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Introdução à Simulação e Teoria das Filas
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO CAETANO DO SUL
TURMAS BACH- 5 E JOGOS-5
Prof. Mário Fernandes Biague11/04/23 1
Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 2
Definição
A Simulação como ferramenta de suporte à
decisão
Quando utilizar a Teoria das Filas ou a Simulação?
“Uma gama variada de métodos e aplicações que
reproduzem comportamento de sistemas reais,
usualmente utilizando-se de ferramentas
computacionais.”
(Kelton et al., 1998)
Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 3
“Processo de elaboração de um modelo de um
sistema real (ou hipotético) e a condução de
experimentos com a finalidade de entender o
comportamento de um sistema ou avaliar sua
operação”
(Shannon, 1975)
Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 4
“O princípio básico é simples. Analistas constroem
modelos do sistema de interesse, escrevem
programas destes modelos e utilizam um
computador para inicializar o comportamento do
sistema e submetê-lo a diversas políticas
operacionais. A melhor política deve ser
selecionada.”
(Pidd, 2000)
Simulação Introdução
Nos estudos de planejamento é comum depararmos com
problemas de dimensionamento ou fluxo cuja solução é
aparentemente complexa.
Cenário pode ser: Uma Fábrica, o Transito de uma cidade,
um escritório, um porto, uma mineração, etc.
O nosso interesse é saber:
Qual a quantidade correta de pessoas e equipamentos
(sejam eles máquinas, ferramentas, veículos, etc.);
Qual o melhor lay-out e o melhor roteiro de fluxo dentro do
sistema que está sendo analisado, ou seja, desejamos que o
nosso sistema tenha um funcionamento OTIMIZADO E
EICIENTE
Prof. Mário Fernandes Biague11/04/23 5
Simulação
Prof. Mário Fernandes Biague11/04/23 6
Por otimizado entende-se um custo adequado e
que os usuários estejam satisfeitos com o
ambiente ou com o serviço oferecido.
Também diz-se que o sistema ou processo
adequadamente dimensionado está
balanceado.
Modelagem
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 7
Um sistema é um agrupamento de partes que
operam juntas, visando um objetivo em comum.
(Forrester, 1968)
Um modelo pode ser definido como uma
representação das relações dos componentes de
um sistema, sendo considerada como uma
abstração, no sentido em que tende a se
aproximar do verdadeiro comportamento do
sistema.
Processo de Modelagem
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 8
Sistema
Modelo = representação
Tipos de Modelos
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 9
Modelos Simbólicos
Modelos Analíticos
Modelos de Simulação
Modelo Simbólico
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 10
Símbolos gráficos (fluxogramas, DFD, Layouts etc.)Muito utilizado para comunicação e documentaçãoLimitações:
Modelos estáticosNão fornece elementos quantitativos Não entra no detalhe do sistema
Modelo Simbólico: Fluxograma
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 11
Fluxograma do processo de
atendimento de emergências
de uma central do corpo de
bombeiros
Modelo Simbólico: Teoria das Filas
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 12
Modelo Analítico
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 13
Forte Modelagem Matemática (Modelos de Programação Linear, Teoria de Filas, etc)Limitações:
Modelos, na grande maioria, estáticosA complexidade do modelo pode impossibilitar a
busca de soluções analíticas diretasVantagens: solução exata, rápida e, às vezes, ótima
Modelo de Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 14
Captura o comportamento do sistema real
Permite a análise pela pergunta:
“E se...?”
Capaz de representar sistemas complexos
de natureza dinâmica e aleatória
Limitações:
Podem ser de construção difícil
Não há garantia do ótimo
Técnicas de Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 15
Simulação não Computacional
Ex. Protótipo em túnel de vento
Simulação de Acontecimentos
Simulação Computacional
Simulação Estática ou de Monte Carlo
Simulação de Sistemas Contínuos
Simulação de Eventos Discretos
Simulação de Eventos Discretos
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 16
Sistemas dinâmicos: os estados se alteram
com o tempo
Sistemas discretos: os atributos dos estados
só mudam no tempo discreto
Determinística ou Estocástica
Simulação de Eventos Discretos
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 17
Histórico da Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 18
Utilizada na década de 50 com fins militares. Softwares Textuais e Computadores “lentos”. Fortran IV. HW e SW mais poderosos impulsionou a Tecnologia da Simulação. GPSS Popularidade aumentou
principalmente nesta última década.
Utilização de “Simuladores”.
Por que Simular?
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 19
Analisar um novo sistema antes de sua
implantação
Melhorar a operação de um sistema já existente
Compreender melhor o funcionamento de um
sistema
Melhorar a comunicação vertical entre o pessoal
de operação
Confrontar resultados
Medir eficiências
Por que Simular?
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 20
Pela sua posição média, o bêbado está vivo...
Pela sua posição média, o bêbado está vivo...
Quando Simular?
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 21
Problema Ferramentas Resultados
Planilhas
Calculadora
Lápis e Papel
Intuição
MaiorComplexidade
DinâmicaAleatoriedade
MaiorEsforço
Qualidade
Simulação
Áreas de Aplicação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 22
Redes Logísticas Manufatura Terminais: portos, aeroportos, estações
rodoviárias e ferroviárias Hospitais Militar Redes de Computadores Reengenharia de Processos Supermercados, Redes de “Fast Food” e franquias Parques de Diversões Tráfego…
O Método da Simulação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 23
OBJETIVOS E DEFINIÇÃO
DO SISTEMA
MODELO ABSTRATO
MODELO CONCEITUAL (Capítulo 3)
MODELO COMPUTACIONAL
(Capítulo 4)
MODELO OPERACIONAL
RESULTADOS EXPERIMENTAIS
(Capítulo 6)
FORMULAÇÃO DO
MODELO
REPRESENTAÇÃO DO MODELO
IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO
VERIFICAÇÃO E VALIDAÇÃO
(Capítulo 5)
EXPERIMENTAÇÃO DO MODELO
ANÁLISE E REDEFINIÇÃO
DADOS DE ENTRADA (Capítulo 2)
Modelagem
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 24
Estudos de modelagem de sistemas podem
envolver:
Modificações de Lay-Out;
Ampliações de fábricas;
Troca de equipamentos;
Reengenharia;
Automatização;
Dimensionamento de um nova fabrica, etc.
Modelagem
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 25
Para um objetivo o estudo vai procurar definir:
Quantidade atendentes: equipamentos,
ferramentas, veículos, etc;
Pessoas que devem ser colocadas em cada
estação de trabalho;
O melhor lay-out;
O melhor fluxo.
Observação: para dimensionar adequadamente um
sistema o estudo deve dedicar especial atenção aos
gargalos , ou seja, pontos onde ocorrem filas.
Três Etapas da Modelagem
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 26
• Coleta
• Tratamento
• Inferência
Coleta dos Dados
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 27
1. Escolha adequada da variável de estudo
2. O tamanho da amostra deve estar entre 100 e 200 observações. Amostras com menos de 100 observações podem comprometer a identificação do melhor modelo probabilístico, e amostras com mais de 200 observações não trazem ganhos significativos ao estudo;
Coleta dos Dados
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 28
3. Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o fenômeno está ocorrendo, para permitir a análise de correlação ;
4. Se existe alguma suspeita de que os dados mudam em função do horário ou do dia da coleta, a coleta deve ser refeita para outros horários e dias. Na modelagem de dados, vale a regra: toda suspeita deve ser comprovada ou descartada estatisticamente.
Exemplo 1: Filas nos Caixas do Supermercado
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 29
Um gerente de supermercado está preocupado com as filas formadas nos caixas de pagamento durante um dos turnos de operação. Quais seriam as variáveis de estudo para coleta de dados? (S) ou (N).
(N) O número de prateleiras no supermercado(S) Os tempos de atendimento nos caixas(N) O número de clientes em fila (N) O tempo de permanência dos clientes no supermercado
(S) Os tempos entre chegadas sucessivas de clientes nos caixas de pagamento
É resultado!!
Exemplo 1: Coleta de Dados
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 30
11 5 2 0 9 9 1 5 5 11 3 3 3 7 4 12 8 7 55 2 6 1 11 1 2 4 4 22 1 3 9 0 10 3 3 4 51 5 18 4 22 8 3 0 4 48 9 2 3 12 1 3 1 11 97 5 14 7 7 28 1 3 3 42 11 13 2 0 1 6 12 8 1215 0 6 7 19 1 1 9 12 41 5 3 17 10 15 43 2 9 116 1 13 13 19 10 9 20 17 2419 2 27 5 20 5 10 8 728 82 3 1 1 4 3 6 13 12 1210 9 1 1 3 9 9 4 6 30 3 6 3 27 3 18 4 4 76 0 2 2 8 4 5 1 3 14 18 1 0 16 20 2 2 9 32 12 28 0 7 3 18 12 2 13 2 8 3 19 12 5 4 0 36 0 5 0 3 7 0 8 5 8
Exemplo 1: Medidas de Posição e Dispersão
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 31
Medidas de posição
Média 10,44
Mediana 5
Moda 3
Mínimo 0
Máximo 728
Medidas de dispersão
Amplitude 728
Desvio padrão 51,42
Variância da amostra 2.643,81
Coeficiente de Variação 493%
Coeficiente Assimetria 13,80
O 728 é um outlier?c
Exemplo1: Outlier
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 32
Intervalo entre chegadas de pessoas nos caixas do supermercado (100 medidas). Tempos em minutos:
11 5 2 0 9 9 1 5 5 11 3 3 3 7 4 12 8 7 55 2 6 1 11 1 2 4 4 22 1 3 9 0 10 3 3 4 51 5 18 4 22 8 3 0 4 48 9 2 3 12 1 3 1 11 97 5 14 7 7 28 1 3 3 42 11 13 2 0 1 6 12 8 12
15 0 6 7 19 1 1 9 12 41 5 3 17 10 15 43 2 9 116 1 13 13 19 10 9 20 17 24
19 2 27 5 20 5 10 8 728 82 3 1 1 4 3 6 13 12 12
10 9 1 1 3 9 9 4 6 30 3 6 3 27 3 18 4 4 76 0 2 2 8 4 5 1 3 14 18 1 0 16 20 2 2 9 32 12 28 0 7 3 18 12 2 13 2 8 3 19 12 5 4 0 36 0 5 0 3 7 0 8 5 8
Outliers ou Valores Discrepantes
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 33
Erro na coleta de dados. Este tipo de outlier é o mais comum, principalmente quando o levantamento de dados é feito por meio manual.
Eventos Raros. Nada impede que situações totalmente atípicas ocorram na nossa coleta de dados. Alguns exemplos:
Um dia de temperatura negativa no verão da cidade do Rio de Janeiro; Um tempo de execução de um operador ser muito curto em relação aos melhores desempenhos obtidos naquela tarefa; Um tempo de viagem de um caminhão de entregas na cidade de São Paulo, durante o horário de rush, ser muito menor do que fora deste horário.
Exemplo 1: Outlier (valor discrepante)
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 34
Dados
com o outlier
sem o outlier
Média 10,44 6,83
Mediana 5 5
Variância da amostra
2.643,81 43,60
Identificação de Outliers: Box-plot
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 35
0
5
10
15
20
A B C Séries
Valores
mediana
outlier
Q 1
Q 3
Q 1 -1,5( Q 3- Q 1)
Q 3 +1,5( Q 3- Q 1)
Análise de Correlação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 36
0
10
20
30
40
50
0 10 20 30 40 50Observação
k
Observação k+1
Diagrama de dispersão dos tempos de atendimento do exemplo de supermercado, mostrando que não há correlação entre as observações da amostra.
Análise de Correlação
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 37
10
12
14
16
18
20
10 12 14 16 18 20Observação
k
Observação k+1
Diagrama de dispersão de um exemplo hipotético em que existe correlação entre os dados que compõem a amostra.
Exemplo 1: Construção do Histograma
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 38
1. Definir o número de classes:nK 10log3,31
nK
2. Definir o tamanho do intervalo:K
Amplitudeh
3. Construir a tabela de freqüências
4. Construir o histograma
O histograma é utilizado para identificar qual a distribuição a ser ajustada aos dados coletados ou é utilizado diretamente dentro do modelo de simulação.
Exemplo 1: Histograma
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 39
Histograma h=4.8
0
20
40
60
80
100
120
4.8 14.3 23.9 33.4 43
Bloco
Freqüência
Exemplo 1: Inferência
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 40
Histograma h=4.8
0
20
40
60
80
100
120
4.8 14.3 23.9 33.4 43
Bloco
Freqüência
x
f(x)
µ =1 σ=1
µ=1 σ=0,5
x
f(x)
1/λ
x
f (x )
µx
f(x)
a bm
Triangular?
Exponencial?
Normal?
Lognormal?
Qual o melhor modelo probabilístico ou distribuição estatística que pode representar a amostra coletada?
Testes de Aderência (não paramétricos)
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 41
Testa a validade ou não da hipótese de aderência (ou hipótese nula) em confronto com a hipótese alternativa:
H0: o modelo é adequado para representar a distribuição da população.
Ha: o modelo não é adequado para representar a distribuição da população.
Se a um dado nível de significância (100)% rejeitarmos H0, o modelo testado não é adequado para representar a distribuição da população. O nível de significância equivale à probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula H0, dado que ela está correta. Testes usuais:
Qui quadrado
Kolmogorov-Sminov
Teste do Qui-quadrado
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 42
Inf Sup Exponencial Teórica (T) Observada (O) (O-T)̂ 2/ T0 4.8 0.5022 100 96 0.16
4.8 9.6 0.2500 50 55 0.559.6 14.3 0.1244 25 25 0.0014.3 19.1 0.0620 12 13 0.0419.1 1.0E+10 0.0614 12 10 0.40
E 1.15
Confiança 5%3
Valor Teórico 7.81
p-value 0.76
Graus de liberdade
Limites Freqüências
Portanto,não
rejeitamos
a hipótese de que os dados aderem ao modelo exponencial
P-value
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 43
Parâmetro usual nos softwares de estatística. Para o teste do qui-quadrado no Excel, utilizar:
=DIST.QUI (valor de E; graus de liberdade)
Valor Critério
p-value<0,01Evidência forte contra a hipótese de aderência
0,01p-value<0,05Evidência moderada contra a hipótese de aderência
0,05p-value<0,10Evidência potencial contra a hipótese de aderência
0,10p-valueEvidência fraca ou inexistente contra a hipótese de aderência
Distribuições discretas: Binomial
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 44
x
f ( x )
Distribuições discretas: Poisson
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 45
x
f (x)
Distribuições contínuas: Beta
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 46
0 0,5 1x
f(x)
α=2 β=1α=3
β =2
α=4 β=4
α=2 β=3
α=1,5 β =5 α=6 β =2
α=2 β =1
Distribuições contínuas: Erlang
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 47
x
f (x)
λ=0,5 k=3
λ=0,5
λ=0,2 k=10
Distribuições contínuas: Exponencial
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 48
x
f(x)
1/λ
Distribuições contínuas: Gama
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 49
x
f (x)
α=0,
α=1
α=2
Distribuições contínuas: Lognormal
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 50
x
f(x)
µ =1 σ=1
µ=1 σ=0,5
Distribuições contínuas: Normal
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 51
f (x)
µ
Distribuições contínuas: Uniforme
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 52
ba
1/(b-a)
x
f(x)
Distribuições contínuas: Triangular
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 53
x
f(x)
a bm
Distribuições contínuas: Weibull
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 54
x
f(x)
α=0,5 β=1
α=1 β=1 α=2 β=1
α=3 β=1
α=3 β=2
Modelagem de dados... Sem dados!
11/04/23 Prof. Mário Fernandes Biague 55
Distribuição
Parâmetros Características Aplicabilidade
Exponencial
MédiaVariância altaCauda para direita
Grande variabilidade dos valoresIndependência entre um valor e outroMuitos valores baixos e poucos valores altosUtilizada para representar o tempo entre chegadas sucessivas e o tempo entre falhas sucessivas
TriangularMenor valor, moda e maior valor
Simétrica ou nãoQuando se conhece ou se tem um bom “chute” sobre a moda (valor que mais ocorre), o menor valor e o maior valor que podem ocorrer
NormalMédia e desvio-padrão
SimétricaForma de sinoVariabilidade controlada pelo desvio-padrão
Quando a probabilidade de ocorrência de valores acima da média é a mesma que valores abaixo da médiaQuando o tempo de um processo pode ser considerado a soma de diversos tempos de sub-processosProcessos manuais
UniformeMaior valor e menor valor
Todos os valores no intervalo são igualmente prováveis de ocorrer
Quando não se tem nenhuma informação sobre o processo ou apenas os valores limites (simulação do pior caso)
Discreta
Valores e probabilidade de ocorrência destes valores
Apenas assume os valores fornecidos pelo analista
Utilizada para a escolha de parâmetros das entidades (por exemplo: em uma certa loja, 30% dos clientes realizam suas compras no balcão e 70% nas prateleiras) Quando se conhecem apenas “valores intermediários” da distribuição ou a porcentagem de ocorrência de alguns valores discretos
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