fungsi kabur - usd
Post on 16-Oct-2021
16 Views
Preview:
TRANSCRIPT
FUNGSI KABUR
Tugas Akhir
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Nama : Retno Triyanti
NIM : 023114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
FUZZY FUNCTION
FINAL ASSIGNMENT
Presented for the Partial Fulfillment of the Requirement
To Obtain the Sarjana Sains Degree
Study Program of Mathematics
By:
Name : Retno Triyanti
Student Number : 023114012
STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS
SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kegagalan bukan berarti anda gagal
Tetapi anda belum sukses
Kegagalan bukan berarti anda tak mencapai apa-apa
Tetapi anda telah mempelajari sesuatu
Kegagalan bukan berarti anda bodoh karena pernah mencoba
Itu pertanda anda berani, berhati teguh, bersemangat baja
Maka berbanggalah dengan diri anda sendiri
Kegagalan bukan berarti anda tidak akan sukses
Tetapi dibutuhkan kesabaran
Kegagalan bukan berarti anda sudah berakhir
Tetapi anda masih punya peluang untuk memulainya kembali,
dan berusaha mencari sesuatu yang baru
Kegagalan bukan berarti Tuhan telah meninggalkan anda
Tetapi Dia punya rencana yang lebih baik
Jadi berarti bahwa kegagalan tidak akan pernah berakhir …
(Dr. Robert Schuller)
Tugas Akhir ini aku persembahkan kepada:
1. Kedua orangtua tercinta
2. Kakak-kakakku semua dan dek Tarra tersayang
3. Keluarga besarku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK Fungsi kabur diklasifikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu fungsi tegas
dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel be-
bas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas. Untuk
menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas maupun ka-
bur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Integral kabur
diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu integral fungsi kabur pada interval
tegas dan integral fungsi tegas pada interval kabur. Diferensial fungsi tegas pada
himpunan kabur dikerjakan dengan menggunakan prinsip perluasan.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fuzzy functions can be classified into three groups, namely crisp functions
with fuzzy constraint, crisp functions that propagate fuzziness of independent
variable to dependent variable, and fuzzifying functions of crisp variable. To find
the maximum value of crisp function with crisp or fuzzy domain we use maximi-
zing set and minimizing set. Fuzzy integration is classified into two groups,
namely integration of fuzzy function on crisp interval and integration of crisp
function on fuzzy interval. Differentiation of crisp function on fuzzy set is carried
out using extension principle.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Alhamdullilahhirobil’alamin, puji syukur kepada Allah SWT yang telah
memberikan anugerah, kekuatan, kesabaran, kesehatan, dan kebahagiaan sehingga
penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang berjudul “FUNGSI
KABUR”. Tugas akhir ini disusun guna memenuhi salah satu syarat memperoleh
gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika.
Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada:
1. Romo Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing yang telah memberi-
kan bimbingan dan pengarahan dalam penulisan tugas akhir ini.
2. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.A., M.Sc, selaku Dekan
Fakultas Sains dan Teknologi
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi
Matematika.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
5. Bapak dan Ibu dosen Fakultas Sains dan Teknologi, khususnya Program
Studi Matematika.
6. Segenap karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpusta-
kaan, Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, BAA, dan AUK.
7. Bapak dan Ibu, yang telah memberikan kasih sayang, kepercayaan, doa,
semangat, dan kesabaran menunggu kelulusan saya.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8. Semua kakakku dan dik Tarra terima kasih atas kasih sayang, dukungan
dan doanya.
9. Teman-teman angkatan 2002, terima kasih atas dukungan dan doanya.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas
akhir ini.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak kesalahan dan ke-
kurangan yang harus diperbaiki, oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis
harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini.
Yogyakarta, …………………………. 2008
Penulis
Retno Triyanti
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …………………………………………..……… ….… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………….....… ii
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………....… iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….…… v
ABSTRAK ……………………………………………………..……………… vi
ABSTRACT ………………………………………………….……………….. vii
KATA PENGANTAR ………………………………………...…….…….…... viii
DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. x
DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xii
DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………. xiii
BAB I PENDAHULUAN ………………………………………...…….…..….. 1
A. Latar belakang Masalah ……………………………….………...…..…. 1
B. Rumusan Masalah …………….………………………..………………. 2
C. Batasan Masalah ……………………………….………………………. 3
D. Tujuan Penulisan …………………………...……….………………….. 3
E. Metode Penulisan ……………………………….….…….…………….. 3
F. Manfaat Penulisan …………………………………….……..…………. 3
G. Sistimatika Penulisan …………………….…......................…………… 4
BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR ……….…….…..…….. 5
A. Fungsi Tegas …..…………………………………………..……….…… 5
1. Pengertian Fungsi ………………,,……………………….………. 5
2. Nilai maksimum dan Minimum Fungsi ………….……….……… 8
3. Diferensial ………………………………………..….…………… 9
4. Integral …………………………………….….…………………. 16
B. Himpunan Kabur …………………………………………….………... 20
1. Pengertian Himpunan Kabur ……………………….…………… 20
2. Fungsi Keanggotaan …………………………….…….…………. 25
3. Operasi pada Himpunan kabur …………………….………….…. 32
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Potongan-α dari Himpunan Kabur ……………………………... 34
5. Prinsip Perluasan ……………………………………….………. 34
BAB III FUNGSI KABUR ………….........................................................…... 37
A. Jenis- jenis Fungsi Kabur …………………………….……………….. 37
1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur ……….………………….. 37
2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas ………….……………. 39
3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas ………….…………. 40
B. Ekstrim Kabur dari Fungsi ……………………………….…………… 44
1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum …………….…….….. 44
2. Nilai Maksimum dari Fungsi tegas ……………….……..………. 47
a. Daerah Asal Tegas ………………………..…………………. 47
b. Daerah Asal Kabur ………………………….………………. 48
C. Integral dan Diferensial Kabur ………………….…………………….. 51
1. Integral ………………………………………….................……. 51
a. Integral Fungsi Kabur dengan Interval tegas ……….………. 52
b. Integral Fungsi Tegas dengan Interval kabur ……….….…… 54
2. Diferensial ………………………………………….…………… 56
D. Soal – soal ………………………………………………….………… 58
BAB IV KESIMPULAN ……………………………………….…………….. 70
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………….…….…….. 73
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Integral Kabur ………………………………………………………. 56
Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi …………………………… 64 1)( 2 += xxf
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c ………….. 8
Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c ………..….. 9
Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x) ……………………….…………………15
Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel ix ….………. 18
Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur
“bilangan real yang dekat dengan 4” ……………………….…... 26
Gambar 2.6. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur
“bilangan real yang dekat dengan 4”……………………………. 27
Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan ……………...... 28 )15,6,3;(xSegitiga
Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan …………... 29 )15,9,6,3;(xTrapesium
Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan ………………..….…. 30 )8,8;(xGauss
Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan …………...…….. 31 )8,1,4;(xCauchy
Gambar 3.1. Fungsi pengaburan …………………………………………..….. 41
Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas ………..………………….. 44
Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum ……………………...…………. 45
Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus ……………..……….. 46
Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas ……………..………. 48
Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar ………………………..……….. 49
Gambar 3.7. Nilai maksimum dari 2)( +−= xxf dengan daerah asal kabur .. 50
Gambar 3.8. Nilai maksimum xxf cos)( = dengan daerah asal kabur ……..... 51
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas ……………..….…... 54
Gambar 3.10. Interval kabur …………………………………………..……… 54
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai gejala kekaburan, yaitu
suatu himpunan yang tidak mempunyai batasan yang jelas. Misalkan kita ambil
contoh dalam kehidupan nyata, manusia dapat dibagi menjadi dua yaitu laki-laki
dan perempuan. Batasan laki-laki dan perempuan adalah jelas, tetapi tidak
demikian dengan perempuan yang cantik dan perempuan tidak cantik. Himpunan
perempuan yang cantik merupakan himpunan dengan obyek-obyek yang keanggo-
taanya tidak dapat ditentukan dengan tegas karena himpunan perempuan yang
cantik dan himpunan perempuan yang tidak cantik mempunyai batasan yang tidak
jelas. Karena himpunan perempuan yang cantik itu tergantung oleh penilaian se-
seorang. Misalnya menurut Anton mungkin Krisdayanti itu cantik sekali, tetapi
menurut Budi itu mungkin hanya biasa saja. Jadi tidak jelas mana yang meru-
pakan anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.
Dengan adanya permasalahan yang tidak dapat diselesaikan dengan him-
punan tegas, maka diperlukan konsep himpunan kabur. Konsep himpunan kabur
diperkenalkan oleh Lotfi Asker Zadeh, seorang guru besar di University of Cali-
fornia, Berkeley, Amerika Serikat. Konsep himpunan kabur tersebut memperluas
konsep himpunan tegas menjadi konsep himpunan kabur. Dalam teori klasik,
himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan obyek-obyek yang terdefinisi se-
cara tegas, yaitu dapat ditentukan apakah obyek tersebut merupakan anggota him-
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
punan itu atau tidak. Himpunan tegas A dapat didefinisikan menggunakan fungsi
Aχ dengan nilai pada himpunan {0,1},yang disebut fungsi karakteristik dari him-
punan A. Di mana nilai fungsi dari )(xAχ adalah:
⎩⎨⎧
∉∈
=AxAx
xA jika 0 jika 1
)(χ
untuk setiap . Xx∈
Dengan memperluas konsep fungsi karakteristik tersebut, himpunan kabur
didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan, yang nilainya berada
dalam selang tertutup [0, 1]. Sehingga keanggotaan dalam himpunan kabur tidak
lagi merupakan sesuatu yang tegas, melainkan sesuatu yang berderajat secara kon-
tinu.
Dalam perkuliahan telah dipelajari konsep himpunan tegas dan fungsi tegas,
termasuk integral dan diferensial suatu fungsi. Dalam penulisan makalah ini akan
dibahas tentang apakah fungsi kabur serta jenis-jenisnya, penggunaan himpunan
pemaksimum dan peminimum, selain itu juga integral dan diferensial kabur.
B. Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan seba-
gai berikut
1. Jenis-jenis dari fungsi kabur dan pengertiannya?
2. Apa yang dimaksud dengan himpunan pemaksimum dan peminimum dan ba-
gaimana menentukan nilai maksimumnya?
3. Apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam penulisan makalah ini hanya dibatasi pada
teori fungsi kabur serta integral dan diferensial kabur.
D. Tujuan Penulisan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu penu-
lisan makalah ini bertujuan untuk:
1. Memahami dan memperdalam tentang jenis – jenis fungsi kabur dan
pengertiannya.
2. Mengetahui apa yang dimaksud himpunan pemaksimum dan peminimum.
3. Mengetahui apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur.
E. Metode Penulisan
Penulisan makalah ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan
mempelajari bagian materi dari buku-buku yang berkaitan dengan fungsi kabur.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dalam penulisan makalah ini adalah:
1. Dapat memperdalam pemahaman mengenai fungsi kabur.
2. Dapat memperdalam pemahaman tentang himpunan pemaksimum dan
peminimum, serta integral dan diferensial kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
BAB I Pendahuluan
Menjelaskan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan serta sis-
tematika penulisan.
BAB II Teori himpunan kabur dan Fungsi
Menguraikan tentang teori himpunan kabur dan fungsi tegas. Dalam himpunan
kabur akan dibahas tentang pengertian dari teori kabur dan operasi- operasi
dalam himpunan kabur serta prinsip perluasan. Sedangkan dalam fungsi akan
dibahas tentang penegertian dari fungsi, nilai maksimum dan minimum dari
suatu fungsi, intergral dan diferensial.
BAB III Fungsi Kabur
Menguraikan tentang masalah yang diangkat dalam penulisan ini yaitu tentang
fungsi kabur, yang di dalamnya berisi tentang pegertian dari fungsi kabur,
jenis-jenis fungsi kabur, himpunan pemaksimum dan peminimum serta me-
nentukan nilai maksimum, integral dan diferensial kabur.
BAB IV Kesimpulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR
A. Fungsi Tegas
Banyak contoh yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari di mana nilai sua-
tu besaran bergantung pada nilai besaran lainnya. Misalnya balas jasa seseorang
bergantung pada banyaknya jam kerja; jarak yang ditempuh oleh mobil bergan-
tung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu; tahanan suatu kabel listrik
dengan panjang tertentu bergantung pada garis tengahnya, dan lain-lain. Hubung-
an di antara besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan dengan suatu fungsi.
1. Pengertian Fungsi
Suatu fungsi melibatkan tiga hal, yaitu sebuah himpunan tak kosong yang
disebut daerah asal fungsi, sebuah himpunan tak kosong lainnya yang disebut
daerah kawan fungsi, dan suatu aturan pengaitan yang menentukan elemen dalam
daerah kawan yang dikaitkan dengan tiap elemen dalam daerah asal.
Definisi 2.1
Fungsi adalah suatu aturan pengaitan antara elemen-elemen dua himpunan tak
kosong, yaitu daerah asal dan daerah kawan fungsi, yang mengaitkan tiap elemen
dalam daerah asal dengan tepat satu elemen dari daerah kawan. Dengan kata lain
sebuah fungsi memetakan tiap elemen di daerah asal ke tepat satu elemen di dae-
rah kawan.
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Fungsi biasanya disajikan dengan hurur-huruf seperti f, g, F, φ, ψ. Jika x
elemen dalam daerah asal f, maka f(x) adalah elemen dalam daerah kawan f yang
dikaitkan dengan x. Elemen f(x) ini dinamakan nilai fungsi f di x, atau peta dari x.
Himpunan semua nilai fungsi disebut daerah nilai (range) dari fungsi itu. Daerah
nilai merupakan himpunan bagian dari daerah kawan. Suatu fungsi dapat ditulis
sebagai berikut:
)(: xfxf → .
Definisi 2.2
Misalkan suatu fungsi ditentukan oleh persamaan )(xfy = , maka x dinamakan
variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dina-
makan variabel tak bebas (dependent variable).
Suatu fungsi membangun himpunan pasangan terurut, sedemikian se-
hingga dalam tiap pasangan elemen yang pertama adalah elemen daerah asal
fungsi dan elemen yang kedua adalah nilai fungsi itu yang berkaitan dengan ele-
men pertama tersebut.
Sekarang akan kita definisikan operasi-operasi pada fungsi, yaitu operasi
jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Definisi 2.3
Diberikan dua buah fungsi f dan g dengan daerah asal A dan daerah kawan B yang
merupakan himpunan semua bilangan real. Maka
i. )()())(( xgxfxgf +=+
ii. )()())(( xgxfxgf −=−
iii. )().())(.( xgxfxgf =
iv. 0)(,)()()( ≠=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xg
xgxfx
gf
untuk setiap . Ax∈
Definisi 2.4
Andaikan f suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C. Komposisi
fungsi dari dua fungsi itu adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan se-
bagai berikut
fg o
))(())(( xfgxfg =o
untuk setiap . Ax∈
Contoh 2.1
Misalkan diberikan daerah asal f adalah himpunan semua bilangan real tak negatif
dan daerah asal dari g adalah himpunan semua bilangan asli. Fungsi f dan g dide-
finisikan oleh
xxf =)( dan 24)( xxg −=
tentukan F(x) jika , dan tentukan daerah asal F. gfF o=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Jawab:
2
2
4
)4())((
))(()(
x
xfxgf
xgfxF
−=
−=
== o
Jadi daerah asal F adalah himpunan bilangan real sedemikian sehingga
, yaitu semua bilangan real dalam selang 04 2 ≥− x ]2,2[− .
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Definisi 2.5
Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah
kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-
punyai nilai maksimum relatif di c jika untuk semua x di A. )()( xfcf ≥
Gambar 2.1 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai
nilai maksimum di c.
Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Definisi 2.6
Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah
kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-
punyai nilai minimum relatif di c jika )()( xfcf ≤ untuk semua x di A.
Gambar 2.2 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai
nilai minimum di c.
Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c
Bila suatu fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum
relatif di c, maka dikatakan f mempunyai nilai ekstrim relatif di c.
3. Diferensial
Definisi 2.7
Diberikan fungsi f dengan daerah asal dan daerah kawan himpunan bilangan real.
Turunan fungsi f adalah fungsi f ′ yang nilainya untuk sebarang elemen x adalah
xxfxxfxf
x Δ−Δ+
=′→Δ
)()(lim)(0
jika limit itu ada dan adalah pertambahan sebarang nilai x. xΔ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Jika suatu fungsi f mempunyai turunan di x, maka fungsi tersebut dikatakan ter-
diferensialkan (terturunkan) di x.
Jika (x, y) suatu titik pada grafik f, maka y = f(x), dan juga digunakan
untuk menyatakan turunan dari f(x). Dengan fungsi f didefinisikan y = f(x), dapat
diperoleh
y ′
)()( xfxxfy −Δ+=Δ
di mana adalah pertambahan dari y dan menyatakan suatu perubahan nilai
fungsi bila x berubah sebesar
yΔ
xΔ . Oleh karena itu f ′ dapat diganti dengan:
.lim0 x
ydxdy
x ΔΔ
=→Δ
dxdy dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam hal ini berarti )(y
dxd , yaitu turunan
dari y terhadap x.
Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f yang menghasil-
kan . Seringkali kita memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini, se-
hingga dapat dituliskan Df =
f ′
f ′ atau Df(x) = )(xf ′ .
Teorema 2.1
Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka
)(xf ′ = 0.
Bukti:
00limlim)()(lim)(000
==−
=−+
=′→→→ hhh h
kkh
xfhxfxf . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Teorema 2.2
Jika , dengan n bilangan bulat positif, maka nxxf =)(
1)( −=′ nnxxf .
Bukti:
h
hnxhhxnnnxh
h
xhnxhhxnnhnxx
hxhx
hxfhxfxf
nnnn
h
nnnnnn
h
nn
hh
)...2
)1((lim
...2
)1(
lim
)(lim)()(lim)(
1221
0
1221
0
00
−−−−
→
−−−
→
→→
+++−
+=
−+++−
++=
−+=
−+=′
1−= nnx . ■
Teorema 2.3
Misalkan f suatu fungsi, k suatu konstanta, dan g adalah fungsi yang didefinisikan
oleh g(x) = k.f(x). Jika ada, maka )(xf ′
)(.)( xfkxg ′=′ .
Bukti:
hxfhxfk
hxfhxfk
hxkfhxkf
hxghxgxg
h
h
hh
)()(lim
)()(lim
)()(lim)()(lim)(
0
0
00
−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
=
−+=
−+=′
→
→
→→
)(xfk ′= . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Teorema 2.4
Misalkan f dan g adalah fungsi dan F adalah fungsi yang didefinisikan oleh
)()()( xgxfxF += . Jika )(xf ′ dan )(xg ′ ada, maka
)()()( xgxfxF ′+′=′ .
Bukti:
hxghxg
hxfhxf
hxghxg
hxfhxf
hxgxfhxghxf
hxFhxFxF
hh
h
hh
)()(lim)()(lim
)()()()(lim
))()(())()((lim)()(lim)(
00
0
00
−++
−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
+−+
=
+−+++=
−+=
→→
→
→→
)()( xgxf ′+′= . ■
Contoh 2.2
Diberikan fungsi . Tentukan turunan dari fungsi tersebut. 13)( 3 +−= xxxf
Jawab:
.33)(13)(
2
3
−=′
+−=
xxfxxxf
Teorema 2.5
Jika f didefinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relatif di c, dan
ada, maka
)(cf ′
0)( =′ cf .
Bukti:
Jika f(c) nilai maksimum relatif f pada [a, b], maka atau ],[),()( baxxfcf ∈∀≥
],[,0)()( baxcfxf ∈∀≤− .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh
0)()(≥
−−
cxcfxf .
Jika limitnya ada, maka
0)()(lim ≥−−
→ cxcfxf
cx. (1)
Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh
0)()(≤
−−
cxcfxf .
Jika limitnya ada, maka
0)()(lim ≤−−
→ cxcfxf
cx. (2)
Dari (1) dan (2), diperoleh 0)( =′ cf .
Jika f(c) nilai minimum relatif f pada [a, b], maka ],[),()( baxxfcf ∈∀≤ atau
],[,0)()( baxcfxf ∈∀≥− .
Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh
0)()(≥
−−
cxcfxf .
Jika limitnya ada, maka
0)()(lim ≥−−
→ cxcfxf
cx. (3)
Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh
0)()(≤
−−
cxcfxf .
Jika limitnya ada, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
0)()(lim ≤−−
→ cxcfxf
cx. (4)
Dari (3) dan (4), diperoleh 0)( =′ cf . ■
Teorema 2.6
Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada selang (a, b), sedangkan
f(a) = f(b) = 0, maka ada bilangan c pada (a, b) sedemikian sehingga . 0)( =′ cf
Bukti:
Karena f kontinu pada selang [a, b], maka fungsi f mempunyai nilai maksimum
maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan 0, maka
f(x) = 0 pada [a, b], akibatnya 0)( =′ xf untuk semua x dalam (a, b). Apabila sa-
lah satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan 0 dan
0)()( == bfaf , maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik .
Karena f terdiferensial pada selang (a, b), maka menurut Teorema 2.5 .■
),( bac∈
0)( =′ cf
Teorema 2.7
Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam (a, b),
maka terdapat bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga
abafbfcf
−−
=′ )()()( .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Bukti:
Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x)
Misalkan fungsi s(x) = f(x) - g(x), dengan g adalah garis yang melalui (a, f(a)) dan
(b, f(b)). Karena garis g ini mempunyai kemiringan (f(b) – f(a))/(b - a) dan melalui
(a, f(a)), maka persamaannya adalah
)()()()()( axab
afbfafxg −−−
=−
sehingga
)()()()()()( axab
afbfafxfxs −−−
−−= .
Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisih dua fungsi kontinu, dan
s(a) = s(b) = 0. Fungsi s terdiferensialkan dalam (a, b), karena s mempunyai tu-
runan di setiap titik dalam (a, b) yaitu
abafbfxfxs
−−
−′=′ )()()()( .
Maka terdapat suatu bilangan ),( bac∈ sedemikian sehingga 0)( =′ cs . Jadi
abafbfcf
abafbfcfcs
−−
−′=
−−
−′=′
)()()(0
)()()()(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
abafbfcf
−−
=′ )()()( . ■
4. Integral
Definisi 2.8
Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada suatu selang I jika untuk setiap
berlaku . Ix∈ )()( xfxF =′
Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan himpunan semua anti
turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut didefinisikan
sebagai berikut:
∫ += CxFdxxf )()(
dan disebut integral tak tentu, di mana ∫ menyatakan lambang integral dan C
merupakan konstanta sembarang.
Teorema 2.8
Misalkan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka
Crxdxx
rr +
+=
+
∫ 1
1
.
Bukti:
rrr
x xxrr
CrxD =+
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
+
)1(1
11
1
. ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Teorema 2.9
Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka
∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( .
Bukti:
∫∫ = dxxfDcdxxfcD xx )(])([
)(xcf= . ■
Teorema 2.10
Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka
∫∫ ∫∫∫ ∫
−=−
+=+
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
)()())()((
)()())()((
Bukti:
∫∫∫∫ +=+ dxxgDdxxfDdxxgdxxfD xxx )()(])()([
)()( xgxf += .
∫∫∫∫
∫∫∫∫
−=
−+=
−+=−
dxxgDdxxfD
dxxgDdxxfD
dxxgDdxxfDdxxgdxxfD
xx
xx
xxx
)()(
)()1()(
)()1()(])()([
)()( xgxf −= . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Contoh 2.3
Tentukan intergral dari fungsi . 13)( 3 ++= xxxf
Jawab:
Integral dari fungsi tersebut adalah
.23
41
)13()(
24
3
cxxx
dxxxdxxf
+++=
++=∫∫
Misalkan sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b].
Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang
memakai titik-titik bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ... dan andaikan
. Pada tiap selang bagian , ambil sebarang titik 1−−=Δ iii xxx ],[ 1 ii xx − ix yang
disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Contoh partisi dapat dilihat dalam
Gambar 2.9 dengan n = 6.
Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel ix
Bentuk jumlahan sebagai berikut
∑=
Δ=n
iiip xxfR
1)(
yang disebut jumlah Riemann untuk f dengan partisi P.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Definisi 2.9
Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika
i
n
iiP
xxf Δ∑=
→)(lim
10
ada, maka fungsi f dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana | P | yang disebut
norma P, adalah panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjut-
nya,
i
n
iiP
b
a
xxfdxxf Δ= ∑∫=
→)(lim)(
10
disebut integral tentu fungsi f dalam [a, b].
Teorema 2.11
Integral tentu fungsi f dalam [a, b] adalah
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫
di mana F adalah anti turunan dari fungsi f.
Bukti:
Misalkan bxxxxxaP nni =<<<<<= −120 ...: adalah sebarang partisi dari
[a, b], maka
.)]()([
)()(...)()()()()()(
11
01211
∑=
−
−−−
−=
−++−+−=−n
iii
nnnn
xFxF
xFxFxFxFxFxFaFbF
Menurut Teorema 2.6, terdapat ),( 1 iii xxx −∈ sedemikian sehingga
xxfxxxFxFxF iiiiii Δ=−′=− −− )())(()()( 11 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jadi
∑=
Δ=−n
ii xxfaFbF
1)()()( .
Apabila kedua ruas diambil limitnya untuk , maka diperoleh 0|| →P
.)()(lim)()(10|| ∫∑ =Δ=−=
→
b
a
n
iiP
dxxfxxfaFbF ■
Contoh 2.4
Diketahui fungsi . Hitungah integral tentu dari fungsi tersebut
dalam interval [1, 2].
2)( 2 += xxf
Jawab:
.314
37
320
231)2(
2
1
32
1
2
=−=
⎥⎦⎤+=+∫ xxdxx
B. Himpunan Kabur
1. Pengertian Himpunan Kabur
Kita telah mengenal himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi se-
cara tegas dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalan suatu semesta pembicaraan
selalu dapat ditentukan secara tegas apakah elemen tersebut termasuk anggota
himpunan itu atau tidak. Ada batas yang tegas antara elemen yang termasuk ang-
gota dan yang tidak termasuk anggota himpunan itu. Suatu himpunan tegas dapat
dinyatakan dalam fungsi karakteristik, yaitu fungsi dari semesta X ke dalam him-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
punan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi
karakteristik }1,0{: →XAχ yang didefinisikan dengan
⎩⎨⎧
∉∈
=AxAx
xA jika 0 jika 1
)(χ
untuk setiap . Xx∈
Sedangkan dalam himpunan kabur, keanggotaannya didefinisikan dengan
menggunakan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemen-
elemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan him-
punan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan, sedangkan nilai fungsinya
disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan itu. Derajat keanggo-
taan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [0,1].
Definisi 2.10
Suatu himpunan kabur A~ dalam semesta X adalah himpunan yang mempunyai
fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan A~μ dari X ke interval [0,1],
ditulis:
]1,0[:~ →XAμ .
Nilai fungsi )(~ xAμ menyatakan derajat keanggotaan elemen dalam him-
punan kabur
Xx∈
A~ . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, se-
dangkan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota dari
himpunan kabur tesebut. Oleh karena itu himpunan tegas dapat dipandang sebagai
kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keang-
gotaanya hanya mempunyai nilai 0 atau 1 saja.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Himpunan kabur A~ dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai himpunan
pasangan terurut, yaitu }))(,{(~~ XxxxA A ∈= μ di mana A~μ adalah fungsi keang-
gotaan dari himpunan kabur A~ . Apabila semesta X adalah himpunan yang kon-
tinu, maka himpunan kabur A~ dapat dinyatakan dengan
∫ ∈=Xx A xxA /)(~
~μ
di mana bukan merupakan lambang integral, tetapi melambangkan himpunan
semua elemen bersama dengan derajat keanggotaanya dalam himpunan
kabur
∫
Xx∈
A~ . Sedangkan bila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka him-
punan kabur A~ dapat dinyatakan dengan
xxAXx
A /)(~~∑
∈
= μ
di mana ∑ bukan merupakan lambang operator jumlah, tetapi melambangkan
himpunan semua elemen Xx∈ bersama dengan derajat keanggotaanya dalam
himpunan kabur A~ .
Contoh 2.5
Dalam semesta X={-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3}, A~ adalah himpunan “bilangan bulat
yang dekat dengan nol” dapat dinyatakan dengan
xAXx
xA /~)(~∑
∈
= μ
= 0.10/-3 + 0.30/-2 + 0.50/-1 + 1/0 + 0.50/1 + 0.30/2 + 0.10/3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.11
Pendukung dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas yang memuat semua
elemen semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam A~ , yang dilam-
bangkan dengan Pend , dinyatakan dengan )~(A
}0)({)~( ~ >∈= xXxAPend Aμ .
Himpunan kabur A~ disebut himpunan kabur elemen tunggal bila pendu-
kungnya adalah himpunan dengan elemen tunggal (singleton).
Definisi 2.12
Tinggi dari himpunan kabur A~ , dilambangkan dengan Tinggi , adalah )~(A
Tinggi = )~(A )}({sup ~ xAXxμ
∈.
Himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur normal,
sedangkan yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur subnormal.
Definisi 2.13
Titik silang suatu himpunan kabur adalah elemen dari semesta pembicaraan him-
punan kabur itu yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5.
Definisi 2.14
Teras dari himpunan kabur A~ adalah himpunan dari semua elemen dari semesta
pembicaraan yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yang dilam-
bangkan dengan Teras , yaitu )~(A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Teras = )~(A }1)({ ~ =∈ xXx Aμ .
Definisi 2.15
Pusat dari himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata dari
semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai maksimum
adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata tersebut. Ji-
ka nilai puratanya takhingga positif (atau negatif), maka pusat himpunan kabur itu
adalah yang terkecil (atau terbesar) di antara semua titik yang mencapai nilai
fungsi keanggotaan maksimum.
Contoh 2.6
Himpunan kabur dalam Contoh 2.5 di atas
Pend = {-1, -2, -3, 0,1, 2, 3} )~(A
Tinggi = 1 )~(A
Titik silang dari A~ adalah -1 dan 1
Teras = {0} )~(A
Pusat dari A~ adalah 0.
Definisi 2.16
Dua buah himpunan kabur A~ dan B~ dalam semesta X dikatakan sama, dinotasi-
kan dengan A~ = B~ , bila dan hanya bila
)()( ~~ xx BA μμ =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
untuk setiap . Xx∈
Definisi 2.17
Himpunan kabur A~ disebut himpunan bagian dari himpunan kabur B~ , dinotasi-
kan dengan BA ~~⊆ , bila dan hanya bila
)()( ~~ xx BA μμ ≤
untuk setiap . Xx∈
Contoh 2.7
Dalam semesta X = {1,2,3,4,5,6,7}, didefinisikan himpunan kabur sebagai beri-
kut:
A~ = 0.10/1 + 0.30/2 + 0.50/3 + 1.0/4 + 0.50/5 + 0.30/6 + 0.10/7
B~ = 0.30/2 + 0.40/3 + 1.0/4 + 0.40/5 + 0.30/6
maka AB ~~ ⊆ .
2. Fungsi Keanggotaan
Himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada beberapa
cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya. Untuk
himpunan hingga diskret, dengan menggunakan cara daftar, yaitu mendaftar
anggota-anggota himpunan dengan derajat keanggotaannya. Misalnya dalam
semesta X = {Andi, Budi, Iwan, Nanda, Anton}yang terdiri dari anak-anak
dengan tinggi berturut-turut 175, 168, 170, 172, dan 169, himpunan kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
A~ = “himpunan anak-anak yang tinggi” dapat dinyatakan dengan cara daftar
berikut ini:
A~ = 0.9/Andi + 0.4/Budi + 0.6/Iwan + 0.7/Nanda + 0.5/Anton.
Sedangkan untuk himpunan takhingga yang kontinu, cara yang biasa di-
pakai adalah cara analitik yaitu untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan him-
punan kabur dalam suatu bentuk rumus matematis yang dapat dinyatakan dalam
bentuk grafik. Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat de-
ngan 4”, maka A~ dapat dinyatakan dengan
∫ ∈−−=
Rx
x xeA /~ 2)4(
di mana merupakan fungsi keanggotaan 2)4(
~ )( −−= xA exμ A~ yang digambarkan
dalam bentuk grafik berikut
Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur
“bilangan real yang dekat dengan 4”
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Bilangan 4 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu
1)(~ =xAμ , sedangkan 3 dan 5 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu
37.0)5()3( ~~ == AA μμ .
Himpunan kabur A~ “bilangan real yang dekat dengan 4”, juga dapat dinyatakan
dengan fungsi keanggotaan berikut
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−≤≤−
=selainnya 0
54untuk 543untuk3
)(~ xxxx
xAμ
grafiknya adalah sebagai berikut
Gambar 2.6. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur
“bilangan real yang dekat dengan 4”
Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa himpunan kabur dengan fungsi
keanggotaan yang sering digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga
jika memiliki tiga parameter, yaitu Rcba ∈,, dengan cba << , yang dinyatakan
sebagai dengan aturan sebagai berikut: ),,;( cbaxSegitiga
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤−−
≤≤−−
=
selainnya 0
untuk
untuk
),,;( cxbbcxc
bxaabax
cbaxSegitiga
Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−−
= 0,,minmax),,;(bcxc
bbaxcbaxSegitiga
Contoh 2.8
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan , maka grafik fungsi
keanggotaan tersebut adalah
)15,6,3;(xSegitiga
Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan )15,6,3;(xSegitiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trape-
sium jika memiliki empat parameter, yaitu Rdcba ∈,,, dengan ,
yang dinyatakan sebagai dengan aturan sebagai berikut:
dcba <<<
),,,;( dcbaxTrapesium
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤−−
≤≤
≤≤−−
=
selainnya 0
untuk
untuk 1
untuk
),,,;(dxc
cdxd
cxb
bxaabax
dcbaxTrapesium
Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−−
= 0,,1,minmax),,,;(bcxc
bbaxdcbaxTrapesium .
Contoh 2.9
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan , maka grafik
fungsi keanggotaan tersebut adalah
)15,9,6,3;(xTrapesium
Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan )15,9,6,3;(xTrapesium
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss
jika memiliki dua parameter, yaitu Rba ∈, , yang dinyatakan dengan
jika memenuhi ),;( baxGauss
2
),;(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= b
ax
ebaxGauss
di mana ax = adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan ter-
sebut. Gambar 2.5 merupakan grafik sebuah fungsi . )8,8;(xGauss
Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan . )8,8;(xGauss
Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy
jika memiliki tiga parameter, yaitu Rcba ∈,, , yang dinyatakan dengan
jika memenuhi ),,;( cbaxCauchy
b
acx
cbaxCauchy 2
1
1),,;(−
+
=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
di mana cx = merupakan pusat dan a menentukan lebar, dan b menentukan ke-
miringan (slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy. Misalkan diberi-
kan contoh sebuah fungsi keanggotaan , diperlihatkan dalam
Gambar 2.6 berikut ini
)8,1,4;(xCauchy
Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan )8,1,4;(xCauchy
Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid
jika memiliki dua parameter, yaitu Rca ∈, , dinyatakan dengan
jika memenuhi
),;( caxSigmoid
)(11),;( cxae
caxSigmoid −−+=
di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang
cx = .
Masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lain yang dapat dibuat untuk
memenuhi keperluan dalam penerapan tertentu. Fungsi keanggotaan sangat
penting dalam teori himpunan kabur. Dalam setiap penerapan, harus disesuaikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
fungsi keanggotaan dari himpunan kabur yang akan digunakan untuk menyatakan
istilah linguistik yang akan dipakai.
3. Operasi Pada Himpunan Kabur
Dalam himpunan kabur juga dikenal operasi-operasi antar himpunan,
seperti dalam himpunan tegas. Karena himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi
keanggotaan, maka operasi pada himpunan kabur juga dinyatakan dengan
menggunakan fungsi keanggotaan.
Misalkan A~ dan B~ adalah dua buah himpunan kabur dalam semesta X.
Definisi 2.18
Komplemen dari himpunan kabur A~ adalah himpunan kabur '~A dengan fungsi
keanggotaan
)(1)( ~'~ xx AA μμ −=
untuk setiap . Xx∈
Definisi 2.19
Gabungan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur BA ~~∪
dengan fungsi keanggotaan
)}(),(max{)( ~~~~ xxx BABA μμμ =∪
untuk setiap . Xx∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 2.20
Irisan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur BA ~~∩ de-
ngan fungsi keanggotaan
)}(),(min{)( ~~~~ xxx BABA μμμ =∩
untuk setiap . Xx∈
Contoh 2.10
Misalkan dalam semesta X = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} diketahui himpunan-himpunan
kabur
A~ = 0.20/-2 + 0.30/-1 + 0.50/0 + 0.7/2 + 0.50/3 + 1.0/4
B~ = 0.40/-1 + 0.30/0 + 0.80/1 + 0.70/3 + 0.40/4
Maka:
'~A = 0.80/-2 + 0.70/-1 + 0.50/0 + 1.0/1 + 0.30/2 + 0.50/3
'~B = 1.0/-2 + 0.60/-1 + 0.70/0 + 0.20/1 + 1.0/2 + 0.30/3 +0.60/4
BA ~~∪ = 0.20/-2 + 0.40/-1 + 0.50/0 + 0.80/1 + 0.70/2 + 0.70/3 + 1.0/4
BA ~~∩ = 0.30/-1 + 0.30/0 + 0.50/3 + 0.40/4
Operasi-operasi yang telah didefinisikan di atas, yaitu komplemen, gabu-
ngan, dan irisan dalam himpunan kabur itu disebut operasi baku. Yang
merupakan perampatan dari definisi operasi-operasi bersesuaian pada himpunan
tegas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
4. Potongan-α dari Himpunan Kabur
Untuk suatu bilangan ]1,0[∈α , potongan-α dari suatu himpunan kabur
A~ , yang dinotasikan dengan αA~ , adalah himpunan tegas yang memuat semua
anggota dari semesta dengan derajat keanggotaan dalam A~ yang lebih besar atau
sama dengan α, yaitu
})({ ~ αμα ≥∈= xXxA A .
Sedangkan potongan-α kuat dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas
})({ ~ αμα >∈=′ xXxA A .
Contoh 2.11
Dari Contoh 2.10 potongan-α dari himpunan kabur A~ , untuk 4.0=α adalah
. }4,3,2,0{4.0 =A
5. Prinsip Perluasan
Misalkan diberikan suatu fungsi tegas , maka fungsi tersebut
dapat diperluas menjadi fungsi , di mana dan bertu-
rut-turut adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu dengan aturan
YXf →:
)()(: YPXPf → )(XP )(YP
})()({:)( xfyAxYyAf =∈∃∈
untuk setiap . Demikian juga invers dari fungsi dapat diper-
luas menjadi fungsi dengan aturan
)(XPA∈ YXf →:
)()(:1 XPYPf →−
})({:)(1 BxfXxBf ∈∈−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
untuk setiap . Himpunan dan juga dapat dinyatakan de-
ngan menggunakan fungsi karateristik yaitu sebagai berikut:
)(YPB∈ )(Af )(1 Bf −
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠∈∀
=∈∃= =
)()( jika0
)()( jika)}({sup)( )(
)(xfyXx
xfyXxxy
Axfy
Af
χχ
))(()()(1 xfx BBf
χχ =− .
Suatu fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi itu diper-
luas menjadi fungsi , di mana dan berturut-turut
adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu himpunan semua himpunan
kabur dalam X dan Y. Selain itu invers dari juga dapat dikaburkan de-
ngan memperluasnya menjadi fungsi . Prinsip yang diguna-
kan untuk mengaburkan fungsi tegas disebut dengan prinsip perluasan.
YXf →:
)()(: YFXFf → )(XF )(YF
YXf →:
)()(:1 XFYFf →−
Definisi 2.21
Suatu fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas fungsi terse-
but menjadi fungsi dengan aturan: , me-
rupakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan
YXf →:
)()(: YFXFf → )(~ XFA∈∀ )~(1 Af −
)(YF
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠∈∀
=∈∃= =
)()( jika0
)()( jika)}({sup)(
~)(
)~(xfyXx
xfyXxxy
Axfy
Af
μμ
Invers dari fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas
menjadi fungsi dengan aturan: , meru-
pakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan
YXf →:
)()(:1 XFYFf →− )(~ YFB ∈∀ )~(Bf
)(XF
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
))(()( ~)~(1 xfx BBf
μμ =−
Misalkan f adalah suatu pemetaan satu-satu, maka fungsi keanggotaan
himpunan kabur adalah )~(Af
⎩⎨⎧
≠∈∀
=∈∃=
)()( jika0 )()(jika)(
)(~
)~( xfyXxxfyXxx
y AAf
μμ
Jadi prinsip perluasan merupakan suatu prinsip yang mendasar dalam teori
himpunan kabur. Sehingga dengan prinsip perluasan tersebut kita dapat menga-
burkan konsep matematik yang tegas menjadi konsep yang kabur.
Contoh 2.12
Misalkan diberikan dan }6,5,4,3,2,1{=X }10,9,8,7{=Y .
Pemetaan didefinisikan sebagai berikut: YXf →: 7)2()1( == ff ,
9)3( =f , 10)6()5()4( === fff . Misalkan diberikan himpunan kabur
6/9.05/14/5.03/7.02/2.01/6.0~+++++=A dan himpunan kabur
10/5.09/9.08/7.07/3.0~ +++=B . Dengan prinsip perluasan diperoleh
10/1}10/9.010/110/5.0sup{10)6()5()4(9/7.09)3(
7/6.0}7/2.07/6.0sup{7)2()1(
=++⇒===⇒=
=+⇒==
ffff
ff
Jadi himpunan kaburnya adalah
.6/5.05/5.04/5.03/9.02/3.01/3.0)~(
10/19/7.07/6.0)~(1 +++++=
++=− Bf
Af
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
FUNGSI KABUR
Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep fungsi kabur. Fungsi kabur
terdiri dari fungsi tegas dengan kendala kabur dan fungsi yang mengaburkan.
Himpunan pemaksimum dan peminimum juga diperkenalkan dan akan
diaplikasikan untuk menentukan nilai maksimum dengan daerah asal kabur pada
fungsi tegas. Dalam bagian ini juga akan dibahas tentang integral dan diferensial
kabur dengan contoh-contohnya.
A. Jenis-jenis Fungsi Kabur
Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu
1. Fungsi tegas dengan kendala kabur.
2. Fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel
tidak bebas.
3. Fungsi pengaburan dengan variabel tegas.
1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur
Definisi 3.1
Misalkan X dan Y adalah himpunan semesta tegas, dan adalah suatu
fungsi tegas. A dan B adalah himpunan kabur yang berturut-turut didefinisikan
dalam himpunan semesta X dan Y. Jika fungsi f memenuhi kondisi
YXf →:
37
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Xxxfx BA ∈∀≤ ))(()( μμ , maka f disebut fungsi tegas dengan kendala kabur
pada daerah asal A dan daerah hasil B.
Contoh 3.1
Misalkan diberikan suatu fungsi )(xfy = , dan fungsi f mempunyai kendala ka-
bur: “Derajat keanggotaan )(xAμ dari x dalam A adalah lebih kecil atau sama
dengan )(yBμ dari y dalam B”
atau
)()( yx BA μμ ≤
untuk setiap . Xx∈
Jika derajat keanggotaan dari x dalam A adalah , maka derajat keanggotaan y
dalam B tidak lebih kecil dari a .
a
Contoh 3.2
Diberikan dua himpunan kabur )}8.0,2(),5.0,1{(=A dan )}9.0,4(),7.0,2{(=B ,
dan fungsi
,2)( xxf =
maka fungsi f memenuhi kondisi Xxxfx BA ∈∀≤ )),(()( μμ .
Diberikan fungsi-fungsi yang memenuhi kendala kabur
dan A, B, dan C adalah himpunan kabur dalam X, Y, dan Z berturut-
turut. Komposisi kedua fungsi tersebut hasilnya adalah fungsi kabur
,: YXf →
ZYg →:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
ZXfg →:o
yang kondisinya adalah
Xxxfgx CA ∈∀≤ ))),((()( μμ .
2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas
Definisi 3.2
Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel
takbebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, fungsi perluasan kabur f mendefi-
nisikan bayangan kabur )(Af dal dari himpunan kabur A dalam X, yaitu am Y
⎪⎩⎨
=− )( jika 0 1)(
φyfAf
adalah bayangan invers dari y.
⎪⎧ ≠=
−
∈ −)( jika)(sup
)(1
)(1φμ
μyfx
yA
yfx
di mana )(1 yf −
ontoh 3.4
suatu fungsi tegas 13)(
C
Misalkan ada = +xxf , dan
)}5. dan ]20,0[=B 0,4(),(),8.0,1(),9.0,0{(=A 6.0,3(),7.0,2
Variabel bebas mempunyai kekaburan dan kekaburannya itu ditularkan ke
himpunan tegas B, sehingga diperoleh himpunan kabur B′ dalam B, yaitu
)}5.0,3),6.0,10(),7.0,7(),8.0,4(),9.0,1{(=′B . 1(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas
dalah suatu fungsi yang meng-
hasilka
efinisi 3.3 ( Fungsi Pengaburan Tunggal )
taan dari X ke himpunan kuasa ka-
Fungsi pengaburan dengan variabel tegas a
n bayangan dari daerah asal tegas berupa suatu himpunan kabur.
D
Fungsi pengaburan f~ dari X ke Y adalah peme
bur )(~ YP
~ ~: )(YPXf →
yaitu pemetaan dari daerah asal tegas ke daerah hasil yang elemen-elemennya
ontoh 3.5
a himpunan tegas }4,3,2{
adalah himpunan-himpunan kabur.
C
Diberikan du =A dan }12,9,8,6,4,3,2{=B . Suatu
fungsi kabur f~ memetakan angg dalam )(ota-anggota A ke himpunan kuasa ~ BP
dengan aturan berikut ini
321 )4(,)2(~ ~ ~,)3( BfBfB ===
di mana ,{)(
f
},~32 B dengan 1 BBBP = )}5.0,(),1,4(),5.0,2{(1 6=B ,
)}5.0,9(),1,6(),5.0,3{(2 =B , dan )}5.0,12(),1,8(),5.0,4{(3 =B .
ambar 3.1.
Secara detail, hubungan dalam peme Gtaan tersebut disajikan dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 3.1. Fungsi pengaburan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Jika kita aplikasikan operasi potongan-α pada fungsi pengaburan tersebut, akan
diperoleh
1untuk }4{2:5.0untuk }6,4,2{2:
=→=→
αα
ff
dengan cara yang sama
1untuk }6{3:5.0untuk }9,6,3{3:
=→=→
αα
ff
kemudian
1untuk }8{4:5.0untuk }12,8,4{4:
=→=→
αα
ff
Definisi 3.4
Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dari X ke Y didefinisikan sebagai himpunan
kabur fungsi-fungsi tegas }...,,1( nif i = dan dinotasikan sebagai
},...,1,:))(,{(~~ niYXffff iifi =→= μ
if fungsi tegas pada X.
Fungsi tersebut menghasilkan himpunan kabur.
Contoh 3.6
Jika fungsi-fungsi tegasnya adalah , dan , maka himpunan kabur fungsi-
fungsi tersebut dengan daerah asal
1f 2f 3f
}3,2,1{=X adalah
1)(,)(,)(
)}5.0,(),7.0,(),4.0,{(~
32
21
321
+−===
=
xxfxxfxxf
ffff
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
dari , diperoleh 1f )}4.0,3(),4.0,2(),4.0,1{(~1 =f
dari , diperoleh 2f )}7.0,9(),7.0,4(),7.0,1{(~2 =f
dari , diperoleh 3f )}5.0,2(),5.0,1(),5.0,0{(~3 −−=f
maka dapat kita ringkas keluarannya sebagai berikut:
)}7.0,1(),5.0,0{()}5.0,0(),7.0,1(),4.0,1{()1(~==f
)}5.0,1(),7.0,4(),4.0,2{()}5.0,1(),7.0,4(),4.0,2{()2(~−=−=f
)}5.0,2(),7.0,9(),4.0,3{()}5.0,2(),7.0,9(),4.0,3{()3(~−=−=f
Dapat kita lihat bahwa fungsi kabur tersebut memetakan 2 ke 2 dengan derajat
keanggotaan 0.4 dengan memakai fungsi , ke 4 dengan derajat keanggotaan 0.7
memakai fungsi , dan ke –1 dengan derajat keanggotaan 0.5 dengan fungsi .
Hasil tersebut digambarkan oleh
1f
2f 3f
)2(~2f di atas.
Contoh 3.7
Misalkan ada suatu himpunan kabur dengan fungsi kontinu pada
(Gambar 3.2)
]2,0[=X
)}5.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =
1)(,)(,)( 23
221 +=== xxfxxfxxf
Fungsi kabur tersebut memetakan 1.5 ke 1.5 dengan derajat keanggotaan 0.4 de-
ngan memakai fungsi , ke 2.25 dengan derajat keanggotaan 0.7 dengan me-
makai , dan ke 3.25 dengan derajat keanggotaan 0.5 memakai . Jadi
1f
2f 3f
)}5.0,25.3(),7.0,25.2(),4.0,5.1{()5.1(~=f .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas
B. Ekstrim Kabur dari Fungsi
1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum
Definisi 3.5 (Himpunan Pemaksimum)
Misalkan f adalah fungsi dengan nilai real dalam X dan nilai terbesar dan terkecil
dari f adalah dan berturut-turut. Himpunan pemaksimum M dide-
finisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan
)sup( f )inf( f
Xxff
fxfxM ∈∀−−
= ,)inf()sup(
)inf()()(μ
yaitu himpunan pemaksimum M adalah suatu himpunan kabur dengan derajat
keanggotaan didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan
nilai maksimum su Kemungkinan x berada dalam M didefinisikan dari posi-
si normal relatif dalam interval [inf( f val ),[inf( f
Xx∈
)p( f .
f . Inter f adalah)]sup(), )]sup(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
daerah hasil yang mungkin dari )(xf . H nan peminimum dari f didefinisikan
sebagai himpunan pemaksimum dari –f.
impu
Contoh 3.8
Misalkan suatu fungsi (Gambar 3.3) dengan interval nilai sebagai berikut f
101],20,10[)]sup(),[inf( ≤≤= xff .
Jika , maka . Derajat keanggotaan dari 5=x 15)( =xf 5=x dalam himpunan
pemaksimum M dapat dihitung sebagai berikut:
5.010/5)1020/()1015()5( ==−−=Mμ
Jika , maka , dan 8=x 19)( =xf
9.010/9)1020/()1019()8( ==−−=Mμ
)(xMμ menyatakan kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f. Dapat
dikatakan bahwa dan 5=x 8=x menghasilkan nilai maksimum de-
ngan kemungkinan 0.5 dan 0.9 berturut-turut.
20)( =xf
20)(10101
≤≤≤≤
xfx
Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Contoh 3.9
Diberikan suatu fungsi )20(sin)( π≤≤= xxxf seperti dalam Gambar 3.4. Him-
punan pemaksimum M dari fungsi tersebut mempunyai fungsi keanggotaan
21sin
21
21sin
)1(1)1(sin
)inf(sin)sup(sin)inf(sinsin)(
+=
+=
−−−−
=
−−
=
x
x
xxx
xxxMμ
Jika π=x , maka 0sin)( == πxf . Kemungkinan bahwa adalah nilai
maksimum dari fungsi sinus adalah
0)( =xf
21 .
(a) xxf sin)( =
(b) Himpunan pemaksimum M
Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
2. Nilai Maksimum dari Fungsi Tegas
a. Daerah Asal Tegas
Misalkan adalah nilai variabel bebas yang membuat fungsi f mencapai nilai
maksimum dalam daerah asal D. Kita dapat menggunakan himpunan pemak-
simum M untuk menemukan nilai , yaitu adalah elemen yang membuat
0x
0x 0x
)(xMμ menjadi nilai maksimum:
)(sup)( 0 xx MDx
M μμ∈
=
)(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum. Nilai maksimum dari
f adalah . )( 0xf )( 0xMμ dapat ditulis sebagai berikut (dengan daerah asal D suatu
himpunan tegas):
)].(),(min[sup
)(sup)( 0
xx
xx
DMXx
MDx
M
μμ
μμ
∈
∈
=
=
Perhatikan bahwa daerah asal D digantikan oleh himpunan semesta X dalam ru-
mus di atas. Kemungkinan x berada dalam D dinotasikan dengan )(xDμ .
Contoh 3.10
Diberikan suatu fungsi dan daerah asalnya:
]2,0[,cos)( π=∈= Dxxxf
21cos
21
21cos
)1(1)1(cos
)inf(cos)sup(cos)inf(coscos)(
+=+
=−−−−
=
−−
=
xxxxx
xxxMμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
⎩⎨⎧ ≤≤
=selainnya0
20untuk 1)(
πμ
xxD
Nilai maksimum dicapai di )( 0xf 0x
di mana
.2atau0untuk1
)(sup
)](),(min[sup)(
0
20
200
π
μ
μμμ
π
π
==
=
=
≤≤
≤≤
x
x
xxx
Mx
DMx
M
Maka nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai ketika 00 =x atau π2 .
Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas
b. Daerah Asal Kabur
Sekarang dibahas cara mendapatkan nilai maksimum jika daerah
asalnya didefinisikan dalam himpunan kabur. Agar f mencapai nilai maksimum di
, dua kondisi berikut harus dipenuhi:
)( 0xf
0x
- )(xMμ maksimum
- )(xDμ maksimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Elemen yang menghasilkan nilai maksimum f harus memenuhi dua kondisi di
atas. Kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f ditentukan oleh min-
imum dari M
1x
1
)( 1xμ dan 1x (D )μ yaitu:
)](),([min 11 xx DM μμ .
Titik yang membuat fungsi f menjadi maksimum didefinisikan sebagai beri-
kut:
0x
)](),([minsup)( 0 xxxf DMXx
μμ∈
=
di mana )(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan )(xDμ
adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur (Gambar 3.6). Perbandingan
dengan dalam Gambar 3.6, kemungkinan menghasilkan maksimum untuk f
lebih besar dari :
0x
1x 1x
0x
)()(atau)()( 0101 xxxfxf MM μμ >> .
Tetapi karena )( 1xDμ jauh lebih kecil dari pada )( 0xDμ , maka dipilih
sebagai nilai maksimum.
)( 0xf
Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Contoh 3.11
Diberikan suatu fungsi dengan daerah asal kabur (Gambar 3.7):
⎩⎨⎧ ≤≤
=
∈+−=
lainnya yang010untuk
)(
,2)(2 xx
x
Dxxxf
Dμ
Fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum:
112
12)( +−=−
−+−= xxxMμ .
Dari persamaan
)](),([minsup)( 0 xxxf DMXx
μμ∈
=
titik diperoleh ketika 0x
6.0,1
)()(
0200
00
==+−
=
xxx
xx DM μμ
Maka kita mempunyai nilai maksimum 6.0untuk4.1)( 00 == xxf .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 3.7. Nilai maksimum dari 2)( +−= xxf dengan daerah asal kabur
Contoh 3.12
Misalkan diberikan suatu fungsi tegas f dan daerah asal kaburnya D:
21cos
21)(
lainnyauntuk 0
20untuk],1[min)(
,cos)(
+=
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
=
∈=
xx
xxx
Dxxxf
M
D
μ
ππμ
seperti dalam Gambar 3.8. Maka
)](),([minmax xx DMXxμμ
∈ diperoleh ketika π20 =x
dan . 1)( 0 =xf
Gambar 3.8. Nilai maksimum xxf cos)( = dengan daerah asal kabur
C. Integral dan Differensial Fungsi Kabur
1. Integral
Sekarang kita akan membahas integral fungsi kabur pada interval tegas
dan pada interval kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
a. Integral Fungsi Kabur pada Interval Tegas
Definisi 3.6 (Integral Fungsi Kabur)
Dalam interval tegas , misalkan fungsi kabur mempunyai nilai kabur ],[ ba
],[untuk )(~ baxxf ∈ . Integral ),(~ baI dari fungsi kabur dalam dide-
finisikan sebagai berikut
],[ ba
}]1,0[),)()({(),(~∫∫ ∈+= +−b
a
b
a
dxxfdxxfbaI αααα
di mana dan adalah fungsi potongan-α dari −αf
+αf )(~ xf . Tanda (+) dalam rumus
di atas menggambarkan keseluruhan unsur-unsur dalam himpunan kabur, bukan
penjumlahan aritmetika. Selanjutnya, integral total diperoleh dengan
mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Jika kita
mengerjakan operasi potongan-α untuk fungsi kabur, diperoleh atau
sehingga kita dapat menghitung integral dari masing-masing fungsi itu:
−αf
+αf
∫ −− =b
a
dxxfI )(~αα dan ∫ ++ =
b
a
dxxfI )(~αα
Jadi dapat dikatakan bahwa kemungkinan −αI
~ atau +αI
~ adalah anggota dari
integral total ),(~ baI adalah α.
Contoh 3.13
Misalkan ada suatu himpunan kabur dari fungsi-fungsi dan kita akan menghitung
integralnya pada [1, 2]:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
)}4.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =
]2,1[=X
1)(,)(,)( 32
21 +=== xxfxxfxxf
i. Untuk α = 0.7
22 )( xxff ==
37
31)()2,1(
2
1
2
1
32 =⎥⎦⎤== ∫ xdxxxIα
Hasil integralnya adalah 37 dengan kemungkinan 0.7
Maka )}7.0,37{()2,1(7.0 =I .
ii. Untuk α = 0.4 ada dua fungsi
1)(
)(
3
1
+==
==−
+
xxff
xxff
25
21)1()2,1(
23
21)2,1(
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
=⎥⎦⎤+=+=
=⎥⎦⎤==
∫
∫
xxdxxI
xxdxI
α
α
Hasil integralnya adalah 23 dengan kemungkinan 0.4 dan
25 dengan kemungkin-
an 0.4. Maka
)}4.0,25(),4.0,
23{()2,1(4.0 =I
sehingga kita mempunyai integral total
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
)}4.0,25(),4.0,
23(),7.0,
37{()2,1(~
=I .
Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas
b. Integral Fungsi Tegas pada Interval kabur
Selanjutnya akan diuraikan integral fungsi tegas pada interval kabur [A, B]
yang batasnya ditentukan oleh dua himpunan kabur A dan B (Gambar 3.10).
Gambar 3.10. Interval kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Definisi 3.7 (Integral pada interval kabur)
Integral I(A, B) dari fungsi tegas f pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai
berikut
)].(),([minmax
)(
,),( xx BA
duufz
yxbaIy
x
μμμ
∫
=
=
Contoh 3.14
Berikut ini ditunjukkan integral dari fungsi 2)( =xf pada interval kabur [A, B].
A = {(4, 0.8), (5, 1), (6, 0.4)}
B = {(6, 0.7), (7, 1), (8, 0.2)}
]8,4[,2)( ∈= xxf
∫ ∫==B
A
B
A
dxdxxfBAI 2)(),(~
Lihat Tabel 3.1. Diperoleh integral I(A, B).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Tabel 3.1. Integral Kabur
[A, B] ∫b
a
dx2 )](),(min[ ba BA μμ
[4, 6] 4 0.7
[4, 7] 6 0.8
[4, 8] 8 0.2
[5, 6] 2 0.7
[5, 7] 4 1
[5, 8] 6 0.2
[6, 6] 0 0.4
[6, 7] 2 0.4
[6, 8] 4 0.2
)}2.0,8(),8.0,6(),1,4(),7.0,2(),4.0,0{(),(~ =BAI
Sebagai contoh, integral dalam [6, 6], diperoleh 0 sebagai nilai integral dengan
kemungkinan 0.4. Sedangkan dalam interval [5, 6] dan [6, 7], diperoleh nilai
integral 2 dengan kemungkinan 0.7 dan 0.4. Jadi kemungkinan nilai integralnya 2
adalah max[0.7, 0.4] = 0.7.
2. Diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Selanjutnya akan diperkenalkan differensial fungsi tegas pada interval
kabur.
Definisi 3.8 (Diferensial pada himpunan kabur)
Dengan prinsip perluasan, diferensial )(Af ′ dari fungsi tegas f pada himpunan
kabur A didefinisikan sebagai berikut
)(max)()()( xy AyxfAf μμ=
′ = .
Contoh 3.15
Misalkan fungsi , maka diferensial dari fungsi tersebut pada himpunan
kabur A = {(-1, 0.4), (0, 1), (1, 0.6)}:
3)( xxf =
23)( xxf =′
)}.6.0,3(),1,0{()}6.0,3(),1,0(),4.0,3{()(
==′ Af
Contoh 3.16
Diberikan suatu fungsi kabur
)}4.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =
1)(,)(,)( 33
221 +=== xxfxxfxxf
Kita peroleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
0.4jika75.0)5.0(0.7jika1)5.0(0.4jika1)5.0(
3)(,2)(,1)(
3
2
1
2321
==′==′==′
=′=′=′
ααα
fff
xxfxxfxf
)}.4.0,75.0(),7.0,1{(
)}4.0,75.0(),7.0,1(),4.0,1{()(~
0
=
=xdxfd
D. Soal – soal
1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut
ByAxxxfy ∈∈== ,,3)( 2
)}5.0,27(),5.0,12(),4.0,4{()}4.0,3(),5.0,2{(
==
BA
memenuhi kondisi )()( yx BA μμ ≤ .
Jawab:
Untuk 2=x , maka , sedangkan 12)2(3)( 2 === xfy
5.0)12(dan5.0)2( == BA μμ .
Jadi )()( yx BA μμ ≤ .
Untuk , maka , sedangkan 3=x 27)3(3)3( 2 === fy
5.0)27(dan4.0)3( == BA μμ .
Jadi )()( yx BA μμ ≤ .
Jadi fungsi memenuhi kondisi 23)( xxf = )()( yx BA μμ ≤ .
2. Tunjukkan bahwa fungsi berikut adalah suatu fungsi pengaburan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
)(~:~ BPAf → di mana }3,2,1{=A , ,
}6,4,3,2,1{=B
},,()(~321 BBBBP =
3
2
1
)3(~)2(~)1(~
Bf
Bf
Bf
=
=
=
)}5.0,6(),0.1,3{()}9.0.4(),5.0,2{()}5.0,2(),9.0,1{(
3
2
1
===
BBB
Jawab:
Fungsi f~ adalah fungsi pengaburan, sebab
)}.5.0,6(),0.1,3{(3:~)}9.0,4(),5.0,2{(2:~)}5.0,2(),9.0,1{(1:~
3
2
1
=→
=→
=→
Bf
Bf
Bf
Jadi menurut definisi 3.3 fungsi tersebut adalah fungsi pengaburan.
3. Diberikan himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dengan daerah asal
: }4,3,2{=X
)}.9.0,(),5.0,(),4.0,{(~1)(,)(,1)(
321
23
221
ffff
xxfxxfxxf
=
+==+=
Tentukan ).4(~),3(~),2(~ fff
Jawab:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Untuk 2=x , maka 3)2(1 =f , 4)2(2 =f , 5)2(3 =f
Untuk 3=x , maka 4)3(1 =f , 9)3(2 =f , 10)3(3 =f
Untuk 4=x maka 5)4(1 =f , 16)4(2 =f , 17)4(3 =f
Jadi
)}9.0,5(),5.0,4(),4.0,3{()2(~=f
)}9.0,10(),5.0,9(),4.0,4{()3(~=f
)}9.0,17(),5.0,16(),4.0,5{()4(~=f .
4. Diberikan suatu fungsi . ]3,1[,)( 3 −=∈= Dxxxf
Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur,
dan hitung kemungkinan 0=x dalam setiap himpunan tersebut.
Jawab:
a. Himpunan pemaksimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi
keanggotaan
281
28128
1)1(27)1(
)inf()sup()inf()()(
3
3
3
+=
+=
−−−−
=
−−
=
x
x
xff
fxfxMμ
Untuk nilai kemungkinannya adalah 0=x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
.04.0
281
281
281)0( 3
==
+= xMμ
b. Himpunan peminimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi
keanggotaan
2827
28128
27)27(1
)27()inf()sup(
)inf()()(
3
3
3
+−=
+−=
−−−−−
=
−−−−−−
=
x
x
xff
fxfxMμ
Untuk nilai kemungkinannya adalah 0=x
.96.0
2827
2827
281)0( 3
==
+−= xMμ
5. Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur
dari , dan tentukan kemungkinan xxf cos)( = ππ 2dan2
menghasilkan nilai
maksimum dan minimum.
Jawab:
a. Himpunan pemaksimum kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
21cos
21
21cos
)1(1)1(cos
)inf()sup()inf()()(
+=+
=
−−−−
=
−−
=
xx
xff
fxfxMμ
Untuk 2π
=x nilai kemungkinannya adalah
21
21)
2cos(
21)
2(
=
+=ππμM
dan untuk π2=x nilai kemungkinannya adalah
.1
21
21
21)2cos(
21)2(
=+=
+= ππμM
b. Himpunan peminimum kabur
.21cos
21
21cos)1(1
)1(cos)inf()sup(
)inf()()(
+−=
+−=
−−−−−
=
−−−−−−
=
x
x
xff
fxfxMμ
Untuk 2π
=x nilai kemungkinannya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
21
21)
2cos(
21)
2(
=
+−=ππμM
dan untuk π2=x nilai kemungkinannya adalah
.0
21
21
21)2cos(
21)2(
=+−=
+−= ππμM
6. Hitunglah nilai maksimum dari fungsi berikut
2)( xxf =
a. di mana 0.1)(],1,0[ ==∈ xDx Dμ
b. di mana xxDx D ==∈ )(],1,0[ μ
Jawab:
a. , di mana 2)( xxf = 0.1)(],1,0[ ==∈ xDx Dμ
22
22
22
010
)inf()sup()inf()(
xxxx
xxxM
=−−
=
−−
=μ
Nilai maksimum dicapai di titik di mana )( 0xf 0x
.1untuk 1
][sup]1,min[sup
)](),(min[sup)(
0
2
10
2
10
100
==
==
=
≤≤≤≤
≤≤
x
xx
xxx
xx
DMx
M μμμ
Jadi kita peroleh nilai maksimum 1)( 0 =xf untuk 10 =x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
b. , di mana 2)( xxf = xxDx D ==∈ )(],1,0[ μ .
Dari soal di atas telah didapatkan . 2)( xxM =μ
Nilai maksimum dicapai di titik di mana )( 0xf 0x
1atau00
)()(
00
020
020
00
===−
=
=
xxxx
xx
xx DM μμ
Jadi nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai untuk 10 =x .
7. Misalkan diberikan fungsi . Integralkan fungsi tersebut dalam
interval [A, B], di mana
1)( 2 += xxf
)}5.0,9(),1.0,8{(dan )}9.0,2(),5.0,1{( == BA .
Jawab:
]9,1[,1)( 2 ∈+= xxxf
∫ ∫ +==B
A
B
A
dxxdxxfBAI )1()(),(~ 2
Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi 1)( 2 += xxf
],[ ba ∫ +b
a
x 12 )](),(min[ ba BA μμ
[1, 8] 31177 0.1
[1, 9] 32250 0.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
[2, 8] 174 0.1
[2, 9] 31247 0.5
Sehingga diperoleh
)}5.0,32250(),5.0,
31247(),1.0,
31177(),1.0,174{(),(~ =BAI .
8. Diberikan fungsi . Diferensialkan fungsi tersebut pada
himpunan kabur
15)( 2 += xxf
)}0.1,0(),9.0,1(),5.0,2{( −−=A .
Jawab:
15)( 2 += xxf
xxf 10)( =′
20)2( −=−′f
10)1( −=−′f
0)0( =′f
Jadi )}0.1,0(),9.0,10(),5.0,20{()( −−=′ Af .
9. Diketahui himpunan kabur dari fungsi-fungsi tegas
)}4.0,(),5.0,(),9.0,(),4.0,{(~4321 fffff =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
.51)(,1)(
1)(,1)(]3,1[
43
221
+==
+=+=
=∈
xxf
xxf
xxfxxfDx
Tentukan himpunan kabur )2(~f dan )3(~f .
Jawab:
Untuk , maka 2=x 312)2(1 =+=f
514)2(2 =+=f
21)2(3 =f
5.5521)2(4 =+=f .
Untuk , maka 3=x 413)3(1 =+=f
1019)3(2 =+=f
31)3(3 =f
.3
16531)2(4 =+=f
Jadi diperoleh himpunan-himpunan kabur )2(~f dan )3(~f yaitu
)}4.0,5.5(),5.0,5.0(),9.0,5(),4.0,3{()2(~=f
)}.4.0,315(),5.0,
31(),9.0,10(),4.0,4{()3(~
=f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
10. Tentukan himpunan pemaksimum kabur M dan nilai maksimumnya dari
fungsi berikut:
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
=
∈+=
lainnyauntuk 0
20untuk2)(
,1sin)(
ππμ
xxx
Dxxxf
D
Jawab:
21sin
21
21sin
020)1(sin
)1inf(sin)1sup(sin)1inf(sin1sin)(
+=+
=−
−+=
+−++−+
=
xxxxx
xxxMμ
Nilai maksimum dicapai dititik di mana )( 0xf 0x
ππ
μμ
=
=+
=
0
00
00
221sin
21
)()(
x
xx
xx DM
Jadi nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai untuk π=0x .
11. Diketahui fungsi kabur
]3,1[)},9.0,(),4.0,(),5.0,(),4.0,{(~4321 =∈= Dxfffff
dengan
1)(,1)(1)(,1)(
24
23
21
−=+=
−=+=
xxfxxfxxfxxf
Hitunglah integral dari fungsi tersebut dalam [1, 3].
Jawab:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
a. Intrgral untuk 5.0=α :
1)(2 −= xxf
2)21(
23
21)1()3,1(
3
1
23
15.0 =−−=⎥⎦
⎤−=−= ∫ xxdxxI
Jadi integralnya adalah 2 dengan kemungkinan 0.5.
b. Intrgral untuk 9.0=α :
1)( 24 −= xxf
326)
32(6
31)1()3,1(
3
1
33
1
29.0 =−−=⎥⎦
⎤−=−= ∫ xxdxxI
Jadi integralnya adalah 326 dengan kemungkinan 0.9.
c. Intrgral untuk 4.0=α ada dua fungsi:
1)(1 += xxf
1)( 23 += xxf
623
215
21)1()3,1(
3
1
23
14.0 =−=⎥⎦
⎤+=+= ∫ xxdxxI
3210)
34(12
31)1()3,1(
3
1
33
1
24.0 =−=⎥⎦
⎤+=+= ∫ xxdxxI
Jadi integralnya adalah 6 dengan kemungkinan 0.4, dan 3210 dengan
kemungkinan 0.4. Maka integral totalnya adalah
)}.4.0,3210(),9.0,
326(),5.0,2(),4.0,6{()3,1(~ =I
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
12. Diberikan suatu fungsi kabur
)}5.0,(),9.0,(),5.0,{(~321 ffff =
dengan
xxfxxxfxxf =++=+= )(,1)(,1)( 323
22
1 .
Diferensialkan fungsi tersebut di 20 =x .
Jawab:
xxfxxxfxxf =++=+= )(,1)(,1)( 323
22
1
1)(,23)(,2)( 32
21 =′+=′=′ xfxxxfxxf
Diferensial fungsi untuk 20 =x adalah
5.0dengan 1)2(9.0dengan 1641223)2(
5.0dengan 4)2(
3
22
1
==′==+=+=′
==′
αα
α
fxxf
f
)}.5.0,1(),9.0,16(),5.0,4{()2(~
=dxfd
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
KESIMPULAN
Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu fungsi
tegas dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari varia-
bel bebas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas.
Fungsi tegas dengan kendala kabur adalah suatu fungsi f yang memenuhi kondisi
Xxxfx BA ∈∀≤ ))(()( μμ , di mana X dan Y adalah himpuan semesta tegas dan
A dan B adalah himpunan kabur yang didefinisikan dalam semesta tegas tersebut.
Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak
bebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, maka fungsi perluasan kabur f
mendefinisikan bayangan kabur f(A) dalam Y dari himpunan kabur A dalam X,
yaitu
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=
−
−
∈ −
φ
φμμ
)( jika0
)( jika)(sup)(
1
1
)()(
1
yf
yfxy
Ayfx
Af
di mana adalah bayangan invers dari y. Sedangkan fungsi pengaburan de-
ngan variabel tegas adalah suatu fungsi yang menghasilkan bayangan dari daerah
asal tegas berupa suatu himpunan kabur.
)(1 Af −
Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas
maupun kabur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Him-
punan pemaksimum M didefinisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi
keanggotaan
70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
.,)inf()sup(
)inf()()( Xxff
fxfxM ∈∀−−
=μ
Himpunan pemaksimum M tersebut adalah suatu himpunan kabur dengan derajat
keanggotaan didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan
nilai maksimum sup(f). Sedangkan himpunan peminimum dari f didefinisikan se-
bagai himpunan pemaksimum dari –f. Nilai maksimum dari fungsi tegas f adalah
, di mana suatu titik yang membuat fungsi f mencapai nilai maksimum
dalam daerah asal tegas D. Dengan himpunan pemaksimum M dapat ditemukan
nilai , yaitu elemen yang membuat
Xx∈
)( 0xf 0x
0x )(xMμ mencapai nilai maksimum:
)].(),(min[sup
)(sup)( 0
xx
xx
DMXx
MDx
M
μμ
μμ
∈
∈
=
=
Sedangkan nilai maksimum dari fungsi tegas f dalam daerah asal kabur dicapai
ketika ada titik yang membuat fungsi f menjadi maksimum yang didefinisikan
sebagai
0x
)](),([minsup)( 0 xxxf DMXx
μμ∈
=
di mana )(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan )(xDμ
adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur.
Integral fungsi kabur diklasifikasikan dalam dua kelompok, yaitu integral
fungsi kabur pada interval tegas dan integral fungsi kabur pada interval kabur. In-
tegral fungsi kabur dalam interval tegas [a, b] didefinisikan sebagai
}]1,0[),)()({(),(~ =+= ∫∫ +− ααb
aa
b
aa dxxfdxxfbaI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
di mana dan adalah fungsi potongan-α dari . Integral total diperoleh
dengan mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Selanjutnya
integral I(A, B) dari fungsi tegas pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai
berikut
−af +
af )(~ xf
)](),(min[max
)(
,),( xx BA
duufz
yxBAIy
x
μμμ
∫
=
=
.
Sedangkan diferensial dari fungsi tegas f pada himpunan kabur A dide-
finisikan sebagai berikut
)(Af ′
).(max)()( xAyxfAf μμ=
′ =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
DAFTAR PUSTAKA
Baisuni, H. M. Hasyim. (1986). Kalkulus. Jakarta: Penerbit Unversitas Indonesia.
Lee, Kwang H. (2005). First Course on Fuzzy Theory and Applications. New
York: Springer – Verlag.
Purcell, J. Edwin. and Varberg, Dale. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Ja-
karta: Erlangga.
Susilo, F. (2003). Pengantar Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya.
Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.
Zimmermann, H.-J. (1991). Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Klu-
wer Academic Publisher.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related