guida all’uso dell’eurocodice 2 nella progettazione

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- materiali- analisi strutturale- stati limite ultimi

Pisa, 26 Gennaio 2007

Prof. ing. Piero Marro Dr. ing. Matteo GuigliaDr. ing. Maurizio Taliano

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaPolitecnico di Torino

Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione strutturale

P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino 2

Materiali (Sez. 3-EC2)

Calcestruzzo

fck = resistenza cilindrica a compressione caratteristica a 28 giorni.

ENV: da 12 a 50 N/mm2

EN: da 12 a 90 N/mm2 (14 classi)

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Caratteristiche meccaniche e fisiche correlate a fck(Prospetto 3.1-EC2 )

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fck 12 90 N/mm2 90/12 = 7,5

fctm 1,6 5,0 N/mm2 5,0/1,6 = 3,1

Ecm 27 44 kN/mm2 44/27 = 1,6

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Calcestruzzo ad alta resistenza

- elementi compressi

- travi precompresse

- meno conveniente per travi non precompresse in quanto:

• sfruttamento della resistenza solo in zona compressa

• elevate percentuali di armatura, difficoltà di collocazione

• limiti inflessione

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ENV:

con MRd,NRd fcd ⋅ 0,85

EN:

(αcc= 0,85)

Resistenza a compressione di progetto fcd

C

ckcd

ff

γ=

ccC

ckcd

ff α⋅γ

=

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ENV EN

Conseguenza della definizione di

- nuove tabelle e nuovi diagrammi dei manuali fck ≤ 50 N/mm2

alterati da 1 / 0,85

ccC

ckcd

ff α⋅γ

=

Nuove tabelle e diagrammi per fck > 50 N/mm2

ω=0,5

ω=0

μ

ν0.40 0.85 ν

ω=0,5

ω=0

μ

ν0.48 1.00 ν

0.20 0.23

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Diagramma σc-εc di progetto: parabola (esponenziale) - rettangolo

0

10

20

30

40

50

εc

σc

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

2,0‰ 3,5 ‰

2,4 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰

C60/75 2,9 ‰2,3 ‰

C80/95

1,0‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

2,0% 3,5%

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Diagramma σc-εc di progetto: bilineare

0

10

20

30

40

50

εc

σc

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

1,75 ‰ 3,5 ‰

2,0 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰ 2,3‰

C60/75

C80/95

1,9 ‰ 2,9 ‰

2,2 ‰ 2,6 ‰

1,0 ‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

1,75% 3,5%

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Distribuzione rettangolare delle tensioni

A

d

fcd

Fs

x

εs

x

εcu3

Fc

s

λ < 1η ≤ 1

λ

η

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Acciaio per cemento armato ordinario

ENV:

alta duttilità εuk ≥ 50 ‰

εud = 0,9 εuk = 67,5 ‰

EN:

B450C εuk ≥ 75 ‰σs

εs

10 ‰

σs

∞

εs

∞

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Analisi strutturale (Sez. 5-EC2, da 5.1 a 5.7)

Imperfezioni geometriche

Valori riferiti alla Classe 1 (esecuzione normale) di ENV 13670 "Execution"

Inclinazione:

θi per S.L.U.

in particolare con effetti del secondo ordine

mhoi ααθθ ⋅⋅=

166,0 2≤≤= hh L

αα

)77,0 5m (es. )11(5,0 m =⇒=+⋅= ααmm

200/1=oθ

N

iθ

L

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Analisi strutturale

Nell'evoluzione della risposta della struttura alle azioni compaiono:

- fessure

- plasticizzazione dell’acciaio

- plasticizzazione del calcestruzzo

Nelle strutture isostatiche aumento inflessione

Nelle strutture iperstatiche

reazioni vincolari, sollecitazioni M,V(risposta non lineare)

deformazioni elastiche complementari(compatibilità)

deformazionirotazionalianelastiche

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• Le rotazioni anelastiche prendono il posto di deformazioni elastiche:localmente M diminuisce

• L'effetto locale di rotazioni anelastiche ha segno opposto a quello della causa che le ha determinate

q L /8

L L2

+

M(q)

M1

+

X X

1

Trave continua. Fessurazione all’appoggio centrale

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In EC2 quattro metodi prendono in conto questi fenomeni in modo diverso

Analisi lineare elastica (ALE)

Analisi lineare elastica con ridistribuzionelimitata (LR)

Analisi plastica (P)

Analisi non lineare (ANL)

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ALE (analisi lineare elastica)

Vale per S.L.E. e S.L.U.

In presenza di carichi

• elasticità, sezioni interamente reagenti fino a S.L.U.

• vantaggio: principio sovrapposizione effetti

• sarebbe necessaria una limitazione di x/d (che EC2 non impone); altrimenti incertezza di modello, rischio rottura fragile

Come:

In presenza di deformazioni impresse (effetti termici, cedimenti vincolari):

• analisi S.L.U. con sezioni fessurate e senza tension-stiffening

• analisi S.L.E. con graduale evoluzione della fessurazione

ENV

x/d = 0,45 (fck ≤ 35 N/mm2)

x/d = 0,35 (35 < fck ≤ 50 N/mm2)

DIN 1045:2001

x/d = 0,45 (fck ≤ 50 N/mm2)

x/d = 0,35 (50 < fck ≤ 100 N/mm2)

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LR (analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata)

Metodo progettuale per S.L.U.

Dove compare una cerniera plastica, M viene ridotto rinviando lasollecitazione verso altre parti :

si può di ridurre localmente l’armatura tesa, As, in funzione della ridistribuzione δ

i valori di ridistribuzione δ (max 30%) dipendono da:

• classe dell’acciaio (in Italia, classe C)

• fck e εcu

• x/d

se la ridistribuzione δ è troppo spinta, anche se ammissibile per lo S.L.U., σc e σs possono risultare eccessive allo S.L.E.

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P (analisi plastica)

Applicazione della teoria della plasticità. Vale solo per S.L.U.

Metodo Statico (lower bound method):

- struttura resa isostatica

- rispetto delle condizioni di equilibrio e di plasticità

- Qu,vero ≥ Qlim (calcolato)

Metodo Cinematico (upper bound method)

- struttura trasformata in un meccanismo

- posizione arbitraria delle cerniere con possibilità diaffinamento

- Qu,vero ≤ Qlim (calcolato)

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P (analisi plastica)

In EC2:

Applicazioni del metodo statico

- schema puntoni-tiranti

- metodo strisce per le piastre

- metodo θ variabile per le travi

Applicazioni del metodo cinematico

- travi e piastre (linee di rottura)

- richiesti: acciai di classe B o C

- duttilità diffusa senza verifica capacità rotazione se

x/d ≤ 0,25 per fck ≤ 50 N/mm2

x/d ≤ 0,15 per fck > 50 N/mm2

altrimenti si richiede la verifica di θpl

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ANL (analisi non lineare)

- Tiene conto di tutti i fenomeni

- Costituisce un procedimento evolutivo al passo

- Rispetta le condizioni di equilibrio e di compatibilità

- Richiede modellazione σ-ε acciaio e calcestruzzo, nonché valori θpl

- Richiede l’uso di elaboratore

EC2 non fornisce regole specifiche

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Confronto fra i metodi di analisi

Travi duttili, progetto base ALE senza ridondanze di As:

portanza ANL = portanza ALE

Travi duttili, progetto base ALE con ridondanze di As:

portanza ANL > portanza ALE

Travi duttili progettate con LR:

ANL conferma SLU, ma evidenzia eventuali insufficienze a SLE

Portanza Pcinematico > Portanza ANL

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S.L.U. per flessione semplice e composta (Sez. 6.1-EC2)

- 1 pagina EC2 30 pagine Guida

- metodi noti, novità su materiali:

- calcestruzzo 50 90 N/mm2

- acciaio εud 67,5 ‰

- S.L.U.: σc (εc) funzione esponenziale:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

−−=n

2c

ccd 11f

fck(N/mm2)

n

≤50 2,060 1,670 1,4580 1,490 1,4

x

εcu2

εc2

fcd

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Tabelle di β1 β2 per ogni fck, anche per x > h

Fc = b β1 x fcd

M = Fc (d - β2 x)

σc

Fc β2 xx

εcu2

εc2

fcd

d

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Problemi svolti:

Dati: geometria, meccanica della sezione e retta deformazione, determinare NRd e MRd

Dati: geometria, meccanica della sezione e NEd, determinare MRd

Dati: geometria, NEd e MEd , determinare As e A's

Applicazioni a sezioni rettangolari e a T

Trattazione in terminidimensionali non trattandosi di un manuale

Esempio: diagramma di interazione NRd – MRd

0

200

400

600

800

1000

1200

-8000-6000-4000-200002000

Sforzo normale NRd (kN)

Dati:

fck = 30 N/mm2

fyk = 450 N/mm2

γc = 1,5

γs = 1,15 As = 3600 mm2

As = 2400 mm2

As = 1200 mm2

As = 050‰‰5,3sc −=εε

25‰‰5,3sc −=εε

10‰‰5,3sc −=εε

sydsc ‰5,3 ε−=εε

0‰5,3sc −=εε

0‰5,3inf,cc −=εε

‰0,2c −=ε

d'=5

0

h=60

0

b=400

As

d'=5

0

As

Mom

ento

M

Rd

(k

Nm

)

MRd=NRd h/30

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S.L.U. per taglio (Sez. 6.2-EC2)

Elementi privi di armature trasversali

Sono le nervature dei solai e le piastre. Non le travi perché queste devono avere almeno l'armatura minima (Sez. 9-EC2).

fck=90

50

3020

50

40

30

20

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,5 1,0 1,5 2,0ρ =

l

VRd,c

bw d(N/mm2)

ENENV

Asl

b dw

d=200 mm

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Travi con armature trasversaliUn solo metodo di verifica: θ variabile (in ENV anche metodo "standard“).

Campo di θ più ristretto rispetto a ENV : 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 (anziché 0,4 - 2,5)

(45° ≤θ≤ 21,8° anziché 68,2°-21,8°)

Formule derivanti dall'applicazione del metodo statico della plasticità. Pur essendo un metodo lower bound, è necessario adottare σc = ν fcd (con ν < 1, funzione di fck)

Effetto del taglio: correnti superiore e inferiore tesi, anima compressa, in funzione di α e di θ

θ

s

d

A

V (cot θ − cotα)

V

N M α ½ z

½ zVz = 0,9d

Fcd

Ftd

B

C D

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Taglio resistente delle bielle compresse e delle armature

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ

VRd

VRd,max

0,50

VRd,s

0,34

minimasw

sA

ν fcd bw z

α= 90°A

B

C

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Taglio resistente delle bielle compresse

α= 45° 1,00

0,79

0,50 0,480,420,34

α= 60°

α= 90°

VRd

ν fcd bw z

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ

A

B

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Armature necessarie

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,0 1,5 2,0 2,5 cot θ

Asw/ s0,28

ΔA sl

minimasws

A

α= 90°

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S.L.U. per torsione (Sez. 6.3-EC2)

- torsione di compatibilità armature minime (Sez.9-EC2)

- torsione di equilibrio verifica statica

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Per torsione di equilibrio: sezione resistente tubolare ideale con flusso di τ calcolato alla Bredt

A - linea media

B - perimetro esterno della sezione effettiva

B TEd

t ef

A

tef /2

zi

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Ogni tratto zi della sezione tubolare si comporta come una sezione rettangolare soggetta a taglio. Risultano:

bielle compresse di inclinazione θ variabile:

- inclinazione θ come per il taglio

- σc ≤ ν fcd con ν < 1 come per il taglio

armature trasversali tese: staffe α = 90°

armature longitudinali tese (analogia correnti trave a taglio)

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Combinazioni taglio-torsione

sollecitazioni limitate (assenza fessure)

⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,c e TRd,c , sollecitazioni resistenti per sezioni non armate. Si dispone solo l'armatura minima.

sollecitazioni importanti

⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,max e TRd,max ,sollecitazioni resistenti corrispondenti alla resistenza delle bielle compresse. Si dispone l'armatura necessaria.

TEd

TEd

TRd,c

VRd,c

TRd,max

VEd

VEdVRd,max