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1 Processamento de Imagens Médicas
Processamento de Imagens Médicas
Interpolação em imagens
Prof. Luiz Otavio Murta Jr.
Informática Biomédica
Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP)
2 Processamento de Imagens Médicas
• Introdução
• Método de interpolação por vizinhos próximos
• Método de interpolação linear
• Método de interpolação por convolução
• Método de interpolação “Spline”
• Interpolação em duas dimensões
Principais Tópicos
3 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo.
O objetivo concreto é obter uma estimativa ótima para valores de uma imagem em qualquer posição do espaço bidimensional de imagem:
Na prática, a função interpolada deve preservar o máximo de detalhes possíveis sem causar artefatos.
Introdução
2R y)(x, ),,( yxI
4 Processamento de Imagens Médicas
Introdução
Interpolação é o processo de estimar valores intermediários de uma função ou sinal discreto amostrado em posições no espaço contínuo.
5 Processamento de Imagens Médicas
O método de interpolação mais simples possível é o operado pelo arredondamento da coordenada x pelo inteiro mais próximo u0 e usa a amostra em g(u0) como estimativa de g(x).
Interpolação por vizinhos próximos
6 Processamento de Imagens Médicas
Outro método de interpolação simples é a interpolação linear.
Aqui o valor estimado é a soma ponderada dos dois pontos mais próximos g(u0) e g(u0+1), sendo u0=[x].
O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x.
Interpolação linear
)()1()(1)0(
)()1()()()(ˆ
000
0000
uxuguxug
uguguxugxg
7 Processamento de Imagens Médicas
O peso de cada ponto é proporcional à proximidade da posição continua x.
Interpolação linear
)()1()(1)0(
)()1()()()(ˆ
000
0000
uxuguxug
uguguxugxg
8 Processamento de Imagens Médicas
A princípio, o problema de interpolação parece não ter uma solução definitiva, uma vez que dois pontos podem ser interpolado de uma infinidades de trajetórias.
Há uma solução intuitiva se pensarmos em termos de banda de freqüências limitada.
Não podendo conter sinais com freqüências maiores que metade da freqüência de amostragem.
Isto significa que o sinal reconstruído pode conter apenas um conjunto limitado de freqüências definidos pela lei de Nyquist.
Interpolação Ideal
9 Processamento de Imagens Médicas
Se considerarmos a freqüência amostral ωs = 2π , a
máxima freqüência será ωmax = ωs / 2 = π .
Para isolar as freqüências devemos multiplicar o espectro pela janela quadrada o que é o filtro ideal em uma dimensão, cujo correspondente no espaço direto é a função Sinc:
Interpolação Ideal
10 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação Ideal
Espaço direto Espaço de Freqüências
11 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação Ideal
Calculo de valores interpolados:
12 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação Ideal
Se a função continua possui o espaço de freqüências adequadamente
limitado (ωmax = ωs / 2), ela pode ser exatamente reconstruída com
interpolação ideal.
Porem, uma função continua com componentes de alta freqüência, com
transições rápidas como a figura acima (b, c), aparecem artefatos.
13 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação Ideal
A interpolação ideal não é prática porquê:
1. Como vimos ela impõe artefato quando a função contínua não tem a
banda limitada adequadamente.
2. A função Sinc tem extensão infinita, e em tese, seriam necessários
todos os pontos para o calculo do valor interpolado.
14 Processamento de Imagens Médicas
A Solução para os problemas da interpolação ideal é truncar a função Sinc, como uma aproximação dela mesma, uma vez que os lóbulos distantes da função tem influências cada vez menores.
A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica.
Interpolação cúbica
15 Processamento de Imagens Médicas
A função Sinc truncada pode ser aproximada por uma função cúbica.
Interpolação cúbica
2|| para0
2||1 para4||8||5||
1||0 para1||)3(||)2(23
23
x
xaxaxaxa
xxaxa
wcub
16 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação cúbica
interpolação cúbica variando o parâmetro a.
a = 0,25
a = 1
a = 1,75
17 Processamento de Imagens Médicas
Splines
Concepção:
• Splines são construídas como
correspondências ótimas entre funções
discretas e continuas.
18 Processamento de Imagens Médicas
Splines
Definição: uma função s(x) é uma spline polinomial
de grau n com nós ...< xk<xk+1<... Se satisfazem as
seguintes duas propriedades:
• Polinômios por parte.
s(x) é um polinômio de grau n dentro de cada intervalo.
• Função e derivadas continuas.
s(x), s’(x), s’’(x), ... são continuas nos nós.
Graus de liberdade por segmentos:
n+1 - n = 1 Coeficientes polinomiais restrições grau de liberdade
19 Processamento de Imagens Médicas
Base de funções
Expansão B-spline:
Ζk
n k)(xc(k)β=s(x)
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1
2
11,0
>x>
=x,
<x<=(x)β
(x)β(x)β(x)β=(x)βn 000 ...
n+1 vezes
20 Processamento de Imagens Médicas
=
Base de funções
Convoluções
Bases de funções
cada vez mais
extensas
21 Processamento de Imagens Médicas
Extração dos coeficientes
Função continua
(interpolada)
coeficientes Bspline
22 Processamento de Imagens Médicas
Extração dos coeficientes
x
xx
xx
x
x
2,0
21,6
2
10,23
2
3
3
2
3
max
min
max
min
)()(),(),( 33k
kk
l
ll
lykxlkcyxf
23 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação em duas dimensões
vizinhos próximos e interpolação linear
24 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação em duas dimensões
vizinhos próximos, interpolação bilinear e bicúbica
25 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Transformação Deformável
26 Processamento de Imagens Médicas
y
Fixed Image
Transformada
x
y
Moving Image
x
Transformação Deformável
27 Processamento de Imagens Médicas
Transformação Deformável
y
Fixed Image
Transformação
x
y
Moving Image
x
28 Processamento de Imagens Médicas
y
x
Transformação Deformável
29 Processamento de Imagens Médicas
y
x
Transformação Deformável
30 Processamento de Imagens Médicas
Reamostando Imagens
Imagens
Fixas
Imagens
em
Movimento
Transformada
Interpoladoor
Filtro Resamostragem
de Imagens
Imagens
Deformadas
Transformada
BSpline
31 Processamento de Imagens Médicas
Em geral, podemos expressar uma interpolação como uma convolução de uma dada função discreta com uma função contínua que representa o núcleo da interpolação.
Interpolação por convolução
u
uguxwxgwxg )()0()]([)(ˆ 00
32 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação por convolução
vizinhos próximos e interpolação linear
33 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero
34 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero “por partes”
Y = 1
35 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Convolução
-2 -1 1 2 0
36 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Area sobre a curva do produto
-2 -1 1 2 0
37 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
-2 -1 1 2 0
38 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Ordem Um
-2 -1 1 2 0
Ordem Um
-2 -1 1 2 0
39 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Order Um
-2 -1 1 2 0
“por partes”
Y = ( 1 - X ) Y = ( X + 1 )
40 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Convolução
-2 -1 1 2 0
41 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Convolução
-2 -1 1 2 0
42 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Ordem Dois
-2 -1 1 2 0
43 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Ordem Dois
-2 -1 1 2 0
“por partes”
Y = ( X – 3/2 )2 / 2
Y = ( 1 – 2 X2 )
Y = ( X + 3/2 )2 / 2
44 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
-2 -1 1 2 0
Convolução
45 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Convolução
-2 -1 1 2 0
46 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Ordem Três
-2 -1 1 2 0
47 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Ordem Três
-2 -1 1 2 0
“por partes”
Y = ( 3X3 - 6X2 + 4 )/6
Y = (2-X)3 / 6 Y = (2+X)3 / 6
Y = ( - 3X3 - 6X2 + 4 )/6
48 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
Interpolando
com
BSplines
49 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação BSplines
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero Vizinhos mais Próximos
50 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero Vizinhos mais próximos
Interpolação BSplines
51 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero Vizinhos mais próximos
Interpolação BSplines
52 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Ordem Zero Vizinhos mais próximos
Interpolação BSplines
53 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Primeira Ordem
Interpolaçào Linear
Interpolação BSplines
54 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Primeira Ordem
Interpolaçào Linear
Interpolação BSplines
55 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Primeira Ordem
Interpolaçào Linear
Interpolação BSplines
56 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Primeira Ordem
Interpolaçào Linear
Interpolação BSplines
57 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Segunda Ordem Interpolação Quadrática
Interpolação BSplines
58 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Segunda Ordem Interpolação Quadrática
Interpolação BSplines
59 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Segunda Ordem Interpolação Quadrática
Interpolação BSplines
60 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Segunda Ordem Interpolação Quadrática
Interpolação BSplines
61 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Terceira Ordem Interpolação Cúbica
Interpolação BSplines
62 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Terceira Ordem Interpolação Cúbica
Interpolação BSplines
63 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Terceira Ordem Interpolação Cúbica
Interpolação BSplines
64 Processamento de Imagens Médicas
-2 -1 1 2 0
Terceira Ordem Interpolação Cúbica
Interpolação BSplines
65 Processamento de Imagens Médicas
BSplines
BSplines Cúbicas
em
Duas Dimensões
66 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Produto Tensor
67 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Produto Tensor
68 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Separável Produto Tensor
69 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Suporte Nós na Região
de Influência
#Nós = 4N
70 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Interpolação
Grade
BSpline
Grade de
Reamostragem
71 Processamento de Imagens Médicas
BSplines em 2D
Interpolação
Grade
BSpline
Grade de
Reamostragem
72 Processamento de Imagens Médicas
Grade Amostral
y
x
73 Processamento de Imagens Médicas
Grade BSpline
y
x
Grade
BSpline
Resampling
Grid
74 Processamento de Imagens Médicas
Grade BSplines & Grade Imagem
75 Processamento de Imagens Médicas
Grade
BSpline
Grade BSplines & Grade Imagem
76 Processamento de Imagens Médicas
Grade
BSpline
Região
Válida
Grade BSplines & Grade Imagem
77 Processamento de Imagens Médicas
Grade
BSpline
Grade BSplines & Grade Imagem
78 Processamento de Imagens Médicas
Grade BSplines & Grade Imagem
Grade
BSpline
Região
Válida
79 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação BSplines
Interpolando
Vetores
80 Processamento de Imagens Médicas
y
x
BSpline
Grid
Resampling
Grid
Interpolando Vetores
81 Processamento de Imagens Médicas
y
x
BSpline
Grid
Resampling
Grid
X
Compo-
nents
Interpolando Vetores
82 Processamento de Imagens Médicas
y
x
BSpline
Grid
Resampling
Grid
X
Compo-
nents
Interpolando Vetores
83 Processamento de Imagens Médicas
y
x
BSpline
Grid
Resampling
Grid
Y
Compo-
nents
Interpolando Vetores
84 Processamento de Imagens Médicas
Interpolando Vetores
y
x
BSpline
Grid
Resampling
Grid
X
Compo-
nents
85 Processamento de Imagens Médicas
X
Grade
x
Transformada
BSpline
Dimensão N
N
Grade
Y
Grade …..
Z
Grade
Ponto de
Entrada
Ponto de
Saída
Alimentando a Transformada BSpline
86 Processamento de Imagens Médicas
Arranjo de Parâmetros
x
Transformada
BSpline
Ponto de
Entrada
Ponto de
Saída
Alimentando a Transformada BSpline
87 Processamento de Imagens Médicas
Arranjo de Parâmetros
x
x1 x2 x3 x4 x5... y1 y2 y3 y4 y5 ….…. z1 z2 z3 z4….…
x
Transformada
BSpline
Ponto de
Entrada
Ponto de
Saída
Alimentando a Transformada BSpline
88 Processamento de Imagens Médicas
Alimentando a Transformada BSpline
x1 x2 x3 x4 x5... y1 y2 y3 y4 y5 ….…. z1 z2 z3 z4….…
x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3 x4y4z4 …. xNyNzN Entradas
Arranjo de parâmetros
x
Transformada
BSpline
Ponto de
Entrada
Ponto de
Saída
89 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação BSplines
Reamostrando Imagens
Deformação BSpline
90 Processamento de Imagens Médicas
Reamostragem de imagens
Imagens
Fixas
Imagens
em
Movimento
Transformada
Interpoladoor
Filtro Resamostragem
de Imagens
Imagens
Deformadas
Transformada
BSpline
91 Processamento de Imagens Médicas
Interpolação BSplines
Lena Original
92 Processamento de Imagens Médicas
Deformado com Transformada BSpline
Interpolação BSplines
93 Processamento de Imagens Médicas
Lena Original Lena Deformada
Interpolação BSplines
94 Processamento de Imagens Médicas
Co-registro Imagem
Transformada BSpline
Co-registro de imagens
95 Processamento de Imagens Médicas
Co-registro de imagens
Imagem
Fixa
Imagem
Movimento
Métrica
Transformada
Interpolador Otimizador
Arranjo de Parâmetros
96 Processamento de Imagens Médicas
Deformada com Transformada BSpline
Co-registro c/ BSplines Deformável
97 Processamento de Imagens Médicas
Co-registrada com transformada BSplines
Co-registro c/ BSplines Deformável
98 Processamento de Imagens Médicas
Co-registro c/ BSplines Deformável
Lena Original
99 Processamento de Imagens Médicas
Diferença após o
Co-registro
Diferença antes do
Co-registro
Co-registro c/ BSplines Deformável
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