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IntroductionLe probleme du pavage par translation

Generation de tuiles carreesDouble Carres

(*) Background from the movie ”Achieving the unachievable”, by Jean Bergeron

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(*) Background from the movie ”Achieving the unachievable”, by Jean Bergeron

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Words and tilings of the plane

Srecko Brlek

Laboratoire de Combinatoire et d’Informatique Mathematique,Universite du Quebec a Montreal,

18 mai 2010

Avec entre autres : les etudiants A. Blondin Masse, A. Garon, S. Labbe, X. Provencal,et aussi

J.-M. Fedou (Nice), M. Mendes France (Bordeaux)

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M.C. EscherPavages d’Escher

Figure: Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

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Figure: Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

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Figure: Pavage hexagonal

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Figure: Pavage hexagonal

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Figure: Pavage hexagonal et carre

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Figure: Pavage hexagonal et carre

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Figure: Pavage purement carre

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Double Squares

Definition (Composition of tiles)

Let P be a polyomino and S be a square. Then the compositionP ! C is the square defined by replacing each unit cell of P by thesquare C

Note : non commutative.A tile is called prime if it is not obtained by composition of twotiles both di!erent from the unit square.

Srecko Brlek PP2009:combinatorics of double squares

Comment reconnaitre une tuile ?Comment generer des tuiles ?

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Double Squares

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Double Squares

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Double Squares

Comment reconnaitre une tuile ?

Comment generer des tuiles ?

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Double Squares

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Code de Freeman

a→ b ↑

a, a, b, b

a← b ↓

a a a a

Note :tout conjugue w ≡ w ′

code le meme polyomino.

wa a a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

a a a a

a a a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

a a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

w = a a

a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a

w = a a a

a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a

b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b

a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a

b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b

a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a

a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a a

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a a b a

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

va a a a

w = a a a a b a b a a b a b

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Code de Freeman

a→ b ↑Σ =

a, a, b, b

a← b ↓

a a a a

w ≡ a a a a b a b a a b a b

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ResultatsAlgorithmesCarres premiers

Pavages

Definition

Un pavage du plan par un unique polyomino P est un ensemble Tde copies translatees de P qui couvre le plan sans chevauchements.

Regulier

∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2

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Pavages

Definition

Regulier

∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2

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Pavages

Definition

Irregulier

6 ∃u, v ∈ Z2, T = Piu+jv |i , j ∈ Z2

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Le probleme du pavage

Probleme

Etant donne une tuile T est-il possible de paver le plan avec descopies translatees de T ?

Reformule en termes de polyominos, ceci devient

Probleme

Etant donne w ∈ Σ∗ qui code le bord d’un polyomino P,est-il possible de paver le plan avec des copies translatees de Psans chevauchements ?

Complexite : soit n = |w | la longueur de w .

Borne inferieure : Ω(n)Borne superieure : ? ? ?

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Probleme

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Probleme

Borne inferieure : Ω(n)

Borne superieure : ? ? ?

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Probleme

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Wijshof et Van Leeuven (1984)

Wijshof et Van Leeuven

Irregulier =⇒ Regulier

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Wijshof et Van Leeuven

Irregulier =⇒ Regulier

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Beauquier et Nivat (1991)

Caracterisation : Un polyomino P pave le planpar translation si et seulement s’il existeX ,Y ,Z ∈ Σ∗ tels que

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·

X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·

X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b

X = b a b a b a at

51 / 121

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

52 / 121

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

53 / 121

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

54 / 121

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

55 / 121

w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a a

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

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w ≡ XYZ X Y Z .

· = · ·X = a a b a b a b t 6

X = b a b a b a at

Deux mots u, v tels que u = v sont dits homologues.69 / 121

Remarque : ceci confirme simplement qu’il n’y a que deux tuiles debase permettant de paver par translation, a savoir,

hexagones et carres(((PPPP

(((PPPP

Z(((PPPP

(((PPPP

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(((PPPP

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(((PPPP

Z(((PPPP

(((PPPP

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(((PPPP

Z(((PPPP

(((PPPP

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Detection des tuiles carrees qui pavent

Soit w le bord de P avec |w | = n.

Naıvement : O(n4) [Wijshof et Van Leeuven (1984)]

O(n2) en utilisant la caracterisation de Beauquier-Nivat[Gambini et Vuillon (2007)] .

O(n) optimal [B., Provencal (2006)] en utilisant :

1. caracterisation de Beauquier-Nivat ;

2. calcul des Plus Longues Extensions(Gauches et Droites) Communes adeux mots en temps constant[Lothaire (2005)] a l’aide d’unpre-traitement lineaire de w pourconstruire son arbre suffixe [Gusfield(1997)]

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Definition (Composition de tuiles)

Soit P un polyomino et S une tuile carre. La composition P S estle carre obtenu en substituant chaque cellule de P par le carre S.

Double Squares

Note : non commutative.Une tuile est dite premiere si elle n’est pas la composition de deuxtuiles toutes deux differentes de la cellule unite.

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Double Squares

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Double Squares

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Double Squares

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Double Squares

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Exhaustive et force bruteForce moins brute

pour chaque n pair, generer les polyominos de longueur n ;

verifier s’ils satisfont la BN-factorisation.

En voici quelques exemples

n = 20

Premier :

n = 24Composes :

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n = 20

Premier :

n = 24Composes :

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n = 20

Premier :

n = 24Composes :

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...... Tuiles ......

n = 30

Composes :

Pavages−→

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...... Tuiles ......

n = 30

Composes :Pavages−→

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Generer 2 chemins auto-evitants A,B de longueur n,m :

1. generer un chemin de longueur n : O(n)2. verifier s’il s’intersecte : O(n)

Note : les deux etapes peuvent etre combinees

Verifier que le mot final ABAB est auto-evitant ;

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Generation des doubles carresTuiles de ChristoffelTuiles de Fibonacci

Observations :

Une tuile peut avoir plusieurs factorisations distinctes

Une tuile peut avoir a la fois une factorisation hexagonale etune factorisation carree.

Definition

On appelle carre pur une tuile ayant uniquement des factorisationscarrees.

Des calculs et experimentations suggerent l´enonce suivant :

Conjecture (de Biot 2007 : B., Dulucq, Fedou, Provencal )

Un carre pur possede au plus deux factorisations distinctes.

Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.

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Observations :

Definition

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Observations :

Definition

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Qu’en est-il des tuiles premieres ?

Observation : le bord des doubles carres premiers possedent debelles symetries.

Si w ≡ XY X Y , alors

X ≡ a b a b a b a b a b a b a

un palindrome !

Cela suggere la propriete suivante

Conjecture (Provencal, 2008)

Soit w le contour d’un double carre premier. Si w ≡ XY X Y alorsX et Y sont des palindromes.

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un palindrome !

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un palindrome !

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un palindrome !

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un palindrome !

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un palindrome !

96 / 121

un palindrome !

Demontree en fevrier 2010 par A. Blondin Masse, A. Garon et S. Labbe.97 / 121

Faux pour des tuiles non premieres :

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..... quete des double carres....

En resolvant des equations du type

ABAB ≡ XY X Y

ll est possible de generer

4 A. BLONDIN MASSE, S. BRLEK, AND S. LABBE

Finally, reflections on A! are easily described on M!.

Lemma 4. Let w ! A!. There exists i ! 0, 1, 2, 3 such that !w = !i(w) if andonly if !w is a palindrome.

In his thesis [8], the author proposed a conjecture that prime double squareshave a palindromic symmetry on their sides. We have not been able to found acounterexample and used that property to exhaustively generate these tiles. Hereare some examples.

This leads to a number of questions on the “arithmetics” of tilings, such as theunique decomposition, distribution of prime tiles, and their enumeration. Usingthe symmetry properties that double square must satisfy we have obtained tworemarkable families of tiles, namely the Christo!el and Fibonacci tiles (see [2]). Asan example we provide a family of tiles linking the Fibonacci and the Pell sequences.

2. Fibonacci snow flakes

We define a sequence (qn)n"N in M! by q0 = ", q1 = r and

(5) qn =

"qn#1qn#2 if n " 2 mod 3,

qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.

whenever n # 2. The first terms of (qn)n"N are

q0 = " q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr

Note that |qn| = Fn is the n-th Fibonacci number. Moreover, given # ! A, thepath "!qn presents strong symmetric properties, as shown by the next lemma.

Lemma 5. Let n ! N. Then q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, and some palindromes q, r and some letter # ! l,r.Proof. By induction on n. For n = 0, we have indeed q1 = " · r, q2 = " · r andq3 = r · l. Now, assume that q3n+1 = p#, q3n+2 = q# and q3n+3 = r# for someantipalindrome p, some palindromes q, r and some letter # ! l,r. Then

q3n+4 = q3n+3q3n+2 = q3n+2q3n+1q3n+2 = q#p#q · #

q3n+5 = q3n+4q3n+3 = q3n+3q3n+2q3n+3 = r#q#r · #

q3n+6 = q3n+5q3n+4 = q3n+4q3n+3q3n+4 = q#p#q#r#q#p#q · #.

une infinite de telles tuiles :stockage optimal, autoassemblant de deux manieresdistinctes ....

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ABAB ≡ XY X Y

(5) qn =

qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.

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ABAB ≡ XY X Y

(5) qn =

qn#1qn#2 if n " 0, 1 mod 3.

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DGCI2009

Soit B = a, b. On definit un morphisme λ : B∗ → F∗ by

λ(a) = abab;λ(b) = ab.

Deux proprietes de λ sont les suivantes

Soit v , v ′ ∈ B∗. Alors

(i) bλ(v) est un palindrome si et seulement si v est unpalindrome.

(ii) λ(v) ≡ λ(v ′) si et seulement si v ≡ v ′.

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DGCI2009

Soit B = a, b. On definit un morphisme λ : B∗ → F∗ by

λ(a) = abab;λ(b) = ab.

Deux proprietes de λ sont les suivantes

Soit v , v ′ ∈ B∗. Alors

(i) bλ(v) est un palindrome si et seulement si v est unpalindrome.

(ii) λ(v) ≡ λ(v ′) si et seulement si v ≡ v ′.

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Definition

On appelle tuile lineaire un polyomino dont le mot de contour estλ(w)λ(w) ou w = avb et v ∈ Pal(B∗).

Une tuile lineaire est un carre puisque

λ(w)λ(w) = ababλ(v)abababλ(v)ab ≡ bab·abλ(v)a·bab· abλ(v)a.

Une tuile lineaire est dite Christoffel si elle est obtenue d’un motde Christoffel inferieur w .

Figure: Tuiles de Christoffel : (a) w = aaaab (b) w = abbbb et (c)w = aabaababaabab.

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Definition

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Definition

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Theoreme

Soit P une tuile lineaire. Alors P est un double carre si etseulement si P est une tuile de Christoffel.

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On definit une suite (qn)n∈N dans r, l∗ par q0 = ε, q1 = r et

qn−1qn−2 si n ≡ 2 mod 3,

qn−1qn−2 si n ≡ 0, 1 mod 3.

Les premiers termes de (qn)n∈N sont

q0 = ε q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr

Remarque : la longueur de ces mots est donnee par la suite deFibonacci :

|qn| = F (n)

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On definit une suite (qn)n∈N dans r, l∗ par q0 = ε, q1 = r et

qn−1qn−2 si n ≡ 2 mod 3,

qn−1qn−2 si n ≡ 0, 1 mod 3.

Les premiers termes de (qn)n∈N sont

q0 = ε q3 = rl q6 = rllrllrrq1 = r q4 = rll q7 = rllrllrrlrrlrq2 = r q5 = rllrl q8 = rllrllrrlrrlrrllrllrr

Remarque : la longueur de ces mots est donnee par la suite deFibonacci :

|qn| = F (n)

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Soit n ∈ N et α ∈ a, b, a, b.(i) le chemin qn est auto-evitant.

(ii) le chemin (q3n+1)4 est le mot de contour d’un polyomino.

Figure: Tuiles basiques de Fibonacci d’ordre n = 0, 1, 2, 3, 4.

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Un pavage......

Figure: un pavage avec un polyomino de Fibonacci.

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Un resultat combinatoire ......

Le perimetre des tuiles de Fibonacci est donne par 4F (3n + 1)tandis que leur aire A(n) satisfait les formules inductives

A(0) = 1, A(1) = 5;A(n) = 6A(n − 1)− A(n − 2), pour n ≥ 2,

dont les premiers termes sont

1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109, 38613965, . . .

Cette suite est la sous suite d’indices impairs des nombres de Pell

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, . . .

definis par

P(0) = 0,P(1) = 1; P(n) = 2P(n − 1) + P(n − 2), pour n > 1.

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Problemes

treillis hexagonal ?

enumeration de nouvelles classes de polyominos

description de la structure de “poset” deduite de lafactorisation en tuiles premieres

etude des parametres : perimetre, aire, etc...

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Problemes

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Problemes

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References

1 A. Blondin-Masse, S. Brlek, S. Labbe, M. Mendes France, Fibonacci snowflakes, Special Issue dedicated toPaulo Ribenboim, Annales des Sciences Mathematiques du Quebec (2009) To appear

2 A. Blondin-Masse, S. Brlek, A. Garon, S. Labbe, Equations on palindromes and circular words, TheoreticalComputer Science (2010) (Submitted)

3 A. Blondin Masse, S. Brlek, and S. Labbe, Combinatorial aspects of Escher Tilings, FPSAC 2010, 22ndInternational Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (August 2-6, 2010, SanFrancisco, USA)

4 A. Blondin Masse, S. Brlek, A. Garon and S. Labbe, Every polyomino yields at most two square tilings, 7thInternational Conference on Lattice paths combinatorics and applications (July 4-7, 2010, Siena, Italy)

5 A. Blondin Masse, S. Brlek, A. Garon and S. Labbe, Christoffel and Fibonacci Tiles, DGCI 2009, 15thIAPR International Conference on Discrete Geometry for Computer Imagery (September 30 - October 22009, Montreal, Canada) Springer LNCS 5810 (2009) 67–78

6 S. Brlek, J.-M Fedou, X. Provencal, On the Tiling by Translation Problem, Discrete Applied Mathematics157 (2009) 464–475

7 S. Brlek, X. Provencal, An optimal algorithm for detecting pseudo-squares, in Attila Kuba, Laszlo G. Nyul,Kalman Palagyi (Eds.), Proc. DGCI 2006, 13-th International Conference on Discrete Geometry forComputer Imagery (October 25-27, 2006, Szeged, Hungary) Springer LNCS 4245 (2006) 403–412

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