glava 3. matemati čglava 3. matemati čki modeli izravnanja 129 3.2. izravnanje po metodi posrednih...
Post on 02-Dec-2020
35 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
129
3.2. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA
3.2.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL
Kod modela posrednog izravnanja nepoznati parametri tyx , ... , , odreñuju se na
osnovu niza merenih veličina nlll , ... , , 21 pod uslovom da suma kvadrata popravaka
merenih veličina ), ... ,2 ,1( nivi = bude minimalna (3.13) ili (3.14).
Broj merenih veličina n uvek je veći od broja nepoznatih parametara u
)( un > . Razlika unr −= predstavlja broj suvišno merenih veličina ili broj stepeni
slobode. Kada je un = rešenja su jedinstvena i tada ne egzistira izravnanje, a za un < problem nije definisan i ne postoje rešenja i izravnanje.
Kod izravnanja geodetskih mreža neophodno je definisati date veličine, merene veličine i nepoznate parametre (Sl. 3.3). Nepoznati parametri su najčešće koordinate tačaka
na primer u 2-D mrežama ) ,( ii yx ili u 3-D mrežama ), ,( iii zyx . Vrednosti koordinata
se odreñuju posrednim putem preko veličina koje se mere na terenu (uglovi, dužine, visinske razlike i druge veličine).
B(x ,y )
13 1D
3
... (x ,y )N B(x ,y )
N N2 22
B
...
D...n
...n
33(x ,y )
2D
n (x ,y )n n
1(x ,y )1 1
(x ,y )
2
A
D
A A
Slika 3.3. Date veličine ) , ... , ,( , NBAiyx ii = , merene dužine ) , ... 21( Di n,, iD = ,
mereni uglovi ), ... ,2 ,1( αα nii = i nepoznati parametri u), ..., (i,yx ii , 21= .
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
130
Izmeñu merenih veličina i nepoznatih parametara uspostavlja se funkcionalna veza koja se za konkretni slučaj može izraziti odgovarajućom matematičkom funkcijom.
Neka je u cilju odreñivanja u nepoznatih parametara izmereno n fizičkih veličina. Funkcija veze izmeñu nepoznatih parametara i merenih veličina u opštem slučaju je oblika
) , ... , ,()ˆ ..., ,ˆ,ˆ(ˆ000 dttdyydxxFtyxFll iiiii +++==+= υ (3.15)
gde su:
nlll , ... , , 21 merene veličine,
nυυυ , ... , , 21 popravke merenih veličina,
nlll ˆ, ... ,ˆ ,ˆ21 izravnate vrednosti (ocene) merenih veličina,
tyx , ... , , istinite vrednosti nepoznatih parametara,
dttt
dyyy
dxxx
+=
+=+=
0
0
0
ˆ
. . .
ˆ
ˆ
izravnate vrednosti (ocene) parametara,
B(x ,y )
13 1D
3
... (x ,y )N B(x ,y )
N N2 22
B
...
D...n
...n
33(x ,y )
2D
n (x ,y )n n
1(x ,y )1 1
(x ,y )
2
A
D
A A
Slika 3.4. Privremene vrednosti parametara y,x ii00 , dužina
0iD i uglova
0iα .
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
131
dtdydx , ... , , priraštaji nepoznatih parametara,
000 , .... , , tyx približne vrednosti nepoznatih parametara,
nFFF , ... , , 21 funkcije veze.
Oblik funkcije (3.15) zavisi od vrste i oblika geodetske mreže, odnosno od problematike koja se rešava metodom posrednog izravnanja.
Ako su funkcije (3.15) nelinearnog oblika, onda se svode na linearni oblik
razvijanjem u Tajlorov red u okolini približnih vrednosti parametara 000 , ... , , tyx
dtt
Fdy
y
Fdx
x
FtyxFl iii
iii000
000 ....) , ... , ,(∂∂++
∂∂+
∂∂+=+υ , (3.16)
), ... ,2 ,1( ni = .
Iz (3.16) slede linearne jednačine popravaka oblika
iiiii fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ , ), ... ,2 ,1( ni =
ili
11111 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ
22222 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ
. . . (3.17)
nnnnn fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ
gde su:
parcijalni izvodi funkcije po nepoznatim parametrima
0x
Fa i
i ∂∂
= , 0y
Fb i
i ∂∂
= , ... , 0t
Fu i
i ∂∂
= , ), ... ,2 ,1( ui = (3.18)
slobodni članovi
iii ltyxFf −= ) , ... , ,( 000 , ), ... ,2 ,1( ni = . (3.19)
Parcijalni izvodi po nepoznatim parametrima u okolini njihovih približnih vrednosti nazivaju se koeficijenti čije se vrednosti mogu odrediti kada se razmatra konkretni slučaj. Njihove vrednosti zavise isključivo od oblika, razmere mreže i vrste merenih veličina.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
132
B(x ,y )
123 1D
3
... (x ,y )N B(x ,y )
N N2 22
B
...
D...n
...
n
33(x ,y )
2D
n (x ,y )n n
1(x ,y )1 1
(x ,y )A
D
A A
Slika 3.5. Izravnate vrednosti parametara ii y,x ˆ ˆ , dužina iD i uglova iα .
Približne vrednosti nepoznatih parametara 000 , ... , , tyx mogu se razlikovati od
ocenjenih vrednosti tyx ˆ, ... ,ˆ ,ˆ sve dotle dok ne dolaze do izražaja članovi drugog i višeg
stepena u Tajlorovom redu (3.16). U konkretnom slučaju mogu se utvrditi dozvoljene razlike izmeñu približnih vrednosti parametara i njihovih ocena.
Kada su funkcije (3.15) linearnog oblika, tada se mogu neposredno odrediti ocene parametara, ili ako se iz praktičnih razloga uvode približne vrednosti parametara onda se njihove vrednosti mogu izabrati proizvoljno, odnosno neke vrednosti koje se mnogo ne razlikuju od ocenjenih vrednosti.
Pod obrazovanjem jednačina popravaka podrazumeva se odreñivanje koeficijenata
ia , ib , ...., iu i slobodnih članova if . Prema tome u jednačinama popravaka (3.17) kao
nepoznate veličine figurišu n popravaka iv i u priraštaja dtdydx , ... , , odnosno
ukupno un + nepoznatih veličina. Očigledno je da se jednačine popravaka (3.17) ne mogu neposredno rešavati, jer ima n jednačina u kojima postoji un + nepoznatih veličina unn +< .
Ovakav sistem jednačina ima višeznačna rešenja. Izravnanjem se obezbeñuju jednoznačni rezultati. Od mnoštva mogućih rešenja najbolje rešenje dobija se iz izravnanja koje ispunjava uslov minimuma (3.13) ili (3.14).
Jednačine popravaka (3.17) u matričnom obliku su
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
133
+
⋅
=
nnnnn f
f
f
dt
dy
dx
uba
uba
uba
MM
L
MOMM
L
L
M
2
1
222
111
2
1
υ
υυ
(3.20)
ili
fxAv +⋅= ˆ (3.21)
gde su:
=
nυ
υυ
M
2
1
v ,
=
nnn uba
uba
uba
L
MOMM
L
L
222
111
A ,
=
dt
dy
dx
Mx ,
=
nf
f
f
M
2
1
f
v vektor popravaka, A matrica koeficijenata (matrica dizajna), x vektor priraštaja i f vektor slobodnih članova.
Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.21) i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.4.
Tabela 3.4.
fxAv +⋅= ˆ Linearni funkcionalni model (3.21)
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model (3.3)
Linearni funkcionalni i stohastički model posrednog izravnanja.
3.2.2. PRIMENA METODA NAJMANJIH KVADRATA
Kada su merene veličine stohastički nezavisne primenjuje se metod najmanjih
kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13).
Diferenciranjem (3.13) i iznalaženjem minimuma, sledi
0dvPvvPdv lT
lT =⋅⋅+⋅⋅
ili kako je
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
134
dvPvvPdv lTT
lT ⋅⋅=⋅⋅ )(
dobija se
0dvPv lT =⋅⋅⋅2
odnosno
0dvPv lT =⋅⋅ . (3.22)
Diferenciranjem (3.21)
xdAdv ˆ⋅= (3.23)
i zamenom (3.23) u (3.22) sledi
0xdAPv lT =⋅⋅⋅ ˆ
odnosno
0APv lT =⋅⋅
ili nakon transpozicije
0vPA lT =⋅⋅ . (3.24)
Kada se (3.21) uvrsti u (3.24) dobijaju se normalne jednačine
0f)x(APA lT =+⋅⋅⋅ ˆ
odnosno
0fPAxAPA llT =⋅⋅+⋅⋅⋅ ˆ (3.25)
ili kratko
0nxN =+⋅ ˆ (3.26)
gde je:
uu
n
iii
n
iiii
n
iiii
n
iiii
n
iii
n
iiii
n
iiii
n
iiii
n
iii
upbupaup
ubpbpabp
uapbapap
,1
2
11
11
2
1
111
2
...
............
...
...
=⋅⋅=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
APAN lT
1,1
1
1
...
u
n
iii
n
iiii
n
iiii
fup
fbp
fap
=⋅⋅=
∑
∑
∑
=
=
=
fPAn lT
N matrica koeficijenata normalnih jednačina a n vektor koeficijenata slobodnih članova normalnih jednačina.
Iz (3.26) odreñuje se vektor nepoznatih parametara
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
135
nQnNx x1 ⋅−=⋅−= −
ˆˆ (3.27)
gde je inverzna matrica 1−N identična matrici kofaktora nepoznatih parametara xQ ˆ
1x NQ −=ˆ . (3.28)
Približne vrednosti nepoznatih parametara uvode se ili iz praktičnih razloga da bi se prilikom računanja operisalo sa manjim ciframa, ili služe za svoñenje nelinearnih funkcija na linearni oblik. Njihove vrednosti ne utiču na rezultat izravnanja.
Kada se ne koriste približne vrednosti nepoznatih parametara, jednačine popravaka glase
lxAv −⋅= ˆ (3.29)
gde je matematičko očekivanje
( ) ( )xAl ˆEE ⋅=
a vektor popravaka v može se izraziti u funkciji vektora merenja l
( ) lIPAAPAAv lT1
lT ⋅−= −
][ . (3.30)
Ako se uvedu približne vrednosti nepoznatih parametara, sledi
( ) fxAlxxAv 0 +⋅=−+⋅= ˆˆ , lxAf 0 −⋅= (3.31)
gde je matematičko očekivanje
)()()( xAxAlxAf 00 EEE ⋅−⋅=−⋅= .
Vektor popravaka v postaje
=−⋅−=+−= − )]([1 lxAPA)APA(AIffPAA)PA(Av 0lT
lT
lT
lT
=⋅−+⋅−⋅= −− lIPAA)PA(AxAPAA)PA(AxA lT
lT
olT
lT
o ][ 11
lIPAA)PA(A lT
lT ⋅−= − ][ 1
Kao što se vidi, vektor popravaka v ostao je isti i nakon uvoñenja približnih vrednosti nepoznatih parametara.
Kada su merene veličine stohastički zavisne, onda se umesto uslova minimuma
(3.13) koristi (3.14), pa umesto matrice težina lP treba koristiti matricu 1lQ− .
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
136
3.2.3. KOVARIJACIONE MATRICE IZRAVNATIH VELI ČINA
Nakon primene MNK neophodno je odrediti tačnost veličina koje se dobijaju iz modela izravnanja odnosno, informacije o njihovim statističkim osobinama kao što su varijanse i kovarijanse.
Vektori x , l , v i y mogu se izraziti u funkciji vektora l
lPAQx lT
x ⋅⋅⋅= ˆˆ
lPAQAl lT
x ⋅⋅⋅⋅= ˆˆ
lIPAQAv lT
x ⋅−⋅⋅⋅= )( ˆ
lPAQGxGy lT
x ⋅⋅⋅⋅=⋅= ˆˆˆ
gde su: x vektor nepoznatih parametara, l vektor izravnatih veličina, v vektor popravaka,
y vektor funkcija i l vektor rezultata merenih veličina.
Za prethodne vektore obrazuje se zajednički vektor h oblika
lHl
PAQG
IPAQA
PAQA
PAQ
y
v
l
x
h
lT
x
lT
x
lT
x
Tx
⋅=⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
. (3.32)
Kovarijaciona matrica vektorske funkcije h je oblika
HT
lT
lh QHQHHKHK ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 22oo ss (3.33)
gde je matrica kofaktora HQ oblika
TlH HQHQ ⋅⋅= (3.34)
odnosno
=
yyvylyxy
yvvvlvxv
ylvlllxl
yxvxlxxx
H
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
Q
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ
(3.35)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
137
ili
−=
Txx
Txxxx
Txxll
Txx
Txxxx
Txx
Txxxx
H
GGQ0AGQGQ
0AAQQ00
GAQ0AAQAQ
GQ0AQQ
Q
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
. (3.36)
VAŽNE RELACIJE:
1. Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja
(a posteriori standarna devijacija)
untragso −
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
(3.37)
gde je fQfxnfQfvQv vTT1
lT1
lT =+= −− ˆ .
Standardna devijacija jedinice težine daje informacije o globalnoj tačnosti merenih
veličina koje učestvuju u izravnanju.
2. Matrice kofaktora veličina l , l i v
Ako se vektor l izrazi u obliku vll −= ˆ onda je matrica kofaktora
vlvlvll QQ2QQQQ +=−+= ˆˆˆ (3.38)
jer je 0Qvl
=ˆ .
3. Trag proizvoda matrica v1
l QQ−
=−= −−− )( T1l
1lv
1l AANQQQQ tragtrag
=−= −−− AQANQQ 1l
T1l
1l tragtrag
untragtragtragtraguunnnn
−=−=−=⋅⋅
−
⋅IINNI 1 (3.39)
4. Trag proizvoda matrica l
1l QQ ˆ−
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
138
=−= −− )(ˆ vl1
ll1
l QQQQQ tragtrag
=−= −−v
1ll
1l QQQQ tragtrag
uunnuntragnn
=−−=−−=⋅
)()(I (3.40)
5. Kovarijaciona matrica nepoznatih parametara
122ˆ
2ˆ )( −− ⋅=⋅=⋅= APANQK l
T1xx ooo sss (3.41)
6. Kovarijaciona matrica izravnatih veličina
T1l
TT1ll
AAPAAAANQK −− ⋅=⋅=⋅= )(22ˆ
2ˆ ooo sss (3.42)
7. Kovarijaciona matrica popravaka
)(22 T1lvv AANQQK −−⋅=⋅= oo ss (3.43)
8. Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ (3.44)
ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.45)
Parametar 2/,αrt uzima se iz tabele IV po argumentu verovatnoćeα i broja
suvišnih merenja unr −= .
9. Eksperimentalna standardna devijacija funkcije
GQG xT ⋅⋅⋅= ˆoF sσ (3.46)
a eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñuje se po formuli (3.37).
ARITMETI ČKE SREDINE
- Uopštena aritmetička sredina:
1−
=−
ns
vQv 1l
T
(3.47)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
139
gde je: 1−=− ntrag v1
l QQ , eQe
NK 1l
T1
l −− ⋅=⋅= 122
ˆ ss ,
eQeN 1l
T −= , ( )1...11=Te ,
−⋅= − eeQ
RQQ 1l
lv
12s , 1ll QP −= ,
=⋅
1...11
............
1...11
1...11
nnR .
- Opšta aritmetička sredina:
111
2
−=
−=
∑=
n
vp
ns
n
iiivPv l
T
(3.48)
gde je: ∑=
==n
iip
1
ePeN lT ,
∑=
= n
iip
1
ˆ
1l
Q ,
−⋅=∑
=
−n
iip
s
1
2 1RPQ 1
lv .
- Prosta aritmetička sredina:
11
1
2
−=
−=
∑=
n
v
ns
n
iivvT
(3.49)
gde je: n== eeN T , n
1ˆ =l
Q ,
−⋅=n
s12 RIQv
ili
n
nss
iv
1−⋅= .
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
140
3.2.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI POSREDNIH
MERENJA
Model izravnanja
fxAv +⋅= ˆ Linearni funkcionalni model.
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model.
Algoritam izravnanja
( ) nnlll ⋅= 121 ...Tl Vektor merenih veličina.
( ) ntyx ⋅= 1...Tx Vektor nepoznatih parametara.
( ) ntyx ⋅= 1000 ...T0x Vektor približnih vrednosti nepoznatih
parametara.
unnnn uba
uba
uba
⋅
=
...
.........
...
...
222
111
OA
Matrica koeficijenata (dizajna).
nnnp
p
p
⋅
=
000
000
000
000
2
1
OlP
Matrica težina merenih veličina.
( ) nnfff ⋅= 121 ...Tf Vektor slobodnih članova.
0nxN =+⋅ ˆ Normalne jednačine.
APAN lT ⋅⋅= Matrica koeficijenata normalnih jednačina.
fPAn lT ⋅⋅= Vektor slobodnih članova normalnih
jednačina.
nQnNx x1 ⋅−=⋅−= −
ˆˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
141
fxAv +⋅= ˆ Vektor popravaka merenih veličina.
xnfQfvQv T1l
T1l
T ˆ+= −− Kontrola odreñivanja vektora v i x .
dttt
dyyy
dxxx
+=
+=+=
0
0
0
ˆ
. . .
ˆ
ˆ
Izravnate vrednosti (ocene) parametara.
iii vll +=ˆ Izravnate vrednosti merenih veličina.
)ˆ ..., ,ˆ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.
ii lL ˆ= Definitivna kontrola izravnanja. Ako je
ii lL ˆ≠ nekorektno je formiran
funkcionalni model.
Ocena tačnosti
untragso −
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija).
iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalna standardne devijacije nepoznatih parametara.
iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalna standardne devijacije
izravnatih veličina.
GQG xT ⋅⋅⋅= ˆoF ss
Eksperimentalna standardna devijacija funkcije nepoznatih parametara.
Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ
FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ
Po argumentu α i unr −= iz tabele IV
uzima se broj 2/,αrt .
FFF szsz 21 ≤≤ σ
Po argumentu α−= 1p i unr −=
iz tabele III uzimaju se brojevi z1 i z2.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
142
3.3. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA
3.3.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL
Kada merene veličine stoje u nekim matematičkim odnosima, takva merenja nazivaju se "uslovna merenja", a postupak odreñivanja izravnatih vrednosti merenih veličina naziva se izravnanje po metodi uslovnih merenja ili kraće "uslovno izravnanje". Uvek rezultati merenih veličina stoje u nekim matematičkim odnosima, koji zbog suvišnih merenja neće biti zadovoljeni.
Izravnate vrednosti merenih veličina il izražavaju se u funkciji merenih veličina
il i popravka iυ u obliku
iii ll υ+=ˆ , ), ... ,2 ,1( ni = . (3.50)
Zadatak uslovnog izravnanja sastoji se u tome da se za sve merene veličine il
odrede korespondentne popravke iυ i izravnate vrednosti merenih veličina il .
Neka je za rešavanje odreñenog problema izmereno n veličina. Označimo sa u broj neophodnih merenja. Razlika unr −= izmeñu izvršenih i neophodnih merenja jeste broj suvišnih merenja ili broj stepeni slobode. Uvek je nr < . Svako suvišno merenje omogućuje postavljanje nezavisnog matematičkog uslova. Ako postoji r suvišnih merenja onda se merene veličine mogu svrstati u r nezavisnih matematičkih uslova oblika
rnr
n
n
Tlllf
Tlllf
Tlllf
=
=
=
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
. . .
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
21
2212
1211
(3.51)
gde su T1, T2,..., Tr teorijske vrednosti funkcijaif , )r, ... ,2 ,1( =i . Konkretno značenje
ovih funkcija zavisi od vrste matematičkih uslova u kojima se nalaze merene veličine.
Zamenom (3.50) u (3.51) sledi
rnnr
nn
nn
Tlllf
Tlllf
Tlllf
=+++
=+++=+++
),...,,(
. . .
),...,,(
),...,,(
2211
222112
122111
υυυ
υυυυυυ
(3.52)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
143
U opštem slučaju funkcije (3.52) su nelinearne. Pri linearizaciji odnosno razvijanju
funkcija (3.52) u Tajlorov red, merene veličine il imaju ulogu približnih vrednosti, a
popravke iυ ulogu priraštaja.
Posle linearizacije dobijaju se
rnn
rrrnr
nn
n
nn
n
Tl
f
l
f
l
flllf
Tl
f
l
f
l
flllf
Tl
f
l
f
l
flllf
=∂∂++
∂∂+
∂∂+
=∂∂++
∂∂+
∂∂+
=∂∂++
∂∂+
∂∂+
υυυ
υυυ
υυυ
...),...,,(
...),...,,(
...),...,,(
22
11
21
22
22
21
1
2212
11
22
11
1
1211
M
(3.53)
ili u obliku uslovnih jednačina poravaka
0...
0...
0...
2211
22211
12211
=++++
=++++=++++
rnn
nn
nn
rrr
bbb
aaa
ωυυυ
ωυυυωυυυ
M (3.54)
gde su parcijalni izvodi funkcija po merenim veličinama (koeficijenti uz popravke)
ii l
fa
∂∂= 1 , ), ... ,2 ,1( ni =
ii l
fb
∂∂= 2 , ), ... ,2 ,1( ni =
. . .
i
ri l
fr
∂∂= , ), ... ,2 ,1( ni =
i slobodni članovi jednačina popravaka
iiinii TMTlllf −=−= ) ..., , ,( 21ω , )r, ... ,2 ,1( =i .
Sa Mi i Ti označene su merene i teorijske vrednosti funkcije.
Uslovne jednačine (3.54) mogu se napisati u matričnom obliku
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
144
0=
+
⋅
rnn
n
n
rrr
bbb
aaa
ω
ωω
υ
υυ
MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
21
21
(3.55)
ili
0ωvAT =+⋅ (3.56)
gde su:
=
n
n
n
rrr
bbb
aaa
L
MOMM
L
L
21
21
21
TA ,
=
nυ
υυ
M
2
1
v ,
=
rω
ωω
M
2
1
ω
A matrica koeficijenta uslovnih jednačina,v vektor popravaka i ω vektor slobodnih članova.
Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.56) i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.5.
Tabela 3.5.
0ωvAT =+⋅ Linearni funkcionalni model (3.56)
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model (3.3)
Linearni funkcionalni i stohastički model uslovnog izravnanja.
3.3.2. PRIMENA METODA NAJMANJIH KVADRATA
Metod najmanjih kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13) primenjuje se za definisan
linearni funkcionalni i stohastički model (tabela 3.5).
U tom cilju obrazuje se Lagranžova funkcija oblika
( )ωvA2kvPvF TTl
T +⋅−⋅⋅= (3.57)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
145
gde je ( )rkkk ...21=Tk vektor nepoznatih korelata. Diferenciranjem i
odreñivanjem minimum ove funkcije
0dvA2kdvPvvPdvdF TTl
Tl
T =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
odnosno
0AkPv TTl
T =−
ili nakon transpozicije
kAvPl ⋅=⋅
a odavde sledi vektor popravaka
kAPv 1l ⋅⋅= − . (3.58)
Zamenom (3.58) u (3.56) dobija sistem normalnih jednačina uslovnog izravnanja
0ωkAPA 1l
T =+⋅− (3.59)
ili kratko
0ωkN =+⋅ (3.60)
gde je:
rr
n
iii
n
iiii
n
iiii
n
iiii
n
iii
n
iiil
n
iiii
n
iiii
n
iii
rpbrparp
rbpbpabp
rapbapap
,1
21
1
1
1
1
1
1
1
21
1
1
1
1
1
1
1
21
=⋅⋅=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
L
MOMM
L
L
APAN 1l
T ,
1,
2
1
rr
=
ω
ωω
Mω
N matrica koeficijenata normalnih jednačina a ω vektor slobodnih članova normalnih jednačina.
Iz (3.60) odreñuje se vektor nepoznatih korelata
ωNk 1 ⋅−= − . (3.61)
U praktičnim primenama nakon rešenja za vektor korelata k odreñuje se vektor
popravaka v (3.58 ) a zatim vektor izravnatih vrednosti merenih veličina l (3.50).
Kada su merene veličine stohastički zavisne, onda se umesto uslova minimuma
(3.13) koristi (3.14), pa umesto matrice težina lP treba koristiti matricu 1lQ− .
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
146
3.3.3. KOVARIJACIONE MATRICE IZRAVNATIH VELI ČINA
Vektori l , v , k i ω mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l
( )
lAω
lANωNk
lAANPωANPv
lAANPIlAANPlvll
T
T11
T11l
11l
T11l
T11l
⋅=
⋅−=−=
⋅−=−=
⋅−=−=+=
−−
−−−−
−−−−ˆ
ili u obliku zajedničkog vektora vektora h
( )lHl
A
lAN
AANP
AANPI
ω
k
v
l
h
T
T1
T11l
T11l
⋅=⋅
−−−
=
= −
−−
−−ˆ
. (3.62)
Kovarijaciona matrica vektorske funkcije h je oblika
HT
lT
lh QHQHHKHK ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 22oo ss (3.63)
gde je matrica kofaktora HQ oblika
TlH HQHQ ⋅⋅= (3.64)
odnosno
=
ωωωkωvlω
kωkkkvlk
vωvkvvlv
ωlklvlll
H
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
Q
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
(3.65)
ili
−−
−
=
−
−−−
−−−−−−
−−−−
NIAP0
INANP0
APANPPAANP0
000PAANPP
Q
1l
111l
1l
11l
1l
T11l
1l
T11l
1l
H . (3.66)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
147
VAŽNE RELACIJE:
1. Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja
(a posteriori standarna devijacija)
rtragso
vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T −
−
−
== . (3.67)
gde je ωkvQv T1l
T −=− .
2. Matrice kofaktora veličina l , l i v
Ako se vektor l izrazi u obliku vll −= ˆ onda je matrica kofaktora
vlvlvll QQ2QQQQ +=−+= ˆˆˆ (3.68)
jer je 0Qvl
=ˆ .
3. Trag proizvoda matrica v1
l QQ−
== −−−l
T1l
1lv
1l QAANQQQQ tragtrag
rtragtragtragrr
====⋅
−−− INNAQAN 11l
T1 (3.69)
4. Trag proizvoda matrica l
1l QQ ˆ−
=−= −− )(ˆ vl1
ll1
l QQQQQ tragtrag
=−= −−v
1ll
1l QQQQ tragtrag
rnrtragnn
−=−=⋅I (3.70)
5. Kovarijaciona matrica izravnatih veličina
)(2ˆ
2ˆ l
T1llll
QAANQQQK −−⋅=⋅= oo ss (3.71)
6. Kovarijaciona matrica popravaka
lT1
lvv QAANQQK −⋅=⋅= 22oo ss (3.72)
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
148
7. Intervali poverenja
ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.73)
Parametar 2/,αrt uzima se iz tabele IV po argumentu verovatnoćeα i broja
suvišnih merenja r .
8. Eksperimentalna standardna devijacija funkcije
Neka su argumenti funkcije F izravnate veličine il
( )nlllfF ˆ ..., ,ˆ ,ˆ21=
ili u linearnom obliku
lhFF T0
ˆ+=
gde su
∂∂
∂∂
∂∂=
nl
F
l
F
l
Fˆ...ˆˆ
21
Th , ( )nldldld ˆ...ˆˆˆ21=Tl .
Eksperimentalna standardna devijacija funkcije F biće
hQhl
TˆoF ss = . (3.74)
3.3.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI USLOVNIH
MERENJA
Model izravnanja
0ωvAT =+⋅ Linearni funkcionalni model.
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model.
Algoritam izravnanja
( ) nnlll ⋅= 121 ...Tl Vektor merenih veličina.
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
149
=
n
n
n
rrr
bbb
aaa
...
.........
...
...
21
21
21
O
TA
Matrica koeficijenata (dizajna).
nnnp
p
p
⋅
=
000
000
000
000
2
1
OlP
Matrica težina merenih veličina.
( )rωωω ...21=Tω Vektor slobodnih članova.
APAN 1l
T ⋅⋅= − Matrica koeficijenata normalnih jednačina.
0ωkN =+⋅ Normalne jednačine.
ωNk 1 ⋅−= − Vektor rešenja korelata.
kAPv 1l ⋅⋅= − Vektor popravaka merenih veličina.
ωkvPv Tl
T −= Kontrola odreñivanja vektora v i k .
vll +=ˆ Vektor izravnatih vrednosti merenih veličina.
ini Tlllf =)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( 21 Definitivna kontrola izravnanja.
Ocena tačnosti
rtragso
vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T −
−
−
==
Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija).
iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije
izravnatih veličina.
hQhl
Tˆ⋅= oF ss
Eksperimentalna standardna devijacija funkcije.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
150
Intervali poverenja
ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ
FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ
Po argumentu α i r iz tabele IV uzima
se broj 2/,αrt .
FFF szsz 21 ≤≤ σ
Po argumentu α−= 1p i r iz tabele III
uzimaju se brojevi z1 i z2 .
3.4. IZRAVNANJE PO METODI USLOVNIH MERENJA
SA NEPOZNATIM PARAMETRIMA
3.4.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL
Opšti oblik izravnanja predstavlja izravnanje po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim parametrima. Ono nastaje kada merene veličine i nepoznati parametri učestvuju u istim matematičkim uslovima
rnr
n
n
Ttyxlllf
Ttyxlllf
Ttyxlllf
=
=
=
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
. . .
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ(
21
2212
1211
(3.75)
gde su:
• il izravnate vrednosti merenih veličina
iii ll υ+=ˆ ) ..., ,2 ,1( ni = , (3.76)
• tyx , ... , , istinite vrednosti nepoznatih parametara,
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
151
dttt
dyyy
dxxx
+=
+=+=
0
0
0
ˆ
. . .
ˆ
ˆ
izravnate vrednosti parametara, (3.77)
000 , .... , , tyx približne vrednosti nepoznatih parametara,
dtdydx , ... , , priraštaji nepoznatih parametara,
• rTTT , ... , , 21 teorijske vrednosti funkcija.
Zamenom (3.76) i (3.77) u (3.75) sledi
rnnr
nn
nn
Tdttdyydxxlllf
Tdttdyydxxlllf
Tdttdyydxxlllf
=++++++
=++++++=++++++
),...,,,,...,,(
. . .
),...,,,,...,,(
),...,,,,...,,(
0002211
200022112
100022111
υυυ
υυυυυυ
Nakon linearizacije dobijaju se uslovne jednačine sa nepoznatim parametrima
0......
. . .
0......
0......
2211
22222211
11112211
=++++++++
=++++++++=++++++++
rrrrnn
nn
nn
WdtUdyBdxArrr
WdtUdyBdxAbbb
WdtUdyBdxAaaa
υυυ
υυυυυυ
(3.78)
gde su:
• parcijalni izvodi funkcija po merenim veličinama
ii l
fa
∂∂= 1 ,
ii l
fb
∂∂= 2 , ... ,
i
ri l
fr
∂∂= , ), ... ,2 ,1( ni =
• parcijalni izvodi funkcije po nepoznatim parametrima
0x
FA i
i ∂∂= ,
0y
FB i
i ∂∂= , ... ,
0t
FU i
i ∂∂= , ), ... ,2 ,1( ui =
• slobodni članovi uslovnih jednačina
iiinii TMTtyxlllfW −=−= ),...,,,,...,,( 00021 , )r, ... ,2 ,1( =i .
Uslovne jednačine sa nepoznatim parametrima (3.78) mogu se napisati u matričnom obliku
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
152
0=
+
⋅
+
⋅
rrrrnn
n
n
W
W
W
dt
dy
dx
UBA
UBA
UBA
v
v
v
rrr
bbb
aaa
MMOMO
2
1
222
111
2
1
21
21
21
...
.........
...
...
...
.........
...
...
(3.79)
ili
0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ (3.80)
gde su:
=
n
n
n
rrr
bbb
aaa
...
.........
...
...
21
21
21
O
TA ,
=
rrr UBA
UBA
UBA
...
.........
...
...
222
111
OB
=
nv
v
v
M
2
1
v ,
=
dt
dy
dx
Mx ,
=
rW
W
W
M
2
1
w
A i B matrice koeficijenta,v vektor popravaka, x vektor nepoznatih parametara i w vektor slobodnih članova.
Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.80) i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.6.
Tabela 3.6.
0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ Linearni funkcionalni model (3.80)
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model (3.3)
Linearni funkcionalni i stohastički model uslovnog izravnanja sa nepoznatim parametrima.
U linearnom funkcionalnom modelu (3.80) postoji r uslovnih jednačina, n rezultata merenja i u nepoznatih parametara. Izravnanje ima smisla ako je r u> i n r u> − . Ako je r u= nema izravnanja, a ako je r u< zadatak je neodreñen.
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
153
Sva izravnanja su specijalni slučajevi izravnanja po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim veličinama.
3.4.2. PRIMENA METODA NAJMANJIH KVADRATA
Metod najmanjih kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13) primenjuje se za definisan
linearni funkcionalni i stohastički model (tabela 3.6.).
Ako je r n u< + , onda se sistem linearnih jednačina (3.80) može rešiti slično
uslovnom izravnanju posredstvom vektora korelata ( )rkkk ...21=Tk . U tom cilju
obrazuje se Lagranžova funkcija
( )wxBvA2kvPvF TTl
T +⋅+⋅−⋅⋅= ˆ
i odredi njen minimum
( ) 0AkPvvF TT
lT =−=
∂∂
2
0BkvF T =−=
∂∂
2
odnosno
kAPv 1l ⋅= − (3.81)
0kBT =⋅ . (3.82)
Kada se uvrsti (3.81) u (3.80) i dopiše (3.82) dobija se sistem normalnih jednačina uslovnog izravnanja sa nepoznatim parametrima
0kB
0wxBkNT =⋅
=+⋅+⋅ ˆ (3.83)
gde je
APAN 1l
T −=
matrica koeficijenata normalnih jednačina.
Iz prve jednačine sistema normalnih jednačina (3.83) može se izraziti vektor korelata k u obliku
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
154
)ˆ(1 wxBNk +⋅⋅−= −
i zamenom u drugu
0wNBxBNB 1T1T =⋅+⋅ −− ˆ
a odavde se dobija rešenje za vektor ocena nepoznatih parametara
wNBBNBx 1T11T ⋅−= −−− )(ˆ (3.84)
Kada se uvrsti (3.84) u (3.83) dobiće se rešenje za vektor korelata
wNNBBNBB[Nk 11T11T1 ⋅−= −−−−− ])( (3.85)
Vektor popravaka dobiće se pošto se uvrsti (3.85) u (3.81)
wANPwNBBNBBANPkAPv 11l
1T11T11l
1l ⋅−⋅=⋅= −−−−−−−− )( (3.86)
Kada je odreñen vektor popravaka v onda se odreñuje vektor izravnatih veličina
l u obliku
vll +=ˆ (3.87)
gde je l vektor merenih veličina.
3.4.3. KOVARIJACIONE MATRICE IZRAVNATIH VELI ČINA
Vektori x , l , v , k i w mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l
lANBNwNBNx T1T11
1T11 ⋅−=⋅−= −−−−ˆ
( ) lIAANPANBBNANP
wANPNBBNANPlvllT11
lT1T1
111
l
11l
1T11
11l
⋅+−=
=⋅−+=+=−−−−−−
−−−−−−
ˆ
( ) lAANPANBBNANP
wANPwNBBNANPvT11
lT1T1
111
l
11l
1T11
11l
⋅−=
=⋅−⋅=−−−−−−
−−−−−−
lANANBBNN
wNwNBBNNkT1T1T1
11
11T11
1
⋅−=
=⋅−⋅=−−−−
−−−−
)(
lAw T ⋅=
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
155
ili u obliku zajedničkog vektora vektora h
lHl
A
ANANBBNN
AANPANBBNANP
IAANPANBBNANP
ANBN
w
k
v
l
x
h
T
T1T1T11
1
T11l
T1T11
11l
T11l
T1T11
11l
T1T11
⋅=⋅
−−
+−−
=
=−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−
ˆˆ
(3.88)
gde je
BA)P(ABBNBN 11l
TT1T1
−−− == .
Kovarijaciona matrica hK vektorske funkcije h (3.88), ima oblik matrice (3.63),
matrica kofaktora HQ ima oblik matrice (3.64), pa sledi
=⋅⋅=
wwwkwvlwxw
kwkkkvlkxk
vwvkvvlvxv
wlklvlllxl
wxkxvxlxxx
TlH
QQQQQ
QQQQQ
QQQQQ
QQQQQ
QQQQQ
HQHQ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ
(3.89)
gde su dijagonalne submatrice
11xx NQ −=ˆˆ
1l
T1T11
11l
1l
T11l
1lll
PANBBNANPPAANPPQ −−−−−−−−− +−=ˆˆ
1l
T1T11
11l
1l
T11lvv PANBBNANPPAANPQ −−−−−−−− −=
1T11
11kk NBBNNNQ −−−− −=
NQww =
i vandijagonalne simetrične submatrice
1l
T1T11lx
PANBNQ −−−=ˆˆ
0QQ kxvx == ˆˆ
T11wx BNQ −=ˆ
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
156
0QQklvl
== ˆˆ
T11
11lwl
BBNANPQ −−−=ˆ
1T11
11l
11lvk NBBNANPANPQ −−−−−− −=
1l
TT11
11lvw PABBNANPQ −−−− −=
IBBNNQ T11
1kw −= −− .
VAŽNE RELACIJE:
1. Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja
(a posteriori standarna devijacija)
urtragso −
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
(3.90)
gde je kwvQv T1l
T −=− .
2. Matrice kofaktora veličina l , l i v
Ako se vektor l izrazi u obliku vll −= ˆ onda je matrica kofaktora
vlvlvll QQ2QQQQ +=−+= ˆˆˆ (3.91)
jer je 0Qvl
=ˆ .
3. Trag proizvoda matrica v1
l QQ−
=−= −−−−−− )( lT1T1
11
llT1
l1
lv1
l QANBBNANQQAANQQQQ tragtrag
=−= −−−− BANQANBNAQAN 1l
T1T11l
T1 tragtrag
urtragtragtraguurr
−=−==⋅⋅
− IINN 11
1 (3.92)
4. Trag proizvoda matrica l
1l QQ ˆ−
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
157
=−= −− )(ˆ vl1
ll1
l QQQQQ tragtrag
=−= −−v
1ll
1l QQQQ tragtrag
urnurtragnn
+−=−−=⋅
)(I (3.93)
5. Kovarijaciona matrica nepoznatih parametara
1211
2ˆ )( −−− ⋅=⋅= BNBNK 1Tx oo ss (3.94)
6. Kovarijaciona matrica izravnatih veličina
))(( 112ˆ l
T1TT1ll
T1lll
QANBBNBANQQAANQQK −−−−− +−= os (3.95)
7. Kovarijaciona matrica popravaka
))(( 112l
T1TT1ll
T1lv QANBBBNBANQQAANQK −−−−− −= os (3.96)
8. Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ
ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.97)
Parametar 2/,αrt uzima se iz tabele IV po argumentu verovatnoćeα i broja
stepeni slobode ur − .
3.4.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI USLOVNIH
MERENJA SA NEPOZNATIM PARAMETRIMA
Model izravnanja
0wxBvAT =+⋅+⋅ ˆ Linearni funkcionalni model.
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
158
Algoritam izravnanja
( ) nnlll ⋅= 121 ...Tl Vektor merenih veličina.
( ) ntyx ⋅= 1...Tx Vektor nepoznatih parametara.
( ) ntyx ⋅= 1000 ...T0x Vektor približnih vrednosti nepoznatih
parametara.
nrn
n
n
rrr
bbb
aaa
⋅
=
...
.........
...
...
21
21
21
O
TA
urrrr UBA
UBA
UBA
⋅
=
...
.........
...
...
222
111
OB
Matrice koeficijenata (dizajna).
nnnp
p
p
⋅
=
000
000
000
000
2
1
OlP
Matrica težina merenih veličina.
( ) rrWWW ⋅= 121 ...Tw Vektor slobodnih članova.
0kB
0wxBkNT =⋅
=+⋅+⋅ ˆ
Normalne jednačine.
APAN 1l
T −= Matrica koeficijenata normalnih jednačina.
wNBBNBx 1T11T ⋅−= −−− )(ˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.
wNNBBNBB[Nk 11T11T1 ⋅−= −−−−− ])( Vektor rešenja korelata.
kAPv 1l ⋅= − Vektor popravaka merenih veličina.
kwvPv Tl
T −= Kontrola odreñivanja vektora v i k .
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
159
dttt
dyyy
dxxx
+=
+=+=
0
0
0
ˆ
. . .
ˆ
ˆ
Izravnate vrednosti (ocene) parametara.
vll +=ˆ Vektor izravnatih vrednosti merenih veličina.
)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.
ini Ttyxlllf =)ˆ ..., ,ˆ ,ˆ ,ˆ ..., ,ˆ ,ˆ( 21 Definitivna kontrola izravnanja.
Ocena tačnosti
urtragso −
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija).
iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije parametara.
iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije
izravnatih veličina.
gQg xT ⋅⋅⋅= ˆoF ss
Eksperimentalna standardna devijacija funkcije.
Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ
FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ
Po argumentu α i ur − iz tabele IV
uzima se broj 2/,αrt .
FFF szsz 21 ≤≤ σ
Po argumentu α−= 1p i ur − iz tabele
III uzimaju se brojevi z1 i z2.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
160
3.5. IZRAVNANJE PO METODI POSREDNIH MERENJA
KADA SU PARAMETRI U ODREðENIM
MATEMATI ČKIM USLOVIMA
3.5.1. FUNKCIONALNI I STOHASTI ČKI MODEL
U geodetskom premeru se najčešće primenjuje izravnanje po metodi posrednih ili uslovnih merenja. Meñutim, mogu se pojaviti slučajevi izravnanja po metodi posrednih merenja kada nepoznati parametri treba da ispune odreñene matematičke uslove. Ovakvo mešovito izravnanje može imati primenu pri izravnanju mreža u geodetskom premeru, a naročito onih koje se koriste u inženjerskoj geodeziji, kada se zahteva da neki elementi (veličine) u toj mreži budu konstantni u procesu izravnanja, odnosno da posle izravnanja zadrže vrednosti koje su imali pre izravnanja.
Ako nepoznati parametri tyx , ... , , koji figurišu u jednačinama popravaka
(Potpoglavlje 3.2.)
11111 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ
22222 ... fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅=υ
. . . (3.98)
nnnnn fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ
stoje u r nezavisnih matematičkih uslova
0)ˆ,...,ˆ,ˆ( =tyxFi , )r, ... ,2 ,1( =i (3.99)
onda iz svakog matematičkog uslova proističe jedna uslovna jednačina (Potpoglavlje 3.3.)
0...
. . .
0...
0...
2222
1111
=++++
=++++=++++
rrrr dtUdyBdxA
dtUdyBdxA
dtUdyBdxA
ω
ωω
(3.100)
Jednačine popravaka (3.98) i uslovne jednačine (3.100) mogu se prikazati u matričnom obliku
fxAv +⋅= ˆ (3.101)
0ωxBT =+⋅ ˆ (3.102)
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
161
gde su:
=
nnn uba
uba
uba
...
.........
...
...
222
111
OA ,
=
rrr UBA
UBA
UBA
...
.........
...
...
222
111
O
TB
=
nv
v
v
M
2
1
v ,
=
dt
dy
dx
Mx ,
=
nf
f
f
M
2
1
f ,
=
rω
ωω
M
2
1
ω .
A i B matrice koeficijenta,v vektor popravaka, x vektor nepoznatih parametara, f i ω vektori slobodnih članova.
Prethodno definisan linearni funkcionalni model (3.101) i (3.102) kao i stohastički model (3.3) predstavljeni su u tabeli 3.7.
Tabela 3.7.
fxAv +⋅= ˆ
0ωxBT =+⋅ ˆ
Linearni funkcionalni model (3.101) i (3.102).
lo QK l ⋅= 2σ Stohastički model (3.3).
Linearni funkcionalni i stohastički model posrednog izravnanja kada su nepoznati parametri u odreñenim matematičkim uslovima.
3.5.2. PRIMENA METODA NAJMANJIH KVADRATA
Metod najmanjih kvadrata min=⋅⋅ vPv lT (3.13) primenjuje se za definisan
linearni funkcionalni i stohastički model (Tabela 3.7.). U tom cilju obrazuje se Lagranžova funkcija
( )ωxB2kvPvF TTl
T +⋅+⋅⋅= ˆ (3.103)
gde je k vektor korelata
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
162
( )rkkk ...21=Tk .
Minimum funkcije (3.103) dobija se nakon diferenciranja i izjednačavanja sa nulom
0)ˆ(2
ˆ
=⋅+⋅⋅=
=⋅+⋅⋅+⋅⋅=
xdBkdvPv
xdB2kdvPvvPdvdFTT
lT
TTl
Tl
T
(3.104)
Diferencijalna promena vektora popravaka (3.101)
xdAdv ˆ⋅=
uvrsti se u (3.104)
0ˆ) ( =⋅+⋅⋅ xdBkAPv TTl
T (3.105)
ili, posle transponovanja, dobija se
0=⋅+⋅⋅ kBvPA lT (3.106)
Kada se uvrsti (3.101) u (3.106) i dopiše (3.102) dobija se sistem normalnih jednačina
0ωxB
0nkBxNT =+⋅
=+⋅+⋅ˆ
ˆ (3.107)
gde je:
APAN lT= matrica koeficijenata normalnih jednačina.
fPAn lT= vektor koeficijenata slobobodnih članova normalnih jednačina.
Neposredno iz prve jednačine (3.107) može da se izrazi vektor nepoznatih parametara x u obliku
)(ˆ nkBNx 1 +⋅−= −
i zamenom u drugu jednačinu (3.107) odreñuje se vektor korelata k
)()( nNBωBNBk 1T11T −−− −⋅=
ili
)()( fPANBωBNBk lT1T11T −−− −⋅= (3.108)
odnosno
][][][ fPAA)P(ABBA)P(ABωBA)P(ABk lT1
lTT11
lTT11
lTT −−−−− ⋅−⋅=
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
163
Rešenje za vektor ocena nepoznatih parametara je
fPAAPAkBAPAx lT1
lT1
lT −− −⋅−= )()(ˆ (3.109)
3.5.3. KOVARIJACIONE MATRICE IZRAVNATIH VELI ČINA
Vektori x , l , v , k i ω mogu se izraziti u funkciji vektora merenih veličina l
lPANBBNNPANx lT1T1
11
lT1 ⋅−= −−−− )(ˆ
lPANBBNANPAANl lT1T1
11
lT1 ⋅−= −−−− )(ˆ
lIPANBBNANPAANv lT1T1
11
lT1 ⋅−−= −−−− )(
lPANBNk lT1T1
1 ⋅= −−
lAω T ⋅=
ili u obliku zajedničkog vektora vektora h
lHl
PANBN
IPANBBNANPAAN
PANBBNANPAAN
PANBBNNPAN
k
v
l
x
h
lT1T1
1
lT1T1
11
lT1
lT1T1
11
lT1
lT1T1
11
lT1
⋅=⋅
−−−−
=
=
−−
−−−−
−−−−
−−−−
)(
)(
)(ˆˆ
(3.110)
gde je APAN lT= i BNBN 1T
1−= .
Kovarijaciona matrica hK vektorske funkcije h (3.110), ima oblik matrice (3.63),
matrica kofaktora HQ ima oblik matrice (3.64), pa sledi
=
kkkvlkxk
vkvvlvxv
klvlllxl
kxvxlxxx
H
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
Q
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
(3.111)
gde su dijagonalne submatrice
1T11
11xx NBBNNNQ −−−− −=ˆˆ
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
164
T1T11
1TT1ll
ANBBNNAAANQ −−−− −=ˆˆ
T1T11
1T11lvv ANBBNANAANPQ −−−−− +−=
1kk NQ =
i vandijagonalne simetrične submatrice
T1T1T1lx
ANBBNNANQ −−−− −= 11ˆˆ
0QQ kxvx == ˆˆ
0QQklvl
== ˆˆ
11
1vk BNANQ −−−= .
VAŽNE RELACIJE:
1. Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja
(a posteriori standarna devijacija)
runtragso +−
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
(3.112)
gde je kωxAPffQfvQv Tl
T1l
T1l
T ++= −− ˆ .
2. Matrice kofaktora veličina l , l i v
Ako se vektor l izrazi u obliku vll −= ˆ onda je matrica kofaktora
vlvlvll QQ2QQQQ +=−+= ˆˆˆ (3.113)
jer je 0Qvl
=ˆ .
3. Trag proizvoda matrica v1
l QQ−
=+−= −−−−−− )( T1T11
1T1l
1lv
1l ANBBNANAANQQQQ tragtrag
=+−= −−−−−−
⋅BANQANBNAQANI 11
lT1T1
11
lT1 tragtragtrag
nn
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
165
runtragtragnrruu
+−=+−=⋅⋅II (3.114)
4. Trag proizvoda matrica l
1l QQ ˆ−
=−= −− )(ˆ vl1
ll1
l QQQQQ tragtrag
=−= −−v
1ll
1l QQQQ tragtrag
rurunntragtragnn
−=+−−=−= −
⋅)(v
1l QQI (3.115)
5. Kovarijaciona matrica nepoznatih parametara
)(2ˆ
1T11
11x NBBNNNK −−−− −⋅= os (3.116)
6. Kovarijaciona matrica izravnatih veličina
)(2ˆ
T1T11
1T1l
ANBBNANAANK −−−− −⋅= os (3.117)
7. Kovarijaciona matrica popravaka
)(2 T1T11
1T1lv ANBBNANAANQK −−−− +−⋅= os (3.118)
8. Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ
ii lrillri stlstl ˆ2/,ˆˆ2/,ˆˆ ⋅+≤≤⋅− αα µ (3.119)
Parametar 2/,αrt uzima se iz tabele IV po argumentu verovatnoćeα i broja
stepeni slobode run +− [ r je broj uslovnih jednačina (3.100)].
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
166
3.5.4. ALGORITAM IZRAVNANJA PO METODI POSREDNIH
MERENJA KADA SU PARAMETRI U ODREðENIM
MATEMATI ČKIM USLOVIMA
Model izravnanja
fxAv +⋅= ˆ
0ωxBT =+⋅ ˆ
Linearni funkcionalni model.
ll QK ⋅= 2oσ Stohastički model.
Algoritam izravnanja
( ) nnlll ⋅= 121 ...Tl Vektor merenih veličina.
( ) ntyx ⋅= 1...Tx Vektor nepoznatih parametara.
( ) ntyx ⋅= 1000 ...T0x Vektor približnih vrednosti nepoznatih
parametara.
unnnn uba
uba
uba
⋅
=
...
.........
...
...
222
111
OA
urrrr UBA
UBA
UBA
⋅
=
...
.........
...
...
222
111
O
TB
Matrice koeficijenata (dizajna).
Glava 3. Matematički modeli izravnanja
167
nnnp
p
p
⋅
=
000
000
000
000
2
1
OlP
Matrica težina merenih veličina.
nnf
f
f
⋅
=
1
2
1
Mf ,
rr ⋅
=
1
2
1
ω
ωω
Mω
Vektori slobodnih članova.
0ωxB
0nkBxNT =+⋅
=+⋅+⋅ˆ
ˆ
Normalne jednačine.
APAN 1l
T −=
fPAn lT=
Matrica koeficijenata normalnih jednačina.
Vektor koeficijenata slobobodnih članova normalnih jednačina.
)()( fPANBωBNBk lT1T11T −−− −⋅= Vektor rešenja korelata.
fPAAPAkBAPAx lT1
lT1
lT −− −⋅−= )()(ˆ Vektor rešenja nepoznatih parametara.
fxAv += ˆ Vektor popravaka merenih veličina.
kωxAPffPfvPv Tl
Tl
Tl
T ++= ˆ Kontrola odreñivanja vektora v , x i k .
dttt
dyyy
dxxx
+=
+=+=
0
0
0
ˆ
. . .
ˆ
ˆ
Izravnate vrednosti (ocene) parametara.
vll +=ˆ Vektor izravnatih vrednosti merenih veličina.
)ˆ ..., ,ˆ,ˆ( tyxFL ii = Izravnate vrednosti merenih veličina.
ii lL ˆ= Definitivna kontrola izravnanja. Ako je
ii lL ˆ≠ nekorektno je formiran
funkcionalni model.
KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU
168
Ocena tačnosti
runtragso +−
==−
−
− vQvQQvQv 1
lT
v1
l
1l
T
Eksperimentalna standardna devijacija jedinice težine odreñena iz izravnanja (a posteriori standarna devijacija).
iii xxox Qss ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije parametara.
iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Eksperimentalne standardne devijacije
izravnatih veličina.
gQg xT ⋅⋅⋅= ˆoF ss
Eksperimentalna standardna devijacija funkcije.
Intervali poverenja
ii xrixxri stxstx ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, ˆˆ αα µ ooo szsz 21 ≤≤ σ
FrFFr stFstF ⋅+≤≤⋅− 2/,2/, αα µ FFF szsz 21 ≤≤ σ
Po argumentu α i run +− iz tabele
IV uzima se broj 2/,αrt . Po argumentu α−= 1p i run +−
iz tabele III uzimaju se brojevi z1 i z2.
top related