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Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Einführung•von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen
„hineinzuschauen“zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
•dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
•parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die
Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
•heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der
Medizin•findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen•risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen, z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des
Herzens
2Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Ultraschall in der Natur und Industrie
3Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)•Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen
wahrgenommenen Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen•mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch
ausbreiten•Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
4Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Ultraschall in der Natur
•Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
•manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B.
Fledermäuse, Delphine oder Wale
5Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
•besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem •nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender
Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
•1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse
durch den Gehörsinn konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären, wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
•erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der Fledermaus-Orientierung auf
6Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips
entwickelte sich völlig unabhängig von der Entdeckung der
Echoorientierung bei Tieren !
•1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-
Ortungssystem zu entwickeln
•Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt,
aber der Meeresboden reflektierte ausreichend stark
•1913: Behm entwickelt den Echolot Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
7Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie•Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit
Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik•Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall•bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B.
Ultraschallbohrer oder Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin•Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
8Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Piezoelektrische Effekt
•1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den
piezoelektrischen Effekt
•Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen
Druck und elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
•direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter
Kristalle erzeugt elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
•inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegeneiner elektrischen Spannung
9Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Erzeugung von Ultraschall
•Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
•Wechselspannung verursacht periodische Verformung piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
•Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
10Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Ultraschall in der Medizin
11Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete•Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
•Unterstützung von Selbstheilungsprozessen•Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe•Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe•Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
12Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie•bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in
der Medizin•Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und
Veterinärmedizin•aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell
anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen•Echokardiographie Ultraschalluntersuchung des Herzens
•Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …•Schwangerschaftsvorsorge•Beurteilung des Blutflusses Dopplersonographie
•…
13Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
14Ultraschall-Tomographie
•Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
•Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlichstark akustische Impedanz
•Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
•Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
•Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
•Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium
gebunden unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
•Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
•Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzungähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
15Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion•Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz•Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen
entgegenwirkt
•Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die
Echointensität Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität
auftreffenden Welle
•Luft sehr starker Reflektor Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
16Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
A - Scan Mode
17Ultraschall-Tomographie
•A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
•Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
•Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissenund gute räumliche Vorstellung
•heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
B - Scan Mode
18Ultraschall-Tomographie
•B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
•jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
•Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitätenergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
M - Scan Mode
•M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
•Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
19Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt•Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen beisich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren•Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber
ausgestrahlten Signale z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
•Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu blau – Bewegung vom Schallkopf weg
•Entdeckung und Beurteilung von Verengungen derBlutgefäße sowie Herzfehler
20Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Mathematische Analyse der Ultraschall-Tomographie
21Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
•Untersuchungsobjekt ist im Streifen platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
•Felder sind rechtwinklig zur -Achse und auf der Oberfläche des Streifens
platziert
•Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender undEmpfänger
22Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
•Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
• lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen•Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
•Elementarwelle mit für beschreibt den Verlauf eines
zum Zeitpunkt ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
23Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Praktische Annahmen
•Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit umgeben
•Ausbreitungsgeschwindigkeit unterscheidet sich nur gering von ,
•Funktion verschwindet außerhalb des Streifens
•Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
24Ultraschall-Tomographie
klein
Alex Sawatzky
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
•Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
•Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der
Zeit führt zum inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
• konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich•Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine
Dimension weniger Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu
bestimmen ist
25Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Born-Approximation
•benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
•Ansatz mit der „scattered wave“ liefert
•Born-Approximation , d.h. ersetze durch , ergibt
26Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
•benutze für die Rekonstruktion die Daten
•Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
27Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
28Ultraschall-Tomographie
•hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von durch die Reflexionsdaten bestimmt
•erfasster Frequenzbereich von ist im Bild rechts abgebildet
• und sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
Konsequenzen für die Rekonstruktion
•Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B. ,
eindeutig lösbar in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen
Frequenzen
•Wavelets enthalten Frequenzen mit • nur außerhalb der Kugeln um mit dem Radius
bestimmbar•Rekonstruktion von nicht eindeutig bestimmt•Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation
von sich in der Nullumgebung konzentriert
•Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
29Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Reflektoren in der Ultraschall-Tomographie
30Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Motivation
Bildgebung in der Seismik•Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt,
verbessern die Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben•Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen
Bildgebung•Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines
externen Reflektors zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten
Anteile der Wavelets nicht benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten
eindeutig zu bestimmen
31Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
32Ultraschall-Tomographie
•sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee•Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen
akustischen Reflektor
Aufbau•Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben•Brust zwischen den Platten fixiert•obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen•untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B. eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
Mathematische Modellierung
•Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
•Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
•Untersuchung im Zeitbereich
•Untersuchung im Frequenzbereich
33Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
•Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
•Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
34Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
•Linearkombination der Werte von für verschiedene Argumente bestimmt
•Argumente enthalten niederfrequente Anteile• auch in den beiden Kreisen um mir dem Radius
bestimmbar•Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle
Frequenzen von innerhalb des Kreises mit Radius
•Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich bandbeschränkte
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
35Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
36Ultraschall-Tomographie
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