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Integrale Definito. (1)Integrale Definito. (1)
Il problema del calcolo delle aree
Suddivisione dell’intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
Def. PartizioneSi chiama partizione P dell’intervallo [a,b] un insieme di (n+1) punti x0=a<x1<..<xn=b , comunque scelti tra a e b.
1
comunque scelti tra a e b.
Si pone: ,..,nixxx iii 1 1 =−=∆ −
1−−= iii xxh
Def. RaffinamentoUna partizione P1 è detta essere un raffinamento (o più fine) della partizione P se:
PP ⊇1
0xa = 1x 2x bx =3
Integrale Definito: Integrale Definito: PlurirettangoliPlurirettangoliAssumiamo che la funzione f sia limitata nell’intervallo [a,b].Data una determinata partizione P di [a,b] consideriamo per ogni intervallino ∆xi :• mi = l’estremo inferiore assunto dalla funzione in ∆xi• Mi = l’estremo superiore assunto dalla funzione in ∆xi
Costruiamo il rettangolo inscritto :di base ∆xi ed altezza miEd associamo ad esso l’ ”area” (che può anche essere negativa se lo è la funzione) data da: (∆x i m i).L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il
2
0xa = 1x 2x bx =3
L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il plurirettangolo (o scaloide) inscritto.
Costruiamo il rettangolo circoscritto :di base ∆xi ed altezza MiEd associamo ad esso l’ ”area” (che può anche essere negativa se lo è la funzione) data da: (∆x i Mi).L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il plurirettangolo (o scaloide) circoscritto.
Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1 )Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1 )
0xa = 1x 2x bx =3
Def. Somme Superiori ∑ ∆⋅=i
ii xMfPS ),(
Costituiscono un’approssimazione “per eccesso” dell’area
Def. Somme Inferiori ∑ ∆⋅=i
ii xmfPs ),(
Costituiscono un’approssimazione “per difetto” dell’area
Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs ≤
3
0xa = 1x 2x bx =3
E’ evidente che con più “raffiniamo” la partizione dell’insieme [a,b] , con più riusciremo ad avere una valutazione precisa dell’area.
Precisamente, passando da una partizione P ad una partizione più fine P1 notiamo che le somme inferiori aumentano mentre quelle superiori diminuiscono rispettando sempre la relazione (1). Quindi:
Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs ≤
(2) ),(),(
),(),( se
1
11
≤≤
⇒⊇fPSfPS
fPsfPsPP ),(),(con 11 fPSfPs ≤
Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2 )Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2 )
Aumentando il numero di punti le somme inferiori aumentano
4Aumentando il numero di punti le somme superiori diminuiscono
Integrale Definito di Integrale Definito di RiemannRiemann : Costruzione: Costruzione
0xa = 1x 2x bx =3
Poiché le somme inferiori sono sempre minori od uguali alle somme superiori, abbiamo che:
Def. Funzione Integrabile (secondo Riemann)La funzione f è integrabile (secondo Riemann, o R-integrabile) se (e solo se):
SInfsSupPP
≤
SInfsSupPP
=
5
0xa = 1x 2x bx =3
Nota. La classe delle somme inferiori e delle somme superiori sono due classi di numeri reali una minore dell’altra dunque sono classi separate . Esse possono avere un elemento separatore (l’unico numero compreso tra le somme inferiori e quelle superiori). Se tale numero esiste la funzione è detta Riemann-Integrabile (o R-Integrabile) su [a,b] e tale numero è, per definizione , l’integrale di Riemann della funzione data su [a,b].
PP
Def. Integrale Definito (di Riemann)Il numero reale precedentemente trovato rappresenta l’integrale definito della funzione f sull’intervallo [a,b] e si scrive:
∫b
a
dxxf )(
Integrale Definito di Integrale Definito di RiemannRiemann : Osservazioni: Osservazionia e b sono detti “estremi di integrazione”a è detto “estremo inferiore” di integrazioneb è detto “estremo superiore” di integrazionef è detta funzione integranda
Nota . La variabile di integrazione è una variabile “muta”. Per cui le seguenti espressioni indicano sempre lo stesso numero:
∫b
a
dxxf )(
∫b
a
dxxf )( ∫b
a
dttf )( ∫b
a
dyyf )(
6
ε ,f)S(P,f)-s(P <>∀ 0ε
Teorema 1Una funzione f limitata su [a,b] è R-integrabile se esiste una partizione P di [a,b] tale che:
Nota . Il teorema precedente afferma che le somme inferiori e superiori, per funzioni R-integrabili, sono due classi separate ma indefinitamente ravvicinate (o contigue ).
Funzione non RFunzione non R --IntegrabileIntegrabileNota . Non tutte le funzioni sono R-integrabili. Daremo più avanti delle condizioni sufficienti affinché una funzione sia R-Integrabile. Occupiamoci di un esempio di funzione che NON è R-integrabile:
∈∈
=R\Qx
Qxxf
se 1
se 0)(
Si consideri l’intervallo [0,1].Essa è una funzioni limitata.Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino ∆x
La Funzione di Dirichlet
7
∑ ∑ =∆⋅=∆=i i
iii xxMfPS 11),(
Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino ∆xi compaiono infiniti numeri irrazionali ed infiniti razionali, avremo:
∑ ∑ =∆⋅=∆=i i
iii xxmfPs 00),(
Siccome:1),( =fPSInf 0),( =fPsSup
La funzione non risulta R-integrabile.
Integrale Definito: le somme di Integrale Definito: le somme di RiemannRiemannNota . Considerando funzioni limitate non possiamo affermare che i valori mi ed Mi sono valori assunti dalla funzioni nell’intervallino ∆xi .Se la funzione f è continua il teorema di Weierstrass assicura il fatto che la funzione assume in ∆xi tali valori, che coincidono con il minimo ed il massimo della funzione stessa (in ∆xi).
Al posto delle somme inferiori e superiori è allora possibile considerare le seguenti somme di Riemann:
iii
ii xtxtffP ∆∈∆=∑ con )(),(σ Def. )( ixMaxP ∆=
8
i
Teorema 2
Per esse vale il seguente teorema:
finitofPf =⇔→
),(lim eintegrabil-R é 0P||σ
σ(P,f)f(x)dx|P|
b
a0
lim →
=∫
E vale
Integrale Definito: Significato Geometrico. (1)Integrale Definito: Significato Geometrico. (1)Se la funzione integranda è positiva su [a,b] (a<b) allora
∫b
a
dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle rette verticali x=a ed x=b. E risulta:
0)( >∫b
a
dxxf
−
9
Se la funzione integranda è negativa su [a,b] (a<b) allora
∫b
a
dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano in senso algebrico (in quanto negativa) delimitata dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle rette verticali x=a ed x=b. E risulta:
0)( <∫b
a
dxxf
+
Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)Se la funzione integranda non ha segno fisso su [a,b] (a<b) allora l’integrale definito può essere positivo, negativo o nullo.
∫b
a
dxxf )( ? )(∫b
a
dxxf
+
0107.0~1)2arctan(..2
1
1
12
02
>−==
−+∫ dx
x
∫ =π2
0
0)( dxxsen
10
+−
−∫ =π
0
0)cos( dxx
+
−
Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)Può essere pensato come area della regione di piano compresa tra le due funzioni f e g.∫∫ −
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
)2()( −−= xxxf 3
1..)()(
1
0
1
0
==− ∫∫ dxxgdxxf
11
2)( xxg =
Integrale Definito: Condizioni Sufficienti Integrale Definito: Condizioni Sufficienti per la Rper la R --Integrabilità. (1)Integrabilità. (1)
Teorema 3. Se la funzione f è continua su [a,b] allora f è R-Integrabile.
Dim .
Per il teorema di Weierstrass f ammette massimo Mi e minimo mi in ogni intervallino ∆xi .Esistono quindi in ∆xi due punti ti e t*i tali che f(ti)=mi e f(t*i)=Mi . Poiché f è continua, dalla definizione di limite abbiamo:
tftfttse <−⇒<−∃ εδδ )()( : **
12
( ) ( )∑∑ ∆−=∆−=−i
iiii
iii xtftfxmMfPsfPS )()(),(),( *
abtftfttse iiii −
<−⇒<−∃ δδ )()( : **
Facciamo in modo che |P|<δ allora:
( ) εεε =−−
=∆−
<∆−= ∑∑ )()()( * abab
xab
xtftfi
ii
iii
Per il teorema 1 la funzione è R-Integrabile.
Integrale Definito: Condizioni Sufficienti Integrale Definito: Condizioni Sufficienti per la Rper la R --Integrabilità. (2)Integrabilità. (2)
Teorema 4. Se la funzione f è limitata su [a,b] e possiede un numero finito (o al più una infinità numerabile) di discontinuità allora f è R-Integrabile.
Teorema 5. Se la funzione f è monotona (crescente o decrescente) su [a,b] allora f è R-Integrabile.
13
Integrale Definito: Proprietà (1)Integrale Definito: Proprietà (1)
Convenzione0)( =∫
a
a
dxxf ∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
Proprietà di additività
( ) ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
abdxb
a
−=∫
14
additività aaa
Proprietà di omogeneità
( ) Rkdxxfkdxxkfb
a
b
a
∈∀= ∫∫ )()(
Proprietà di linearità
Integrale Definito: Proprietà (2)Integrale Definito: Proprietà (2)
ba se )()( <≤ ∫∫b
a
b
a
dxxfdxxf
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione
∫∫ ≤b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
15
Proprietà di monotonia ⇒≤ b][a,in )()( 21 xfxfse ∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 21
Integrale Definito: Teorema della media integraleIntegrale Definito: Teorema della media integraleTeorema 6 (della Media Integrale o di Lagrange).Si consideri la funzione f continua in [a,b]. Allora esiste almeno un punto c in [a,b] tale che:
))(()( abcfdxxfb
a
−=∫
Siccome f è continua � è R-integrabile.Per il teorema di Weierstrass se m ed M sono il minimo ed il massimo della funzione in [a,b] abbiamo m≤f(x) ≤ M valida per ogni x in [a,b]. Dalla proprietà di monotonia dell’integrale segue::
Dim.
⇒≤≤ ∫∫∫bbb
Mdxdxxfmdx )( ⇒−≤≤− ∫b
16
⇒≤≤ ∫∫∫aaa
Mdxdxxfmdx )( ⇒−≤≤− ∫ )()()( abMdxxfabma
Mab
dxxf
m
b
a ≤−
≤∫
)(
)(
Mkmkab
dxxfb
a ≤≤=−
∫con
)(
)(Il teorema di Darboux assicura che esiste c in [a,b] tale che f(c)=k
)()(
)(
cfab
dxxfb
a =−
∫c.v.d.
Def. Media Integrale
)(
)(
ab
dxxfb
a
−
∫
Integrale Definito: Funzione IntegraleIntegrale Definito: Funzione Integrale
Si consideri la funzione f, R-integrabile su [a,b]. Consideriamo due punti di [a,b] x0 ed x. Costruiamo il seguente integrale definito:
∫x
x
dttf0
)(
Consideriamo la funzione che ad ogni numero x (in [a,b]) associa il numero reale definito dalla relazione precedente: tale funzione è la funzione Integrale di f in [a,b].
17
Def. Funzione Integrale
Sia f una funzione R-integrabile su [a,b] si definisce funzione integrale F di f su [a,b] (con origine in x0)
∫=x
x
dttfxF0
)()(
Integrale Definito: Teorema di Integrale Definito: Teorema di TorricelliTorricelli --BarrowBarrow
Teorema 7 (di Torricelli - Barrow)
Sia f una funzione continua su [a,b]. Allora la funzione integrale F di f su [a,b] (con origine x0) è (continua e) derivabile in per ogni x di [a,b] e vale F’(x)=f(x)
Dim.Si consideri: =−+=∆ )()( xFhxFF =− ∫∫
+ x
x
hx
x
dttfdttf00
)()( =+ ∫∫+ 0
0
)()(x
x
hx
x
dttfdttf
[ ]hx,xchcfdttfhx
x
+∈⋅== ∫+
con )()( Applicando il teorema 6 della media integrale.
18
x
)()(lim)(
limlim)('000
xfcfh
hcf
h
FxF
hhh==⋅=∆=
→→→Per la continuità di f
c.v.d.
In generale si può dimostrare che:Teorema 8Se f è R-integrabile allora F è continuaSe f è continua allora F è derivabileSe f è derivabile allora F è derivabile con derivata continua
La funzione integrale F risulta nelle ipotesi del teorema (continuità di f) una primitiva di f.
Integrale Definito: Teorema fondamentale del Integrale Definito: Teorema fondamentale del calcolo (1)calcolo (1)
Teorema 9 (Fondamentale del Calcolo)
Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia F una sua primitiva , allora:
Dim.Si consideri: ∫∫ ∫ =+=
b
x
b
a
x
a
dxxfdxxfdxxf0
0
)()()(
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫
∫∫ =+−b
x
a
x
dxxfdxxf00
)()(
19
xa a 0
c.v.d.
xx 00
)()( aFbF −=+−= )()( bFaF
[ ] )()(:)()( aFbFxFdxxf ba
b
a
−==∫Convenzione
Integrale Definito e funzioni primitiveIntegrale Definito e funzioni primitive
[ ] )()(:)()( aFbFxFdxxf ba
b
a
−==∫Nota.Gli integrali delle funzioni continue possono essere calcolati con le funzioni primitive (se queste si possono esprimere per via elementare).Se la funzione integranda non è continua ma solo R-integrabile, la primitiva potrebbe non esistere perché, ad esempio, non esistono funzioni derivabili che hanno derivate con discontinuità a salto. Tuttavia può esistere l’integrale.
Es.
20
Es.
≤≤<≤<≤
=3x2per 3
2x1per 2
1x0per 1
)(xf
6321)(3
0
=++=∫ dxxf
Non esiste tuttavia una funzione derivabile in tutto [0,3] che abbia f(x) come funzione derivata
Integrale Definito: Integrazione per partiIntegrale Definito: Integrazione per parti
Teorema 10 [ ] ∫∫ −=b
a
ba
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()('
Es. Calcolare l’area compresa tra l’asse delle x e il grafico della funzione ln(x) tra i punti di ascissa 1 e 2
[ ] =−= ∫∫2
21
2 1)ln()ln( dx
xxxxdxx
21
[ ] =−= ∫∫1
1
1
)ln()ln( dxx
xxxdxx
386.0~1)2ln(2)2ln(22
1
−=−= ∫ dx
Integrale Definito: Integrazione per sostituzioneIntegrale Definito: Integrazione per sostituzione
Teorema 11
∫∫Φ
Φ
=)(
)(
)('))(()(b
a
b
a
dttgtgfdxxf
Siano f:[a,b]�R continua, Φ :[a,b]�R continua,derivabile,con derivata continua e con Φ’(x) ≠0 in [a,b]. Allora se g è la funzione inversa di Φ, abbiamo
)()()()( xarcsenxtsentg =Φ⇒=Es.
22
∫∫ −=−)1(
)0(
21
0
2 )cos()(11arcsen
arcsen
dtttsendxx
)()()()( xarcsenxtsentg =Φ⇒=
40
22
2
)cos()()(cos
2
0
)1(
)0(
2 πππ
=−=
+== ∫ttsent
dttarcsen
arcsen
Area quarto di cerchio di raggio 1
Integrale Definito: Area tra grafici di funzioniIntegrale Definito: Area tra grafici di funzioni
)(xf
)(xg
a
b
[ ]∫ −=b
a
dxxgxfA )()(
∫∫ +=a
b
b
a
dxxgdxxfA )()(
23
∫ ∫∫∫ +++=d
c
a
d
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()( 4321
a b cd
)(1 xf)(2 xf
)(3 xf)(4 xf
Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (1)specie (1)Abbiamo sinora parlato di integrali di funzioni limitate su intervalli limitati [a,b]. Esistono delle estensioni sia per funzioni non limitate che per intervalli non limitati.
Integrazione Funzioni non limitate su intervalli limi tatiIntegrali IMPROPRI di 1 ° SPECIESi consideri f: (a,b]�R non limitata (ad es 1/x in (0,1] ) tale che f sia R-integrabile su ogni intervallo della forma [a+ε,b] e tale che : ±∞=
+→)(lim xf
ax
Definiamo allora:
(*) )(lim)( ∫∫ =bb
dxxfdxxf
24
(*) )(lim)(0 ∫∫
+→ +
=aa
dxxfdxxfε
ε
Se il limite (*) esiste finito allora f si dice integrabile in [a,b] e che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE è convergente
Se il limite (*) è ±∞ allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1 ° SPECIE è divergente
Se il limite (*) non esiste allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1 ° SPECIE non esiste
Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (2)specie (2)Es. Si calcoli: =∫ dx
x
1
0
1
x
1
x
1
[ ] 2 2lim1
lim 1
0
1
0===
++ →→ ∫ εεε
εxdx
x
Es. Si calcoli:=∫ dx
x
1
0
1
[ ] +∞=== ∫1
1
lnlim1
lim εxdx
25
[ ] +∞===++ →→ ∫ 00
lnlimlim εεε
εxdx
x
Es. Si calcoli: =∫ dxxk
1
0
1=
+−=
+−
→→ ++ ∫11
0
1
0 1lim
1lim
εε
εε k
xdx
x
k
k=
+−−
+−
+−
+→ 11
1lim
1
0 kk
kεε
>⇔<+−∞+
<⇔>+−
+−=101 se
101 se 1
1
kk
kkk
Per k≠1
Per k=1 vedi es. precedente. Globalmente:
=∫ dxxk
1
0
1
≥⇔≤+−∞+
<⇔>+−
−101 se
101 se 1
1
kk
kkk
Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (3)specie (3)Analogamente nel caso in cui si abbia: ±∞=
−→)(lim xf
bx
(**) )(lim)(0 ∫∫
−
→ +=
ε
ε
b
a
b
a
dxxfdxxfSi definisce: Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)
Teorema 12
<−=
≥∞+
−−∫ 1k se
)( econvergent
1k se a divergente é
)(
11abdx
axk
b
k
26
<
−−=−∫ 1k se 1
)( econvergent
é )(
k
abdxaxa
k
Vale un risultato perfettamente analogo per:
)(
1∫ −
b
ak
dxxb
L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.
Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (3)specie (3)
Analogamente nel caso in cui si abbia: ±∞=−→
)(lim xfbx
(**) )(lim)( ∫∫−
=εbb
dxxfdxxfSi definisce:
Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)
Teorema 12
<−
−=
≥∞+
−−∫ 1k se
1
)( econvergent
1k se a divergente é
)(
11
k
abdxax
k
b
ak
27
(**) )(lim)(0 ∫∫ → +
=ε
aa
dxxfdxxf
Vale un risultato perfettamente analogo per:
L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.
<−
−=
≥∞+
−−∫ 1k se
1
)( econvergent
1k se a divergente é
)(
11
k
abdxxb
k
b
ak
Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (1)specie (1)
Integrazione Funzioni su intervalli illimitatiIntegrali IMPROPRI di 2 ° SPECIESi consideri f: [a,+∞)�R continua. Poniamo:
)(lim:)( ∫∫ +∞→
+∞
=k
ak
a
dxxfdxxf
Analogamente, se f:(-∞,a]�R continua. Poniamo: )(lim:)( ∫∫ −∞→∞−
=a
kk
a
dxxfdxxf
28
Se f:(-∞,+∞)� R continua. Poniamo:
∫∫∫∫∫∫ +∞→−∞→
+∞
∞−
+∞
∞−
+=+==h
ah
a
kk
a
a
R
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )(lim )(lim)()(:)()(
Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (2)specie (2)Es. Si calcoli: =∫
+∞
dxx1
1 [ ] [ ] +∞=−==+∞→+∞→+∞→ ∫ 22lim 2lim
1lim 1
1
kxdxx k
k
k
k
k
Es. Si calcoli:=∫
+∞
dxx1
1 [ ] [ ] +∞===+∞→+∞→+∞→ ∫ )ln(lim lnlim
1lim 1
1
kxdxx k
k
k
k
k
Es. Si calcoli:=∫
+∞
dxx1
2
1 111
lim1
lim1
lim11
2=
+−=
−=+∞→+∞→+∞→ ∫ kx
dxx k
k
k
k
k
Es. Si calcoli (per n≠1):
29
Es. Si calcoli (per n≠1):
=∫+∞
dxxn
1
1
−−
−=
−=
−
+∞→
−
+∞→+∞→ ∫ nn
k
n
xdx
x
n
k
kn
k
k
nk 1
1
1lim
1lim
1lim
1
1
1
1
>⇔<−
−
<⇔>−∞+=
101 se 1
1
101 se
nnn
nn
=∫+∞
dxxn
1
1
>
−
≤∞+
1 se 1
1
1 se
nn
nPer n=1 vedi es. precedente. Globalmente:
L’integrale converge se la funzione è infinitesima di ordine n>1 altrimenti diverge.
Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (3)specie (3)Es. Andamento grafico
2
1
x
1
30
x
1
Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (4)specie (4)Es. Si calcoli:
=+∫
+∞
∞−
dxx21
1[ ] ==
+∞→−∞→+∞→−∞→ ∫hkhk
h
khk
xdxxf )arctan(limlim )(limlim
[ ] πππ =
−−=−=+∞→−∞→ 22
)arctan()arctan(limlim khhk
31
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)Consideriamo una funzione y=f(x). Sia f una funzione continua con derivata continua in [a,b]. Vogliamo calcolare la lunghezza della curva rappresentata dal grafico della funzione tra i punti di ascissa a e b.
Per incrementi infinitesimi della variabile x ( da x a x+dx) la variabile y ha un incremento dy che possiamo approssimare con dy=f’(x)dx (differenziale). Allora la lunghezza infinitesima della curva dl può essere scritta attraverso il teorema di Pitagora:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 )('1)(' xfdxdxxfdxdydxdl +=+=+=
Ne segue: ( )b
32
Ne segue: ( )∫ +=b
a
dxxflunghezza 2)('1
dx
dydl)( dxxf +
)(xf
x dxx +
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2)Es. Lunghezza Circonferenza ( di raggio 1)
La lunghezza del quarto di circonferenza ( di raggio 1) vale:
21)( xxf −=
( ) ∫∫ −+=+=
1
02
21
0
2
11)('1 dx
x
xdxxfl
21)('
x
xxf
−−=
=−
=−
= ∫∫1
02
1
02
1
1
1
1dx
xdx
x
[ ]2
)0()1()( 10
π=−== arcsenarcsenxarcsen
33
2
Es. Lunghezza Arco di Parabola2)( xxf = xxf 2)(' = ( ) ∫∫∫ +=+=+=
2
0
21
0
21
0
2 12
141)('1 dyydxxdxxfl
478943.1~4
)52ln(52
2
)(1
2
12
0
2 ++=
++=
ySettShyy
Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3)Es. Lunghezza Catenaria ( curva lungo la quale si dispone una fune pesante omogenea, nel campo di gravità, fissata agli estremi).
)()( xChxf = )()(' xShxf =
==+= ∫∫−−
a
a
a
a
dxxChdxxShl )()(1 2
34
aa eeaShaShaSh −−==−−= )(2)()(
Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)
[ ]∫=b
a
dxxfV 2)(πa b
dx
)(xf
[ ] dxxfdV 2)(π=
35
Es. Volume Cono
h
),( RhP ≡xf(x)retta
h
Ry : ==
hRx
h
Rdxx
h
RV
hh2
0
3
2
2
0
22
3
1
3πππ =
=
= ∫
hRV 2
3
1π=
Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Es. Volume Sfera
R
( ) =
−=
−= ∫∫
RR
sfera dxR
xRdxxRV
0
22
0
22 122 ππ
=
=
dxR
dy
R
xy
1
22)( xRxfy −==
36
[ ] 33
1
0
33
1
0
23
3
4
3
22
3212 RR
yyRdyyR ππππ ==
−=−= ∫
Studio Funzione f1Studio Funzione f1
1)(
2
3
−==
x
xxfy
Fare il grafico qualitativo della funzione e calcolare il valore dell’integrale nel tratto
323 ≤≤ x
( )22
22
)1(
3'
−−=
x
xxy
Asintoti verticale : x=-1 e x=1 Asintoti Obliquo : y=x
( )22
2
)1(
32''
−+=
x
xxy
xx3
∫ ∫ ∫ =−
+=−
dxx
xxdxdx
x
x
11 22
3
cxx +−+= 1ln
2
1
22
2
=−∫
32
3 2
3
1dx
x
x
[ ] 35,52
11ln
2
9)]2ln()11[ln(
2
1
2
3121ln
2
1
2
32
3
2
32
3
2
≅+=−+−=−+
x
x
Studio Funzione g1Studio Funzione g1
1−= xey
Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale nel tratto 0≤x ≤ 1
12'
−=
x
x
e
ey
1)1(2
)2(
4
1''
−−−=
xx
xx
ee
eey Flesso per x=ln(2)
Punto a tangente verticale nell’origine
−= et x 1
∫ − dxex 1
+==
−=
dxt
tdx
t
edt
etx
x
2
1
2
12
∫∫∫ =+
=+
=− dtt
tdt
t
ttdxex
1
2
1
21
2
2
2
cee xx +−−−= )1arctan(212
=+−=+
−=+
−+= ∫ ∫∫ cttdtt
dtdtt
t)arctan(22
1
122
1
112
22
2
Studio Funzione g1Studio Funzione g1
1−= xey
Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale nel tratto 0≤x ≤ 1
=−∫1
01dxex [ ] [ ] =−−−= 1
010 )1arctan(2 12 xx ee
[ ] [ ] 0,78 )1arctan(2 12 11 ≅−−−= ee[ ] [ ] 0,78 )1arctan(2 12 ≅−−−= ee
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