hidrodinamika - hmj pendidikan fisika | universitas islam ... · web viewaplikasi termodinamika...
Post on 20-Mar-2019
258 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Bab VIII. Aplikasi Termodinamika Statistik
Pada bagian ini kita akan membicarakan bagaimana penggunaan konsep fungsi partisi yang telah dibahas sebelumnya. Akan ditunjukkan bagaimana konsep ini digunakan pada termodinámica statistik. Sekalipun metode yang kita gunakan dalam pembicaraan sebelumnya dilakukan terhadap assembly dengan energi dan jumlah sistem yang tetap, tetapi kita akan perluas pada interaksi diantara sistem yang ada.
GAS PARAMAGNETIK
Pada bagian sebelumnya kita telah membahas paramagntime Pauli, dimana tiap molekul memiliki momen magnet intrinsik. Ketika Medan magnet bekerja pada gas akan muncul momen paramagnetik terinduksi persatuan volume
dimana adalah suseptibilitas magnetik gas per satuan volume dan adalah medan magnet yang bekerja. Bentuk persamaan suseptibilitas magnetik yang diperoleh nanti bergantung pada apakah momen magnetnya diperlakukan secara mekanika klasik atau kuantum. Untuk melihat bagaimana perbedaannya, maka kita akan bahas dengan memperlakukan momen magnet menurut mekanika klasik.
155
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
SUSEPTIBILITAS PARAMAGNETIK KLASIK
Misalkan gas mengandung molekul per satuan volume, tiap molekul mengandung momen magnet intrinsik dan tidak ada interaksi diantara molekul. Ketika medan magnet bekerja gas, sejumlah molekul yang momen magnetnya membentuk sudut sebesar terhadap arah medan memiliki energi magnetik sebesar
Fungsi partisi energi magnetik
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua harga yang mungkin. Anggap bahwa jumlah keadaan yang
tersedia bagi molekul yang arahnya dalam suatu eleven sudut ruang sebanding besar . Maka
dimana adalah tetapan kesebandingan.
Sudut ruang yang berada dalam interval dan adalah sehingga
156
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Energi magnetik untuk molekul dalam satu satuan volume gas
Jika terdapat momen magnetik induksi per satuan volume yang searah dengan medan magnet, maka energi magnetiknya dapat dinyatakan dengan
Jadi
(x) adalah fungís Langevin yang didefenisikan sebagai . Jika syarat terpenuhi, maka
bernilai 1, dimana pada saat nilai Medan magnetik yang memenuhi syarat ,menurut persamaan 8.8 momen magnetik induksi akan mencapai nilai maksimum atau nilai jenuh (saturasi), nilainya sama
157
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
dengan . Sebaliknya jika , uraian atas suku-sukunya mengandung nilai ; dengan nilai pendekatan
Jadi momen magnetiknya
Bentuk fungís Langevin ditunjukkan pada gambar berikut
Suseptibilitas magnetiknya dapat diperoleh dari hubungan .Jadi
dalam kasus medan rendah.Selanjutnya dapat juga dibuktikan bahwa hasil
yang sama akan diperoleh untuk nilai dan jika nilai momen total magnetik sepanjang arah medan magnet diambil sama dengan jumlah semua componen cos dari momen magnet masing-masing molekul. Nilainya
158
kemiringan=1/3
L(x)
x
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
sama dengan yang diperoleh dengan cara merata-ratakan nilai momen magnet
Nilai dan telah diberikan dan tak lain adalah factor Boltzmann . Induksi momen magnet per satuan volume adalah .
SUSEPTIBILITAS PARAMAGNETIK KUANTUM
Menurut mekanika kuantum momentum sudut atom atau molekul ditandai oleh bilangan kuantum momentum sudut , yang merupakan bilangan bulat. Bilangan kuantum magnetik , yang merupakan componen dalam arah medan magnet dapat berharga
Untuk molekul dengan nilai , componen momen magnet yang searah dengan arah medan magnet yang bekerja
Dimana adalah magneton Bohr dan g adalah factor Lande, atau factor pemisahan spektroskopik molekul. Jika energi potencial molekul adalah maka fungsi partisinya menjadi
159
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Kita akan tinjau bentuk fungsi partisi untuk dua kasus, yakni untuk nilai tinggi dan nilai yang rendah. Ketika
sangat besar, suku dimana akan menjadi sangat besar dibandingkan dengan suku-suku lainnya. Hal ini berarti bahwa semua momen magnetik searah dengan medan magnet yang diberikan untuk memperoleh momen magnet sebesar mungkin yakni
.Dalam kasus dengan medan kecil, uraian dan pendekatan dapat digunakan, sehingga
Energi magnetik total
160
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
=
Dalam daerah dengan medan kecil dimana , penyebut dalam persamaan 8.14 dekat nilainya dengan 2J+1 sehingga
Momen magnetik per volume
Suseptibilitas magnetik per satuan volume,
Jika dibandingkan dengan persamaan 8.10, nampak bahwa untuk molekul yang mengikuti sifat-sifat kuantum, melalui pendekatan ini momen magnetik efektifnya adalah
Nilai di atas dapat dicari dengan metode lain yakni konsep perata-rataan`momen magnetik molekul melalui humus
161
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Dalam kasus ini
OSILATOR HARMONIK
Menurut mekanika klasik tidak terdapat pembatasan energi pada osilator harmonik. Hal ini sudah dijelaskan dalam bagian 3.6 bahwa energi rata-rata osilator harmonik sederhana satu dimensi dalam suatu assembly pada temperatur adalah . Sebaliknya jika osilator harmonik dipandang mengikuti aturan kuantum, maka hanya dapat memiliki energi diskrit sebesar
dimana adalah frekwensi dan adalah bilangan bulat positif. Energi terendah yang ada pada sistem seperti ini adalah yang disebut juga energi titik nol.Energi rata-rata osilator harmonik menurut mekanika kuantum pada temperatur dapat diperoleh dengan menjumlahkan fungsi partisinya
Penjumlahan suku-suku dalam persamaan di atas
menyerupai bentuk sehingga fungsi
partisinya
162
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Energi rata-rata osilator adalah
Pada temperatur tinggi dimana kita dapat mengurai bentuk eksponen
suku-suku di atasnya dapat diabaikan, jadi
seperti yang hasil yang kita harapkan untuk temperatur tinggi dimana tidak terdapat lagi perbedaan mendasar antara sistem kuantum dan sistem klasik.
MOLEKUL DIATOMIK
Untuk molekul diatomik energinya dihasilkan oleh paling kurang lima jenis gerak yang independen. Kelima jenis gerak tersebut adalah :
a. gerak translasi.163
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
b. Gerak rotasi.c. Gerak vibrasi sepanjang penghubung antara
kedua atom.d. Gerak atom di sekitar intinya.e. Gerak spin inti.
Tingkat energi yang ada dalam kelima jenis gerak energinya perlu terkuantisasi dan hanya pada khusus kasus gerak translasi tingkatan energinya kontinu. Dalam jenis gerak lainnya dapat tingkatan energinya adalah diskrit kecuali pada temperatur tinggi.
Untuk mengkaji lebih jauh beberapa sifat termodinamika gas klasik diatomik ideal perlu kita nyatakan fungsi partisi masing-masing dari relima jenis geraknya. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, fungsi partisinya dapat dinyatakan dengan
dimana = fungsi partisi translasi = fungsi partisi rotasi = fungsi partisi vibrasi = fungsi partisi elektronik = fungsi partisi spin inti
Gerak translasi molekul diatomik analog dengan molekul sederhana monoatomik yang telah dibahas sebelumnya. Fungsi partisinya adalah
Untuk fungsi partisi gerak rotasi molekul diatomik, perlu dirumuskan tingkat energi rotasi yang bersesuaian dengan bilangan kuantum momentum sudut
164
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
dimana adalah bilangan kuantum momentum sudut, bilangan bulat bernilai positif, adalah momen inersia molekul di sekitar sumbu yang melalui pusat gravitasinya. Untuk tiap nilai bilangan kuantum , bilangan kuantum magnetik dapat bernilai bulat antara dan salah satunya bernilai . Tiap tingkatan energi merepsentasikan keadaan, fungsi partisinya
dengan Untuk gerak vibrasi, dapat kita ambil model
osilator harmonik sederhana sebagai pendekatan. Fungsi partisinya (seperti yang telah dibahas pada bagian sebelumnya)
Untuk fungsi partisi elektronik, kita akan nayatakan dalam bentuk keadaan dasar, energi yang diperlukan untuk mengeksitasi elektron dari keadaan dasar ke keadaan diatasnya, dan seterusnya. Fungsi partisinya
165
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Dalam situasi normal, kecuali pada temperatur tinggi, cukup kita ambil hanya sampai pada dua suku saja
Fungsi partisi total molekul diatomik diperoleh dari masing-masing komponen
Fungsi partisi total untuk gas identik mengikuti persamaan 7.21 yakni .
Energi molekul gas diatomik
Kontribusi dari fungsi partisi spin tak diperhitungkan karena energinya tak bergantung pada temperatur.
Untuk melihat seberapa besar sumbangan masing-masing fungsi partisi terhadap energi, maka perlu diungkapkan temperatur karakteistik untuk gerak vibrasi, rotasi dan energi elektronik. Temparatur masing-masing kita nayatakan dengan
166
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
untuk gerak rotasiuntuk gerak rotasiuntuk energi elektronik
Perbandingan untuk ketiganya secara umum mengikuti ketidaksamaan . Sebagai contoh untuk molekul hodrogen
Untuk molekul lainnya umumnya lebih rendah dibandingkan dengan molekul hidrogen, misalnya khlor
Pada temperatur rendah, , jelas dari rumus fungsi partisi bahwa hanya sebagian kecil dari tingkatan energi rotasi,vibrasi dan elektronik yang berada di atas keadaan dasar. Dalam kasus ini energi total molekul kontribusinya berasal dari energi translasi bersama-sama dengan energi keadaan dasar dari energi vibrasi yakni dan energi keadaan dasar elektron. Dari tiga suku yang ada hanya energi translasi yang bergantung pada temperatur yakni , sehingga untuk , panas jenis gas pada volume konstan
Pada temperatur rendah, komponen fungsi partisi dapat diambil sebagai berikut :
sementara tetap konstan (tak bergantung pada temperatur).
167
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Jika temperatur dinaikkan sampai mencapai orde beberapa molekul akan mengalami eksitasi untuk melakukan rotasi dengan energi di atas keadaan dasar. Gerak rotasinya selanjutnya akan memberikan kontribusi pada energi total dan panas jenis gas. Selanjutnya jika temperaturnya dinaikkan mendekati nilai , maka fungsi partisi rotasi dapat diuraikan atas
Jika diambil pendekatan , maka
Energi rotasi pada temperatur ini
yang bersesuaian dengan energi klasik untuk 2 derajat kebebasan rotasi molekul. Maka panas jenisnya
Tingkat energi vibrasi molekul tak akan memberikan sumbangan pada energi total maupun panas jenis sedemikian sampai temperaturnya mendekati
168
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
temperatur vibrasi . Akan tetapi pada temperatur yang cukup tinggi , energi vibrasi rata-rata akan mendekati nilai klasik per molekul. Jadi energi vibrasinya
dan panas jenisnya
Jadi pada temperatur tinggi , energi total yang diperoleh merupakan sumbangan dari energi translasi, rotasi dan vibrasi
dan panas jenisnya
169
T
Cv
R=Nk
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
Perhitungan yang dilakukan sejauh ini belum memperhitungkan sumbangan tingkatan energi oleh gerak spin. Hal ini berarti bahwa untuk molekul diatomik syarat telah terpenuhi, kecuali pada temperatur yang sangat tinggi. Sebagai contoh untuk oksigen nilai adalah sekitar 11,000 K dan ini adalah salah satu nilai terendah untuk molekul diatomik. Jadi gas yang mengandung molekul oksigen, tidak ada sumbangan yang berarti terhadap energi total dan panas jenis dari tingkatan energi elektronik sampai temperatur dinaikkan di atas 2000 K. Dalam kasus ini kontribusi energi elektronik pada fungsi partisi adalah perkalian faktor (dengan pendekatan).
Kontribusi spin inti pada pada fungsi partisi secara umum muncul dari degenerasi keadaan spin inti. Jika total spin yang dikontribusi oleh dua molekul memiliki bilangan kuantum maka keadaan spinnya ada (2I+1) kali lipat degerasinya. Fungsi partisi dapat diganti dengan suku keadaan dasar .
Fungsi partisi yang lengkap dengan memasukkan degenerasi elektronik dan spin adalah
Nampak bahwa fungsi partisi ini tetap tak memberikan kontribusi pada energi maupun pada panas jenis.
170
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
171
Bab II. Statistik Maxwell-Boltzmann
172
top related