hazlo tú. discute y resuelve, en función del...
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BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
24
Matemáticas II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 110
1. Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss
Hazlo tú. Discute y resuelve, en función del parámetro, aplicando el método de Gauss.
a) xxx
myy
zzz
2 23
20
2
–
––
– –
+ ++
===
* b) xxx
yyy
zaz
z32
2053
+++
+++
===
*
a) m1
21
10
123
202
–
––
– –f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
m
121
01
321
202
–
––
– –f p
(3.ª)
(2.ª) + 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
m
100
01
34
4
24
4
––
––
––f p
(3.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
m
100
01
1
34
0
24
0
–––
––
––f p
• Sim ≠ 1, el sistema es compatible determinado.
( )
xy
m y
zz
1
34
240
––
–
––
––
===
4 Solución: x = –1, y = 0, z = 1
• Sim = 1, el sistema es compatible indeterminado.
x
yy
zz
0
34
240
––
––
––
===
4 Soluciones: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ
b) a132
121
1
1
053
f p (1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
a100
111
13
1
053
––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
aa
100
110
13
2
052
– –– –
f p
• Sia ≠ 2, el sistema es compatible determinado.
xxx
yyy
zazz
32
2053
+++
+++
===4 Solución: , ,x y
aa z
a3
23 4
22–
––
–= = =
Los tres planos se cortan en un punto.
• Sia = 2, la matriz queda:
100
110
110
052
– ––
f p
El sistema es incompatible. Los planos se cortan dos a dos.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
25
Matemáticas II
Página 111
2. Discusión de sistemas aplicando el teorema de Rouché
Hazlo tú. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando sean compatibles:
a) xxx
yy
ay
zaz
z
aa2
1
1
–+++
+++
===
* b)
xx
mxx
yyy
zzzz
232
2460
––
–
++
+
+
====
*
a) | |8a
aa
a Aa
a a a121
11
1
1
1
1
121
11
1
13 2
–– –2= = +f p = 0
aa
21
==
• Sia ≠ 2 y a ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Para cada valor de a distinto de –1 y 2, tenemos un sistema con solución única, que por la regla de Cramer es:
xa a
aa
aa
3 2
1
1
11
1
1– –
–
2=+
y = a a
aa a
3 2
121
1
1
1
1– –
–
2 + z =
a aa
aa
3 2
121
11
1
1– –
–
2 +
Solución: , ,x a ya
a za
a11
21–
– ––
= + = =
Son tres planos que se cortan en un punto.
• Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
2211–
–––
++
+
+
===4 →
121
111
111
21
1––
––f p
≠ ( )
≠ ( )'8
8 ran A
ran A
12
11
121
111
211
1 0 2
3 0 3–
––
–= =
= =4 El sistema es incompatible.
Son tres planos que se cortan dos a dos.
• Sia = 2:
xxx
yyy
zzz
22
2 21
1++
+
+
===+
+ 4 → 121
112
121
121
f p
12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Como la columna de términos independientes es igual a la columna de coeficientes de z, tenemos que ran (A' ) = 2 = ran (A ), el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro:
xx
yy
zz2 2
12
++
++
==4 → x = 1 – λ, y = 0, z = λ
Los planos se cortan en una recta.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
26
Matemáticas II
b) Empezamos estudiando el rango de A', ya que puede ser 4:
m
12
1
1110
1132
2460
––
–
= 12 – 12m
• Sim ≠ 1 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.
• Sim = 1, quitando la tercera ecuación:
121
110
112
–––
= – 6 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ), el sistema es compatible determinado:
xxx
yy
zzz
22
240
–
––++ =
==4 Aplicamos la regla de Cramer y obtenemos: x = 2, y = 1, z = 1
Los planos se cortan en un punto: P = (2, 1, 1).
Página 112
3. Sistemas que dependen de dos parámetros
Hazlo tú. Discute y resuelve según los valores de m y n el sistema siguiente:
mx
xx
yyy
zmzmz
n
n22
+++
+++
===
*
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
m
mm
12
111
1 = m – 1
• Sim ≠ 1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Para cada valor de m distinto de 1, tenemos un sistema con solución única:
mx
xx
yyy
zmzmz
n
n22
+++
+++
===4 → , ,x n y
mn m n mn m z
mm n mn2
12 4
12 2 4–
–– – –
–– –2 2
= = + + = +
• Sim = 1 y n = 2:
xxx
yyy
zzz
n
n22
+++
+++
===4
Las dos primeras ecuaciones son iguales. El sistema es compatible indeterminado.
El sistema queda:
xx
yy
zz2
22
++
++
==4
Pasando z al segundo miembro obtenemos: x = 0, y = 2 – λ, z = λ
• Sim = 1 y n ≠ 2, las dos primeras ecuaciones representan dos planos paralelos.
El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
27
Matemáticas II
4. Sistemas homogéneos
Hazlo tú. Discute y resuelve este sistema de ecuaciones:
xxx
yy
ay
zzz3
34
000
–+++
++
===
*Es un sistema homogéneo, luego siempre es compatible. Calculamos el determinante de la matriz de co-eficientes:
a
113
13
114
– = 20 – 2a
• Sia ≠ 10 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Para cada valor de a distinto de 10, tenemos un sistema con solución única: (0, 0, 0), la solución trivial.
• Sia = 10 → ran (A ) = 2 = ran (A' ) → el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro:
xx
yy
zz3 –
++
==3 Soluciones: x = 2λ, y = –λ, z = λ
5. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones
Hazlo tú. Discute este sistema de ecuaciones y resuélvelo en el caso a = 0:
xxx
yyy
zzz
t
at a3
5 5
21
5
–
––
–
––+
+
+
=== +
*Como A no es cuadrada, vamos a calcular su rango:
A = a
131
115
115
10
–
––
–
–f p → calculamos los siguientes determinantes:
≠ ,13
11 4 0
131
115
115
0– –
––= = ,
a
131
115
10
–
–
–
– = 16 – 4a
• Sia ≠ 4 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) < n.º de incógnitas → el sistema es compatible indeterminado.
Pasamos z al segundo miembro como parámetro por no haber seleccionado la columna de coeficientes de z para el menor distinto de cero.
xxx
yyy
zzz
t
at a3
5 5
215
–
––
–
––+
+
+
=== +
4 → x = 0, y = λ – 1, z = λ, t = –1
• Sia = 4 → ran (A ) = 2
xxx
yyy
zzz
t
t3
5 5 4
219
–
––
–
––+
+
+
===4 Si añadimos la columna de términos independientes:
131
115
219
–
–– = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A ) → el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z y t al segundo miembro como pa-rámetros:
xx
yy
zz
t3
21
––
––+
+ ==4 Soluciones: , , ,µ l µ l µx y z t
41
41
43
47– –= + = = =
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
28
Matemáticas II
Ejercicios y problemas guiados
Página 113
1. Sistema matricial
Dado este sistema de ecuaciones:
( )
xmx
m x
yy
mzzz
mmm1 2
––
++
+
+
=== +
*
hallar la matriz A –1B, sin calcular la matriz inversa de A, siendo A la matriz de coeficientes y B la de términos independientes.
a) X = xyzf p = A –1 B
b) AX = AA –1 B = B
c) X es la solución del sistema:
( )
xmx
m x
yy
mzzz
mmm1 2
––+
+ +
+ === +
* Para que exista A –1 el sistema tiene que tener solución única.
| A | = mm
m1
1
110
11
––
+ = –m 2 + m + 2 ≠ 0
Luego m ≠ –1 y m ≠ 2.
En estos casos,
x = m m
mm
m
m
m mm m
22
110
11
22 1
–
––
––
2 2
2
+ ++ =
+ ++ + = ; y =
m m
mm
mm
m
m
m mm m
2
1
1 211
22 1
–
––
– 2 2
2
+ ++ + =
+ ++ + =
z = m m
mm
mm
mm mm m
2
1
1
110 2
22 1
–
–
––
2 2
2
+ ++ + =
+ ++ + =
Solución: X = 111f p
2. Sistemas con infinitas soluciones
Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que difieren solo en los términos indepen-dientes. Si S es compatible indeterminado, ¿lo será también S'?
Si S es compatible indeterminado significa que la columna de términos independientes es linealmente dependiente de las columnas de los coeficientes.
Al cambiar los términos independientes, cambiamos la columna correspondiente y puede que sera lineal-mente independiente con las anteriores, luego puede que el sistema resulte ser incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
29
Matemáticas II
3. Sistema compatible para cualquier valor del parámetroSea el sistema de ecuaciones:
axxx
yay
y
zz
az
a
a2
22–
––
+ +++
===
+*
a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de a.
b) Calcular su solución en forma matricial en el caso a = 0.
c) Resolver para a = 1 utilizando el método de Gauss.
a) a
aa
21
1
1
11–
– = –a 3 – 1 = 0 → a = –1
•Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado, tiene solución única. •Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
2121
–
– – –
++
++
===
*
12
11
– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la columna de términos independientes:
121
111
121
–
– – = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A )
El sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Es compatible para cualquier valor de a.b) a = 0:
·xyz
021
101
110
220––=f ff p pp → AX = B → X = A –1 B
021
101
110
11
2
111
12
2–
––
–
––
1–
=f fp p
X = ·11
2
111
12
2
220
44
6
––
–
–– –
––=f ff p pp
c) a = 1:
xxx
yyy
zzz
2321
––
–+ +
++
===
*
121
111
111
321
––
–f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
132
110
382
––
– ––
f p (1.ª)
(2.ª)
3 · (3.ª) – 2 · (2.ª)
100
130
112
38
10– – –f p → x = –3, y = 1, z = 5
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
30
Matemáticas II
4. Añadir una ecuación a un sistema
Añadir una ecuación al sistema
xx
yy
zz
2 2 13
––++ =
=*
de modo que sea:
a) incompatible.
b) compatible determinado.
c) compatible indeterminado.
a) xx
yy z
z2 2 13
––++ =
=*
Hacemos (1.ª) + (2.ª) → 3x + z = 4
Cambiamos el término independiente → 3x + z = 5
El sistema:
xxx
yy
zzz
2
3
2 135
––+
+
+ ===
* es incompatible.
b) xx
yy z
z2 2 13
––++ =
=* → , ,l l lx y z
34
31
34
35–= = + =
Una solución es: , ,x y z34
35 0= = =
Añadimos la ecuación 5x – 4y = 0
El sistema:
xxx
yyy
zz
2
5 4
2 130
–
–––
++ =
==
* es compatible determinado.
c) Hacemos (1.ª) + (2.ª) → 3x + z = 4
Ponemos esta nueva ecuación que es combinación lineal de las anteriores.
El sistema:
xxx
yy
zzz
2
3
2 134
––+
+
+ ===
* es compatible indeterminado.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
31
Matemáticas II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 114
Para practicar
Método de Gauss
1 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:
a) xxx
yyy
zzz2
2 910
5––
– –+ +
+
===
* b) xx
yy
zz2
2 31– –
+ ++
==
*
c) xxx
yyy
zzz
224 2
132
––
–+
+++
===
* d) xxx
yyy
z
z
234
3 000
––
–+
+ ===
*a)
xxx
yyy
zzz2
2 910
5––
– –+ +
+
===
4 112
211
111
9105
––
– –f p (1.ª)
–(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
100
235
121
91913– – –
f p
(1.ª)
(2.ª)
(2.ª) + 2 · (3.ª)
100
237
120
9197– –
f p → x y
yy
zz
237
29197– –
+ + =+ =
=4 → y = 1; z =
y2
19 38
–= ; x = 9 – 2y – z = –1
Solución: x = –1, y = 1, z = 8
b)
xx
yy
zz2
2 31– –
+ ++
==4 1
221
11
31– –
e o (1.ª)
–(2.ª) + 2 · (1.ª) 10
25
11
37
e o →
→ x y z
y z
y z
x z y z z z2 35 7
57
53 2 3
514
52
51
53
––
–
– – – – –
+ ==
=
= = + =4
Si tomamos z = 5λ, las soluciones son: , ,l l lx y z51 3
57 5– –= = =
c)
xxx
yyy
zzz
224 2
132
––
–+
+++
===4
121
24
1
121
132
––
–f p
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
121
14
2
121
231–
––
f p →
→ (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
100
16
3
100
213
– –f p (1.ª)
(2.ª) + 2 · (3.ª)
(3.ª)
100
103
100
253
f p La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5 El sistema es incompatible.
d)
xxx
yyy
z
z
234
3 000
––
–+
+ ===4
234
311
101
000
––
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
236
312
100
000
–––
f p →
→ (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
230
310
100
000
––f p →
x y zx y
2 3 03 0
––
+ ==4
y = 3x ; z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x ; x = λ Soluciones: x = λ, y = 3λ, z = 7λ
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
32
Matemáticas II
2 Estudia y resuelve por el método de Gauss.
a) xxx
yyy
zzz
42
24
3
7
251
–––
–+++
+ ===
* b) xx
yyy
z
z2 3
11
2–
–
–+
+
+
===
*
c) xxx
yyy
zzz
52
222
3
2
43
3– –
++
+++
===
* d) xxx
yyy
zzz
ttt
23
23
335
14
6
000
–––
–+++
++
===
*a)
xxx
yyy
zzz
42
24
3
7
251
–––
–+++
+ ===4
142
124
317
251
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) + 4 · (1.ª)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
100
166
3111
233
–
–
–––
f p →
→ (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
100
160
31112
230
–
–
––f p → Sistema compatible determinado.
Lo resolvemos:
;x y
yzzz
y x y z63
1123
021 3 2
23
– –– –
+ ++
===
= = + + =4
Solución: , ,x y z23
21 0–= = =
b) x
x
yyy
z
z2 3
112
––
–+
+
+
===
_
`
a
bb
bb
011
112
103
112
––
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
101
112
013
112
–––
f p →
→ (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
113
013
113
–––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (2.ª)
100
110
010
110
––f p
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
; ; lx y
y z x y z y y1
1 1 1–
– – –=
+ = = + = =4
Soluciones: x = 1 + λ, y = λ, z = –1 – λ
c)
xxx
yyy
zzz
52
222
3
2
433– –
++
+++
===4
521
222
312
433– –
f p (3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
125
222
213
334
– –f p →
→ (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
100
2612
237
3919
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) : 3
(3.ª) – 2 · (2.ª)
100
220
211
331
–––
–f p
Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:
x y
yzzz
zyx y z
22
2 331
11
3 2 2 1
–––
– –
– –
+ ===
=== + =
4 Solución: x = 1, y = 1, z = –1
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
33
Matemáticas II
d)
xxx
yyy
zzz
ttt
23
23
335
14
6
000
–––
–+++
++
===4
123
123
335
1416
000
–––
–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
100
100
334
142948
000
–––
–f p →
→ (1.ª)
(2.ª)
– 4 · (2.ª) + 3 · (3.ª)
100
100
330
142928
000
––
–f p
Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
x y z
zttt
33
142928
000
––
–++
===4 → t = 0; z = 0; x = y ; y = λ
Soluciones: x = λ, y = λ, z = 0, t = 0
3 Resuelve por el método de Gauss.
a)
xx
x
yyy
z
zz
2 1131310
+
+
+
++
====
* b)
xxxx
yyyy
zzzz
tttt
10
12
––
–––
–
+
++
++
+
+ ====
*
a)
1101
0111
2011
1131310
f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (1.ª)
1000
0111
2211
118
131
–
–
–
–
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(4.ª) – (2.ª)
1000
0100
2231
118
217
– –f p →
→
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (1/3) · (3.ª)
1000
0100
2230
118
210
– –f p (3.ª) → 3z = 21 → z = 7
(2.ª) → y – 2z = – 8 → y – 14 = – 8 → y = 6
(1.ª) → x + 2z = 11 → x + 14 = 11 → x = –3
Solución: x = –3, y = 6, z = 7
b)
1111
1111
1111
1111
1012
––
–––
–f p (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
1000
1200
1020
1222
1121
––
–––
––f p
(4.ª) → –2t = 1 → t = – 21
(3.ª) → –2z – 2t = –2 → –2z + 1 = –2 → z = 23
(2.ª) → –2y – 2z = –1 → –2y – 3 = –1 → y = 1
(1.ª) → x + y + z + t = 1 → x + 1 + 23
21– = 1 → x = –1
Solución: x = –1, y = 1, z = 23 , t = –
21
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
34
Matemáticas II
4 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
a) x y
yy m
2
2
31
2–
+ ===
* b) x y
yy
zzz m
2
327
30
– +++
===
*
c) x y
yzz
mz2 8
131
––++
===
* d) ( )
xx
yz
m z3
5
000
–
–+
===
*a)
x yyy m
2
2
31
2–
+ ===
4 m
100
212
31
2–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 2 · (2.ª)
m
100
210
31
4–f p
• Sim = 4 → Sistema compatible determinado.• Sim ≠ 4 → Sistema incompatible.
b)
x yyy
zzz m
2
327
30
– +++
===4
m
100
213
127
30
–f p
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
m
100
210
121
30
–f p
Sistema compatible determinado para todo m.
c)
x yy
zz
mz2 8
131
––++
===4
m
100
120
18
131
––
f p •Sim = 0 → Sistema incompatible. •Sim ≠ 0 → Sistema compatible determinado.
d)
( )
xx
yz
m z3
5
000
–
–+
===4
m
130
100
01
5
000
–
–f p
•Sim = 5 → Sistema compatible indeterminado. •Sim ≠ 5 → Sistema compatible determinado con solución x = 0, y = 0, z = 0.
5 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:
a) ( / )xxx
yy
my
22
42
2–
––+
+
===
* b) xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===
* c) xxx
yyy m
24
2
3
31–
+
+
===
* d)
xxxx
yy
y
zzzz m
23
2
23
5
213
– –+
+
+++
====
*a) ( / )
xxx
yy
my
22
42
2–
––+
+
===4 /
m
211
11 2
422
––
–f p (1.ª)
2 · (2.ª) + (1.ª)
2 · (3.ª) – (1.ª)
m
200
10
2 1
400
–
+f p
• Sim = – 21 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
2x – y = 4 → l
y xx
2 4–==
*
Soluciones: x = λ, y = 2λ – 4
• Sim ≠ – 21 → Sistema compatible determinado.
( )x y
m yyx
2 42 1 0
02
– =+ =
==
4
Solución: x = 2, y = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
35
Matemáticas II
b)
xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===4
m
215
125
112
13–
–
–f p
(2.ª)
(1.ª)
(3.ª)
m
125
215
112
31
–
––f p →
→ (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
m
100
255
133
3515
–––
––
f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
m
100
250
130
3510
–– –
–f p
• Sim = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:
y 1–= = +x y z
y z
z z
z z
2 3
5 3 5
55 3
53
56
5
–
– –
–+ =
=
+
x y z z3 2 3 2 1– – –= + = + = +4
Hacemos z = 5λ
Soluciones: x = 1 + λ, y = –1 + 3λ, z = 5λ
• Sim ≠ 10 → Sistema incompatible.
c)
xxx
yyy m
24
2
3
31–
+
+
===4
m
124
213
31–f p
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 4 · (1.ª)
m
100
255
3512
––
––
f p →
→ (1.ª)
(2.ª) : (–5)
(3.ª) – (2.ª)
m
100
210
31
7–f p
• Sim = 7 → Sistema compatible determinado.
x y
y2 3
1+ =
=4 x = 3 – 2y = 1
Solución: x = 1, y = 1
• Sim ≠ 7 → Sistema incompatible
d)
xxxx
yy
y
zzzz m
23
2
23
5
213
– –+
+
+++
====
_
`
a
bb
bb
m
1231
1102
2315
213
– –
f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
m
1000
1333
2777
233
2
– ––––
f p →
→
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(4.ª) – (2.ª)
m
1000
1300
2700
230
1
– ––
+
f p• Sim = –1 → Sistema compatible indeterminado.
x y z z2 2 2 1 2 1– – –= + + = + =
x y z
y z
z z
z z
2 2
3 7 3
33 7
37
37
3
– –
–
– –=
+ =
y 1– –= =4
Haciendo z = 3λ:
Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 – 7λ, z = 3λ
• Sim ≠ –1 → Sistema incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
36
Matemáticas II
Teorema de Rouché. Regla de Cramer
6 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incom-patibles:
a) xxx
yyy
45 2
615
–––
++
===
* b) xxx
yyy
zzz
22
32
23
0––
–––
––
+ ===
* c) xxx
yyy
zzz
2
3
35
306
– ––
–
+
++
===
*
d) xxx
yy
zzz
23
23
215
– –+ +
+
===
* e)
xx
x
yyyy
zzz
2
2
3
720
10
– ––
+
+
+
+
====
* f ) xxx
yyy
zzz2
3
3
11
5– –
––
+
+
+
+
===
*
a)
xxx
yyy
45 2
615
–––
++
===4 A' =
145
112
615
–––
f p
A
Como 14
11–
= 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:
8x y
x yx x
y x6
4 15 5 1
1 4 1 4 5–
–Sumando:
– – – – –=
+ == =
= = =4 4 Solución: x = 1, y = –5
b)
xxx
yyy
zzz
22
32
23
0––
–––
––
+ ===4 A' =
121
112
132
230
––
–––
––f p
A
Tenemos que | A | = 0 y que 12
11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Como 121
112
230
––
–– = –3 ≠0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2
Por tanto, el sistema es incompatible.
c)
xxx
yyy
zzz
2
3
35
306
– ––
–
+
++
===4 A' =
213
351
111
306
– ––
–f p
A
Como | A | = 0 y 21
35– – = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Además, 213
351
306
– – = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:
xx
yy
zz
x z yx z y
x yz y x y y t
2 35
30
2 3 35
3 25 5 3 2 3 7– –
– – ––
Sumando:++
==
=+ =
= += + = + + = +
4 4
Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
37
Matemáticas II
d)
xxx
yy
zzz
23
23
215
– –+ +
+
===4 A' =
123
110
231
215
– –f p
A
Como | A | = 0 y 23
10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Como 123
110
213
– = 6 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2
Por tanto, el sistema es incompatible.
e)
xx
x
yyyy
zzz
2
2
3
7201
0
– ––
+
+
+
+
====
_
`
a
bb
bb
A' =
1102
1213
1710
2010
– ––f p
A
Como 110
121
171
– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:
x = 5
201
121
171
515 3–
– –
= = y = 5
110
201
171
510 2–
–– –= = z =
5
110
121
201
55 1
–– = =
Solución: x = 3, y = –2, z = 1
f )
xxx
yyy
zzz2
3
3
11
5– –
––
+
+
+
+
===4 A' =
112
311
113
115
– –––f p
A
Como | A | = –14 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x = 14
115
311
113
140 0
–
–– – –
–= = y =
14
112
115
113
1414 1
–
–– –
––= = z =
14
112
311
115
1428 2
–
– –
––= =
Solución: x = 0, y = –1, z = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
38
Matemáticas II
7 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:
a) xx
yy
83
145
211–
+ ==
* b) xx
yy
z
z
ttt
120
––
––
+ + ===
*
c) xx
yyy
zz
32
3 2
20
1
–
–+ +
+
===
* d) xx
yy
zz
tt
42
– ––+ ++ =
=*
a)
xx
yy
83
145
211–
+ ==4 A' =
83
145
211–
e o → | A | = – 82 ≠ 0
A
x = 82
211
145
82164 2
––
––= = ; y =
82
83
211
8282 1
– ––= =
Solución: x = 2, y = –1
b)
xx
yy
z
z
ttt
120
––
––
+ + ===4 A' =
110
110
101
111
120
––
––
f p → Tenemos que 110
11
0
101
––
= –2 ≠ 0.
A
x =
tt
t t t2
12
110
101
23
23
–
––
–
–– –
+
= = + ; y =
tt
t t t2
110
12
101
21
21
–
– –
–– –
+
= + = ;
z =
tt
t t t2
110
110
12
22
–
––
––
+
= =
Soluciones: , , ,l l l lx y z t2
32
1– –= + = = =
c)
xx
yyy
zz
32
3 2
201
–
–+ +
+
===
_
`
a
bb
bb A' =
320
113
012
201
–
–f p → | A | = 1 ≠ 0
A
x = 1
201
113
012
11 1–
–
– –= = ; y = 1
320
201
012
15 5– – –= = ; z =
1
320
113
201
17 7
–
– = =
Solución: x = –1, y = –5, z = 7
d)
xx
yy
zz
tt
42
– ––+ ++ =
=4 x y z t
x y z t42
11
11
– ––
–= ++ = +
4 = 2 ≠ 0
x =
z tz t
2
42
11
26 3
––
–++
= = ; y =
z tz t z t z t
2
11
42
22 2 2 1
–– – – – –
++
= + = +
Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + μ, z = λ, t = μ
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
39
Matemáticas II
8 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible:
a) xx
yyy
zzz
3 001
–
–
++ +
===
* b) xxx
yyy
zzz
22
2
222
––
–
–––
++
++
===
*
c) xx
yyy
z
z
2 01
1– –
– – –
+ + ===
* d)
xx
x
y
yy
zzz2
56711
+
+
+++
====
*a)
xx
yyy
zzz
3 001
–
–
++ +
===4 A' =
310
111
111
001
–
–f p
A
Como | A | = – 6 ≠ 0, tenemos que: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x = 6
001
111
111
62
31
–
–
––
–= = ; y = 6
310
001
111
64
32
–
–
–––= = ; z =
6
310
111
001
62
31
– ––= =
Solución: , ,x y z31
32
31– –= = =
b)
xxx
yyy
zzz
22
2
222
––
–
–––
++
++
===4 A' =
121
211
112
222
––
–
–––
f p
A
Como 12
21––
= –3 y | A | = 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Además, 121
211
222
–– –
––
= 18 ≠ 0. Luego ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2.
Por tanto, el sistema es incompatible.
c)
xx
yyy
z
z
2 011
– –– – –
+ + ===4 A' =
110
211
101
011
– –– – –
f p
A
Como | A | = 0, 110
211
011
– –– –
= 0 y 11
21– – = 1 ≠ 0, tenemos que:
ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la 1.ª ecuación y resolverlo en función de y :
x y
y zx yz y
11
11
– –– – –
– ––
==
==
4 4
Soluciones: x = –1 – λ, y = λ, z = 1 – λ
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
40
Matemáticas II
d)
xx
x
y
yy
zzz2
56711
+
+
+++
====
_
`
a
bbb
bb
A' =
1102
1011
0111
56711
f p A
Tenemos que | A' | = 0 y 110
101
011
= –2 ≠ 0.
Luego ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Para resol-verlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación:
x2
567
101
011
24 2
– ––= = = ; y
2
110
567
011
26 3
– ––= = = ; z
2
110
101
567
28 4
– ––= = =
Solución: x = 2, y = 3, z = 4
9 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:
a) xxx
yyy
zzz
12 32
2000
––
––
+
+
===
* b)
xxxx
yyyy
zzzz
938
3
2
2
42
0000
–
–
+
++
+++
====
*a)
xxx
yyy
zzz
12 32
2000
––
––
+
+
===4
xxx
yyy
zzz12 2
000
23
––
–
–
+ ===
+ 4 A = 1112
123
112
––
–
–f p
Como | A | = 0 y 12
21––
= –3 ≠ 0, entonces, ran (A ) = 2.
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:
x y zx y z2– –
+ ==3
x
zz z z z
3
12
3 3––
––=
-= = ; y
zz z z
3
11
32
32
––
––= = =
Soluciones: , ,l l lx y z3 3
2= = =
b)
xxxx
yyyy
zzzz
938
3
2
2
42
0000
–
–
+
++
+++
====
_
`
a
bb
bb
A =
9381
3112
2142
–
–
f p
Como 938
311
214
– = –35 ≠ 0, entonces ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
41
Matemáticas II
Discusión de sistemas mediante determinantes
10 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones?:
a) xxx
yayy
zzz
32
2 352
24
2
– –– –+
+ +
===
* b) xxx
yy
ay
zazz
aa2
1
1
–+++
+++
===
*a)
xxx
yayy
zzz
32
2 352
24
2
– –– –+
+ +
===
4 A' = a321
2
1
352
24
2
– –– –f p
A
| A | = 9a + 27 = 0 → a = –3• Sia = –3, queda:
A' = 321
231
352
24
2
––
–– –f p
Como 32
23
–– = –5 y
321
231
24
2
–– – = 20, entonces ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3
El sistema es incompatible.• Sia = –3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones.
b)
xxx
yy
ay
zazz
aa2
1
1
–+++
+++
===
4 A' = a
aa
a121
11
1
1
1
1
–f p
A
| A | = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = ± ±2
3 9 82
3 1–
– ––
–= aa
12
==
• Sia = 1, queda:
A' = 121
111
111
011
f p La 1.ª y la 3.ª ecuación son contradictorias, luego el sistema es incompatible.• Sia = 2, queda:
A' = 121
112
121
121
f p Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales, y 12
11 = –1 ≠ 0;
A
luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
42
Matemáticas II
Página 115
11 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:
a) xxx
yyy
zz
az
2
324
3000
–
–––
++ =
==
* b) x
axx
y
y
zz
az22
000–
+ +++
===
* c) ax
xx
yyy
zzz3
210 4
000
–+++
++
===
* d) xxx
yyy
zaz
z
343
324 6
000
––
+++ +
===
*a)
xxx
yyy
zz
az
2
324
3000
–
–––
++ =
==4 A =
a
213
124
13
–
–––
f p Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –5a – 25 = 0 → a = –5
• Sia = –5 → Como 21
12–
= 5 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ –5 → Solo tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.
b)
xaxx
y
y
zz
az22
000–
+ +++
===4 A ' = a
a
1
2
101
12
–f p
Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –a 2 – a + 6 = 0 → a = ± ±2
1 1 242
1 5– –
+ = aa
32–=
=
• Sia = –3 o a = 2 → Como 10
12 = 2 ≠0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.
c)
axxx
yyy
zzz3
210 4
000
–+++
++
===4 A' =
a13
1210
114
–f p
Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –2a – 5 = 0 → a = 25–
• Sia = – 25 → Como
12
11–
= 3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ – 25 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.
d)
xxx
yyy
zazz
343
324 6
000
––
+++ +
===4 A' = a
343
324
1
6
––f p → | A | = 3a – 46 = 0 → a =
346
• Sia = 346 → Como
34
32 = – 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ 346 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
43
Matemáticas II
12 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
a) mx
xx
yyy
zz
mzm4
2–
++
+++
===
* b) xxx
yy
my
zmz
z
mm2
1
1
–+++
+++
===
* c) xxx
ymy
y
zzz2
2
3
3
4
002
+++
+++
===
*
d) xx
mx
myyy
zzz
3454
+++
+++
===
* e)
xx
x
yyy
zzz
mz
32
2 3125–
––––
+++
+
====
* f )
xxxx
yyyy
zzzz
m
m
22
2
1
0
––
–––
+
+
++
====
*a)
mxxx
yyy
zz
mzm4
2–
++
+++
===4 A' =
m
mm1
1
111
11
4
2–f p
A
| A | = m 2 – 1 = 0 mm
11–
==
• Sim = 1, queda:
A' = 111
111
111
412–
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = –1, queda:
A' = 111
111
111
412
–
– ––f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
b)
xxx
yy
my
zmz
z
mm2
1
1
–+++
+++
===
4 A' = m
mm
m121
11
1
1
1
1
–f p
A
| A | = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = ± ±2
3 9 82
3 1–
– ––
–= mm
12
==
• Sim = 1, queda:
A' = 121
111
111
011
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = 2, queda:
A' = 121
112
121
121
f p . Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales.
A
Como 12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
44
Matemáticas II
c)
xxx
ymy
y
zzz2
2
3
3
4
002
+++
+++
===4 A' = m
112
2
3
314
002
f p
A
| A | = –2m + 2 = 0 → m = 1• Sim = 1, queda:
A' = 112
213
314
002
f p
Como 11
21 = –1 y
112
213
002
= –2 ≠ 0, entonces: ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3
El sistema es incompatible.• Sim ≠ 1, queda: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
d)
xx
mx
myyy
zzz
3454
+++
+++
===4 A' =
m
m11 3
1
111
454
f p
A
| A | = m 2 – 4m + 3 = 0 → m = ± ± ±2
4 16 122
4 42
4 2– = = mm
31
==
• Sim = 3, queda:
A' = 113
331
111
454
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = 1, queda:
A' = 111
131
111
454
f p . La 1.ª y la 3.ª fila son iguales.
Además, 11
13 = 2 ≠ 0. Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
45
Matemáticas II
e)
xx
x
yyy
zzz
mz
32
2 3125–
––––
+++
+
====
_
`
a
bbb
bb
A' =
m
1301
0121
211
3125–
––––
f p A
| A | =
m
1301
0121
211
3125–
––––
=
filas(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (1.ª)
m
1000
0121
251
2
31028–
–––
–––
=
= m
121
51
2
1028–
–––
–––
= (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
filas
m
100
59
7
101818
–
–
–
– =
= m9
71818– – = 18 m
97
11– – = 18(–9 – m + 7) = 18(–m – 2) = 0 → m = –2
Además, 130
012
211–
= 9 ≠ 0 → ran (A ) = 3
• Sim = –2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ –2 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) = 3. El sistema es incompatible.
f )
xxxx
yyyy
zzzz
m
m
22
2
1
0
––
–––
+
+
++
====
_
`
a
bb
bb
A' = m
m
2111
1211
1121
1
0
––
–––
f p A
| A' | = 3m + 3 = 0 → m = –1
Eliminando de A la 3.ª fila, 211
121
111
––– –
= –3 ≠ 0
• Sim = –1, queda:
A' =
2111
1211
1121
1101
––
–––
–
–
f p Entonces: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.• Sim ≠ –1, queda: 3 = ran (A ) < ran (A' ) = 4 → El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
46
Matemáticas II
13 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas:
a) xxx
yyy
zzz m
2
525 2
13–
–
–+++
===
* b) xxx
ayyy
zaz
z
aaa
1
–
–––
++
===
+*
c) ( )x y z
mx y m zx my z m
11 2–
+ + =+ + =+ + =
* d) ( )( )
x zy a z
x a y az a
11 0
1–
–
+ =+ =
+ + =*
a) La matriz asociada al sistema, permutando las dos primeras filas entre sí, es:
m
125
215
112
31
–
––f p
Usando el método de Gauss obtenemos:
m
100
250
130
3510
–– –
–f p
• Sim ≠ 10 → El sistema es incompatible.
• Sim = 10 → El sistema es compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
Soluciones: , ,l l lx y z51 1
53 1–= + = =
Interpetación geométrica:
• Sim ≠ 10, tenemos tres planos que se cortan dos a dos.
• Sim = 10, tenemos tres planos que se cortan en una recta.
b)
xxx
ayyy
zazz
aaa
1
–
–––
++
===
+4 →
aa
111
11
1
1–
–––
= 1 – a 2
• Sia ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos usando la regla de Cramer:
, ,xa
a a ya
za1
11
11
2–
––
2
2= + + =+
=
• Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
11
0
–
–
–––
–+
===
+ 4 → 11
11–
= 2 ≠0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna:
111
111
011
–
–––
= –2 → ran (A' ) = 3
Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
47
Matemáticas II
• Sia = 1:
xxx
yyy
zzz
11
2
–
–
–+ +
===
+4 →
11
11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna y la 2.ª fila:
111
111
211–
= –2 → ran (A' ) = 3
Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.Interpretación geométrica:• Sia ≠ –1 y a ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sia = –1, el primer y el tercer plano son paralelos.• Sia = 1, el primer y el segundo plano son paralelos.
c) mm
m1
1
11
11
1– = m – 1
• Sim ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos usando la regla de Cramer y obtenemos: x = 1, y = 1, z = –1.• Sim = 1:
xxx
yyy
z
z
121
+++
+ ==
+ =4 →
11
10 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna:
111
101
121
= 0 → ran (A' ) = 2
Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 → El sistema es compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –λ + 2, y = λ, z = –1Interpretación geométrica:• Sim ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sim = 1, los tres planos se cortan en una recta.
d) a
aa
101
01
1
11
–– = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = 2, a = 1
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer:
x = , ,aa y
aa z
a21
21
21
––
–– –
–= =
• Sia = 1:
x z
yx z
101
+ ==
+ =*
Las ecuaciones 1.ª y 3.ª representan el mismo plano.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
48
Matemáticas II
x z
y10
+ ==
*
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = 1 – λ, y = 0, z = λ• Sia = 2:
x z
y zx y z
10
2 2
+ =+ =
+ + =*
10
01 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna:
101
011
102
= 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
En este caso el sistema es incompatible.Interpretación geométrica• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, tenemos tres planos que se cortan en un punto.• Sia = 1, dos planos son coincidentes y se cortan en una recta con el tercero.• Sia = 2, los planos se cortan dos a dos.
Forma matricial de un sistema
14 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
a) x
x
yyy
zz
2
23
202
+
+++
===
* b) xxx
yyy
zzz
22 3
32
1–
–
––
++ +
===
* c) x
x
yy z
z
12
3
––
+++
===
* d) x
x
yyy
zzz
232 2
344
+
+
+++
===
*
a)
x
x
yyy
zz
2
23
202
+
+++
===
_
`
a
bb
bb ·
xyz
202
111
031
202
=f f fp p p
A · X = B
| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t
/ /
8 8 8 A213
626
202
213
626
202
262
120
36
2
131
1 210
3 231
– – – ––
–
– –
–
––
–
–
–– 1–=f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = / /1
31
1 210
3 231
20
1002
–
–
–– · =f f fp p p
Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
49
Matemáticas II
b)
xxx
yyy
zzz
22 3
32
1–
–
––
++ +
===4 ·
xyz
121
112
113
321–
–
––=f f fp p p
A · X = B
| A | = 11 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A152
723
531
152
723
531
175
523
231
111
175
523
231
––
––
–––
–––
–
–
–
–– –
–
–
–– –
–
1–=f f f fp p p p Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·111
175
523
231
321
111
112222
122
–
–– –
––
–
–
–
–= =f f f fp p p p
Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2c)
x
x
yy z
z
12
3
––
+++
===4
xyz
101
110
011
123
·––=f f fp p p
A · X = B
| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A111
111
111
111
111
111
111
111
111
1111
111
111
2
– –– –
–
–
–
––
–
–– 1–=f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·1111
111
111
12 1
46
22
32
231–
––
–– – –= =f f f fp p p p
Por tanto: x = 2, y = –3, z = 1d)
x
x
yyy
zzz
232 2
344
+
+
+++
===4
xyz
101
232
112
344
· =f f fp p p
A · X = B
| A | = 3 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A421
111
303
421
111
303
413
210
113
1413
210
113
3–
– ––– –
–
–
– ––
–
– –– 1–=f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·31
413
210
113
1
1
344
3
033
01
–
– –– = =f f f fp p p p
Por tanto: x = 0, y = 1, z = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
50
Matemáticas II
15 Escribe en la forma habitual estos sistemas y resuélvelos si es posible:
a) 11
31
21– –
e o fx
y
zp =
40e o b) f
132
111
––
p xye o = f
401p
a) l
lxx
yy
xz
x yx y
3 2 40
3 4 2– –
––
+ + ==
+ ==4 4
x =
ll l l11
31
4 2 31
44
44
–
––
–– –= = + ; y =
ll l l
4
11
4 2
44 3
44 3
–
–
–– –= + =
Soluciones: x = l4
4 + , y = l4
4 3– , z = 1
b)
xxx
yyy
32
401
––
+ ===4 Comprobamos si tiene solución:
132
111
401
––
= – 8 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
13
11– ≠ 0 → ran (A ) = 2
Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.
16 Escribe las ecuaciones lineales del sistema AX = B, siendo A = f131
110
401–
–p y B = f
1152p, y
resuélvelo.
AX = B → xyz
131
110
401
1152–
–=f f fp p p
Multiplicando las matrices del primer término:
xxx
yy
z
z3
4 1152
–
–++
+ ===4
Resolvemos el sistema:
A' = 131
110
401
1152–
–f p
A B
| A | = 8
x = 8
1152
110
401
88 1
–
= = ; y = 8
131
1152
401
816 2– = = ; z =
8
131
110
1152
824 3–
–
= =
Solución: x = 1, y = 2, z = 3
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
51
Matemáticas II
17 Resuelve el siguiente sistema:
f211
011
52
1–– p f
x
y
zp + f
312
–p = f
41
1– p
·xyz
211
011
521
721–
– ––
=f f fp p p
A · X = B
Calculamos A –1 (| A | = 16 ≠ 0 → existe A –1):
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A355
179
222
355
179
222
312
572
592
161
312
572
592
––
–
– ––
–
–
–
–1–=f f f fp p p p
Por tanto:
A · X = B → X = A –1 · B = ·161
312
572
592
721
161
161616
111–
–––
– –= =f f f fp p p p
Luego, xyz
111–=f fp p ; es decir: x = 1, y = –1, z = 1
Para resolver
18 Una panadería utiliza tres ingredientes A, B y C para elaborar tres tipos de tarta. La tarta T1 se hace con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C. La tarta T2 lleva 4 unidades de A, 1 de B y 1 de C. Y la T3 necesita 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. Los precios de venta al público son 7,50 la T1; 6,50 la T2 y 7 la T3. Sabiendo que el beneficio que se obtiene con la venta de cada tarta es de 2 , calcula cuánto le cuesta a la panadería cada unidad de A, B y C.
Llamamos X = xyzf p a la matriz de precios por unidad de A, B y C, respectivamente.
La matriz que indica los ingredientes en relación con el tipo de tarta es: A B C
142
211
212
TTT3
1
2 f pEl gasto para cada tipo de tarta es:
,,
,,
7 506 50
7
222
5 504 50
5– =f f fp p p
Podemos calcular la solución mediante la resolución del siguiente sistema:
·,,
xyz
142
211
212
5 504 50
5=f f fp p p → La solución es:
,
,
xyz
0 501
1 50=f fp p
La unidad A cuesta 0,50 €, la unidad B cuesta 1 € y la unidad C cuesta 1,50 €.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
52
Matemáticas II
19 a) Halla un número de tres cifras tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 23; la diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y decenas más el doble de las unidades es 15.
b) ¿Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por “el triple de las centenas más las decenas es 25”?
a) El número buscado es xyz.
El sistema que expresa las condiciones del problema es:
( ) , ,8x y zx y zx y
z
x y z2 23
2 9
22 15
9 5 4–+ + =
+ =+
+ =
= = =4 El número es 954.
b) El sistema resultante es:
( )x y zx y zx y
2 232 93 25
–+ + =
+ =+ =
4 Este sistema no tiene solución, luego no hay ningún número que verifique esas condiciones.
20 Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 45 minutos. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre A y B si sabemos que la distancia entre A y B es de 192 km?
Llamamos x a la longitud de camino llano entre A y B, y a la longitud de cuesta arriba yendo de A a B y z a la longitud de cuesta abajo yendo de A a B.
Tenemos que:
,
,
x y z
x y z
x y z
xxx
yyy
zzz
192
80 54 902 5
80 90 542 75
2727
4024
2440
1925 4005 940
km
horas
horas
+ + =
+ + =
+ + =
+++
+++
===4 4
12727
14024
12440
1925 4005 940
f p (1.ª)
(2.ª) – 27 · (1.ª)
(3.ª) – 27 · (1.ª)
100
1133
13
13
192216756–
–f p (1.ª)
(2.ª)
(3.ª) · 3 + (2.ª) · 13
100
113160
130
192216
5 076–f p
x yyy
zz13
1603
192216
5 076–
+ + ===
4 ,,,
yzx
31 72565 47594 800
kmkmkm
===
Solución: La longitud de camino llano entre A y B es de 94,8 km.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
53
Matemáticas II
21 Una persona ha obtenido 6 000 de beneficio por invertir un total de 60 000 en tres empresas: A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m veces el invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.
b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado.
c) Halla la solución para m = 5.
a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:
, , , , , ,
xxx
yyy
z
zmz
xxx
yyy
zmz
z0 05 0 1 0 2
60 000
6 000 0 05 0 1 0 2
60 0000
6 000–
+++
+ ==
+ =
+++
+
+
===
4 4
b) , , ,
m11
0 05
11
0 1
1
0 2
60 0000
6 000–f p
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – 0,05 · (1.ª)
, ,
m100
10
0 05
11
0 15
60 00060 0003 000
– – –f p• Sim = –1: El sistema es incompatible.• Sim ≠ –1: El sistema es compatible determinado. Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.
c) m = 5, solución: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.
Página 116
22 Tres comerciantes invierten en la compra de ordenadores de los modelos A, B y C de la siguiente for-ma. El primero invierte 50 000 en los de tipo A, 25 000 en los de tipo B y 25 000 en los de tipo C. El segundo dedica 12 500 a los de tipo A, 25 000 a los de tipo B y 12 500 a los de tipo C y el tercero 10 000 , 10 000 y 20 000 , respectivamente, en los modelos A, B y C. Después de venderlos todos, la rentabilidad que obtiene el primero es el 15 %, el segundo el 12 % y el tercero el 10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los modelos vendidos.
Llamamos x = xyzf p a la matriz de rentabilidad por modelo: A, B y C, respectivamente.
La matriz que indica la inversión en relación con el comerciante es: A B C
.º.º.º
50 00012 50010 000
25 00025 00010 000
25 00012 50020 000
123
f pLa rentabilidad para cada comerciante es:
, ·, ·, ·
0 15 100 0000 12 50 0000 1 40 000
15 0006 0004 000
=f fp pPodemos calcular la rentabilidad por modelo mediante la resolución del siguiente sistema:
·xyz
50 00012 50010 000
25 00025 00010 000
25 00012 50020 000
15 0006 0004 000
=f f fp p pcuya solución es:
,,,
xyz
0 230 110 03
=f fp pLa rentabilidad del modelo A es del 23 %, la rentabilidad del modelo B es del 11 %, y la rentabilidad del modelo C es del 3 %.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
54
Matemáticas II
23 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y m euros. Se sabe que tiene almacenados 2 000 y que el número de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que refleje las condiciones del problema. Prueba que si m ∈ [5, 50, 100], el sistema es compatible determinado.
b) ¿Puede haber billetes de 5 o 100 euros en el cajero?
c) Resuelve el sistema para m = 50.
a) Llamamos x al número de billetes de 10 €, y al número de billetes de 20 € y z al número de billetes de m €.
El sistema que expresa las condiciones del problema es:
8xxx
yy
zmz
y
xxx
yyy
zmz10 20
952 000
210 20
2
952 000
0–
++
+ =+ =
=
++
+ =+ =
=*4
Para m = 5, la matriz de coeficientes es:
1101
1202
150–
f p
Su determinante resulta: 1101
1202
150–
= –25 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
Luego el sistema es compatible determinado. Para m = 50, la matriz de coeficientes es:
1101
1202
1500–
f p Su determinante es:
1101
1202
1500–
= 110 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
Luego el sistema es compatible determinado. Para m = 500, la matriz de coeficientes es:
1101
1202
15000–
f p Su determinante es:
1101
1202
15000–
= 1 460 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
Luego el sistema es compatible determinado.b) Para m = 5, el sistema es:
xxx
yyy
zz10 20
25
952 000
0–
++
+ =+ =
=4 → x = 122, y = 61, z = – 88
La solución no es posible porque el número de billetes no puede ser negativo. Para m = 100, la matriz de coeficientes es:
1101
1202
11000–
f p
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
55
Matemáticas II
Su determinante es:
1101
1202
11000–
= 260 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
Luego el sistema es compatible determinado.
xxx
yyy
zz10 20
2100
952 000
0–
++
+ =+ =
=4 → , ,x y z
13750
13375
13110= = =
La solución no es posible porque el número de billetes no puede ser un número fraccionario. Para cualquiera de los dos casos el sistema tiene solución, pero no son soluciones reales.c) Para m = 50, el sistema es:
xxx
yyy
zz10 20
250
952 000
0–
++
+ =+ =
=4 → x = 50, y = 25, z = 20
Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.
24 Discute y resuelve los siguientes sistemas:
a) l
l lx
xyy
zzz3
2 0
5–
+
+
+
===
* b) ( ) ( )m x
mxx
m yy
my
zzz
2 1 321
–– –
–
+ +
++
===
*
c) l
l llx
xx
yyy
zzz
311–
+++
++
===
* d) mx
xx
ymy
y
zm z
z22
212
2+++
+++
===
*a)
ll l
x
xyy
zzz3
2 0
5–
+
+ +
===4 → | A | =
ll l l0
1
0
3
211– 2= + = 0 → λ = –1, λ = 0
Si λ ≠ –1 y λ ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer:
x = , ,l l
ll
ly z1
413
12–
+=
++ =
+ Si λ = 0:
zz
x y z
2 00
3 5–
==
+ + =
+4
Las dos primeras ecuaciones son equivalentes.
z
x y z0
3 5– =
+ + =4
Sistema compatible indeterminado. Pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –3λ + 5, y = λ, z = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
56
Matemáticas II
Si λ = –1:
x z
y zx y z
2 01
3 5
–– – –+ =
=+ + =
4 → A = 101
013
211
–– –f p →
10
01
–– = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la cuarta columna.
101
013
015
–– – = 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
b)
( ) ( )m xmx
x
m yy
my
zzz
2 1 321
–– –
–
+ +
++
===4 → | A | =
mm
m
m
2
1
11
111
––
–
–
+ = –m 2 – m = 0 → m = 0, m = –1
Si m ≠ 0 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Usando la regla de Cramer: x = , ,m m
m ym
zm m
m2 1 1 2 12 2+
+ = =++
Si m = 0:
x
x
yy
zzz
2 321
–––
++
=
== 4 → ran (A ) < 3, pero ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
Si m = –1:
xxx
yy
zzz
321
–– –
– –+
===4 → ran (A ) < 3, pero ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
c)
ll l
lxxx
yyy
zzz
311–
+++
++
===4 Estudiamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| A | = l
l l11
3
1
1
1– = –2λ2 + 2λ + 4 = 0 → λ = 2, λ = –1
Si λ ≠ –1 y λ ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Usando la regla de Cramer:
x = , ,l l
ll l
l l
l ll
l l
ll
l
y z2 2 4
11
3
1
1
1 12 2 4
11
11
1
1 02 2 4
11
3
111 0
––
––
–2 2 2+ += =
+ += =
+ +=
Si λ = 2:
xxx
yyy
zzz
2 32 2
211–
+++
++
===4 →
21
32 = 1 → ran (A ) = 2
Añadimos la cuarta columna.
211
321
211
= 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
xx
yy
zz
2 32 2
21
++
++
==
*
Soluciones: x = 4μ + 1, y = –3μ, z = μ
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
57
Matemáticas II
Si λ = –1:
xxx
yyy
zzz
3 111
–– –
–
–+
+
+ ===4 →
11
31
–– = –2 → ran (A ) = 2
Añadimos la cuarta columna.
111
311
111
––
– = 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
xx
yy
zz
3 11
–– –
–+ + ==4
Soluciones: x = μ + 1, y = 0, z = μ
d)
mxxx
ymy
y
zm z
z22
212
2+++
+++
===4
La matriz de coeficientes es:
m
m m22
1
1
1
1
2f p , cuyo determinante es m
m m22
1
1
1
1
2 = –m 3 + 3m 2 – 2m = 0 mm
m02
1==
=
Si m ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 Luego el sistema es compatible determinado. Usamos la regla de Cramer.
Solución: x = 0, y = ,m mm z
m mm2 1 2 1–
––
––
2
2
2=
Para m = 0, la matriz de coeficientes es:
8022
101
101
02
10f p = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
022
101
212
= 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
Para m = 1, la matriz de coeficientes es:
122
111
111
f p → 12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
122
111
212
= –1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
Para m = 2, la matriz de coeficientes es:
8222
121
141
22
12f p = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
58
Matemáticas II
Añadimos la última columna.
222
121
212
= 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras filas y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
xx
yy
zz
22 2 4
21
++
++
==4
Soluciones: x = λ + 23 , y = –3λ – 1, z = λ
25 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:
a) ax
x
yy
ayaz2
000–
–+
++
===
* b) mx
xx
ymy
y
zzz2
010
– –+
+
+
+
===
* c)
kxxxx
kykyky
z
z
35
2
2001
––+
++
====
* d)
xmx
x
y
myy
zzzz
m
32
50
0––
+ ++
+
====
*a)
ax
x
yy
ayaz2
000–
–+
++
===
_
`
a
bb
bb Este sistema es compatible por ser homogéneo.
La matriz de coeficientes es:
a
aa0
1
11 2
0
0
––f p
Su determinante es: a
aa0
1
11
020–
– = –2a 3 – 2a = 0 → a = 0
Si a ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Solución: x = 0, y = 0, z = 0 Si a = 0:
yyx
000
––
===4
Las dos primeras ecuaciones son equivalentes → Sistema compatible indeterminado. El sistema queda:
yx
00–
==3 Soluciones: x = 0, y = 0, z = λ
b)
mxxx
ymy
y
zzz2
010
– –+
+
+
+
===4
La matriz de coeficientes es:
m
m12
1
1
11
1– –f p
Su determinante es:
m
m12
1
1
111
– – = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = 2, m = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
59
Matemáticas II
Si m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Utilizando la regla de Cramer: x = , ,ym
zm
01
11
1–– –
= =
Si m = 1:
112
111
111
– –f p → 11
11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
112
111
010
– = 1 ≠0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
Si m = 2:
212
121
111
– –f p → 21
12– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
212
121
010
– = 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
xx
yy
zz
22
01– –
+ + ==4 → Soluciones: x = , ,l l ly z
51
53 2– – –= =
c)
kxxxx
kykyky
z
z
35
2
2001
––+
++
====
_
`
a
bb
bb
La matriz ampliada es:
k kkk
351 0
1002
2001
––
f p Su determinante es:
k kkk
351 0
1002
2001
––
= – 40k
Si k ≠ 0 → ran (A' ) = 4 → Sistema incompatible. Si k = 0:
zxxx z
23 05 0
2 1
– ===
+ =
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, nos queda: z
xx z
23 0
2 1
– ==
+ =4
El determinante de la matriz ampliada es:
031
102
201
– = 15 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como ran (A ) < 3, el sistema es incompatible. Este sistema no tiene solución para ningún valor de k.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
60
Matemáticas II
d)
xmx
x
y
myy
zzzz
m
32
50
0––
+ ++
+
====
_
`
a
bb
bb
La matriz ampliada es:
m
m m
1
01
30
1
1211
50
0––f p
Su determinante es:
m
m m
1
01
30
1
1211
50
0–– = 7m – m 2 = 0 → m = 7, m = 0
Si m ≠ 0 y m ≠ 7 → ran (A' ) = 4 → Sistema incompatible. Si m = 0:
x y zzz
x y z
3 52 0
00
––
+ + ===
+ =
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, por tanto el sistema es equivalente a:
x y z
zx y z
3 52 0
0–
+ + ==
+ =4
El determinante de la matriz de coeficientes es:
101
301
121–
= 8 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Usando la regla de Cramer: x = , ,y z45
45 0= =
Si m = 7:
x y zx z
y zx y z
3 57 2 0
7 70
––
+ + =+ =
=+ =
4 El menor formado por los coeficientes de las tres primeras ecuaciones es:
170
307
121–
= 56 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Tomamos las tres primeras ecuaciones:
x y zx z
y z
3 57 2 0
7 7–
+ + =+ =
=4
Usando la regla de Cramer: x = , ,y z21
45
47– = =
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
61
Matemáticas II
26 Sea la matriz: A = fmmm
mm m
111
122
02
1
–––
++ +
p
a) Determina para qué valores de m la matriz es singular.
b) Resuelve, si es posible, el siguiente sistema para m = 1 y m = –1:
A f
x
y
zp = f
288p
a) A = mmm
mm m
111
122
02
1
–––
++ +
f p
| A | = ( ) ( )mmm
mm m
m mm m
m mm m
111
122
02
11
111
122
02
11
111
011
02
1
–––
– –++ +
= ++ +
= ++ +
=
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm
m mm
m m1 1111
011
02
11 1
111
011
00
11 1– –
–– 2+
+= + = +
A es singular para m = –1 y m = 1.
b) Si m = –1 → A = 222
111
020
–––f p
El sistema queda:
8x yx y zx y
2 22 2 82 8
11
02
–––
+ =+ + =+ =
4 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la cuarta columna.
111
020
288
= 12 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
Si m = 1 → A = 000
133
022
f p El sistema queda:
yy zy z
23 2 83 2 8
=+ =+ =
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes.
13
02 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la cuarta columna.
133
022
288
= 0 → ran (A' ) = 2 → Sistema compatible indeterminado.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos x al segundo miembro como parámetro.
yy z
23 2 8
=+ =
4 → Soluciones: x = λ, y = 2, z = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
62
Matemáticas II
27 Sea el sistema de ecuaciones: ax
xax
byby
y
zczcz
ca
b
23
52
22
3
4––
––
+ +
+
===
*a) Justifica que para los valores de los parámetros a = 0, b = 1, c = 2 el sistema es compatible.
b) Determina los valores de los parámetros a, b y c para los que se verifica que (x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema.
c) Justifica si dicha solución es o no es única.
a)
axx
ax
bybyy
zczcz
ca
b
23
522
23
4––
––
+ +
+
===
4 Para a = 0, b = 1, c = 2, el sistema queda:
xyyy
zzz
3 22
42
604
– ––
+
+
===4
El determinante de la matriz de coeficientes es:
030
122
14
2– – = 0 → ran (A ) = 2
030
122
604
––
= 48 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.b) Sustituimos las incógnitas por los datos y resolvemos las ecuaciones. Obtenemos el sistema:
a
a
bb c
c
cab
23
5
24
4
363
3
4––
––
+ +
+
===
4 Las nuevas incógnitas son a, b, c.
aaa
bbb
ccc
2
5
244
363
334
– –––
––
+
+ +
===4
El determinante de la matriz de coeficientes es:
215
24
4
36
3– –
–– = –78 → ran (A ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Solución: a = 1, b = –1, c = 1c) Como el sistema es compatible determinado, la solución es única.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
63
Matemáticas II
28 a) Demuestra que el siguiente sistema de ecuaciones tiene siempre solución para cualquier valor de α y β:
( )a b a
ba b
xxx
y zzz 3
–
– –
++
+ ===
*b) ¿Es posible que tenga infinitas soluciones para algún valor de α y β?
a)
( )a b aba b
xxx
y zzz 3
–
– –
++
+ ===
4 A' = a b a
ba b
111
100
11 3
–
– –
+f p
A
| A | = a b1
11
100
11
11
11
–
––
+= = –2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.b) El determinante de la matriz de coeficientes es:
a b1
11
100
11
–
–
+ = –2 → ran (A ) = 3 → El sistema será siempre compatible determinado,
luego la solución siempre será única. No puede haber infinitas soluciones.
Cuestiones teóricas
29 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas y pon ejemplos.
a) A un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que es compatible indeterminado, podemos añadirle una ecuación que lo transforme en incompatible.
b) Si S y S' son dos sistemas equivalentes con solución única que tienen iguales los términos inde-pendientes, entonces los coeficientes de las incógnitas también son iguales.
c) Para m = 1, el sistema fm
mm
11
1
1
11 p f
x
y
zp = f
m
m
mp tiene infinitas soluciones que dependen de un
parámetro.
d) El sistema anterior es incompatible si m = –2.
e) El sistema ax
xx
yay
y
zz
az
a
a2
22–
–
+ +++
===
+* tiene siempre solución para cualquier valor de a.
f ) El sistema 11
23
01
e o fx
y
zp
ab=c m es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b.
g) Si el determinante de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
h) Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
a) Verdadero. Tenemos el sistema:
x yx yz
22 2 4
––
==4 → Compatible indeterminado.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
64
Matemáticas II
Le añadimos la ecuación: x – y = 3.
x yx yz
x y
22 2 4
3
––
–
==
=4 → Incompatible.
b) Falso. Los siguientes sistemas son equivalentes, tienen iguales los términos independientes y no tienen los mismos coeficientes en las incógnitas.
,8x yx y x y
31 2 1–
+ == = =4 ,8
yx x y
3 3
22 1
== =
1= 4c) Falso. Para m = 1 el sistema tiene infinitas soluciones, pero dependen de dos parámetros ya que: ran (A ) = ran (A' ) = 1 Podemos quedarnos con una sola ecuación y pasar dos incógnitas al segundo miembro como pará-
metros.d) Verdadero. El rango de la matriz de coeficientes es:
211
121
112
––
– = 0 → ran (A ) < 3
El menor tiene como rango:
211
121
222
––
–––
= –18 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.e)
axxx
yayy
zz
az
a
a2
22–
–
+ +++
===
+4
Falso, para a = 1 el rango de la matriz de coeficientes es:
121
111
111
–––
= 0 → ran (A ) < 3
Añadimos la 4.ª columna al menor 12
11 ≠ 0.
121
111
321
= 2 → ran (A' ) = 3
Luego para a = 1, el sistema es incompatible y, por tanto, no tiene solución.f ) Verdadero, ran (A ) = 2, y como solo hay dos filas, A' no tiene más rango. Es compatible determi-
nado para cualquier valor de a y b.g) Falso, puede ser también incompatible.
x y zy zy z
x y
02 2 33 3 1
1– –
+ + =+ =+ =
=
4 Tiene | A' | = 7 ≠ 0, pero ran (A ) = 3 → El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
65
Matemáticas II
h) Falso, puede ser también incompatible.
x y zx y zx y z
32 2 2 43 3 3 5
+ + =+ + =+ + =
4 ran (A ) = 1, ran (A' ) = 2
Página 117
30 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a las siguientes preguntas:
a) ¿Puede ser compatible?
b) ¿Puede tener solución única?
c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?
a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A ) = ran (A' ) < n.º de incógnitas.b) No, pues al ser ran (A ) < n.º de incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado.c) Sí, si es compatible, pasando al 2.° miembro las incógnitas que sea necesario.
31 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, AX = B y AX = B', tienen una misma matriz de coeficientes A, ¿puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible determinado?
No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran (A ) = ran (A' ) = 4. Por tanto, si A es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro será ran (A ) = 4. Luego los dos serían com-patibles determinados.
32 Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX = 0 sea equivalente a la ecuación matricial:
x y z` j f121
212
–p = (0, 0)
La ecuación matricial dada la podemos escribir así:
x y zx y z
2 02 2 0–
+ + =+ + =
4
Si llamamos A = 12
21
12–
e o y X = xyzf p , entonces: AX = 0.
Por tanto, la matriz A que buscamos es A = 12
21
12–
e o .
33 Sean A = f110
21
3– p, B = f
a
b
cp y C = f
ab
c
3
3
+
+p.
Justifica que si el sistema AX = B es compatible determinado, entonces el sistema AX = C tam-bién lo es.
Si AX = B, es compatible determinado → ran (A ) = ran (A' ) = 2.Para ello, el siguiente determinante debe ser igual a 0:
abc
110
21
3– = 3a – 3b – 3c = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
66
Matemáticas II
Calculamos el determinante de la matriz ampliada correspondiente al sistema AX = C :
a
bc
110
213
3
3–
+
+ = 3a – 3b – 3c
Los dos determinantes tienen el mismo valor, porque el segundo se obtiene sustituyendo la 3.ª colum-na por ella más la suma de las otras dos, luego valen cero para los mismos valores de a, b y c. Por tanto, el sistema AX = C es compatible determinado.
Para profundizar
34 Estudia y resuelve cuando sea posible.
a)
xxxx
yyyy
zzz
tttt
a352
3 2
2
4
31
2
––
––
+
+
+++
+
+
====
* b)
axayay
zzz
az
tttt
2
1120
–––
+++
+ ====
*a)
xxxx
yyyy
zzz
tttt
a352
3 2
2
4
31
2
––
––
+
+
+++
+
+
====
_
`
a
bbb
bb
A' =
a
1325
1113
0112
2114
312
–
–
–
–
f p A
| A | = 0 y 132
111
011
– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 3
(La 4.ª columna depende linealmente de las tres primeras).
| A | =
a
1325
1113
0112
312
–
–
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(4.ª) – 2 · (2.ª)
a a
1311
1121
0100
311
2
111
121
31
2––
–
– –
–– – –
= (1.ª)
(2.ª) + (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
filas
a
100
130
34
1+ =
= 3(a + 1) = 0 → a = –1• Sia = –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación y pasar la t al 2.° miembro:
x y tx y z tx y z t
3 23 12 2
––
–
+ =+ = +
+ + =4
x =
ttt t t
3
3 212
111
011
32 5
35 2
–
––
–– –
–
+
= = ; y =
ttt t t
3
131
3 212
011
34 4
34 4
–
–
––– –
+
= = ;
z =
ttt t t
3
132
111
3 212
38 5
38 5
–
––
––– –
+
= = +
Soluciones: , , ,l l l lx y z t3
5 23
4 43
8 5– – –= = = + =
• Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
67
Matemáticas II
b)
axayay
zzz
az
tttt
2
1120
–––
+++
+ ====
_
`
a
bbb
bb
A' =
aaa
a
000
0
0
111
1121
1120
–––
f p A
| A | =
aaa
a
aaa
a
000
0
0
111
1121 0
11
121
–––
–––
= =(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª)
filas
a
aa a
aa0
0
10
111
01–
––
= =
= a · a 2 = a 3 = 0 → a = 0• Sia = 0, queda:
A' = 88
8 zzt
Incompatible
0000
0000
1110
1121
1120
120
–––
===
f p 3
• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 4. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:
x = ( )a
aa
aa
a aaa
1120
0
0
111
1121 2 1 2 1
–––
3 3 2= + = + ; y = a
a
aaa
a
000
1120
111
1121 1
–––
3 3 2= = ;
z = a
aaa
aa
a
000
0
0
1120
1121 1
––– – –
3 3
2= = ; t =
a
aaa
aaa
000
0
0
111
1120 1– –3 3
3= =
Soluciones: x = , , ,aa y
az
at2 1 1 1 1– –2 2
+ = = =
35 Discute los siguientes sistemas:
a) xxx
yyy
zz
az b24
3 22
8–
– –++
+
+
===
* b) xxx
yy
ay
zaz
z
aab
21–+
++
+++
===
* c) xxx
y zzz
abc
3––+
+
===
* d) ax
xx
yay
z
z
bbb
211
–
– –++
+
===
+*a)
xxx
yyy
zz
az b24
3 228
–– –+
+
+
+
===4 A' =
a b
124
131
12
28
–– –f p
A
| A | = 5a = 0 → a = 0• Sia = 0, queda:
A' = ; ≠ ;b b
124
131
120
28
12
13 5 0
124
131
28
–– –
– ––=f p = 5b + 20 = 0 → b = – 4
• Sia = 0 y b = – 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
68
Matemáticas II
• Sia = 0 y b ≠ – 4 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3. El sistema es compatible determinado,
cualquiera que sea el valor de b.
b)
xxx
yy
ay
zazz
aab
21–+
++
+++
===
4 A' = a
aa
ab
121
11
1
1
1–f p
A
| A | = –(a – 1)(a – 2) = 0 aa
12
==
• Sia = 1, queda:
A' = b
121
111
111
01f p Contradictorias, a no ser que b = 0.
— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible. — Si a = 1 y b = 0, queda:
A' = 121
111
111
010
f p La 1.ª fila y la 3.ª son iguales.
12
11 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → Sistema compatible indeterminado.
• Sia = 2, queda:
A' = b
121
112
121
12f p La 1.ª columna y la 3.ª son iguales.
12
11 ≠ 0 → ran (A ) = 2
b
121
112
12 = –(b – 1) = 0 → b = 1
— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. — Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.
c)
xxx
y zzz
abc
3––+
+
===4 A' =
abc
111
300
111
––f p
A
| A | = 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c.
d)
axxx
yay
z
z
bbb
211
–
– –++
+
===
+ 4 A' = a
abb
b21
1
0
101
11
–
– –+f p
A
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
69
Matemáticas II
| A | = a 2 – a– 2 = 0 aa
12–=
=
• Sia = –1, queda:
A' = bb
b
121
110
101
11
–
––
– –+f p
12
11
–– ≠ 0 → ran (A ) = 2
bb
b
121
110
11
–
––
–+ = –3b = 0 → b = 0
— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = –1 y b = 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.• Sia = 2, queda:
A' = bb
b
221
120
101
11
–
– –+f p
22
12 ≠ 0 → ran (A ) = 2
bb
b
221
120
11
–
–+ = 3b – 3 = 0 → b = 1
— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. — Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b.
36 Dado este sistema de ecuaciones:
a ba b
a b
xy
z
12
32
2
– –+
===
++
* donde α, β ∈ Á
transfórmalo en un sistema equivalente que no dependa de los parámetros α, β; es decir, trans-fórmalo en un sistema en el que sus ecuaciones se expresen solo en función de las incógnitas.
Interpretamos el sistema al revés, es decir:
a ba b
a b
xyz
32
2
12
– –+
+
== +=
*Para que este sistema tenga solución, el siguiente determinante debe ser igual a 0:
xy
z
321
112
12
– –+ = 3x – 7y + 5z – 17 = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
70
Matemáticas II
En este caso, para calcular α y β, tomamos las dos primeras ecuaciones y obtenemos un sistema compatible determinado:
a ba b
xy
3 12 2
– –=+ = +*
Las soluciones son: α = , bx y x y51
51
51
52
53
58–+ + = + +
Sustituimos α y β por sus valores en el sistema original y obtenemos:
x x y x y
y x y x y
z x y x y
1 351
51
51
52
53
58
2 251
51
51
52
53
58
51
51
51 2
52
53
58
– – –
–
–
= + + + +
+ = + + + + +
= + + + + +d
d
d
d
d
d
n
n
n
n
n
n
*Las ecuaciones de este sistema se expresan solo en función de las incógnitas.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
71
Matemáticas II
Autoevaluación
Página 117
1 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema e interprétalo geométricamente:
xxxx
yyyy
zzzz3
35
7
3
5
1315
– – –+++
+++
====
*xxxx
yyyy
zzzz3
35
7
3
5
1315
– – –+++
+++
====
_
`
a
bb
bb
1113
3517
1315
1315
– – –
f p →
(3.ª)
(2.ª)
(1.ª)
(4.ª)
1113
1537
1315
1315
– – –f p →
→
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – 3 · (1.ª)
1000
144
4
1222
1222
– – –f p →
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª) + (2.ª)
(4.ª) – (2.ª)
1000
1200
1100
1100
f p →
→ l
x y zy z
z yx y z yy
12 1
1 21
–– –
+ + =+ =
== ==
4Soluciones: x = λ, y = λ, z = 1 – 2λ. Son cuatro planos con una recta en común.
2 Un transportista tiene tres camiones P, Q y R en los que caben un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y C. En el camión P caben 5 contenedores del tipo A, 3 del tipo B y 4 del C. En el camión Q, caben 2 contenedores del tipo A, 5 del B y 5 del C. Y en el camión R, caben 4 del A, 3 del B y 6 del C. Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes los hacen totalmente llenos?
Llamamos:x = viajes del camión Py = viajes del camión Qz = viajes del camión R P Q R
·xyz
534
255
436
454458
ABC
=f f fp p pObtenemos el sistema de ecuaciones:
x y zx y zx y z
5 2 4 453 5 3 444 5 6 58
+ + =+ + =+ + =
4 → x = 5, y = 4, z = 3
El camión P tiene que dar 5 viajes.El camión Q tiene que dar 4 viajes.El camión R, tiene que dar 3 viajes.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
72
Matemáticas II
3 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:
( )xx
ax
ayyy
zaz
z
aa
a
22 1–
+++
+++
===
++*
b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.
a) ( )
xx
ax
ayyy
zazz
aa
a
22 1–
+++
+++
===
++ 4 A' = ( )
a
aa
aaa
11 1
1
1
1
22 1–
++f p
A
| A | = a 3 – 3a + 2 = 0 = (a – 1)2(a + 2) = 0 aa
12–
==
• Sia = 1, queda:
A' = 111
111
111
34
1–f p → El sistema es incompatible.
• Sia = –2, queda:
A' = 112
211
121
022–
––
–f p
Como 11
21–
= 3 y 112
211
022–
–
– = 0, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ 1 y a ≠ –2: ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
b) Para a = –1, queda:
A' = 111
111
111
101–
––
–f p y sabemos que | A | = 4
A
El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x = 4
101
111
111
42
21–
––
= = ;
y = 4
111
101
111
42
21– –
–– –= = ;
z = 4
111
111
101
40 0–
–
– = =
Solución: x = , ,y z21
21 0–= =
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
73
Matemáticas II
4 Demuestra que no hay valores de m para los que este sistema no tenga solución. Resuélvelo:
xxx
yy
my
zzz
23 2
3
357
+++
+++
===
*
xxx
yy
my
zzz
23 2
3
357
+++
+++
===4 A' =
m
111
23
123
357
f p
A
| A | = 4 – m = 0 → m = 4• Sim = 4:
A' = 111
234
123
357
f p La 4.ª columna se obtiene sumando la 2.ª y la 3.ª.
Luego, ran (A ) = ran (A' ). El sistema es compatible. (En este caso sería compatible indeterminado, pues:
11
23 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2).
Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3.ª ecuación:
x y zx y z
x y zx y z
2 33 2 5
2 33 5 2
11
23 1
––
+ + =+ + =
+ =+ = =4 4
x =
zz
z1
35 2
23
1
––
–= + ; y =
zz
z1
11
35 2
2
––
–=
Soluciones: x = –1 + λ, y = 2 – λ, z = λ• Sim ≠ 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos en este caso:
x = m
mmm
4
357
23
123
44 1
– ––= = ; y =
m m4
111
357
123
40 0
– –= = ;
z = ( )m
mmm
mm
4
111
23
357
48 2
42 4 2
– ––
––= = =
Solución: x = 1, y = 0, z = 2 Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.
5 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?
La matriz ampliada es una matriz cuadrada de orden 4.Su rango puede ser 3 (si | A' | = 0) o 4 (si | A' | ≠ 0).•Siran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema será compatible determinado.•Siran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → El sistema será incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Sistemas de ecuaciones
74
Matemáticas II
6 Discute y resuelve el siguiente sistema:
x
x
yy
y
zzz
a2
3
1
12
–
––
–+
====
*Según el teorema de Rouché, el sistema tendrá solución si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada son iguales.
A' = a
1010
2101
0131
1
12
–
––
–f p A
Como la matriz ampliada es de orden 4, buscamos los valores que anulan su determinante.
| A' | =
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª)
a a
1000
2121
0131
1
22
121
131
22
–
––
– ––
–= = – 6 – 2a – 2 + 3a – 2 – 4 → a = 14
• Sia = 14
A' =
1010
2101
0131
1142
2
–
––
–f p → Como 010
101
131
––
≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
A
El sistema es compatible determinado.• Sia ≠ 14 → ran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.•Resoluciónsia = 14: Tomamos las ecuaciones 2.ª, 3.ª y 4.ª:
y z
x zy z
143 1
2– –
–
+ ===
* De la 1.ª y la 3.ª ecuación obtenemos 2y = 16 → y = 8z = 14 – 8 = 6En la 2.ª x = –1 + 3z = –1 + 18 = 17
Solución: x = 17, y = 8, z = 6
Otra forma de resolver el problemaSi resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 1.ª, 3.ª y 4.ª, obtendríamos la solución x = 17, y = 8, z = 6.Llevando estos valores a la 2.ª ecuación, y + z = a → 8 + 6 = a → a = 14. Este es el valor de a que hace el sistema compatible. Para cualquier otro valor de a, el sistema no tiene solución.
7 En un sistema homogéneo de tres ecuaciones y dos incógnitas, la matriz de los coeficientes tiene rango 2.
Di, razonadamente, cuántas soluciones tendrá el sistema.
En un sistema homogéneo el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada siempre coin-cide ya que al añadir una columna de ceros no cambia el rango.Por tanto, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.El sistema será compatible determinado. Solo tiene una solución que es la trivial: x = 0, y = 0.
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