es amigable.X La contrucción de los circuitos es fácil.X Resultados en forma gráfica, además de la

notación de Dirac.

– p. 86

• Desventajas:

X Compuertas de medición ignoradas.X No permite la realización de la simulación paso

a paso.X Para mostrar los resultados representa los

qubits de derecha a izquierda así| xnxn−1 . . . x2x1〉, es decir, el primer qubit es eldel extremo derecho y el último es el delextremo izquierdo. Esto es contrario a la formausual.

X El usuario no puede definir sus propiascompuertas. Está limitado a las predefinidas.

– p. 87

El siguiente circuito fue construido y simuladoutilizando quasi. Este circuito es una implementaciónoptimizada del algoritmo de Shor para factorizar elnúmero 15 con x = 7.

45 90 H

|Ψ0〉 |Ψ2〉 |Ψ4〉 |Ψ6〉 |Ψ8〉 |Ψ10〉 |Ψ12〉 |Ψ14〉|Ψ16〉

– p. 88

Resultado simulación

|Ψ〉 = 1

| 0010〉 | 000〉+ | 0010〉 | 001〉−

| 0010〉 | 010〉 − | 0010〉 | 011〉+| 1000〉 | 000〉+ | 1000〉 | 001〉+| 1000〉 | 010〉+ | 1000〉 | 011〉+| 1011〉 | 000〉 − | 1011〉 | 001〉−i | 1011〉 | 010〉+ i | 1011〉 | 011〉+| 1110〉 | 000〉 − | 1110〉 | 001〉+i | 1110〉 | 010〉 − i | 1110〉 | 011〉

– p. 89

• Ventajas:

X Simulación paso a paso.X Solamente los resultados con amplitudes

diferentes de cero son mostrados.X Demostraciones del algoritmo de Shor, del

algoritmo de Deutsch-Jozsa y del algoritmo deGrover.

– p. 90

X Su GUI consta de cuatro ventanas: en la primerase construye el circuito; en la segunda se observala evolución de la simulación en la notación deDirac; en la tercera se grafica el valor absoluto decada amplitud y su desplazamiento de faserelativo y en la cuarta ventana las amplitudes sonmostradas divididas en su parte real (azul) eimaginaria (roja).

X Permite la creación de compuertas definidas porel usuario, definir funciones y cargar archivos XMLque contienen instrucciones para la creación decircuitos cuánticos.

– p. 91

• Desventajas:

X Algunas veces se bloquea durante laconstrucción del circuito.

X Es tedioso a la hora de hacer modificaciones alos circuitos.

X Al repetir la simulación de un circuito n veceslos datos obtenidos no corresponden con losesperados estadísticamente.

– p. 92

Ejemplo: teleportación cuántica

Circuito cuántico para transportar un qubit de unespacio físico a otro en ausencia de un canal físico decomunicación.

X Z| 0〉

| 0〉

|ψ〉

|Ψ0〉 |Ψ1〉 |Ψ2〉 |Ψ3〉 |Ψ4〉 |Ψ5〉 |Ψ6〉 |Ψ7〉 |Ψ8〉

– p. 93

|Ψ0〉 = | 0〉 | 0〉 | 0〉 ,

|Ψ1〉 = | 0〉 1√2

| 0〉+ | 1〉)

| 0〉

= | 0〉 1√2

| 00〉+ | 10〉)

|Ψ2〉 = | 0〉 1√2

| 00〉+ | 11〉)

|Ψ3〉 =(

α | 0〉+ β | 1〉)

| 00〉+ | 11〉)

= α√2

| 000〉+ | 011〉)

+ β√2

| 100〉+ | 111〉)

|Ψ4〉 = α√2

| 000〉+ | 011〉)

+ β√2

| 110〉+ | 101〉)

= α√2| 0〉

| 00〉+ | 11〉)

+ β√2| 1〉

| 10〉+ | 01〉)

|Ψ5〉 = α2

| 0〉+ | 1〉)(

| 00〉+ | 11〉)

| 0〉 − | 1〉)(

| 10〉+ | 01〉)

| 000〉+ | 011〉+ | 100〉+ | 111〉)

| 010〉+ | 001〉 − | 110〉 − | 101〉)

– p. 94

• Si al medir los primeros dos qubits se obtiene elestado | 00〉 entonces

|Ψ6〉 = α | 000〉+ β | 001〉

= | 00〉(

α | 0〉+ β | 1〉)

|Ψ8〉 = |Ψ7〉 = |Ψ6〉 .

|Ψ6〉 = α | 011〉+ β | 010〉

= | 01〉(

α | 1〉+ β | 0〉)

|Ψ7〉 = | 01〉(

α | 0〉+ β | 1〉)

|Ψ8〉 = |Ψ7〉 .

– p. 95

|Ψ6〉 = α | 100〉 − β | 101〉

= | 10〉(

α | 0〉 − β | 1〉)

|Ψ7〉 = |Ψ6〉 ,

|Ψ8〉 = | 10〉(

α | 0〉+ β | 1〉)

|Ψ6〉 = α | 111〉 − β | 110〉

= | 11〉(

α | 1〉 − β | 0〉)

|Ψ7〉 = | 11〉(

α | 0〉 − β | 1〉)

|Ψ8〉 = | 11〉(

α | 0〉+ β | 1〉)

– p. 96

Realización física

• Resonancia nuclear magnética (NMR)• Implementación NMR con fase geométrica• Computador cuántico atómico• Iones atrapados• Implementación óptica

– p. 97

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