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Seminario AleatorioUn enfoque de regresióna selección de Portafolio

Jorge de la Vega

Banco de México

Seminario Aleatorio– p. 1/23

Resumen• El objetivo de esta platica esintroducir, con un

ejemplo sencillo, cómo se puede plantear elproblema de portafolio de mínima varianza comoun problema de mínimos cuadrados y cómo sepuede extender el problema en un contextobayesiano que permite introducir dinámica en laestimación.

• La aplicación se basa en un trabajo mucho másextenso no publicado de Mark-Britten Jones(LSE).

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Definición del problema• Contexto:

• Se cuenta conp activos, y observaciones de sus

rendimientos enT periodos.

• Seart el vector de rendimientos ent.

• El portafolio global de varianza mínima (GVM) es un vector

ωg de pesos que satisface el siguiente problema de

optimización:

ωg = arg mın{ω|ω′1=1}

Var(r′tω)

Seminario Aleatorio– p. 3/23

Un problema de mínimos cua-drados

• El problema de optimización se puede replantear como un problema de regresión del

siguiente modo: particionando los vectores de rendimientos y pesos:

rt =

0�rt,1

rt,2

1A , ω =

0�w1

w

1Aentoncesrtω = rt,1 + r

′et w, dondere

t = rt,2 − rt,11 es el vector de excesos de

rendimientos con respecto al instrumento base (en este caso, el primero).

• Si escribimos el modelo de regresión con respuestay = −rt,1 y predictoresx = ret :

−rt,1 = −α + r′et w + ut, ut ∼ N

�0, σ2

�, t = 1, 2, . . . , T

entoncesσ2 = Var(ut) = Var(α − rt,1 − r′et w) = Var(rt,1 + r

′et w) = Var(r′tω)

• Así el problema de portafolio es equivalente a un problema demínimos cuadrados

(minimizar

PTt=1

u2t ) sobrew.

Seminario Aleatorio– p. 4/23

Simplificando el problema

• En términos matriciales, sir1 =

r1,1

...

rT,1

y Re =

r′

1,2

...

r′

T,2

, el modelo se

puede expresar como

−r1 = −α1 + Rew + ǫ, ǫ ∼ N(

0, σ2I)

• Comoα es irrelevante en el contexto del portafolio, podemos quitarla del

modelo centrando los datos con la matrizM = I − 1

T11

′. (notar que

M1 = 0).

• Finalmente, haciendox1 = Mr1, X = MRe y e = Mǫ, el modelo

queda como

−x1 = Xw + e, e ∼ N(

0, σ2M

)

,

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Ejemplo• Los rendimientos considerados son los de los tipos de cambiode las divisas del

BMK: cad, chf, eur, gbp y jpy, diarios. Todos los tipos de cambio está en

divisa-usd. La ventana muestral abarca de 3 de Enero de 1994 al 21 de mayo del

2004.

• En el ejemplo se toma como divisa base al euro.

• Los rendimientos se toman diarios, pero pueden recalcularse en ventanas

semanales, mensuales, etc. Esto acorta la muestra de rendimientos disponibles y

por lo tanto la calidad de las estimaciones.

• En el caso del euro se tuvo que eliminar el rendimiento del 30/12/98, ya que es un

valor bastante atípico (Entra en vigor el euro en enero 99).

• En el ejemplo,T = 2708, p = 5.

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Distribución cad

−0.

020

−0.

005

0.01

0

fechas

cad

08/94 05/97 02/00 11/02

rendimientos

cad

Den

sity

−0.020 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015

040

8012

0

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Distribución eur

0.0

0.1

0.2

0.3

fechas

eur

08/94 05/97 02/00 11/02

rendimientos

eur

Den

sity

0.0 0.1 0.2 0.3

05

1020

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Distribución eur

−0.

030.

000.

02

fechas

eur

08/94 05/97 02/00 11/02

rendimientos

eur

Den

sity

−0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03

020

4060

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Correlación rendimientos

Scatter Plot Matrix

cad

−0.02−0.01

0.00 0.01

0.00

0.01

−0.02

−0.01

chf

−0.04−0.020.00

0.00 0.02 0.04

0.00

0.02

0.04

−0.04

−0.02

0.00

eur

−0.02 0.00

0.00 0.02

0.00

0.02

−0.02

0.00

gbp

−0.02−0.010.00

0.000.010.02

0.00

0.01

0.02

−0.02

−0.01

0.00

jpy

−0.06−0.04−0.02

0.000.020.04

0.00

0.02

0.04

−0.06

−0.04

−0.02

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Estimación del portafolioCoefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

Xcad 0.521914 0.011972 43.596 <2e-16

Xchf -0.013272 0.010600 -1.252 0.211

Xgbp 0.241432 0.013271 18.193 <2e-16

Xjpy 0.111760 0.008234 13.573 <2e-16

Residual standard error: 0.002856 on 2704 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.7949, Adjusted R-squared: 0.7946

F-statistic: 2620 on 4 and 2704 DF, p-value: < 2.2e-16

• El portafolio sugerido para el vector (eur,cad,chf,gbp,jpy) esentonces (en

porcentajes):ω0 = (13.82, 52.19,−1.33, 24.14, 11.18).

• El coeficiente negativo para chf no es significativo, por lo que podemos

calibrar el modelo para tener ponderaciones adecuadas:

ω = (13.74, 52.25, 0, 23.19, 10.82).

Seminario Aleatorio– p. 11/23

Observaciones• El error estándar de los rendimientos se puede

estimarantesde centrar los datos:σ = 0.002856o 28.56 pb.

• No hay garantía en general de que las posicionescortas sean no significativas, por lo que esnecesario buscar un modelo que incorpore larestricción de que sólo las posiciones largas seanadmisibles.

• Una ventaja adicional del modelo de regresión esque permite no sólo valores puntuales, sino laposibilidad de considerar regiones de confianzapara los pesos, lo que permite considerar unaregión de portafolios en la que los inversionistaspueden considerar su elección de cartera óptima.

Seminario Aleatorio– p. 12/23

Introduciendo un enfoque baye-siano

• El modelo anterior se puede escribir en un contexto más bayesiano,

condicionando en los parámetros:

−x1|(X,w, σ2) ∼ N

�Xw, σ

2M

�• Un modelo no es bayesiano sin distribuciones iniciales y posteriores de los

parámetros.

• Hay dos posibilidades a considerar con respecto a los parámetros:

i. Suponerσ2 conocida.

ii. Suponerσ2 desconocida e incorporar un componente para su distribución

apriori. Este supuesto complica considerablemente la estimación del modelo.

• Los predictores siempre se suponen conocidos.

Seminario Aleatorio– p. 13/23

Caso 1:σ2 conocida• Podemos imponer una prior sobrew y crear un modelo jerárquico:

−x1|X,w ∼ N

�Xw, σ

2M

�w ∼ F (m0)

• Sin información específica sobre los factores que determinan los rendimientos de

los activos que forman el portafolio, se pueden imponer restricciones de carácter

estadístico para obtener una prior adecuada.

• Por simplificación computacional, se puede suponer una prior normal

multivariada:

w ∼ N (w0,C0)

• La prior debe ser intercambiable: la distribución conjuntade los pesos no

depende de la ordenación de los activos,pero hay suficiente información inicial

para distinguir entre activos. Esta restricción determinalos parámetros

iniciales:w0 = 1

n1 y C0 = a−1E.

Seminario Aleatorio– p. 14/23

Caso 1:σ2 conocida• E es una matriz de correlaciones de dimensiónp − 1 la forma

E =

0BBBBBB� 1 − 1

p−1− 1

p−1· · · − 1

p−1

− 1

p−11 − 1

p−1· · · − 1

p−1

......

......

...

− 1

p−1− 1

p−1− 1

p−1· · · 1

1CCCCCCA• Con esta información, la distribución posterior es otra normal multivariadaN (m,V) con

m = V(σ2X′Xw + ap−1E−11)

dondew = −(X′X)−1X′x1, y

V = (σ2X′X + aE−1)−1

• Ahora el problema sólo depende de un parámetro desconocido,que esa.

• Resultado: La media de la distribución posterior es el conjunto óptimo de pesos que

minimizan la varianza del rendimiento del portafolio.

Seminario Aleatorio– p. 15/23

Ejemplo• La siguiente gráfica muestra la composición para diferentesvalores deσ y con un valor fijo

dea = 0.001.

0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

cambios en la composicion

s

pond

erac

ione

s

cad

chf

gbp

jpy

eur

Seminario Aleatorio– p. 16/23

Ejemplo• La siguiente gráfica muestra la composición para diferentesvalores dea y con un valor fijo

deσ = 0.03.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

cambios en la composicion

a

pond

erac

ione

s

cadchf

gbp

jpy

eur

Seminario Aleatorio– p. 17/23

Versión dinámica del enfoqueBayesiano

• Ahora consideramos un modelo en donde los coeficientes pueden variar en el

tiempo:

−rt,1 = −αt + ret′wt + ut ut ∼ N

�0, σ

2

�• Podemos reparametrizar el modelo definiendo un predictorgt y un vector de

parámetrosθt, ambos dep × 1 del siguiente modo:

gt =

0� −1

ret

1A , θt =0� αt

wt

1Apara obtener

−rt,1 = g′tθt + ut

• Este modelo es conocido en estadística bayesiana comoDynamic linear modely

puede se resuelto introduciendo una dinámica para actualizarθt.

Seminario Aleatorio– p. 18/23

Proceso de aprendizaje• De nuevo necesitamos una prior paraθt. La prior se calcula con información disponible

hastat − 1:

θt|It−1 ∼ N

�mt|t−1,Vt|t−1

�• Aplicando el resultado sobre familias conjugadas, la posterior es

θt|It ∼ N (mt,Vt)

con

mt = Vt(−σ−2gtrt,1 + V−1

t|t−1mt|t−1)

y

Vt = (σ−2gtg′t + V−1

t|t−1)−1

• Un detalle: necesitamos un mecanismo de transición para pasar deθt|It aθt+1|It.

Usualmente se especifica unaecuación de estadoque típicamente es un proceso Markoviano

(θt+1 = Aθt + zt). En el caso de portafolios grandes, la estimación de este proceso puede

ser muy difícil.

Seminario Aleatorio– p. 19/23

Alternativa para transiciones• En lugar de usar un filtro de Kalman, se puede introducir un factor de descuento para los

datos del pasado, como un suavizamiento exponencial.

• Partiendo de una distribución inicial ent = 0:

θ1|I0 ∼ N (m0,V0)

se puede aplicar un proceso iterativo para estimar los parámetros enT :

mT = VT (−σ−2

TXt=1

(1 − δ)T−tgtrt,1 + V−1

0m0)

y

VT = (σ−2

TXt=1

(1 − δ)T−tgtg′t + V−1

0)−1

Seminario Aleatorio– p. 20/23

Ejemplo•• El siguiente ejemplo fue corrido usando los parámetrosa = 0.001, m0 y V0 como en el

modelo bayesiano estático, suponiendo que el coeficienteαt no está correlacionado con los

pesos, yσ = 0.002856.

0 500 1000 1500 2000 2500

0.00.2

0.40.6

0.81.0

composición portafolio dinámico

fecha

pond

eracio

n

cad

chf

gbp

jpy

eur

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Falta mucho...• Desarrollar un programa para el caso de varianza

desconocida.• Desarrollar criterios para proponer valores

iniciales dea y σ2, sin priores.• Desarrollar un modelo que no permita posiciones

cortas.• Incorporar otras formas de modelar tracisiones en

el modelo dinámico (sin el factor de descuento).• . . .

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Referencias• Britten-Jones, M. 1997. The Sampling Error in

Estimates of Mean-Variance Efficient PortfolioWeights. Working Paper, London BusinessSchool.

• Britten-Jones, M. 1998. Statistical PortfolioOptimization Part 1: The Global MinimumVariance Portfolio Working Paper, LondonBusiness School.

• Ingersoll, Jonhatan E. Jr. 1987Theory ofFinancial Decision MakingRowman andLittlefield.

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