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Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.1
Inkrementelle Stabilitat
und
Konvergente Systeme
Bjorn S. RufferU Paderborn
bjoern@rueffer.info
Nathan van de WouwTU Eindhoven
N.v.d.Wouw@tue.nl
Markus MuellerU Exeter
M.Mueller@exeter.ac.uk
Elgersburg Workshop
14. Februar 2013
zugehoriger Artikel:
Ruffer, van de Wouw, Mueller: Convergent systems vs. incremental stability.
Systems & Control Letters 62:277–285, 2013.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.2
x(t, t0, ξ1)
x(t)
x(t, t0, ξ2)
Zeit
Zustand
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.3
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Wir betrachten zeitvariante Systeme
x(t) = f (t, x) (1)
wobei f ∶Rn+1 → Rn so gewahlt ist, dass lokal Existenz und Eindeutigkeit
von Losungen gesichert ist. Insbesondere soll f lokal Lipschitz-stetig in
x sein.
Eine Menge A ⊂ Rn heißt positiv invariant unter (1), wenn x0 ∈ A
impliziert, dass fur alle t0 ∈ R auch x(t, t0, x0) ∈ A fur alle t ≥ t0.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.4
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Definition (cf. Pavlov et al. 2006, 2004)
System (1) heißt gleichmaßig konvergent in einer positiv invarianten
Menge X , falls
1. alle Losungen x(t, t0, x0) fur alle Zeiten t ≥ t0 und fur alle
Anfangsbedingungen (t0, x0) ∈ R ×X existieren;
2. es eine eindeutige Losung x(t) in X gibt, die fur alle Zeiten
existiert und beschrankt ist;
3. die Losung x(t) gleichmaßig asymptotisch stabil ist mit
Einzugsgebiet X , d.h., es gibt eine Funktion β ∈ KL, so dass fur
alle (t0, x0) ∈ R ×X und t ≥ t0,
∥x(t, t0, x0) − x(t)∥ ≤ β(∥x0 − x(t0)∥, t − t0).
System (1) heißt global gleichmaßig konvergent, falls es gleichmaßig
konvergent auf Rn ist.
Die eindeutige Losung x(t) wird gemeinhin als stationare Losung
bezeichnet.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.5
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Definition (cf. Angeli 2002)
System (1) ist inkrementell stabil (IS) in einer positiv invarianten Menge
X ⊂ Rn, falls es eine Funktion β ∈ KL gibt, so dass fur alle ξ1, ξ2 ∈ Xund t ≥ t0,
∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1 − ξ2∥, t − t0) . (2)
Falls X = Rn gilt, heißt das System (1) global inkrementell stabil (GIS)
(oder oft auch einfach nur inkrementell stabil).
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.6
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Die Bedingung von Demidovich
originale, russische Version in [Demidovich 1967], aktuelle englische
Ubersetzung in Pavlov et al. 2004
f (x , t) muss stetig differenzierbar sein im x-Argument
Wenn es eine positiv definite Matrix P = P⊺ gibt, so dass
J(x , t) = 1
2[P∂f
∂x(t, x) + (∂f
∂x(t, x))
⊺P] (3)
gleichmaßig negativ definit ist in (x , t) ∈ Rn+1, dann ist (1) GIS.
Falls zusatzlich
∥f (t,0)∥ ≤ c <∞ (4)
gilt, dann garantieren (3) und (4) die Existenz einer positiv
invarianten, global asymptotisch stabilen, sowie kompakten Menge
Ω ∶= x ∈ Rn ∶ x⊺Px ≤ C, wobei die Konstante C von P und c
abhangt; diese Menge enthalt die eindeutige, beschrankte und fur
alle Zeiten definierte Losung x(t).
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.7
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Ein einfaches konvergentes System, das fast
inkrementell stabil ist
Betrachten wir das skalare System
x = − sat x =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−1 falls x ≤ −1,
−x falls ∣x ∣ < 1,
−1 falls x ≥ 1.
Die Losung x(t) ≡ 0 ist beschrankt und existiert fur alle Zeiten.
Der Ursprung ist global asymptotisch stabil. Also ist dieses System
global gleichmaßig konvergent.
Aber: Die Differenz zweier Trajektorien, die beliebig dicht
zueinander starten, bleibt konstant, bis die erste der beiden das
Intervall [-1,1] erreicht. Es kann daher keine KL-Funktion wie in
der Definition von (G)IS geben.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.8
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein
Als nachstes behandeln wir fur z ∈ R2 ∖ 0 das System
z(t) = (− sin t
cos t) + ∥z(t) − z(t)∥2 (−z2(t) + sin(t)
z1(t) − cos(t) )
− sat (∥z(t) − z(t)∥2)(z1(t) − cos(t)z2(t) − sin(t)) ,
wobei z(t) = (cos t, sin t)⊺.
Es lasst sich zeigen, dass z(t) eine
auf ganz R definierte und beschrankte
Losung dieses Systems ist.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.9
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein, ctd.
Betrachten wir dazu nun die zeitvariante, quadratische
Lyapunovfunktion
V (t, z) = 1
2∥z − z(t)∥2
2.
Dann kann uberpruft werden, dass
V = d
dtV (t, z(t))
= − sat (∥z(t) − z(t)∥22)∥z(t) − z(t)∥2
2
< 0
solange z(t) ≠ z(t). Das beweist globale glm. asymptotische Stabilitat
der Losung z(t).
Also ist das System global glm. konvergent.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.10
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein, ctd.
Jedoch konnen wir eine Konstan-
te M > 0 angeben, so dass fur
jedes hinreichend große R > 1
Startwerte ξ1, ξ2 existieren mit
∥ξ1 − ξ2∥ ≤ M und
∥z(1/2,0, ξ1) − z(1/2,0, ξ2)∥
=√
R +M +√
R√e
∼√
R .
Also kann es keine KL-Funktion
β geben, so dass Bedingung (2)
gilt, d.h.,
∥z(t, t0, ξ1)−z(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1−ξ2∥, t−t0) .
Damit ist das System nicht GIS.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.11
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Und ein GIS System muss nicht konvergent sein
Als nachstes untersuchen wir
x(t) = t − x , x ∈ R . (5)
Die Losungen sind explizit gegeben durch
x(t, t0, x0) = x0e−t+t0
+ (t − 1) − (t0 − 1)et0−t .
Die Losung, die zur Zeit t0 = 0 durch x0 = 0 geht ist unbeschrankt.
Folglich kann das System nicht konvergent sein, denn sonst musste sich
diese unbeschrankte Losung einer beschrankten annahern. Und das geht
nicht.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.12
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Und ein GIS System muss nicht konvergent sein, ctd.
Das das System GIS ist, sieht man so: Betrachte ξ1, ξ2 ∈ R, dann
d
dt[x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)] = −(x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)) ,
was wiederum impliziert, dass
∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ ∥ξ1 − ξ2∥e−t .
Das ist eine KL-Abschatzung der Differenz zweier Losungen.
Damit ist System (5) GIS.
Die Abschatzung impliziert auch, dass die unbeschrankte Losung
auf der letzten Folie global attraktiv ist. Also mussen alle Losungen
unbeschrankt sein.
Damit kann es insbesondere auch keine beschrankte Losung geben
— und das System kann damit auch nicht konvergent auf einer
Teilmenge von R sein.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.13
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
eine kleine Zusammenfassung
inkrementelle Stabilitat impliziert nicht, dass ein System
konvergent ist
umgekehrt auch nicht
jedoch legt die Bedingung von Demidovich nahe, dass
die beiden Eigenschaften sehr verwandt sind
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.14
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Konverse Lyapunov-Theoreme
Wir mochten nun Lyapunov-Techniken benutzen um Bedingungen
zu finden, die angeben wann unsere beiden Stabilitatseigenschaften
sich gegenseitig implizieren.
In der Literatur findet sich:
Bacciotti und Rosier 1998: schwache Lyapunovfunktionen fur
x = f (t, x)Teel und Praly 2000: Konstruktion glatter Lyapunovfunktionen
aus KL-Abschatzungen fur x = f (x)Angeli 2002: stetige Lyapunovfunktionen fur eine Form von
inkrementeller Stabilitat fur nicht wirklich zeitvariante Systeme der
Form x = f (x ,d), wobei d zeitabhangig ist
Grune, Kloeden, Siegmund, und Wirth 2007: lokal
Lipschitz-stetige Lyapunovfunktionen fur nichtautonome
(=zeitvariante) Differentialgleichungen unter Benutzung der
Theorie der Schiefproduktflusse (skew-product flows)
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.15
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
ein konverses GIS Lyapunov-Theorem
Theorem
System (1) ist GIS genau dann, wenn es eine stetige Funktion
W ∶R ×Rn ×Rn → R sowie K∞-Funktionen α1, α2, α3 gibt, so dass
1. fur alle x1, x2 ∈ Rn und t ∈ R,
α1(∥x1 − x2∥) ≤ W (t, x1, x2) ≤ α2(∥x1 − x2∥) (6)
2. entlang Trajektorien von (1) fur ξ1, ξ2 ∈ Rn und jedes t ≥ t0 gilt,
dassW (t, x(t, t0, ξ1), x(t, t0, ξ2)) −W (t0, ξ1, ξ2)
≤ −∫t
t0α3(∥x(τ, t0, ξ1) − x(τ, t0, ξ2)∥)dτ.
(7)
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.16
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Mehr Regularitat
Die Unbeschranktheit von α3 kann gegen mehr Regularitat von W
eingetauscht werden:
Corollary
Wenn System (1) GIS ist, dann gibt es eine stetige Funktion
W ∶R ×Rn ×Rn → R, Funktionen α1, α2 ∈ K∞, sowie eine positiv
definite Funktion α3, so dass die Ungleichungen (6) und (7) gelten.
Zudem gibt es dann eine Funktion γ ∈ K∞, so dass fur alle
z 1, z 2 ∈ Rn ×Rn und alle t0 gilt,
∣W (t0, z 1) −W (t0, z 2)∣ ≤ γ(∥z 1 − z 2∥). (8)
Ungleichung (8) sieht ein bisschen aus wie ‘nichtlineare’ globale
Lipschitz-Stetigkeit, ist tatsachlich aber eine Charakterisierung von
gleichmaßiger Stetigkeit.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.17
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem
Der Beweis des Satzes ist dem Beweis in Angeli (2002) sehr
ahnlich. Aber es gibt ein paar signifikante, nicht offensichtliche
Unterschiede:
Der Hauptunterschied liegt darin, dass die hier betrachteten
Systeme explizit von t abhangen, die Systeme in der Arbeit von
Angeli hingegen nicht. Dies wirkt sich auf die Gleichmaßigkeit der
Abfallrate der Lyapunovfunktion aus.
Der ‘wenn es eine Lyapunovfunktion gibt. . . ’-Teil des Beweises
folgt mit Standardargumenten, siehe z.B. Hinrichsen und Pritchard
(2005, Theorem 3.2.7)).
Wir betrachten im Folgenden nur den ‘es muss eine
Lyapunovfunktion geben’-Teil.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.18
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.
Betrachten wir
z = d
dt(x1
x2) = (f (t, x1)
f (t, x2)) , (9)
dann ist die Diagonale ∆ ∶= (x⊺, x⊺)⊺∶ x ∈ Rn ⊂ R2n GAS
bezuglich System (9) genau dann, wenn System (1) GIS ist. Das
lasst sich zeigen wie in Lemma 2.3 in Angeli (2002).
Der Abstand eines Punktes z = (x1
x2) zur Diagonalen ∆ ist gegeben
durch
∥z∥∆ ∶= infw∈∆
∥w − z∥ = 1√2∥x1 − x2∥.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.19
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.
zunachst definieren wir
g(t0, z 0) ∶= supt≥t0
∥z(t, t0, z 0)∥∆
fur s > 0 hat man
g(t0, z 0) ≥ g(t0 + s, z(t0 + s, t0, z 0))
sowie die Stetigkeitseigenschaft
∣g(t, z 1) − g(t, z 2)∣ ≤√
2β(2∥z 1 − z 2∥∆,0)=∶ γ(∥z 1 − z 2∥∆),
fur alle z 1, z 2 ∈ R2n sowie t ∈ R.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.20
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.
Definiere nun
U(t0, z 0) ∶= sups≥0
g(t0 + s, z(t0 + s, t0, z 0))k(s),
wobei k irgendeine stetig differenzierbare, positive, wachsende
Funktion ist, fur die k(t) ∈ [c1, c2], fur alle t ≥ 0 und passende 1 ≤ c1 < c2
ddtk(t) ≥ d(t), t > 0, fur eine positive und fallende Funktion d
notwendigerweise muss gelten d(t)→ 0, wenn t →∞, weil sonst
(und weil d(t) ≥ 0) k uber jede obere Schranke wachsen wurde
wieder konnen wir zeigen, dass
∣U(t0, z 1) −U(t0, z 2)∣ ≤ γ(∥z 1 − z 2∥)
fur ein passendes γ ∈ K∞
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.21
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.
U ist nicht-wachsend entlang von Losungen; fur jedes r > 0,
z 0 ∈ R2n mit ∥z 0∥∆ = r , alle t0 ∈ R, alle h > 0 und alle ε > 0, existiert
ein s = sε,h,t0,z0 ≥ 0, so dass
U(t0 + h, z(t0 + h, t0, z 0)) ≤ U(t0, z 0) [1 − k(h + s) − k(s)c2
] + ε.
im nachsten Schritt mochten wir h 0 und ε→ 0 gehen lassen und
gleichzeitig soll s = s(h, ε) beschrankt bleiben
diese Beschranktheit konnen wir mit Sontag’s Lemma uber
KL-Funktionen garantieren
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.22
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.
es gibt eine positiv definite Funktion α3,
U(t0, z 0) ∶= lim suph0
U(t0 + h, z(t0 + h, t0, z 0)) −U(t0, z 0)h
≤ −α3(∥z 0∥∆).
nun modifizieren wir U so, dass α3 ∈ K∞ (cf. Sontag und Teel
1995):W ∶= ρ(U), wobei
µ, ρ ∈ K∞, so dass ρ′ = µ s ↦ (µ α−1
1 )(s)α3(s) ist von unten beschrankt durch eine
K∞-Funktion α3; das geht immer
damit, fur t ≥ t0,
W (t, z(t, t0, z 0)) −W (t0, z 0) ≤ − ∫t
t0 α3(∥z(s, t0, z 0)∥∆)ds ◻
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.23
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Konverses Lyapunov-Resultat fur konvergente Systeme
Theorem (im Wesentlichen Theorem 23 in Massera 1956)
Die Funktion f sei stetig in (t, x) und C1 bezuglich des x-Arguments.
Wir nehmen an, dass die Jacobi-Matrix ∂∂x
f (t, x) beschrankt ist, und
zwar gleichmaßig in t.
Dann ist das System (1) global glm. konvergent genau dann, wenn es
eine C1 Funktion V ∶R ×Rn → R+, eine Trajektorie x ∶R→ Rn,Funktionen α1, α2 und α3 ∈ K∞ und eine Konstante c ≥ 0 gibt, so dass
α1(∥x − x(t)∥) ≤ V (t, x) ≤ α2(∥x − x(t)∥)
und∂V
∂t+ ∂V
∂xf (t, x) ≤ −α3(∥x − x(t)∥)
und
V (t,0) ≤ c , t ∈ R.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.24
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Zusammenfassung: Was wissen wir bis jetzt?
Konvergente Systeme sind nicht automatisch GIS und umgekehrt
Beide Stabilitatskonzepte konnen mittels Lyapunovfunktionen
beschrieben werden, und die sehen unterschiedlich aus
Angeli hat ein Beispiel fur ein inkrementell Stabiles System, fur das
es keine glatte zeitinvariante Lyapunovfunktion gibt
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.25
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Theorem
Sein nun System (1) glm. konvergent auf einer kompakten Menge X .
Dann ist das System auch inkrementell stabil auf dieser Menge.
Beweis. Bezeichne mit dX ∶= maxx ,y∈X ∥x − y∥ den Durchmesser von
X .
Fur jedes ε > 0 gibt es ein T > 0, so dass fur jedes ξ ∈ X ,
∥x(t, t0, ξ) − x(t)∥ ≤ β(dX , t − t0) ≤ ε/2
falls t − t0 ≥ T ; das impliziert, dass alle Losungen, die in X starten
gegenseitig glm. attraktiv sind.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.26
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Da fur alle t ≥ t0 gilt, dass
x1(t) − x2(t) ∶= x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2) =
ξ1 − ξ2 + ∫t
t0[f (s, x1(s)) − f (s, x2(s))]ds,
haben wir aufgrund der lokalen Lipschitz-Bedingung an f und der
Kompaktheit von X , dass es eine lokal integrierbare Funktion
α∶R→ R≥0 geben muss, so dass fur alle t ≥ t0 gilt
∥x1(t) − x2(t)∥ ≤ ∥ξ1 − ξ2∥ + ∫t
t0α(s)∥x1(s) − x2(s)∥ds.
Mithilfe des Gronwall-Lemmas fuhrt dies zu einer KL-Funktion β,
so dass
∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1 − ξ2∥, t − t0)
fur alle ξ1, ξ2 ∈ X , t0 ∈ R und t ≥ t0. ◻
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.27
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Theorem
Wir nehmen an, dass
System (1) global glm. konvergent ist
f stetig in (t, x) und C1 in x ist; sowie die Jacobi-Matrix ∂∂x
f (t, x)gleichmaßig in t beschrankt ist
es eine Matrix P = P⊺ > 0, eine Konstante C > 0, sowie eine
stetige, positive Funktion α4∶R→ (0,∞) gibt, so dass fur alle
Zeiten t ∈ R und alle x1, x2 ∈ Rn gilt
(x1 − x2)⊺P (f (t, x1) − f (t, x2))
≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
−α4(∥x1 − x2∥) falls max∥x1∥, ∥x2∥ ≥ C ,
0 sonst.
Dann ist System (1) GIS.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.28
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweisskizze.
fur das konvergente System gibt es eine Lyapunovfunktion V
es existieren Konstanten C2 ≥ 0, s.d. ∥x(t)∥ ≤ C2 und C −C2 > 0 cP ,CP > 0 s.d. cP∥x1 − x2∥2 ≤ (x1 − x2)⊺P(x1 − x2) ≤ CP∥x1 − x2∥2
wenn max∥x1∥, ∥x2∥ ≤ C dann V (t, x1) +V (t, x2) ≤ 2α2(C +C2) definiere nun eine Kandidaten-GIS-Lyapunovfunktion
W (t, x1, x2) ∶= 1
2b(V (t, x1) +V (t, x2))(x1 − x2)⊺P(x1 − x2)
wobei b(s) = s/(1 + s) ∈ K ∖K∞ dann uberprufen wir nur noch:
α1(∥x1 − x2∥) ≤W (t, x1, x2) ≤ α2(∥x1 − x2∥) W ≤ −α4(∥x1 − x2∥)b(2α2(C −C2)) ◻
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.29
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Theorem
System (1) sei inkrementell stabil auf einer kompakten Menge X . Dann
ist es auch glm. konvergent auf dieser Menge.
Beweis. Nach Standardresultaten (z.B. Yakubovich (1965)) muss die
kompakte (u. insbes. positiv invariante) Menge eine beschrankte Losung
x(t) enthalten, die fur alle Zeiten existiert.
Alle Losungen sind glm. asymptotisch stabil, also auch x(t).
Die Eindeutigkeit folgt mit den gleichen Argumenten wie in dem Beweis
von Property 2.4 in Pavlov et al. (2006). ◻
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.30
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Theorem
Sei System (1) GIS, wobei f ∶Rn+1 → Rn lokal Lipschitz-stetig in x ∈ Rnsei. Dann gilt:
1. Wenn ∥f (t,0)∥ ≤ c, ∀t, und c ≥ 0 klein genug ist, dann ist
System (1) global glm. konvergent;
2. Wenn es eine kompakte Menge Ω ⊂ Rn gibt, die positiv invariant ist
bzgl. System (1), dann ist System (1) global glm. konvergent.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.31
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Corollary
Es gebe Funktionen W , α3 und γ wie in dem Korollar uber konverse
GIS-Lyapunovfunktionen. Sei c ≥ 0 so, dass fur alle kleinen h > 0,
∥f (t,0)∥h ≤ ch < γ−1(hα3(r))
fur ein r > 0. Dann ist System (1) global gleichmaßig konvergent.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.32
Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS
Beweisskizze.
Bedingung 1. und GIS implizieren die Existenz einer kompakten
pos. invarianten Menge Ω ⊂ Rn unser konverses Theorem gibt uns eine GIS-Lyapunovfunktion
W (t, x1, x2), die die Regularitatseigenschaft aus dem Korollar (glm.
Stetigkeit) erfullt
sei nun V (t, x) ∶= W (t, x ,0), dann ist fur h > 0 hinreichend klein,
V (t0 + h,x(t0 + h, t0, ξ)) −V (t0, ξ) ≤
− ∫t0+h
t0α3(∥x(τ, t0, ξ) − x(τ, t0,0)∥)dτ
+W (t0 + h, x(t0 + h, t0, ξ),0)−W (t0 + h, x(t0 + h, t0, ξ), x(t0 + h, t0,0))
roter Ausdruck ≤ γ(∥x(t0 + h, t0,0)∥) ≤ γ(∥f (t0,0)∥h +O(h2)) ≤γ(ch +O(h2))
Ô⇒ Existenz einer kompakten invarianten Menge Ô⇒ Existenz
eindeutiger beschrankter Losung x(t) ◻
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.33
Literatur
D. Angeli. A Lyapunov approach to the incremental stability properties.
IEEE Trans. Autom. Control, 47(3):410–421, 2002.
A. Bacciotti and L. Rosier. Liapunov and Lagrange stability: inverse
theorems for discontinuous systems. Math. Control Signals Syst.,
11(2):101–128, 1998.
B. P. Demidovich. Lectures on mathematical stability theory (russisch).
Nauka, Moscow, 1967.
L. Grune, P. E. Kloeden, S. Siegmund, und F. R. Wirth. Lyapunov’s
second method for nonautonomous differential equations. Discrete
Contin. Dyn. Syst., 18(2-3):375–403, 2007.
D. Hinrichsen und A. J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I —
Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer,
Berlin, 2005.
J. L. Massera. Contributions to stability theory. Annals of Math. (2),
64:182–206, 1956.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.34
Literatur
A. Pavlov, A. Pogromsky, N. van de Wouw, und H. Nijmeijer.
Convergent dynamics, a tribute to Boris Pavlovich Demidovich.
Systems Control Lett., 52(3-4):257–261, 2004.
A. Pavlov, N. van de Wouw, und H. Nijmeijer. Uniform output
regulation of nonlinear systems. A convergent dynamics approach.
Birkhauser, Boston, 2006.
E. Sontag und A. Teel. Changing supply functions in input/state stable
systems. IEEE Trans. Autom. Control, 40(8):1476–1478, 1995.
A. R. Teel und L. Praly. A smooth Lyapunov function from a class-KLestimate involving two positive semidefinite functions. ESAIM Control
Optim. Calc. Var., 5:313–367, 2000.
V. A. Yakubovich. The matrix-inequality method in the theory of the
stability of nonlinear control systems. I: The absolute stability of
forced vibrations. Autom. Rem. Control, 25:905–917, 1965.
Ubersetzung aus Avtom. Telemekh. 25, 1017–1029 (1964).
T. Yoshizawa. Stability theory by Liapunov’s second method.
Publications of the Mathematical Society of Japan, No. 9, Tokyo,
1966.
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.35
Zusammenfassung
Globale gleichmaßig konvergente Systeme und globale
inkrementelle Stabilitat sind verwandt, aber keine von beiden
Eigenschaften impliziert die jeweils andere
jedoch sind beide Eigenschaften auf kompakten Zustandsraumen
identisch
beide Eigenschaften konnen durch Lyapunovfunktionen
charakterisiert werden
Bedingungen, die zusatzlich zu einer Eigenschaft noch benotigt
werden um die jeweils andere zu erhalten, wurden gezeigt (wie z.B.
die Bedingung von Demidovich)
Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.36
Ausblick
”
Netzwerk“-Stabilitatsresultate
Anwendungen auf z.B. Synchronisationsphanomene
Relation zu verwandten Konzepten wie Contraction Analysis
(Lohmiller/Slotine)
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