integrale: olimpiade si concursuri scolare - mircea popescu · calcula!i calculali calcula!i...
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MIRCEA POPESCU
OLIMPIADE $I CONCURSURI $COLARE
INTEGRALE
Editura SITECH
Craiova,zOLg
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iside CUPRINS
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*u:${J
$L}
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I
:{$usssjs:
M+W*
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licii.
care
aca
ENUNTURI
It = I ffid.x ,x ) o,a ) o,ne N*.1. Calculaii integralele :
2. Calculali :
Determinali :
Si se calculeze :
Sd se calculeze :
_ fsinx(sinx*cosx)Iz= | dx,x€R.- J e-2, + sinz x(Olimpiada localS Alba,2016)
r- f 1I = J Wmffidx ,x € (0. m), n e N* (olimpiada localS Alba,2013)
orul 4. Efectuali:
Sd se calculeze integralele nedefinite :
a) 1 = I;r#;"r" dx si = hrff#o,, dx ,undea,b € R six € D, unde DcReste un
interval pe care sinx * b cosx * 0.
ilt#dx.7. Si se calculeze Jffi-dx, pentru x e Q,|)
^2x I8. Sd se determine primitivele funcliei : (0, m) '+ R,f (x) = " -u
JArr-@+*'
It
3. sd se calculeze : I : l;- t sin2oo'x ,I : J -Y zooz'+t ' sinfos n+cos,oo8 x
4x',
r=I'J"',ftffilax.n
t : l; ln(1 + l3tgx)dx
9. Calculali: I: I:fs#d.10. Calculali :1 = Ilro$*oa* .
1f, ,ort x-cosz1n-t1x1n ---------------- w*
sln rcos r
(Olimpiada localS Alba,2008)
(Olimpiada locald Alba,2008)
(Olimpiada locald Alba,2008)
(Olimpiada localS A1ba,2005, var.1)
(Olimpiada localS Alba,2002)
(Olimpiada judeleani Alba,1999)
{Ol impiada loca 15 Arad,ZOt7)
(Ol i m piada loca 15 Arad,20t2)
\*::..'li
{-\i-.\
si'\5
:t\.*i
lt
I
:
$
(Olimpiada localS Arad,2010) ::
(Ol im piada localS Arad,2003) \6sN
5.
6.
JT3
I11.
t2.(2+sin r)(3+sin x)3
Calcula!i
Calculali
Calcula!i
Calculati
21. Calculati
22. Calculati
Calculali
Calculati
sinx+cosx ---1:_ d.x .e^+acosx
2x+3
13.
L4.
15"
16.
L7.
19.
20.
23.
24.
I
I
L
[1Y*'otaarccos(20 t4x) d.x .
201,4
r1 x+sinfzx)Js .'*z,'*@;ax '
(Olimpiada locali Argeg ,2OL6,Marin Chirciu)
(Olimpiada localS Arges,2016)
(Olimpiada localS Argeg,2O16,e.p.)
(Olimpiada localS Argeg,2013)
(Olimpiada locali Bihor,20L4)
(Olimpiada localS Bihor,2014)
(Olimpiada localS Bihor,2005)
x (x + 7) (x +z) (x+ 3) +2 o 1 sdx,x)0.
18.
rI 4x+1l-13;**dx '
r|t COS4x-cos4a -1.,
-dx.
cos.x-cos a
s5 se calculeze: J% d.x,x ) o.
(Olimpiada locald Arge;,2004,Daniel jinga)
Sd se calculeze: J #gdx,x e (0, *) (olimpiada localS Argeg ,2OO2,varianta3-Costegti)
Sd se calcul "ru
t f'rffi a* . (Ol impiada loca l5 Argeg,2002,va rianta3-Costegti)
Calculali integrala t I = I(#- ffl . cos(ln(x + 1)) dx .
(Oli mpiada loca 15 Bihor,ZO17,G.m.9 / 2016)
t 72x+77I ffidx ,x e (0, m). olimpiada locali Bihor,2016)
:}.*J
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s\t)
*:.*
\:liJ(-)
.:
.\\
N
25. Sd se calculeze 117 1
- J ft-^^^- J _!zooz, +t
26. Calculali :
27. al Calculali :
b) Calculati :
sin2002 x _
-Hr
Sin2O02 y1g632OO2 yw^ '
trra + ew + effi1dx .
I@ + 1)2e*-+ dx ,x € (0. m) .
lrydx.xeR.' x++7
(Olimpiada localS Bihor,2003,Augustin Drigan)
(Olimpiada localS Bihor,1999)
l(#)2 dx,x € (o,m)
(Olimpiada locald Botogani ,2OI7)
rciu)
116)
3.p.)
013)
inga)
:egti)
:egti)
:016)
016)
)14)
0L4)
Oos)
igan)
,999)
30. Calculati :
31. Calculali
32. Calculati
33. Calculali
34. Calculati
a) Calcula!' ,/##*",,ry dx ,x e 1O,i)
b) calcula!i, lrftax.
calculali : a) J ffidx ,x ) o; b) [#a*(Olimpiada localS Botogani ,2OLG)
,x)0
(Olimpiada locald Botogani ,zOtL)
(Olimpiada localS Buziu ,2017)
(Olimpiada localS Buzdu ,2OL6l
(Olimpiada localS Buzdu ,2014)
(Olimpiada localS Buziu ,2}t4l
dx,undea)0,neN*
(Olimpiada localS Buziu ,2013l'
(Olimpiada localS Buzdu ,2072)
(Olimpiada localS Buziu ,20LI)
r x2+2x+3 -J o*,, .inx dx ,x € R.
[ (g*to + 2x7)\lF + t ax .
r 3 sinr+2 cosr .I ---------------:- dx .x € f0.1)." 3 cos x+2 sin r 2'
J(sru + gx\lir + x d"x,x ) o .
xnntegrala : !"' J: X3n+L+y2nt2 qyzn1yn+1,+X7].-1.+7
35. Calculali : a) [ efi dx; b) t .li. "G d.x
36. calculali : Ilrd*oa*..A sinBx+coszx
5a se calculeze : l^, --;-
^ d.X .1+slno r+coso.x
4 ^-2
I-r7;a* '
r sinz x+sin 2r+1 ,
J **o^, *u dx '
Sd se calculeze : J -J-dx
.x ) 0
(Olimpiada localS Buziu ,2008)
(Olimpiada locali Buziu ,2005)
(Olimpiada localS Buziu ,2003)
(Olimpiada localS Buziu ,2002)
(Olimpiada localS Bragov,2015,Sorin Stoian)
dx.Disculiedupa aER.
$
(.is{*:
s$*
sj*i*\
"::$:.*i{-\
t
::
N$
s
37.
38.
39.
40.
42.
Si se calculeze
Si se calculeze
Calculali :
Calculali :
2x+5
17 x2+3xli
-dx
,x > -1 . (Olimpiada localS Bragov,20L6,loana Masca,e.p.)
r 2x*5lffidx,undea>'J"
'.oL7l43. Calculali : J (x - z) (x - z) (x + z) (x + s) + a
(Olimpiada locali Bra;ov ,2013, Mihaly Bencze)
10
44. Calculati
45. Calculali
46. Calculali
47. Calculali
48. Calculali
49. Calculati
50. Calculati
'11+^11I z ^ ' )*11 JGE=irTryw^ '
E[m].t#la-.(olimpiadalocal5Bragov,2o!!,loanaMasca)
r 2*sinx2 x2 -
I ---------' xe z d,x-" I+cosxz
Ilrr'"orrtg(ex) d.x .
(Olimpiada locald Bragov,2}I2,Gabriela Boeriu)
(Olimpiada localS Brapov,2008,e.p.,Gabriela Boeriu)
(Olimpiada localS Bragov,2007,Traian Dutd,e.p.)
(Olimpiada local5,Bucuresti,2013)
i.\: 54.i\{-\
*-* 55.*.i,*r
):.\\
. -.56.\\\\ -.r\r"\\\\\-.]]i. .'::'
ff x[sinz (sin x) * cos2 (cos x)l dx. (olimpiada locald Bragov ,2001)
Ilrxto" ln(1 + ex) d.x (olimpiada locali Brdila,2016,catdlin pand)
I#:#dx,xr(h,:)(Olimpiada localS Briila,20L5,Narcis Gabriel Turcu)
51. a) calculati , Il#sinx * fficosxl dx,x e (-1,oo).
b) calculali t [lGhf (x) + #g@ldx,x € (-1,oo), unde f ,g , (-!,*) * R
sunt funclii derivabile cu f '(x) = g(x)st g'(x) : -f (x),(V)r e (-1, *).
(Olimpiada locald Brdila,20L4,Adela Dimov)
52. Sd se calculeze t = I*ri,,;i=*,i"F d.x,x e R .
Ol im piada loca 15 Brd i|a,2009,G.m.12/2006)
s3. si se calculeze' j##-f# d.x,x e e,I).
Olimpiada localS Brdila,2008,Marius perianu)
Calculali , I#sinxd.x.7t
Si se calculeze, lI ,.(#* ln(sin x)) dx .
(Olimpiada locald,Bucuregti,20l_0,Cristian Alexandrescu)
Calculati :Jtn1f *x]-xaldx,xe R. (Olimpiada loca15,Baciu,2013, e.p.)
rriu)
sca)
rriu)
e.p.)
:001)
'ani)
.rrcu)
l0o6)
ianu)
ro13)
escu)
e.p.)
57.
58.
59.
Sd se calculeze: I : t #dx ,x € (0, m)
calculali , I = I #-or,x G (0, oo) (olimpiada localS Arge9,2007,gtefan Tudosie)
si se calculeze: [ ##dx ,x e (0, oo) (olimpiada locali,Bucure9ti,2003, LV.Maftei)
si se carcureze : a) tl1ffif dx ; b) I!,.,.,. a*
(Olimpiada loca 15, Bucuregti,2002, Ma rcel Chirita)
-.fi
1.T.
(Olimpiada local5,Bistrita,2008)
(Olimpiada local5,Bucuregti,2001, Virgil Nicula)
dx ,x e (0, oo).
:\
*\t:t)t*:
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"::{:.,*.:\-i
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:
N-Nil:t, -t:i::..:,!!r..,
67.
68.
)v)
Calculati : J' J (x + z) (zx + z) (z x + +) (ox + s) + 20 t7
(Olimpiada locald,Constanla,2017)
Calculali , I Fhdx ,x € (0, co)
(Olimpiada local5,Cluj,2016,e.p.Simona Maria Pop)
Folosind eventual egalitatea ; arctg x * arctg :=:pentru x ) 0, calculali :
qffidt ,x > 0 . (olimpiada locali,carag severin,2015,e.p.)
calculali : a\lffia*; a1 1J:Zax
(Olimpiada localS,Constanla,2015,Cristina Homentcovschi)
65. Dacd x € (0, m) , calculali :
(Olimpiada local5,Cil5ragi,20L4)
(Olimpiada locald,Cluj,2014,llie Diaconu)calcutali , t: I!ffidr.Calculali : a) J arcsin(sin x) dx ,x e (0,n);
61. SAsecalculeze:A= [JTg.dx gi B = Irfctgxd.x,xee,:).
Lzx+77
L2
69. a)
b)
72.
73.
70. Calculali
71. Calculati
Calcula!i
Calculati
74. SE se calculeze
75. S; se calculeze
75. S5 se calculeze
77. Se se calculeze
Sd se calculeze
x2oro arccos?}l}x d"x .
Ul I.r".uffirr..=t-dx,xlA. (olimpiadalocali,Covasna,20l-4)
Aratali cd arctg A - arctg B = arctg ,.!-* ,(V),4,8 € R .
Determina!i [: -+::+- dx.w arctg -F_r*,(Olimpiada locali,Carag Severin,201_3)
I = [ #Ad.x ,x. (o,l) ,a ) 09i n € N* (otimpiada tocatd,ctuj ,20tgl
,!t aTctg xl^'-?-d'x. (olimpiadarocard,constan\a,2012.Gabrielrorgurescu)'u arctg ..r-;.,
Ii a#-*ra. (olimpiada locatd,constanla,2011")
r:l{'#!#fdx,undea>0.
1
120'toJt-,010
(Olimpiada locals,Cluj ,zOtL, llie Diaconu)
(Olimpiada locals,Cluj ,ZOLO, tlie Diaconu)
l.I
$.i
$\-
$s\" 78.{il\"\\"!
':\79.
K*$
al I: arcsin(sin x)dx, al tfrji#or.
a)/: tlrffa, ; b) 1
(Olimpiada local5,Covasna,201_0)
= /(1 * x -|)t.*i d.x ,x e (0, m).
(Olimpiada local5,Covasna,2009)
t = I#earctsx d.x,x e R.
(Olimpiada locals,Carag-Severin,2009)
t=[Wdx,ne N,n]z,x e R.
(Olimpiada local5,C5l5rasi,2009)
calculali , f #d.x,ne N,n)2,xeR' " (7+2'1n+
(Ol im piada loca l5,Cil5 rapi,2009,G .m.9 /2007)
13
r014)
:013)
013)
)scu)
1011)
:onu)
:onu)
201o)
zooe)
200s)
2ooe)
80.Fienumerelerealek,a,bcuk>max(-a,-b).Calcula!i:Jo1ffio-'
(Concursul centrelor de excelenla din Moldova,30mai 2009,1on Bursuc)
81. calculati :1= tlrp;ftqa*.(Concursul interjudelean de matematicS"Grigore Moisil", edilia a-V-a,30 ian.-1" febr. 2009,G.m.)
82. $ se calculeze integrala , i-Ury O* .
(Concursul interjudelern O. l'r.t"matic5"speranle Rdmnicene",Rdmnicu 55rat, 25 apr.2009)
83. calculali :a) 1 = I#d"x,xe (0,oo) ; b) I = I+#l dx,xe1o,i)
(Olimpiada local5,Cluj ,2OO7, tlie Diaconu)
- y6n+284. Calculali I J fr+ddx ,n € N
(O I i m pia da loca I d, Co n s tanla,2OO7,G igel Buth,G. m.4 / 2006))
85. s; se catculeze ,I = I ffi a. .
(Concursul "lon Barbu-Dan Barbilian", CilSragig-11 dec. 2006)
86. calculali : a) I Edx,x ) 0 ; b) I#m)2 d"x,x > o.
(.:5
u::\IJ
d:t*r
(Olimpiada localS,Constanla,2002,Gheorghe Andrei)';;.
87. sd se calculeze : t xzex-LJ ffi?dx ,x > 0 .(olimpiada locald,Constanla ,20o2,cdt;lin 26rnd)
'x
88. Calculali :[:l#d.x,xe (0,]);
(Olimpiada localS,Constanla,2001)
*
{}:
Itz: I.,.""-t Wdx ,x. (o,l)
89. Calculali :1: I*$*Ydx,xER.
f @.-11e0. calculati : ! ffi7 dt .
(Olimpiada localS, Dolj,2017) s$$J
:.
(Olimpiada locali, Dolj,201-5,e.p.)* *N$\'*,l::. \' ..9i42007)
92.
93.
1.4
91. Calculati
Calcula!i
Calculati
94. S; se calc
95. Calculati
r = It;#,aqa* I : # -].---- a* .-; slnrsln(x+;J
/ sin r ' cos x ' cosZx. ... .. cos 22073x dx .
1f; arctg xt -- nry.ln 1 wL '" arcto" 2xz-x+2
uleze / = $ ".f;fu* ln(sin x)) dx .
(Olimpiada locald, Bucuregti,20L0,Cristian Alexandrescu)
a)1 = I:V+frdx,a e R ; b) r = fiffi.,,,,ar.
(Olimpiada locali, D6mbovila,2OL3)
(Olimpiada locali, Dolj,20L3)
(Olimpiada locald,Constanla,2012)
(Olimpiada locall, D6mbovila ,2OOg, Cilin Burdusel)
96. Si se calculeze integrala , I md.x ,x € (0, m), q. e R .
(Olimpiada locald, Dolj,200g,Constantin Cristian Dinu)
e7. catcutati : a) f: ,*dt ; b) ti *0.(Concursul nalional de matematicd aplicatd : "Adolf Haimovici,,, etapa judeleand,
7 martie 2009,profilul gtiinfe)
98. sA se catcuteze , I *#. sin x dx , x. (o,i )
(Concursul interjudelean de matematicd ,,Sinus,,, 2O0g)
i "' calculali , f'-#*; d.x ,n E N . (olimpiada localS, D6mbovila,2008, cdlin Burdusel)
.' 100. Fie 1 = (O,I) Sd se calculeze primitiv a, I=#* d"x ,x € L:: \ '+/--- '- r ex coslx+f)+r w^ ,e ! ' t
{:..
tl (olimpiada locali, Dolj,2008):5 r0r. Fie a ) 1. Calculali integrala : I(a): I{yYa*.
a-'
N (Concursul de matematicS "Cezar lvdnescu",Tirgovigte,15.03.200g,G.m.)"i:l:::,:::;l'
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