ﻢــــْ ﻬُﺟَﺮََﻓ ﻞــــْ ﺠﱢَﻋ و َﺪــــٍ...
Post on 16-Sep-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
�������
��� ������
��������� ���
ــــل فرجهــــم ــــد و عج ــــد و آل محم اللهــــم صـــــل علــــی محم
�������������
��������������� ��������������������������������
��������� !�"#�$��"�%&��� ISBN: 978 � 964 � 05 � 2780 � 1�
'(�)*�+������������������ ���� �������������������������',-����-�-��������������� !"� �#� $��%�����'./012���3��4�5����������6���-�!& ������ ���'(����������)�*�+,-./�!0��'./012���5����������,4��7 �8��9�� !12 �34�5��%$," �6178'9� �3%���!: !" �!;� �3����5 ��8<� �3#=' 5!�5 ��>( �3�!,�5 �����8,'7
�3�8;��5!<��!,��3�9-�;�8?,������8'9��3� �9����,�5!"5�3�'��������8'9��3�',7��5!���3�� 5���������� !"��5�����@(5����8'9��A��(� ��!=���'��B�!��C�3D'7��E"�B��!*5
�3�B5!(���!F�!0��>(8'9��3�9-�;�8?,������8'9��3� �9����,�5!"5�3��!*582�G,<��3�H-�B���8,7���������5!� ���!IJ:!,��!F*5��8?,������+,-./�4 !K���@(5��� �H,'*��,�� �� �)�LB��>(
�'5�9��5����,4���6���-�������5��M��/� �!N �!"�O��& � ?E*�4�5�5'5����,4���,4��7 �8��9��P5!C� �8 � ��FH� �� ���!=� �!�8�� ��!I; ��5: �� ��Q�R � ��=0 ���5 �!�8�� ��=,�5 ����8'75
�6,� �3�8='/��J��S �������������"�� !,0�%�,1,T���'C�0���5����9I;���/!L ���!�����U,05!K������4�������5�����"���,2�8,�� � ���5!,���N<"�D=���38=':�5���!0�3D� ���LJ�
'������3��:����� �8,<�� �S� !� � �S��� �V ����'� �%�'2�� �� ��-�'� �!<N 5!�5 �%�"�,2 �W%5!</��XYVZVZ[X\�W�1��8*�3YY[]\�^ �W��_ � ��3YYY[��^��\�W6I>/
www.irtextbook.ir� �www.chap.sch.ir�W4�_" '�����^��%�"�,2���`!*�aLb�����:��Z�!�>,*�W%5!</�%5!�5����������)�*�!N �Q�R�D*!�
[ZX�X����[\�W�1��c 8=;�3VV\YX�^]�W��_ � ��3VV\YX�^�����X�W6I>/��#b� �5��
�'���;��<da�2����<�e�%5!�5����������)�*�!N � �Q�R�D*!�'=�<�6�������:)� �>���[\Y����Q�R
��*�-/�?��+���@�� -���7�>AB)� ����4C��+�D2���EF/����3G9��7�H7�I� -J�� ��KL0�&��M-N�� �6OPI�Q-/��N��6*A����� ����R� ���-SE-�����3T�U, V� W�� XY ZW-US[��9/DJ�+�
�3����5���������������������������\O])�(�)*�^� �59]���5 Z4��_B �8/O*���a�������5 �C ���(�)*�^� �� �,4�P)� ���b�����6� ��������������� ���QH�-N2�Qc/;O2�QY�N)S �Q���D��Q5��d�5���,�G�����4��e � ���3?/���)?0 ���3��<��d�fR*���-��Qg����H?���������/h?2���FO/7�8/i2�Q3��B��Q5� 4���j?@�Q�DC�2
f-��/b�3�� �S�3���S�4�G/��6L2���PO;)���6� �g9D�������^� ��
!��"#$
����������� ���������������� ���������� �����������
��� ����������������� ����� ������������������ � ����!"����#$��������"%&�#$���������%����
������������������
�'� ���� �(� �)�*������������+�� �,���� ��-.����$�/������������
0�� �� �1�2����3������%�����
�������� ��������04� ����%��5�%6��7���8*������"��9:�����������
;<� �="���="�������������="�>���������������';� ����%��(���(*?����@A������%����
�������� !��������
<�� �"��7�(*�&�B7��6��(� �C�������������<<� ����2�2��(� �D?E6�F������@!��G���������������
44� ����2�2�����%������%����
"���#$%&�'(���%�#)���*+ �������� '� �>:�(� ��&H"�����"�@6����������������
�I;� �>:�(� ��&H"�����@/"��J�������������������;� ��@/"��J�����"�@6����%��(� �*���K���� ���%@6�����%����
��"��'$�+�,����-���.������I� �(�C�(� ��"�*L�������������4� ����%���C�?��������������
�+<� ��J/%�M�����%����
�����/�#$-*���&�!0���1�����00� �NO/E��(� ���3�M����P*9���@/C������������
�;+� ��Q�R%�����:�����������
�B�9�S��T��U%/�������B�����V�"��(� �W�/K�*��X�� ������������������� ���6*��(�/������*V�C�W�/K�/L*&���*.�F"*@�����YK������K�ZD����L������%�������*��W�/K���/8��Z��?.�(� �"�M���6�@ �[D��F"�������K����) �*L��V�"���"���)� �Q�� �\������(*�&��"�(�*���"� �D��.%��]� �D����L^�>����F"��7��[D��D"�� ����"�@� ���(�*��)_���3O6�>����F"�����) �)����/?���[D���>�7%�:� 6���(���DK��3���a�/E��*������ZD��B�9��C�*P�G%/��bU�>�7%�:� 6���(�*��W�/K�K�F"�����%�����[�����B�_A���� �D����L���K����[������%���)���� ��������_6:�(7��B����"���� �D����L�(7����c�>�!���ZS�/d��G"�*9�F/L*&�*e6������%���/���F�@ ����[D��f7%�:���"�*L��������W�/K�>������*.��%���Z>�Q�g��������KT����C�* �)� �Q��S3K�(�*��7%�:� 6�������h��>������%&��DQ&���1���(�-L���h"���������YK����� �D����L���h6�
[�%9�����R%��(����%P���(� �>%�7:��"�?6 �F��i@ �[���" �j�k/8������W�/K�l�� ��7��m��8��2C�?�� �� ��"�?6 ������YK�>��7�bU�K�D������W�/K�F"��!���Z�6%9��.��������YK����)� �Q��f7%�:�(��?������7��m��8�S�/d��D"�A��W�/K�����"� 7*�����C�Z�%_Q��="��B���������%��7��(���E�����[��K����nd3������ �>%�7:�=?���� �D"������F"��D"�A��[�%9��%���@��(� �>%�7:���� �����97������5%V%��F"��� ��"�� �K�D��B�9�� �����>�36�W�/K��6���[�9�� �%8�>:�(�%/�����W�/K���/L�"�j�k/8��>��7�F���o����`"�aL��o�%�����A%V%��6����9���W�/K�l�� �����*���"�������97����.������[�9���f7%�:�D��8�����"�������97���K
[�6��B�9�\�����/��#�%R���� ����F"��7��`�M�p�6��C��K����q%V����K�ZB*�7����&�67����`6���F"��(� �*���K���>%��*�M�G������(������#��V�"��F���r�?����[� �����>�36�����(� �W�/K��������%8��h"����#�%R���ZD��/L*&���*.���KT����%���/��$����������>�@�����%����%��D�������K�D��B� �3��N��.�a�6�W�/K�*"��k�����r�?����F"��(��*.*��(�*��fY�
[�*�&���*.�a"aA�>�7%�:� 6��
��%������&'�
�Z� �)/"�%J���Z� ��%�*L�7���P�*L���B��Q/��*J"��Z)�6�����V�"��*!Q��f��*M�����V�"��f7%�:�l� �F"*��)_��*&��(�������V�"��f7%�: ����� �J"���Z�_6: ��*!�@A��"�*s����J6%Js�7� �� �&: �>��� �� �%/�����A�%.���6����"� ��"�*L�[����D��7���&������"�?6���������YK����7%�:�� 6����%-C�DR*L�[D9���� �%d6�>�@/Q&���6�&��s�(� ��"�@67���Zt�M�7���N\�E��*�e6����A%V%�����uE��q*P�Z�uE��NC�Z)�@���Z�$�/�
[�����>�7%�:� 6����V�"��*!Q��f��*M�����@_��`O6��V�"��ZvN�@"�w����J6����M�ZS��T��*/L���V�"��B�*&�B�J���Z�h���?/A�� �6����*�e6��%�%��#�6�!��� ���K�7��>�Q�g��(�*� ��*/� ��� �(� �6�� �*J"� �� �W�/K ���*� �� ��O6 �#�E����� ��%-C�(�*� �W x*h� �>�*��� �7� �#%A��(� �,!A���*"��k��7��(��B��M�[�6��/L*&�B*_���%3K�*�*��*/���>�*����#�*e6���� �O6�Z� �B�&�"��DL�"����7$�[�6��B�*K�������V�"��B�*&����%3K�S�/d��(� �>�/���V�"��>�*����a�6����W�/K����B��Q/����%��(���DK��3�����%-C���S��T��)���(�-A��[�%9��6����.���*!3��B�*@ �>�a"aA����@��#�@C7�7��D��*yg��r�?������N�����F"��� �9�>��i@ �K������[���K������d/L��W�/K���*�����O6�*��������@����>���!@ �vN�@"�w����J6����M�z"*P�7�������������>���!@ ����@��(� �B�&�"����#�*e6�DL�"����&���:�S��T��B�*&�[)�9���7��W�/K��6�?�/3M���r%�*��o��U��7��(���E��B�YA���[�������V�"��f7%�:����%��Zz�O����C���B�J����
[D��DL�"���N��.��V�"���C���B�J���z"*P2�3(4!
����{|}~�����{|��[��{����~}}����{|}~����}[}|���[��~[��
������������ ��� �
������ ���
�����������������������������
�������������������� !�������
�����
���� �
���� �
����� �
��������%��=@K������� ����*M�7���8*��DK*C�*�E��>%��*�M �G�������D.���� �[����`"�@6 �>�%����������G?�*�����������%�����K������������"� �B�"�M�Z�%8
[��9��
��������������� ����������������������
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
�
����������
�NC���3O/OL2�8�-9��� %�Hk7k7Hk7%�Hk7�%�Hk-9��� % H�-9��� %8�-9���L2�8�-9�/OL2�8�-3O/OL2�8���3O/OL2C���3O/OL�NC���3O�NC���3�NC
������ ���
���� ��
"#��������$%�����&��'����� ����U��F"�*�����[��%8����)3s���� *�X/��F����U8� �U����Z>�_��(� �B�"�M�7��(���E�������9: ����7 �F"� ��� ��?��U� ��� �N?. �(� ��� ��� �[��K��� ����M �(��BH"� �D�@ � ��U8�(� �����
[)� �������*.����U����%��ZB����F"��������(*J"��#�!6�����F"�����[)"�9
���� �� ��
�F"�*��������K�����%?A�G8�="��_���Za"�@/�� �UO6����* �7��K��"��>�%�����(�%_9��%P��� �[���:�D�������>:� �������>�%/���"���G8�="�7��UO6�[[[[�#�k/d��F/9������vS��
�������>:����%@6�ZG8�7��UO6�[[[[�>�*K�nd3�����>�%�����G8�="� �������F/9������vW[�*K�)��#�k/d��B�J/�
����K�)��ZB�9�nd3��#�k/d��B�J/��������*"7�#$��������r%U8����%@6� �
S��w��L��y ��x ��� �
Ww L��y ��x �+�� �
�w������L+�y ����� �
#w L0�x � ��� �
�w� L;�x ���y ��� �
[��E"%������N!9�(���B�9�B����`"�@6�(� �G8�7��="* � ������� +��[[[[��"���������(�%@A��"�������D?E6����D��*��*��G8�="�o�9�K�)�6������vS��� 0
�����D��*��*��B���A��%P�) �*�c� �UO6����7�����&�G8�o�9�*J"��#��?A�� =
−ABB A
mx x
[��9���*��*��[[[[[[�(�����K�D��>:�G8����>�%��(7�%��r*9�vW
���x ���y
[[[[[[[
-2 -1 1 2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-5
-4
x
y
L1
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
43x
y
�>,>9/���8=��� ��>� �Y�4
�
�L�G8�[[[[[[[[[[[[[[�Zh�B�&�>:�Z��K��U.�h��*A����(��UO6�������� y���%���L�G8�B�&* �K�)"����*P�8���)_6� �"�M�7��vS��� ;[�%9����B����6
��6��(7�%��) ����G8�������K���g�F"�����[��E"%������B�9�*K��G8���M�7��="* ���?��7���*A���o�9�Z����g����vW
[�����y ���[[[[[[[�#�%R���(��������h���?��7���*A���m�o�9����G8�vS��� '�)��K����?�������G8�o�9���/���Z��K�F"��(�*��[)�E"%������B (+��)���A(I�<)� �UO6����7�����&�ZL�G8� �������)� �%8����vW
G8�o�9� − −= = = −− −1 7
23 0
B A
B A
y ym
x x
G8���������y ������x���hD���.���L�G8�(���B (+��)�������(�)�h�������h����,M�[D��h ����G8�F"����?��7���*A�K�)"%9�����%/��?����>����Z)��K�D.��L�G8�7��A(������� �UO6�#�k/d����*&��/?��
L�G8� ��������y � ��x����[�9���(7�%��y �+x �0�G8����K�(�%P������E"%������P (����)� �UO6�7��B�6��&�G8� �������v�
�G8����F"��(� �o�9���[)"��B�*K�)��) �*���%@A��������L�G8���� ��)��K�����%�
�P���A�r�O6�7�����&�L�G8�o�9�� − − −= = =
− −P A
P A
y ym
x x3 4 1
2 0 2
P���B�r�O6�7�����&���G8�o�9��m'����[[[[[[
( )−′ = 12
mm �([[[[[)���[[[[[��)"��:����D�������G8����(� �o�9�W*V�NR�C� �[�6*J"�!"� ��%!��� ��"*.�Z� �o�9�K�)�������
���A�*��*��T�G8�o�9�,M��D��[[[[[���G8����p�@/C�G8�F"��Z)"*�J��*e6�������L�*���%@A�T�N2��(*J"��B�%d���G8�*&��� +�D��C����o�U��F"��[�%��� �%8�L�G8�o�9�[[[[[� ��"*.�*��*��L�*���%@A� �G8�* �o�9�DQ&�>�%�����F"�*�����[�%��� �%8�[[[[[[[
���"���D��D�����K
[D����%c�2�L� ��-.�=@K����_6:�7���!"�K�������%���o�U��F"��(�*���Q�/d��#�?y��(� �B������
�������
�W*V�NR�C �B�&* �Z�6�%@A �) �*� �#�k/d� �(� �%�� ��� �(7�%� �*�c � �G8 ����B�J6:�Z�9���m'���m�G8����(� �o�9�*&�����"���9���(��)�*��*���_6:�(� �o�9�Z���K* �o�9�*J"��#��?A���[mm'��������K�D��>:��_6:�>�%���%@A�r*9
[�9���(*J"��o�9��%!��� ��"*.
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
�
�D?E6�G8����K����K�nd3�����"��:�D�������B�9�B����G8����o�9�D@E.�* ����� �v��%@A�*�c� ��P�O/���"��%@A�Z(7�%�w�[�6������V��s�) ��
S��w��L�y ���;x ������������������������������T� −= +y x1
35
� �Ww L� = +y x
17
2�������������������������T�x ��y ���� �
�w������L��x �+y ��+�I����������������������T�+x ��y �I� �#w� L�x �����������������������������������������T�y ���+� ��w������L�y �+x ������������������������������T�x �+y ��� �
�������y ���mx ����;� ���������;���?��7���*A����T�G8����y �+x ��� ���������L�G8� �[�"*�J��*e6
[�9���(7�%��L�G8����T�G8�K��������(�%P����Zm�vS����6�%@A�*J"�!"�*��G8����Z�m�7��(���O��s�(�7����vW
�� �A(;��) �K �(�%P �� �ZD� ��.�� �#�k/d� � ��QR ���� � ��C�6 ��� �ABCD ���*� � +[��/E �>:����h���������B(�I�0)
[��E"%������AB���V�o�9�vS��
[��E"%��������V�F"�� ������������K�W�EC����AD���V�o�9�vW
[����������D�����#�k/d��ZD����*���%�����C (<� )� �UO6�)�6����*&��v�
[���K�)��N��K��%P��������*��v#
()*+������,�-�
���� �� ��
�#�k/d��B�J/��F"�����F���(��U����s�[D��;�*��*��ZD��AB�G8�B��M��%P�*��*��K�B���A� �UO6���� ��R�L�vS��
�������%���xB���xA������A�F"�[���K�>�����_6:��*A�oEC*�����D���C� �UO6���� ��R�L�vW
�������3
4
43 5 6 7 8x
y
-1 0 1 2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
A( , )2 0 B( , )7 0
D( , )0 3
C( , )0 -6
3
4
43 5 6 7 8 9 10 11x
y
-1 0 1 2
5
6
7
8
9
-1
1
2
A( , )5 1
C( , )7 9
B( , )10 4
56�789���:�#�*�;<*=�>�!*� ?��� @A�<�B��
�>,>9/���8=��� ��>� �Y�4
����D���C� �UO6���� ��R�L����_6:��%P�oEC*�����B���A�r�O6� ��R�L�ZN��O��N!9����v�[�"��:�D�����_6:��*A�oEC*�
AB��CD��
�DQ&�>�%�������K�D��C���
[�"��:�D����`K�G8�������B���A� �UO6���� ��R�L�N��O��N!9���� �
�s�7����K�F"��(�*��[�"��:�D�������AB�G8�B��M��%P�Z`K�G8�7��B��Q/��>���� �����K����B��Q/��(��U���
AB �|xA �xB|�B�&�>:�Z��9����QR�����*A�) � �UO6����B���A�*&�����CD �|yC ���yD|�B�&�>:�Z��9����QR�����%P�) � �UO6����D���C�*&�����
�������
��N��O��N!9���� �[��E"%������H� �UO6�#�k/d��vS��
[��E"%���N!9�(��������K�nd3�����BH���AH�(� �G8�B��M��%P�vW[�"��:�D������%c�2�L� ��-.�=@K������AB��%P�v�
�DQ&�>�%�����N?.�D����L����%����
. ( ) ( )= − + −2 2A B A BAB x x y y ����D��*��*��B(xB�yB)���A(xA�yA)� �UO6���� ��R�L
x
y
yC
xA xB
yD DD( ,y )0
CC( ,y )0
AA( x , )0 BB( x , )0
3
4
3 4x
y
0 1 2
5
6
1
2A( , )1 2
B( , )4 6
x
y
y
x x
y
A(x ,y )AA
A
A
B(x ,y )BB
B
B
H( ... , ...)
............BH �
...........AH �
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
¡
�#�k/d��B�J/��(�������_6:����"*�J��*e6�������C (���+)���B (;�0)Z�A(��I)�r�O6�� �[���K�nd3�
[�"��:�D����>:�5YV���%P� �?����������ABC�1�2��G����vS��
( ) ( ) ( ) ( )= − + − = − + − = + =A B A BAB x x y y2 2 2 22 5 0 4 9 16 5
AC����[[[[�� BC����[[[[
�G����P �[[[[
�D���2�2��5%6�s�ABC�vW[���K�W�EC����>:�DC�E��,¢�[D��"��a���)\�.�1�2��="�ABC��� ��>�36�f��������v�
�(���l��k�� �UO6�#�k/d��K�D��B����£���L��k��Z�%3K�(� �B����7���!"����� ��l��k��N�����K��"�% �������(� �B�J"�M�[D��P (;I�+I) �#�%R���������aK*�� �3O6���aA��(�*� ����B�J"�M ����K��@9�[�6���.���B (4I� I) �� �A (�I���I) �r�O6 ����Z�6��="�a6
[v��/E �*/�%��K�oEC*�����A�w�����K������_�3�M�y��C�N����������� ��*J���
[���K�?�������#�k/d����?�����N (�'����4)� �UO6� ��R�L�vS���� �[�"��:�D�������#�k/d����?�����E (xE ��yE )� �UO6� ��R�L�vW
���� �� ��
"#�.��/�" ���)*+���012��
�#�k/d��B�J/��F"�����nd3��N!9�(���>:�#�k/d��B�*@ ������M����������M����AB�G8�B��M�G�� �UO6�vS��
[���K�nd3��N!9�(���>:�#�k/d��B�*@ ������N����������N����CD�G8�B��M�G�� �UO6�vW
[���K
�������
-2 -1 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
3 4 5
5
y
x
3
4
43 5 6 7 8x
y
-1 0 1 2-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
-7
-8
9
1 0 9 0
0 3
�70
�>,>9/���8=��� ��>� �Y�4
�
�Z�9���AB�G��M�*&��[��/E �� x��%���(���B�%d��� �UO6����B���A�ZN!9�z��U��v�[�"��:�D�������M� �UO6��%P
AB�G��M�� AM ��MB ������������������������xM ��xA���[[[[[[[ �
���������������xM ��[[[[[[[��� A BM
x xx
�� �
�Z�9���CD�G��N�*&��[��/E �� y��%���(���B�%d��� �UO6����D���C�ZN��O��N!9����v#[����������N� �UO6��*A
CD�G��N�� [[[[[[[[[[[[[[[[[�������������������� Ny�������
�2 �
��%�����B�J6:�ZAB�G�� �UO6�M�����9���#�k/d�� ��QR����B�%d��� �UO6����B���A�*&��v������>�36�>�%�����N��O��N!9��
�[ ( , )� ��� ��A B A Bx x y y
M2 2
7��D��#��?A�AB�G8�B��M�G�� �UO6�#�k/d�
�B�J/��������>:����"*�J��*e6�������C (<���)���B (+��)Z�A(�� )�(� ��������1�2�� �[���K�nd3��N��O��#�k/d�
[���K�nd3�����BC���V�G�� �UO6�ZM�#�k/d��vS��[���K�?�������AM� �6�����%P�vW
[�"��:�D��������������*.�>:�(���AM� �6����K��U8� �������v�
�#�k/d��[D��B(<���)���A� �UO6����F���NR���G8�B��M�G��N (;��0)� �UO6�vS���� �[����������A� �UO6
[�"��:�D�������M(���0)� �UO6���D?E6�C (���)� �UO6� ��"*.�vW[�"��:�D�������#�k/d����?����D?E6�P (�����)� �UO6� ��"*.�v�
���� �� ��
x
y
yB
xA xB
yA
M(... , ... )M
....y ....�
M....
x ....�
B BB(x ,y )
A AA(x ,y )
[[[[[
[[[[
3 4 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1 1 2
-1
0 5x
y
x
y
xA
M
xB
AA( x , )0 BB( x , )0
x
y
yC
y
N
D DD( ,y )0
CC( ,y )0
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
¤
�N��O�����%@6�z?P��+ ;�����+4;����7��(���%��=s%K�B�&��K�="� �6$���%�� ���� ��t�M�*"7�#$�g���ZG8�B��M�G�� �UO6� �U����=@K���[D��/9���(�%�R�*�
�D��B�%����Os�*e6���%�� � �����DK*9�F"�� �6$���%�F�J6����vS���D��B�%��*��*�����B���%�F�J6����F"�����Z6$���%����O��Z������K����vW
����������������e/6��Z���"�`"�aL���6���F�@ ����B��":� � ��="��%P����6$���%�*&��v���9�����Os�DK*9�6$���%��0I;
"#�3��()*+���,�-��)� �%8�����h�"�����[�%9����)��L�*���%@A�A�7��K��U8�B��M��%P����D��*��*��L�G8����A� �UO6� ��R�L�Z�9���L�G8�m��8�(��UO6�A�*&�
[)��K�?��������R�L�F"��L�G8����������A� �UO6�#�k/d��F/9�����[�"��:�D����0x ��+y ��4� ���������L�G8�7�����A(<�;)� �UO6� ��R�L�C/� !
�� �%8� 34�o�9�(�����>:�*���%@A� �G8�* �,M�ZD�� −4
3�*��*��L�G8�o�9�>%s�C�-
[)�E"%6�������L�*���%@A���A�7��B�6��&���G8� �������[�%�:Δ = +3
4y x h �
D����(���A(<�;)� ( ) −= + ⇒ =3 15 7
4 4h h
��������� := − ⇒ Δ − =3 13 4 1
4 4y x x y
�NC�7��Z)"*�J��*e6�����U8�#$�����B�J/��="�#�%R����������L�G8���� �������*&�[�":����D����G8������%8*��N���ZP� �UO6�#�k/d��>:
:, ( , )
:+ =⎧
⇒ = = ⇒ ⎨Δ − =⎩
4 3 183 2 3 2
3 4 1
L x yx y P
x y�
[D���uE��W�%��AP�G8�B��M��%P( ) ( ) ( ) ( )= − + − = − + − = + =A P A PAP x x y y2 2 2 27 3 5 2 16 9 5 �
���*K�D��y�>�%�������K�D��C������2��F"��NC�NC�*��(*�&��K�����
�)"��:����D����0x �+y ��4�I� ���������G8�7�����A(<�;)� ��R�L����"��)��K����NC�U����F"��=@K������N?.���2����C| ( ) ( ) | | |
d+ −= = =
+2 2
4 7 3 5 18 255
54 3 �[�9����@6�*e6���%��Z�YK�����%�*L�F"��#�?y��\�������
����D��*��*��ax�by �c �I� ���������G8�7��A(xI�yI)� �UO6� ��R�L| |+ +=
+
ax by cd
a b
0 0
2 2
2�!+ �
2+��!
�DE-
����<+�
/��1385
57
103
1395
3
4
43 5 6 7x
y
-1 0 1 2
5
6
7
8
-1
1
2
A( , )7 5
L
dP
�>,>9/���8=��� ��>� �Y�4
¥
��"��:�D����*"7�(� ����������r%U8�7��="�* �7�����P�(<����0)� �UO6� ��R�L� �S��w L��x ���y �;� �Ww T�x���������������;� ��w��y �I�
�[����������B*"���5��9�[D����@��W (����)�aK*����(��B*"���*��L �+x �0y �I�G8� �[vD���%@A���@�� �UO6�7��B�6��&�5��9�*��B*"���*����@��G8���"�@� ��w
���� �� ��
r = ?
L( , )W �2 1
����
����K�nd3��) ���D?E6����*"7�r%U8�7��DQ��* �D��V�� �L��x �y �� �T�y ��x �+ ��x ��y �I�7�����#�k/d����?�� ��R�L�[�"*�J��*e6�������B�(�I�����+)���A�(�0���+)� �UO6���� �
[�"��:�D����AB�G8�B��M�G�� �F�.�E���(��E/��1�2��="�C�(0����)���B�(����;)�،A�(�����)�(� ��������1�2���� ��>�36� �
[D��"��a���)\�.[��/E �B�('���0)���A�(������)�r�O6�(��B*"���(� *U.�7���!"�(�_/6����� �
[����������B*"���aK*��#�k/d����5��9��B7��6��vS����*s���������*.�B*"���F"��G����(���*��C�(<���+)� �UO6��":�vW
�[��/E �ABCD�N�U/E��7�������C�(������)���B�(�����I)�،A�(����+)�r�O6� ;�Sk���� *U.�ZN�U/E��* ����K�o�U��F"��F/E6�����w�[����������>:����_s�����#�k/d�
�v����K�\�����uE��(�*��(*��B��%K�NC�B�����6�%������":�Z�6*J"�!"�)!�� �F��7 ��� �UO6 ���_s �� ��"� �N��K �G%� �N!9 �z��U� �Z¦�a� �)s*M � ���� �=" � '�N��O�� �UO6� ��R�L����D��*��*������(�M����UO6���_s�7��="�* � ��R�L�K�(�%P����D��B�9
[�"��:�D�������D� �UO6�#�k/d��[����(�M����>:��%\��7���!"�A�(+���I)�*&��[D���.���L �y���x����G8�*�����*��5YV��7���!"� <
[�"��:�D�������>:�DC�E��Z�9�����*��F"�������Ix ���0y ����I�I���;x ���y ���4�I�#$��������G8������ ��>�36�vS��� �4
[�6��(7�%��*J"�!"�r%U8�7���!"�(���B�%d��� �UO6�="���"�@� ��w[���K�?�������G8����F"�� ��R�L�vW
[v�"��:�D����*J"��G8�7�����>:� ��R�L����"*�J��*e6����
d = ?
L
L
( , )C � �1 1
( , )A � �3 1 ( , )BM 5 3
D
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
��
����@9� �����+4����C�>:��"��L�*X���*A����.*9� �����0'�p�?"*O��a"*?���"��L�*X���%P� �>�36�(0'���+4)�#�%R���ZRY8��%P������*_9�F"��D��.%��)�6�%�����Z�/C���(�*��[D���!"a�L�DL�E��!�"���*L����[D��('�����;)�#�%R�����_��s��B������#�AYP��F"��[)� ��*/�%��K���I�*��*���"��L�*X���*A�����* ��!"a�L�DL�E����6�@ ��"��L�*X���%P�����*
[*_9����F"���?"*O�� ��R�L� �?����D��W%�U��Z�9��
F%�� �&���6�G=+!
�� �/+H ��I�*& ��� �2+�J����� ��%0�;�'$�< ��� �%���*�K� �L�:�&< �M�%*�;<�J ��N� ����$O!�>*�J�P���Q!����$O!�;�'$�<�%���*�K� �/+H ���R) �&+�!�� �/+H ��� ���+ ��� �MA�*���!�P&�S��T�%���*�K��L�:��UQ)�V�&�*&��SW�X%*��%�Q
Y���J�ZOU!
���:���M"�/� �� ���:����-��J��� ��+�4�Y�4
��
(������$4�&�����51���5��6����a�6�(*J"��#$�����K�D��>:�#$�����F"��D� x@ ��N"$��7���!"�[)�/8%�:������� �������NC�(�*������Q�/d��(� �f���Z) �� �"�M����f�������h�"�����[D��/L�"�j�k/8���_6:����%�����K�§�&����"%&�#$�������6�����6���������� ���������N"�?��N��.�K��6�����%��
[D��������5�%6��NC�(�*����:��K��B%�9�="�K�)"%9������9:�� �������7��� xR�8� �/��NC�(�*��*�X/��*��X�x����x���¥�� ��[���K�NC����N��O�� ��������/� !�#��?A�(���������K�F�"��(�*���[�*K�NC����� �����������f��������>:�>�%�����ZD���� �����5%6�7��������F"��!6:��%��������-
[)�"%&����*�X/��*��X����K�F"����[)� �������*.�u�N2��(�"���v�%_h�w�*�X/���Zx�x���u���u����u �¥��
�)��K����NC�"ah��f�����F��i@ �����K�f��������������F"�
v"ah��f��w(u ��)(u �¥)��
� ��� � � �� �� �� �
�� � � � �� ����
2
2
11 1
1
39 9
3
xu x
x
xu x
x
v��K�f��wb ac � �� V
����������(���)���(�)(¥����¡�
( )� � �� �bu
a�] ^V
� � �x
u xx
xu x
x
� ��� � � � �� �� �
�� � � � � ����
2
2
11 1
1
39 9
3
[���K�NC����*"7�(� ������S��w��x���x�����������������������������������������������������Ww�x�������x�������������
��(�����������&���(7���8�9�$,�4���: %;��
�NC�>����#�%R�F"�����K������D�@ ��� �3"��W*V�NR�C���5%@h���_���Z�� ����� �������="�(� �3"��z�.�����O��(������ �&
���� �� ��
���:���M"�/� �� ���:����-��J�� ��+�4�Y�4������:���:����:���M":���M"�/���M"�/� ��M"�/� �� �/� �� ���� ���:� ���:����:����-�:����-��J���-��J��-��J� � +� ��+���+�4�Y+�4�Y4�Y�4Y�4�4
��(���������������(����������
���� �
��
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
�����*&�����"���)� �����`"�@6�P��������_6:�W*V�NR�C�� S�������3"�����5%@h��p$%@���[���:�D�������*"��O��F"��>�%��������������P�������S����9���������(� �3"���
(�)�ax�� bx��� c��������(a���)���������������������������������������������������������D��N��O��#�%R�����K�D��C�������� ����� �������K�)�6�������� � � � � �
[�*K�*e6���_¨��>:��O�OC�(� �W�%�����������%����B������������F"��NC�>����>�%�����6%Js�K�)��K���*��)� �%8���� ��DQ&�>�%�����s��D�YA��B������Z��9�?6�D�YA�) �c���a�o"�*V�*&��������F"�����vS��[D��a"�@/���O�OC� �3"��[[[[[[�(�����(�)� �������B�J6:�Z��9�?6�D�YA�) �c���a�*&��vW
�x���� x�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)"*�&����*e6�������N��O�� ������� �[D��a"�@/���O�OC� �3"�����(�����������F"���*s�K��� ��b�V%��vS��
�)��K����NC����������Z��g�F"����t�M�(�*���������%���(��U����(S��)�� �3"��5%@h����������o"�*V�F����":�vW�����b���ac���[[[[[[
− + Δα = =�b
a�[[[[[[
− − Δβ = =�b
a �[[[[[[
S ���������©©©©©©���©©©©©©���[[[[[[
[ = −bSa��K��%9����eCY�
�)��K������*��) �*"7� �������������ª%L�h�/6��/���v�{( ) α=− = ⇒ − = ⇒ β=
�[ Z ] [ Z ]x x x x
S �������������[[[[[[���[[[[[[�� Z[ ���� b
a
�a"�@/���O�OC� �3"�����������,M�[�9���D?2������O��Z(�)� �������(�*��)��K��*L�[)��K����D��y���K�D��C�������$��� �h�/6��/���v#������������N2�
+
⎫− + Δα = ⎪⎪ − + Δ⇒ = α β = + =⎬⎪β=⎪⎭
ba bS
a�
��[[[[[[
. cPa
= α β = �����K�D��y�ZN?.�D@E.�#�V�*Q�����v�. b
Pa
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + Δ= α β = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠2
[[[[[
[D��W*V�NR�C�(�������«���¬�}�����l*C�«���5%@h��(�������¬{�����l*C�����
������
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
[[[[[[[[
[[[[[[[[[[
[[[[[[[[[[[[
���:���M"�/� �� ���:����-��J��� ��+�4�Y�4
��
[�"��:�D�������� �3"��W*V�NR�C���5%@h���Z������NC�>������x��x�� ��� ���������
P���S�3��.��<1 �������(����(������$�7���� �%8�������������F"��Z���%���8*�����[)��K�NC����������>:�,¢���)�E"%���(��������>:�(�*��D���7$�Z�uE��="�NC�(�*��� �&���K�F"��(�*��[��9���������(� �3"����A����>:�K�)"7�E����������� �������Z��A����W*V�NR�C���5%@h�����)� �%8����pY2��[�%�
�D9%6�*"7�N!9���>�%��������*e6���%�� �������[��9���������Zv������(� �3"�w���A����>:�)��K�����*L(x ����)(x ��)��������������������������������������x��(���)x����������������������������������������������x��Sx�P ��
�K�)"����>�36�F"�*����
���� �� ��
�B�J6:�Z��9�� ax��bx��� c�������(a���)�� �������(� �3"��������*&�� �� � � � bS
a����
�.� � � �
cP
a
�P �>: �(� �3"� �W*V�NR�C���S �>: �(� �3"� �5%@h��K ������ ����� �������D9%6 x��Sx�P���#�%R���>�%���������9��
[�9������>�3�*V�NR�C������ ��_6:�5%@h��K���������O�OC���A���� �
[���K�nd3�����>:��*A����%P�ZD��D?2��W�%��*&���������%���¡cm��DC�E������cm�G����������U/E���":� ��)"����Z)���������������N�U/E��������*&���NC
G����������(���)������������������ ��������
� ��DC�E����¡�������������¡����( ��
� ���)���¡
[�"��:�D�������������>:�NC�7�������K�B������$��� �������vS��
[���K�NC�����uE��F"��Z�������� �������="�N�!3����P���S�7��B��Q/�����vW
[��9��� �[ X�
��� �[ X� �>:�(� �3"��K���E"%�������� ����� �������� �
���� �� ��
�
�
�DQ&�>�%�����D����L�F"�����%����
��
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
��������������=%�����=%�>?���
������%P�K�)�6������/9�&����7��[)"*�&����*e6�������y��ax��bx��c�� �U��V�����@_�[D�� bx
a� � � ��@_�F"�
����O��v)@����w�F"*/@K� bxa
� � ��(�7������D$���������@_� �6� ��B�J6:�Za�®��*&��vS��
[�":����D����*e6��%������ ����������v)@"aK��w�F"*/3��� bx
a� � �
�(�7������D��F�"�M�������@_� �6� ��B�J6:�Za�¯��*&��vW[�%9����NR�C�*e6��%������ �������������O�
�D��� ��%���#�%R������ �f �(x)��� ��x���x������� �U��V��� ����� �)@���� ��" �)@"aK�� ��/� ![�"��:
�)@"aK����@_�F"� ���D��F�"�M �������@_� �6� ��,M�ZD���Q���a������>%s���-�D��*��*��K�D9���� �%8�����%8����O��F"*/3��� bx
a� � ���
�(�7���������F"��[����[f�(�)�����
�)@"aK��� �UO6����@_�����(���)� �UO6���2��F"�����Z�%9����B�"��N!9����K�>��i@ �C�J[ �[D�������"�ZUO6�F"���*A�Z�@_�)@"aK������O��7���%e���D��C�F"�����[D��>:
�/L*&���*.�5YV$��(��E/��1�2��="�>:�($������K�D�����U/E��N!9���B*h�M�="��/� !����� ��%6�*2K��C�B*h�M�K��������(�%P����N�U/E��������Z�9����m�B*h�M�G����*&��[D�
[�9���/9���B*h�M�G�����������x ��y �����y ���� 3
2x �����������������)"����N!9����%�������-
�D���� sin� � � �S AB BC B1
2� �U����7��ABC�1�2��DC�E��K�)"�"��) ���YK���
�,M�v��*sw�[D�� x23
4�*��*��x ���V���5YV$��(��E/��1�2��DC�E��F"�*�����[�":���
B*h�M�DC�E���� .� � 234
S x y x
[)� �������*.�x �oEC�*�����>:�������y �(����
( )� � � � � �2 2 23 3 3 32 2
2 4 2 4S x x x x x x
�� �23 6
24
S x x
[�%9����NR�C� � � bxa��(�7����>:����O��F"*/3�����v��*sw�D��)@"aK���(����������F"�
/ ( )� � � �� �2 4
0 942 6 3 6 3
2
�bx m
a
( / ) / ( )� � � �3 3
2 2 0 94 0 592 2�y x m
-2 1 2 4
-1
0
1
2
3
4
-1 3
y
x
xx
y
x
���:���M"�/� �� ���:����-��J��� ��+�4�Y�4
�
����O��,¢�[�6����)@�����="����K���)@"aK���*"7�(� ��@_�7��="����K����K�F����� �[���K�nd3�����="�* �)@������"�)@"aK��
S��w�g�(x)�������x���)��� � �Ww�h����x)���x���x��¥ � �
���K�F"��(�*��[)��K���h"��N!9�N�U/E��(��P%���Z6�8����="����K����D����*.� �����/8��������B�*6�*/������ok6� ��"a ��_���*&��[�%9��3K�B�*6�P%��� ���V��D���7$[��*&�F!@�� ����O��F"*/3���>:�DC�E��K����K�F�����(�%P����N�U/E��������Z)�9���/9��
��(���������&���<,��)��K��*L���2��>�%�A���[D���@_�="�Z�������������* ����%@6�Z)�6������K�6%&�>�@ �[��K�#%9��I�m �s� ������DA*������F��7�bU���D?E6�0;I� �"��7��������M%���/E���?�%L����%@6�K�D�� −= +21
40y x x � �U��V����������������="�Z�%��F"��DK*C�*�E�� ������
�bU�7���%��5�Q����y���B�9��P��OL��DL�E��x�U����F"�����[D��N��O��N!9���6���>:[D��F��7
[�"��:�D��������%��5�Q����*2K��C�vS���D����Os��%��G%��B�9��P��OL��DL�E��*2K��C��@9�*e6���vW
[y �I�)� ����*.��"���Z)"��:�D�������� x��%�����������F"�����%@6���%8*��r�O6��%P�!6:�(�*�
( )=⎧−= ⇒ + = ⇒ ⎨ =⎩
010 1 0
4040
xy x x
x
��"�����s��!"a�L�*e6�7�����A��F"��K��� ��b�V%������ ��>�36����%@6�(������r�O6�F"�[�� ����
�#��?A����[D��f (�)�>�@ �Z� y��%������f �N2�������* ����%@6���%8*�� �UO6��*A�F��i@ ���%8*��N����B�� ��>�36�c�D��y���A�Z�f (xw�����ax��bx �c� �U��V������������������*J"�
[���K��%��N��O��N!9���Z��2��>�%�A���[D� y��%������>:����%@6
���� �� ��
x
xy
-2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
� � �x xf (x) 2 2 3
�K�)���6�������� �(� *QR����� x ��%����� �f ���6�� ����� �="����%@6 ���%8*� �r�O6����O��Zr�O6�F"�����Z*J"��#��?A���[��/E �f (x ������ �������(� �3"���.������
[D��*QR�*��*������
x
y
<�&����3��\*��]�W�P2=�*�/F6��)�]<�&
�¡
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
�[��� �n�d3��>�%���� � �D�YA�=@K�� ��� � y����ax��bx �c ���� ��������� �(� *QR������ �Z)�6����� �N?. ����7� �K �>��i@ � �[����K�N��K����*"7������[�%9����nd3��a�D�YA�(���7���@_� �6� ��>�%��F�\�M�������"�>�%��$��������F��i@
������������������
a
a����
a�����
����[)"*�J��=@K�P���S�D�YA�7��)�6�%������f (x )��������������@/C��(� �3"��D�YA�n�d3��(�*��Zf���������������B������ �[���K�N@A�S���D@E.���6���Z*"7����%��7��="*
S��w�y���x��¡x���� ��������������������������������������������������������������Ww�y��x���x���� ������������������������������������������������������^�¡�®�����������a"�@/���O�OC� �3"�����y�������� ������P��� ca ��� �®������6��D�YA�) �� �3"�S �� b� a ����¡�¯������6���Q���3"�����*
�w�y����x���x ��� �������������������������������������������������#w�y����x����x ��
�[D��B�36�)��� y��%��������F"��������
���� �� ��
x xx
[��E"%������N��O���@_� �������C/� !��U.�������(� ��%P�����P�O6��������OL���%���Z��������%@6�K��%9����B�"��N!9����%�����C�-
�D��*"7�#�%R���>:� �U��V�,M�[D��B�*Ky���a (x ��)(x ��) �
[)"��:����D�������a����O��Z���%@6����%����D���@_�(���(���)� �UO6�������a (���)(���)���a ���
�� ( )( )= − − ⇒ = − +22 1 2 2 6 4y x x y x x �������������������������1 20
4
x
y
xxx
���:���M"�/� �� ���:����-��J��� ��+�4�Y�4
��
�[)��K�nd3�����c�� b�Za�o"�*V�D�YA�Z>:�=@K���)�6�%���� �Z)�9���/9����� f���x)��ax��bx��c����(a���)����������%@6�B�&* �� +�)"*�&����*e6�������*"7��B�9�B�������%��A%@h��7��f���������%@6���2��>�%�A��
[D��D?2��a�,M���D$���������@_� �6� ����[D���Q���c�,M��D��B�*K��U.�� ��Q���D@E.�������� y��%���f���������%@6���
ba�2
�®�������b�¯��������������������������������������������������������������,M���6��D?2��x�*"��O��>:����K�/L*&���*.����_s���������@_��������h�/6����b�D�YA�>�%���Q���>�%�����) �o�U��F"��7����v��*sw�D��D?2��(��A�Z3"�����5%@h��Z���%@6����%����K�)"�����%�
[DL*&[���K�N��K���������[D��B��:�������������#�AYP��F"�� �RY8
��� _`%� f g h i j k l m n p q r
a A!a: b b c
b A!a: c b c
c A!a: c d c
F%�#$!�V����U%&�<*�e �< �< �3\
����U%&��%��U%&�A!a:7<+����&+\�&<9
3�!�N%A� !�N%
3�!�N%�3\�N%
�U%&�<&*�)
iy
x
jk l
m
y
x
y
x
y
x
y
x
r
y
x
n
p q
y
x
y
x
y
x
y
x
f
g h
y
x
y
x
�¤
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
����
7f(*9�������������������������������������������������������������������7g9�����������������������������������������������������������7h9
[���K�NC����*"7�(� ������� �S��w�x0���4x��4��I���������������������������������������������Ww�0x '�����;x+� �
[�9��� �1 2 ��� �1 2 �>:�(� �3"��K���E"%�������� ����� ������� �[�"��:�D�������*"7�(� �U��V�������%��)@������"�)@"aK������O�� +
S��w�f���(x)������x��4x���;�����������������������������������Ww�g���(x)����+x �����'x���;�#�%R���>:� �������K��*�&������*.�F��7�bU�7��(*/��h�5�Q�������W��*M�7��,M��6�y�t�ZB�9�=��9�$��������(�%@A��%P���K��!9%�� 0
h��(t)����IIt���;t��������(t���I) ��[D��N��O���*���%8�F!@��5�Q����F"*�$�����=9%������3K�����%P���Os�vS��
[����������m��� �UO6�5�Q����vW���*&����7���F��7���=9%��ZW��*M�7��,M��6�y���s�v�
�� �B*"���)�6���y���I���x���I�>:����K�D��D8����C���N��O��N!9�����%"��/�� ;�K��������(�%P����y���x�Z�9���*/���;II��%"��/��G����*&��[��/E � x©©
� �5��9��[��*&�F!@�����O��*2K��C�N�U/E��DC�E��vS��[�%9�F!@�����O��*2K��C��%"��/��DC�E��vW[��E"%������*"7�(� ��@_�(*?�� �U��V� '
7�9��������������������������������������������������������7i9��������������������������������������������������������������������������7j9
2
4
x =3
2
-4
2
4
-1
3
1
-2
-1
1
( , )S 21
y
x
�¥
�-�g��5��Oh��J�� ���K�Oh��J��� ��+��Y�4
�� !������������*��*��N�U/E���%P���>:��*A����%P�5%@h�� �D?E6�K�D�����U/E��Z%aH���I$E!���9���y���x�o��*����N�U/E���*A����%P�*&��*J"��#��?A���[�9���>:��*A����%P�D?E6�[��"%&����%aH�A�E)����N�U/E��F"���*A����%P�D?E6�[ x y x
x y+ = ��)�9���/9��
�)��K�?��������"YP�D?E6����O�����)"*�&����*e6����y����������N�U/E���*A�C/� !x xx+ =1
1�
��������%P����"w��*K�m��8�(*EK�D��C�7�����>:�>�%�����x����������F"��l*P����W*V����v)� �������*.�F�U��W*V�NR�C�(��E�����F�L*P�W*V�NR�C��h�"����
x ��x�����x �-x-����I �
����b��0ac ���;���������x � − ± Δ
2
ba
�� �/+�6�����6���k������������������
�7����A�F"����9��������'�4�>:��?"*O�����O��K�D��l�*���%aH�<�:��� +1 5
2���A
[D��B�%���%����%��>�/���>�����NC�*�&���3�@ �p�?"*O��Z)"�9���%��� ����;�N!9�����$��������K��"��/��������YK�7���m*d������%_h���_6:����K�)"�%8���*� x x
x+ =1
1���6�����$�������� �&�°)"��B�%�������
��� ���$�����F��s�[�������*. �v(���@����s�m*d����#�%R��� �(*EKw��"%&�#��?A�="�)"�"��K��%P�>�@ �[)���6�����"%&�#$����
x
y
+=11 5
2x
�
�
−=21 5
2x
�Z� �m*d��>�*K�"ah��7��,M����(��E��l*P����>�%������"%&� �������="�NC�(�*��N!9�7������������*K�W*V�� �m*d��v����±w�±*/3��W*-��F"*��=s%K�������K�*QR����� *EK�m*d���"�?6�B��:�D����(� �W�%��[�%9�m��8�(*EK
[���K�ª�R������ �����������"���� �W�%��F"���
�-�g��5��Oh��J�� ���K�Oh��J� ��+��Y�4��-��-�g��-�g��5��-�g��5��Og��5��Oh�5��Oh��JOh��J��h��J�� ���J�� ���K�� ���K�O��K�OhK�Oh��Oh��J�Oh��J����J� ��+��+�+��Y��Y���Y�4Y�44
�������������������� !�������
����� �
5��O%&� �l&*
�2����_ �me� �&< �P2�E)* �2�� �V*F�* �=* �]�� �&<�V�,�<&�V����&�n0���������=*�V*�;&�,�&<�X��o#�������!=�X%*�&<�Q�Q� �Y<+W�!�;���U!�%aH�<�:Y���J��p*&*�qaJ�&<�*&��20�r&*F_������<�>�s)*
2�$E�<�>�<�t�%&�g�$J�=*�V*���3\
��
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
������
−+ =+− −2 2
2 2 211
x xxx x x
�(�)���������������������������������������������������������������������������[���K�NC����N��O�� ������� �
�)��K����"ah������(� �N��A�W*V�NR�C������� *EK�m*d��>�!��� �#�%R������/���vS��
( )( ) ( )−+ =
− + +2 2 21 1 1x x
x x x��������������������(�) �
�,M��D��[[[[[�*��*���_6:�7�����K�* �>�%��F"*��¦�a��K�([[[[[)���(x ��)�Zx�������%���a"�@/�� �����N��A�5%6��� �m*d�����vW[�[[[[[[[[[[�7��D��#��?A�� �m*d������±
[�%9�m��8�(*EK�N!9�7�����������)��K����W*V�x (x ��)(x ��)�������(�)� �������F�L*P�v�
� x (x ��)(x ��)�( )( ) ( )
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥− + +⎣ ⎦
2 2
1 1 1
xx x x
�x (x ��)(x ��)( )
⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦
2
1
xx x
�����x�����x�(x����)���(x����)(����x)
[�%9����NR�C�;x��+x ���I� �������Z>�*K�B���7��,M�v#��*s���6���%?.���%��B��:�D����W�%�����* ��":�[���K�NC�������������"��:�D������������O��Z*�8���������� �������(�*��v�
�="���h6��(�*��[��K����Nk/��vB�w����@8���������@���F���B�&��*L�������`"*h��>�����Z*/�%��K�'I��%P���>�*_��(�*/��="�G8� ��*�E�����*&��[��K�����P�� �B�J/E"�����S.%��>������DA��*��*/�%��K�v�D��y�DA*�������G8�F"��W%�������@9�*�E��(��U.�Z`"��7:� �?����D��W%�U��[�9�� �%8�DL��>��7�7��*���6$%P�DA��)�6�D3&7���>��7�Z�%9�/�K��I�km �h���U.�DA*�7��Z��@9���W%��
[��U.�F"��D3&*��>��7���DL��>��7��%P
��":����D���� 60v� �U����7��DL��>��7��*s�Z�� ��b�V%��vS��
[� ��>�36����D3&*��>��7�K���E"%���v�oEC�*������?A�vW
[D����*.*�� = +−60 60 1
10 2v v� ��������*s�K��� ��b�V%��v�
� �������="���������K�W*V�� �m*d������±�������������F"��F�L*P�v#[�%9�N"�?���������
�=@K���������������DL��*�E�������U.�DA*�ZNR�C��������NC�7��v�[�"��:�D���������U.�D3&*��>��7���DL��>��7�Z>:
[[[[[
��
�-�g��5��Oh��J�� ���K�Oh��J��� ��+��Y�4
���� �� ��
���/E ��%?.���%��B��:�D����(� �W�%����@���":�[���K�NC����*"7�#$����� �
S��w − =2
312 0
x �������������������Ww� − =
+ +2
2 3
2 2
k kk k k k
����������������������w� − =− − 2
3 2 12
3 9x x x
�F�J6�������"���%��B�*K�oEK�7��/���+'�p��@��>���:�Z/Q �;�7��,M�[��K������a&*��(7��/����I�>%�7:�="�/Q �* �>���:��V�"��*���� ���%��*"7�#�%R������� �/Q ���M�������>%�7:�* �7��/��
/=367 2
5�
�7��)�6����)� �%8����[�9�4�*��*��`"� �>%�7:�NK�7��/���F�J6����K�(�%P�����*K�oEK���� �7��/���� �>%�7:���@�����������)39��/Q �7������*K�N@A�*"7�f�����>�%������uE��NC�(�*��[D��/L*&� ��B*@6����%/��>%�7:���s����>���:�Z������)39��/Q
�n�oEC�*��(*EK�����?A�[�9�� �%8� n�#���F"��������#�7��/���5%@h��Z�9���n�*��*��������)39� �/Q �7��� �>%�7:�������*&��vS���[�9���>���:��J/Q ��V�"��(� �>%�7:���@��7��/���F�J6�����B�� ��>�36�K���E"%�� n���[[[[[_________
;���[[[[[[���K�>��/������B��:�D����W�%��,¢�[����������n����� ����*.�4�*��*�����S���D@E.���r%�*��*EK�vW
��!"���K�DA*�!�"���*L����[���K�B��%K������?�%L�F��7�="�F@s�DA��0������6�%�����Z���K���K�) �����67�F@s�F�9������*&��C/� !��� ����h6�������K�F"����6�%�����DA����s�����"�_������_6:�7��="�* �Z�9���(*J"��*��*������_6:�7�
�[� ����h6�������K�NK�D�����.��"�_�����A�F�9���K��9����6��7�#���t�)��K��*L�[)���6����B����(*J"����A����*���"*�F�9���C�-[���K�N��K����*"7�����
����6�A:���u�&<��J�&�J�=*�V&*�Q!YA�*�>�s)*&�J��J�>�s)*�2�!=X�W�!���������������������������
�©©ttA
²²²²�tB
�©©�²²²²) ����B���A
�D9%6�>�%��������*"7�������Z��������%����×
+ = ⇒ + =21 1 1 2 1 1
2 4 2t t t t⇒ = ⇒ =3 1
62
tt
A�F�9���>��7 ���t ��� B�F�9���>��7����������������������������������������������������������������������������������������������
��
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
P 2 3( , )
A x 0( , )
5
�����������������;�*��*��P�����+)� �UO6�7��>:� ��R�L�K�)������� x��%���(������(��UO6�)� �%d�����K��*L
������W�%����s��uE��[�9������x����O��[�9���A�(x�I)�#�%R���*e6���%�� �UO6� �#�k/d��)��K�����*L���K�F"��(�*�
[)"��:����D���( ) ( ) ( ) ( )= − + − = − + −A P A PAP x x y y x2 2 2 22 0 3 �
( )AP x= ⇒ − + =25 2 9 5 �����(+) �����!"���� �������="�Z������%����%_h��N��9� ����!"���� �#��?A�>:����K�(+)���6�����$����
[��%9����B����6
�D9���)� �%8�Z)�6�*�����>�%�������(��E��F�L*P�*&��Z$������(+)� �������NC�(�*�(x�����)�� ��; �
( ) ( , )( )
( ) ( , )− = ⇒ = ⇒⎧
− = ⇒ ⎨ − = − ⇒ = − ⇒ −⎩2 2 4 6 6 0
2 162 4 2 20
x x Ax
x x B�
���!"����*"7� �NR�C�Z>:����>%s��D��������B��%@ �(�)� ������� ����!"����#��?A�C�J[ �)�E"%���)�6�%�������D�� R�*��*��*�X/�� ������)�"%&����D��C�F"�����[D��D?2��B��%@ D ��(����������)�[v��*sw�D��D �³��������)�#�%R���*�X/�� ������Z = −2 3 3x x � ����������C/� !
�)"����������l*P����>�6���>�%�������x ��x �����x �����v�%?.�N��.�*�cw ��K�D��*K��>�"�9�[DE�6��%?.�N��.�ZD��*�X/�� ������7��m��8�B��:�D����W�%��>%s
[���K�ª�R���R�� ����������K��6���%?.���%���P*9���a�6������>����(� �W�%�
[�6*�&������*.�1�����%���� ��*L�������!"����#$������_���ZW�/K�F"��������
��������(��E��F�L*P����(�%P����#Y@��>�%��������!"���� �������="�NC�(�*�����,¢�[�*�&���*.�(��E��l*P�="�����"�_��������!"����#��?A�="�K��*K�7�����������ZN@A�F"����*!�������a��#�%R������������F�L*P�>�6���>�%����(� �W�%��K�)"%9�Fu@U���"���������NC�7��,M�[�*K�m��8����!"����N!9
[���K����ª�R������ ����������NR�C
��
�-�g��5��Oh��J�� ���K�Oh��J��� ��+��Y�4
����
��6���%?.�N��.�ZNR�C�(� �W�%����@���":�[���K�NC�6%@6���6������*"7�#$����� �S��w� t t− − =2 2 1 1����������������������������������������������������������������������������Ww� x x= − −2 1 2
���� �� ��
� � �2 1 2x x ����x ����x���x ���x���x ���� �
��25���( )
��3 25
2 4x
�� � ��
� �
1
1
4
x
x ������
� � �2 2 1 1t t ���(�t ��)��(t ��)� ��t��¡t � �� �
( )( )��
� � � � � � ��
11 5 0
5
tt t
t �
�w� x x+ = +7 1 �����������������������������������#w�u u
− =−1 2
03
��w� x x x+ − + =22 2 5 2 �
[�6���O�OC� �3"���.�L�*"7�#$������*s�K��� ��b�V%�� �S��w t + =2 0 �Ww x x− + + + =2 2 3 1 0 ��w x x− + − =1 2 0
[���K�NC����*"7�#$�����7��="�* � �
S��wx x
+ =−
1 15
2�Ww
r r− = −10 15 20
52 3
�w x x xx x x
+ −+ =− + −2 1 1
3 4 3 �#w t + =4 3
�wk k= −6 8 �mwx x+ =6
´w x x+ − − =1 2 5 1 �qw mm
+ =12
� p$%@������Zo��U�����s�l�*C�7��,M�[���K����*3/���(���QR��'������ ��h��="�6� ���Z�%8�>�/���7��*Q6���s�B�*@ �����A� ���%P �� �O�.� ��I �� �DA� �� ����C�`"�*"� ���K �Z��K �=@K ��� �� ��V� �*&� �[��K��� �l*R�D.� ��h� ����� �`"�*"� �(�*� �DA���
��%��� �%8�D.��>�a���s����7��6�Z� ����h6������h��7��B��@9�="�`"�*"����K��"�_������ �%d���V��*&����C�[���h6����
�%?.�N��.�*�c
��
�NC���3O/OL2�8�-9��� �%�Hk7
��6�y�t�7��,M�Z��K���7:�r%O�*/��;I�5�Q�������6�@/8��($���7��µ�9�="�*&�� �
�[ ht = −10
5��K�(�%P����D9���� �%8���*.�F��7�bU�7��(*/��h�5�Q������
��������*.�F��7�bU���D?E6��A�Q����s����r%O�7��,M��6�y����Z)E��F"�
������W�%����s��uE��[�9�����A�>:�Sk6�*��*��f����7��>:�NV�Q��K������������R���A�vS��� �������W�%����s��uE��[�9���>:�Sk6�*��*����A�>:�7��f����NV�Q��K������������R���A�vW
�E"�O���%8�>�/���t�M��������%8�t�M�[�9���>:�(� �3"��7���!"�����A�K���E"%������!"����#��?A����5%@h�� �N��9�(�������� [���K
2�s)=�2�U)�;�!����2�$ES���e6
�����( ����
� ����&���= ��
@�����AB���C��1 �
���D�E��(��7�
���� �(�-L�����"��9:���*"a&�6���%������7��>�E6��t"�����%P������ ���D����� �(� �N!9���G��� �N\�E� �NC �D_� ��� ��� �(�3&�N!3��7����(��6%@6�� �NM�D8��[D��B�%��f���6%��*�M[D��>�E6���B*�7����&�67������ ��"���K�7�
���� �
���� �
����� �
������������������
��-9��� ��$�Hk7
�¡
��-9����-9�� $�Hk7k7Hk7$�Hk7$�Hk$ H9��� $-9�����-9��-�
[D��/L*&�=@K���� �(� �)�*��7���%8�N\�E��7��(���E��NC�(�*��7��*"��7��>�E6��D@E.��� �� �)�O/E� ���%"� �="�>��3K��� ��_�� ��� �N!9�1�2� �����7 �)� �%d� ����K ��*L
��������h6�������K�F"��>�%�����6%Js�[)�"�@6�)�EO��DC�E��)
���D��y� ��R�L���K�����P�O6���@�����"*�J��*e6������O���6���Z�QR����D��y� �UO6�="� ����� �����N�!3�������!9�s�r�O6�F"��[�"*�J��*e6�����/E �>:�7��*/���/6�
� ����&���= ��
���� ��
�������
2
O
d
�*e6���>:�(���B�%d��� �UO6�="�����3!��*/���/6����5��9�����O�aK*����B*"���="� ���D����Os�B*"���aK*�����UO6�F"�� ��R�L�[�"*�J�
�UO6�* �[�"*�J��*e6������vr�5��9�����O�aK*����C��B*"�����6�%d�w�C (O�r)��B*"���C�s�$)��������*.�B*"���²²²�K�UO6�* ����������*.�B*"���²²²��9���r� ��R�L���O� �UO6�7��K
�[D��r� ��R�L���O� �UO6�7������="���B*"���N8���r�O6�(�*������="�Z�9�B������h6��B*"���(���r�O6�(�*��i6:���6��� �
�[�"��:�D�����_��3���"�/6�B*"���>�*���r�O6�(�*�
���/E �d�G8�7��*/���/6���� ��R�L���K�����P�O6���@��[�"*�J��*e6���d���6����U8� ����� �����N�!3������"� �N!9��"���!9�s�r�O6�F"��[���K�nd3�
�[�������*.�d ��G8�7��*/���/6���� ��R�L���P� �UO6� �[���K�nd3��Z��/E �P� �UO6�7��*/���/6���� ��R�L���K�����P�O6���@��vS��
�[���K�nd3��Z��/E �P� �UO6�7��*/���/6���� ��R�L���K����d ��G8�7���P�O6�vW
���5��9�� �� �A �aK*� �� �[�"*�J� �*e6���) �7� �*/���/6�� � ��R�L �� ��� �B �� �A �r�O6 � '����K�)��*J"���6�@K�*/���/6����5��9�����B�aK*����,¢������K�)��>�@K�="�*/���/6�
�[��K��U.�Y����X���6����P�O6�������*J"�!"�>�@K�������[���K�nd3�����AYB���AXB�(� �1�2��5YV���B7��6��vS��
�[���K�)������ ������B�9�B����(� ���V��%P����2�2����6�%�����6%Js�K��� ��b�V%��vW
P
O
C
r
P
d1
A B
X
Y
��8=�������,�!/�� ��>� �Y�4
��
F'�= �����G0���� %H�I� #��#������6���B�%d���(��UO6�[�6��B�9�nd3��>:�Sk���%@A���AB�G8�B��M�N��O��N!9��������[D���R�L�="���AB� �*���7��W��� ��>�36����"*�J��*e6���AB�Sk���%@A�(���W
A B
W
�G8�B��M �>: �* ��� �7� �G8�B��M �=" �Sk���%@A �(�� �UO6 �* �Cu�s�$)[²²²²²
�AB �*���7��W �K��6������*.�(��6%&�� �N��O��N!9���6���W � �UO6 ���AB �G8�B��M �����[�������*.�AB�Sk���%@A�(���W��� ��>�36�[vAW���BW����"w�D���R�L�="���� �1�2���/3_6�) �7��B��Q/����������K�NR��AB�G������B���A���W�7��C%�#��*&w
v[�������*.�AB�Sk���%@A�(���W��� ��>�36A B
W
�²²²[[[[[²��9���>�E!"� ��R�L���G8�B��M�="�*���7��K�UO6�* �Cv��s�$)
��9���G8�B��M�="�Sk���%@A�(���K�UO6�* ��)"*�&����h�/6�v�w���v�w�7��²²²[[[[[[[²²²²�7��K�UO6�* ���²²²[[[[[[[²²²²�7�
�[�������*.�G8�B��M�>:�Sk���%@A�(��
��%?A�P� �UO6�7��K����K�)����6�%�����G8���s�[D��B�9�nd3���QR����P� �UO6� �����"�@6
�7��K����K�)����6�%�����a"�@/��G8���s�[�6��B�9�nd3���QR����B���A� �UO6���� �����"�@6��%?A�B���A� �UO6����*
���9���B�9�nd3���"���>:�7��UO6���s�N.��C��%9�nd3��G8�="�!�"��(�*���@9�*e6��� �
������
A B
P
.�J�.����"#�.��/�K��G0���� %H�= ���[)��K�)�����AB�G8�B��M�Sk���%@A�)� �%8���
���*J"��������A� �UO6�aK*��������="������K�7���AB��%P�Sk6�7��`��������&*M� �6� ������[���K��U.�Q���P���6����P�O6�������*J"�!"�>�@K���������6a��>�@K�B�aK*������5��9�>�@
���*s����/E �AB�Sk���%@A���z��/���P�O6�Q���P�r�O6��":�������*s���*K�nd3�����AB�Sk���%@A�>�%�����Q���P�r�O6�F/9�������":����
�[���K�)�����AB�Sk���%@A���C����
A B
P
Q
��-9��� ��$�Hk7
�¤
F'�����B����L�&��()*+�3��M"#�K������ %H�"#�= ��������J��P� �UO6�7��K�)��K�)���U8�)� �%8����[�6��B�9�B����N!9���6���P� �UO6���d�G8
�[�9����%@A�d�G8�*���R�L�="���P� �UO6�7��K��������(��6%&���d�G8�*�����B���A���6����P�O6���&*M�=@K������
�[��9���[���K�)�����AB�G8�B��M�Sk���%@A����
���*s�����&����P� �UO6�7��AB�G8�B��M�Sk���%@A��":�����[�²²²²��UO6�7����²²²²�d�G8�*��AB�G8�B��M�Sk���%@A
F'�= �����3�N%+�I� #��#����B�%d��� �UO6�="�P����K��*L�[D��vOu� �"��7�7�E@�6�Ow�G8�)�6�N��O��N!9��������7��*&�����"w�[D��>�E!"�vOu� �"��7���V����7��P� �UO6� ��R�L����K�D��y�[�9���Ow�(��
�v[D��*��*��) ����_6:��%P�Z)��K�)��Ou���Ov�*���"� �%@A�P� �UO6
F'�&���&��()*+�3��M"#�K������ %H�"#�= ���M�7��K�)��K�)���U8�)� �%8����[�6��B�9�nd3��N!9���6���>:�(���M� �UO6���d�G8
�[�9����%@A���G8�*�������J��[�9���AM �MB�K��������d�G8�*��B���A���6����P�O6���&*M�=@K������
�[���K�)�����AB�G8�B��M�Sk���%@A����[�²²²²��UO6�7����²²²²�d�G8�*��K�D���U8�AB�G8�B��M�Sk���%@A����
dM
d
P
F'�����B����L�&��()*+�3��.�J�.����"#����&3� ��"#�= ���P� �UO6�7��K�)��K�)���U8�)� �%8����[�6��B�9�B����N��O��N!9���6���P� �UO6���d�G8
�[�9���(7�%��d�G8���������J��[�9����%@A�d�G8�*�������J��P� �UO6�7��K����K�)��(��6%&������d ��G8�����[�9����%@A�d ��G8�*�������J��P� �UO6�7��K����K�)��(��6%&������d ��G8����
�v�"*�J��*e6���W�%�����d ��G8w���*s��������/��V��s�d�G8���D?E6�d ��G8����d
P
O
P
vw
u
[²²²²²�"��7�>:���V����7��Z"��7�="�7�E@�6�(���UO6�* �Cu�s�$)
��8=�������,�!/�� ��>� �Y�4
�¥
� �UO6�K��� ��>�36�[D��>�E!"�vOu� �"��7���V����7��P� �UO6� ��R�L�N��O��N!9��������[�������*.�"��7�7�E@�6�(���P
�7��B��Q/����������K�)��Ov���Ou�*��P� �UO6�7���%@A���������OP�G8�B��M�C%�#��*&wv[D�uOv�� �"��7�7�E@�6�>�@ �OP��� ��>�36�� �1�2���/3_6�)
�(�� �Z�9�� �>�E!" � ��R�L �� �"��7 �=" ���V ��� �7� �K �UO6 �* �Cv ��s�$)�[²²²²²²²²
O
P
u
v
�"��7�="�7�E@�6�)������(� �G8�)�6�������K�)���6�@K�B�%d���5��9�����O�aK*����[�"*�J��*e6������uOv� �"��7�vS��
�[��K��U.�Q���P���6����P�O6�������Ov���Ou
���6��6%Js�) ���D?E6�OQ���OP�(� �G8�B��M��%P����������P�aK*��������="������K�7���PQ�G8�B��M��%P�Sk6�7��`����@K������&*M� �6� ��vW��U.�W���6���(��UO6�������*J"�!"�N!9���6���>�@K����������K�)���6�@K�Q�aK*����*J"�
���6��6%Js�) ���D?E6�QW���PW�(� �G8�B��M��%P�[���K�) ���D?E6�OQW���OPW�1�2�����[���K�)�����WQ���WOZ�WP�(� �G8�B��M�v�
���*s���6��6%Js���*s���6��6%Js�) ���D?E6�QOW���POW�(� �"��7��B7��6����
[D��uOv� �"��7�²²²²²�OW�G8�B��M���
�/9�����*.�"��7�="�²²²�(���K�UO6�* ��)"*�&����h�/6�v�w���v�w�7����"��7�="���V����7��K�UO6�* ���²²²²²²²²²²�7��Z�9��
�[�������*.�"��7�>:�²²²²²�(���Z�9����R�L�="
O
W
P
Q
u
v
�A� �UO6����7��K��������(��UO6�[�6��B�9�B����N!9�z��U��CD���AB�G8�B��M����vS��� �[�9����R�L�="���a�6�C���D� �UO6����7�����9����R�L�="���B��
�G8�B��M� �Sk����%@A�(���O� �UO6�*&��[)���6����O����vS��w�D@E.����*e6��%�� �UO6�vW�ABCD ����V��_s�(� �����Z�9���OA �5��9�����O �aK*��� �(��B*"���G ����9���BC
��*s���6�����/��V��s�G��B*"�����D?E6
����
A
D CB
��-9��� ��$�Hk7
��
����1�2��F"����V����(� �Sk���%@A�[�������ABC����>:������K�)��B�%d����2�2�� ��[���K�)��B*"���="�OA�5��9�����O�aK*����[�������O�����_6:���%8*�� �UO6������K�)�
��*s���6�����/��V��s�B*"���F"����D?E6�C���B�r�O6�)�����1�2��F"�� �"��7����(� 7�E@�6�[�������ABC����>:������K�)��B�%d����2�2�� +��!"�(�M������K�)���%@A�1�2����V��*��O� �UO6�7��[�������O�����_6:���%8*�� �UO6������K�ABC�1�2��5YV��[���K�)��(��B*"���OH�5��9�����O�aK*����[�������H����� �%@A�7�
��*s���6�����/��V��s�B*"���F"����D?E6�(� �1�2��7��="* �)��f���[�9���d�G8�7��*/���/6��0� ��R�L���A� �UO6����K��*L� 0
[�� ��b�V%�����*"7[�9���z?U���d�G8�*��>:��B�A�.���>:�����="�A�K�F�.�E���(��E/���2�2��vS��
[�9���*/���/6��'�>:�ª���%P����9���/9������vS��w�G"�*9�K��2�2��vW[�9���4cm��>:�DC�E�����9���/9������vS��w�D@E.�G"�*9�K����K�)���2�2��v�
A
d
2�$�=+]�V+W�&�U�0
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
��
O ������P�N+���D��� �="�(��E��A�E)����* �K�)�6������[�"��B�9���9:��_6:��"��/���j�%8��8*����o������D?E6��%_Q��������N?.�(� �"�M���
�[�� �����N�!3��="�l*P���*&��F��i@ �[�%��� �%8���*.*��B������(��E��Z)��K�z"*Q���"����@��(��E��="�l*P���������D��y����O��="�*&��K�)�6������j�%8�7��="* �o�U��F"�����%�����[�6��������*.*��(��E��Z)�"�@6�)�EO��*QR*�c����O��="����"�)��K�W*V����O��="�������(��E�
�[�*K�D��y�>�%������/C��������*"7
�[���K�D��y����*"7����%��7��="* �$������B�9�/Q&�#�!6����%��������6*QR�S��d��� �m*d����@��!�"���*L���� �S��w� a c
ad bcb d
= ⇒ = ��vF�U��F�L*Pw
Ww� a cad bc
b d= ⇒ = ��vo������W*V�NR�C�N"�?�w
�w� a c b db d a c
= ⇒ = ��vo����>�*K��%!��w
�#w�c da ba c
b d a bc d
⎧ =⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ =⎪⎩
��vF�U�����F�L*P�(���¶"%��w
��w�a b c d
b da cb d a c
a b c d
+ +⎧ =⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ =⎪ + +⎩
�vm*d���"�#�%R����D?E6�o�K*�w
����� *EK���/�������o����#�?y��(�*�������K�L�V���������A�(��E��l*P������o����F�����#�?y��(�*��v�w�D@E.����C%�#��*&�[���K�L�V���������A�l*P������,¢�Z��"�@6��%!��
�mw�a b c d
b da cb d a c
b a d c
− −⎧ =⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ =⎪ − −⎩
�����������������������������������������������������������������������������������������������vm*d���"�#�%R����D?E6�N�-Q�w
���� �� ��
j0�2�8/lS���>m-)� ��+�4�Y�4jj0�2j0�2�8j0�2�8/l0�2�8/lS�8/lS���/lS���>mlS���>m-��>m-)�>m-)� �-)� +)� ��+�4 �+�4�Y+�4�Y�4�Y�4Y�4�4
@�����AB���C��1 �
���� �
��
��-9��� ��$�Hk7
��%!������� *EK���/�������o����#�?y��(�*�������K�)K��������A�(��E��l*P����7��o����F�����#�?y��(�*��vmw�D@E.����C%�#��*&�[���K�)K��������A�l*P���7��,¢�ZB�*K
�[���K�N��K����*"7����%�������B�9�#�?y��j�%8����%����� �
S��w� = ⇒ ×5 155
14 42�����������;·�������������� �
Ww� × = × ⇒ =3 123 40 12 10 �
�w� = ⇒ =7 21 10
10 30 7�
�#w� ,= ⇒ = =6 18 6 3311 33 18 11
�
�w� ,= ⇒ = =4 10 18 414 35 14 18 �
mw� ,−= ⇒ = =−
5 10 7 512 24 12 7
�
2�S3\*�2�$�*����&�E)*+]�2�$��SW�����Nk�����
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
��
20�5�#e ���w(� ���m6�P/B�$�*
�>�%��������#�AYP��F"��[D+E+¸¸��BC���D�E�¸¸BC���D�E�¸¸BC��)"����N��O��N!9���i≤ ≤1 3 �(�*��DiEi¸¸BC������>�36�#�%R�F"���
�(� �D?E6������K�F"aJ"���� *EK������B�*K�nd3��`K�G8�������*"7�(� �G8�B��M���B7��6����[��"�@6�nd3�����a"�@/��(� �>%/����*��*�
AD
D B1
1
AE
E C1
1
AD
D B2
2
AEE C
3
3
ADD B
3
3
AE
E C2
2
���67������C�Z�9���ABC�1�2��7��BC���V�(7�%���������N!9���6���DE�G8�B��M�*&�������9���*��*��) ����� �G8�B��M����K�D?E6
©©©©���©©©©�
�(��E��B��%@ �Z�%9�)��1�2��5YV��7���!"�(7�%���U8�*&��DL*&�h�/6�>�%������":�D����*.*��$�����3�
���%����s��B� �3������*��K�(��h�/6�>�%��D�����>�%���@6�K��"�"��N?.�(� ������[�%��Fu@U��Z�9���B��:�D���
�(��h�/6��ZD��C���s����5%V%��="���*����B� �3�����������K��$�/��7��5%6�F"��B����6�%*�Q$�*�/B�$�*�Z])������NK���µa��7� ����"��%9����/L*&�>:�7����K
[�%9���
D1
D2
D3
E1
E2
E3
A
B
C
A
D
B C
E
���������[�"��B�9���%�����/�/��(� ��$�/��7��(���%�����Z�"��B�6�%8�>%�K������K�����V�"����[�*K�)� �%8�D��y�Z)"���:�D�����"�*O/���$�/�����K����(��h�/6�Z���/�/���$�/����
� �"�M �*� ��OU�� �(*�&�h�/6 ���� �*� �K �D� ���$�/� �Z��$�$�* �/B�$�*[�%9����>����Z)"��/L*"�M�����_6:��/���K��"� �D��.��
��
��-9��� ��$�Hk7
������
[�9���BC���V�(7�%��DE�G8�B��M�N��O��N!9���6������K��*L
[ E=AD ADB EC
�)� ��>�36�)� �%8���
�) ����Z)� �����>�36��SDEB����SDEC��������_6:�K�DEB���DEC�(� �1�2��(� �DC�E��[���K�NR��B���E�7����C���D� �UO6�7�� ���*s�[�6*��*�
[�������H������%@A�(�M������K��%@A�AC���V���D�7��,¢[�������H������%@A�(�M������K��%@A�AB���V���E� �UO6�7�� �ADE
DEB
EH ADS ADS DBEH DB
×= =
×
1
1
1212
�������������� ����������������������������������������������������������������� �
ADE
DEC
DH AES AES ECDH EC
×= =
×
2
2
1212
������������ ����������������������������������������������������������������� �
��*s�[AD AEDB EC
= ���%9����h�/6�v0w���v+w���v�w�7�� [�6%9����B����6���m6�Z��":����D�������/�/���$�/�����K��*���K*M���)_���"�/6��8*�
�7���!"�(7�%���U8�G%��K�����"� �G8�B��M�(� ��%P�F��� �U����Z�"�*K�B� �3��K�6%&�>�@ �[D���,����7��(���-.�$��� �h�/6[��K����>����Z�":�����%�����1�2��>:�*J"����V����*��Z1�2��5YV�
[�"��:�D�������HC����AC�(� �G8�B��M��B7��6��[�6��(7�%��BC���GH�(� �G8�B��M�N!9���� �
[�6��B����D?E6������������ �)_��(�"�-.�7��(���E��#�?y��[��:���6����(7�*��� ��K*��W*c��C�%6�����Y���7��N?.����'�+����C�K�>����V�"����l%E��L����
A
D
B C
E
A
B
C
H
G
3
5
2
����� �� ��
@�����AB�
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
�
[�"��:�D�������AJ���AI�(� �G8�B��M��B7��6����x����O��Z������="�N�!3������ �
������
[DE�¸¸�BC�N��O��N!9���� �[��E"%������,���� ��-.�o����vS��
[�"*�J��h�/6����AD AEAB AC
= �o����m*d�����D?E6�o�K*��=@K���vW�DB ECAB AC
= �o����vWw������B��:�D����o����7��#�%R����D?E6�N�-Q��=@K���v�[�"*�J��h�/6���
[�6��,���� ��-.�*J"��(� �#�%R�vmw���vWw����B��:�D����(� �o����K����K��%�
��� �,��� � ��-. � �o��� ���/�� �[D� �BC ���V�(7�%� �DE �G8�B��M �ABC �1�2� ��� � �����(*J"��(� �o����Z*"7�(� �(��E��N�@!����o����(� ��&H"�����%�����,¢�[��E"%��
[�"*�J��h�/6�,���� ��-.�7�⎧ = = =⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ = =⎪⎩
DB BD ABDA BA BDAD
DB AD ABAB AD
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E ²[[[
7/5
5
2x
A
B
C
x+4
J
I
@�����AB�=%���
²[[[
²[[[
²[[[
²[[[
²[[[
� ����ADAB
=��²[��)"����,���� ��-.����%�����[�6��(7�%��BC���DE�(� �G8�B��M�N!9����vS��
������������� BFBC
= ²[[[���)"����F"�*�����[)��K����)��AB�(7�%�����EF�G8�B��M�vW
ADAB AC BC
= = �����������������)"����vWw���vS��w�(� �D@E.����%�����v�
�D��(�����V��_s�5%6�s�DEFB����V��_s�v#BF���������������������������������D��*��*��G8�B��M����K����BF�G8�B��M
ADAB AC BC
= = �������������������)"����v#w���v�w�(� �D@E.����%�����v�
�����������[D��,���� ��-.�)�@���U����F"�
A
E
CFB
D
�¡
��-9��� ��$�Hk7
�]�-.�,!A �Z�%9����NR�C�i6:�Z)��K������������-.�="�)!C����*L�*&�[�9���D���6��"�D����6�%������-.�="�,!A�[D�
[D��B��:�>:�,!A����-.�*"7�(� ���2�����Cu�/� !
�Sk6 ��� �*J"�!" �`"� *U. �B�J6: �Z�9�� �5YV$��(7�%/� ����V��_s �=" �*&� �C��m6[���K���
����V��_s�>:�B�J6:�Z���K�Sk6����*J"�!"�� *U.����V��_s�="����*&�����m6�wN:[D��5YV$��(7�%/�
�Cv�/� !�a�6���V����>:�*�������(� �5�Q����B�J6:���Z��9���*��*��) ����1�2��="�7����V����*&�����m6
[�6*��*��) ����*L�AB��AC
)!C�BH�CH
�� �5�Q����>:���*�e6�5YV��B�J6:��Z��9���*��*��) ����1�2��="�7��5�Q�������*&�����m6�wN:[�6*��*��) ����a�6
�*L�BH�CH
)!C�AB��AC
[D��*"7�#�%R���)!C����*L�,���� ��-.����Cx�/� !DE�¸¸�BC���*L
AD AEDB EC
= ��)!C
�nd3�����#��?A�* ��/���6��"��/���[D��BC���V����(7�%��PQ�G8�B��M�N!9���[���K
S��w� AQ PQAPPB QC BC
= = ���� ���Ww� AQ PQAPAB AC BC
= =
�w� QCPBAP AC
= � � � ����#w� QC PQPBAB AC BC
= =
�w� QCPBAB AC
= ���� � �����mw�AB AC BCAP AQ PQ
= =
���� �� ��
A
D
B
C
E
A
B C
HH
P
B
Q
C
A
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
��
[��E"%������,���� ��-.�,!A�)!C����*L�Z�9�/Q&�i6:����%�������*L��)!C
�/9���K��9���B�*K��U.�(��6%&������AC���AB�(� �G8�B��M�N!9���6���DE�G8�B��M�B�&* ��"%&����,�����-.�,!A�*J"��#��?A����@K��6��"�D��D���,�����-.�,!A��@9�*e6���[D��BC�G8�B��M�(7�%��DE�G8�B��M�#�%R�F"�����ZAD AE
DB EC= �)�9��
[D8��*M�)� �%8��uE��F"����*��������) ����-.����) �D��F!@���*L�7���"� �D@E.����%9�����������)!C�����*L���R��D@E.�Z�-.�,!A�F/9%6�(�*��p$%@��
[D��#�V�*Q��µa��>:�,!A����) ����-.��%8����) �ABC�>�%��1�2��N?.���2�����pY2�����9���D��y�>:�,!A��
G�#�F�����
�2���� �Z�%9����B��Q/��>: �7� ���� ����V�"��N\�E�����K��$�/��7� ��A%6�)�O/E���%P�� �!�"� �(���� �S�8�>� *� ����[D��f]�2���� ��" �5�Q$E!���k��9�?6�D���)!C�)��K�����*L�Z)�*��)!C��/�������)��K�5�*9��*L�7��o��*��F"������)������F!@�*�c� �h�/6�="����"�¶.����="�����vS�8��*Lw
[�%9����D��y�)!C��/�����NP���S�8��*L
�uE���v�*Lw�A���v)!Cw�BCf]�2�����r�&�������n*
A
B
⎫⎪⎬⎪⎭
��²���²���²���D��
D���6 z"�OC���zU���Z�$�/�
DE�6�D���A������OU���¶.��������
��z?P�¹��/���6�#�%R�����*"7�ZD��D���B�)!C�)"*�&����h�/6�,M�ª�Q����6�%���@6����K�º� �K�)���������"����"�/6�7���!"���ª%L��$�/�
[�/Q��
[D���*L�(��A�a�6�n�B�&�>:�Z�9����*L�(��A�n����n�� �*&��C/� !C�-
�>�%��������%��� �%8�m�7�(��A�n�F"�*�������9�?6��*L�(��A�n����"���9���D���6��uE��)!C�)��K��*L�S�8�>� *��7��B��Q/����
�¤
��-9��� ��$�Hk7
[�9������?P���A�="�k�K�(�%P���n ��k�D9%6���/���7�������D��¶.��������uE���*L������D��m�7�(��A�K�n��0k���(�k�)�F"�*����
[�9���m�7�(��A�DE6�%���@6�n�Z�9�� �BD���DC �*&� �[�9�� �ABC �1�2� �7� �A � � �"��7 �7�E@�6 �AD �)��K ��*L�C/� !
[AB���AC�B�&�>:C�-
[�9���D���6�)!C�)��K�����*L�S�8�>� *��7��B��Q/�����ABD AC D
Δ Δ≅ �D9���)� �%8�#�%R�F"�����vS�8��*Lw�AB���AC�)"����F"�*����
�¶.��������uE���*L����K�ZD��BD���DC��9�� �%8�h�/6��/3_6�) �F"��7��[v��*sw[D��AB���AC�F"�*�����ZD��B�%��D���6�AB���AC��*L���/���7������[D�
[)��K�D��y����,���� ��-.�,!A��/���S�8�>� *��7��B��Q/�����)� �%8������C
A
B DC
1 2
�[ ||DE BC ����"���9���G�c��uE��)!C�)��K�����*L�S�8�>� *��7��B��Q/�����C���n*�z?P�[��K��U.�E ���6���(��UO6�������AC����)��K����)��BC�(7�%���U8�D� �UO6�7������[AE AE
EC E C′= ′ ���D9���)� �%8��uE���*L����E"�O��7����AE AD
E C DB′ =′ �)"����,���� ��-.
�E����UO6����"�F"��[AE���AE �h�/6������ AE AEAC AC
′= �)"����m*d�����D?E6�o�K*�������C���DE ¸¸BC��*"7�ZD��¶.����="�F"����D��DE�>�@ �DE �������D��z?U���E �*���6�%���@6�)!C���D��B�%��D���6�)!C�>�%��G�c� ��*L���/���7��F"�*�����[D� ||DE BC
[D��DE BC����"�Z�9���G�c
�Q�J����&���(AB����6�� ��2�2� �(�*� �F"�*���� ���6��D�� ��� �* �>: �,!A �� �,��� � ��-. �Z)"�"� �K �6%&�>�@
���*K�>����*"7�#�%R�������_6:�(���* �>�%�����N��O��N!9����A BCΔ
[,!A*����AD AEDB EC
= �B�&�>:�Z�D E BC�*&�
��� ���@6 ��� ��� ��P*9 ��� �(� ��-. �[)���6��� �H�W ��< �(� ��-. ��� ��"� ��-. �F��s
�ZAE ADEC DB
= �*&� ،ABC �1�2� ����N��O� �N!9���6�� �Cw(� ���m6�wN:[ ||DE BC �B�&�>: D
B
C
EE
A
A
C
E
B
D
�* ��"����6��D���l*P����* ��"�������� ��h�/6����*J"��l*P���6�%�����F�L*P�7�����K�* �K�D��>:��B�� ��>�36���@6�F"�����[�6��D���6�l*P���
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
�¥
�>�%��������>:�,!A���ª%L� ��-.���2���%P�����*K�>����v�%9����B�6�%8*&���_�����*&��Kw��*K�>����*"7�#�%R��
�#�%R�F"�����[��9���AC���AB�(���o��*����E���D�r�O6���1�2��="�ABC�)��K��*L
[�AD AEDB EC
= ���DE BC
[�*K��� �%8�eCY���P*9����(�"�-.�7���"� ���2���������
�*��*� �) �� ��_6: �� ������� �(� �"��7 �*&� ��_�� �� �*&� ���6*��*� ���V����1�2� �="����C/� ![��9��
[�9���6����*&���_�����*&���D��7�E@�6�G8�B��M�="�5YV$��(��E/��1�2�����C/� !
A
B CD
B
A C
ca
b
A
B
C
���� �� ��
[a����b����c��B�J6:�Z�9���@\�.�ZABC���6����2�2��7��A� �"��7�*&����%c�2�L� ��-.����%����[��E"%�������-.�F"��,!A�vS��
[D��D���a�6���%c�2�L� ��-.�,!A�K��"*�J��h�/6�*"7�NC�*����h6�����vW���*.*��>:�5YV���B7��6��F���a����b����c�� �U������D��B�9�B����ABC�1�2��)��K��*L����
[D�� A′ = 90� �K��"*�J��*e6���(��6%&���N��O��N!9�z��U�����AC����AB�(� �G8�B��M����
[D��AB �AB���AC���AC����"��:�D������� BC���G8�B��M�B7��6��ZABC �1�2�������%c�2�L� ��-.�7��B��Q/�������+
[BC���BC����K�D��y��[ A = 90� ��"*�J��h�/6���ABC A B C
Δ Δ′ ′ ′≅ ��*s��� ��b�V%����0
[���K�>�����P*9���� ��-.�="�#�%R������>:�,!A�����%c�2�L��-.�vm
yQ)�/� !��/� !�����$�/��Z�"��B�9���9:�>:����(���C����a�6�N?.�(� �"�M����K��$�/��7��(*J"��5%6���@���B��������K�)!C�="�F"��Z]�6������Z�*L����A�� �@ ^�K���K��A���(�*L�*&��[D��yQ)��A���F"�����(�*��ZD������*�c����*L�K�(��A�>�%�A��� ���A�\������D���*L����A�[)�"%&����¶O6���2��Z�%9����B��Q/����K�)!C�="����(�*��K����2��F��s���[D���L�K����� ���C �� ��� �(���6�*"� ��*L �º� ^ �K ���K ��A�� �(�*L �)��K ��*L ��*J"� ����2� �>�%�A ��
��
��-9��� ��$�Hk7
�ZD��/L*&�7���L������K�����6�*"���*L�="��/C��@9�*&�����"%J����6�%�����s����(�A������(�*���@9�#�%R�F"�����[]D��/L*J6�7���L[�"��B�*K�NP���������(�A���Z¶O6���2��="�7��B��Q/������@9��.��������D��B�9�NP������(�A���#�%R�F"�����Z��6a����2�����(�*�
�="�(�-A����@��(�*����K�)!C�="��A���F"��K��%9����1A���)!C�F"�����]º� ^� �@�K�K��"��)� �%8�B�9�q*U��(�A������D.��������%9����)!C�>:����D���L�K�¶O6���2��="�>���:�a�6���%��F"�����F"�*�����[�9���vD���6�*"����*L�� �A%@h���h�"�����Kw�A%@h�
[��*&�#�?y��)!C�>:�>�%��G�c�����?A��
[�6��B��:���K�(� �)!C�7���"� �6%@6��������v�������A����@���B��������K�)!Cw�[�6�*L��������A�� �@ �vS��
v� �N�U/E����@���B��������K�)!Cw�][D��*��*��) ���� *U.��B7��6��N�U/E��* ���^�vWv���?P����A����@����%�������K�)!Cw�][D������(��A�n��n �0��#��?A����O��Zn����?P���A�* �(�7���^�v�
����K�D��y�����%8���C���6�%�����6%Js����67������C�s�]S��^�)!C��/���6��"��/����B�������/���6 ��" ��/����B����� �[�%9�������¶O6 ���2� �F�@ � �\��� ��� �]S��^ ���K �)!C�F"�*���� �[D��m�7�� ���� ���A�="���K �)�6�����
����K�NP�������_6:����"������¶O6���2���_6:�(�*����6�%������":����67�����"� ���C�s�]�^���]W^�(� �)!C�)!C��/���D��C�F"������":��DQ&�>�%�����s�)!C�>:��/���6��"��/����B������Z)��K�\����¶O6���2��)�6�%/6���K�)!C�="�(�*��*&�
�DL*"�M��"������z%�$�&<�2<*<�2�U)�V*��{�K��*K��%���"�����DE�6��L�K�)!C�F"��f*"�M�(�*��F"�����������6��%���¶O6���2��vWw�D@E.�(�*��
Y|5��J����n*�*&�20��%���J�5N-�DQ&�>�%�����s�v�w� ��"a&��B�����
��"��/����B������>�%���@6�Z)� ��\����)�6�%/6�a�6�¶O6���2��Z>:����(�*�����9�?6�nd3�����*����K�)!C�="��/���6��"��/���*&�[DL*&�(��h�/6���K�)!C�>:��/���6
����
����(��E��7�������K�?����f�����������ABC� �"��a���)\�.�1�2��DC�E��N��O��N!9���� �[�"��:�D����o����="�Z1�2��DC�E��(�*��B��:�D����#��?A
A
HB C
�(��B�67�����K�K�v���N_s�7��*/@Kw�>�%��>�6����V�"��������="������_s�* �7���L�a���s�>����"���6�K�>����V�"����!/�����K�D��(��Ba"���v»������{��|�w�7���L�>�36��"����������)6�8��6�*"��>����V�"����7���L�>�36��I�0�������[��6�%8����]#��V�"��N�%6^����Ba"���F"��Z�%9��@6��� ��N�%6��Ba"����V�"�� �/9�����K��h6:�7��[�*�&����z������9���B������h6���V�"�������)�A�>�_��Z>�3"��D9�&���*?8�W�/K�F"�����.%����@��ST�����/?���[D��B�9�>�36�F"��F/L*&���zL%��K�D��6������67�F������6�8�7*���K�D����/Q&�[DL*&�z����)�]*=��!�5%�!
��9�`6����ZD8��*yT/��Dd�����6�*"�� �����
j0�2�8/lS���>m-)� � ��+�4�Y�4
��
[�"��:�D������� ab�D?E6�(��A����O��Z��%��* ���� �
S��w� a b
a b=
+ +10 8� Ww� a b
a b+ +=+ +
3 10 3 7
10 2 7 2
[D��>:�Sk6�(��E����(7�%���%���V����Z��K�NR��) ������1�2����V����(� �G��K��U8�B��M�Z1�2��* �������K�D��y� �
[�"��:�D�������PQ���AP�(� �G8�B��M��%P�[D��PQ BC��N��O��N!9���� �
[�"��:�D�������y���x�*"��O��[D��ST BC��N��O��N!9����
AS BTSD TC
= �����K�D��y�[D��AB ST DC�N��O��O67������ ¡v[���K�)������ *U.�7���!"�C%�#��*&w
�[��E"%���ZD��B�9�B�������i6:�,!A�)!C����*L�(���>�*K��%A������%��* ���� �[�%���� �%8�*��*��a�6�"��7��B�J6:�Z��9���*��*����V���2�2�����*&��vS��
[�6*��*��) ����N��O��(�"��7�#�%R�F"�����Z��9���(7�%���������5YV�����V��_s�="����*&��vW[�6��N@!�����V��_s�>:�N��O��(�"��7�#�%R�F"�����Z��9���/9�����*.�B*"���="�(������V��_s�="�(� �����*&��v�
�[]*��=s%K�5�Q������N��O����V^�7��D��*��=s%K�]*��¦�a��5�Q������*¨��/����V^�Z��9���*��*��6�5�Q�������*&��1�2��="����v#v��E"%����V�"��>��7�������3!��N!9�C%�#��*&w
[�*K�)��G8�>:�*���%@A����ZG8�="�*���.���*�c� �UO6�="�7��>�%���@6����K�D��y�S�8�>� *����� ¤[���K����¶O6���2��="�������*"7���K�(� �)!C�7��="�* � ¥
[D��*/3�����*��* �DC�E��7��1�2��* �DC�E��vW��������������������������[����6��%�����<�7��*��¦�a�� �������A�º� �vS��[�6��z?U���) *����V�* ���*¨��/��Sk���%@A���6����1�2��* ����v#������[D��*��¦�a��5�Q����* ��B7��6��7����V�* ��B7��6��1�2��* ����v�
A
T
S
BC
4
8
6
6
y �3 3
x �4 1
A
S T
D
B
C
A
P Q
B C9
3
2
6
��
��-9��� ��$�Hk7
���9���*��*��) ���*¨��/��(�"��7�B�&* ���6����3/��ABC ���ABC�1�2�����Z��3���%_Q�����%�����[�"�9���9:���3���%_Q�����)_6� �"�M�������"���9���>�E!"�1�2��������*¨��/��5YV��D?E6��
�ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A B B C C
ABC A B C
AB AC BCA B A C B C
Δ Δ
⎧′ ′ ′= = =⎪
⎪′ ′ ′ ⇔ ⎨⎪
= =⎪ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎩
� �� �
A
B C
A
B C
����ABC�1�2��)�"%&����Z�9��� ABA B
=′ ′23�*&��pY2��[)���6����1�2�������3��D?E6����1�2��������*¨��/��5YV��D?E6�#�%R�F"����
[�%��� �%8���3/��Z 32���3��D?E6����ABC�1�2�����AB C �1�2��#�%R�F"�����[D����3/��Z 2
3���3��D?E6����AB C �1�2�
�C���n*v��*sw� ˆ ˆD B= ��� ˆ ˆE C= �)"�������
[�6*��*��) ���*�e6���*�e6�1�2�����(� �"��7�F"�*����AD DE
AC= =
²²² ��)"����,���� ��-.����%��������
�)"������3��S"*�����v�w���v�w����%�������+ADE ABC
Δ Δ�
���} !����U ����*���m6���V����1�2��5YV��7���!"�(7�%���U8�*&���!s%K�1�2��#�%R�F"�������K��U.����*J"����3/�������¦�a��1�2������":�����%�����K
[D�
A
D
B C
E
��-9�� $�Hk7k7Hk7$�Hk7$�Hk$ H9��� $-9�����-9��-�
���D�E��(��7�
����� �
���i>j���"�N/�� ��+��Y�4
��
�#�?y��K��h6:�7��[�*K�#�?y��Z���K����>�������1�2�������3��(� �D��C�K�������� ��-.��>�%������ �1�2����3������ ��-.�7��B��Q/�����[D��B�9�>�����_6:�#�%R��_�����������ZDE�6�*e6���� ��-.�F"�
�1�2�����Z��9���*��*��*J"��1�2��7��"��7��������2�2��7��"��7����B�&* �C����m6[�6����3/�
� ˆ ˆ ˆ ˆ( )A A B B ABC A B CΔ Δ
′ ′ ′ ′ ′= = ⇒ �� �
A
B C
�*J"��1�2��7����V����(� �B7��6���� ��2�2��7����V����(� �B7��6��B�&* �C����m6[�6����3/��1�2�����Z��9���*��*���_6:�F��� �"��7�����9���o��/�
ˆ ˆ, �AB AC A A ABC A B CA B A C
Δ Δ⎛ ⎞′ ′ ′ ′= = ⇒⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎝ ⎠�
�*J"��1�2��7����V��(� �B7��6������2�2��7����V��(� �B7��6��B�&* �C����m6[�6����3/��1�2�����Z��9���o��/�
�AB AC BC ABC A B CA B A C B C
Δ Δ′ ′ ′= = ⇒′ ′ ′ ′ ′ ′ �
[BC DE�N��O��N!9��� �[�"��:�D�������CA���DE�(� �G8�B��M��B7��6�
���� �� ��
A
C
B
E
D22
1833
21
A
B C
����K�D��y�Z��9���ABC �1�2��5YV��(� �G��N!9�z��U��M ���N ���P �r�O6�*&�� �[�6����3/��MNP���ABC�(� �1�2�
C�-��*s�MP���¸�AC����NP��¸�AB����MN���¸�BC�vS��
v��*sw ˆ ˆ ˆN P B= =1 3 � ˆ ˆ ˆM P C= =1 2 �F"�*�����vW�DL*&�>�%�����(��h�/6�s�*e6���%��(� �1�2���B������vWw�7�
M
B P
C
N2 2
2
33
3
1 1
1
A
��
��-9��� ��$�Hk7
�ABC A B CΔ Δ
′ ′ ′ �K���9���(��6%&��A B C′′ ′′ ′′�A B C′ ′ ′ � ABC�1�2���*&��� ���*s��DQ&�>�%�����s�A B C′′ ′′ ′′ ���ABC�1�2������B������Z �A B C A B C
Δ Δ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ �
�R(���>���=S�B�D�E������� Q�"������#���
������
�>: �*���*� ������5�Q��� �AH �� �"��a���)\�. �1�2��="�N!9���6�� �ABC �1�2�����K��*L[�9��
���"*�J��h�/6����6*��*��ABC�1�2��7��"��7�������AHC�1�2��7��"��7������ ��>�36� �
�ABC AHCΔ Δ
���"*�J��h�/6���D��*��*��ABC�1�2��7��"��7�������AHB�1�2�� �"��7������ ��>�36�� �
A
CHB
�ABC AH BΔ Δ
���"*�&����(��h�/6�s�AHB���AHC�(� �1�2���B������v�w��v�w�7��� �
��%�����"��a���)\�.�1�2�����Z*���*�������5�Q����Z"��a���)\�.�1�2��* ����C�s�$)[�6����3/����R��1�2�������) ����1�2�����F"��K����:���
� AH AC HCABC AHC ACΔ Δ
⇒ = = ⇒ = ⋅⋅ ⋅× ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 �� � �� �
� AH AB HBABC AH B ABΔ Δ
⇒ = = ⇒ = ⋅⋅ ⋅× ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 �� � ��
� AH AC HCAH B AHC AHΔ Δ
⇒ = = ⇒ = ⋅⋅ ⋅× ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 � � �� ¡
[�"*�J��h�/6�ABC�1�2��(�*�������%c�2�L� �U����;���0�G�����F�L*P��@������ �BC ��²²�²²��������������� � � � � ��� �[���K�N��K����*"7�(��E��>:����%�������?����z"*P���������ABC�1�2��DC�E�� ¤AB k²²��AH k�²²����� �
���i>j���"�N/�� ��+��Y�4
�
���� �� ��
[�"��:�D�������B�9�/�%8�*"��O��f���F"*��B���������K������%��* ����N��O�� �"��a���)\�.�1�2���e���¼ �d���< �h �; �� �
�c���¼ �b���¼ �e���+ �d �; �� �
h���¼ �b �' �c �4 �� +
A
B Cd e
bch
����
[��"�@6�nd3�����y���x�*"��O�������K�D��y����� �1�2����3��D@E.�* ���� �
v�������������������������������������������������������vW������������������������������������������������������ �vS��a
xb
c
a2
b2
c2
020
060
[�"��:�D�������B�9�/�%8�G8�B��M�B7��6��ZD��C�* ����������� �"��a���)\�.�1�2����� �AC���¼���AB���¼���AH���¼���BH��� ���BC���I�vS��
AB���¼���AH��¼���BC���¼���CH�������AC��;�vWAH��¼���BC���¼���AC���'���AB���4�v�
AC���¼���BC����¼���BH���¼���AH���'���AB�����v#
A
BC
D
E
x
y
416
12
203
x
C
4
6
3
22/5
A
B
C
H
A B
CD
12 �F"��(�M���)��K�)��BD�*U.�*��(�%@A�A� �UO6�7��*&��[D������%P������U/E��N��O��N!9� ���*A��B7��6����N�U/E��*U.��%P�ZB�9�)���%@A��B7��6��[D�����*��*��BH��%P�Z)������H�����%@A
[���K�?�������N�U/E�
�¡
��-9��� ��$�Hk7
A
BC D
E
5
15
C
BA
C
A B
�vN!9���6��w�*/��'I�5�Q��������!L��%6����e6�½@K�="���%"��*�� �� ��R�L�� �%8����ZD��6�8����*J"��l*P����K�(�*L�[D��/L*&���*.�*/��="��%P�����%s���K�F"��(�*��[��K�?����F!L��%6� �"�M��������%8�*/��;�*��*��W%s� �"���%P�K���K����B� �3����� �������*.�F��7�(�����
�D����Os�F!L��%6�(�M�����*��F"�� ��R�L�[D�
�� �� �G��� �D?E6 �[���K��� �B� �3� �"��a���)\�. �1�2� ��� �N��O� �N!9 ��� � [�"��:�D��������_6:�(� �DC�E�
���C�[�9��� AB AC BCK
A B A C B C= = =
′ ′ ′ ′ ′ ′��K�(��6%&�����"*�J��*e6����K���3��D?E6�������ABC ���ABC���3/��1�2����� ¡
[���K�)��1�2�����������AH�����AH�(� �5�Q���[�6����3/��AH B ���AHB�(� �1�2�����K�D��y�vS��
[�"��:�D������� AHA H′ ′
�D?E6�vW
[���K�?������� ABC
A B C
SS ′ ′ ′
�(� �DC�E��D?E6�v�
[�"��:�D�������ABC ���ABC�1�2�����(� �G����D?E6�v#
m60
m5
m1
���T��
��� ��:� +��3���#����������J'
K��(��K��������������K��F����
��� ��&���&����C�%H�
�7� ��!" �*_9%� �>�/� ��6�/�� �*_9 �Zl�*� ������K�D��>�*"� ��6�"��r�O6 �7� ����d"��� �(� �>�!��>��7�>:������B�%��(*�J@3s�z6���(������6��7�(��"7 �(��h� �G���� �ZD��@��*Q6 ���a ��k�����Zv�O"*L:���w��!�&�������v�M������w�>�6%"����������F��7�@ �F"�����[D��/9���v��:���w�F�s����� �>�*"� �(*@. �(*h ����_s �>*. ��� �(�"�9 ��B7*�
[D9����M������������F"��N��K�>�9
�����
���� �
���� �
����� �
n��2�� �o�Hk7
�¤
��"���Z�����="�>�*K�nd3��(�*��[�%9����/Q&������>:��I��t�Z�����*J6����>%6�.��"��%/����[)"�9���9:�������%_Q�����/9�&�������F"*��¦�a��Z�9���B�36�/Q&�p��"*R�>:� ����������Z�9���B�9�B���������� �U��V�*&��Z�����*.�������[)�9���/9������>:��I��t����������!*<
[�%9����/L*&�*e6���������>�%�A���ZD��S"*���N��.�>:���������>:�K�(��A%@h�
�� !���� ���
������
n��2�� o�Hk7k7Hk7o�Hk7�o�Hk��2�� o Hn��2�� on��2��n��2
��� ��:� +��3���#����������J'
���� ��
�[�������*.�>�*"����*��*M�(� �B����7���!"�(*/�%��K���s����K���K�����&�67��!s%K�(�/���������[�6�%8��������) �7�"� �"�M����F�EC�������6��O6���(7���3K�Z��:�)K�N������K�D��������s�����Z�6�%���%X3��(���c�����(7���3K���`�M������s�����/���F"����*��(�-L��"���K���3"�6���%8�����%e���F"��(�*��[� ��*��X������V��F"��DL*&�)�@k��F�EC�[�6���6��L�K���:����/���F"����*��h�/6��������6��&�����/������K���R���B����7��p$%@������6����(*J9�*&��k.�K�(��*L��7���3d��Zo�������X��?���������K�*��?"7�����/����� �%8��"a �Z�"�/����&�67�="���"�9%8� ��*h����������"�*"�M�D����>�*J9�*&�F"���*K�*!L��%8�������[��K�o����%8�(�/����
�[�9�� �%8�z6���*M��/�����*��(��k/.�� �8*s�o��*��F"������D8��*M�F"���"�_��������/?���K������7��6�>��%��>%�����B��p����C�����K�5�*9�(�*��K�����h�/6�F"����F�EC�Z%�����*M���z�O���/Q ���s�7��,M���*L��o��*��F"����[� �%d��(��"���Q����K�F"��(�*��) ��_6:�7������K�q*U��>�*J"���������%8���!/���DL*&�)�@k��ZF�@ �(�*��[D9��6�����%M
�[�6%9�)�_�(��k/.����K�F"��(7��6��B������(��E��D?E6���(���&�"��*������/E6�%������/��
�="�*&������Z�7��*¢�����>��%��>%�����B��7�� 11�DE"�������"�_��������Z�%��q*P�F"�����B���K�DK*9�nd9��_���F�EC�*&��vS��� �
[���K�N��K����*"7������[�67��*¢�����>��%��>%�����B��7�� 12��"������K�* �Z�9�������M�) �*J"��o�P���
�I 4<';0+��o�P������*L�������
1
4
1
3
1
211
o�P����* �DK��3��)_
��9�� �%8���Os�*Q6�* �DK��3��)_�Z�9���*Q6�n�Z���K�DK*9�(��k/.����K�F"������� �%8����K��6�?�P����������*&��vW
( )f x = ��������������������������������������DE�s������F"�� �U��V�[D�������="��_6:�DK��3��)_���o�P������*L��������F��� �U����v�[²[²
M"5/�l5 5��5��2!"��"����=���� ��>� �Y�4
�¥
� ��"a& �W�d/6� ��� �[D��B�9�)��DK��3��)_����� ����%@6 �7� ��3d��Z*"7 �N!9���� ��� �����>�36����(a�s�s����%@6�F"��K����K�F�����Z*"7�#��?A����o���
[]���"���� `"�aL�� ` �K�o�P����* �DK��3��)_�Z>�?�P����������`"�aL����^
������
�nd3��[D��B�9�)��#��Q/�� ������������ ( ) = 1f x
x� �U��V���������*"7�(� ���%@6���
�D����������K���r%�*��� ���%@6�F"��7�����K�* �K����KS��w� ( , )fD = + ∞0 �Ww� { }= − 0�fD �
3 4-4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x3 4-3 -2 -1 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-4
-3
y
x
�Q (x)���P (x)�>:����K�Z)���6�����"%&������="���� ( )( )( )
P xf x
Q x= �N!9��������*
[DE�6�*QR�Q (x)�(���@����s�����/E �(���@����s
[��/E ��"%&����%��7���"� �6%@6�*"7����%��F��i@ �� ( )f xx
= 1 � �U��V��������
( ) xf x
x=
+5( ) +=
−x
f xx
3
10
( )f x x= 5 f (x�����
)�)*+]�(� ��&�%�: �7� ��R�� �x �(7��±�M � ��"a ��� ����� ��� �(��6�8��� ��/��R �� �(*_9��%9��� �?��� ( ) x
p xx
=−
255100
� �U��V� ��"a �p (x) �� ��&�%�: ��R�� �x �>: ��� �K�[D��>��%��>%�����oEC�*��(7��±�M
[���K�N��K����*"7������vS���(�R�� �s �>��%� �������� �=" ��� �vW�(7��±�M �6�8��� �F"� �(� ��&�%�: �7�
��9�� �%8�(� ��&�%�:�7���R����II�B�&�º� ��*s�v�
���%9��@6�(7��±�M�6�8����F"�
I<I;I+I�Ix
p (x)
1
1
2 3 4
DH�*<����AJ&�U!�5S�
2��H�*<�<*�e
n��2�� �o�Hk7
�
���7:�(� �W��*M�D?E6�Z�%e���F"����[D���]��7:�(� �W��*M��*!�@A^���*��Z��?/!E��F!"7���="�D�OL%����*��(� ������7���!"�����*"7�ZD��zL%��F!"7���="�ZD��������?/!E��)���%-A�K�B��C��[���K����W�EC���7:�(� �W��*M� �@ ������F!"7���* �zL%�����[D��B�%��zL%�������7:�(� �W��*M��R���<I�F"�*�����[D��B�%��zL%�����W��*M�<�Z��7:�W��*M��I�7��Z7�*������Z��E���#�O��E�
�[�9���F"��7��*/_��f�*!�@A������D���D��*"7�#�%R����K��������7:�(� �W��*M��*!�@A������ �U��V�Z�9���zL%��B��C����7:�(� �W��*M� �@ �#�O��E��>�"�M����*&��vS��
�f (x)���x �I�<���������� ( )/
=+
xf x
x0 7���������� ( ) x
f xx
+=+
7
10�
�D�"%&������="�ZB��C����7:�(� �W��*M��*!�@A�������":�vW��9�� �%8��R���4I�B��C���*!�@A�D�OL%���R���Z*J"�� ��M��M�zL%����7:�W��*M���s�7��,M�K��� ��b�V%��v�
( ) = 80100
f x ���²²[[²²²[[²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
�� !���� ������������K��%P���[DE�6�y
x= 1 � �U��V��������� ���������*QR���A�F"�*�������9���*QR��6�%���@6�(*EK�º� �m*d��)�6������/9�&�(� ����7�
� �U��V����(�"%&������ ������Z��2��>�%�A���[��/E�6������>:� ������%-AZ���K�*QR�����"%&������="� �U��V���r%�*��*EK�m*d��K�(���A�[D�� { }− 2� �*��*�� ( )f x
x=
−5
2
���� �� ��
[�"��:�D�������B�9�B����(�"%&����%��7��="�* � �����
Dg �( ) =−
g xx3
4Df �( ) =
+x
f xx 5
��������&��N���
��B�&* �)���6�*��*�����g���f��������[��9���*��*��) ����g��������f������vS��
f (x)���g (x)��)�9���/9���>�E!"������F"��7��x�* �(�*��vW
���� �� ��
[�6%9�z?U���) �*��p�O�.���_6:�(� ���%@6��"���Z#�k/d��B�J/��="����(��E����������(� ���%@6�)��#�%R����F"�*����
M"5/�l5 5��5��2!"��"����=���� ��>� �Y�4
�
[���K�D.��g (x������� ( ) xf x
x= 2 � �U��V���������������%@6��
�Zx�>�9�B���#�%R��������/E �) ��?9��������� �U��V�!�"������.������[��/E�6�z?U���) �*��pY��K���������F"��(� ���%@6�K�)��������)"�����*"7�Z�6��#��Q/��) ������������ �����������6%9����*��*����������(� �U��V{ }fD = − 0� � gD = � �
[��/E�6�*��*��) ������������F"��h�/6���[)��K����?����>:� �U��V�>�*K�B���7��N?.��������� ������B��%@ �C�J[
��*s���6*��*��) ����g (x)���x��� ( ) = xf x
x
2
� �U��V�������������":�� �
������W�%����s��uE���D��*"7����%��7��="����K���r%�*��N��O�����%@6� �( ) gg x x D= =2 � �����������vS��
{ }( ) gg x x D= = −2 2� ������vW{ }( ) gg x x D= = −2 1� ���v�
{ }( ) gx x
g x Dx
−= = −−
22 21
1� ��v#
{ }( ) −= = −−
22 42
2�g
x xg x D
x�v�
���� �� ��
-4 -3 -2 -1 1 2
-1
0
1
3
4
3-4 -3 -2 -1 1 2
-1
0
1
3
4
4 43
y
x
y
x
2 2gf
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
n��2�� �o�Hk7
�
)�)*+]��"�� �W: ��"�9 �f7*� �� �vB7*��W:w ����6%��M ��� �D� �F!@� �ª�Q�� �F"�[�%9��� �/Q&�ZB*dR �>�"aX� �Z�"�� �*"7 �(� �B7*��F��7�(*J"� � �y��C �* ��" �� ��6�3Q3�: ���hQ6��£� �Z��K��� ���7: ��"�� ��� �(��"7 �(¾*6� �K�N!9���� �ZD� �B��:�� �B7*� �� �K ���: �[� ���6�*"� �� ������ �� �6�*K �� �)�eA �(� �m%���%9����5�*9��6��7����6%�[���:�����������Q�*� �DA*��� �ZW: �7� ��@�eA �)hC �K�N���� �/E�����6%�(� �m%��(����[�%9�*/�%��K�4II�7��`�����D��F!@��Z���"��
�°�*��DA������+4+�������� ����6%�F"*��¦�a��7���!"�� ���� �(���(a6��6� �(�*���%��!"�a6 ������a ��II����C����9��@�eA��6�*"��1A��
[��6�3K�¦*����K������*Q6
�K �D� �B�9 ��A�� �t"��� �(� �W�/K ����l�*� ��6�/�� ����� �7� ��&�a� �D@E.�/L� �W: �*"7 �� �(��B7*��F��7 �*y� �*� �>�_&�6��": �^ �K ��� ���g �F"� �z�.� �t�M �[D��*"7�����B�*K�>�*"�����l�*�����6%�="�(� � �HM �=@K��� ��"�� �]�D� �B�*� �W:��� �[DL�" ����9�F��7 �� ����9�>�/������L ����8 �z@A �F�J6��� �!�"� �� ��%�
�DE�s��@9�*e6�ZD��*/��;I����C
���� �� ��
������������ ���
�*� �*/�%��K �oEC�*� ����6% �=" ��"������ �(��� �S �*&� �Z>���@36�� �#�� �3� ���� �*��z@A�F�J6����d�>:����K��*K�?����S d= 356 � �U����7�����>:�>�%�����Z�9���DA�
�[D��*/�%��K�oEC�*���"��( /3 1 7� ��� /2 1 4� )�[���K�N��K����*"7������vS��
0+��d
0 4�0S d= 356
[���K�N��K����*"7�#��?A�vW[�²²������="����6%� �U����,M�Z�����D?2������ �3"��²²²��_���Z��A�* �>%s
�D�����6%������ ������%-A�;�����;����A��7��="����K�v�
����W�/K�F"�����[D�_6:�(�*���K�`O6�N������S d= 356 ���6���(�N%<*&���*+ � ����U��Z�"�"�����6%����!"��������������K���J� �K��%P�>�@ �[)"%9������9:����!"�������%��7���8*�
�[�9�?6��O�OC����A�� �@ �D��F!@�����%��5%6�F"�� ���������A�� �@ � �A%@h�������F"�� ������[D�� ( )f x x= � �U��V������������!"���������F"*��B��
[D��*"7�#�%R���>:����%@6����Q���6��O�OC
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
f (x) x�
y
x
M"5/�l5 5��5��2!"��"����=���� ��>� �Y�4
�
�r%�*�����%@6�Z ( )f x x= � �U��V������������%@6���O/6��=@K����N��O��N!9���� ����������K���r%�*��Z���%@6�* �K����K�nd3��[D��B�9�)��*"7����%��7��="�* ��
[���K�F���������_6:� ������,¢�[D�S��w ( ) gg x x D= − =2 ²²[² Ww ( ) hh x x D= + =2 ²²[²�w��� ( ) = + =kk x x D2 ²²[² #w��� ( ) ll x x D= − =2 ²²[²�
�[)��K�)�����y x= − + +2 3 � �U��V������������%@6�)� �%8���� �
�[�"*�J��*e6�������N?.� ��QR����y x= � �U��V������������%@6�v���� ��C*�w�vS��[���K�)�����y x= + 3 � �U��V������������%@6�Z��C�v���� ��C*�w�vW
������
[���K�)�����y x= − + +2 3 � �U��V������������%@6�Z>�"�M����v�%� ��C*�w�v�
-4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3 4
y
x
[D��³�������)������F"�� ������K����������N!9����%����
2 3 4 5 6-2 -1 1
-2
-1
0
1
2
3
5
4
3
y
x
��� �>: � ����� �,¢�����K �)���� � ( ) = + +f x x1 1 � �U��V��� ����� ����%@6 � ��[������
-4 -3 -2 -1 1 2
-1
0
1
2
3
4
3 4
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2
-1
0
1
2
3
4
3 4
y
x
n��2�� �o�Hk7
�
U,�V>���������&��(�/���� ��
������
�&<+]�~��J&�,���%F���%9����?����#�%R�F"�������%8�±��M� ��"a �Z§��K��M�="���
���DE�s����%8�§��K��M� ��"a ������ �U��V�vS��
( )
x
xf x
≤ <≤ ≤
=
3 0 2
4 2
5
6
�2�!=���%F�72�!+ �&*F�9
�������J� �7�DA����7��*/@K���+DA����7�DA����;���0
DA����;�7��*/3���7�DA��+�7��*/@K���;DA��+�7�DA��;���'
���� �����D?E6����b��R���A�>�@ ��%8�Zb��R���A�* �� �b��R�µa�������D?E6������A�>:�7��*��=s%K�b��R���A�F"*��¦�a��Zb��R*�c���A�* ��
�[�%9����B����>�36�f (x) ��³x¿�#�%R��������F"�� �U��V�[� ����
�F"*��%_3��[�6����(��B���K�F�����`O6�f�*L����"*8��"�#��h�����(���M����%��[��"%&����V*��,���*+ �Z§��K��M� ��"a ��������6�������%���[D�����\��F����� �Z(���M�����
²²[[²²²[[²
²
-1 1 2 3
-1
0
1
2
3
5
6
4
4 5
y
x
�)"������2��(�*�³0¿�0�� ³'��¿�'� ³I¿�I� ³�0�+¿���;� ³�+¿���+
-4
-4/3
-5 -3
-3
-2 -1 0 1 2 3 4
4
5 6
6/10
[���K�)����������F"�����%@6�vW
M"5/�l5 5��5��2!"��"����=���� ��>� �Y�4
)�)*+]�(���%� ��%k�� �=" �(���&�D@�. �(�*���D��B���K�F������������%��D@�.�Zj�8���%��D@�.� ��\a��(� �F/L��F�"�M���$�������[� ���@6�*��X������%k���="�D@�.�Z�������%��(� �D@�.�7��(��B7������A����F"�*������� ��%k�� ��"�_6 �D@�. �=" ��_�� �Z�����*e6���%�������Zo��*��F"����[�� �����D?E6
[D��(���M������="
�b��R���A�F��������D��*��*��Zb��R�*�c���A�* �b��R�µa��Z)"�"����2�����K��%P�>�@ [���A���%���(���>:�½s�D@
-4
-3/4
-5 -3
-2
-2 -1 0 1 2 3 4
3
5 6
4/25
-1/9 1/2
0/4 1/7 2/3-0/4
[�"��:�D�������B�9�/�%8����A��b��R�µa��Z���A���%���7��F/L*&�=@K����� �
�#�%R������W�%��A%@h����9����6�%�����(���A��s�*��*��x�B�J6:�Z³x¿���*&��� �[��E"%�� �B7��
�7��(��B7���* ����A��K�)��K��%���"�� �b��R�µa�������="����%@6�)��(�*� � ��,M��³x¿��I�B�J6:�ZI���x ���*&����2��(�*��[�%9����B����D?E6�(��A�s���Z����[�%9����*QR�*��*��³I��)��B7���%-A����A�� �@ �(�*��f (x) ��³x¿� �U��V������������O�����%@6�[D��B�9�)��f����(x) ��³x¿� �U��V������������%@6�7���3d��N��O��N!9���
�[���K�N�@!��³�0�0)��B7��������������F"�����������������������������������������[���K �nd3��B�9�B��� ����A��%���(����� �a ���6�� �(��UO6 �B�%d�� �� �vS�� � � +
�[���K�nd3���%���F"��(������a���+� �UO6�vW������[���K�nd3���%���(������³a ��+¿���³a¿�r�O6�v�
������������³a ��+¿���³a¿��²�����������������D����*.*��³a ��+¿���³a¿�F���(��U����s�v#���"*�&����(��h�/6�s�v�
]�³a ��n¿���³a¿��²��B�J6:�Z�9���b��R�(��A�n����O�OC�(��A�a�*&�^
)�)*+]� �?��� � �6��� ��@� �B�&�W� �� ����*� �����DEM ���� �DK*9 ��/EM �#$%*� �£*6��� ���6�%�����v~}}�����|���������[���}[��w� ��"a �(���M������,¢�[���K�W�d/6�����*_9�D@�. ��� �>7� �oEC*� ��� �/E� �=" �����
[���K�B� �3�
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4y
x
³�+�0¿�� �³���¿��� �³��� ¿�� �³I�0¿�� �³�I�0¿�� �³0��;¿�� �³+¿�� �³��+�¿��� �³���<¿��� �³���¿�� �
����������������[�"��:�D�������*"7�(� �#��?A�NR�C�� �
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦41
37�⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦
13
51
������
���� �� ��
-1-2-3-4-5-6-7 1 20 3 4 5 6 7
n��2�� �o�Hk7
¡
����
[���K�)�����Df �³�;��;¿�ÀIÁ� ����������� ( )f xx
= 1 � �U��V������������%@6� �
[�"��:�D������� ( ) xf x
x+=−3
3� �U��V����(�"%&������ ������ �
��6*��*��) ����B�9�B�������������":���%��* ���� +
S��w� ( )x
f xx
− <⎧= ⎨ >⎩
1 0
1 0����������������� | |( ) = x
g xx
����������������Ww�f (x����x ������������������� ( ) xg x
x−=+
2 4
2
[���K�E"�O��>�/6�/���W�%���������%8�t�M�[�%9� { }− −1� �*��*��f�������K���E"%����"%&������� 0
[���K�)����� ( )g x x= − + −3 4 � �U��V������������%@6� ;³+II�0II�¿���������������������³��I+�II+¿���������������������³��+I �;0¿���������������������������[���K�W�EC����N��O��(� �#��?A�NR�C� '
[���K�)������������(���M������ <[ , )( ) [ , ]
( , ]
x
f x x
x
∈= ∈
∈
3 0 1
0 1 5
2 6 7 �[���K�)�����Df������³�+�+)� ��������f��(x) ��³x¿��� �U��V��������� 4
[��/E ��*C��L����(��_9�>��67*L�Z*"%k�����*V�C�>�K�%K����
)�)*+]��?"*O���%P�� ( )f x x= +7 50�����oEC*� ��� ��>�K�%K �G%/� ��.�>�36 ��J �� �'I ����C ��� �*/���/6���B�� ��>�36 �x ����� �F"� ��� �[� ����
[D����%��7��,M�(� �B���p�?"*O�� ��� �±�%K�="�G%/���.
�D����Os�±�%K�="�G%/� ��. ����s���
��%9����*/��="�p�?"*O�
��o�>�B�
p�
±
U���"�U��M"�/� �M"�/�U��% �5 �� ��+�4�Y�4
�
�����K��F�����
�r%�*��D���D@�#Y@��7��="�* �K����K�F�����[D��*/�%��K���'�p�?"*O��N"���* �vS��[D��½s�D@�(� �U����7��="����K��
( )f x x= 8
5���������������������������������������������������[D��]*/�%��K^���]N"��^��?"*O��N"�?��(�*��U����F"�
( )g x x= 5
8����������������������������������������������������[D��]N"��^���]*/�%��K^��?"*O��N"�?��(�*��U����F"�
�D��DA��*��*/�%��K���s�(����������p�?"*O��DA��*��N"���+I�(����vW
�>�%�����6%Js��������x�*�X/������P�?����s�y�*�X/��K���K����>����y �f (x)� �U��V���������* �6%Js�)�6����K�D��)_��� �&�����[���:�D�������y����O��Zx����O��F/9���D��������D��C�F"��7��B���(��6%@6�(*�&�B7��6��(�!"�N"�?��[����x����O����y����O��7��>�%����
�[D��[����>�36�o�*��(� �m�7�7��(��A%@h�����>�%�������������="�K��"����*P�8��
���� �� ��
)�)*+]�(� �B����=@K����Z>�6����V�"��K�D� ����F�@d������������K����fY��ZD��@��(���:��h"�/6������7�F"�����������"�D��D��@��pY2��K�� �����>�36������F"��[�6��B����) ������ �s �>�*"� �D��@� ��0�I ��� ����p$%@�� �N@A ��� �Z@ �F"� ��� �[�%� �� �%8�>�%�A �� ������ �D�@ � �a�6 ����� �F"� �>�����s ��� �)��K �nd3� �K �D� �)_� ���2��*Q6 �>%���� ��II �� �>�*"� �D��@� �����(��6%@6 ��� �)h�M �NkL ��� �[��� �� �%8[�9��� �%8���9:�D��@��F�@d�����%��7�
��[D��f ����À(��¡)���(�� )���(���)Á����*��*��f �À(¡��)���( ��)���(���)Á������>�������2��(�*�
��� �(b�a) �o�*� �m�7 �>�%���� �(a�b) �o�*� �m�7 �(� �Q�g� �>�*K��������� ����Z)��K�����������f������o�*��(� �m�7� �@ �(� �Q�g��*&����C�[���:�D����>�36�f����������������)�"%&����f������2�&*�����>:�K��":����D����(�"��� �U���
[)� ����
���� �� ��
[���K�W�EC����B�9�B����(� ������>����s ���s �À(���)���(���)���(���)���(�� )Át ���t �À( ��)���(����)���(����)���(����)Áu ���u �À(����)���( ��)���(���)���(����)Á
U���"�U��M"�/� �M"�/�U��% �5 �+�4�Y�4U�U���U���"�UU���"�U��"�U��MU��M"�/�U��M"�/� �M"�/� �M"��/� �M"�/�U �M"�/�U�M"�/�U��%U��% �U��% �5 % �5 �5 ��+���+�4�+�4�Y4�Y�4Y�4�44
K��(��K��������������K��F����
���� �
¤
n��2�� �o�Hk7
[D��B�9�)��f���������%@6�B�9�B����#�k/d��B�J/����� �[�� ��`"�@6�o�*��(� �m�7�7��(��A%@h��#�%R������f������vS��[�� ��`"�@6�o�*��(� �m�7�7��(��A%@h��#�%R������f ��������vW
[���K�)�����f ������%@6�Z#�k/d��B�J/��F�@ ����v���6����) �����P�?����s�f �����f����%@6�v#
[]�6*J"�!"� ��"*.�²²²²²²²²���D?E6�f �����f����%@6^�>�����,¢���D�������="�l*���B�9�B�������%@6��*s����K�>������%��* ����vS��� �
[���K�)�����>:
������
-1 1 2
-1
0
1
2
3 4 5 6
3
4
5
y
x
6
-1 1 2
-1
0
1
2
3 4 5 6
3
4
5
y
x
6
3 4 5 6
3
4
5
-1 1 2
-1
0
1
2
y
x
6
[���K�N��K����*"7�#��?A�vW
[���K�)�����B�9�B���������>��������%@6� �
�� �D?E6 ��� ����� �>: ����%@6 � ��"*. �D� ��L�K ����� �=" �>���� ����%@6 �)� �(�*�[)��K�)��²²²²
-1 1 2
-1
0
1
2
3 4 5 6
3
4
5
y
x
6
U���"�U��M"�/� �M"�/�U��% �5 �� ��+�4�Y�4
¥
�Z�6�!�M����%@6�=@K����[���K�D.��B�9�B���� �6%@6���vS��� �[�"��:�D�������B�9�B�������%��>����
K��(��K�������
����������������[D�������="�s �����*�8���������������������[D�������="�t ���*�8���������������������[D�������="�u�����*�8�����
������
[���K�W�d/6�����D���(� ��"a&�N��O����������vW
[���K�N��K����*"7�#��?A�v�[�9���/9��6��%���(��*!��²²²²�(� �Q�g��f������#��Q/��o�*��(� �m�7����B�&* ��D�������="��%8�Zf������>����
�Z�9���/9��6�(��*!������(� �Q�g��Z�%8�#��Q/��o�*��(� �m�7����K��������[)�"%&����z%����z%�����
[D�������="��%8�Z="���="������* �>�����C�J[ �*�8��"�D��="���="������F"��K����K�F�����[�"*�J��*e6�������f �À(���)���(���0)���(������)���(����)Á� ������v#
[D���V������A��6%8�B�*&��������D3J6��*y�������*J6����*"7��6�!�M�(� ���%@6� ���6�!�M ����%@6 ����K �K ����K �nd3� �vS����6�!�M ����%@6 ����K �� �D3J6� �*y� �� �r%�*�
[D���6%8�B�*&���r%�*���6����������* �g���f��":�vW
�>�%�����s�g�����f ���>�%���������%�����v��DQ&
���/E �="���="�g���f���������7��="����K�v#[���K�N��K����*"7�(� �#��?A�v�
[�²²�F������/!"��%P������D"% �Z>�E6��="��6%8�B�*&�F/E6�����[�²²�F������/!"��%P������D"% �Z>�E6��="�D3J6��*y��F/E6�����
................
........
:
�t&
:
�t&
s s �1
4531
1234
1234
4531
1234
2
5
1234
6
5
t t�1
u u�1
f g
¡�
n��2�� �o�Hk7
)�)*+]�Z�6��@ �Â����N-L �F"������9� �`�M �� �>*.�W�/K ��� ��6�*"� � �/E�*� �£�%� �� �o�?P��"���9����� ����s�)����t"��%/��������� �B�*K �B��9� �D3J6� �*y� �z"*P �7� ���*L��#���*h� �� �� �%9^ �K ��%� �B��� �b�V%��(*Q6 ����º� �D3J6��*y� �K�� �����>�36��� �>��7 �>: ��� �[]DE�6 �>�E!" �pY��K�*_� �(�*� �DE9 �D3J6� �*y� �7� �a�6 �>�*"��N"��� ��� �[�6�*K��� �B��Q/� ����� �>�*K�F/L*& ���_�� ��� �a�6 �� ���*c �Z)/E�� �>*.�#�O�O�� ��� ��"���9 �(�*� �� ��.*9 �7��B7�*�� �[��/L*&�B*_� �D3J6� �*y� �7� ��"����7� ��!" �>�%�A �� �D3J6� �*y� �n�d3�����="*/�%���f���F"*���"*���F"*��z�.�����*/���*/�K�(� �)/E��D�����ÃQC�ZW��c �� ��%-C �(� �DA� ��� �F��i@
[�����(���E���*���K
�[�9��������K����K�)��(���%@6�Z) ���B�9�nd3��r�O6�>�*K�NR�����ZB�9�B����N!9���� ��D��="���="��"��B�*K�)��K��������":�vS��
�Z�����="����%@6�F/9���D��������6%Js�K����K�nd3��*"7�#��?A�>�*K�N��K����vW�*�8��"�D��="���="������>:��":�K�����n�d3��>�%����
������
-6 -5 -4 -3 -2 -1 10
1
2
3
4
-1
-2
-3
y
x
��U.�UO6�="����*2K��C������������%@6�[[[[[[[[[[[�%���(7�%�� �G8�* �*&�[D��="���="������>:�B�&�>:�Z��K
�D��="���="�*"7����%��7��="����K� �
y
x
y
x
y
xx
y
x
y
x
y
x
U���"�U��M"�/� �M"�/�U��% �5 �� ��+�4�Y�4
¡�
P��W��L��)#������K��F�����������)��9�F���'�P ��(��[vD��f�������*����@6 fR w[� �����>�36����f�����������f��r�?����*"7����%@6�Z�9���>:�>����������f�����������9���="���="�������f�*&�
��� ��b�V%�����*"7����%@6�vW�(+���<)���f����������(<���+)���f�������
f��������(<) ��+���f (+������<�*J"��#��?A��
f
A B
f �1
ff (x) R���� fx D ( )f x y�( )x f y�� 1
7=f (3)3 = f (7)�1
�7 12
( )� �2 3 1
f
f �1
[)"*�&����*e6�������f (x ) ���x ������U��V��������[D��="���="�f��*s�K��� ��b�V%��f����%@6�=@K���vS��
������
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
y
¡�
n��2�� �o�Hk7
�y 12
x yf (y)
2� �
�� 1 1f (x) y�
f
f �1
12x �
�)"����Z�f (x ) ���x ������U��V���������� ������%-A�* �(�*����K�D��C����v�
�D9%6�>�%�����F"�*�����v#( ) ( )
( ) ( )
f
f
f x x x D
yf y y R−
= + ∈⎧−= ∈
⎩1
2 1
12�D��*"7�#�%R���f��������(�*��o����`"�@6�="�F"�*�����[D��f��*��>�@ �f�������������K�D��F"�������D�@ ��K�i6:
( ) xf x− −=1 1
2
���K��%P�����������Zf���6���D��y�*�c��U8������="�>����������U��V�>���:�D����(�*���Zx �� �y �>�*K���������� �,¢�[)��K����?����y �oEC*�����x ، y ��f ��x )
�[)"��:����D�������f������(x )������ �U��V
f (x ) ���x �����y ���x �����������������������������x ��y ��������������������������� y
x−= 1
2
������������������������� ( ) yf y− −=1 1
2
������������������������� ( ) xf x− −=1 1
2
���� �� ��
[�"��:�D�������*"7��U8����%��7��="�* �>�����v��*sw�[D��="���="�D��y*�c��U8������* �� ���S��w�f (x)���x �;
��%9����?����F��s�Z�f (x ) ���x ������U��V���������>����
U���"�U��M"�/� �M"�/�U��% �5 �� ��+�4�Y�4
¡�
�DE�6�="���="������="����%@6�ZB�9�B�������%@6��*s�vS���� �
�[���K�N"�?��="���="������="������N��O�����%@6�ZUO6�="��_���l�C����vW������W�%����s��uE�
[���K�D.��ZN��O��N!9����f���(x)����x�����0x �+� �U��V������������%@6���vS���="���=" ����� �=" �>�%���� �*"7 �(� �B7�� ����K �(�� ����� �F"� � ����� �>�*K ������ ���
�D8����³���0) ����³I��¿ �
��*s��D��="���="�������Z�� ����������* ��":�vW
���� �� ��y
x-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
5
4
Ww�g (x)��0x�����������������w�u (x)���x �+����������������������#w ( )v x x= −2
43
�
�[�"��:�D�������f �À(��+)���(����)���(����)Á������>����� �[���K�)�����N��O��N!9����B�9�B���������>��������%@6� �
����
-3 -2 -1 0 1 2
-1
1
2
3
4
y
x
-1 1 2
-1
0
1
2
3 4 5 6 7 8
3
4
5
y
x
6
¡�
n��2�� �o�Hk7
-1 1 2
-1
0
1
2
3 4 5 6 7 8
3
4
5
y
x
6
-4 -3 -2 -1 1 2
-2
-1
0
1
2
3 4
3
4
y
x
[����������*"7�(� �U��V�������%��7��="�* �>����� �U��V� +( ) x
f x− += 7 3
5�v� � ( )f x x= +3
45
�vW �f �(x)���;x�����vS������� �=" �� ��� �>: �ZN��O� ����%@6 �r�O6 �7� �(����� �l�C ��� �)� �%8��� � 0
��6�@���.����6�%�����UO6���s�*2K��C�[)��K�N"�?��="���="
����K�)�����³����;¿��*����³I��¿� ������������������%@6� ;����������[�9���="���="������F"��K��P*9���vS��
[�9�?6�="���="������F"��K��P*9���vW
��� �="���=" ����� �=" ����%@6 �ZB�9 �B��� ��B*"���)�6 ����%@6 �7� ��3d� �l�C ��� � '[���K�nd3�
72*�S
9�X�!*
&���!�
���sE
!
M"5/�� ���!F:�A�'(5� �+��Y�4
¡
M"5/�� ���!F:�A�'(5 �+��Y�4MM"5M"5/�M"5/�� "5/�� ��/�� ���!� ���!F:���!F:�A�!F:�A�'F:�A�'(5A�'(5 +�'(5 �+�5 �+��+��Y��Y�4Y�4Y�44
��� ��&���&����C�%H�
����� �
�S"*���*"7�#�%R�������_6:�)�EO����W*V�Zz"*Q��Z�@��#�%R�F"�����Z��9���Dg���Df�(� �����������������o��*����g���f�*&�[)��K���
�#:�>�)�I��t�f%�e ���!*<�f%�e
��@��(f �g)�(x)��f��(x����g�(x)f g f gD D D+ = �
z"*Q�(f �g)(x)��f��(x����g�(x)f g f gD D D− = �
ÄW*V(f��[g)(x)��f��(x)[g (x).f g f gD D D= �
)�EO�( )( )( )
f f xxg g x
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠{ | ( ) }= − =�f f g
gD D D x g x 0
[�� �����>�36�) �fg��"���f ·g�(� ��@6�������g���f���������W*V�Ä
�="�* � ���������"��:�D������� ( )fg ��_6:�)�EO��NR�C���W*V�NR�C�ZNV�Q��Z5%@h��B�&�>:�Zg�(x�����x �����f���(x������x ���*&�
[���K�nd3�����NC
(f �g)(x) ��f ���(x����g (x����(�x ��) ��(x ��) ��+x �+ �
(f �g���x) ������������������������������������� �
(f��[g)(x) ��f (��x)[g (x) ��(�x ��)[(x ���) ���x����;x �� �
.f g f g f g f gD D D D D+ −= = = = =� ��� � �
( )( ) ( )f f x
xg g x
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠�
( ) ( ){ | ( ) } { | } { }f f gg
D D D x g x x x= − = = − − = = −0 2 0 2� ��� � �
������
����������
¡¡
n��2�� �o�Hk7
)�)*+]�7���3d�����[��K�������%����*s�7���D��#$%k���Z�J6�8�B�&��K�="������A�ª�*"�����a���B�J9�*L�7������3d�����*s�B�J9�*L�7������%8�7��6���%���7�%������%����"*L:��K�(� �s��7����������_6:�Z(*� ���$%k������%��7��,M�(��[��K����(���"*8
[� �����>�36����="�����������"*8����O��*"7�(� ���%@6�[�6������f�*L���(���"*8��*s�>��%����a ���s�Z/9�&����B���* ����K�� �����>�36�f����������%@6�F����_s�������*� �F"��,M�[f����*����������ZN!9����%�������2��(�*���D��B�9
[D��B�"*8��*s�>��%����a �����Z���B��
���a���>��%����a ���s�/9�&����B���* �������*� �F"��K�� �����>�36�g���������%@6�[D��B�"*8�ª�*"��
X%<&��
�AU
S�%<&* <*<�] �� <*<�!
&+%�SW �S! 2��
0 &�0 V< X#S�
��3�*
g���� �&*<+#)
50
0
100
150
200
250
300
350
400
f���� �&*<+#)
50
0
100
150
200
250
300
350
450
400
500
X%<&��
�AU
S�%<&* <*<�] �� <*<�!
&+%�SW �S! 2��
0 &�0 V< X#S�
��3�*
��*s� ��"a ��D��`d�����N��9�Z������%8�B�&��K������A�K�(���"a ��.������,M[ª�*"�����a��� ��"a ��
��� �[D��B�9�(���"*8��7�%� �� ���%� � �@ �D@�. �N��9��� �] ��"a ^ �ZB���>��7 ��������F"��[D��B�9�)��/9�&���������A��"*8� ��"a ���������%@6��������N!9
�[)� �����>�36�c���������*��>�/E�7�NkL�(� �B���(�*�����c������(� ���O���/���ZN!9�(���*��vS��
[���K�D��D���c (x) ��f (x) ��g (x)�Zc������ ���������x�* �(�*���":�vW
�) �������g���f���������*"��O��Zc������*"��O��>���:�D����(�*�����������K�>��i@ [)��K�����@�
100
0
200
300
400
500
600
700
800
X%<&��
�AU
S�%<&* <*<�] �� <*<�!
&+%�SW �S! 2��
0 &�0 V< X#S�
��3�*
c���� �&*<+#)
M"5/�� ���!F:�A�'(5� �+��Y�4
¡�
���� �� ��
���f����(x) ��x���x ���(� �U��V������������(�*�� �[���K�N��K����B�9�B���������g�(x) ��x ��
��� ( ) = +1u x x �(� �U��V��� ����� ��� �(�*� � �[���K�N��K����B�9�B���������v (x) ��x ��
�[�6��B�9�B����>�36���:���a�*.�(� �§6�����o��*����g���f���������ZN!9�z��U�[�"��:�D�������g���f��������� �U��V�vS��
g (x) ��² �f (x) ��²
[�"��:�D�������f�����g���f�����g��������� �U��V�vW(f �g) (x) ��²��������������������������������(f �g ) (x) ��²
[���K�)��S�/d��(� �§6��������f��g���f �g����%��(� ���%@6�ZN��O�������N�@!�����v��DQ&�>�%�����s��_6:�z"*Q����%������D���U8������="�3�@ ��U8����������@���":�v#
��!*<�I��t��� ��f �g)�(x���f �g
��f �g)�(x���f �g
��f[g)�(x���f[g( )fxg
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�fg
��!*<�I��t��� (u�v)�(x���u �v
(u �v)�(x���u �v
(u[v)�(x���u [v
( )ux
v⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
uv
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
1
2
3
4
5
6
-1
��x
f (x)
g (x)
(f � g����x)
(f � g����x)
������
¡¤
n��2�� �o�Hk7
�(� �� �[ ( ) ( )l x f x= 1
2�K ��%9��� �B�"� �N!9�� ��%� ���
[���K�*M�������8g (x)���[[[[[[�f (x)
h (x)���[[[[[[�f (x)
������
�D���L�K�y�� kf���(x)� �U��V������������%@6�)��(�*��Z�9���D?2��(��A�k�*&�[)��K�*��*��k����y�� f �(x)� �U��V������������%@6�7��UO6�* ��*A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
g h
f
l
������������%@6�ZN��O��N!9����y�� f��(x)� �U��V������������%@6����%���� � �[���K�)�����y�� �f��(x)� �U��V
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
f
[���K�N��K����*"7�#��?A� �
�U��V���������%@6� ��"*.�D���L�K�y����f����(x)� �U��V������������%@6�)��(�*��[)��K�)��[[[[[[[[[[[��%�����D?E6����y���f����(x)�
�K��%9����eCY��ª%L����%@6����%����
���� �� ��
M"5/�� ���!F:�A�'(5� �+��Y�4
¡¥
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
����y�� ��f����(x��� �U��V������������%@6�[D��B�9�B����f���������%@6�Z�������N!9���� �[���K�)�
����
[���K�)�����*"7�(� �U��V�������%��7��="�* ����%@6�Zf (x) ��¸x �� �U��V������������%@6�7��B��Q/����� �S��w g (x) ���¸x ���������������������Ww h (x) ���¸x �+¸����������������������w l (x) ���¸x ��¸
[����������B�9�B������������z"*Q����)�EO��ZW*V�Z�@��NR�C� �U��V��������Z��%��* ���� �
f����(x) ��x��0 �g (x) ��x ���vW �f���(x) ��¸x � ( )g xx
= 1 �vS��
( ) −=+2
5
xf x
x�g (x) ��x��+x ��I��v# ( ) =f x x � ( ) = −g x x �v�
f���À(����;)���(+�0)���(I���)Á���������g���À(����)���(I�+)���(��0)��(+�I)Á�v�
[���K�)�����*"7�(� ���%@6�7��="�* �Z ( ) =f x x � �U��V������������%@6�7��B��Q/����� +� ( )t x x= −3 �v������������������������������� ( )s x x= − −2 vW������������������������������������������� ( )r x x=2 �vS��
( )v x x= − −1 3 �v������������������������������������������� ( ) = −u x x1 v#
���%@6�[D��B�9�)��g���f������������%@6�ZN��O��N!9���� 0[�"��:�D���������������F"���@��NR�C
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
f g
��
n��2�� �o�Hk7
)�)*+]��"��*&��?������F"��K��"�������%@6�[���K����%����*&�) �7��������NO/E���%P���Z>��7�) ���6�%�����K�D��)�e���N��.��"��*&��?������(�����ª����="�*"7�(� ���%@6����%�����[���"����` �K��"���`"�aL���������O��6%Js�ZO�.��;��*A����K�� �����>�36�� ���%@6�F"��[D��*"7�#�%R���Z���K�������%�
�D�����O��s��%9�������%��ª����F"�����K��"����F"*/@K���F"*/3��
7�Q�6<9��!< 7�Q�6<9��!<
%�!�_���&< %�!�_���&<
="����K����K�nd3��ZB�9�B�������������%@6����%����� �D��*J"����������5%@h��*��*���_6:�7�
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
hg f
x
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
>�<����!�&*<+#)/�*����!�&*<+#)
��E�TE��
(���3�&�!�.3��+��&���4��
���E�E��&���P�N+�X����%���"����
���E�E����� �
�D� �>�*"� �D8� ��B��% �� �F���� ����� ��B��% ���[DL*&���*.��-L����������+4<�B���F@_�����K�bU �(*/�%��K �h ��� �B��% �� �F"� �$�� �N!9 ����G8 ��%C �f�%8 ����� ��� �� ����� ���*. �F��7F��7�aK*��F��� �"��7���*&��[��K����DK*C��%/��N��. � �UO6 �F"*��D��������s ��B��% ����� �vo � �UO6w��9�� �B��% �� �F"� ��� �vp �UO6w �F��7 ��B*K �(����"��B�J6:��9���*/�%��K�'0II�F��7��B*K��?"*O��5��9��
��� cosh
α =+
6400
6400 PA = × α6400 �v>�"����oEC�*�w
�����
���� �!"#$������$
���� �
���� �
����� �
��hOh�� ��!�Hk7
��
��hOh�� �!�Hk7k7Hk7!�Hk7��!�Hk! Hh�� !hOh����hOh��hO�
(���3�&�!�.3��+��&���4��
���� ��
&��'�����* ��B7��6��[D����&<���� �>�@K�F"��7�����K�* �(�������(aK*�� �"��7��B7��6��Z)��K�)�EO��(��E��>�@K�+'I������(��B*"���G����*&��
�[D��*��*������oEC*��>�@K�>:�(�������(aK*�� �"��7����>�@K� � !�AS��ZD_��F"����[D��DA��(� ��*OA�f�*&�lY8*��>:�D?2��D_��K��C���5��9���D��(��B*"��� � !�G�%*<�
[D��#�k/d����?��B*"���F"��aK*��p$%@���[)�"%&���
�(��E��D@E.��0�� �K�� �����`"�@6�������2�2���B*"���="�N��O��N!9�nd3��N!9�(������o���� �"��7����8�(� ������[D��B�9�)�EO�
[���K���9:�>:��� ����� ����K�������%���(*J"���C���Z"��7�(*�&�B7��6� �(�*�
[�"%9���
AO r
A
B
O r
r
[�%9����nd3��>:�(�������>�@K��%P���>�@K�="�����������(aK*�� �"��7��B7��6��F��� �U����*"7�D����L���
������
�������t6��%P�����K�7���,¢�����i�¢��>:���������d6������K�W�d/6��N!9�(��B*"���µ�9�="� �����O��F"��7��B��Q/��������K����nd3�����B*"���7���/�@K�s�t6�F"���%P�[�"*�J��B7��6��`K�G8
[�"��:�D�������B*"���5��9
� �UO6������ ����*.�B*"���>:�(���A� �UO6�7�����>:����� ��f*��B*"���5��9��B7��6��������d6��U.� ��������s�p�?"*O��"��7�F"��[���K�(*�&�B7��6����O6�������AOB B7��6��[vN��O��N!9w��%9�NR�C�B
�D�
00
15
......
......
..................
......
......
......
......
......
...... ......
......
......
......
0
900
1200
1800
1950
2400
2700
3150
O
�� 5���!,K�4�58 5����875 �� ��>� �Y�4
��
A
BC
D
E
F
G
Or
r
r
r
r
rr
�����������K�F"�����%9�NR�C�C� �UO6������ ����*.�B*"���(���B� �UO6�7�����t6��U.�F"��B������ �Z��COD �Z�BOC �D��C�F"�����[vN��O��N!9w���":�D����B*"���(���G���F�ZE�ZD�r�O6������ ������":�[D������²²²�p�?"*O��="�* ���*��*��²²²�"��7�����FOG ����EOF �Z�DOE
��6%9����z?U���) *��A���G� �UO6�²²²�����_6:�7��="�* �(�������>�@K��%P�K��%9����NR�C�(aK*�� �"��7�¡�o��*��F"���
[)�"%&����2�%<*&�z%�� �"��7�F"��7��="�* ���[D��*��*��B*"��
[���K�nd3������oEC�*�����"��7��B7��6����O6�7��B��Q/��������K�* ����[D��>�"������B�9�nd3�� �"��7��B7��6��*"7�(� �B*"�����@����
�)"����N��O��N!9����Z�9���>�"�����Z�AOB ��B7��6��*&��*J"��#��?A��OA AB�
�OA A B �
�OA A B �A
B
A
B
A
B
O
O
B
A O
B
A O A
B
��%P���B*"���7���6�@K���������� �(aK*�� �"��7��B7��6�����D��*��*��2�%<*&�u[B*"���5��9
[���K�N��K����*"7������� �
�NW�
¡r �r �r r32 r
2�#J�/+HABi
u��i��1
>�"���� >�"����� >�"����� >�"��� 32
>�"������G=*�)*��%�*=
� iAOB
u��i��1
rO A
B5
rO A
B1
rO A
B2
rOA
B3
rO A
B4
O Ar
B7
rO A
B6
��hOh�� ��!�Hk7
��
����K�N��K����*"7������$��� �U����7��B��Q/����
*/����*/�� �*/���/6��¥�*/���/6�����*/���/6�� ��l
*/���/6����*/����*/���*/���� */�� */���/6�� r
�>�"������>�"������>�"�����>�"������ >�"������
���� �� ��
�D����>�"����oEC�*��>:���r%�*��(aK*�� �"��7��B7��6��Z(r)�B*"���5��9��B7��6����>�@K��%P�)�EO�����>%/�* �������������K��%P�>�@ [�":���
�DQ&�>�%�����N?.� ��QR���������%����
�>�"����oEC*��"��7�="��B7��6����"��7�(�������>�@K��%P
B*"���5��9��B7��6�
�B*"���5��9��B7��6��r�Z"��7�(�������>�@K��%P�l�*&�� �U����B�J6:�Z�9���>�"����oEC*��"��7��B7��6������D9%6�>�%�����*"7�#�%R������$��
lr
� �
[�6�C���) �r���l��$��� �U������
&��'�����F"���?"*O�����O��[��"%&�����M���A�>:������� �����`"�@6���������>:�K�D��D��y�(��A�>:�*U.��B7��6����B*"���* �G����D?E6�)�6�����
������K�N��K����*"7��������C�[D��+��0���A
�>�"������>�"��������>�"�����>�"�����>�"�����>�"������ 2�%<*&�DE-����%�*=�¤�°�p�O�.�[[[[�p�?"*O�[[[[�p�?"*O�[[[[�p�?"*O� �°�p�?"*O�[[[[�p�?"*O���&<�DE-����%�*=
�"��7 ��B7��6� �*J"� �#��?A �� �[>�"��� �²²²��" ���� �²²²��� �D� �*��*� �B*"�� �)�6 �>�@K �� ������� �(aK*� � �"��7 ��B7��6� �ZF"�*�����������������������������������������������������������h�/6����[>�"����²²²����D��*��*���QR�)�6
����="���>�"��� �180
�������
O r
l
�
�� 5���!,K�4�58 5����875 �� ��>� �Y�4
�
�o��*��F"���>�"����²²��¥�Å
>�"����������¤�°�����������������������������²²� π
3���²²
��>�"����²²���²²>�"����²²����Å�
����K�N"�?��>�"����������7������ �"��7�7��="* �6%@6�z��U�� ����� �� ��
)�)*+]��6�_��7�� �>�%�A �� ����� �) ���_s�7����F������*"7��D��B�9�(���&���6��M���A�#�%R�� ����������0�t"��� ���A�F"��).���� �l��k� �t"��� �F"� �[� ���� �>�36 �+��0�>%�K���[D��a�6�F�/3�6��#*?�:���%��7�*����M���A�a�@��7����� �).��>%��"*� ��+����C�>�%� �)R� �� ��%��� �[D� �B�9 �?����>:�(��3A����.���>�%��B�A�.��������A�F"��t"��� ��@� �7� �(��A �5%6 �* �F/L�" �>�!���� �FQ�� �B��@9 �Z�!6�� �W�EC �B��@9 �Z��%�� pY2��[������%���>:���.���F�������_6:�*"�e6����EC��%@����%EL�*M��%C*����%��t"������ �>: �>�%���� �K �D� ���4� ���Q� �+�[D9%6�4���I+��@.��'�`"�@6�#�%R���>�%���� �{Æ���|Æ[��{ ��6��� �z"*P �7��[DL�"��M���A�(��3A����.���F���������F"��F"����>�����������M���A���.���*"7�N!9�F"��z"*P�7���@9���C�[� �����>�36�`"�@6���.�� �F�� ��� ��� �>���%8 ���%� �t"��� �6���
[��������M���A
�B�J6:�Z�9���>�"����oEC*� ��"��7��B7��6��R�������oEC*���� �"��7��B7��6��D�*&�° = π180
D R>�"���
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
�12
�3
�2
�4
3
�2
3
�
�6
10
7�6
0
......
......
..................
......
......
......
......
............ ......
......
......
......
O
���ǡ
k�>�"���� π180
�
��Å� �>�"���� π6
����������������¡Å� �²²²�� Å� ²²²��������������¡�Å� �²²²��¥�Å� ²²²���������������¤�Å� �²²²����
����K�N��K�U����F"��7��B��Q/��������*"7��������C� �
���Å��Å Å�v���w�Dπ54
π25
π7
π36�v>�"���w�R
[���K�nd3��>�"����oEC*�����o���� �"��7����8�(� ���7��="* ����*"7�N!9���� +
��hOh�� ��!�Hk7
�¡
�(��������K�N"�?��>�"���������+�;�����I;�Z<��Z+'�Z����(� �"��7�7��="* � � �[�� ��>�36����2�2���B*"��
�>�"���� π65�Z>�"���� π7
8�Z>�"���� π3
4�Z>�"���� − π2
5�Z>�"���� −π
18�(� �"��7�7��="* � �
[�� ��>�36����2�2���B*"���(����?"*O���%P��������K�N"�?����������
�D��������s�"��7�F"���B7��6��[D��>�"����π20
����*��*��D� �"��7�� ���%P����6�@K���N��O��(aK*�� �"��7��B7��6��[D����*Q��*/���/6���I�5��9���(��B*"���� 0
�D��>�"������s�B*"���F"��7��*/���/6��4�[���K���*��N����*K��������*"7�#Y@��7��="�* ��/���6��"��/���� ;
�F"���B�A�.�B7��6� �B�J6: �Z�9�� �>�"���������.�E���(��E/��1�2��ª�����F�� �"��7�*&��vS��[D��>:�(� �ª��7��="�* ��B7��6��7��*��=s%K�1�2�
�+��0����*��*��p�?"*O��>�"������"��7�(�������>�@K��%P�*/���/6����5��9���(��B*"������vW[D��*/���/6�
[�������*.����2�2���B*"��������������>�"����π65�"��7�>�@K�(�_/6��v�
[�� �����N�!3�����1�2��="�(�"��7�Z>�"���� π736
�Z>�"���� π9�Z>�"���� π2
3�(� �"��7�v#
�����
�)�)*+]�B��Q/� ��� ��� �>�"��� �oEC*� �"��7 �="��?"*O� ��%P �� �>�%���� �W�EC �F�9�� �7��o�c� ��� �[�*K �?��� ���� �oEC*���%�� �� ���@6 ��� �(��@K� �� �W�EC�F�9����L�K �>�"��� �� � �?��� �(�*� �pY2� �[�����K�)"��:�D������� × π
1801 �NR�C�D��[D��;<�+����*��*��p�?"*O�
��� �*"7 �(� �"��7 ��?"*O� ����O� ��@9 �Z��C�[�"��:�D����W�EC�F�9������6%@6���3�
>�"������ �� � ²²²²
>�"���� 45� � ²²²²
>�"������� � ²²²²>�"������� � ²²²²>�"���������� � ²²²²
>�"���� π3� ²²²²
>�"���� π4� ²²²²
>�"������� ²²²²
������
�N!9 �z��U� ��� ����@���F�� ��"�-L �B�J/E"�������?"*O� � ��R�L ��� �K ��"*�J� �*e6 ��� �N��O��*&��[�������*.�F��7�B*K�bU�($���(*/�%��K����A� �UO6�7������7�B�J/E"��G%��B�J/E"��F"��Z�67���� �0;° �"��7 �F��7 �aK*� ��� �K �B � �UO6�������������/L�E��s�B�J/E"��F"��Z�%9��R���?"*O��5��9��� �����`9%M�B���A�7���%8
[���K��*L�*/�%��K�¡�������F��7��B*K[���K�N"�?��>�"���������0;°�(aK*�� �"��7���/��� �
>�"����oEC*��AOB∧ �(aK*�� �"��7��B7��6��������0;°�È�²²²��� π
4�>�"��� �
�r���²²²����D��*��*��Z�������*.�>:�(����"�-L�B�J/E"��K�N!9�(��B*"��������5��9� ���%P��� l
rα = �U����7��B��Q/�������� � +��0��*L����A OB
∧′ ′ �(�������>�@K��%P� +
A��B�>�@K��%P���l��� π4�È�²� � �;++4�km������������������������������������D��*��*���?"*O�
AB
O
B Akm
400
km64
00
045
�
�
�
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
��
�D�YA�*"7������[D��B�9�nd3��>:�������_s��� ����2�2���B*"���="�ZN��O��N!9���[� �����>�36��������* �������2�2��D?E6���_s
���_sπ < α < π3 22
��%ππ < α < 32
���π < α < π2
���π< α <02
��&�A�E)� � � � � � � � � � !
������É α
������� α
����}|É α
������} α
��������������������������������������������������������������������������
[���K�N��K�6%@6�z��U�����*"7������� ����%�*= ��V�&����&�2�#J�V�S$)* � !�A�E)�A!a:� ° ������� }|É���®��� �° ��É�����° ��������° ��}���¤ ° }|É��
���%�*= ��V�&����&�2�#J�V�S$)* � !�A�E)�A!a:
>�"��� π34
������� ������¯��
>�"��� π45
����
>�"��� π53
}|��
>�"��� π512
�����
>�"��� π54
��}��
/�*���&>�<���&
>+����& >&�ST���&
������
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
o 0
0180
��
��
0902
�� 03
2702
y
x
o 00180
0
0
90
0270
� � 075
cos�
sin�
o
�34
�
�
2
�32
0
���
cos�
sin�
�/�j>j�����DF1 �6,"��>,'g/�m"5 � �+�4�Y�4��/�/�j>j�/�j>j���/�j>j���j>j����������DF���DF1 DF1 �6DF1 �6,"�1 �6,"��6,"��>,',"��>,'g/�>,'g/�m,'g/�m"5 g/�m"5 �m"5 ��5 ��+���+�4�+�4�Y4�Y�4Y�4Y�44
���E�E��&���P�N+�X����%���"����
���� �
��hOh�� ��!�Hk7
�¤
����K�N��K����*"7�#�?����Z�9����%���������� �"��7����������>�@K�(�_/6���� sin −α = 13�*&�� �
����¯I��������������� ��������������É����²²�����������������������������������������²²²
²²²�
}|��� sincos
αα ������������������� �}|É���
��}��= tan α1 =����������������� ���}��=2 2
�[���������������2�2��(� �D?E6�*"��������®I�����}�� �����*&�� ��F"�*�����[D���.���²²²����������>�@K�(�_/6��������}���¯I���������®I�>%s��NC
sin α21 �������}�����²²²� ���É������²²²� ���É���� −1
5�
����������É����²²²� ��������²²²� �
��}|É��� cot α1 �}|É����²²²� �
���� �� ��
[����������x� �"��7�*J"�����2�2��(� �D?E6�Z���É��x ®I��� cosx −= 45
�*&��� �
[���K�N��K����*"7������ �
x�d°^�2�%<*&�v�v1d°^�2�%<*&� 32πu�d°^�2�%<*&���d°^�2�%<*&�
2π�d°^�2�%<*&�
3�^�2�%<*&�
4πxd°^�2�%<*&�
6π°0 ^�2�%<*&�d���%�*=
A�E)�����������3
212�����
��22
������
B�36�S"*��B�36�S"*��}|��
33
���}��
²²[[²� ²²�²[[[²�
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
�¥
�[�"��:�D�������*"7�(� �#��?A�NR�C� +S��w� cot tan sinπ π π− × =
6 3 4�
Ww�tan ( ) sin ( )
cos sincot ( ) cos ( )
° °π π+
+ + =π π−
2 22 2
2 2
6 4 75 75
4 3�
����2�2��(� �D?E6�Z��+I�ZN��O��N!9����*&��[��"%&����*J"�!"� ��"*.������������ �"��7����7���6��#��?A�OP H
Δ′ �����+IÅ��� �"��7
��É�(�+IÅ�������)��� yr− ������É�+IÅ�� −1
2
����(�+IÅ�������)���²²²���²²²��� 32
��}|É�(�+IÅ������)��� yx− ���²²²���²²²
�����}�(�+IÅ��������)���²²²���²²²���²²²���K�D��C���
���(��)������������(��)��������}|�(��)����}|����}�(��)������}��
������
[�"��:�D����6%@6�z��U�����>�"���� π−4� �"��7����2�2��(� �D?E6�*"�� �
sin( ) sinπ π− = −4 4
��������������������������������������������������������
���� �� ��
o H 0
���
P(x,y)
P (x, y) �
r �1
cos
sin
�&+�!����A�E)�(x �y)����$O!�����IQ)�z%���%�6YA�*�(x �cy)����$O!����V*��IQ)�Q�*
��2�%<*&
��2�%<*&
��2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
o
�
�
2
�4
��4
�32
0
� �32
��
��2
cos
sin
��P�?����s�) ����N@!����)@/��Z�"*.�(� �"��7����2�2��(� �D?E6�)���?��)� �%8�����������[�6���
(���B�&���(���3����E�E��&���P�N+�
��hOh�� ��!�Hk7
¤�
[�"��:�D����6%@6�z��U�����*"7�(� �#��?A�7��="* �NR�C� �
cot ( ) cos( ) tan( ) cot cos tan−π −π −π π π π −× + = − × − = − × − =3 3 313 6 4 3 6 4 3 2 2
S��w [[[[[[[[[[[cos( ) sin ( )sin ( ) cos( )
° °
° °− + − = =
− − −90 270
180 360�[[[[[[[[[[[[[[[[[[
Ww� cot ( ) tan ( )−π −π+ =6 3
²²²²��w�����(�� Å�)�k�����(�¡�Å�)�����É�(�� Å�)�k���É�(�¡�Å�)���²²²���²²²���²²²���
$%���&���(���3����E�E��&���P�N+�
����F��i@ �[�6*J"�!"�N@!���;IÅ���+IÅ� �"��7����pY2��[�%9�>�"�������"��4IÅ��_6:�5%@h��B�&* ��)�"%&�N@!���� ������ �"��7����(�_/6����P � �UO6�#�k/d�����%�����B�J6:� °α = 30 �*&��*"7����2�2���B*"������[v��*sw����6*J"�!"�N@!��>�"���� π2
3���>�"���� π
3� �"��7
�7���6��#��?A��;I�"��7����2�2��(� �D?E6�ZD���.��������������K��;I�� �"��7�>�@K
��É��;IÅ�����É�(�4IÅ�+IÅ)���y�����É�+IÅ�� 12
�������;IÅ�������(�4IÅ�+IÅ)����x��������+IÅ��� 32
}|É��;IÅ���²²[[[[[²²���²²[[[[[²²��}��;IÅ���²²[[[[[²²���²²[[[[[²²
������
[[[[[[[[[[[[
o 00
P(x,y)
� � 0180
�� 03
2702
� � ��
( , )P x y �
cos�
sin�
���K�D��C��������(���)�����������(���)���������}|�(���)����}|����}�(���)������}��
���� �� ��
����K�nd3�����*"7�(� �"��7�7��="* �N@!�� �S��w�<;Å� Ww���;Å� �w�>�"���� π
12� #w�>�"���� −π
4
2�%<*&
2�%<*&YA�*�(cx �y)����$O!����V*��IQ)�V<+#:�&+�!����A�E)�(x �y)����$O!�����IQ)�z%���%�6
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
¤�
[�"��:�D����6%@6�z��U�����>�"���� π56� �"��7����2�2��(� �D?E6� �
sin sin ( ) sinπ π π= π − = =5 16 6 6 2
cos π =56
²²²²²²²²²²²
tan π =56
²²²²²²²²²²²
cot π =56
�²²²²²²²²²²²
[�"��:�D����6%@6�z��U�����*"7����2�2��(� �D?E6�7��="* �NR�C
���}|É� π23
���}|É� ( ) tanπ ππ − = − = − 33 3
������ π34
�������(²²²²[²)����²²²²²����É���IÅ�����É�(�4IÅ���²²)���²²²²²[[²²²���²²²²²���}�(���IÅ)������}�(²²²)������}�(�4IÅ���²²)���²²²²²�����(�+;Å���)����²²²²²²²����²²²²²²[[²²�����²²²²²
F��������YZ1#�����(���3�������E�E��&���P�N+��
������
[�"��:�D���������IÅ� �"��7����2�2��(� �D?E6�lY/8�����"�Z��IÅ��4IÅ�+IÅ�F@V����[D���.����%����������IÅ�"��7�>�@K�(�_/6�����B�J6:� °α = 30 �*&��ZN��O�����2�2��B*"������[D��>�"���������*��*��+IÅ�����IÅ� �"��7���
�7���6��#��?A���I�"��7����2�2��(� �D?E6�ZP ��UO6�#�k/d�����%�
��É���IÅ�����É�(�4IÅ���+IÅ)����y������É+IÅ��� −12
������IÅ���²²²²²²�������x���²²²}|É���IÅ��� sin
cos
°
°210
210���²²²
����}���IÅ���²²²²���²²²
������
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
ocos�
sin�
0
P(x,y)
� � 0180
�� 03
2702
� ���
� 090�2
( , )P x y � �
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&�V*��IQ)����$O!����!����A�E)�(x �y)����$O!�����IQ)�z%���%�6
YA�*�(cx �cy)����$O!���
o
�56
0
�
����
2
�32
cos�
sin�
��hOh�� ��!�Hk7
¤�
[���K�nd3��6%@6�z��U�����>�"���� π76� �"��7����2�2��(� �D?E6�*"�
sin sin( ) sinπ π π= π + = − = −7 16 6 6 2
���� �� ��
[�������6%@6�z��U�����*"7����2�2��(� �D?E6�7��="* �NR�C
sin sin( ) sin° −= + = − = 2225 180 45 45
2� � �
}|É��� Å�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�cos( ) cos cos( )− π = = π + = =4
3[[[[[[[[ [[[[[[[[[[[[[[[
sin( )− π =76
�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
cot( )π =54
�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
=%1��&���(���3����E�E��&���P�N+��
������
���K�D��C������(���)������������(���)���������}|�(���)���}|����}�(���)�����}��
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
o 0
P (x,y)
P (y,x)
� � 0180
�� 03
2702
2
1
� 090�2
�
�cos�
sin�
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
�pY2��[�%9�>�"��� π2
��"� I��_6:�5%@h��B�&* ��)�"%&�)@/����������� �"��7�����D��C�F"�����[�6*J"�!"�)@/��N��O�����2�2��B*"��������'I�����+I� �"��7���
sin cos= = 130 60
2� �
cos sin= = 330 60
2� �
������
o 0
�2
�32
�76�
���cos�
sin�
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
¤�
������
�����!"��%���B�J6:�( �� �� �
2�>�"���w��9���)@/�������� �"��7����*&���*J"��#��?A��
�*J"��>������[D��*��*��(*J"��D6�H6�/K�����!"�D6�H6�����(*J"���%��EK���������������������������������������������}|�������}�� ������������������������������������������������}�����}|�� �
F������ �2�YZ1#�����(���3�������E�E��&���P�N+��
tan cot� �3
30 603
� �
cot tan� �30 60 3� �
�)"����(��"��7�F��s�(�*��[�9���*��*��f�%8�)@/�����K����K��L*���(��"��7��É�²²��������²²�����²²}|ɲ²�������}²²�����²²
�F"�*�������6*J"�!"�)@/��>�"���� �2���²²�"��7�F��i@
� sin cos��
2²²����²²�
� tan cot��
2 ²²���²²���
���K�D��C���
sin( ) cos��� � �
2
cos( ) sin��� � �
2
tan( ) cot��� � �
2
cot( ) tan��� � �
2
[�"��:�D�������>�"���� �23� �"��7����2�2��(� �D?E6
�(� �D?E6�>�%�����f��������ZD���.��������������>�"���� �23�� �"��7�>�@K�(�_/6��>%s
[DL�"����>:����2�2�
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
o 0�
�32
�2
�
� � �2
cos�
sin�
��hOh�� ��!�Hk7
¤�
�F"�*�����[ π π= π −23 3
����"���6*J"�!"�N@!��>�"���� π3���>�"���� π2
3�"��7����/�*�r�&
�²²[²²²sin sin ( )π π= π − = =2 33 3 2
�
�²²[²cos cosπ π= = − =23 3
�[²²[[²
�²²[²tan π = = =23
�²²[² �²²[²
�[[²[² �[²[²cot π = = = −2 33 3
����" ��D� �>�"��� � π2��� �*��*� �>�"��� � π
6�� �>�"��� � π2
3� �"��7 ��� �lY/8� ��� �>�< �r�&
����������������2�2��(� �D?E6�D�YA����%�����F"�*�����[ π π π= +23 2 6
sin sin( ) cosπ π π π= + = =2 33 2 6 6 2
�
cos cos( ) sinπ = = − = −2 13 2
�²²[[² �²[[[[²�²²[[²tan cotπ π= = − =2
3 6�²²[[²
�[²²[[²cot π = = =23
�[²²[[² �[²²[[²
���K�D��C���
sin( ) cosπ + α = α2
cos( ) sinπ + α = − α2
tan( ) cotπ + α = − α2
cot( ) tanπ + α = − α2
���� �� ��
[�"��:�D����f������������+;°�"��7����2�2��(� �D?E6
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
2�%<*&
o
�23
�
�
2
�3�
�32
0 cos�
sin�
o
�
�
2
�6 �
2
�32
0 cos�
sin�
o 0�
�32
�2
�
� ��2
cos�
sin�
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
¤
�#$� �% ���O6 �=@K ����� ��t�M����*"7
(����I�������<I�pY2�w�������������������D��*��*��"��7�������K��%��� �
��%9���� IÅ��>�"���� π2�"��7�������K�lY/8�� �
[�"��:�D�������6%@6�="����2�2��(� �D?E6
��*s����9���>�E!"��%��EK�(�����K�DL�"�>�%�����"��7�����":� �
[�������>:�N@!��(���7������4I�"��7����2�2��(� �D?E6� �
[�������>:�N@!��(���7������+;�"��7����2�2��(� �D?E6�
��8*��[D��DK*C���?��N��O��N!9����A� �UO6����2�2���B*"������"��7�)��(�*��)��K����(��:��"[0I;°� �"��7���6����6*��¦�a��+'I°����"����2�2���B*"���N��K�����="�7���"��7�7�
� ������,¢��)��K�����P����N��K�����="����2�2��D_�������/���(��"��7�F��s�)��(�*���_/6��) ����0;°���0I;°�"��7����D��C�F"�����[)��K����)��D��0;°�B7��6����K����"��7
[)���6����[vN��O��N!9w��%9�z?U���) �*���_6:��"�_/6��5YV��B�&* ��)�"%&��_/6��) ���������� �"��7����pY2��[D���4I��" �>�"����� �7�����7�W*-���_6:�lY/8��Z��9����_/6� �) �"��7����*&�
[F��������\�3�8��A�]�F�������k ��$9�<�����: %;���������3����E�E��&���P�N+��
������
���� �� ��
o
A�
�
)�)*+]��� �(*yg� �`O6 ���Y�������6�*"� �>���@36���N"��� ��� �[�6��/9�� �#�2�2� �)�A �DL*3�M���7��%8 ��%� �F���@�� �(�Y�� �)_6 �>*.�Z�%������2�2��(� �D?E6�7���O�.��������(� �[�*K ��L*�� ��� �D6�H6�� �� ��%��EK���J3�M�B*K�(���#�2�2��5%V%�����F��i@ ��6��7%� ��L%��%�� �(�Y�� �) � �>*. ��� �[�%��� ���� ��%� ��� ����2�2� �(� �D?E6 �������(� �D?E6 � �?��� �(�*� �(�"�� �G�����5%V%� ��� �[�*K �\��� �1�2� �NC �� ����2�2��F�����>�@�E��>�6����V�"��Z(����1�2��f���>: � ��%� ��� ��"�aE� �)_ �K ��6�%� �(��*L��N"��������6�*���>��"�%����_6:� ��@��7����/9���(����1�2��f���(��[�%��(�Y���) �7�"�>*.�?��� �� �F��7 ��B*K �(*�&�B7��6� �(�*� ����[�*K ��L*�� �S�/d� �(� �>�!� �F�� � ��R�L��� ����8 �*@A �(�Y�� �) �7�" �>*. �*8��� ��������#$��������2�2��(� ������(*�&��K���(�Y�� �) �a� �>*. ��� �[�*K �NC ��� ��%��%� �(�*L �F���� ��%P �F"���*�k6�����%8��� ��V�"� �=?�=" �>�%�A�� ��� �#�2�2� �K�=" �K �(� �[���:�� �f��J6 �� ��%8 �W�/K��%� �(�*K �#�2�2� �� �Z�%� ����9�B��/�\��� �8�9�F"� ��� ��� ����6�%. �� ��*K �(��BH"��F"�������c �(�Y�� �) �a6�M �>*. ��� �[�%@6��� ��� �(�"�� �F�6�%. ��6�9�K ���3@��[�*K �q*U� �(����1�2� �� �1�2� �NC�5%V%������ ��� ��%�� ����� �*"��O� �F��i@ �(��(�"��7�(�*����3A��).��4����������2�2�����%����A �(� �[�*K �?��� � I° �Z[[[�Z+°Z�°Z�°
[�%@6�\����(��3A��).���'��������M
��hOh�� ��!�Hk7
¤¡
�F"�����vD���D@�N!9w�0I;�0;�+'I��*"7����/E ��_/6��) �0;���0I;�(� �"��7����0;� �"��7�>�@K�(�_/6��>%s�[�6��>�E!"�0;���0I;�(� �"��7����2�2��(� �D?E6�D��C
�F"�*�����ZD������������0I;�������(+'I�0;���)��������0;��[[[[[[����0I;��[[[[[[[[[[[[����[[[[[[���[[[[[[}|�0I;��[[[[[[[[[[[[����[[[[[[���[[[[[[��}�0I;��[[[[[[[[[[[[����[[[[[[���[[[[[[
�F"�*���� π = π −52
3�[[[[[[��>%s���� ����h6��>�"���� π5
3� �"��7�(��������*��F�@ ���C
[vD���D@�N!9w���/E ��_/6��) �>�"���� π53
���[[[[[[�"��7���
�F"�*������D�����_s��������>�"���� π53
� �"��7�>�@K�(�_/6��>%s
sin sin( ) sin( )π π −π= π − = =52
3 3 3 ²²²²
cos π =5
3 ²²²²²²²²²²²
tan π =5
3 ²²²²²²²²²²²
cot π =53
²²²²²²²²²²²Zk�b��R���A�* �(�*����K�D��C���
���(�k ���)�����������(�k ���)���������}|�(�k ���)���}|����}�(�k ���)�����}��
vD���D@�N!9w�[���K�nd3�����*"7�(� �"��7����2�2��(� �D?E6�7��="�* �6%@6�z��U���É�<;IÅ���É(�È+'IÅ�+I°)�����É�+IÅ�� �©©�}|É�(�+�;�)����}|É(+�;�)�����}|É�(+'I����0;�)����}|Év�0;�w������v�}|É0;�w���}|É0;������ �����+IIÅ���²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²����������������������������������� � ��É� 0�IÅ���²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²�� ����}|É�(���;Å������������²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²���� ���}�(�++IÅ���������²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²�
���� �� ��
o x
y
0405
045
o x
y
�53
��3
ox
y
0750
030
���(�k ���)������������(�k ���)���������}|�(�k ���)����}|����}�(�k ���)������}��
�/�j>j������DF1 �6,"��>,'g/�m"5 ��� ��+�4�Y�4
¤�
��"��:�D�������*"7�(� �#��?A�7��="�* �NR�C� �S��w�}|É��+;Å�����}���IÅ�����������������Ww�����(���IÅ)�����}�(�0IÅ)��w���É�'+IÅ���}|É�(�;0IÅ)��#w�����(�<�IÅ)�����}�(�'IIÅ)���}|É�<�IÅ���}|É�(�'IIÅ)���
�w� sin( ) cos( )� �� �
25 23
3 4 mw� sin cos
sin ( ) tan( )
� ��
�� � � �
�
3 54 6
3 44 3
����K�N��K����*"7������ �
xxd�xdd�v�d�vv��vud�u�d�ux��uvd�x��%�*=
A�E)��������������x����x}|�x��}�x
[���K���*�����*"7�(� �(��E���/���W�EC�F�9���7��B��Q/��>���� +S��w���É�40IÅ����É�'IÅ�������������������������������������������������Ww�����(�+�0Åw������+'Å
�w�}|É�(��IIIÅ)���}|É�4IÅ��������������������������������������������������������������������#w���É�4<;Å����É��;;Å
��� ����*.�o���� �"��7�="�x�(�����*"7�(��E����� 0���É�x �����(�I°���x) ���%8�>�/���(� �W�%���������%8�W�%���DL�"�>�%��������O��="��_���x � �"��7�(�*���":
[���K�E"�O�
7g�E-�X�W�!����&�J�9�)�)*+]�6%@6 �z��U� �W�EC �F�9�� �7� �B��Q/� ����>�"��� � �
8�(� �"��7 ����2�2� �(� �D?E6
�[������ ��?"*O� ��%P �� ��� �>�"��� � �38
��[v�9���>�"����D��C�����"���W�EC�F�9��wsin cos /� �
�3
0 92398 8
�
�*"7 ����2�2� �(� �D?E6 �7� �=" �* �NR�C�D�������?"*O���%P�������W�EC�F�9��������
[�"��:}|��I��� sin �
15 �������I;���
tan �34
��� cos �59
���}|�<I�
����
�� sin ��
114 �
²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²����������������������������������
¡ � cos( )� � �74
²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�
o 00180
0
0
90
0270
sinx
cosx
��hOh�� ��!�Hk7
¤¤
�[���K�N��K���������������� �[��K����nd3��*"7�#�%R��������="�N��O����������NR�C�o�*��(� �m�7� �A%@h�
�( , ) ,( , ) ,( , ) ,( , ) ,( , )�� �� � �
� 00
6f
[���K�nd3��*"7�N!9���������������NR�C�r�O6� �
������
����%@6��������F"�����K��6�����2�2�����%��7���"� �6%@6�y ������x� �U��V�����%��EK��������y �����x� �U��V�����%��������*�e6�����%�[�"%9������9:��_6:
^ � ������= ��
y
x
1
0 � �2
12
1
0 � �3
�2
�4
1214
34
y
x�6
�56
�IQ)����$O!y ����xx
v���w��
²²
²²�2
²²�56
²²�
[�":����D����*"7�N!9�Z$����������( �34
���[[[)���( �23
��� 3
2)Z�( �
3���[[[)�Z( �
4��� 2
2)�r�O6�>��aL����� �
( /3 1 7� ��� /2 1 4� ��*L���w
[[[ [[[ [[[ [[[ [[[ [[[[[[
��hOh�� �!�Hk7k7Hk7!�Hk7��!�Hk! Hh�� !hOh����hOh��hO�
���E�E����� �
����� �
�/�j>j��M"5/�� ��+��Y�4
¤¥
�N!9����)��K����NR��*J"�!"���o��*�������N!9����NR�C�r�O6� ��F"��³I����¿�B7������ª%L������r�O6�������>��aL�����[�"����D����N��O���%�����������%@6�NR�C�N!9�[�":����D����(*��z�.���%P���N!9
[��K����nd3��B7���F"��������y �����x�� �U��V���
�N!9�F"�����%�������C�[D��B�9�)��*"7�N!9����³I�����¿�B7������y ����É�x�U��V������������%@6�Zª%L�(� �N!9����%����� '[���K�N�@!��B7���* ���������F"�����O���B���������*"7�����
,π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦3
22
, π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦3
2,π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦2
, π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦0
2
[���"����`"�aL��������7���%�����������O�[D��D?2��������������%�����������O�
�DQ&�>�%������"�9���9:�N?.��������K�Zk � �Z��É�(x ��k �)�����É�x � �U�������%����� <��É�(x ���)����É�x ��³�����0�¿���³I�����¿�(� �B7�������%�����������%@6�F"�*�����[��K��@6�(*��X��>:�>�@K���>�"�������>�*K�L�V������%�����������O�����"
[D��>�E!"�)"����F��i@
��É�(x ���)����É�x ��³I �� ���¿ �(� �B7�� ��� ��%�� ����� ����%@6 �h�/6 ��� �[��K��@6 �(*��X� �>: �>�@K �7� �>�"��� ��� �>�*K �)K ��� ��%�� ����� ����O� ����"
1
0 � �3
�2
�4
1214
34
y
x�6
�56
�,¢�����K�N��K����*"7��������/�����K�F"��(�*��[�� ����h6��³������¿��B7�������%�����������%@6�)��(�*�����N?.� ��QR�NC�*�� ;[���K�NR��*J"�!"���o��*��������_6:���nd3��*"7�N!9�z��U��#�k/d���QR���������������B��:�D����r�O6
�IQ)����$O!y ����xx
v���w��
²²π76
²²π32
²−12
π116
²²��
12
12
�
�
� �3 �22
y
x
1
0
1
�2
�32
y
x� 2�
-1
0
1
��hOh�� ��!�Hk7
¥�
�Z��K��@6�*��X��>:�>�@K���>�"������m�7�W��-��>�*K�)K��"�L�V������%�����������O��>%s���K�D��C���[D��>�E!"�[[[[[[[[[[���B�9�)��³I�����¿�B7������K������F"��������o��*��F"����[D��>�E!"�Zk � �Z³�k ����(�k ��)��¿�(� �B7�������%�����������%@6
[�%9������*!��³�0����[[[¿�Z³������[[[¿�Z³0����[[[¿�Z³�����0�¿�(� �B7�����[���K�N��K���*!��0�(�*��������%@6�F"��[D��B�9�)����*!��������%�����������%@6�*"7�N!9���
[���K�N��K�y ����x�� �U��V�����%��������(� ��&H"���B������������8�(� ���$���N!9����%����� 4[D��[[[[[�>:��*����[[[[[��%�������� ������vS��
[D��[[[[[����*��*��Z�k � �Zx �k ��(� ��%P������%�����������O��vW���K�D��C������x�������[[[[[�Zx������[[[[[�Zx������[[[[[Zx �� π
2�(� ��%P����P�O6����K�D��[[[[[����*��*���%�����������O��*2K��C�v�
[�":����D����Zk��� �Zx����� π2��k �
�D��C����� x������[[[[[�Zx������[[[[[�Zx�������[[[[[�Z π= 3
2x �(� ��%P����P�O6����K�D��[[[[[����*��*���%�����������O��N.��C�v#
[�":����D����Z�k � �Z π= + π32
2x k ��K
�D�����%@6����K�(�����B�9�B����(� �U��V�������%��7��="�*
� ��y ����É�x�������������������������������������� � � sin( )y xπ= −2
�������������������������� � ��y ����x ���������������������������� � ��y ������x ��
���� �� ��
y
x-2� -� � 2�
-1
-2
0
1
2
y
x-2� -� � 2�
-1
-2
0
1
2
y
x-2� -� � 2�
-1
-2
0
1
2
y
x-2� -� � 2�
-1
-2
0
1
2
��������vS��w������������������������������������������������������������������������������vWw���������������������������������������� ����
��������v�w������������������������������������������������������������������������������v#w���������������������������������������� ����
y
x-3�-4� -2� -� � 2� 3� 4�
-1
0
1
�/�j>j��M"5/�� ��+��Y�4
¥�
[���K�N��K����*"7������ ��IQ)����$O!y ����xx
v���w��
( , / )π0 7
4/2
0 72�
π4
[[[[[[[[[[[[[[π2
[[[[[[[[[[[[[[π34
[[[[[[[[[[[[[[�
[�":����D����*"7�o�*��(� �m�7�A%@h��o��*��F"���
f �À(I��w�([[[[[[�[[[[[[)��([[[[[[�[[[[[[)��([[[[[[�[[[[[[)��([[[[[[�[[[[[[)Á
���K����nd3����������="�A%@h��F"���":
[���K�nd3��N!9�F"��������$��������r�O6� �
[( /3 1 7� )�[�":�D����*"7�N!9�������K�L�V��$������������� , , ,π π π π= 2 5
6 3 3 6x �(� ��%P���r�O6� �
������
^ �N?������= ��
�1
0
1
� �2
�12
12
y
x
�1
0
1
� �2
�12
12
y
x�3
4�4
π56
π23
π3
π6
x
[[[−12
[[[[[[y ����x
��hOh�� ��!�Hk7
¥�
�[�":�D����N��O��N!9����)��K����NR��*J"�!"���o��*�������N?.� ��QR�N!9�r�O6� �[��K����nd3��³I����¿��B7���������y ������x��U��V�����%��EK���������%@6�N!9�F"�
�N��O��N!9�#�%R���³�������¿��B7�������%��EK���������%@6�������K�N��K����*"7������ [�":�D���
��π74
π32
π54
�x
�[[[[[[[[[�� y
�1
0
1
� �2
�12
12
y
x�3
4�4
�1
0
1
� �2
�2�32
�12
12
y
x
�1
0
1
� �2
�2�32
�12
12
y
x
�N!9�F"�����%�����[D��B�9�)��*"7�N!9����³I�������¿��B7������y ������x�� �U��V�����%��EK���������%@6�$���NC�*�����%����� '[���K�N��K����*"7�����
[ , ]π π32
2[ , ]ππ 3
2[ , ]π π2
[ , ]π0
2
[���"����` �K�������7���%��EK���������O�[D��D?2��������������%��EK���������O�
���������%@6�*"7�N!9����[D��³�0�������¿���³������I¿�Z³�����0�¿�Z³I�����¿�(� �B7�������6�E!"����%@6�(������%��EK������ <[���K�N��K����N!9�[D��B�9�)��³I���0�¿��B7�������%��EK
-4� -3� -2� -� � 2� 3� 4�
-1
0
1
y
x
�/�j>j��M"5/�� ��+��Y�4
¥�
�*�8��"��6��z?U���) �*��*"7�(� �U��V�������%��7��DQ��* �(� ���%@6��":� �
�w� sin , cos( )y x y xπ= = −2
�w� cos , sin( )y x y xπ= = +2+w�y ������x��������y ������(�����x)� � � 0w�y ����É�x��������y ����É�(;��x)
�[���K�)��B�9�B����(� �B7������#�k/d��B�J/��������*"7�(� �U��V�������%��7��="�* ����%@6� �
�w siny x= 1
2 �����³I���¿� � � � �w�y ������x ���������������³������¿
+w�y ������É�x �����³������¿�� � � 0wy ���������������x�������������³�0��0�¿
;w�y �����É�(x � π4
) �����³I���¿� � � � 'w� cos( )π= −y x2
�����³���0�¿
����
[���K�N��K�y ����x� �U��V���������(� ��&H"��j%k8����������8�(� ���N?.� ��QR�N!9����%����� 4[D��[[[[[[[[�>:��*����[[[[[[[��%��EK������ ������vS��
[D��*QR����*��*��[[[[[[[[[[�(� ��%P�����%��EK���������O��vW[�":����D����Z�k � �،x =�k ��(� ��%P����K�D��[[[[[[[��%��EK���������O��*2K��C�v�[�":����D����[[[[[[[[[[[[�(� ��%P����K�D��[[[[[[��%��EK���������O��N.��C�v#
y
x
1
0
2
3
1�
2�
3�
� �3 �22
�2
y cos x�
y cos x� 3
���� �� ��
����Z³I�����¿��B7���������B�9�B����(� �U��V�������%��7��="�* ���3���%P���[� �����>�36��� y ��������x � �U��V������������%@6�*"7�N!9[���K�)���%��EK���������%@6�7��B��Q/�
� �� cos( )π= +2
y x
� ��y ������x ������
� �� cos= − 11
2y x �������������������������������������������
� ��y ������(x � π2
)��
��hOh�� ��!�Hk7
¥�
)�)*+]�(� �m%� �7� ��P%�d� �#�%R�� �#�%R����6�%�����S�/d��(� ���E�����N!9��%��
[�6%9�B����`"�@6
)�)*+]�F����t����>�*"������?"*O���%P���7����%P����� �7��B��Q/���� �DA��oEC�*�����7���[�%9����(7������*"7� �U��V����H����2�2�
� ( ) / sin ( )π= + −212 2 4 1
365H t t
�7���F�����(�������K�����A�U����F"������D� �B�� �F"���*L �7�� �F���� ����" ����#���Z7���F"� ����[�������6 �(��_� ����/A��) ����F��7��B*K�*�*����o9���7���>��7�#�A�������������A�F��i@ �[D��*��*��[D��G%/���%P���7���="�����"��9���D� �(��A �U��� �F"� ��� ���0 �o"*V�Z)��K �)K�>: �7� ��" ��@������� ��� �>: �*&� �K����7���>��7�#���F"*��B��%K���F"*���6$%P��6��#��?A�K��%9����NR�C�7����6�?9�="�DA�� �'���vB���*������w�DA���0�0�7��(� 7���������a�6�+';���A�[vB���(�����w��������7����%P���2��>�%�A���[D�����p�?"*O��ZD�����7���F�����4<�K�B���*_�
����D��*��*�( ) /187 11 8�H �DA�
����(� 7���������7����?"*O���%P��@9�Z��C���B���F@_�����ZB������*���;�ZB���D3_?"���
[�"��:�D����B�����:�+I
��!�E�����j+!� �X�%�,
��!�E�����j+!� B��
S��w�y ������x ��� Ww�y �����Éx ���w�y ���������x� #w�y ����Éx ��
�*"7 ����%@6 ����7� �="* ����K �nd3��Z�%��EK����%������%� ����%@6 �� ��%� ��� � +[���K�)��a�6����� �U��V�*"�������������%@6�[�6�������B�9�B����(� �U��V�7��="�����K
y
x
1
0
2
3
1�
2�
3�
� �3 �22
�2
y
x
1
0
2
3
1�
2�
3�
� �3 �22
�2
�1
0
1
y
x
�12
12
� �2
[� �����>�36���� cos= − 1
2y x � �U��V������������%@6�Z*"7�N!9�vW
��B7��6��������%�����������%@6�D���L�K�y �������x� �U��V������������%@6�)��(�*��v�[)� ����O/6��� �x��%���(�/�������C���="
���D?E6�����%��EK���������%@6�D���L�K�y ������x� �U��V������������%@6�)��(�*��v#[)��K��"*.�� �x��%��
[�6��D���6����K���D���*"7�(� �B��a&�7��="����K����K�nd3��N����*K����� 0[� �����>�36���� siny x= 1
2� �U��V������������%@6�Z*"7�N!9�vS��
-1
0
1
y
�12
12
� �2
������������%��& "�'���(%)�����*+,� �%��& "�-+��'.���/011�2����3�4��5)��"��� �%�6�7��.������8+��7%
F'�&����!_��������%+�����
F'�&����!_������%1���`������
�%1���`�������%+���� ��&�������?�������� %+
������%1���`�������%+���� �
�6%Js�>���9�>�/�� �K ��"��B��3"�6� ���C�� ��� ��":���67����F�@d������6�/���*y��="�*@A��%P
�*@A�>�%�����Z�0�F�*K����"����f���7��B��Q/�����F�����Zf���F"�����[�*K�?��������6�/���*y��="[�%9����(7�������@/"��J�������="����Z*y��D��.
��+%���9%� �'���(%����6� �:8$)���&(;%���<=��"&��
'.���/011���>
���4��5)����8+��7%��?@� ��$A#B
���� �
���� �
����� �
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
¥¡¥¥¥¥¥¥¡¡¡¡¡¡
�#�%R����"�_6�(7�������"�_6�) �a6�9�="�7��(7����C*����M�����)����+��DK*9���� +� 0�NkL����>�*"����?�%L��L�C�����#�O��E���L�C�����N����F�@ �����%9����l�C�B�67���)�����������(���� ��C*����B�6*��)����C*��* ����Z���������K��%P�>�@ �[�9���a&*��*"7
[�%9����B����6�X%+)�<B+�� � ��/aQ$�*
�2*�S ���&�,<B+�
�������s�2�$�=+]�/aQ$�*
��X�0�g���SW+���<�KT�>��,� �
� �2�������S_��_� �2�����
2�#��Y>�A3)��!=�V���)
�w�(+���,��SW+��F_������_&�J
��X�0�;*&� �q�,
�=*+�*�/aQ$�*2*�S �A3)
�����<&*�V&*<�SW� �56�V��\
��V&���Ae�\2*+!��2�N�,
� �=*��W�X#S��;�%�,
��)+]�����)+]��<B+��r�$E_
�� 2�S3\*�� &*�V*�SW�V=��&+$J*� =*+�*�2�&�J
�<�J�SW�V&��$O��2��J��%��
X�0�g��72�!�S69
X�0�g��
2*�S �A3)
X�0�g��
�� ��w�(+���,
��2*�S �A3)
��;�%�,
/aQ$�*
�X�0�g��
� �2�������S_��_
�w�(+���,
� �2*�S �A3)
��V&���Ae�\
;�%�,
�V=��&+$J*�
/aQ$�*
2*�S ���&�,
2�$�=+]�/aQ$�*
X�0�g��
2�������S_��_
2�#��Y>�A3)
w�(+���,
X�0�;*&
2*�S �A3)
���<&*�V&*<�SW
V&���Ae�\
2�N�,
;�%�,�
<B+��r�$E_
V=��&+$J*�
��%��
3D)���G0���3��D��n� 2� ��#�Hk7k7Hk7#�Hk7��#�Hk # Hn� 2�� #��n� 2���D��n� 23��D��n� ��3��D��nG0���3��D��G0���3�D)���G0���3D)���G0�3D)���3D)�
F'�&����!_��������%+�����
���� ��
������
%�������K$� � ����' �M"�/�� ��>� �Y�4
¥�
�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ ��6�����%-C�)�����s��"�_6�(7������ ���[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ ��6�����%-C�)�����s��"�_6�(7���7��N?.� ��C*����� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�������P�?����s�>:�7��N?.� ��C*������ �)�������������C*�* ����� �)��������� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[��D����*.*��#�O��E��F"�����B���K�DK*9�(� �)���NK���������NC�*��������F���(��U����s� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�D�����s������(� �)���������Z�9���'�*��*��NC�*��������*&��ZN!9���B�9�\����(%J������%���� �[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ �D����*.*��y���x�F���(��U����s�Z�9���y�� �)���NK���������x�NC�*��������*&�� ¡
[D��B�9�/9%6��?"*O��#�%R���*"��O��[���K�nd3�����%@6�������B��:�D����r�O6���N��K����*"7�����
�73�3
2�14�− 1
3��−32��−5
2����x
[[[[ ���[[[[��¤�[[[���¥[[[���¥�� ��� [[[[���¤����[[[[�x
������
����(a ����a��� � �UO6 ����":����D��� ��a �(�*� �(���O��Za �(�"%&���A�* �(�*� �K�)"�"��ZD����*.*��a�6�§�&����A��(�*��5%V%��F"��[����>�36�#�k/d��B�J/�����>�%�����(b����b����#�k/d����D9���)� �%8��b�(�*��(���O��a�6�b���6���§�&���A�* �(�*�����"�*"��O��Zr��O�OC����A����@��(�*��*&��[� �����`"�@6�#�k/d��B�J/��������(��UO6�a�6�N��O�����%@6�Z)��K�nd3��#�k/d��B�J/��������(r����r����r�O6���)"��:�D��������r
[��:�� �%8�D���
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
32
73
32- 1
3-5
2- 1
4
x
y
x
y
1
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
¥¤
v[D��B�9�/9%6��?"*O��#�%R���*"��O�w�[���K�N�@!�����*"7�(� ������ �
52�3
2�12�−1
2��−32[[[[−5
2x
¡�� [[[[��� ���� ���� ���� �¡�� y ��x�
52�3
2�1
2I−12��−3
2����x
�¡¡[[[[��¤��[[[[[[[[������ ��� [[[[����y ��x
���� �� ��
����6��(��E��) ����x���x�*"��O��UO6���s����[)��K����)��#�k/d��B�J/��="����������%@6����F"��Z��C� �[D��"�M��[[[[[[[[[[[[[[[[[��>�%�����[[[[[[[[[[[[[[[[Z�x��������D�[[[[[[[[[[[[[[[[[���D��y���A��[[[[[[[[[[[[[[[[[���*�X/���Zx���� �
�**4�&���F� ��
����>:������O��(� ��&H"����)"�*K�S"*������mna ����O��Zm
n�(�"%&���A���(a������a�D?2���O�OC���A�* �(�7����Z) �����W�/K���
���A����y���x�����S��d����D?2���O�OC���A����b���a�*&�����"��D����*.*��a�6��O�OC�(� �>�%��(�*��F�6�%.�F"��[)"���:�D�����)"����Z��9����O�OC
S��w�aI����������������������������Ww� xx
aa
− = 1 ����������������������w�ax[ay ���a x �y���������������������#w�(ax �y ��a x y
�w�(ab�x �ax[bx��������������mw� � �x
xx
a ab b
= ������������������´w�x
x yy
aa
a−=
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x�x�&*<+#)
x��&*<+#)
%�������K$� � ����' �M"�/�� ��>� �Y�4
¥¥
�� �U��V�����"�@6���������%@6�N��O��N!9��[D��B�9�)� y ��x
������
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ �D��(��UO6�s�� ��*A��%���������%@6�F"���P�O��N��� �[��E"%���B7���#�%R�����������F"���*��������� �
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[��*s��D��="���="������F"���":� ��#�%R������ 22 ����O��Z���%@6�=@K��������K�nd3��� �x��%���(������ 2 ���A� �[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ [�"��:�D�����?"*O��a���A��?"*O�����O��Z���%@6�7��B��Q/�����[D��B�9�nd3��� �y��%���(��� 7
2���A�
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ a72
2� �K�(�%P�����"��:�D����� ��%P��%���(�����
[���K�o�*��¦�a����=s%K�7�����*"7����A�� ¡��������������������������������������� ����������������������������������
5
22 ���������������3
22 ����������������� 52
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[��D����*.*���y���x�F���(��U����s�Zx �y�*&����K�D��C��� <
�B����6��"�@6������="�a����� ��a���®I�� ∈�a �>:����K�f (x� �ax� �U��V���������* [�%9���
)�)*+]�� �O�.� ��� � ��R�L ��� �� �(*/K�� �*/3���� ����. �� ������� ��%8 ��9� �*2K��C��U��� �G"�*9 ��� �[�6%9��� �N2����%��*�2!� �(��"7 �DA* ��� �(*/K�� �Z�A�E���� �7� ���� �(*/K�� �=" �pY2� �[�%9������ �[�%9��� �N"�?� �(*/K�� ��� �� �O�.��(*/K�����_s�Z(*/K������>:�7��Z����O�.������� �o��*� �F�@ �� �� ��":��� ��%�����Z��¤ �Z¡� �Z�� �Z�¡ �Z¤ �� �� ��(*/K���*�2!� �f�� �F"� �*&� �[����� �[[[� �� ¡�="�7��Z���" ����� �DA������� �� �(*/K��������>7��� �(*/K�� �7� �(��B�%��Z(*/K���z"*P�7��� �(*/K���°��:�� �%8��%�����F��1A�� �Z>�� �(� ��%��o"*d� ��" �)����%�[��6������o�:�>��������6%9����(��@��
���V�$J
���<*�e
7�Q�6<9�2�!=
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
/72 6 3�
y
x
72
��"�@6����%��7��(��6%@6�y � � �x14
���y � � �x12
���y �+�x���y ��x�(� �U��V�������%��C/� !��[��/E
128
64
32
1680
0 20 40 60 80 100 120 140 160
256
�z% ��Q�6< �vd ��� ����V�$J�����! �&< �� ��)+W�! �5�EQ �&���2*&*F��V�$J�� �z%�=*��� +J
�Y�%0�!�<+������V�$J��
���V�$J��
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
�[D��B�9�)��*"7������r�O6�7��B��Q/�����y �+x� �U��V������������%@6
y �+xx
����������¥−3
2
���������
����12
��
[���K�)�����y �0x�� �U��V������������%@6�>:�7��B��Q/����������K�N��K����*"7������ �
y ��xx
14[[[[[12
−12
[[[[[�[[[[[1
2
¤32
�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ [���K�E"�O��) ������ª%L����%���*��������� �
[�� ����*.�o����D�YA����8�(� �����Z���%@6�7��B��Q/����� �S��w�+��;� � 7
33 ���Ww� 74 54
[�� ����*.�o����D�YA����8�(� ������Zx y�*&�� �S��w�+x�� ��+y� ����������������������������������������Ww�0x� 0y
)�)*+]� x
y �@K� �� �W�EC �F�9�� �o�c� ����>: �7� �B��Q/� ��� �K ����� ��%�� �vyx ��"w�D�����������>�%�����A��*"��O����6�%�������/�� �Z�;� �?����D_����2��(�*� �[�"��:�x y � �@K� �,¢ �����K��� ����� ��� �� ���A��� �(��E� � �@K� �,¢ �� �; ���A ���� ���[�%9��� �* �¨ �+� ���A �K ��� ���� ���3L�N8�� ��� �>: �Z�%?6 ����?P �Z>�%� ���A �*&��7� ��8*��� ��*K�� �[)� ���� ���*. �a/6�*M�(��@6 �Z�x y � �@K� �(���� �� �W�EC �F�9��������K�>�@ �K�������%��� � �#�%R��
[� �������h6��7� �B��Q/� ��� ��� �*"7 �*"��O� �ZF"*@� �(�*��).��="���w�[�"��:�D����W�EC�F�9��
v��3A�
�w� 22
�w� 82 +w� /012 �0w� /−0 52
;w � �+1 32
� � � � � � �! "yx /2 2 2 6=
���� �� ��
-3 -2 -1 1 2 30
1
2
3
4
5
6
7
y
x12
- 32
xy�
3
-2 -1 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
%�������K$� � ����' �M"�/�� ��>� �Y�4
���
[���K�)�����y ��� �x12 � �U��V������������%@6�Z*"7������7��B��Q/����� �
�²²��²²����x
18
14
²²�2²²²²� �xy = 12
�D��(��UO6�s�� y��%�����������F"�����%@6��P�O��N��� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
[��E"%�����������F"���*��������� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
��*s�D��="���="������F"���":� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
[�� ����*.�o����D�YA����8�(� �����Zª%L����%@6�7��B��Q/�����
S��w
/� �0 512 �
/� �1 512
���
Ww � � 212 �
� � �412
�w � �412
� �312 �����
�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ ��������%�� � �x12
��� �y12
F���(��U����s�Zx�� y�*&��Z���%@6�7��B��Q/����� ¡
������
1 2 30
2
3
4
5
6
7
8
-1-4 -1-2-3 4
1
-1
y
x
�)�)*+]���6�%���� �7Ê��Ê�Ë�|9 ��*?�%u� ���aL���*6 �7� �B��Q/� ����F"� �(�*� �[���K �)� ��/C�� �� ��� ��"�@6 ����%� �(� ���%@6����K��B�*K����s�l�*C��������� �U��V�Z�%/����%6������K�`"�@6�W%�U�����%@6�Z�!�L�*&��B*h�M����[��6a�����ÌÉ}��
�[�%9����B����F"��G�������y ��x� �U��V������������%@6�ZN��O��*"%k����
[D��B�9�B����`"�@6���aL���*6
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
[���K�)�����y�� � �x13
� �U��V������������%@6
���� �� ��
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4y
x
���� �� ��
[�"*�J��*e6������� � �= xy12
���y����x�(� �U��V�������%�����%@6�[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ ��6���"*.�#�k/d���%������K���D?E6���������F"��(� ���%@6� �
�>�@ ��"�y��[[[[[[[[[[� �U��V�����������y ��x� �U��V������������x�(������ x�(���J"������ �[)���"����D��y �[[[[[[[[[[[[[[[
��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[��6����) ����(��U����s���������F"���*��������� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ [��6a����2��Z�6���"*.�� y��%�����D?E6�K�(*J"���"�@6��������� ��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
xy�
2
() x
y�
12
�[�6���"*.�� y��%�����D?E6�va��١ � a�®�w�y���a�x���y���ax�(� �U��V�������%�����%@6
)�)*+]�#�%R �� �K �): �(��@�� �(���� �="�ZD� ��%�%� ���*&����� ��II �j*.��� �*&� �[D� �B�9�a"%h� ���@�� �=" �(�*��>��7����)�6��������K�l*k�����j*.�F"��(��>������>:�7���6�a���º� ������l*k��>�%���� �#�%R �F"� ��� �ZDE�6 ��%�%�����ZO�.�t�D9�&�7������K��*K������ �M�Z�*&������A�>�a����������F"��7��5%@h��K�D9���� �%8��%������>%8�>�"*����
��":����D����*"7� �U����7�� � �tA ⎡ ⎤= −⎣ ⎦100 1 0 9
/����ddd��%�Q ��#:����7<F%9�;+J��*�XSJ����
%�������K$� � ����' �M"�/�� ��>� �Y�4
���
�[���K�N�@!�����*"7�#Y@��Z�"��/8%�:�����F"�����K��?��U�����%�����[D��[[[[[[[[[[[�>:��*�����O�OC����A�� �A%@h�����a�®����y �a x�� �U��V��������� ������ �
[D����I��������B7���>:��*����[[[[[[[[[[[���I��a������y �a x� �U��V��������� ������ �[��K��@6��U.�(��UO6�º� �������� x��%�������K�����U.�[[[[[[[[[[[� �UO6������� y��%���ª%L����%�����%@6� �
[��K�����U.�UO6[[[[[[[[[[[����*2K��C�����_6:����%@6�Z� x��%���(7�%��r%U8��*"7�[[[[[[[[[[[�="���="�Z��������F"�� ��[D��*"7�(� ���%@6���3����K�D��C�����"�@6����%�����%@6
������
���%+���������
S��w�+�x��+�����4����+�x����+�+0����x����+����0��x �� 72���������������������������������������������������[���K�NC����N��O���"�@6�(� �������C/� !
Ww�0�x����������4�x�������(�����x��������+��x�������0x������� +x���+���x���;�w�;+n ������;�n �����;+n �����;'n �+���+n ���'n �+���n �� −4
3
[����6�����"�@6� �������Z�9���/L*&���*.�>�%�����*�X/��>:����K����(��������[)��K����B��Q/���"�@6������>�%��="���="�D�R�8�7���"�@6�#$�����NC�(�*����x �y�B�J6:�a x �a y�)�9���/9������9�����S��d��D?2���O�OC���A�="�a�*&�
[,!A*�
-2 -1 0 21
1
� �xy a (a )1
y
x-2 -1 0 1
1
2
y
x
0 1� � �xy a ( a )
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
����
��D���"�@6������="���r%�*��*"7�(� �U��V�7��="����K� �S��w�y���x���x���� �Ww�y���x� ��w�y ���I���x
#w� � �xy = 32 ��w�y ��x��� �mw�y x= −1
��6������*.�y���+ x� �U��V������������%@6�(���Z*"7�r�O6�7��="����K�� �S��w�(���� �Ww�(���� ��w�(���� �#w�( 3 � 1
3� �w�(���� mw�(��� 1
3�
��D��b��R�B��a&����K�� +[�������*.�y���;x� �U��V������������%@6�(���( 12 ��� 5 ��� �UO6��vS��
[D��(I��I��� �UO6�Z� y��%������y ���Ix� �U��V������������%@6��P�O��N���vW[�6��(��E��y ��x���y����x�(� �U��V�������%�� ������v�
[D��('�I��� �UO6�Z� x��%������y ��'x� �U��V������������%@6��P�O��N���v#
[�"��:�D�������%@6����%�������� 23 ���A��?"*O�����O�������K�)�����y ��+x� �U��V������������%@6�vS���� 0
[�"��:�D�������%@6����%�������� � � 512
��?"*O�����O�������K�)����� � �= xy12
� �U��V������������%@6�vW
[�"��:�D�������*"7�*"��O��Zh ��x�����Ix��� � � � �= xg x116
���f ��x����+x�)��K��*L�� ;S��w�f ��+� �Ww�g ����� ��w�h �����
[���K�NC����*"7��"�@6�#$������ ¡S��w����n������
� 2132
�Ww�¥��y����������y���� ��w����x������� 31
64 ��#w� ¥x ���x
���x ��w� � �x+ =13 255 9
� �
)�)*+]�(�*��(��B��"�aL��(�V�O��h�/6����[D��B�*K��9��DA*���/9�&�>*.��%P����>�_��D��@��(� �9��(7������(�*���"�@6�#$����������%��7��Z�.�%��*/3������[D��B�9���h"��>�_����������������+����*��*��� 'I�������Z�%9����B����>�36�P�����K�>�_��D��@��[�%9����B��Q/���"*�U��� ��� �>�%���� ��� �D��@���9��F"� �[D� �B�%� �*Q6 �������� �¡����� �*��*� ��II4������ �� �*Q6�F"��=@K���[����`"�@6�ZD�����B�� ��>�36�x �>:����K� ( ) ( )/ xP x −= 19603 1 017
[�7�F�@d��Z��9�� �%8�*Q6���������4�*��*��>�_��D��@��>:����K��������>�%�����U���
%�������K$� � ��'���_-�M"�/�� ��+�4�Y�4
��
%������K$� � ��'���_-�M"�/ ��+�4�Y�4%��%���%�����%����������K$�� �K$� � �K$� � ��$� � ��' ��'���'���_-'���_-�M���_-�M"�/_-�M"�//M"�/ ��+�� ��+�4�+�4�Y�4�Y�Y�4Y�44
�(�*��K��*�&���*�����������A��7�������S�P�ZS�/d���%�A����� �(*�&�B7��6��7��(���E��(� �B7��6����DL*&�*e6����j�8���A�="�7���"� �>�%������_6:�>�%�����Z#�?�����&���������������=s%K����E��(� �B7��6���"�����>�36�(*��=s%K����E��������������¦�a�����E��Z�@�9�Z="a�L���6���S�/d���%�A����#�?����(7��B���F"���*���K�[����`"�@6�o���
[D���%_3��[[[�����_��Z���9�D��@��Z���9�F��7�Z���9�DE"7
�B� �3��K��%P�>�@ �[)"�9���9:�>:����%@6���f ��x����x� �U��V�����"�@6��������������������>�������f���������%@6�[D�������="�a�6�>:�>�����F"�*������D��="���="������F"��Z)"�*K
[�6���"*.�y ��x�G8���D?E6�K�D��B�9�)��*"7�#�k/d��B�J/�����f����������Z>:
)�)*+]�7� ��'�0 ��� ��� �(*�&�)/"��J� �f���>����V�"��Zv�;;I���'�<w�*¢6�>���(%�*���Q�R%�^�>�%�A��� ����/K����(�����!�
[�9�\����])/"��J��a�J6��DQJ9�>%6�.
�%1���`��������
������
F'�&����!_������%1���`������
���� �
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f
A
B
x
y
C
D
EF
y=xf
f
( , )3 8
( , )8 3
( , )2 4
( , )4 2
( , )1 2
( , )2 1
( , )0 1
( , )1 0
( , )�1
1
�1
2( , )�1
24
( , )�1
24
( , )�1
12
F
E
D
C
B
A
�#%R �#�9 ���6�� ���%_Q� �Z="a�L ����Í���� �7� ��� �>�E6� �±�� �K ����� ��%���#%R�="�#�9�7�*��[��K�Î��>����#%R�D?E6�vB�� �"�M���w�)/"��J��7��D��#��?A�7�*��[��?��#%R�#�9���#%R�>:�#�9�Í�!"����� ��Î��>�36���������#%R�#�9�Î"�!"*�� �>���="a�L �N� ���d/L� �� ��� �>:�v�¹w �N��Î� �� �v¹w �N� �ZFQ�� �5*/d��N��Î��B��*��*��N��* �[�6��B�*K�Í���&���6�*��*� �K �D��?� �#%R �#�9 �IIw �[D�
v[D��)���f%&��"�%�9� �6�/:logI Iβ =
0
*�\���W�=*� ����+\
��?��#%R�#�9�>��3K�,Q6��
)�E6����>�/8���¦*���(*/��="� ��R�L�7��>�*K�D?�R��
B�J9�*L����@_@ ¡������ ���%8�(��R���*
Ï%�9�>����8��
��K�6���� �6�/:v�����ÐÑ����E��(�*�w���
NE�E��������D��(�@�M�% �f*c
>�9������F�C���
>�9�������.%�����Z�"�-L�DK�����
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
��¡
[�"��:�D�������N?.����%@6����f���������f����������*��������� ���[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
[���K�N�@!�����*"7������Z���%@6����f����������f�r�O6����%����� �
f�(������ �©©0 �f�(������[[[[[[[[[ f�(I����[[[[[[[[[ f�(�����[[[[[[[[[
f����( �©©0 ����[[[[[[ f�����( �©©� ����[[[[[[ f����(�����[[[[[[ f�������(0����[[[[[[[
[D��B�9�)��*"7�#�k/d��B�J/�����f (x����+�x� �U��V������������%@6[���K�)�����f��������%@6�Zf����%@6�r�O6����%����� �
[���K�N�@!��������8�(� ���ZN?.����%@6����f���������f�r�O6����%����� �
f�(������ �©© f�(I����[[[[[[[ f�(�����[[[[[[[ f�([[[[[����
f����( �©© ����[[[[[[[ f�����(�����[[[[[[[ f����([[[[[����� f������( ����[[[[[[[
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[ [�"��:�D�������f���������f����������*��������� +�[)���6����+�(��?�����x� �)/"��J�����>:���)� �����>�36�f ��(x��������+���x��#�%R������f (x����+�x� �U��V���������>�����Zª%L�o��U�����%����
�[�6*J"�!"�>������@/"��J�����"�@6����%��*J"��#��?A��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[��E"%�����K��%P�������_6:��*���������Z�@/"��J�����"�@6����%�����%@6����%����� 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8 9
f
y
x
A
C
D
B
( , )2 9
( , )1 3
y x
( , )� 11
3
( , )0 1
=
������
%�������K$� � ��'���_-�M"�/�� ��+�4�Y�4
���
��� �� ��� �K �D� �B�9�)� ����� �`9����%@6 �ZN��O� �N!9���� �U��V�ZB�9�/9%6��_6:� �U��V�K�����%��(�*��[�6*J"�!"�>����������* ��*�������������E"%���P%�*�����%@6�(�������_6:�>����
[���K�nd3����
���� �� ��
�)� �����>�36�f ��(x��������a���x�#�%R������f�(x����ax� �U��V�����"�@6������>�����D?2���O�OC���A�* �(�*��*J"��#��?A���[)���6����a�(��?�����x�)/"��J�����>:��
�)"����(a�������a� � � � ���x
af x a f x x−= ⇔ =1
���� �� ��
��6������*.�b��R����A�����K�F���*"7����A��[�"*�J��*e6������� logy x= 12
� ��U��V������������%@6S��w� log1
2
3 �[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
Ww����I�;����;��[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
-2 -1 2 3 4
-2
-1
0
1
1
2
3
y
12
x
logy x�
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4-2
-1
1
2
3
4
5
6
x3x4
logx5
y
x
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
��¤
[��E"%���������K�* ���r%�*�� �U��V�[D��B�9�)��*"7�����@/"��J���������s����%@6
7�9��������������������������������������������������������������������������������7�9�����������������������������������������������������������������������������������������������������7x9��������������������������������������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY��������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY����
[���K�N�@!�����*"7�#Y@��Z�"��B�6�%8���C������K��?��U�����%����[D��[[[[[[[[[[[[[[�>:��*����D?2���O�OC����A�� �A%@h�Z(a ®��y �����a x�� �U��V��������� ������ �
[D��[[[[[[[[[[[[[[�>:��*����[[[[[[[[[[[[[[�B7���Z(I¯�a ��y �����a x�� �U��V��������� ������ �[��K��@6��U.����� y��%�������K�����U.�[[[[[[[[[[[[[[� �UO6�������� x��%���Zª%L����%�����%@6� +
[��K�����U.�UO6�[[[[[[[[[[[[[[����*2K��C�����_6:����%@6�Z� x��%���(7�%��r%U8��*"7�[[[[[[[[[[[[[[�="���="�Z��������F"�� 0[D��[[[[[[[[[[[[[[������Z�@/"��J�������>�������D��[[[[[[[[[[[[[[������Z�"�@6������>����� ;
������
-1 2 3 4
-2
-1
0
1
1
2
3
y
x12
-1 2 3 4
-2
-1
0
1
1
2
3
y
x-2 -1 2 3 4
-2
-1
0
1
1
2
515
y
x
-2 -1 0 2 3 4
-2
-1
1
1
2
3
13
y
x-2 -1 2 3 4
-2
-1
0
1
1
2
3
y
x13
-1 0 2 3
-2
-1
1
1
2
3
4 5
15
y
x
7�9��������������������������������������������������������������������������������7�9������������������������������������������������������������������������������������������7.9�������������������������������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY���������������YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY���
�B��%@ �F"�*�����ZaI����)"����Z�9���(a������D?2���O�OC���A�a�*&�����a����I
%�������K$� � ��'���_-�M"�/�� ��+�4�Y�4
��¥
[D��*"7�(� ���%@6���3��Z��K�D��C�����@/"��J����������%@6
��H�K��=1���`��
������
[�"*�J��*e6�������f ��(x��������x����f (x�����x�� �U��V������������%@6
-1 2 3 4
-2
-1
0 1-2
1
2
! "a� �0 1
y
x
logay x�-2 -1 2 3 4
-1
0
1
1
2
! "a �1
y
x
logay x�
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fx
y
f
f
( , )3 8
( , )8 3
( , )2 4
( , )4 2
( , )1 2
( , )2 1
( , )0 1
( , )1 0
( , )�1
1
�1
2( , )�1
24
( , )�1
24
( , )�1
12
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
[���K�N�@!�����*"7������Z���%@6����F"��r�O6����%����
²²²²����²²²²����− =1 12
2− =2 12
4�"�@6
��������¤�²²²²²²��������²²²²log =212
²²log = −21
24
�@/"��J�
(x�®�I���a������a�®�I��[,!A��������ax ��y�B�&�>:�a y ��x�*&����K��%P��
�[���K�N�@!��6%@6���6������*"7��������� �� ��
�logabb c c a= ⇔ = � (c�®�I���b�®�I���b����
���4���I���4I������������������ ����I�III��+
��� � � = −21
416
������[[[[[[[=129 3 ������ +���[[[[[[[
���;��;���+�� ;+���[[[[[[0+���'0�������0�'0����[[[[[[
log = −13
27 3 ��[[[[[[[���[[[[[[[� ��������� [[[[[[[���[[[[[[
log =15
125 ²²���²²��²²����²²��²²�����²²
log =12
16 ²²���²²���²²����²²��²²���²²
7�)��!<
9�&� ��T
�%&<
%�������K$� � ��'���_-�M"�/�� ��+�4�Y�4
���
�?a���Z�%9��@6�/9%6���?��p$%@���D��C�F"�����[)���6����(��3A��)/"��J������I�(��?�����)/"��J�
[����a�)�E"%6���������Ia��(��������"
=1���`��&����!_���
�)"����B��%@ �Z�9���(a�������D?2���O�OC���A�a�*&�� �
����a����I������������a a������������� ��� � �a a = −1
1
�)"����(c�������c���b���a�D?2�����O�OC����A��(�*�� �����cab�������ca�������cb�7��Zb �²²���a �²²�S"*���z?P�,M�Zn ������c b���m ������c a�)��K��*L�C���n*�h�/6����������c ab ��²²��)"����)/"��J��S"*���z?P�F"�*�����ab �cm[cn ��²²����F"����c ab������c a������c b �
[���K�W�EC�������'����O��Z log /3 0 48� ��� log /2 0 3� ����K��*L�C/� !����'���������+�����������+��������� � �I�04����I�+�I�<4
�)"����Z�9������?P���A�="�n���a�������D?2�����O�OC�(���A��b���a�*&�� +log logn
a ab n b=
C���n*���
���
�log log log log log
nn
a a a a a
n
b b b b b n b= = + + =���������
�)"����(c�≠�����c���b���a�D?2�����O�OC����A��(�*�� 0��� � � ��� ���c c c
aa b
b= −
�F"�*�����[�a db
= �)��K�����*L�C���n*a ��b d������c a������c b������c d������c d �����c a���²²²
log logc ca
bb
= −
[���K�?�������������;����O��Z log /2 0 3� �*&��C/� !log log log log log / /= = − = − − =10
5 10 2 1 2 1 0 3 0 72
�
)�)*+]�#�A���� �F"*��)_� �7� ��!" �)/"��J� �5�����>�*K �B�� ��� �>: ��*���K �� �D� ��V�"����W*V�N@A�Z)/"��J�����[D��#�?���[�%9����N"�?��z"*Q����)�EO��N@A����@�
������
²²[²
)�)*+]�(�% ���3L �Z5�Q��� �`"�aL� ��� �>��a@ �U��� �[���"��� �` �K �vF��7 �%�w*QE@���#�%R�� �5�Q��� ����*� ���3L �?����K �Z D � ( )logpa = − 1015500 5
���3L�a�6�p���*/��oEC*��5�Q����a��>:����($����������% ���3L�[D����!�M�oEC*�[���K�?����*/��;'�I�5�Q�������6�������.
²[ ²[
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
���� �� ��
[�"��:�D�������*"7����A���?"*O��*"��O��Z����+� � �I�04��������� � �I�+�*&�
�w����������������+È0�����+�����������+�������� � I�04���I�'���I4
�w����I�<;���²[[[[[[[[²²[[[[²���������������������+w� log =5 �²[[[[[[[[²²²
0w� log =25
18 ²[[[[[[[[[[[[[²²²�����������������������;w� log =3 6
²[[[[[[[[²²²
'w� log =4
27
5 ²[[[[[[[[²[[²²
�%1���`����������(7������7��p$%@���K�D���@/"��J��#$�����NC�Z)/"��J��(� �*���K�F"*��)_��7���!"�F"*��S��V �>�*K �nd3� �Z�a�7 �#�9 � �?��� ���6�� �[�":��� �D��� ���.�� � ��uE� �="�nd3��>��7�7��,M������="�D��@������������� �M�Z�"�%�9�6�/:��"�>���9�N��.�(��R
��6���@/"��J��#$�����7���"� �6%@6�*"7�#$�����[%�/K�%"����*R��A�*@A�@�6� �?��������0x �����+����������+x �����+<�����������;x ������;(x ���������;���[��K�ª�R����������K�D���%_h��(�*��(*"��O��>�*K����M�Z�@/"��J�� �������NC�7���%e��
)�)*+]��B����� �(%E6�*L �¦�a� ���@36�� ��YM$
�D��/Q&�)/"��J��� �K �`"�/ �N��. �D� �(��a�� �)/"��J�^�` �K�7�����s�� �B�� ���s���K �>: �=@K�*��*� ��� ��� �>���9*/8� �*@A �Z���"����� ����&��� �=s%K �(� �U8�7� �� ���K�����V�"� ��6�36 ���� �� ��6$%P �#���?A �7�
[]D����a��
[���K�NC����*"7��@/"��J��#$����� � log x x= → = =2
3 2 3 9
� � ��� � � ��� � �x x x x x+ = − → + = − → =5 56 2 3 6 2 3 9
[D���%?.�N��.�)/"��J�����* �(�*��x��� �K+ � [ ]��� � � ��� � � ��� � �� �x x x x+ + + = → + + =5 5 56 2 1 6 2 1
����x���'���x ������;���x��4�x ������;��x��4�x �<���I�����x �<���x ������I���x ���<����"���x ��������K�D���%?.�N��.�x �����W�%���_������F"��7���DE�6��%?.�N��.�x ���<�K����K��%�
[��K����ª�R���R�� ������
������
�>�%��="���="����%�����B�&�>:��9���Z(a�������D?2���O�OC���A�="�a�*&����K��%P�����x �y�DL*&�h�/6�>�%���� log loga ax y= ���x��y ®I��(��E��7��Z�@/"��J������
[���a x �����a y�B�&�>:�(x���y ®I��x �y�*&��Z,!A��
)�)*+]��"��L�*X���*A����� ��%6��.��W:�(�%9�*��X���%6��.��z@A���v�%/��G8�7���R�Lw�(�%9 �>�a�� ��"�%/� �zP��� ��� �[��K�����"*�*�d?��N������� ��%6��.��bU����W:�*��="�a6�oU.���s* �[D��*/3���ZW:�1A���>�����f������*�d?��` �K�Z)"%9���������[���"�` �K�W:�bU�(�%9��%9���
�7��D��#��?A�P%�*�� � � � ��� � �S x x= + +31 5 1 1 1
���*/����z@A��B�� ��>�36�x�U����F"�����K��%�%��=@6��*&����O���B�� ��>�36�S (x�
[D���%6��.��W:��*&%��K* ���
�����5J���V&+W����<�%=
%�������K$� � ��'���_-�M"�/�� ��+�4�Y�4
���
���� �� ��
[���K�NC����*"7��@/"��J��#$����
� ����;�x ��+²[[[[[[[[²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²²
� ��������x ������+²[[[[[[[[²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²²
+ �������x ����������x �0�����²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
0 �����+�0+����x���²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²²[²
; ����+��x ������0²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²²[[[[[²
' ��������x��������x �+�����²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²[[[
< �����0��x��������+²[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[²[[[[[[[[[[
0 � ��� � � ���x + =4 42 8 ����x ���4�������x �[[[; � log log logx x= − → =3
2 2 23 27 [[[[[[[[[[[[[���[[[[[[[[[[[[[
' � ��� � � ���� � ��� xx x
x++ − − = → = →−1
1 3 3 33
�[[[[[[[[[[[[[[[[[
����
[���K�D��y����*"7�(� �(��E�� �
S��w� log log log logc c c cabd a b d= + + ��c ≠�����6��D?2���O�OC���A��d���c���b���a�
Ww� logloglog
cb
c
aa
b= ��b���c ≠�����6��D?2���O�OC���A��c���b���a�
�w� logaba b= ��a ≠�����6��D?2���O�OC���A��b���a�
#w����ba��·�����ab ���
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
���
[�"��:�D�������*"7�#���?A�NR�C� �
S��w� log 57 49 �������� ���Ww� log
12
3 27 ����� ��������w������;��;������ � �����#w� log103 1000
[�"��:�D�������f�����0�������O��Z� � � ��� � �xf x = − −43 2 5
2�*&�� �
[�"��:�D�������a����O��Z��K��%?A�(������� �UO6�7��f����x�������a x�� �U��V������������%@6�*&��vS��� �
�D����s�a����O��Z��K��%?A ( �©©� ����0��� �UO6�7��f����x�������a x�� �U��V������������%@6�*&��vW
[���K�)����� logy x= 13
� �U��V������������%@6�
�D��D���6����K���D���*"7�(� �B��a&�7��="����K� '
[ax �y�B�J6:�Z logay x= �*&��vS��
[��K�����%?A�(���I��� �UO6�7����I¯�a�¯�� logay x= � �U��V������������%@6�vW
[�%9��@6�S"*����Q������A��)/"��J��v�
[���K�NC����*"7��@/"��J��#$����� <
S��w����+��p������������+�p����������������������Ww�����;��x������������;��x��������
�w�+����0���a ����0�;������0�;������������������#w� ��� � �x − = −2110
21 2
7q&��9���U#��AO
��
�%1���`�������%+���� ��&����� %+��Z)"��/L*&��*L�pY?.�K����6�%.�7��B��Q/�����>�%�����������%��F"�����%@6�[)"�9���9:��@/"��J�����"�@6����%�����%@6��������������������
[)� ����O/6�
[�� ����h6�����*"7�D����L�Z�9�/Q&����%����O/6��1�?�����K�i6:����%����
�%1���`�������%+���� ��&�������?�������� %+
����� �
������
[���K�*�e6�>:� �U��V�����������* ����%@6
S��w�k (x�����������x����������� � �����Ww�l�(x������������+�x������������ � ������w� � � � �= − xh x12
#wg�(x���������+���(x ������������� ������w�j�(x����+��(x ��������������������������� � �������j9�f�(x�����x��
-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4-3-4
-2
-3
-4
y
x-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4
-2
-3
-4
y
x-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4-3-4
-2
-3
-4
y
x
���������������������������v�w����������������������������������������������������������������v�w����������������������������������������������������������������v�w
���������������������������v0w����������������������������������������������������������������v;w����������������������������������������������������������������v'w
-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4-3-4
-2
y
x-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4
-2
y
x-2 -1 2 3
-1
0
1
1
2
3
4
4-3-4
-2
y
x
�'���_-� ����' �M"5/�����!"��*� ����5�' � �+��Y�4
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
��¡
��6����z����� ���%@6�7��="����K���� �U��V�7��="����K�w�y������+�������x�������������������� �������w�y���+x����
+w�y����+x��
�0w�y������+�����x�������������������������� ������;w��y����������+�����x �'w�y���+(x ���
���� �� ��
7f(*9����������������������������������������������������������������������������������������7g9���������������������������������������������������������������������������������������������7h9��������������������������������
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3y
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2y
x
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
7�9��������������������������������������������������������������������������������������������������7i9����������������������������������������������������������������������������������������������7j9�������������������������
���� �� ��
�[D��B�9�)���_6: �(� �/L�" ���O/6� ����@/"��J������ �="����"�@6 ����� �="����%@6�Z*"7�(� �N!9���[��E"%������/L�"���O/6�����%�� �U��V
-3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-5
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
5
6
7y
x
2y
1y � 4xy
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6y
x
y1
y2
log xy� 2
-1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
x
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7y
x
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-3
-2
-1
0
1
2 y
x
���
�%1���`�������%+���� �������?�C%�#)����
�²�����_�������?P�Z(��k/.��N\�E��7��(���E�����K�������"�@6���/L����a ������a ®I��h ��x��ka x�#�%R��������="���K�D��C���[�%9����* �¨
�K �D� �(*/K�� ��A%6 �Ì[���� ���k/8� ��%P�� ��" �vÌ��~����~�|�����w ���K��3"*9� �C/� !�N��%A �[D� ��"�@6 �#�%R�� �>: �*�2!� �� ���K��� ��&�67 �f��%& �B�J/� ��� ����?P ��%P���(*/K����II����(��@���F"��7���R�8�5%6�[�%9����(��@���1A���>:�>�9���"7���6����Q�/d��B�%� �* ��B7��6� �[�%9����)�EO� �D@E.����� �DA��)�6 �#������(*/K�� �* ����%9����5�*9
��":����D����*"7� �U����7��DA��t�7������(*/K��p ��t ������II��t�����������������I���t����'� �
�����D��*��*��DA��+�7��,M�B�%��="����� �(*/K���������Z�6�*6�F���7��� �(*/K���7�����K�º� �!�"���*L���p ��+�����IIÈ�'��'0II �
C#$%&�'(���� �M�*��*��(���a�7��&�a��*&��[� �����>�36�����a�7����B�9���7:�(¾*6��>�a���K�D��B7*��F��7��&�a��(*�&�B7��6��(�*�����O��Z*/3"�
��":����D����*"7� �U����7��K�D��vErgw�¦� ����C������E�*��*���a�7�>:��B�9���7:�(¾*6��Z�9���*/3"�����O��������E�����4���;M
[D��ÒÓÒ�(��hQ6���B����F����������="���hQ6��(¾*6�����*��*��p�?"*O��(*/3"��4� ��a�7�="�(¾*6��(¾*6�����O��[�6�7*��>��*K�>�/��ª*9�������>:�l�*P��zP������)��*_9�Z*/3"��'�'�#�9���(���a�7��+4��B���(��)h�M�7���C/� !
�D��B�%����Os��a�7�F"�����B�9���7:����E������4����;M������E������4����;���'�'�
�����E������<�����E����I���<�Erg
�N�h�� ��� ������� ��+' ��� ����*8 �+� � ��a�7������� � �O�.� ���DA���� �*/3"� ���� ��&�a� ����� ��a�7 �F"� ��� �B�9 ���7: �(¾*6� ����O� �[��� �£�
[���K�?���
���� �� ��
J��U%�W*�V�$J���;<+
�'���_-� ����' �M"5/�����!"��*� ����5�' � �+��Y�4
3D)���G0���3��D��n� 2�� ��#�Hk7
��¤
�D����Os�x����O��Zg ��x)��''�*&��vW�[�"��:�D�������g��������vS���[g ��x)��0x���)��K�����*L� �
[���K�)��³����¿��B7���������y���0x��� �U��V������������%@6� �
[���K�)�����*"7�(� �U��V�������%�����%@6� �S��w�y�����x����������������������������Ww�
y���������������x����)
�w�y����|x|����������������������������������#w� y���|x|__x ����x�
����
�[D��B�9�)��y �a ���x �b )� �U��V������������%@6��������#�k/d��B�J/����� �[�"��:�D�������b���a
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
x
y
�`1 /����4 !
&�4�&�������-
��� ���4�(� ��
�`1 /
���*.���UE��*_9�������hE���!"�a6����6�9�K�m*��>��@�>�/���������* �9���@9������UE��[�������D������������C�m*��F"��D��.�[D���.���[D��*/�����>�*���7�������N8���7��m*��5�Q������>:��6�*���(�@6������V�B��m*����8���(�-L
[D��)e/������V
�����
���� �
���� �
����� �
3G)�/����-`�� � �Hk7
���
�F��s�[�6���.���B*"���(����_6:�(� �����K��6��B�9�)��(��6%&�����*��="���5YV$��(��E/��1�2��="�r�5��9���*"7�(� �B*"������[D��*/@K�B*"���DC�E��7����*��DC�E����5YV$��(��E/��1�2��DC�E��K�D��bV���[)���6�����P��������"� ����V���s
3G)�/����-`� � �Hk7k7Hk7 �Hk7� �Hk-`�� H��-`�� /����-`���/����-`)�/����3G)�/��3G)�3G)�G
&�4�&�������-
���� ��
������
��.�Q���s�Z�6%9�*/3����P����)e/���(� ����V���s�5YV��������s* ��D��*��="�a6�B*"���DC�E����="����K�DC�E����67������C��/L����
[D���B�9�B����v��3A��).��="�D.����w�r�5��9����P����)e/���(� ����V�n�7��(������DC�E��*"7���������DC�E��)�6�%�����)� �%d��K�>�a���* ����":���*K�>�%�����s�B*"���DC�E�����P����)e/���(� ����V���s�DC�E��>�9�*��="�a6�(�*�
�)��K�="�a6�B*"���DC�E�������)e/���(� ����V���s
��������������������5YV��������>�9���"7��²�¡ ���P����)e/������V���s
������������������DC�E��>�9�*��="�a6�²²²�DC�E����� ����V���s�r�²��¤�r���¡�r����¤��r��r����r��?"*O��DC�E�
... ...�et�uv5R$�!
�)�6�%�����)� �%d��K�>�a���* ������B*"������r����)e/���(� ����V���s�DC�E��� ��� ����V���s�5YV������� �!6: �r*9�� �Z)��K �*��="�a6 �B*"�� �DC�E����DC�E��Z5YV��������`"�aL�����*J"��>�����w�[)��K����/8��¦�a���L�K����O�
[v�%9����="�a6�B*"���DC�E����� ����V���s
�87����8=�5!0�� ��>� �Y�4
���
�v��9�����@��B*"���="�*��>:�5YV�� �@ �K����V���sw��U����)e/���(� ����V���s�7��r�5��9���B*"���(�*��N?.�D����L�������K��*L[vDE�6��7$�� �DC�E��?���w����K�>����� ����V���s�F"���B������Z��:�D����N?.�D����L�������i6:���3��h�/6�[)��K�B��Q/�
���� �� ��
�AMND�N�U/E��DC�E��[��K����NR��DC�G�������AB�G��MN�G8�B��M�[)"*�&����*e6��������C���0���V���ABCD���*��(� �N�U/E��DC�E��[D��CD���AB�(����_6:��"�_/6��r�O6�ZN!9���6���K�)��K����)���"� �G8�B��M�MN�#�7�%�����D����Os
[vD���C���0�*��*��� �N�U/E���%Pw����K�*M�������8�(� ���[D��B�9�B������������ZB��:��"�M��"��
�����Z��7��*/@K�*"��O������ �N�U/E���*A[�%9����="�a6
��¥¥��¥��¤����� ����� �N�U/E���*A
[�%9����="�a6�²²���A���DC�E�����¤����¤�J6��N�U/E��DC�E�
������
A BM
D CN
2
3
A B
D C
2/8
3
4
4
A BM
D CN
2/1
3
A B
D C
2/9
3
4
4
MA B
D CN
2/5
3
A B
D C
2/99
3
4
4
3G)�/����-`�� � �Hk7
���
�F"�����[����`"�@6�f �����x )�0x������#�%R���>�%��������� �N�U/E��DC�E��Z)"*�J��*e6����x�����_6:��*A���0����� �N�U/E���%P�*&��D@���+���A�7��*/3���*"��O�����Zx�����D��C�������%9����="�a6�+���A�D@���Z+���A�7��*/@K�*"��O�����Zx�����D��C����K�#��Q��*"7���������N?.��������� �RY8�[)� �����`"�@6�x�+����x�+��(� ��@6����o��*�������D��V�����F"��[�%9����="�a6�+���A
�D��B�9�\���
�(� �N�U/E��Z*"7�N!9���6�@ �Z�6%9����)��BC�#�7�%����K��"� �G8�B��M�[)� �������h6��BC�G8�B��M�7��5�*9���������K�F�@ ���3�[���K�N��K���������[�67��������(�"��
�� �� �Z� �7� �*/3�� �*"��O� ��� �� �N�U/E� ��*A[�%9����="�a6
������������ ��¥�� �N�U/E���*A
[�%9����="�a6�²²���A���DC�E����¤��� �¡�¡�J6��N�U/E��DC�E�
�%9����="�a6�+���½s�D@�7��x���������������������������������������������������������������������������%9����="�a6�+���D���D@�7��x
�%9����="�a6������f���x )������������������������������������������������������������������������������������������������%9����="�a6������f���x )
A B
D C3
4
4
4
A B
D C
3/2
3
A B
D C
3/5
3
4
4
A B
D C
3/01
3
A B
D C
3/9
3
4
4
A B
D C
3/1
3
���¥�� ������������#��¥¥��¥��¤�� ����x
�¡���#¤����¤f �x)
�87����8=�5!0�� ��>� �Y�4
���
�B�9 �)� � � �x x
f xx x
<⎧= ⎨− + >⎩
2 1
5 1� �U��V ��� ����� ����%@6 �C/� !
[D�����%@6 �=@K �� �� �>: �7� �B��Q/� ��� �� ����K �N��K ��� ���� � ��QR �����
[���K�?������� � �−→xf x
1lim ��� � �
+→xf x
1lim
�����������/L��DO�OC����[�%9����="�a6�+���½s�7��x�)�"%&����x�+����/.�����%9����="�a6�+���D���7��x�)�"%&�x�+���/.��[D��B�9���*��+�UO6��!"�a6
��D���D@�7��x��%9����="�a6+
�f������x)�*"��O��>�@ ��"�� �N�U/E��DC�E��x �+����/.��K�)"�"��)�"%&����D��C�F"�����[�%9����="�a6������B�%d������O�������*��*��Z�%9����="�a6�+���½s�7��x��/.��f������x)�������C
� �−→
=x
f x3
12lim ��)�E"%6������D�
����O� �� �� �N�U/E� �DC�E� �) �7�� �x�+� ��/.� ���3� �z"*P ���������C�)�"%&����) �D��C�F"�����[�%9����="�a6������B�%d������*��*� �Z�%9����="�a6�+�� �D���D@�7��x ��/.��f������x)
� �+→
=x
f x3
12lim ��)�E"%6������D�
�*��*� �� ��%�%� �ZUO6 �=" ��� ����� �=" �½s��C�� �D�� ��C�*&���C���D����C�D����L�F"�����[������C�UO6�>:���������Z��9���[D�����*��*�����%�%��Z�%9����="�a6�����x��/.�������½s
�)�E"%6����RY8��%P��� �
→=
xf x
312lim
9
10
11
12
13
14
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
(x) xf �4
x
�����������½s�D@�7��x�%9����="�a6�+
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
y
x
3G)�/����-`�� � �Hk7
���
�D���D@�7��x��/.��������C��� � �−→xf x
1lim =������"��D����*��*��Z�%9����="�a6�����½s�D@�7��x��/.��������C�*J"��#��?A��
�[��/E�6�*��*��) ���������6�����%������* �½s��C���D����C���2��F"�����[ � �+→
=x
f x1
4lim �����"�D��0�*��*��Z�%9����="�a6����[�6�����%���v½s��C���D����Cw�L*P�="�(� �C�����Z����6��C�x������ �UO6��������
���¤�� ������[[[[��#��¥¥��¥[[[[�� ����x
[[[[����� [[[[��¥��¥¥�#��[[[[��¤��¡[[[[����f �x)
�%9����="�a6�����½s�D@�7��x���������������������������������������������������������������������������%9����="�a6�����D���D@�7��x
�%9����="�a6�����f������x)������������������������������������������������������������������������������������������������%9����="�a6�����f����x)
�*��*��xI����f�½s��C�[�9���B�9�S"*����a���xI�����6���(��B7������f������)��K��*L�Z�*K �="�a6 �l �� �>�%/� �B�%d�� ��B7��6� �* �� ��� �f ����� �*"��O� �B�&* ��D� �l ���A�#�%R�F"� ��� �Z�%9�="�a6 �xI �� ��L�K ���. �� �½s�D@�7� �x �!6: �r*9��
� �−→
=x x
f x l0
lim ��)�E"%6�����C�[�9�� �B�9�S"*�� ��xI �� �b�� ���6�� �(��B7�� ��� �f �)��K ��*L���3��z"*P���>�%/��B�%d���B7��6��* ������f������*"��O��B�&* ��D��l���A�*��*��xI����f�D���="�a6�xI����L�K���.���D���D@�7��x�!6:�r*9���Z�*K�="�a6�l��
� �+→
=x x
f x l0
lim ��)�E"%6����#�%R�F"�����[�%9
��xI��%8����p$�@/C��a���w�xI� �UO6�N��9��a���b�����6���(��B7������f������)��K��*L�* ������f���������O��B�&* ��D��l���A�*��*��xI����f�������C�[�9���B�9�S"*���v½s���D���l*P����7�w�x�!6:�r*9�����*K�="�a6�l���>�%/��B�%d����B7��6�
�)�E"%6����#�%R�F"�����[�%9�="�a6�xI����L�K���.��� �
→=
x xf x l
0
lim � �
[ � �−→
=x x
f x l0
lim ��� � �+→
=x x
f x l0
lim �*&���_�����*&� � �→
=x x
f x l0
lim �
�87����8=�5!0�� ��>� �Y�4
��
����[)��K���*��UO6�="��!"�a6������������="���/L��D���7$��.�%��7��(���E�����[�6�������="�o��.����\����N��.����?P�(� �B�"�M�7��(���E�[)"%9���9:�*/_���C��%_Q���������*K�)� �%8���*��UO6�="��!"�a6���������������/L��*"7�D����L
������
��6��B�9�)��*"7����%�����%@6
��f������x)��x �������������������������������������� � �x x
g xx
− ≠⎧= ⎨ =⎩
2 1 4
5 4��������������������������������h����x)��x ����������x���0)
[���K��%�������������F"���*�����������6*��*��*J"�!"����������F"���":�������z������������K������%@6�*
[���K�N��K�����������/���[)��K���*��0� �UO6��!"�a6�������������F"����/L��)� �%8���
�� ��������������#��¥¥��¥��¤�� �x
¥¤�������#¡�¡¡ f����x )�����#g �x )
�����#h �x )
�[�%9�="�a6�²���A����L�K���.���Ô�*"��O��!6:�r*9����)��K�="�a6�²���A���)�6�%�����)� �%d��K�B7��6��* ����� h�����g �Z�f���*"��O��*J"��#��?A���[D��²�*��*��v��K����N���0�D@�� x���6�%d�w�x�0�K��/.��������* ��C
� �→
=x
f x4
lim � � �→
=x
g x4
lim � �→
=x
h x4
lim
�%9����="�a6�0���½s�D@�7��x�������������������������������������������������������������%9����="�a6�0���D���D@�7��x
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 8 8
9 9 9
y
x
y
x
y
x
3G)�/����-`�� � �Hk7
��¡
�="�a6�0���x��/.���_6:��C�*J"��#��?A���[�6�����6�E!"���/L��x����� �UO6��!"�a6��� h�����g�Z�f��������K��"�*K�B� �3��N?.�D����L����)"����0�UO6����������F"��*"��O���B��������C�F"�����[D��<�*��*��Z�%9���
[vD��B�36�S"*���0����h���������6��%���h ��0)�vS��[ ��� � � � �
→ ≠
xg x g
44 ������D���%�%��g ��0)�vW
[ ��� � �→
=x
f x4
7 ���f ��0)���<�v�
[D��B�9�)��f �x)�����x ����4��������������������x ®��x �������������������������������x ����������������������������������x ����+
���������%@6�*"7�N!9����C��/� !
� � �→
=x
f x2
4lim ������D��B�36�S"*���f �����)�vS��[����6��%��� � �
→−xf x
1lim ����� � �
+→−=
xf x
11lim �vW
[�f ���������)����v�[�f�������I)�I��� � �
→=
xf x
00lim �v#
[�f�������0)�I��� � �→
=x
f x4
0lim �v��[��� � �
−→−=
xf x
32lim �������6���6��%��� � �
+→−xf x
3lim ���f��������+)�v�m
�)"���� � � =g x x ������(�*��C��/� ![ lim
+→=
xx
00�vS��
[D��B�36�S"*���x�¯I�(�*��������*"7������6��%�� lim−→x
x0
v�W[����6��%��
lim
→xx
0 v��
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
f (x) x
y
x
�
���f ��a ) ��B����� �B�J6: �Z ��� � �x a
f x l→
= �)�9�� �/9�� �f ���6�� ������ ��B����� �*&� ���K ��%P����)"�������*"7�(� �D��C�7���!"[DE�6��%�%��f ��a)�vS��
[ ��� � � � �→
≠ x a
f x f a ������D���%�%��f ��a)���vW�[ ��� � � � �
→=
x af x f a ��v�
�87����8=�5!0�� ��>� �Y�4
���
�D��D���6�="����K���D���="����K�ZB�9�B����>:����%@6�K�f������(�*�� �f��������)���vW �� � �
→=
xf x
12lim �vS��
� �+→−
=x
f x2
0lim �v# �f �������)���v�� �
→=
xf x
01lim �vm � � �
→−=
xf x
12lim �v�
[����6��%�� ��� � �→−x
f x1
vq �[����6��%��� � �→x
f x2
lim �v´
[�9������(��E���� �UO6����������C�K����K�\����>:����%@6����B�*@ �Z�����="�7�����2�� �[f��������+)���[�9���/9��6��C�+� �UO6����K����K�\����f���6��������� �
[ � �→
=x
f x2
4lim �[�9���B�36�S"*����� �UO6����K����K�\����f���6��������� �����K�?�����%���#�%R�������*"7����%�� � �f x x= −2 �U��V����������B������
� � � �−→xf x
2lim �vW � � �
+→xf x
2lim �vS��
f ������)�v# � �→x
f x2
lim �v�
����
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
y
x
[)"*�&����*e6������� � �x x
f xx x
>⎧= ⎨− <⎩
0
0�����U��V��������� ¡
�D���%�%��f ���I)��":��������C�*QR�UO6����f��":��� ��t�M�#$�g������"*�J��*e6�������*"7����%�� �
���������f ����x����x ��������������Z����� �g ��x)���x �������x ��)����������Z���������� � �+ ≠⎧
= ⎨ =⎩
x xh x
x
2 1 2
3 2
[�"��:�D�����%���#�%R�������g ���)���h ���)�Z�f ���)�*"��O��vS������K�?�������*"7�(� �C�vW
� �→x
h x2
lim �����Z������ � �→x
g x2
lim ������Z������ � �→x
f x2
lim
�D���%�%��x ������*"7�������C��":�� ¤� �
x x
f x x
x x
− + >⎧⎪= − =⎨⎪ − <⎩
2 2
2 2
3 2
�
[�����������%���#�%R����������*QR����������C������K�)����� � � x xf x
x x
⎧ + >⎪= ⎨− − ≤⎪⎩
2 2 0
2 2 0� �U��V������������%@6� ¥
�D���%�%�� � �→x
f x0
lim ��":�[���K�)�����f����%@6�Z | |� � xf x
x= �*&���I
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
f(x) x�
y
x
3G)�/����-`�� � �Hk7
��¤
��"� �%/�����A�%.������="��C� �?����(�*��[D�������>:��C� �?����Z��K�=@K��6�%����������="�*��z�.�� ����U����K�����%A�7���!"[�6%9����B����b�V%����2��*K��������%_9�=@K����A�%.�F"��7���8*������F"�����[������%��
A��n���� ��-�����[D��D��y���������O��*��*��UO6�* ����D��y�������C
� �→
=x
f x5
2lim ����2���%P��
)�#����� ��-����
→=
x ac clim ����9����O�OC���A����a���c�*&����K��%P��
3G)�/����-`� � �Hk7k7Hk7 �Hk7� �Hk-`�� H��-`�� /����-`���/����-`)�/����3G)�/��3G)�3G)�G
��� ���4�(� ��
���� �
����K�W�EC����*"7�(� �C
→=
xx
7lim ²²²
→=
x 75lim ²²²
→=
xx
0lim ²²² �
→=
x 50lim ²²²
� �
→− =
x 42lim ²²²
→−=
xx
7lim ²²²
���� �� ��
�a�� )�x a
x a→
=lim �B�J6:�Zf �x)�x��*&�
→=
xx
33lim ����2���%P��
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
f (x) � 2
x
y
x�5
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
f (x) � x
x
y
M"5/�87��F��9��� ��+�4�Y�4
��¥
���� �� ��
�� ���%@6�=@K��������K�*M�������8�(� ���[���K�?����$���>%6�.�=@K������ � � � � ��→
+x
f x g x2
lim B�&�>:�g ��x����x �����f ��x����x�*&�[�� ��b�V%��a�6����5%@h���C�>%6�.
����������� � �→
=x
f x2
lim ²²²�� � �→
=x
g x2
lim ²²²����������������������� � � � � ��→
+ = x
f x g x2
lim ²²��²²��
�B�&�>:� � �→
=x a
g x mlim ��� � �→
=x a
f x llim �*&�
� � � � �� � � � �→ → →
+ = + = +x a x a x a
f x g x f x g x l mlim lim lim
���������5%@h���C�Z��9���/9����C�UO6�="������������*&��*J"��#��?A��[D��UO6�>�@ �����_6:�(� �C�5%@h��*��*��UO6�>:���
[)��K����?����������%���C�Z>%6�.���s�=@K����h�"�����[)"�*��B*_��� ���%@6���� ������7��*/3��������="� x�C� �?����(�*��>%�K��
8+#s!��-����
-2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f (x)�x
x
y
-2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
-2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
5
4
6
x
y
g(x) x� �2 1 g(x) x� �3 1
�t�3 ��-����
�B�J6:� � �→
=x a
g x mlim ��� � �→
=x a
f x llim �*&�� � � � �� � � � �
→ → →− = − = −
x a x a x af x g x f x g x l mlim lim lim
���������NV�Q���C�Z��9���/9����C�UO6�="������������*&��*J"��#��?A��[D��UO6�>�@ �����_6:�(� �C�NV�Q��*��*��UO6�>:���
���
3G)�/����-`�� � �Hk7
[����������*"7�(� �C�7��="* �W*V�NR�C��C�>%6�.�=@K���Z�� � �→
=x a
f x llim �*&��vS��( ) ( )� � � �� � �
→ →=
x a x af x f x f x2lim lim ��²²² �
( )� �→
=x a
f x 3lim ²²² [�� ��b�V%������K����B��Q/��;���0�Z��F�6�%.�7��6%Js� � �
→−
xx
20
23
5lim ��C� �?����(�*��vW
���� �� ��
�)"����N?.�]�YK������K^������2���%P��� � � � �� � � � �
→ → →− = − = − = −
x x xf x g x f x g x
2 2 22 3 1lim lim lim �
g�t��\�-��-������
B�J6:� � �→
=x a
f x llim ���D��y���A�="�c�*&�( )� � � � � �
x a x acf x c f x cl a
→ →= = ∈�lim lim
�B�J6:� � �→
=x a
g x mlim ��� � �→
=x a
f x llim �*&��
� � �� � �� � �� � �→ → →
=x a x a x a
f x g x f x g xlim lim lim =�lm����W*V�NR�C��C�Z��9���/9����C�UO6�="������������*&��*J"��#��?A��
[D��UO6�>�@ �����_6:�[[[[[[[[[[[[[[[�*��*��UO6�>:��������
�B�J6:�n ∈� ��� � �→
=x a
f x llim �*&����K�D��C���
( ) ( )� � � �→ →
= =n
n n
x a x af x f x llim lim
��B�J6:�m �I�K� � �→
=x a
g x mlim ��� � �→
=x a
f x llim �*&�� �� � � �
� � � �→
→→
⎛ ⎞= = ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠x a
x ax a
f xf x lm
g x g x m0
limlim
lim
������������)�EO���C�Z��9���/9����C�UO6�="������������*&��*J"��#��?A���������C�!6:�r*9����D��UO6�>�@ �����_6:�(� �C�)�EO��*��*��UO6�>:
[�%36�*QR�UO6�>:����m*d�
5�EQ ��-�����.
M"5/�87��F��9��� ��+�4�Y�4
���
������
Z�f ��x)��+x���x �<� �U��V����f������(�*�� �[�"��:�D������� � �
�xf x
1lim ����8�(� ���N�@!�����vS��
� � � �� �
� � �x x
f x x x2
1 13 2 7lim lim �
� � � �� � �
� � �x x x
x x2
1 1 13 2 7lim lim lim
�� ��
xx2
13lim �²²���²²
[���K���*����� � � � �
��
xf x f
11lim �(��E���/��������K�?�������f ���)�vW
[���K���*����� � � � ��
�x
g x g2
2lim �(��E���/���Z � � � � � �g x x x x4 31 15
8 2� �U��V����������B������v�
[���K�N��K�������8�(� ���[��
�� �x
x
x x23
2 1
4 1lim ��D��W%�U��vS��� �
� �
� ��
��
�� ���������������������� � �
� � � �x
xx
xx
x x x x3
2 233
2 12 1
4 1 4 1
limlim
lim�
[���K�W�EC����N��O��(� �C�vW
�
� �� �
�x
x x
x
4 3
1 2
2 12
53
lim �²²²�� ��
��� �
� �x
x
x x
2
1 2
13
2 15
lim �²²² �
�*��*��UO6�>:������������O�����UO6�="����(���@���s������="��C���K��%P��[D�
²²²²²²
�(���@���s����Q��x)���P��x)�K��9����"%&������="� � �� �� �
�P x
f xQ x
�*&����K��%P���*�����P��x)��C�K�D���L�K�a���6���(��UO6����f ��x)��C� �?����(�*��Z��/E
� ��
�x a
Q x 0lim �!6:�r*9����)��K�)�EO��UO6�>:����Q��x)��C
���)�9���/9���Z�6��(���@���s����Q ��x)���P ��x)�K� � �� ��x a
P xQ x
lim � �?�������*&��D��C�F"�����[�*K�?��������C�>�%���@6�*�8��>%6�.����*J"��P ��a)�Q ��a)�I
�)��K����N@A�*"7�f�����[�6*"�M� d��x �a �*� �Q ��x) ���P ��x) �#�%R�F"�����P ��a)�Q ��a)�I�*&��� �)��K��� �B�� �x �a �*� �Q ��x) �� �P ��x) �)�EO� ��� ��� � � �
� �P xQ x
�#��?A ���/��[)��K������*������ �C�)�EO��>%6�.�7��B��Q/��>�!���,¢
���
3G)�/����-`�� � �Hk7
[���K�?�������→
−−x
xx
2
2
4
2lim �C/� !
Z � � � �→ →
− = − =x x
x x2
2 22 4 0lim lim ��)"���
� �� � � �→ → →
− + −= = + =− −x x x
x x xx
x x
2
2 2 2
4 2 22 4
2 2lim lim lim ��(� ���%@6����[)��K�)�EO��x �����*��)�6�%��������*EK�m*d����#�%R���x �����I�,M�x ���Z�%9����="�a6�����x��/.��K�)"�����%�
[D��B�9�B����`"�@6�x ���������_6:��C���)��g ��x)��x �������f ��x)��� −−
xx
2 4
2����%��*"7
[D��*��*��x �������_6:��C������v��*sw���/E�6�*��*��f���g��������
[�� ��b�V%������C� �?����a�6�� ���%@6�=@K���,¢�����K�?�������� �C�N?.���2����6��
S��w�→−
+ ++x
x xx
2
2
5 6
2lim �� �� �
� � =
lim �
�
���� �� ��
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
-3-4
x xf (x)
x
y
x
� ��
�
2 5 62
6
-2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
-3-4
y
x
g(x) x� � 3
²²�������²²²²
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
x
x
y
x
y
f (x)x�
��
2 42
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
g(x) x� �2
M"5/�87��F��9��� ��+�4�Y�4
���
Ww�→
−−x
xx
3
1
1
1lim �
�U%&��-�������
�B�J6:� ���� �x c
ax b l→
+ = 0® �*&�lim limx c x c
ax b ax b l→ →
+ = + =
-2 -1 0 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
-3
x
y
x
y
x
x��
3 11
-2 -1 0 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
-3
g(x)=x x� �2 1
��C���D����C�(�*��Z�9�q*U���C��B����������F"�����K����6�%.���@��C�J[ [D����*.*��a�6������½s
→−
xx
52 6lim ���D��W%�U��C/� !
�)"����ª%L��%/��=@K����NC
� �
→− =
xx
52 6 4lim ®�I
���� �→→
⇒ − = − = =55
2 6 2 6 4 2xx
x xlim �
[�6��B�9�)�� � � � �= − ≠g x x x2 6 5 ��� � � = −f x x2 6 �(� �U��V�������%��(� ���%@6� ����� �� ��
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
2
3
4
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
2
3
4y
x
y
x
���
3G)�/����-`�� � �Hk7
������z������������K������%@6�* �vS����6�%�%�� � �
�xg x
5lim ��� � �
�xf x
5lim ��":�vW
[���K�?��������_6:���6�%�%��*"7�(� �C�7��="����K�v�
���
xx
32 6lim ���²²���������������� �
���
xx
32 6lim ��²²
��
xx
32 6lim ��²²
[���K���*�����*"7�(� �B��a&��/���6��"��/��� | |� � � xh x
x�������B������ �
��� � ���
�x
h x0
1�v� � { }� ��hD 0 �vW� �h��x)���vS��[����6��%��� � �
�xh x
0lim �v� �h ��I)�I�v#
[��������%���#�%R�������*"7�(� �C�f ��x)�³x¿���������%@6�7��B��Q/����� +
lim [ ]��xx
2���vW � lim [ ]
��xx
2�vS��
lim[ ]�x
x1
������v# �lim[ ]�x
x2
�����v�lim [ ]��x
x2
�vm �/
lim [ ]�x
x1 5
������v�
[�"��:�D�����%���#�%R�������*"7�(� �C� 0
S��w� [ ]lim�x
xx2
����������������������������������Ww� [ ]lim��
�x
xx1
3
���E�E��&���4�
������
[����������*"7�(� �C�g ��x)�����x���f ��x)����x����%@6�7��B��Q/����S��w� lim sin
��x
x
2
� Ww lim sin���x
x
�w lim sinx
x��
�3
� #w lim sin���x
x
�w� limcos�x
x0
� mw� lim cosx
x��
�4
´w lim cosx
x��
�2
� qw lim cos��
�x
x
3
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
y
x
�32
�2
�3
��2����3
2� �2
1
0 2��
( ) sinf x x�
x
y
0 2�� �32
�2
�4�3
��2����3
2� �2
1 ( ) cosg x x�
x
y
M"5/�87��F��9��� ��+�4�Y�4
��
lim cos cos��
� �x
x ��� lim sin sin��
� �x
x ��)"������K��%P��
[���K�?�����%���#�%R�������*"7�(� �C�Z�"��/8%�:�����F"�����K��"� �%/��=@K���C/� !
S��w� coslimsin� � �x
xx0 2 �
Ww� sin coslimcos��
��x
x x
x21
�C�-
����������S��wlimcoscoslim
��� ���� ��� ��
��
�� � �� �
x
xx
xxx x
0
00
1
2 2 2
�
Ww��� ���� ��� ���� ��� � �lim
��� ��� � ��� ���
����
��� � � �
� �x
xx
x xx x
x x2 2
0 10
21 1
� � ������������������� � ����
����
[�"��:�D����v�%���#�%R���w����*"7�(� �C�g���f�(� ���%@6����C�F�6�%.�7��B��Q/����� �
f
g
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
S��w� � ��x
f x3
lim �Ww� � ���x
f x1
lim ��w� � ��x
g x3
lim
�#w� ! "� � � ��
�x
f x g x3
lim ��w� ! "� � � ���
�x
f x g x1
lim �mw� ! "� � � ��
�x
f x g x22 5lim �
´w� ! "� ��x
f x 4
0lim �qw� ! "� �
�xg x 2
0lim �£w� � �
� ��x
f xg x2
lim ��w� ! "� �� � ��x
f x g x5
lim
��¡
3G)�/����-`�� � �Hk7
[��9���*��*��(� �C�(�����UO6�="����K���6a����2��#��Q/���������� �
[���K�?�����%���#�%R�������*"7�(� �C� +
S��w� ( )→
−x 7
3lim �Ww� ( )→
− −x
x0
2 7lim ��w� ( )→−
− +x
x x2
13 4 5lim �
#w�→
−−x
x x
x
2
23
3
9lim ��w�
→
−x
x
x x20 2lim �mw�
→−
+ +x
xx
3
2
8
2lim �
´w� [ ]→−
x
x2
lim �qw�+→
xx
0lim �£w�
→ +
xx
27lim �
�w�−→
xx
0lim ��w�
→ +
xx
25lim ��w�
→ −
xx
12lim �
7w lim[ ]+→
− +x
xx3
2
1�¾w lim cos
x
xπ→−3
��w� lim (sin cos )π→
+x
x x
4
�
fw lim[ ]+→−x
xx2
�jw� lim→
+ − − +x
x x
x x
2
22
6
6 8
�
��w� lim ( [ ])→
+x
x x0 �
�
[��������%���#�%R�������*"7�(� �C� ( )→
= −x
h x2
1lim ��� ( )→
=x
g x2
0lim ��� ( )→
=x
f x2
3lim �*&�� 0S��w� ( )( ) ( )
→ +
xf x h x
2lim ��Ww� ( )lim ( )
→
xh x 5
2����������� � �
�w� ( )lim( )→
x
f xg x2
#w� ( )( )→
x
g xf x2
lim � � � �
�w ( )( ) ( )→
−x
f xg x h x2
3
5lim �������������������������������������� ��mw�
( )→
x h x2
1lim � � �
�����C��P�O6�s������%Us� ( )→x
g x3
lim �v��*sw��D���%�%�� ( )→x
f x3
lim ��":�[���K�)�����g ��x)����� | |( ) −=−
xf x
x3
3������������%@6� ;��6*��*��) ��������
�DQ&�>�%�����s�f�����g�������C��B������*"7�(� �D��C�7��="�* ���� '[��9���/9��6��C�a���6���(��UO6�������K�º� �g���f����%��*&��vS��[�9���/9��6��C�a����g�����������9���/9����C�a����f������*&��vW
[���K�?�����%���#�%R�������*"7�(� �C�Z�9���b��R���A�="�m�*&�� <S��w� lim [ ]
+→
x mx ���������������������������������������Ww� lim [ ]
−→
x mx �������������������������������������w� lim [ ]
→
x mx
�������C��P�O6�s����f ��x)�³x ¿��������K��%P��
�_�,�� �+��Y�4
���
[�6��B�9�)��*"7�(� �N!9���������`9�(� ���%@6������
�_�,� �+��Y�4��_�_��_�,�_�,��,� �+�+�+��Y��Y���Y�4Y�44
�`1 /
����� �
��*K�)��ZD9��*���c�K�(���7�����)�.�!6:�>����>�%��������ª%L�(� ���%@6�7��="����K�vS��[���K�\����$������%����3��(*J"����2��vW
[��/E �/%�M����%��7��(��6%@6�����������(� �S"��
[�"%9������9:�>:��������F"�����K�D���J/%�M��%_Q��Z���%���C�1�?�����)_��)� �Q��7���!"
-3 -2 -1 1 2 3
5
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
5
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
4 4 4
5
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
1
2
3
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
-3
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
4
5
yyy
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
-3
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
4
5
x x x
x
x x
x
x
yyy
yy
f (x) x� 2
f (x) x� �2 3
f (x) | x |�
f (x) [x]�f (x)
x� 1
xx���
2 42
f (x)
( )� 2xf x f x x( ) sin�f x x( ) log�
0 ��2
��2��
1
1
x
y
�
��¤
3G)�/����-`�� � �Hk7
[�6��/%�M�#�����(� ���%@6�������%������Z��/E�6�/%�M�W���S���(� ���%@6����B�9�B����(� ������C/� !
� � � �→
= ( ∈ )�x c
f x f c clim �B�&* ��)���6�/%�M����x �c�UO6����f�����
vWwvS��w
v�w v#w
� �→x c
f xlim� � � �
→≠
x cf x f climf ��c)
Y<&*�)�<+��Y<&*�)�<+��
[)��K����S"*������UO6�="����������J/%�M��%e���F"����[)"7��*M�����J/%�M��%_Q��*��z�.����*����>%�K�
���������#�%R�F"��*�c����[��9���*��*��) �������%�%�����* �f ��c)��� � �→x c
f xlim ��"���Z�9���/%�M�c����f������!6:�(�*��*J"��#��?A���(� ���2��) ��@9�[D��B�9�B����`"�@6�S�/d��G"�*9����c� �UO6���������="�>�%��/%�M�6�*"7�(� ���%@6����[)���6����/%�M�6�c���
[���K�\����(*J"�
-2 -1-3 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
-2 -1-3 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
-2 -1-3 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
x
y
-� �
-3
-2
-1
0
1
2
3
�2
��2
ccc c0c x
y
x
y
x
y
xx
yy
�_�,�� �+��Y�4
��¥
���6��/%�M�6�x���������B�9�B����(� �U��V����*"7����%��7��="����K
��S��w� � � � �= −f x x 23 ���������������������������������������Ww� | |� � −=−
xg x
x1
1���������������������������������������w� � � =
− +
1
2 1
2 1
x x
h x x
x x
®�¯
�
���� �� ��
[�"*�J��*e6�������*"7����%@6���� � � = −f x x 2 �������6�%�%�� � �
−→xf x
2lim ��� � �
+→xf x
2lim �(� �C�7��="����K�vS��
�D���%�%�� � �→x
f x2
lim ��":�vW�D��/%�M�x���������f�������":�v�
[D��/%�M��� �UO6����D���l*P�7���f�)�"%&� � � � �+→
=x
f x f2
2lim �D����L�F"����
������
����[ � � � �+→
=x c
f x f clim �B�&* ��)���6����/%�M�D���l*P�7��x �c�������f�����[�����D����J/%�M�x �c����f�)�"%&����#�%R�F"�
-2f(x) x�
-1 1 2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
x
y
-1 21 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
y
x
y
x
y
x
���
3G)�/����-`�� � �Hk7
[�"*�J��*e6�������>:����%@6��� � ��������
� � � ���� ��
x xg x
x x
3 2
1 2
® �U��V��������
��6�%�%�� � ���xg x
2lim ��� � �
��xg x
2lim �(� �C�7��="����K�vS��
�D���%�%�� ��� � ��x
g x2
��":�vW�D��/%�M�x���������f�������":�v�
[D��/%�M���UO6����½s�l*P�7��g�)�"%&�Z � � � ���
�x
g x g2
2lim �Z�g ��x)������(�*�
���� �� ��
�[ � � � ���
�x c
f x f clim �B�&* �Z)���6����/%�M�½s�l*P�7��x �c�������f�����[�����½s��J/%�M�x �c����f�)�"%&�#�%R���F"�������
[�9���/9���½s��J/%�M�) ���D����J/%�M�) �c����f�B�&* �ZD��/%�M�x �c����f�K�D���%����S"*������%����[DE�6�/%�M�x���������f ��x)�³x ¿������[�����D����J/%�M�x����������f ��x)�³x ¿������vS����C/� !
[DE�6�/%�M�x����I�����������[�����½s��J/%�M�I� �UO6���� � � � ����������� ��� � ������x xf xx x
2 02 3 0® ������vW
[D��/%�M�x��������� $� � x xg x x x� � �������� �������������� �
3 12 1
¯ ������v�
.3���K��&����`1 /�
[���K�S"*�����3���%P�������a�b¿���³a�b���(� �B7���(����J/%�M[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�[[[[[[[[[[[[[[[[�B�&* �D��/%�M�³a�b���B7���(���f�����
[D��/%�M�a�7��*��¦�a��r�O6���@������������D����J/%�M�a����f���������"�Zb��������*&��D��C�F"����[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[�[[[[[[[[[[[[[[[[�B�&* �D��/%�M��a�b¿�B7���(���f�����
[D��/%�M�b�7��*��=s%K�r�O6���@������������½s��J/%�M�b����f���������"�Za��������*&��D��C�F"����
[�9���/%�M�B7���F"��UO6�* ����ZB�&* ��D��/%�M��a�b����B7���(���f������UO6�������9���/%�M��a�b���B7������f��B�&* ��D��/%�M�³a�b¿�B7���(���f�����
[�9���½s�/%�M�b�UO6������D���/%�M�a���� �� ��
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
�_�,�� �+��Y�4
���
�(�� �f �)�"%&��� �Z�9�� �/%�M �f������ �7� �UO6 �* ��� �f �� � = �fD �*&�[D��/%�M�������������B7��
���� �� ��
�K���6a����2��#��Q/�������[�9���/%�M�����I¿�B7���(���v����������������[�9���/%�M�³��������B7���(���vW�������������[�9���/%�M���������B7���(���vS��
� � � � � �→
∈ =�x c
c f x f clim ��*"7��D��/%�M���������B7���(���f�B�J6:�Z�9���(���@���s������="�f�*&��vS���C/� ![�6��/%�M���������(� �B7���(���g ��x����������x���f ��x��������É x����%��vW
[D��/%�M��I�����B7���(���f ��x���������+ x��������v�[D��/%�M�a�6�>:�7��B�%d���B7���*"7�* �(���Z�9���/%�M�(��B7���(���������*&��v#
[�6��/%�M�³I���¿�(� �B7���(���g ��x���������x���f ��x��������É x����%��v�[D��/%�M�³���¿�B7���(���f ��x���������+ x������vm
f ��x)����+ x�
���� �� ��
� �
x x
f x x x
x x
+
= − ≤− +
2
2 4 1
1 1 2
5 2 5
¯ �� ¯
¯ ¯����)"*�&����*e6�������N��O�� �U��V����f������ �
[���K�N��K����f����%@6�vS��[�"��:�D�������f��*���������vW
[���K���*��³���I¿������;�����³����¿�(� �B7���(������������J/%�M�v�
�D��D���6�="����K���D���*"7�(� �B��a&�7��="����K�f�������B������ �[D��/%�M�����������B7���(���f�vW������������������������������[D��/%�M�������¿��B7���(���f�vS��
� �→
=x
f x5
0lim �v#���������������������������������������[D��/%�M�³��;¿��B7���(���f�v�[D��/%�M�����I����B7���(���f�vm������������������������������������������������������������� � �
−→=
xf x
50lim �v�
y
x
1
0
1�
� �3 �22
�2
�
� �2�2
y
x
1
0
1
�32
-1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4 5x
y
f ��x)����x� f ��x)���É x�
���
3G)�/����-`�� � �Hk7
����
��f���������%����� +[�9���/%�M�6�(*J"�������/%�M��_6:�7���!"���������K���6a����2��/E���B7������vS��
[�9�?6�/%�M�³a�b¿�(���������9���/%�M�³a�b)�(��������K���6a����2�����(�b���a�vW
[�� ��t�M�#$�g���ZB�9�B����(� �U��V����h���g���f����%�����%����� �� � � � � �
+ ≠⎧= + , = + ≠ , = ⎨ =⎩
x xf x x g x x x h x
x
2 22 1 2 1 2
3 2�
f ���)�����������������������g ���)���������������������������������h ���)�������������������������������������"��:�D�����%���#�%R�������*"7�*"��O��vS��� �
→xf x
2lim ��
� �
→xg x
2lim ����������� � �
→xh x
2lim ������������������������������������������������������������"��:�D�����%���#�%R�������*"7����C�vW
�D��/%�M�x����������������K�v�
�D��/%�M�6��P�O6�s������/%�M��P�O6�s����f�[���K�)����� � �−
= − =− +
3 2
2 2
2 2
x x
f x x
x x
¯
®���������%@6� �
[���K���*��x��+�������� ������F"���J/%�M�[)"*�&����*e6������� � � −=−
xg x
x
2 9
3��� � �
− ≠= −=
2 93
36 3
xxf x xx
����%�� �
�D��/%�M�6��P�O6�s������/%�M��P�O6�s���������Zf ��x)�³x¿���������%@6����%����� �
�D��6%Js�*J"��r�O6����������J/%�M�[���K���*��x �I� �UO6������� � �− + ≤
=+2
2 2 0
2 0
x xf x
x x ® �������J/%�M�
[���K�)����������F"�����%@6�[�9�?6�/%�M�����������������9������(��E��x����� �UO6����>:��C�K���6a����2�������� ¡�D��/%�M�x��������*"7����%��7��="����K� �
�=" ��*� �>�*K ����:*� �(�*� ��Q�/d� �(� �f�� �[�*�&��� ���h6� �±�%K ��*� ���� �*� �>�K�%K �(�*� ����� �a"%h� ���.�%� ��� � ¤������7��B��Q/��� �f���F"��7���!"�[������%���v�%9�(*�&�B7��6���6�%���@6��*��Kw�(��*UV��G"�*9����v�*&%��K�oEC*�w�±�%K������F"��=@K��� ���'�±�%K�="��*����2���%P���[D�����oEC*��±�%K�F�t�>:����K�D�� � �
+ ≤⎧= ⎨ + ≤ ≤⎩
t tf t
t t
6 4 0 1
2 10 1 10
¯
B���'��� =6 1
12 2��� � � � � � �= × + =f
1 16 4 7
2 2���������������������������������������������������������������%9����?����F��s
�D��/%�M�³I��I¿��B7������f��":�vW � �[����������f ��;)���f ���)�vS��
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
f
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3g
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
h
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-1
0
1
2
3
k
x
y
�����C�%14�������'"
$*1N��&�����7/����Q�J�C�%14�
�<, �����'
�N\�E��NC������@/C�������:�>�aL�7���`O6�B7�*���(� �*���K �7� ��!" �[DE�6 �B��9%M ��EK�*� ��&�67��� �[D�% ��V� ������ �M �Z��@/C� �� ����: �)_��D�������� �M���@/C��Z�@�A�(� �f���DL*3�M
[D��/L�"�`"�aL��(*�J@3s��%P����% ���W:
���������&�����C���
���� �
���� �
>�D)` �������� ���Hk7
���
>�D)` �������� ��Hk7k7Hk7��Hk7���Hk��� � H����� ��������` �������D)` �����>�D)` ���>�D)` >�D)>�
$*1N��&�����7/����Q�J�C�%14�
��� �
$*1N��&�����7/����Q�J�C�%14��[�"�9���9:���@/C��7��*"7�)� �Q�����N?.�(� ������
V&�0�<�%[�*K������ �M���U.��%P�����h6��7��N?.�>�%/6����>:� �h�/6�K�D���3"��7:��"�B�"�M�C�<�� �G�%�,����
�������>:��p$%@�����)���6����B�"�M�>:�(��6%@6�(�-L�����L��k���B�"�M�="�F!@���"�/6���@�� �A%@h��CV*��)+#)�V�m�����[)� �����`"�@6�S���
[)���6����S�(��6%@6�(�-L�����L��k�����3�M�="����S�7��A%@h��*"7�* �C�<�� ��!�U�,�����S)0�V�&�/�#:*������!�U�,����
[��9���S�(��6%@6�(�-L�7���"� ����3�M�B���A�)��K��*L[� ��£��B��"�A�(� ���3�M�7���!"�N.��C�K�� �����£���/.��A B� ����3�M�C�!�U�,��<�8�#$�*�7f(*
[�� ��£��B���A����3�M����* �K�� �����£���/.��A B� ����3�M�C�!�U�,��<��*�$W*�7g[� �6�£��B����3�M�����Z� ��£��A����3�M�K�� �����£���/.��A-B����3�M�C�!�U�,��<��t�3 �7h
[� �6�£��A����3�M�K�� �����£���/.��v�Ac��"w�AÕ����3�M�C�!�U�,�z%�5#$!�7�A B = ∅� ����"���� �6�£��) ����B���A�B�&* �Z)�"%&������&7��6����B���A����3�M����C&�_=���)�V����!�U�,������
C�!�U�,�z%�8+6��/�#$-*� ������!��I�*&�����.( )( )( )
n AP A
n S= ��� W%�U��(� �D��C������©©©©©©©©©©©©©©©©
F!@��(� �D��C� �@ �������
CB���A��!�U�,��<��*�$W*��%�8�#$�*�/�#$-*� ������!��I�*&����( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B= + −� �
�Q�J�C�%14���>�%�A�����W�d/6��l��k����B��@9�="�D����*.����6��B�9�B����j�k/8��*Q6�DE������I���������A���3K�A*.�="����)��K��*L
���9��� �%8�B�6*���@9����@/C��s����Z�9���B��/L���@9�D����4��B��@9�*&��[�%9��YA��B�6*���9��� �%8�B�6*�����@/C��s����Z�9�� �%8�W�d/6���@.��="��B��@9�="�K���6����*&�
En1�����8��N,�� ��C!��A�'75�� ��>� �Y�4
��
�Z���d/6���B��@9�!�"��F/E6�������@9�>�9�B�6*����@/C��pY2��[����&����*�yT��*J"��(���3�M�5%.����@/C��*�����3�M�="�5%.��#�.���� �&����������@/C�����@9�>�9�B�6*����@/C�����������@/C���.������[)�6��6����5%V%��F"��K��/��C�7���%��� �%8�#��Q/��ZD���@.��="
[)�6�%8����Z�9����@.��="�B�9�W�d/6���B��@9�K��P*9����@9�>�9�B�6*����@/C�
���@/C��Z)� �����`"�@6� ( )P A B �������>:�K�ÖB�r*9���A���@/C�Ö�7���%e��[D��B����£��B����3�M�)�6����!6:�r*9���ZD��A����3�M�5%.�
�K�)�6��������3�M�="�>����£����@/C���� W%�U��(� �D��C������©©©©©©©©©©©©©©©©
F!@��(� �D��C� �@ ������� �
��D9���)� �%8�$���*EK�m*d����#�%R����ZD��B�9�/L*&�*e6����B����3�M�>����£���*L�`�M� ( )P A B ����!�"�����%�������C��"�Z� ��£��B�) ���A�) �K��"� �D��C� �@ ����"��D��B����£��B�K����C����Z� ��£��A�K�D���"� �D��C� �@ �ZW%�U��(� �D��C����
[ ( )n A B� ����D��*��*��������F"������?A��[D��n (B )����*��*��������F"������?A���[�9���B����£��B��_6:����K�D���"� �D��C� �@ �*��*���h�"�����F!@��(� �D��C� �@ ����
( )( )( )
n A BP A B
n B= � ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)"����F"�*����
��%9����>����*"7�#�%R���U����F"��n (S )���#��?A�F"��m*d����#�%R�)�EO�����K
���v�)
( )( )( )
P A BP A B
P B= �
�
� ( )P A B �B�J6:�Z�P (B )��I�*&��F"�*�����[�P (B )��I�K�D��>:�B����3�M�5%.��r*9���A����3�M���@/C�� �?����r*9�C��+ [DE�6�S"*���N��.
[DE�6�*e6�����V�"��z�.��#�?y��>�%�A�����D�� ( )P A B � �U����(�*��(�%_9����OU���b�V%���A%6�p�L*R��9�/Q&��h�"�����i6:����
���� �� ��
�="�!�"����@/C����D��I�<�*��*��Z�*��a�6�>�"�M�G8������%36���L�nO6���s��N�?�%���="�!�"����@/C���6���N�?�%��� �O��E��="����D��B����>�"�M�G8������@/C��s����ZD��B�36���L�nO6���s��N�?�%���="�)�6����*&��[D��I�4�*��*��Z�%36���L�nO6���s��N�?�%��
C�-A��N�?�%���>�36���L�nO6���s�����3�M �B��>�"�M�G8���>�������3�M �
( )( )( )
= =�P A BP B A
P A�[[[[[[[ �
[[[[[[[( )( )
=⎫⇒⎬ =⎭ �
P A
P A B [[[[[[[
>�D)` �������� ���Hk7
��¡
�*�yT� �A �5%.� ���@/C� �*� �B �5%.� �B�&* �ZD� �NO/E� �B ����3�M �7� �A ����3�M[����J6
�m�7���A��* �!�"����@/C��D��W%�U��[)��K����W�d/6��l��k�������#��K����)�E"%6����#��K�× 6�(������ ���������A��C/� ![�9���m�7��_6:�5%@h��!�"��r*9�����9��
��������_s�m�7����A������[��9���m�7��!"����*L���A����!�"���"�����9���m�7��"����* ��"���9���m�7���A��5%@h��!�"��(�*��C�-[��/E ������M��*L����A�
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[��9���m�7���A��* �!�"�����3�M�A����������������������������������������������������������������������������������������������������������[��9���m�7�#��K�����A��5%@h��!�"�����3�M�B
����D��*��*��Z��9���m�7��!"����*L���A����K��"� �D��C��������� ( ) =43 4 ����D��*��*����9���m�7���A��* �K��"� �D��C����������
�,M�[�6��m�7���A��* �>:�D��C�0��������9���m�7���A��5%@h��K�DE �D��C�00�F"�*�����[�( ) ( )× =5 42 1 40
� ( )( ) ( )n A B
P A Bn B
= = =4 144 11
�
������ �©©0 �*V�C���C����)���F"���6��*_.���@/C��[�9��� �©©' �Z�*?�����`?�.��F"*����R����?�%L�)���="�!�"����@/C�����K��*L�C/� !��"�]>�9�>��*_.^� �ª�Q������7���!"�N.��C����@/C��s����[DL�"�� �%8�`"�aL�� �©©+ �����@/C��F"��Z�*?�����`?�.��F"*����R��K����%R
���/L��� �%8�ª�Q���)���F"��(�*��]o�.��F"*����R��>�*�^A��>�9�>��*_.����3�M
�
B��o�.��F"*����R���*�����3�M������� ( )P A = 1
4������� ( )P B = 1
6������� ( )P A B = 1
3 ��)"����>:�(�*����D�� ( )�P A B � �?����l� �C�-
( ) ( ) ( ) ( )= + −� �P A B P A P B P A B
( ) ( ) ( )P A B P A B P B= × = 1
18� �������������������������������������������������������������������������������������������)"����v�w��U�������%�������C
( ) =�P A B13
36�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)"����*"��O��(���&�(�������
$*1N��&�����7/��*J"�!"�5%.����@/C��*��� ���3�M��8*������Z�6���&����*�yT��*J"��(� ���3�M�5%.����@/C��*��� ���3�M��8*��K�)"�"��N?.�(� ���2����
[�6���6�(*�yT�
En1�����8��N,�� ��C!��A�'75�� ��>� �Y�4
���
�>�E!"���W�X%*�2������B�2<*<��&���W����A�5%.����@/C���.������[��K��@6���"7��"�)K����A�5%.����@/C��ZB�5%.��#�%R�F"���������?A���,M�Z ( )( )
( )P A B
P A BP B
= � �)"����K��h6:�7������[ ( ( ) ) ( ) ( )P B P A B P A≠ =0 �B�&* �ZD��NO/E��B�7��A����3�M����"�[D�
������������� ( ) ( ). ( )P A B P A P B=� �!�"�����D��������B�7��A�>�%��NO/E�
�DQ&�>�%���������[D��NO/E��A���D?E6�a�6�B�Z�9���NO/E��B���D?E6�A�*&��K��%9����h�/6�q%V����U����F"��7�
�(*J"��5%.����@/C��*��="�* �5%.��B�&* ��6��NO/E��) �7��B���A����3�M���[�9���/9��6�*�yT�
*&���_�����*&����/E�6�NO/E��B���A����3�M����F"�*����( ) ( ) ( )≠�P A B P A P B �
�D.��s�!�"���"�����n�d3��(�%_9��%P���>�%�����3�@ �������3�M�����YO/����A��"��YO/���":�K��%9����q*U����g�F"����C[�*K�B��Q/�����3�M�����YO/��n�d3��(�*��� �U����7���"��
( )( )( )
n AP A
n S= �����"�Z��@/C�� �?���� �U�������%�����v�w
�� �>�%�����Z�9���/9��6��P�?����º� �A ����3�M�5%.���� �B ���6���(���3�M�*&���� ���@6�*��X�����A����3�M�5%.����@/C��ZB����3�M�5%.��K�����>�36��&��
[�6��NO/E��) �7���%K������3�M����F"�*����
[���K�?����Z�"����m�7�(��A�������D3M�!�K������@/C��F"��[)��K����W��*M��������="���!�="�C/� !)��K��*L�C�-
A������W��*M����m�7�(��A�>�9�������3�M �B��!�>��:�D3M����3�M �����6��NO/E��) �7��B���A�(� ���3�M�F"�*�����[����&��@6�*�yT��P (A )�*��B����3�M�5%.��K��%9����B�"���&������9�/Q&�i6:�z?P
�)"���( ) ( ) . ( )P A B P A P B= = × =3 1 1
6 2 4�
>�D)` �������� ���Hk7
��¤
�*EM��_6:��67*L����* �!�"����@/C��D��W%�U��[D���67*L����(�����(��B��%6�8�C/� ![��9��
[�*K�N@A�*"7�#�%R���>�%�����F"�*�����Z�6��NO/E��) �7���"� ���3�M�>��67*L�D�E���C�-������67*L�>�%��*EM����3�M��A�����67*L�>�%��*EM����3�M��B
���* �>�%��*EM���@/C���� ( ) ( ). ( )= = × =�P A B P A P B1 1 12 2 4
� �
���I�;�*��*� ���:����>�*"� ���?�%L�����)�� ��6��*_.���@/C�����="�������K��*L �C/� !�7���!"�N.��C����@/C��s����[�9���I�4�*��*����:����>�*"����?���������)����6��*_.���@/C�
��9�� �%8�>��*_.�� �)���F"�C�-
A��>�*"����?�%L�����)����6��*_.����3�M����P (A )�I�;B��>�*"����?���������)����6��*_.����3�M����P (B )�I�4� ( ) ( ) . ( ) /P A B P A P B= =0 4� �,M�Z�6��NO/E��) �7��B���A�K��%9����B�"��q%V�����A B� �#�%R����_6:�7���!"�N.��C��6��*_.����3�M�ZB���A�W�d/6���B%�6����%��������
�)"������D�( ) ( ) ( ) ( ) / / / /P A B P A P B P A B= + − = + − =0 5 0 8 0 4 0 9� � �
��uE� �NC��� �>: �7� �� ��9�B��� �n�d3� ��&���� ����3�M ��� � ��YO/� �N?. �(� ���2� ����D���6�:�F�@ ������3�M����>�%��/E�����"�NO/E��n�d3��3�@ ��":�����[�9�B��Q/�
�ZD��r�?��� ����) ��� �>�3A%.��K���9�� ��"� ���3�M �B ���A �* �¨����*&��v�w[��/E�6�NO/E��B���A�K�DQ&��U.��%P���>�%���@6
�[���K��%��������2�������*/3���b�V%��(�*��!�"����@/C�� �?����D��W%�U��[)��K����W��*M�o��*�������������C/� !
[�%9�;�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��vS��[�%9�<�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��vW[�%9��I�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��v�
(n (S���)��+')�[������%���D��C�+'��������W��*M����K�)�6������W*V�NR�����%�����C�-�D��*"7�#�%R����%9�;�B�9����(� ��A�5%@h��K��"� �D��C���@��vS��
À(��0)���(0��)���(��+)���(+��)Á �
En1�����8��N,�� ��C!��A�'75�� ��>� �Y�4
��¥
[ =4 1
36 9�����D��*��*��Z�%9�;�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��!�"����@/C��F"�*����
�D��*"7�#�%R���Z�%9��<�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��K��"� �D��C���@��vWÀ(����')���('��)���(����;)���(;��)���(+�0)���(0�+)Á �
[ =6 1
36 6�����D��*��*��Z�%9�<�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��!�"����@/C��F"�*����
�D��*"7�#�%R���Z�%9�����I�*��*��B�9����(� ��A�5%@h��K��"� �D��C���@��v�À(0���')���('�0)���(;���;)Á �
[ =3 1
36 12�����D��*��*���%9��I�*��*���������5%@h��!�"����@/C��F"�*����
�q*U��(� ���3�M�7��="�* ���D?E6����3�M�F"��K�)��K������*��Z)"*�J��*e6������������W��*M��������A�>�9�������B����3�M�*&�[6��"�D��NO/E��N?.���2��7��v�w���vWw���vS��w�(� �D@E.����B�9
[)��K����W��*M�o��*��������������C/� !��6*J"�!"�7���NO/E��Z�%9�* �¨�����A�����F�����W��*M����!�"�����3�M����%9�;��������5%@h��!�"�����3�M��":�vS��
B����3�M�����������������������������������������������������A����3�M����������������������������������6*J"�!"�7��NO/E��Z�%9�* �¨�����A�����F�����W��*M����!�"�����3�M����%9�<��������5%@h��!�"�����3�M��":�vW
B����3�M������������������������������������������������������A����3�M������������������������������6*J"�!"�7���NO/E��Z�%9�* �¨�����A�����F�����W��*M����!�"�����3�M����%9��I��������5%@h��!�"�����3�M��":�v�
B����3�M�������������������������������������������������������A����3�M����������������������������������%��� �%8�*"7�#�%R���F!@��#$�C���@��ZD����*Q����������W��*M��������A�>�9�����*L� �M�K��h6:�7����2��F"�����C�-
[�����%-A�'B����À(���)���(���)���(��+)��(��0)���(���;)���(���')Á �
�����F"����2��F�����������P (A )�ZD@E.��* �(�*��[)��K���*����� ( ) ( )P A B P A= � �U����D�R�)� �%8����D��C�* ������C[)"��:�D����D@E.��* ������� ( )P A B �D���L�K�[)"�*K�?���
�F"�*�����[D�� �©©' �*��*��Z�%9�* �¨�;�5%@h��!�"����@/C��,M�[D��(��+)�D��C�ZD��;�5%@h��K��/��C��_���#�%R�F"�����vS��[��/E�6�NO/E��B���A�D��C�F"���������[��<�!��%*F�*� �©©' ��� �©© �7�����A����3�M�5%.����@/C��B����3�M�5%.�
�F"�*�����[D�� �©©' �*��*��Z�%9�* �¨�<�5%@h��!�"����@/C��,M�[D��(����;)�D��C�ZD��<�5%@h��K��/��C��_���#�%R�F"�����vW
>�D)` �������� ���Hk7
� �
[�6*J"�!"�7��NO/E��B���A�D��C�F"�����F"�*�����[A�*�;<*�)����K ����A����3�M�5%.����@/C��B����3�M�5%.�
�!�"����@/C��D��C�F"�����F"�*�����[�%9��@6��I��������5%@h���/��C�º� ����Z�9����������������B�9������A�K����%R����v��;<*<����J�*QR��� �©©�� �7�����A����3�M�5%.����@/C��B����3�M�5%.��D��C�F"���������[D��*QR�Z�%9��I�*��*���������5%@h�
[A�*[��/E�6�NO/E��B���A�D��C�F"�����,M
)�)*+]�[�6%9����NO/���>��67*L���F"�����7�����6����`O6�>�E6��#�QR�(*�&�N!9����=�/6¾�N��%A��!"���/%�M��!"�Z�9���/9���D��C�����6�%�����>�E6��f%&� ��*6�K��"��B�*K�D.��>%�K�����":
���9���q*U����6�%�����N�?.�F"��7����$�g�5%V%��F"�����%��������7:�K��*K������ �M�>�%������":�Z�9���/9���/%�M�f%&� ��*6�f*E@ �����7:�f%&� ��*6�(�*��*&�
�D9���� �%8��9%&� ��*6�5%6�s��_6:��67*L[)"7��*M����$��� ��uE������@/C��)�A�=@K����������<*=0�r+_��!�)��������������������������$�+�,�r+_��!�)�������
�N��A����F"��)��K��*L�[�����������������7���!"�����M�7���!"�K���6������*yg�����N��A����>��67*L����#�QR��8*����h"��(�*��=�/6¾�)�A����C/� !�>:����K�)� ��`"�@6�a���A�����6*yg���67*L�f%&� ��*6�N!9�F��������K���
��7:�f%&� ��*6�>��:��%�����N��A �A
/%�M�f%&� ��*6�>��:��%�����N��A �a
� ��*6�*��>:�*�yT����� ����O/6���6�%������%8��67*L�������_6:�7��="�* � 12���@/C�����K��9����6�%�����Aa��"�aa��"�AA�(� �D��C�7���!"����*L�* �F"�*����
�D��*"7�#�%R����67*L�f%&[D����7:�f%&� ��*6�(������*L�F"��Z�9���AA�#�%R����67*L�(� �N��A�*&����[D��/%�M�f%&� ��*6�(������*L�F"��Z�9���aa�#�%R����67*L�(� �N��A�*&����
�RY8��%P���[����6����W%�X�����a�N��A���o��c����A�N��A�N����F�@ ���ZD����7:�f%&� ��*6�(������*L�F"��Z�9���Aa�#�%R����67*L�(� �N��A�*&�����)"���
[)�"%&����n��8�6�Aa�D��C�����n��8�aa���AA�(� �D��C�����[�6��B�9�B����`"�@6��67*L������������M�7��N��%A���O/6��S�/d��(� �D��C����� ��QR�(� �N!9���
aaaA��"�AaAAnd9�(� �N��A/%�M���7:��7:nd9�f%&� ��*6�5%6
En1�����8��N,�� ��C!��A�'75�� ��>� �Y�4
� �
AA
AA
A A
AA AA
Aa
A a
aa aa
aa
a a
aa
AA
AA
Aa
A
A a
A
Aa aa
aA
aa
a
a a
A
Aa aA
aA
aa
Aa
AA
a
A
A
a
A
A
a a
aA
<*=0 �$�+�,
�$�+�,
<*=0
�$�+�,
<*=0
<*=0
<*=0 <*=0 <*=0
7u9
7�9 7�9 7�9
7v9 7x9
<*=0
���n��8�>�9�R���;I�Z�6������7:�f%&� ��*6�K�(���:� ������="���*L��>����7��*&��[�9��� 12�f�67*L����*L�* � �N��A����7��="�* ���@/C��)��K��*L
[���K�?�������*"7�(� ���@/C��7��="�* �Z��9���n��8�6�>�9�R���;I������67*L�f%&� ��*6����@/C��s����Z��9���/9���/%�M�f%&� ��*6�����67*L�="��_6:���Z�9���/9���/%�M�f%&� ��*6�f*E@ �����7:�f%&� ��*6���A�*&�
��%��� �%8�/%�M��_6:��_6:�>��67*L�f%&� ��*6�Z�9���AA�#�%R�����M�(� �N��A�*&������[D��Aa��"�AA�#�%R������(� �N��A�Z�������7:�f%&� ��*6�Z��M�K��h6:�7��C�-�aa�#�%R������(� �N��A�����Z�����/%�M�f%&� ��*6������K��h6:�7���L*P�7��[D��Aa�#�%R�����M�(� �N��A�F"�*�����[�%��� �%8���7:�#�%R��
[D9���� �%8�/%�M�f%&� ��*6��_6:������67*L�Z 12 ���@/C����;�N!9����%�����F"�*�����[�%��� �%8
����
�(��A�>�9�* �¨�C����3�M���+�W*-��(��A�>�9�* �¨�B����3�M�Zm�7���A�>�9�* �¨�A����3�M����K��*L�����="�W��*M���� �[���K���*��������3�M����* �>�%��NO/E�*�c��"�NO/E��[�9�����7��*��¦�a�
�D3M�Z����������W��*M�������!�"��r*9���Z�"��:�D��������%�W��*M����!�>��:������@/C��[)��K����W��*M���������!�="� �[�9���B�9�* �¨
[�6*J"�!"�7��NO/E�����_��6����3�M����B���A����K��*L� �[�6��NO/E��B���A��� ��>�36�vS��
[�6��NO/E��a�6�B���A��� ��>�36�vS��w����%�����vW
>�D)` �������� ���Hk7
� �
����*"7�(� ���@/C��[�%9����W�d/6��>�6�%�%6���?�%L�����)������I�4���@/C������>�9�����(��%� %K�)������I�<���@/C�����@C�� �[���K�?���
[�%9�W�d/6��*e6���%��)������* ����vS��[�%36�W�d/6��)������7�����K�º� ����vW[�%9�W�d/6����?�%L�����)������GOL�v�[�%9�W�d/6��� �)���7���!"����GOL�v#
[�%9�W�d/6��� �)���7���!"����N.��C�v��N.��C�!�"����@/C��*&��[�%9��%?.�����F"�����`/���K�D��>:���@/C��*��*�����Z�%9��%?.��V�"����������"��!�"����@/C�� ;
��9�� �%8��%?.�����F"��������@/C��s�����"��Z�9���I�'�;�*��*��Z�6%9��%?.��V�"����������_6:�7���!"������D��4�*��*��B�9�������A��5%@h��)�6����!�"��r*9���Z��9���m�7�B�9������A����* �!6:���@/C��[�6��B�9�W��*M�) ����������� '
[�"��:�D��>�36�`�K�����@/C���� �©©; �ZA��B����>����>�36�`�K�����@/C��[��/E �B���A���%���_6:�7��������K�)"�����"��@�9��B����0�7���?�K*�� ��7���!"�N.��C����@/C��s����[�9�� �%8� �©©0 �ZB��B����>����>�36�`�K�����@/C��Z� ��>�36�`�K���A��B����*&��[D��
�©©< �ZB��B����>���
������ �%8�>�36�`�K���B���"�A���%�
�I,;/������ �+�4�Y�4
� �
(��*���V��&��e! �� �FJ�! ��� ��%*�_ �V���&��e! �o��. ��� ��"� �n8�9��" �� ������Z���%@6 �o��. ��� �� �B��� �(7��RY8�� ��Q�R%� ����:����:����) �*L�B�9�(��:��@��(� �B�����J6%Js�7�����AYP���Q�R%����:�[�7��*M����Z�9��� �%8���9:��_6:������������K�_��J*�,
�[D����Q�����E��K
�>?���(��b���!�&����������%���&H"���B��������K� �3"�6��) �>�%/�����Z���:���n8�9���A���s��"�="�#�%R������� �B�������/Q_6�(� �/E6���Z�%9�������p$%@����L*���W�/K�F"�����aK*����`"�*&�(� �������>�%�A���6������F�J6����[�*K�f��a&��&��������#����U��h�/6�) ������:�D�������U�
[�6%9���
X`+���[�"��B�9���9:�>:����)/3 � �"�M����K�D��aK*����`"�*&��������F"*��*���K*M���C�F�A������F"*��B���F�J6���
��*K�W�EC�����%8�>�/����*��F�J6����,¢�[�*K�D9����"�*"7�������������_6:�����*M�����%8�>�/���7��*Q6�;��*��Z�@��
A��<�V��@�6���@C���A7>�_+�J9�>��;;'�;<;;'�
X�')��!������!�G+�)��*K�?��������%8�>�/����*��5%@h����/����@��� �
��*K�)�EO��v>�/��������w�;���A�*�����NR�C���A�,¢� �
�D��*��*����)� �����>�36�X �������>:�K�D� �B����NOy�aK*���"�G%/��F�J6������
+ + += 1 2 � Nx x xX
N
�[D��� �B����NK����������*��*��N���� �B����x i�>:����K
������
�I,;/����� �+�4�Y�4��I�I,;�I,;/�I,;/���,;/�����;/����� +� � �+�4� �+�4�Y�4�Y�4�Y�4Y�44
�<, �����'
���� �
� �
>�D)` �������� ���Hk7
���� �� ��
�D���*&���s��@���>�/����*��F�J6����ZN?.�D����L���� �� ������4��% �(����F�J6����*&��[�9�f��a&�(��_��7���="�7��DA��* ����7�% ��(�% � ��vF C= +9
325
�"�@� ��w��D��D"�_6��L� �������s��% �(����F�J6����Z�9�����*&��/6�
(+���
[�²²²����D��*��*���@���>�/����*��F�J6���
X�')��!�V���_`%���*s�[�9�� �%8��@��D��y����O��>�@ ����a�6��_6:�F�J6����Z�%9��@���/��y����O�����(���:�(� �B����7��="�* �*&�
��*s�[�9�� �%8�W*V�D��y����O��>�@ ����a�6��_6:�F�J6����Z�%9�W*V��/��y����O�����(���:�(� �B����7��="�* �*&�
5��J�!�D �!�l&F�����zT+J�=*�*&����;<*<�*�$�*
<���<�:���;<*<�<*�e
�;<*<��<�X�')��!���
j�=�<�:
����;<*<
������ ��� �>: �7� ���� �(� �B��� ������ �K ��� �(���O� �Z� �B��� �>�*K �o�*� �7� �,M[)� �����`"�@6�Q��������>:���)���6����6����D��*��*��>:�7��N?.�(� �B���
�D�����K�� �B���� �6����ZN?.�D����L����C/� !���g�F"����t�M�(�*���@��
��*K�o�*��¦�a����=s%K�7������ �B����vS��'�'�;<;;;;
[D��*/3������7���@�6�����A��*��K����C����[D��*/@K����7���@C�����V���*��vW
[�*�&������*.�� �B����G�����Z¦�a����=s%K�7��� �B����>�*K�o�*��7��,M��*"7�Z����6����� �B���� �6�������;<���A�Zª%L���2�����6���� �?����f��
�I,;/������ �+�4�Y�4
�
�[D�����="��%P�����*�@��V�"������(� �B*@6�*"7����A�C/� ![���K�W�EC�������(� �B*@6� �6������F�J6������
;�I�4�4�<� F�J6���� �?����vS��
/+ + + + += 19 17 18 18 20 516 17
6�X
;���<���4��4��� ���I� ��6���� �?����vW
Q+= =2
18 1818
2�
��*s����K�������"7���*/_���������F"�����7%�:� 6����"�6�%�����������K��@9�*e6���v�
�� ����: ����K�=s%K����8��" �¦�a� ����8�(� �B����*�yT� �D���� �B����F�J6����� �B��� � �6��� �K ����%R�� �[�*�&��� ���*. �Z)�"%&��� �B��/L���� �(� �B��� ��_6:��B�����%���#�%R����F"�*�����[�*�&��@6���*.�B��/L������(� �B����*�yT��D���B��Q/��F�J6����7� �#�%R�F"��*�c����)��K����B��Q/��6��� �7� �ZB��/L����
[�*K�)� �%8
���� �O��E��="�7��N?.�Z) �7�"� �"�M�7%�:� 6������o�.�>��*V���������r%�*��*"7�(� �B����[D�
4' < �4 �I� 4 4�I;<;4� ��II[���K�nd3������ �B���� �6�������
[���K�nd3������ �B����F�J6�������
�!��?��/�&��������S�R%�����B�&�[�� �������*.�������/8������ �B����aK*��>%��*�M ����AYP��F�J6������6���� �������������F"�����[)�9���/9����AYP��a�6��_6:��&��K�*M��J6%Js�7��D���7$�� �B�����&��K�*M�(� ������>�%�A����%�±��s�������±��s�Z������l�*�6��Z,6�"����Z#�*��X�
[�9�)� �%8���9:
���� �� ��
� ¡
>�D)` �������� ���Hk7
�D��B�9�f��a&�=�!Q����ZB���A��YK����>�7%�:� 6����V�"�������B*@6
�����I 4A
�I�;�I;IB
������
[���K�?��������YK����F"���B*@6� �6����vS��
[���K�?��������YK����F"���B*@6�F�J6����vW
��*s����K�,"�����YK����K����� �����b��*���V�"��)����="��@9�*e6���v�
��7$���� ����*.�������/8������ �B����7������K�#�AYP���6�%���@6�aK*����`"�*&�(� ���������%���_���Z���������D����L����K��%P�>�@ �[�%9��%��a�6�� �B�����&��K�*M��J6%Js���D�
���5��������
0 5 10 15 20
�� �F"*��¦�a� �F�� �lY/8� �K �D� ��&��K�*M �n8�9 �F"*��B�� �#�*��X� � ������[)� �����`"�@6�R���@6�������>:���� �����>�36����� �B����F"*��=s%K
�����K�N@A�*"7�#�%R���B��YK���A��YK��V�"��B*@6�#�*��X�� ������ �?����(�*��$���D����L������/� !
B��YKA��YKB����F"*��=s%KI4B����F"*��¦�a��I��#�*��X�������I���I��I������4��0
����K��%9����eCY��[D��B*@6��I�ZB��YK��V�"���B*@6�#�*��X�� ��������B*@6�0�ZA��YK��V�"���B*@6�#�*��X�� ������$���D����L����[D��B��YK�7��*/@K�� �B�����&��K�*M�A��YK
8 9 10 11 12
�I,;/������ �+�4�Y�4
� �
���� �� ��
�>�/E�����%P����K�������*�c�(� �W�/K����������D�%8�>�7%�:� 6���7��*Q6�<�7��)����[���K�f��a&�Z�6��B�*K����U��/9�&
[���K�?��������_6:�#�*��X�������vS�����0��0���� 4���;
����K�������*�c�(� �W�/K������a�6��_6:����6�9�L�V���_6:��@����*J"��7%�:� 6������vW�#�*��X�� ������p���h��[�6�*K��YA�������;�o��*����Z�6�%��B�*K����U��/9�&�>�/E�����%P
[���K�?�������B���� �F"���"*�&����(��h�/6�s�W���S���t�M� �E"�O��7��v�
������D��/E����� �B����F"*��=s%K���F"*��¦�a�����_���#�*��X�� ������Z���������K��%P��>�@ �*J6�����6�%���@6�������F"��,M�[�*K�� �%d6�*��X��>:����O��Z�6����(� �B�������O����������*��X�
�[�9���� �B�����&��K�*M�(�*����%8
�@+�������(������ZF�J6����K��h6:�7��[)��K����M�� �B�����&��K�*M�>����(�*��(*/_��n8�9�)� �%8���������o"�������9���F�J6����7��� �B����lY/8��*J6����K��k8�9�ZD��� �B����aK*��(�*��[�9���� �B�����&��K�*M�>����(�*��(*/_��n8�9��6�%�����Z�7��l*P*�����#�*��X�������*�
������
�� �B �� �A ��YK��V�"��(� �B*@6 �(�*� ����F�J6����7� �lY/8��N?.�D����L� ����� ����vS��[���K�?����*"7�(� ������=@K
B�qaJA�qaJ
(yi � Y )yi(xi � X )x i
I4; �I�I�;���I��
�[���K�?�����YK�* �(�*�����F�J6����7��� �B����lY/8��5%@h��vW
� ¤
>�D)` �������� ���Hk7
�lY/8�����h��7���"�F�J6����7��� �B����lY/8��z�U���.�7���"���Z� ��>�36����F�J6�����%C��&��K�*M�K��k8�9�F/8��(�*��F"�*����[D��*������/��F�J6����7��� �B����lY/8�����h��7��B��Q/��[�*K�B��Q/��F�J6����7��� �B���
[���K�?����*"7�������=@K������B���A��YK��V�"��(� �B*@6�(�*��F�J6����7��lY/8�����h��vS��
B�qaJA�qaJ
(yi � Y )�(yi � Y )yi(xi � X )�(xi � X )xi
I4; �I�I�;���I��
�[���K�?�����YK�* �(�*�����F�J6����7��� �B����lY/8�����h��5%@h��vW(¤���)����²���(�����)���A��YK�(�*��F�J6����7��� �B����lY/8�����h��5%@h�(����)����²���(�����)���B��YK�(�*��F�J6����7��� �B����lY/8�����h��5%@h�
[���K�E"�O����?�����YK�* �(�*�����F�J6����7��� �B����lY/8�����h��F�J6����v�
( ) ( )− + + − =2 28 10 12 10
5�A��YK�(�*��F�J6����7��� �B����lY/8�����h��F�J6���
( ) ( )− + + − =2 20 10 20 10
5�B��YK�(�*��F�J6����7��� �B����lY/8�����h��F�J6���
�*QR�F�J6����7��� �B�����lY/8��5%@h��Z� �B����7��(��A%@h�* �(�*��B��%@ [�9�� �%8
������@6�7��������6����,6�"��������_6:�F�J6����7��� �B����lY/8�����h��F�J6���( ) ( )Nx X x X
N
− + + −σ =
�2 22 1 ���%9����B��Q/��>:�`"�@6�(�*�
��.�Q���h�/6�F"��D���_"���ZF�J6����S"*��������*�����[�9�*QR�� �B����F�J6����7��� �B����lY/8��5%@h��Z�YK����* ���[D��B�%?6
[D��*e6���%���B�����C�������>�%�����*��*��,6�"�����C���C�J[
�I,;/������ �+�4�Y�4
� ¥
�=s%K�,6�"�������_6:�F�J6����7��� �B����>�%�������B�� ��>�36�vB��YKw�¦�a��,6�"����Z�%9����B�"��N?.�D����L����K��%P�>�@ �F"�*�����[�%��� �%8�*QR��_6:�,6�"����Z��9���*��*��) ����� �B���� �@ �i6��s�[D�_6:�F�J6������� �B�����!"�a6��B�� ��>�36�vA��YKw
[D��F�J6������D?E6�� �B����(*"�M*��X�����&��K�*M�`h��(�*����%8�������,6�"���
[���K�?�������7%�:� 6��� ���<�G%��ZN?.�]�YK�����K^����B�9����U�����*�c�(� �W�/K�������,6�"���w)�%&*��*���K ���!*<=+!0��)*<������+ �;�W��e(�I!�V���g�$J�<*�e
�0�; �4 �4 ��� ��0 �0 ���0�; �4 �4 ��� ��0 �0 �� �; ���
[��K����*��X��� �B����*"��O����������*��X�����Z#�*��X�� ������lY8*��,6�"����Z�%9����B�"��Z]�YK�����K^�F"�����K��%P�>�@
�w)�%&*��V���_`%���*s�[�*K�� �%d6�*��X���_6:�,6�"����Z�%9��@���/��y����O�����(���:�(� �B����7��="�* �*&�
��*s�[�9�� �%8�W*V�D��y����O��>�@ ����h������_6:�,6�"����Z�%9�W*V��/��y����O�����(���:�(� �B����7��="�* �*&�
���� �� ��
���� �� ��
�D�����>�%�����*&���s��@���>�/����*��,6�"����ZD����L�F��������� �
��% �(����,6�"����Z�9������>�%������*&��/6�� �����'��% �(����,6�"����*&��[�9�f��a&�(��_��7���="�7��DA��* ����7�% ��(�% � �vF C= +9
325
�"�@� ��w��D�����>�%����D"�_6��L� �������s
�����Y��+���[D��B��:�*"7���������N?.�D����L��&��K�*M���aK*����`"�*&�(� �����
w)�%&*��&[�w)�%&*��*���K ���!*<�)��!X�')��!��'�0�I�IA�qaJ<� ;I�I�I�IB�qaJ
� �?��������*"7���� �����>�36���e/6���C�7��*/3������F�J6�����%C��&��K�*M�,6�"����Z�%9����B�"��$������%@6�����������K��%P�>�@ ��%C��&��K�*M�(�*��(*/_��n8�9�,6�"��������K����C���[�%9����B��Q/��� �B����F�J6����7��lY/8��&�[s!�F�J6����7��,6�"���
[D��� �B����F�J6���
8 9 10 11 12
A�qaJ
B�qaJ
0 5 10 15 20
�¡�
>�D)` �������� ���Hk7
��� �����`"�@6�����@6�������>:�������6����������l�*�6�����,6�"�������
( ) ( )Nx X x X
N
− + + −σ =
�2 21
��*s���� �����b��*�����n8�9����K�Z�&��K�*M�f��a&�(�*�
��*s����K�,"�����YK����K����� �����b��*���V�"��)����="��@9�*e6���ZD����L�F"�����K�)��K����q*U�������g�F"��p���h�
���5��O��9�
�[�%9����>�����R���#�%R���p$%@�����D��(cvX
σ= )�F�J6������������l�*�6��D?E6�Z�%9����B����`"�@6�cv����K�#�*��X��o"*V
���� �� ��
��*&%��K�y��4�����*&%��K�y��4I�o��*�������N_s��*L�����*�����*&%��K�x����;����*&%��K�x����;�o��*������7%6�����*��)��K��*L[D�
�D����Os���7%6�����*��#��Q��vS���D����Os����N_s��*L�����*��#��Q��vW
[�"��:�D�������/�����* �(� ������l�*�6��v��������*e6���*���"7�/�����K����� ��*��#��Q�����K����*!L�v#
[�"��:�D�������/�����* �#�*��X��o"*V�v�����E��� yi ����#�*��X��o"*V����� xi�����#�*��X��o"*V�����D��>�E!"�/�����* ����B�������#�*��X��>�a���!�"������"�"��K�6%&�>�@
[�h�����F�J6����D?E6������#�*��X��Zn8�9�F"���*"7�D��#��Q/�[�%9����B��Q/��D?2��(� �B����(�*��GOL�#�*��X��o"*V�7��K�D��*K�����7$
���� �� ��
�v�6�a"�@/����������C���B���A�*"��O�w�[D����"��C���B���A�o��*�������="�(��/��������������@�������A�7��6��,M�W�EC�(�%�%��>�"�M�����_6:�(� �(�%�%��#�*��X��o"*V�Z���!6�D9��*���X�?��º� ���B�*K�a"�����%8�W�EC���>��%����a ��R�6� ���*Q6��F"��*&�
��*s��` �K��"����"����`"�aL����*K�� �%8�(*��X��s����(��/�����D?E6���
�I,;/������ �+�4�Y�4
�¡�
; +4<4I<;<I'I;�04�0���±��s�%6���
�±��s���
��R���<;���v6���w�<I�7��� �B�����R���;I�Zv����±��sw�04�7��� �B�����R����;�K����������[D��*/@K�v�%�±��sw�4<�7��� �B���
C����&�T������!
�(� �B����K���/E �(*"��O��v�%�±��s�������±��s�Z����±��sw�� �±��s�±��s �D� ��_"�� �[���K��� �)�EO� �(��E� �D@E. ���_s �� ��� �B�9 �o�*��`"�@6�Q+��������%�±��s���Q������������±��s�[D��6����>�@ ����
[�� ����
�%&�0�A�<����*&����;<*<��)��!�*�$�*
Y��!����/�*��&�T�*&�20����%&�0�A�<�����)��!�z%�P�)��!�=*���6�;�W�D �!�V���;<*<�V*��
Y��!����>+���&�T�*&�20����%&�0�A�<�����)��!�z%�P�)��!�=*��e��;�W�D �!�V���;<*<�V*��
���c��d�
[D��B�9�f��a&�*"7�#�%R���(*_9����>�/E��������7����;����� �N�?�%���(� �l��k��������C/� !������I����;����+����0����<����'���+0���0+���0����+�����4����;���+�����
����K�nd3������ �±��s�I���������0����;����'����4���� ����+����;����<���+����+����+0���0����0+
����±��s������������������6������������������������%�±��s�����������������������������������������������������������������������������������������������������
��B�������F��� ��R�L��������9�?6�� �B�����%8�p�O�.��� �±��s�D��F!@��Z� �B�������������%�����K�D��(��*V�a�6�/!6�F"�����%�[�6*�&���*.����%/�
�¡�
>�D)` �������� ���Hk7
)�)*+]�a�6 �±�R �� �= � �7� �Z±��s �*� �B�YA��Z��� �= �w �� �= � �[�%9��� �B��Q/��6 �*"��O� �v)_6 �= � �� �²Z ���� �= ��B�������B�9�o�*��(� �B����K���/E �B����)h�M�= ��[���K����)�EO��(��E��D@E.
[D��6����>�@ �Z ����� �(*_3@ ���67�� �7� �NO6 ����� ��"�� �(��:�� �F�"�M ��= � � ��"���9�F"�����%�����[�*�&���*.�D������K��%/�
��6%9��"���9��"���(��*L��s��@�
���:���K����(��*L�� �6���"�� �%d��D����*&������K�l�C�ZD��)/3 �= ��7��*/3����_6:��%�= ��7���_6:���:���K�(��*L�� �6���"���(�*���":�Z��K�L�V���R���;I��ZD��*/@K
��D��L*R���>�*O��D�����²Z�����±�R��Z����±�Rw�� �±�R��6��B����6 ����%6 �*"��O��v)_6 ����%6 �±�R�D@E. ��R �� ��� �B�9 �o�*� �(� �B��� �K�>�@ �) ��±�R�[���K����)�EO� �(��E��>�@ �)h�M�����DE�� �±�R �� ���� �= �
[D������±��s�Z���K�����9���.��%�±�R�*"7�K��6�K�%K
[�6%9����"7����"����.��B7��6��7��Ï��L�DE�s��.��%�±�R�7���%e�����
��"�� ��6�K�%K �s �ª%L � ��@� ���� �*� �����6*�&���*.����"7�����%�
���� �� ��
�[��K����:*�����D6*/�"��7��>�7%�:� 6���B��Q/��>��7�#���G%/��� �%8�����YK�="�)����B��Q/��D6*/�"��7��O�.����s�7���6�?9�="����Z��*M��%8��YK�7%�:� 6���+;�7��(�
[D��B�9�f��a&��_6:�t�M�*"7��������K���� ¥�¡����� �¤�� ¤������� ¥�¥�¡�������� ¡������ � ¡�¡�¡����¥�� ����
� ���¤�������
�����YK�F"��>�7%�:� 6���D6*/�"��7��B��Q/��>��7�#����%�±��s���6����Z����±��s[���K�nd3�
�[���K�nd3�����*"7�(� ��@���/���6��"��/��� �[���"����` �K� c ��B7��6����������l�*�6��Z�%9�)K�� �B����7��c�D?2����D��y����O��*&�����
[�%9����*��¦�a���*��X��o"*V�Z�%9�L�V��� �B������c��D?2����D��y����O��*&����[�%9����*��*��c��������l�*�6��Z�%9�W*V�� �B�������c��D?2����D��y����O��*&����
[�6������D��y�*��X��o"*V�Z�%9�W*V�� �B��������c��D?2����D��y����O��*&����
���K����(*��X��s�*J"������I��@9��YK�>�7%�:� 6���F�#�*��X��o"*V�� �
��_6:��/L�"���ª%OC������6�����6�E!"�S"�¨��K���/E �Ù�DK*9������K����>���:����V*��A�� +�¹�DK*9������K����a�6�7�*_�����@���[D��>��%���'IIIII���>��%����IIIII�o��*����DL�"���>��%��+IIIIII���>��%���;IIIII�o��*�����"� �ª%OC�>�E!"�S"�¨�����K���/E �B� �3����*L��F"����ª%OC�D8��*M����(*/3����/���A����DK*9����K�����@9�*e6���[���K���
[�� ��b�V%����%9���
��� �)"*� �� ����� �="�a6 �D�� ���M ��J/Q �v��"� ���a �B�w ��?��%� ��%M �Z*"7 ����� � 0�����������������[���K�?�����������)"*��>�/���(�*������?��%���%M� �6������F�J6����vS��[� �����>�36�(�*��(a"����6*��v��[���K�?�����������)"*��>�/���(�*������?��%���%M�������l�*�6��vW
���)"*���"�D��*��B��������(�*��>�/������B7���="�*Q�="�<�'�;�0�+����+;+I�;�I�;)"*�
����
�I,;/������ �+�4�Y�4
�¡�
[���K�?����*"7����������*�����40�� 0�(� ����v�6�6�%8������*�w���%��£*6�������l�*�6����6����ZF�J6���� ;
��¥���¥���¥���¥���¥���¤¥��¤¤��¤���¤¡��¤ ��¤������¥� �¡������� ��� �������¤� ���¤�����¥������%��£*6
[�%9��� �B�"� ��@C��*"%�� �� �"%��J_K �� �(aK*� �>�/� �(� *_9 �7� ��-�� �(�*� ��"�� �bU �7� �5�Q��� �Z*"7 ����� ��� � 'vm��*/���������Z ft��#%L��������Z�m����+��4��ft���"�@� ��w
�@C����*"%����"%��J_K(aK*��6�D9� �m%�"�67�9F�@8#Y��±���*_9
���¤����vftw���¤��¥�vftw¡�� ����vftw�¥���vmw�¤���vmw��� �vmw���¤�vmw�"���bU�7��5�Q���
�D����Os�(aK*��>�/��(� *_9�����"���bU�7��5�Q����F�J6����vS���D����Os�(aK*��>�/��(� *_9�����"���bU�7��5�Q����������l�*�6��vW
�D��*/3���>�/�����K�(� *_9�(�*���"���bU�7��5�Q����v�
)�)*+]�l*k���������="����� ��%6�8�G%��K�D�������8���� $�K�D@�.�#�*��X��`h��������v�L*k��#���8���� $�K�(�_��n8�9w���%��n8�9�`h��(� ������F"*/_��7���!"�Z� ��%6�8�l*k����%��#���8���� $�K�D@�.���%@A�bU�(*�&�B7��6��(�*��(������>�%�A���n8�9�F"��[���������%�����D��8�)�.� ����$�K�)�.�� 0�Z"�M����>�%�A����+ I����Z��%��n8�9� �?����(�*��[���������@9����%3K�N8����%M��"*8�#��.�*��X�
�����������%9����B��Q/��*"7� �U����7����%��n8�9� �?����(�*���[D��B�9�W�d/6���@�A�z"*P����_6:�D�@ �+ += ×+ +
385 385
385 3850 0 0 0
100��
i it t t t
t i iP Q P Q
IP Q P Q
��>:����K
�}�>��7������%��n8�9��It
t�>��7������i�D��8��"�$�K�D@�.�� itP
"�M�>��7������i�D��8��"�$�K�D@�.�� iP0
t�>��7������i�D��8��"�$�K�l*k�����O��� itQ
"�M�>��7������i�D��8��"�$�K�l*k�����O��� iQ0
�����������������������������������������������������������������������������������������%9����B��Q/��*"7� �U����7��(Inft�����%��£*6� �?����(�*�t t
tt
I IInf
I−
−
−= ×1
1100 ��
[D��>:�7��N?.���������%��n8�9�It��������*e6��%����������%��n8�9�It
/��>&+ �Z]�W>&+ ���)�+40+ �4I�I�0�+4;00�;+��� �+4';��<0�4�0�+4<''����;�0�+44<+��+�I�4�+4 4��+����0�+ I�II�II���;�+ ��+I�;0+I�;�+ ��<;�44+0�<�+ +�I+��0�;�'�+ 0��<�0'���
�
�¡�
>�D)` �������� ���Hk7
�)�)*+]�� ���%@6�)�*��(�*���6%&�6%&�(� ��aL���*6�[���K����B��Q/��� ���%@6���� ������7��Z)� �Q��*��B�����O/6�����"�/6�*/_��>����(�*��� � �HM�7��(���E����
[D��,�L:�DL��*!"��� �A%@h��7��NEK�� ���6*��Z�%�%����aL���*6�F"*�*�&�*L���F"*��B���ZF"*��*���K*M�[�6%9�����/L*&���K���[��E"%���>:���r%�*��>%/�($������� *�X/����6�[D��NEK�� ���6*��7��7���������9�l��&�J�="����� �B����>�*K������Z���%@6�)��7����C*��F�/Ed6�(���Z��K�%8�#�%R������*�X/��NEK�� ���6*��[���K���������>:�(�����������>%/�������*�X/���"�B�*&�* ����O���"��6���*L�������>%/����*�X/��p$%@���NEK�� ���6*�����Z�"��B�9���9:��_6:����F�3�M�(� �"�M����K��*L� �M�(� ���%@6�5�%6��[� �����>�36�(�%@A��%���(������*"��O���"��6���*L����OL���%��
�[������%��CV*���!�&*<+#)
��/EE&��B����ZB��%6�8�>��67*L���������2��(�*��[�%9����B��Q/��(���������%@6�7��B�9�(����B�*&��"�/EE&�Z�@��(� *�X/���R����"��6���*L�`"�@6�(�*�����K���������� �B����NEK��������%@6�)��(�*��[D�
[���K�W�d/6�����>%/����,¢
�I,;/������ �+�4�Y�4
�¡
�¹|���"�Ú��¬{É�(%J���7��Z(���������%@6�)��(�*��[����������h6:����������%@6�5�%6��[���K�W�d/6�����ÛÉ���}�¦*�*�N?.� ��QR�(%���7��,¢�[���K�B��Q/�
�Z*e6���%�����%@6�W�d/6�����[���K�W�d/6��(���������%@6�>�%�A���������%@6�6%@6���M�F"��7��="�* ���6�%�����>���%8� �O�����*e6���%�����%@6��"���K�������*��=��K�D�����=��K����[�%9����B����>�36��@9�¦*���K�(���6�&���� �µ�9�="�#�%R������%9����)���@9�*e6���%��*"��O��N��9�(���������%@6�S�/d����!9�������²������%@6� ����7�,M�Z>�%��(�����Z� �oEs*��Z���%@6���6�Z§6��N�?.�7��>:�(� ��"a&���6�%�����Z>�����%@6�>%&�6%&�(� � d��(��
[���K��������>�/&*���K�������>:�N�����6�%��������%@6�>��3K���F/L*&����[�� ��*��X�
�¡¡
>�D)` �������� ���Hk7
CV*�;�%*<�&*<+#)�pY2���D��o�������E��(��B*"������%@6�Z)��K�=�!Q���"� � d�������5%V%��="�K����J� �[�%9�B��Q/���@��*�X/��(�*��D��*/_��Z(��B*"������%@6
[����`"�@6�(��B*"������%@6�������>:�>�%�����[�*�&����z����S�/d��(� � d����DK*9�="���:��
����K���������� �B������/���NEK��������%@6�)��(�*�[�%9����)��(��B*"������%@6�Z>:�(���>������3L����[���K�W�d/6�����>��*e6���%��(��B*"������%@6�«���W�d/6����ÛÉ���}�D@E.���F/L����
�*e6���%�����%@6������K�W�d/6�����ÛÉ���}�¦*�*�$���(%���7��D���L�K�GOL�Z�*K�N@A�o��*��F�@ ���>�%�����) �� ���%@6�*"��)��(�*��K��"�"�[��"�@6�W�d/6��� �B���������7��,M�Z����%8
�¡�
C�&�������!�>��7��[U%/��f7%�:����������#��V�"��[v�+ �w���C��Z>��@��A����@C��Z�6��% �9��)� �*���Z�6��"����V���@C�Z�������FE���Z���@�����A�Z`�@6�*"�����
�[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM���` �HM�>��7��[U%/���%����>���EC�[v�+ ;w���C��Z>��@��A����O���@���Z�6�h���(* �P��)� �*�� �Z�6��"���*R�6�Z>�"�*��*���F@_��Z*"�M�qYR�����
�[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*��� �` �HM �>��7��[v�w �#��V�"� �[v�+ �w ��O��@�� �Z�6�h�� �(* �P ����7*L �Z���B�"� ��F"�������F"7 �Z6���� ��6�O � ��*R�6 �Z>�"�*��*� ��7�6*_9�ZB��7 ����3d� ���+
[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*��Z�6��: ��6��*. ���V��@���Z����R����)� �*�� �Z�6��"����%@���Z�67�������V��Z(���C��>�EC��Z�6�������*_� ��FEC�@���ZB��7�>H�� �Z�V���@C�Z(*��� ���0
[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM�>��7��Zv�w��V�"��Zv�+ ;w�[�?/h��Zv�+ 0w�[��*_9*�� �Z��R��§�9% �Z�.*9���V��@���Z����R����)� �*�� �Z�6��"���(*?K�Z��3�����*E8�Z(��������A�Z`�@6�*"� ���V���@C�Z(*��� �����;
[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM�>��7��Z)_6��V�"���97%�:�(a"����6*����` �HM�>��7��[��*h��/9��Z� �J36���`�M�B����[��%@A��V�"��[v�+ Iw�[%K�K�Z�"��C%"������F�A�Z�9�M��FEC�@���ZB��7�>H�������'
[f��*M���f7%�:�#��7��(a"����6*� �� �` �HM �>��7��[��*h���%�A��%����Z+�#��V�"��[v�+ ;w��V���@C�Z(*��� ���@���Z(7��%&����@����?A�Z�L%UA��)9� �@���Z�@/����<
[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�>��7��[�6�E6���%�A�/9��Z� �J36���`�M�B����Z"�M��V�"��[v�+44w��Â����q���Z�%M��6�_�����%��Z�"��������C��>H���Z�J67�(�%_¨��)"*��Z�"%&���* 7�Z�"%&�����4
[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM�>��7��[="a�L����V�"��/9��U%/��f7%�:��������[*?����W�EC�v�+<�w�[)�O��%���Z�6��*.���
(%V����.�>�/:�#���3/6����_3��[�����O����@/C�������:�v�+40w�[��%��Z>�"�%?_�����I[f��*M���f7%�:�#��7���97%�:�(a"����6*����` �HM�>��7��[v�w��� �[v�+ ;w�[�%@���Z(*�k6���§�9% �Z�.*9�Z�V��@���Z����R���Z�* 7�Z�@�C������
[>�K���#���3/6���>�_QR��v�+4Iw�[���\�!���q�/L��@�*��[� �f������%R������:�[v� 'w�[±[(�%&�Z�"��s��������[���i"��Z>%E6�������[*36�aK*���>�*_��v�+40w��6�!3���V��@����@�*��[�����O�����:�[v� +;w�[���[��6���Z#�K�6�����´��[,����Z#�K�6������+
[>�_QR�����:� �6�8��>�_QR��Z>�*"�����:�aK*���>�*_��[�A�@/�����(��k/.��#����U�����(���:���%���� ��L*��[v�+ ;w�[F�3L��Z/Q9:����0CE�')*�����!
ÜÝ���¹���~����Ù[��«�ÉÉ|[��Þ�¹�}}�É�����ß[�vàáÜàw[�«���|��¬�¬���Ù�â��~}�Ò��|É����Ù����|�~[�Ù�����É����ã����Æ[Üä�����ß�|���å[��Ê���Éæ�����â[��Þ�â�}�~�Æ[��Ó[�vàáÜçw[�Ú|��¬�¬��æ�}~�Ù�����|}��É�[�«�|���É�Ì�¬�|}��É[Üç���¹�}}�É�����å[�ß[��Ì���ÉË���[��è[�é[��Þ�¬���É}��[�Ù[��vàáÜàw[�Ú|��¬�¬��|É���}��|�����|}��É�[�Üá}~���[�Ù����É����ã����Æ[Üê�����¹�������ã[��Ú��~�|É��ß[��Ê����}}��¹[��Þ���~¬�Ñ��Ì[�vàáÜÝw[�Ú|��¬�¬�[�Ì|��Æ�}�|É���É��É}|��[����É�����}��É[�«�|���É[�Üë���Ù¬�{|ÉÉ��â[�Ó[��¹|�ì���í[Ú[�Þ�Ó|}��É��â[è[�vàáÜÜw[�Ú�������Ù���Ë�|�|É��Ò����É�{�}�Æ[��î�É}~����}��É��¹���ì��Ú���[àá���Ú�~�É�è[��ß���Ò[�Þ�ì�|��è[�vàáÜáw[�«���|��¬�¬���Ù�«��Ë��{�����ï���É}���Ù����|�~[��Ô}~�Ì��}��É��¹���ì��Ú���[àÜ���»|�����é[�è[�Þ�è�»�|ÉÑ|�é[�vàáÜàw[�«���|��¬�¬�[�»��}~����}��É��¹���ì��Ú���[�àà������¬���î|É��å[�vàáÜÝw[�«���|��¬�¬���Ú�É���}��Ò~��¬�~�»¬É�}��É��Ù�ðÉ�}�Ú������Ù����|�~�Ò��Ò����É�{�}�Æ[�Ò~�������}��É��«�|���É�Ì�¬�|}��É[àñ���¬���î|É��å[�vàááêw[�Ù���Ë�|�|É��Ò����É�{�}�Æ[�Ì��~}~����}��É��«�|���É�«��É}����Ð|��[àò�����ó�¬É���Ú[�vàáÜñw[�Ù���Ë�|�|É��Ò����É�{�}�Æ[�Ò~�������}��É��é�~É�ã���Æ�Þ��É�[àÝ���ó�¬É���Ú[�vàáÜòw[�«���|��¬�¬�[����É�����}��É��é�~É�ã���Æ�Þ��É�[àä����¹���~���Ð�����|Æ�vàááêw[Ú|�����É�|�Ù���Ë�|�à[Ú�É���}���ì������|É��«��Ë��{���î�É�[�Ê��É����å�Ê�|æ����Ð���[àç���Ê|�Æ�ô[�â��ì�æ����vàáÜáw[�ÚïßßÌÊÌ�ÙßÊ̹âÙ�æ�}~�å�����É��Þ�í��¬|��Ñ|}��É[�ò}~����}��É[�«�|���É�Ì�¬�|}��É[àê�����â�É�ß|���É��è|î���Ú[�»|�î�[�vàáÜÜw[�«���|��¬�¬��æ�}~�ß�{�}�[����É��Ì��}��É[�Ú~|�����í|Éã|�É��àë����~}}�����æææ[æ�ì�����|[���
�¡¤
�uuuvuu��J���v�t�%&�g�$J�s��&��$:*�&<�;���J�AJ�W�2*=+!0������2*���<�!��*
f%<&_<*+)�]�>�)���>�)A!�]���!�2�$�*f%<&_<*+)�]�>�)���>�)A!�]���!�2�$�*��!����* 7��F"�a.��(�@���B* 7��(���/d���������_s��6�M%s�B*_9��(���/d���������_s��(���.���h���>�&a�* ���:����EC�o��P�F"�*M��>�/�*K�����A�)"*���>��*K�B��7���.�F�_9��>�/Es%����>�/E�� (*"7��6��*M��>�&a�* �%M���A�)�.���.*9�>�h"����:�¡7���3K��*�@��7*?��¡�C%?R��%k����F"�a.�����EC�FE�������>�/�*K����@"�_����B�36��*K�¤>���8�N&���"���>Y�&¤�@9� ����C�B��7:��>�/7%8�¥(������@�����Y"�¥F"%6���@����a"��(*R����V*�Yc�����L����H6��"Y��,&*6��>�/Es%����>�/E���±��%���@����B�36��*K��%�a&�B*.���@C��>�*_��(�_6�/*_9���6��7��V����A���.*9�>�h"����:������L�_�������%���>��*8��B��7�(���:�*����F�EC����%���>��*8�������6��*.��@�����@9�>��*8��(���7��@C���>���67����������B* 7��>��@ � >�"*Q�-c�(*_���>�h67� ���UE��*XR����A���Y"��¡*L�(��k/.��(�� �@�������L�¡�6�-����%?����>�*_��(�_6�/*_9��5��7�FEC��>�/E�&���%M�F�EC�QP�A��>���67���¤�6��@ �f�*Q��6�)"*���>�_QR��¤>��\�a8�*Q����>��@ �¥�%M���c*V�)"*���>��@�¥>��@� �*���F�_������@9�>��*8�����_��#����)"*���>�*_�*_9��(*����7��������*c�>�h"����:��B��7�FEC�£*L���@C�*"%���"%��J_K��*L�(��9*L�=6�*L��>�/*����6��*8�*"��������>�*_��*_9
��������� !"� �S� !�� �S�������6���,="�A9/�8=���5!:5�����2�!,�2�#n ���I�5�D<:��������������� !"� �#� $��%������� 5� � ���58B5����!�5�6�5�on9/��5!"�f8=*����A�F ���<����5!:5�D��,��U��%5=(��"�5��%�'>J��D*��N��3%5!�5���G�5���<':��>��3D��_ ����� �����)�* ����"�� �%�'>J� �O5!& �D0���� ��" ��/ �8� ���58 5�45� ����� �����)�* ��H=���F(5 �m2 �!" ��>��J/ �� �����38=�5!0�6�5�)>�����H 5����f8��' ���8n/�8=':�5�%�'>J�� �%5����# 5���"�A�g�5�6�!'*��"�3Q�R�A���6,- 5����5�����������)�*���B��4p !���!9��D�!�8�� �q ����!F�5��� �2!,"�� �����������4 !K�3���%��5���� !�� ��������59��E,>9/�4 !K�%5��g'��SG/��*�� 5���!=�� �%5!,"������5�3%5��g'��6�5����'/�SG/��"�%��< �`�5�6'��f8=�5��48<(�!"�5���5�48 ����#n ���"�619�
f�������G(5�!���P!���"�8 5�4�!*������)�*�6�5��59���F<"����5��%�������2�O5!& ��T5�5��"� ���5���=,���6�5����5���I(�@�
https://t.me/riazisara
https://www.instagram.com/riazisara.ir
top related