i part 미적분 수능특강 · 2019-07-18 · 94정승준 수능특강 6.도함수의활용 step1...
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93빠른 정답
수능
특강
미적
분I P
ART2
94 정승준 수능특강
6.�도함수의�활용
� STEP� 1
예제�1 ② 유제�1 ① 유제�2 ③
예제�2 16 유제�3 ③ 유제�4 ②
예제�3 ① 유제�5 ③ 유제�6 ②
예제�4 26 유제�7 ③ 유제�8 ②
예제�5 ② 유제�9 ① 유제10 ③
� LEVEL� 1
01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ② 05 59
� LEVEL� 2
01 ③ 02 ② 03 ② 04 24 05 ⑤
06 50 07 ① 08 22
� LEVEL� 3
01 ④ 02 ④ 03 ③ 04 1 05 ②
06 ⑤
� STEP� 2
01 ① 02 ② 03 ① 04 ③ 05 ⑤
06 ② 07 57 08 ③ 09 ③ 10 ⑤
11 ① 12 ③ 13 132 14 5 15 ④
� STEP� 3
01 ① 02 ③ 03 ① 04 2 05 5
06 ⑤ 07 ③ 08 ① 09 ⑤ 10 ③
11 ⑤ 12 ② 13 3 14 ① 15 ④
16 4 17 3
7.�부정적분과�정적분
� STEP� 1
예제�1 ② 유제�1 ② 유제�2 ⑤
예제�2 ③ 유제�3 35 유제�4 ②
예제�3 ② 유제�5 ① 유제�6 4
� LEVEL� 1
01 ② 02 ④ 03 ② 04 ⑤ 05 ④
� LEVEL� 2
01 ⑤ 02 ② 03 ③ 04 ④
� LEVEL� 3
01 ① 02 ③ 03 ④
� STEP� 2
01 10 02 ③ 03 ③ 04 ② 05 ④
06 ③ 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ②
11 ③ 12 81 13 ③
� STEP� 3
01 ④ 02 ① 03 ① 04 ④ 05 ③
06 11 07 ① 08 ⑤ 09 ④ 10 ④
11 30 12 5 13 38 14 ⑤
95빠른 정답
8.�정적분의�활용
� STEP� 1
예제�1 ② 유제�1 ④
예제�2 ③ 유제�2 ⑤ 유제�3 ④
예제�3 ② 유제�4� ③ 유제�5 ⑤
� LEVEL� 1
01 ③ 02 ④ 03 ① 04 ⑤ 05 ④
� LEVEL� 2
01 ③ 02 ⑤ 03 ③ 04 80
� LEVEL� 3
01 ③ 02 ② 03 ⑤
� STEP� 2
01 19 02 ④ 03 108 04 ② 05 ①
06 72 07 8 08 ⑤ 09 ③ 10 ④
11 ① 12 ⑤
� STEP� 3
01 ④ 02 ② 03 ③ 04 135 05 ①
06 ② 07 12 08 20 09 ③ 10 ③
11 12 12 ② 13 ③ 14 32
96 정승준 수능특강
6.�도함수의�활용
� STEP� 2
01 ① 02 ② 03 ① 04 ③ 05 ⑤
06 ② 07 57 08 ③ 09 ③ 10 ⑤
11 ① 12 ③ 13 132 14 5 15 ④
01 ①
곡선 위의 점 에서의 접선의
방정식이 이므로 직선 에 를 대입하면 × , 이다.
또한, ′ ′ 이므로
′ , ′ 이다.
따라서 에서의 접선은
에서 이 직선이
축과 만나는 점의 좌표는 이다.
02 ②
도함수 ′ 에서
함수 는 에서 극대이고 에서
극소이다. , 에서
두 점 , 를 지나는 직선의
기울기는 이다.
03 ①
′ 에서 함수 는 에서 극대이고 에서
극소이다.
구간의 양 끝점도 최대 또는 최소가 될 수 있으므로
각 점의 함숫값들을 나열해보면
에서 , 이다. , 이다.
04 ③
함수 라고 하면
방정식 가 서로 다른 두 개의 음의 실근와
한 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 의 개수를
찾아야 한다.
함수 를 미분하면
′ 에서 에서 극댓값을 가지고, 에서 극솟값을 가진다. 이므로
방정식 가 서로 다른 두 개의 음의 실근와
한 개의 양의 실근을 갖도록 하려면 , 에서
이를 만족하는 정수 의 개수는
05 ⑤
위치 를 미분하여 시각 에서의 속도를 라고
하면 이다. 이므로 점 P의 속도가 최소가 될 때는
에서 일
때이다.
일 때 P의 위치는
에서
97해설
06 ②
곡선 위의 점 에서의 접선의
기울기는 ′ × 이므로 이 접선에
수직이고 점 을 지나는 직선의 방정식은
, ,
에서 이다.
07 57 ′ ′ 이고 삼차함수 의
최고차항의 계수가 양수라는 것에서
함수 는 에서 극대, 에서 극소를
가짐을 알 수 있다. 에서 삼차함수 의 그래프는
다음과 같다.
(삼차함수의 비율관계에서 , 이다.) 을 정리하면 이다.
≠이라고 하면 , 이므로
, 이다.
에서
× × , 이고 이다.
08 ③
함수 이라고 하면
도함수 ′ 이다.
곡선 위의 점에서 그은 접선 중 인 점에서의 접선과 평행하려면, 이차함수 ′의 축의 방정식이 이므로 × 에서 그은 접선이어야 한다.
함수 의 에서 그은 접선의 방정식은 이다.
이 직선의 절편은 이므로 , 이다.
09 ③
조건 (가)에서 함수 는 최고차항의 계수가 인 삼차함수이다.
조건 (나)에서 조건을 만족하는 의 최댓값과
최솟값은 아래 함수 의 그래프에서 다음과
같다.
삼차함수의 비율관계에 의하여 , 이므로
함수 는 에서 극소, 에서 극대이다.
따라서 도함수 ′ 이고, ′
98 정승준 수능특강
10 ⑤
함수 의 역함수가 존재하려면 함수 가 실수
전체의 집합에서 증가하거나 감소하여야 한다. 즉,
도함수 ′가 실수 전체의 집합에서 ′≤
또는 ′≥이다.
′ 에서 이면 모든 실수 에 대하여 ′ 이므로 ≠으로 도함수 ′가 이차함수일 때를
살피자.
판별식 ≤ , ≤에서
판별식을 만족하는 정수 의 개수는 이다.
여기에 을 포함하여 조건을 만족하는 정수 의
개수는 이다.
11 ① 에서 곡선 의 접선의 기울기는 이다. 따라서 점 P에서의 접선과 수직인
직선의 기울기는 ×′
(단, ≠ )이고, 그 직선의 방정식은
이다.
따라서 이 직선의 절편 는≠인 실수 에 대하여
를 만족하고
이다.
한편, 일 때의 P에서의 접선으로부터 이므로, 함수 의 식은 모든 실수 에 대하여 위와 같다.≤≤에서 함수 의
그래프는 아래와 같다.
따라서 함수 는 극댓값을 가지는 점에서 최댓값을
가진다.
여기서 함수 를 미분하여 극대인 점의 좌표를
구할 수도 있으나 삼차함수의 비율관계에서
임을 알 수 있다.
12 ③
곡선 위의 점 P 에서의 접선의 절편은 ′이고
곡선 위의 점 R 에서의 접선의 절편은 ′이다.′ ′이고
′′ 이다.
따라서 직선 OP의 기울기와 직선 OR의 기울기의
차가 이므로 직선 PQ의 기울기와 직선 RQ의
기울기의 차는 이다.
13 132
함수 가 최고차항의 계수가 인 사차함수이므로
함수 의 도함수 ′는 최고차항의 계수가 인 삼차함수이다.
조건 (나), (다)에 의하여 ′ , ′ , ′ 이고 이다.
그러므로 ′ 로 놓을 수
있다.
조건 (가)에서 ′ 이므로 에서, 이라고
하면 조건 (다)에서 , 에서 이므로 이다.
따라서 ′
99해설
14 5
함수 는 다항함수이므로 조건 (가)에서
, 는 상수로
놓을 수 있다. 에서
′ 이고 조건 (나)에서 ′ 즉, 이므로
이고 에서 극댓값 , 에서 극솟값 를 갖는다. 조건 (다)에서
방정식 이 서로 다른 개의 실근을
가지므로 함수 의 그래프의 개형은
다음과 같이 두 가지 경우가 있다.
(ⅰ) (극댓값) , (극솟값) 인 경우
(극댓값) 이면 이므로
(극솟값) 이 된다.
이때 을 만족시킨다.
(ⅱ) (극댓값) , (극솟값) 인 경우
(극솟값) 이면
(극댓값) 이 된다.
이때 이 되어 조건을
만족시키지 않는다.
위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 이므로
따라서
15 ④
ㄱ. 삼차함수 의 그래프는 아래와 같다.
따라서 의 부호는 함수 의 최고차항의
계수의 부호에 따라 결정되며 이 아닐 수도
있다. (거짓)
ㄴ. 최고차항의 계수가 양수이든, 음수이든 극댓값
또는 극솟값인 , 의 부호는 서로
다르므로 이다. (참)
ㄷ. 예를 들어, 최고차항의 계수가 양수일 때를
가정해보자.
삼차함수의 비율관계에 의하여 이다.
또한, ≠이므로
(참)
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
100 정승준 수능특강
� STEP� 3
01 ① 02 ③ 03 ① 04 2 05 5
06 ⑤ 07 ③ 08 ① 09 ⑤ 10 ③
11 ⑤ 12 ② 13 3 14 ① 15 ④
16 4 17 3
01 ①
두 점 A B 을 지나는 직선의 기울기는 이고 에서 ′ 이므로
접점의 좌표를 라 하면
에서 점 P의 좌표는 P 접선 은 기울기가 이고 점 P 을
지나므로 접선 의 방정식은
즉, 따라서 이므로
02 ③
라 하면 이므로 ′ 에서′이므로
곡선 위의 점 에서의
접선의 방정식은, 즉 …… ㉠
그런데 직선 ㉠의 절편이 이므로 , 즉
03 ①
두 점 P Q의 속도를 각각 P Q라 하면
P Q두 점 P Q의 가속도를 각각 P Q라 하면P Q 에서 P Q따라서 두 점 P Q사이의 거리는
04 2
라 하면
′ 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는
이므로 이라 하면
′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
⋯ ⋯ ⋯′ ↗ ↘ ↗
이때 이므로 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
따라서 함수 의 값의 부호가 닫힌 구간 에서 바뀌므로 구하는
모든 정수 의 값의 합은
101해설
05 5
조건 (가)에서 이므로 조건 (나)의 에서이므로
(ⅰ) 이고 인 경우
인데
주어진 ′의 그래프에서 이므로
이어야 한다.
그러므로 는 존재할 수 없다.
(ⅱ) 이고 인 경우
이므로
함수 의 그래프의 개형은 다음 그림과
같다.
이므로
함수 의 그래프와 직선 가 만나는
점의 개수는 이다.
그러므로 방정식 의 서로 다른 실근의
개수는 이므로 또한, 이므로
함수 의 그래프와 직선 이 만나는 점의
개수는 이다.
그러므로 방정식 의 서로 다른 실근의
개수는 이므로 따라서
06 ⑤
이라 하면
ㄱ. ×
이므로 은 방정식 의 근이다. (참)
ㄴ. ′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.
⋯ ⋯ ⋯′ ↘ ↘ ↗
함수 는 에서 극소이면서 최소이다.
이때 이고 최솟값은 이므로
곡선 는 일 때와 일
때 축을 지난다.
따라서 방정식 의 서로 다른
실근의 개수는 이다. (참)
ㄷ. ㄱ에서 이고 ×이므로
한 근은 이고 다른 한 근은 과 사이에
있다. 또한, ㄴ에서 방정식 의
서로 다른 실근의 개수는 이므로 서로 다른
모든 실근의 합은 보다 작다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
07 ③
라 하면
′ ′에서 또는 함수 는 에서 극대이고 에서
극소이므로 닫힌 구간 에서 일 때
최소이다.
한편, 에서
≥이므로 일 때 최대이다.
그런데 닫힌 구간 에서 함수 의 최댓값이 보다 작거나 같아야 하므로
≤에서 ≤
102 정승준 수능특강
따라서 실수 의 최댓값은 이다.
08 ①
에서
점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각 는
의 두 양의 실근이다. 이므로 의 서로 다른 두 양의 실근을 라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에
의하여 이므로 …… ㉠
…… ㉡
㉠에서 이므로 이 식을 ㉡에 대입하면
즉, …… ㉢
한편, 일 때의 위치가 이므로
즉, …… ㉣
㉣을 ㉢에 대입하면 ㉠에서 이므로 , 즉 그러므로 일 때, 이므로
에서 또는 이때 ≥이므로 조건을 만족시킨다.
따라서 이므로 일 때의 속도는
×
09 ⑤
이라 하면
′ ′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
⋯ ⋯ ⋯′ ↗ ↘ ↗
한편, 곡선 과 직선 가
접한다고 할 때, 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
…… ㉠
접선 ㉠이 원점을 지나므로 에서
는 실수이므로 그러므로 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이다.
이때 함수 의 그래프와 접선 는 다음
그림과 같다.
따라서 곡선 과 직선 가
서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 의 값의 범위는 이므로 자연수 의 최솟값은 이다.
103해설
10 ③
조건 (가)에서 ( 는 상수) …… ㉠
이라 하면 조건 (나)에서 함수 의 그래프는 점 을 지나므로 에서 …… ㉡
㉠과 ㉡에서 , 즉 이고
조건 (다)에서 방정식 은 이외의
근을 하나만 가져야 하고 조건 (나)에서 방정식 이 를 중근으로 갖게 되면 함수 는 에서 미분가능하게 되므로
의 근은 가 아닌 중근을
가져야 한다. 즉, 이차방정식 의 판별식을 라 하면
× 에서
또는 (ⅰ) 일 때
이므로 조건 (다)를 만족시키지
않는다.
(ⅱ) 일 때
이므로 조건 (다)를
만족시킨다.
㉠에서 이므로
′ 따라서 함수 의 극솟값은
× ×
다른�풀이
조건 (나)에서 함수 는 에서만
미분가능하지 않고, 조건 (다)를 만족시키는 함수 의 그래프와 축이 서로 다른 두 점에서
만나므로 함수 의 그래프의 개형은 다음
그림과 같다.
(ⅰ)
(ⅱ)
≠ 라 하면
조건 (가)에서 이때 ≠ 이므로 이다.
따라서 함수 의 그래프는 (ⅰ)과 같으므로
함수 의 극솟값은
11 ⑤
ㄱ. 열린 구간 에서 ′이므로 함수
는 감소한다.
그러므로 (참)
ㄴ. 두 함수 ′ ′의 그래프가 서로
축에 대하여 대칭이고 이므로
두 함수 의 그래프는 다음
그림과 같이 축에 대하여 대칭이다.
함수 는 연속이고
lim→∞∞이다.
라 하면
이므로 구간 ∞에서 방정식
는 적어도 하나의
실근을 갖는다. (참)
104 정승준 수능특강
ㄷ. ′ ′′이고
닫힌 구간 을 포함하는 열린 구간
에서
′ 이므로 ′이고
′이므로 ′이다.
′ 이므로
닫힌 구간 에서 함수 는
감소한다.
따라서 함수 의 최솟값은
이다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
12 ②
곡선 과 직선 가 서로 다른
두 점에서 만나므로 에서
의 판별식을 라 하면
에서 , 즉 …… ㉠
의 서로 다른 두 근을 라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 이고A B 이므로AB 한편, 원점 O 과 직선 , 즉 사이의 거리는
삼각형 AOB의 넓이 는
×× 이때 ㉠에서 이므로
이라 하면
′ ′에서 또는 에서 함수 의 증가와 감소를 표로
나타내면 다음과 같다.
⋯ ⋯ ′ ↗ ↘
따라서 일 때 최대이다.
13 3
방정식 에서
, 라 두고 두 함수의
그래프의 교점의 개수를 구한다. ′임을 이용해 그래프를 그려보면 두
함수는 에서 서로 다른 세 교점을 가진다. , ,
105해설
14 ①
출발한 후 초가 지났을 때 점 P의 위치는
P , 이 점에서 곡선 에 접선을
그었을 때 그 접점을 이라 하면 접선의
방정식은 도함수 ′ 에 의해 접선의 기울기가
이고 접점 을 지나므로
, 이 접선이 점 P를 지나므로
에서 , 접선의
절편은
, 따라서 Q의
속도는 이므로 일 때의
속도는 이다.
15 ④
′ 의 세 근은 , , 이고, 의 두 근의 곱
이므로 , , 이다.
따라서 사차함수 는 에서 극솟값을
갖고, 에서 극댓값을 갖는다.
ㄱ. 두 극솟값 , 은 극댓값 보다
작다. 따라서 두 값의 평균도 보다 작다. (참)
ㄴ. 두 극솟값이 모두 음수여야만 은 서로
다른 네 실근을 가진다. (거짓)
ㄷ. 그림과 같다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
16 4
사차함수 는 에서 극솟값 하나만을
갖는다. (가)의 조건을 만족시키기 위해서는 아래
그림과 같이 이어야 한다.
조건 (나)의 평균변화율
에서
17 3는 를 차식으로 나눈 나머지이므로 몫을 , 라 두면
이고
는 으로 나누어떨어지므로
,
이므로 ,
∴ lim→
106 정승준 수능특강
lim→ · ′
7.�부정적분과�정적분
� STEP� 2
01 10 02 ③ 03 ③ 04 ② 05 ④
06 ③ 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ②
11 ③ 12 81 13 ③
01 10
′ 이다. (단,
는 적분상수) ′ 에서 함수 는 에서 극댓값, 에서 극솟값을 가진다.
함수 의 그래프는 아래와 같다.
삼차함수의 비율관계에 따라 , 가 된다. (함수 에서 ,
그리고 , 를 대입하여 확인해도
훌륭하다.)
따라서 이면 × 이므로 이어야 한다. 이므로 이다.
,
02 ③
′ 이다. (단, 는
적분상수)
직선 가 곡선 와 축 위의 점 P에서 접하는데, 직선 의 절편은
107해설
이므로 , ′ 이다.
따라서 ′ , 이고 , 이다.
03 ③
미적분의 기본정리에 의하여 ′ 이다.
함수 는 에서 극대이고, 에서
극소이다.
함수 의 극솟값은 이므로
×× 이므로 함수 의 극솟값은 이다.
04 ②
함수 는 분명히 상수함수가 아니다.
함수 의 차수를 이라 하고, 최고차항의 계수를 ≠이라 하면 ⋯ 이므로 ,
이다.
함수 이라고 하면
에서 , , 에서
이다.
05 ④
≥ ≥에서
위의 세 식을 더하면
06 ③
′ 이다. (단,
는 적분상수)
108 정승준 수능특강
07 ④
함수 의 그래프와
함수 의 그래프는 아래와 같다.
으로 생각하면 이 값은 밑변의 길이가 , 인
직각이등변삼각형의 넓이의 합에서 밑변의 길이가 , 인 직각이등변삼각형의 넓이의 합을 뺀 것과 같다. × ×
08 ③
이차함수 가 에서 극댓값을 가지므로 그
도함수 ′는 에서 ′ , ≥에서 ′≤이다. ′ ′ ′ 이다.
이차함수 가 에서 극댓값을 가진다는 것은
이차함수 의 축의 방정식이 이라는
것이다.
따라서 ,
09 ③′ ′이므로
조건 (가)에서
(단, 는 적분상수)
위 등식의 양변에 을 대입하면 따라서 이고,는 다항함수이므로
′ 이므로
조건 (나)에서′ ′ ′ (단, ′은 적분상수)
조건 (다)에 의하여 이므로 ′ 따라서
10 ②
준식에서 양변을 미분하면 ′ 양변을 으로 나누면 ∵ 다항함수의 도함수 ′는 연속함수이므로 일 때를 제외하고
으로 나눈 식에서 lim→ ′ ′임을
이용하면 된다.) ′ , 준 식에서 양변에 를 대입하면 에서 이다. , 이다.
에서 이다.
109해설
11 ③
두 함수 , 의 그래프는 오직
한 점에서만 만나므로 직선 는 함수 의 어떤 점 위에서의 접선이다.
따라서 실수 에 대하여 함수 의 그래프
위의 점 에서의 접선의 방정식에서
이라고 할 수 있다.
이므로
lim→∞ lim→∞ × 따라서 이다.
이다.
에서 또는 이다. 또는 이므로
12 81
함수 가 상수함수라면 에서
인데
이는 이므로 조건 (나)에 모순된다.
따라서 함수 는 상수함수가 아닌 다항함수이고
함수 의 차수를 이라 하면 이 아닌 상수 에 대하여 ⋯
이라고 할 수 있다.
모든 실수 에 대하여 ⋯ 이고
′ ⋯이므로 이다.
이라고 하면
′ 에서 , 이다.
따라서 이고 , ×이다.
13 ③
조건 (가)의 등식의 양변에 대신 를 대입하면 위 식의 양변을 에 대하여 미분하면
′ ′위 식에서 대신 를 대입하면 ′즉, ′이때 ′는 함수 의
그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식이고
이 접선이 함수 의 그래프와 일치하므로
함수 의 그래프는 직선이다.이라고 하면
110 정승준 수능특강
에서 , ,
� STEP� 3
01 ④ 02 ① 03 ① 04 ④ 05 ③
06 11 07 ① 08 ⑤ 09 ④ 10 ④
11 30 12 5 13 38 14 ⑤
01 ④
곡선 위의 임의의 점 에서의
접선의 기울기가 이므로
′ 곡선 가 원점을 지나므로 ′ 에서 ( 는 적분상수) 이므로 ×
02 ① ′ 라 하면
이므로 ′ ′ 이므로
03 ① 에 를 대입하면 따라서 에서 ×이므로 04 ④의 부정적분 중 하나를 라 하면
lim→ lim→ ′
05 ③
다항함수 의 그래프는 원점에 대하여
대칭이고, 이다.
자연수 에 대하여
⋯ 라 하면′ ⋯ 이므로 함수 ′는 모든 실수 에 대하여′′를 만족시킨다.
따라서 ′ ′′ ′
111해설
이므로
06 11
에서 ′이므로 함수
는 함수 의 도함수이다.
열린 구간 에서 함수 가 증가하므로 이고, 열린 구간 에서 함수 가
감소하므로 이다. ×
07 ①
lim→∞ lim→∞
× × 이므로
08 ⑤
두 점 를 지나는 직선의 기울기가
이고 ′ 이므로
직선 는 곡선 위의 점
에서의 접선이다.
따라서 두 함수 의 그래프의
개형은 다음 그림과 같다.
따라서 (는 상수)로 놓을 수 있다.
에서
′ 방정식 ′의 모든 실근의 합은 이므로
…… ㉠
이므
로
(㉠에 의해)
112 정승준 수능특강
이라 하면
′ ′에서 에서 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면
다음과 같다.
⋯ ⋯′ ↘ 극소 ↗
함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
에서 함수 의 최솟값은
×× 따라서 의 최솟값은 이다.
09 ④
의 양변을 에 대하여 미분하면
′이므로 함수 의 도함수가 이다.
이고 함수 의 최솟값이
이므로 함수 는 에서 극솟값을
갖는다.
함수 가 최고차항의 계수가 이고 ′인 삼차함수이므로 함수 의
그래프는 다음 그림과 같다.
(는 상수)라 하면
이고, 함수 가
에서 극댓값 을 가지므로
즉, 따라서 이므로
×
10 ④
는 미분가능한 함수이므로 에서
좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 하고 에서도 마찬가지다.
모든 실수 에 대하여 ≤′≤이므로
113해설
의 값이 최대가 되기 위해서는 그림과
같이 축 위에서는 접선의 기울기가 가장 큰 함수가
있어야 하고, 축 아래에서는 접선의 기울기가 이
되는 함수가 이어져야 한다. 즉, ≤ 에서는 , ≥에서는 이다. 따라서 × ⋅⋅
11 30
다항함수 의 차수부터 결정한다. 식 의 양변을 에 대하여
미분하여 정리하면 ′ , 의 최고차항을 이라 하면 위 식에 의해
즉, 의 형태이고, 다시 위
식에 의해 이므로
, , ,
따라서 에서
12 5
lim→∞ lim→∞ 이므로
lim→∞ 13 38 의 그래프와 그 역함수 의
그래프는 에 대하여 서로 대칭이고,
직선 는 에 대하여 대칭이다.
방정식 에서 교점 를 구한다.
이때 그래프와 그 교점을 나타낸 그림이 아래와 같다.
그림에서 색칠한 부분의 넓이
⋅⋅ 따라서 구하는 넓이는 의 배인 이다.
14 ⑤
주기함수는 적분 구간의 길이가 주기와 같을 때
정적분 값이 일정하다. 라 하자.
ㄱ. 조건에서 이므로 이다. 역시 적분
구간의 길이가 주기와 같으므로 정적분 값은 이다. (참)
ㄴ. 와 는 적분
구간의 길이가 주기와 같고 함수 에서 축
방향으로 각각 , 만큼 평행이동한 함수의
정적분 값이므로 그 값이 와 같다.
(참)
114 정승준 수능특강
ㄷ. lim→∞ · 이고
lim→∞ ·
⋯ , 두 값 모두 로 같다.
(참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
8.�정적분의�활용
� STEP� 2
01 19 02 ④ 03 108 04 ② 05 ①
06 72 07 8 08 ⑤ 09 ③ 10 ④
11 ① 12 ⑤
01 19 ′ ′ ′ 이므로 ′ 에서 이므로 이다. ′ 에서
의 그래프는 아래와 같다.
× × 이다.
따라서 삼각형 PQR의 밑변을 선분 PR로 잡으면 그
넓이는
×× , 에서 이다.
115해설
02 ④ 의 값은 결국
두 직선 와 와 곡선 으로
둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
두 직선 와 와 곡선 으로
둘러싸인 부분의 넓이는
곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이
× 에서
곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이
× 을 뺀 것과 같다.
03 108
곡선 위의 점 에서의 접선의
기울기는 ′ 에서
접선의 방정식은 이다.
직선 과 곡선 이 만나는 점의 좌표는
에서 가 방정식의 근이므로 조립제법에서
이다.
따라서 직선 과 곡선 로 둘러싸인
부분의 넓이는
× 이다. (삼차함수의 그래프가 축과 접할 때 둘러싸인
부분의 넓이 공식을 사용한 것이다. 이를 사용하지
않고 직접 적분해도 훌륭하다.)
04 ②
두 곡선 , 은
에서 , 에서 만난다.
따라서 이면 이다. 이다. 을 대입하면 양변이 같게 되므로
조립제법에서 이다.
05 ①
시각 에서 까지 점 P가 움직인
거리가 시각 에서 점 P의 위치와 같도록 하는 의 최댓값이 라는 의미는
116 정승준 수능특강
점 P의 운동방향이 바뀌지 않도록 하는 시각 의
최댓값이 라는 의미와 같다.
따라서 이고 ,
06 72
점 P가 운동방향을 바뀌는 순간은 P 에서 일 때이다. 그 순간 두 점 P , Q 사이의
거리를 구하려면 각각의 점의 위치를 구해야 한다.
점 P의 위치는 P 점 Q의 위치는
Q 따라서 일 때 두 점 P , Q사이의 거리는
07 8
곡선 의 그래프와 직선 의
그래프는 아래와 같다.
함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인
부분의 넓이를 라고 하면, 곡선
과 직선 으로 둘러싸인
부분의 넓이는 곡선 과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이에서 × 을 뺀
것과 같다.
곡선 과 직선 으로 둘러싸인
부분의 넓이는 ×
에서 이고
따라서 구하는 넓이는
×
08 ⑤
시각 에서 까지 점 P의 위치의 변화량이 이므로 이다.
함수 의 그래프는
아래와 같은데,
색칠한 부분의 넓이가 시각 에서 까지 점 P가 움직인 거리와 같다.
따라서 구하는 값은
117해설
09 ③≤≤ 에서 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
함수 의 그래프와 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이와 함수 의 그래프와 직선 으로
둘러싸인 부분의 넓이가 같으므로 의
값은 밑변의 길이가 인 직각이등변삼각형의 넓이와 같으므로
× 이다.
같은 방법으로 × 10 ④
시각 에서 시각 까지 점 P가 이동한 거리는 P P P P
시각 에서 시각 까지 점 Q가 이동한 거리는 Q Q
× ×이다.
∵ 그냥 적분을 할 수도 있지만 공식을 이용하기 좋은 꼴이라 공식으로 풀이를 적었다.)시각 에서 점 Q가 점 P 보다 만큼 앞서
있으므로 , 즉 이다.
11 ①
함수 의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이므로 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
닫힌 구간 에서 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 같은 방법으로 닫힌 구간 에서 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의
118 정승준 수능특강
넓이는 ×닫힌 구간 에서 의 값은 ×⋯⋯등비급수의 공식에서
lim→∞
12 ⑤
ㄱ. 시각 에서의 점 P의 위치 는 시각 에서 까지 점 P가 움직인 거리
는 이다.
일 때, 즉 , 일 때, ≤일 때, 즉 ≤≤일 때, 이다.따라서 ′ 의 그래프는 다음과 같다.
따라서 에서 함수 ′는
에서 최솟값을 가지므로
모든 양수 에 대하여 ′≥′ (참)
ㄴ. ′이므로 의 값은 ≤≤에서 함수 ′의 그래프가 축으로 둘러싸인 부분의 넓이에 을 곱한 것이다.
× × ×
(참)
ㄷ. 함수 ′의 그래프에서 함수 의 그래프는 아래와 같다.
≤≤에서 함수 의 그래프는 삼차함수 그래프의 일부분이다.따라서 함수 의 그래프는 점 에 대하여 대칭이다.
이므로 × 이때 × 이므로 를 만족시키려면
이어야 한다.
따라서 ×이므로
119해설
에서
이다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
� STEP� 3
01 ④ 02 ② 03 ③ 04 135 05 ①
06 ② 07 12 08 20 09 ③ 10 ③
11 12 12 ② 13 ③ 14 32
01 ④에서 또는
함수 의 그래프는 위의 그림과 같고, 닫힌
구간 에서 ≥이므로 구하는 넓이를 라 하면
02 ②
곡선 와 축의 교점의 좌표는
이므로 또는 또는 곡선 와 축으로
둘러싸인 부분의 넓이를 라 하면
03 ③
점 P가 원점을 다시 지날 때의 시각을 이라 하면
이므로 따라서
04 135
에서 또는 함수 의 그래프는≤에서 함수 의 그래프와 같고, 에서 함수 의 그래프를 원점에 대하여
대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.
120 정승준 수능특강
이때 구하는 넓이 는
따라서 ×
05 ①
곡선 와 축 및 축으로 둘러싸인
부분의 넓이는
×곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의
넓이는
곡선 가 곡선 와
축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를
이등분하므로
×따라서
06 ②
에서 ′ ≥함수 는 증가하는 함수이므로 역함수를 갖는다.
두 곡선 는 직선 에 대하여
대칭이므로 두 곡선 로 둘러싸인
부분의 넓이는 곡선 와 직선 로
둘러싸인 부분의 넓이의 배이다.
곡선 와 직선 의 교점의 좌표는
또는 또는 따라서 구하는 넓이를 라 하면
121해설
07 12
점 P의 시각 에서 까지 위치의 변화량 는
×× ×× 점 P가 시각 에서 까지 움직인 거리 는 ×× ×× 따라서 ×
08 20
함수 가 실수 전체의 집합에서 증가하고 이므로 인 이 존재한다.
따라서 함수 가 실수 전체의 집합에서 증가하고 이므로 이므로 함수 의 그래프는 함수 의
그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨
것이므로 함수 을 에서 까지 적분한 값은 함수 를 에서 까지 적분한 값과 같다. 이므로 따라서 구하는 넓이는
09 ③
의 양변을 에 대하여 미분하면
′방정식 의 두 실근을 라 하면
함수 의 도함수가 이므로′에서 또는 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과
같다.
⋯ ⋯ ⋯′ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
곡선 와 축 및 축으로 둘러싸인 부분의
넓이와 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의
넓이가 서로 같으므로
122 정승준 수능특강
따라서 함수 의 그래프는 다음 그림과 같다.
함수 가 이차함수이므로 함수 는
삼차함수이다. 이라 하면
에서
′ ′에서 또는 이므로 이차방정식 에서 근과 계수의 관계에 의하여
이므로 따라서 ′이므로
′ ××
10 ③
조건 (가)에 의해 ′ (단, ),
(나)의 조건에 만족시키기 위한 와 의 관계를
따져보면 일 때 ′ ′이므로 인 모든 에 대하여 ′가 성립하는 것은
아니다.
따라서 그림과 같이 이어야 하고
′ ′ ′
이 인 임의의 에 대하여 성립하므로 ≤이고 , 즉, 의 극솟값이 이다.
′ 에서
(상수)이고
, 에서 , 이다.
따라서 구하는 넓이는
11 12 에서
즉, 사차함수 는 이고 , , 에서 극값을 가지며 , 과의 교점의 개수가 각각 개, 개이므로 그래프는 그림과 같다.
123해설
따라서 12 ②
속도의 부호가 반대이면 수직선 위에서 반대 방향으로
움직인다. 시간-속도 그래프에서는 속도의 그래프와
시간축 사이의 넓이가 곧 이동거리를 나타낸다. 문제의
그래프를 보면 일 때 출발점으로 되돌아오므로
출발점의 위치는 이다. 일 때의 위치 에서 따라서 일 때의 점 P의 위치는
13 ③
① ≤≤에서 ≥이므로
점 P가 움직인 거리는 ②
A : 앞으로 움직인 거리
B : 뒤로 움직인 거리
③ 속도의 부호가 양이므로 까지 계속 앞으로
움직인다.
④ 의 부호가 변할 때 점 P의 운동 방향이
바뀐다.
⑤ 속력
14 32
문제의 조건을 만족하는 이차함수는 아래 그림에서
처럼 와 의 넓이가 같아야 한다. 의 이외의 절편을 라 하면 이고 와 의 넓이가
같으므로 즉, 방정식
에서
, 따라서 와 축으로 둘러싸인
부분의 넓이는
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