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Alejandro Vera Trejo
INTERÉS COMPUESTO
Se manejarán los factores que intervienen
en el modelo de interés compuesto
aplicándolos en el planteamiento y
resolución de problemas.
Se solucionaran situaciones reales a
través de casos concretos que conlleven a
la deducción de lo que representa el
modelo de interés compuesto. Se
platearán y solucionarán ejercicios sobre
el cálculo del monto compuesto, tasas
nominales y efectivas, así como la
ecuación de valor.
Objetivo
¿Qué es el interés compuesto?
Es la operación financiera en la cual el
capital aumenta al final de cada periodo
por adición de los intereses vencidos.
Una transacción trabaja a interés
compuesto cuando el capital inicial y los
intereses generados en cada periodo
ganan intereses en periodos
subsiguientes.
El interés compuesto es el interés
devengado por el principal al final de un
período y que devenga interés en el
período o períodos subsiguientes.
El interés compuesto se deduce de la
siguiente manera:
VF =VA + VAi = VA(1+i)
Donde VF es el monto o valor futuro al
final de periodo e incluye el Capital VA o
valor inicial más los intereses
devengados por el capital en el periodo
VAi.
Si al final del periodo ni el capital ni los
intereses se retiran, al final del segundo
periodo de tendrá que el nuevo monto es:
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
VF2 = VA(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i)2
Si al final del segundo periodo sucede lo
mismo que en el primero. Al final del
tercer periodo se tendrá.
VF3 = VA(1 + i)(1 + i)(1 + i) = VA(1 + i)3
Generalizando para n periodos de
composición se tiene que la formula
general de interés compuesto está dada
por:
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
VF = VA(1 + i)n
Donde:
VF = Monto o Valor Futuro
VA = Capital o Valor Inicial
i = Tasa efectiva
n = número de periodos
periododelDías
InversiónladeTotalPlazon
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
Supóngase que se depositan $1,000 en
una cuenta bancaria que paga el 0.5% de
interés compuesto mensualmente ¿Cuál
es el monto al final de año y medio?
VF = VA (1+i)n
VF = 1,000 (1+ 0.005)18
VF = 1,000 (1.005)18
VF = 1,000 (1.093929)
VF = $1,093.9289
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
Si se invierten $10,000 a una tasa del
12% anual capitalizable mensualmente,
durante 90 días ¿Cuánto se genera de
intereses?
VF = VA (1+i)n
VF = 10,000 (1+ (0.12*30/360))(90/30)
VF = 10,000 (1+ 0.01)(90/30)
VF = 10,000 (1.030301)
VF = $10,303.01
I = VF-VA = 10,303.01-10,000 = $303.01
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
El Banco ofrece a un ahorrador una tasa
de 10% de interés capitalizable
semestralmente. Si el ahorrador deposita
$2,000.00 el 1 de enero de 2010, y no
hace movimientos en su cuenta ¿Cuánto
tendrá el 1 de enero de 2012?
VF = VA (1+i)n
VF = 2,000 (1+ 0.1)4
VF = 2,000 (1.1)4
VF = 2,000 (1.4641)
VF = 2,928.20
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
Con los datos de ejercicio anterior,
calcular el plazo de inversión.
VF = VA (1+i)n
2,928.20 = 2,000 (1+ 0.1)n
Aplicando logaritmos en ambos
miembros de la ecuación.
log (VF) = log VA(1+i)n
log (VF) = log VA + n log(1+i)
n=(log (2928.20) – log (2000))/log(1+0.1)=4
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
Se desea encontrar el plazo n que se
requiere para obtener un monto M de
$8,161.18 con un capital C de $5,800 y
una tasa de interés anual del 5%. Sea
M = C (1+i)n
Aplicando logaritmos en ambos
miembros de la ecuación.
log (M) = log C(1+i)n
log (M) = log C + n log(1+i) n=(log (8161.18) – log (5800))/log(1+0.05) = 7
¿Cómo se obtiene el interés compuesto?
Si un capital invertido a interés
compuesto se capitaliza cada año, el
monto compuesto al final del primer año
es igual al interés simple a un año.
Sin embargo, si la capitalización se
efectúa más de una vez al año; el monto
compuesto al final de un año es mayor
que el obtenido por interés simple.
Cuando esto sucede se puede determinar
una tasa efectiva de interés.
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito
bancario de $10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable
mensualmente?
M = 10,000 (1 + (0.20/ 12))12 = 12,193.90
I = 12,193.9 – 1,000 = 2,193.9
Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%
De aquí se puede deducir que la tasa efectiva es:
Tasa Efectiva = [(1 + i)n – 1]
Tasa Efectiva = [(1+(0.20/12))12) -1]
Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %
A una tasa nominal del 20%, se recibe una tasa efectiva del 21.94%.
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se
recibe de un depósito bancario de $1,000
pactada a 18% de interés anual capitalizable
mensualmente?
Tasa efectiva = [(1+i)n – 1]
Tasa efectiva = [(1+(0.18/12))12)-1]
Tasa efectiva = 19.56%
Intereses = C [(1+(0.18/12))12)-1]
Intereses = $1,000 [(1+(0.18/12))12)-1]
Intereses = $ 195.6182
Lo que significa que a tasa nominal del
18%, el inversionista ganó la tasa efectiva
de 19.56%
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva que se
paga por un préstamo bancario de $250,000
que se pactó a 16% de interés anual
capitalizable trimestralmente?
Tasa efectiva = [(1+i)n – 1]
Tasa efectiva = [(1+(0.16/4))4)-1]
Tasa efectiva = 16.98%
Intereses = C [(1+(0.16/4))4)-1]
Intereses = $250,000 [(1+(0.16/4))4)-1]
Intereses = $42,464.64
Lo que significa que a tasa nominal del
16%, el banco ganó la tasa efectiva de
16.98%
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Se dice que dos tasas son
equivalentes cuando operando de
manera diferente arrojan el
mismo resultado. Una tasa puede
capitalizar mensualmente y la otra
semestralmente, o bien en forma
trimestral y la otra en forma anual
etc.
Cuando sucede que dichas tasas con
capitalizaciones diferentes arrojan el
mismo interés, se está en presencia
de una tasa equivalente.
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: Un inversionista deposita 10,000 USD a una tasa de interés
del 8% anual convertible trimestralmente durante un año.
M = 10,000 [(1 + 0.08/ 4)4] = 10,824.32
Tasa nominal = ([(10,824.32/10,000)(1/4)]-1)4 = 0.08 ó 8%
Tasa efectiva = [(10,824.32/10,000)1]-1 = 0.082432 ó 8.2432%
Tasa Equivalente
M = 10,000 (1 + 0.08/ 4)4 = 10,824.32 Con Tasa Nominal
M = 10,000 (1 + 0.082432)1 = 10,824.32 Con Tasa Efectiva
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: Hallar la tasa
equivalente que iguala una tasa
capitalizada bimestralmente a una
tasa nominal del 36%
Se plantea la ecuación
capitalizando ambas tasas durante
un año.
(1+j/6)6 = (1+0.36)1
j = [((1+0.36)1)1/6-1]6
j = 0.315499 ó 31.5499%
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
Ejemplo: Hallar la tasa compuesta
trimestralmente que equivale a
2.5% mensual.
Se plantea la ecuación
capitalizando ambas tasas durante
un año.
(1+j/4)4 = (1+0.025)12
j = [((1+0.025)12)1/4-1]4
j = 0.307563 ó 30.7563%
Tasa Nominal, Efectiva y Equivalente
En el ámbito de las operaciones
financieras un deudor puede desear
remplazar un conjunto de deudas
previamente contraídas con un
determinado acreedor, por otro conjunto
que le sean equivalentes, pero con otras
cantidades y fechas de vencimiento.
Para lograr esto último es necesario
plantear una ecuación de valor.
¿Qué es una ecuación de valor?
Una ecuación de valor es una igualdad
que establece que la suma de los
valores de un conjunto de deudas es
igual a la suma de los valores de un
conjunto de deudas propuesto para
remplazar al conjunto original, una vez
que sus valores de vencimiento han sido
trasladados a una fecha común, llamada
fecha focal o fecha de valuación.
¿Qué es una ecuación de valor?
Un inversionista tiene una deuda que
debe ser saldada en la siguiente forma:
$1,470.00 en este momento y $2,600.00
dentro de un mes. Si desea saldar
completamente su deuda el día de hoy,
¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de
interés es del 35%?
a) Se elabora la gráfica de tiempo y
valor.
¿Qué es una ecuación de valor?
1,470
hoy
X – pago propuesto
2,600
1 mes
c) Se plantea la ecuación de valor.
X = 1,470 + [2,600 / (1+(0.35/12))1]=
X = 1,470 + 2,600/(1.029167)
X = 1,470 + 2,526. 3158 = 3,996.32
Valor de deudas originales = Valor de deudas propuesto.
¿Qué es una ecuación de valor?
b) Se determina la fecha focal que es hoy o mes cero.
1,470
hoy
X – pago propuesto
2,600
1 mes
c) Se plantea la ecuación de valor.
X (1+(0.35/12))2 = 1,470(1+(0.35/12))2 + 2,600(1+(0.35/12))1
1.059184X = 1,470(1.059184) + 2,600(1.029167)
X = (1,557.0052 + 2,675.8333)/1.059184
X= 4,232.8339/1.059184 = 3,996.32 igual que el anterior
b) Supóngase que la fecha focal es en el segundo mes.
2 mes
¿Qué es una ecuación de valor?
Un inversionista debe $5,700 a pagar
dentro de cuatro meses y $7,440 a pagar
dentro de 8 meses. Una negociación con
su acreedor le permitirá pagar mediante
dos pagos de igual cuantía; el primero a
efectuar dentro de 10 meses y el otro al
cabo de un año. ¿Cuál será el pago, si
ambos acuerdan una tasa de interés del
40%?
a) Se elabora la gráfica de tiempo y
valor.
¿Qué es una ecuación de valor?
1 meses
5,700
4 10
7, 440
x
x 8
c) Se determina la ecuación de valor
M1 = 5,700[1+(0.40/12)]8 = 7,409.66
M2 =7,440[1+(0.40/12)]4 = 8,482.71
M3 = X [1+(0.40/12)]2 = X (1.067777)
M4 = X
Ecuación de valor M1 + M2 = M3 + M4
7,409.66 + 8,482.71 = (1.067777) X + X
15,892.37 = 2. 067777 X
X = $7,685.73 se deben hacer dos pagos de esta cantidad.
¿Qué es una ecuación de valor?
b) Se determina la fecha focal en el mes 12 ¿Cuánto debe pagar?
1 meses
5,700
4 10
7, 440
x
x 8
Si la fecha focal es el quinto mes, ¿cuánto debe pagar?
M1 = 5,700[1+(0.40/12)]1 = 5,890
VP2 =7,440 / [1+(0.40/12)]3 = 6,742.98
VP3 = X / [1+(0.40/12)]5 = X (0.848785212)
VP4 = X / [1+(0.40/12)]7 = X (0.794908107)
Ecuación de valor M1 + VP2 = VP3 + VP4
5,890 + 6,742.98 = X (0.848785212) + X (0.794908107)
12, 632.98 = 1.643693319 X
X = $7,685.73 se deben hacer dos pagos por esta cantidad.
¿Qué es una ecuación de valor?
BIBLIOGRAFIA
1. Villalobos José Luis, "Matemáticas Financieras”, 2a Edición
2001 por Prentice Hall.
2. Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera Gómez
“Matemáticas Financieras", Tercera edición 1999 por Mc Graw
Hill Interamericana.
3. Carlos Ramírez Molinares, Milton García Barbosa, Cristo
Pantoja Algarín, Ariel Zambrano Meza “Fundamentos de
Matemáticas financieras”, Universidad Libre Sede
Cartagena Centro de Investigaciones 2009.
Alejandro Vera Trejo
INTERÉS COMPUESTO
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